UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
“JULIO DE MESQUITA FILHO”
CAMPUS DE GUARATINGUETÁ
THALES ALVES NASCIMENTO
ANÁLISE DOS MÉTODOS DE CÁLCULO DE GOLPE DE ARIETE EM TUBULAÇÕES
GUARATINGUETÁ
THALES ALVES NASCIMENTO
ANÁLISE DOS MÉTODOS DE CÁLCULO DE GOLPE DE ARIETE EM TUBULAÇÕES
Trabalho de Graduação apresentado ao Conselho de Curso de Graduação em Engenharia Mecânica da Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, como parte dos requisitos para obtenção do diploma de Graduação em Engenharia Mecânica.
Orientador: Prof. Dr. Mauricio Araújo Zanardi
Guaratinguetá
N244a
Nascimento, Thales Alves
Análise dos métodos de cálculo de golpe de ariete em tubulações / Thales Alves Nascimento – Guaratinguetá : [s.n], 2014.
49 f. : il.
Bibliografia : f. 48
Trabalho de Graduação em Engenharia Mecânica – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2014. Orientador: Prof. Dr. Mauricio Araujo Zanardi
1. Golpe de Aríete 2. Engenharia hidráulica I. Título
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
“JULIO DE MESQUITA FILHO”
CAMPUS DE GUARATINGUETÁ
THALES ALVES NASCIMENTO
ESTE TRABALHO DE GRADUAÇÃO FOI JULGADO ADEQUADO COMO PARTE DO REQUISITO PARA OBTENÇÃO DO DIPLOMA DE “GRADUADO
EM ENGENHARIA MECÂNICA”
APROVADO EM SUA FORMA FINAL PELO CONSELHO DE CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Prof. Dr. MARCELO SAMPAIO MARTINS Coordenador
BANCA EXAMINADORA:
AGRADECIMENTOS
NASCIMENTO, T. A. Análise dos métodos de cálculo de golpe de aríete em tubulações. 2015. 49 f. Trabalho de Graduação (Graduação em Engenharia Mecânica) – Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2015.
RESUMO
O presente trabalho busca estudar os métodos mais utilizados e realizar comparações e discussões a respeito das considerações feitas por cada um e dos resultados fornecidos pelos mesmos. O objetivo dessa pesquisa é mostrar que o método das características é atualmente o método mais eficiente para se realizar essas simulações devido à sua grande abrangência e não precisar de muitas simplificações, pois permite considerar cada detalhe da tubulação e fluído. São realizados cálculos manuais e também é desenvolvido um software capaz de calcular esse fenômeno para diversas situações, como bomba de água, reservatórios elevados, e válvulas de manobra rápida. O software é baseado no método das características que atualmente é recomendado pela ABNT. São adotadas tubulações e condições de montante e jusante nas quais serão aplicados esses métodos, e os resultados são obtidos numericamente e de forma gráfica. As conclusões alcançadas mostraram que o método de Allievi é muito utilizado ainda devido a sua eficiência e rapidez no cálculo para tubulações simples. O método das características, apesar de ser muito trabalhoso para ser calculado devido ao processo de cálculo ser iterativo e necessite de uma programação para usá-lo, é o único que permite o cálculo com todas as situações de condições à montante e jusante de todas a possibilidades de tubulação encontradas.
NASCIMENTO, T. A. Analysis of water hammer calculation methods in pipes. 2015. 49 f. Graduate Work (Graduate in Mechanical Engineering) – Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2015.
ABSTRACT
This work studies the most commonly used methods and make comparisons and discussions of the findings made by each of them and the results provided by them. The objective of this research was to show that the method of characteristics is currently the most efficient method to perform these simulations because of its broad scope low simplifications, requirement allowing to consider every detail of the pipe and fluid. Manual calculations are performed and also a software capable of calculating this phenomenon for various situations, such as water pump, elevated tanks, valves and quick maneuver was developed. The software is based on the method of characteristics that is currently recommended by ABNT. These methods, and the results are obtained numerically and graphically are adopted pipes and amount of downstream conditions and in which will be applied. The conclusions reached showed that the Allievi method is widely used yet because of its efficiency and quick calculation for simple pipes. The method of characteristics, although a lot of work to be calculated due to the calculation is iterative process and requires a program to use it, is the only one that allows the calculation with all amount to the conditions situations and downstream of all the pipe possibilities found.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – ASSOCIAÇÃO DE TUBULAÇÕES, SÉRIE E PARALELO. ... 29
FIGURA 2 – SISTEMA DE TUBULAÇÃO SIMPLES. ... 30
FIGURA 3 – INSTALAÇÃO DE BOMBA D’ÁGUA COM VÁLVULA DE RETENÇÃO NA SAÍDA. ... 31
FIGURA 4 – JANELA INICIAL DO SOFTWARE. ... 36
FIGURA 5 – PROGRAMA COM OS DADOS PREENCHIDOS PARA O PROBLEMA DA SEÇÃO 4.1. ... 36
FIGURA 6 – JANELA DE RESULTADOS GRÁFICO E NUMÉRICO. ... 37
FIGURA 7 – PROGRAMA COM OS DADOS PREENCHIDOS PARA PROBLEMA DA SEÇÃO 4.3. ... 37
FIGURA 8 – RESULTADO GRÁFICO DA PRIMEIRA PARTE DA TUBULAÇÃO COMPLEXA DA SEÇÃO 4.2. ... 40
FIGURA 9 – RESULTADO GRÁFICO DA SEGUNDA PARTE DA TUBULAÇÃO COMPLEXA DA SEÇÃO 4.2. ... 41
FIGURA 10 – RESULTADO GRÁFICO DA TERCEIRA PARTE DA TUBULAÇÃO COMPLEXA DA SEÇÃO 4.2. ... 41
FIGURA 11 – GRÁFICO DA PRIMEIRA PARTE DE ASSOCIAÇÃO DE TUBULAÇÃO EM PARALELO, TUBO CONCRETO. .... 42
LISTA DE TABELAS
TABELA 1– RESULTADO DOS CÁLCULOS PARA RESERVATÓRIO EM TUBULAÇÃO SIMPLES COM RESERVATÓRIO. .... 39
TABELA 2 – RESULTADOS OBTIDOS PARA A TUBULAÇÃO COMPLEXA EM SÉRIE COM RESERVATÓRIO. ... 40
TABELA 3 – RESULTADOS OBTIDOS PARA A TUBULAÇÃO COMPLEXA EM PARALELO COM RESERVATÓRIO. ... 43
TABELA 4 – RESULTADO OBTIDO PARA A TUBULAÇÃO SIMPLES COM BOMBA D’ÁGUA. ... 45
TABELA 5 – TABELA COMPARATIVA ENTRE OS MÉTODOS. ... 47
TABELA A-1 – MÓDULO DE YOUNG E COEFICIENTE DE POISSON PARA MATERIAIS DE TUBULAÇÃO. ... 49
TABELA A-2 – PROPRIEDADES DE VÁRIOS LÍQUIDOS A 25ºC E PRESSÃO ATMOSFÉRICA. ... 49
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas DN Diâmetro Nominal
LISTA DE SÍMBOLOS
a Celeridade m/s
aeq Celeridade equivalente para associações de tubulação m/s B Característica de impedância da tubulação s/m² BP, BM Constantes conhecidas nas equações de compatibilidade s/m² C+, C- Nome da equação das características mca CP, CM Constantes conhecidas nas equações de compatibilidade mca CT Constante das características físicas da bomba –
D Diâmetro interno da tubulação m
e Espessura da parede do tubo m
E Módulo de elasticidade do material Pa
f Fator de atrito ou fricção –
FH Pressão em função da diminuição da rotação –
FT Equação da variação da rotação –
g Aceleração da gravidade m/s²
h Pressão a montante da tubulação; pressão adimensional mca; –
H Carga instantânea mca
hmax Pressão máxima mca
HR Altura do reservatório; Pressão média de descarga da bomba mca; mca
Ht Carga em função da velocidade mca
Hx Carga em função da distância mca
I Momento polar de inércia kg.m²
i Número da seção da tubulação –
j Quantidade de tubos em série e paralelo no método das características –
K Coeficiente função do módulo de elasticidade 1/Pa
L Comprimento da tubulação m
L1, L2 Equação da continuidade e momento no método das características –
Leq Comprimento equivalente para associações de tubulação m N Número de divisões na tubulação; Velocidade da motobomba –; rad/s
NR Rotação média da bomba rad/s
P Pressão atmosférica mca
QR Vazão média da bomba m³/s
R Coeficiente de resistência do método das características s²/m5
tc, tf Tempo de fechamento de válvula s
TR Torque médio da bomba N.m
U0 Velocidade inicial m/s²
V Velocidade instantânea m/s
Vd Velocidade de descarga da motobomba m/s Vs Velocidade de sução da motobomba m/s
Vt Velocidade em função do tempo m/s
Vx Velocidade em função da distância m/s WH, WB Características adimensionais da motobomba – x Distância na tubulação; Posição angular nas curvas características da bomba m; –
z Elevação da tubulação acima da referência mca
α Taxa de velocidade adimensional –
β Taxa de torque adimensional –
γ Peso do fluído N/m³
λ Fator de multiplicação equação das características –
ρ Densidade do fluído kg/m³
τ Posição instantânea de abertura da válvula – τf Posição de abertura final da válvula – τi Posição de abertura inicial da válvula –
ω Velocidade angular; Frequência rad/s
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ... 13
2. OBJETIVOS ... 17
3. APRESENTAÇÃO DOS MÉTODOS DE CÁLCULO ... 18
3.1 Método de Michaud, Joukowsky e Allievi ... 18
3.2 Método da Teoria Inelástica ... 20
3.3 Método das Características ... 20
4. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS APRESENTADOS ... 30
4.1 Sistema de Tubulação Simples ... 30
4.2 Sistema de Tubulação Complexa ... 30
4.3 Bomba D’água a montante com válvula de retenção na saída ... 31
4.4 Método de Joukowsky, Michaud e Allievi ... 32
4.5 Método de Johnson ... 34
4.6 Método das Características ... 34
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 39
5.1 Reservatório em Tubulação Simples ... 39
5.2 Reservatório em Tubulação Complexa ... 39
5.3 Bomba com Válvula de Retenção na Saída ... 44
6. CONCLUSÃO ... 46
REFERÊNCIAS ... 48
1. INTRODUÇÃO
Há muito tempo o transporte de água começou a ser implementado por inúmeras sociedades da Ásia, América Central, África, Civilizações Mesopotâmicas e populações ribeirinhas de vários rios no mundo, e com esse alguns problemas foram surgindo. Esse transporte de água tinha como finalidade primeiramente a irrigação e futuramente o abastecimento de casas. Um dos grandes problemas oriundos dessa evolução foi o escoamento transiente que desde então vem sendo estudado por esses povos. Cada população baseada em sua cultura, conhecimento e tecnologia da época foram aplicando suas técnicas a fim de amenizar ou solucionar esse problema. Somente com a chegada da então conhecida era científica e com a evolução das teorias e estudos matemáticos propostos por grandes cientistas como Newton, o escoamento de fluídos ganhou dedicação aos estudos e assim desencadeou várias teorias.
A engenharia hidráulica surgiu a partir desses estudos e teorias que buscavam soluções para problemas como propagação de ondas sonoras em ar e águas rasas, fluxo de sangue nas artérias entre outros. Porém devido à grande complexidade em analisar esses fenômenos, nenhum desses problemas pôde ser resolvido na íntegra sem o desenvolvimento de teorias como da elasticidade e solução para as equações diferenciais parciais.
As investigações e resultados com respeito à propagação de ondas sonoras no ar e ao escoamento de água em canais foi proposto por Newton, e juntamente com Lagrange chegaram à teoria da velocidade do som no ar. Euler aplicando equações diferenciais parciais descreveu a teoria da propagação da onda elástica. (CARVALHO, 2011).
Para Wylie e Street (1993), escoamento em regime permanente é aquele no qual não há variação das condições em qualquer ponto com do tempo, já em escoamento transiente as condições do escoamento irão sofrer variações com o tempo.
De acordo com McIntire (1980), pode-se examinar o fenômeno do transiente hidráulico
por etapas a partir de um sistema simples, composto por uma caixa d’água à montante, com
ocorrendo um aumento de pressão sobre a mesma até que essa esteja totalmente fechada e nesse instante a porção de fluído próxima à válvula estará parada. Porém, devido às compressibilidades do fluído e dilatações da tubulação existirá ainda uma movimentação desse fluído desde a montante até que a pressão atinja seu ápice e todo o fluído esteja totalmente comprimido na tubulação e essa totalmente dilatada. A partir desse instante todo o fluxo e energia acumulada são novamente convertidos em movimento e o fluxo se dá no sentindo oposto agora com direção à montante, e o fenômeno se repete até que ocorra novamente a total estagnação da movimentação do fluído. Nesse instante a pressão dentro da tubulação é a mais baixa possível, ocasionando na maioria das vezes o esmagamento da tubulação. A partir daqui o fenômeno se repete, comprimindo novamente toda a linha até a válvula e ocorrerá então um movimento oscilatório até que todas as dissipações de energia amorteçam essa movimentação e o fluído esteja completamente parado.
O fenômeno correspondente à variação de velocidade e de pressão da água que ocorre nas tubulações quando as condições de escoamento são alteradas pela variação da descarga é definido como Transiente Hidráulico ou popularmente chamado de Golpe de Aríete. Nesse momento, o regime não mais será permanente e a equação de Bernoulli, não mais poderá ser aplicada sob sua forma canônica. Portanto toda vez que eventos que alterarem o fluxo de um fluído em respeito a sua vazão e pressão, como por exemplo, o fechamento de uma válvula, variações de vazão ou desligamento de uma bomba ocorrer, estará alterando a sua energia cinética, gerando um fenômeno transiente. Quando é fechada uma comporta ou uma válvula de extremidade de uma tubulação de usina hidrelétrica, o regime que antes era considerado permanente se transforma em transiente, e como consequência tem-se transformação de energia cinética em energia de pressão, alterando totalmente a pressão que atuava antes de ocorrer o fechamento. Segundo Macintyre (1983, p. 421), “esta sobrepressão que se propaga sob a forma de ondas de choque é o “golpe de aríete”, um fenômeno transitório ou transiente
hidráulico que é uma ocorrência no escoamento motivada pela variação de uma grandeza
definidora do escoamento.”
Como resultado desse fenômeno, temos uma força de pressão, que por sua vez realiza um trabalho, que comprime o fluido e por fim deforma a tubulação e outros componentes presentes no sistema que são atingidas pela onda de choque. (DECKERT & MENEZES, 2013).
parede do tubo. Essa pressão pode atingir níveis indesejáveis e causar danos ao duto e aos dispositivos nele instalados.
Atualmente engenheiros com auxílio da tecnologia muito têm contribuído no aprofundamento das informações, não somente na hidráulica, mas em diversas áreas do conhecimento, o que tem possibilitado agregar muito nas informações acumuladas.
Com a possibilidade de se combinar leis físicas, e com auxílio da matemática, dos procedimentos numéricos, das construções lógicas e do processamento de dados eletrônicos, hoje em dia as possibilidades de se solucionar problemas de grande complexidade torna mais realístico o estudo dos fenômenos de escoamento em regime transiente, evitando-se certas aproximações utilizadas pelos métodos tradicionais de análise hidráulica que, por simplificações assumem o escoamento em regime permanente, descaracterizando o problema real.
Resumidamente o transiente hidráulico é um fenômeno que se não for tratado com as devidas precauções irá afetar toda a rede de transporte de um fluído. A busca por sua compreensão e a constante investigação por soluções para evitar as suas consequências catastróficas, levaram a avanços tecnológicos significativos, e acima de tudo com o auxílio da matemática com soluções por procedimentos numéricos programados computacionalmente para obtenção de soluções. (CARVALHO, 2011).
Para Izquierdo e Iglesias (2002), computador e modelagem dos sistemas de distribuição de água é uma real necessidade nas áreas que tratam de fluídos. Com a utilização dessa tecnologia esses sistemas devem ser otimizados e consequentemente devem aperfeiçoar a construção de sistemas e obter projetos mais eficientes e seguros.
Os computadores atualmente são bons e rápidos o bastante para rodar programas que realizem simulações de transientes hidráulicos desde sistemas simples até os mais complexos. Antes de se construir qualquer planta hidráulica pode-se realizar simulações dos reais riscos a que esta estará exposta e assim se ter um prévio conhecimento dos problemas que poderão ocorrer e procurar solucioná-los antes mesmo de se construir o sistema. Independente do método numérico usado, o modelo utilizado deve ser confiável, eficiente e deve resolver rapidamente o problema. Dessa forma, o software deve ser validado com resultados experimentais e ser capaz de compreender várias condições de contorno e finalmente resolver unificando todas essas situações compreendendo o comportamento de todos esses elementos. (IZQUIERDO e IGLESIAS, 2002).
jusante. A resolução das equações diferenciais parciais foi feita pelo método das características e os resultados são apresentados de forma gráfica. Após esse passo, o mesmo problema de transiente hidráulico foi resolvido por outros métodos para que posteriormente pudesse ser comparado com os resultados obtidos pelo software.
2. OBJETIVOS
Obter os resultados apresentados por cada método e comparar os valores obtidos por cada um deles quando possível.
3. APRESENTAÇÃO DOS MÉTODOS DE CÁLCULO
Na sequência são apresentados os métodos mais comuns de previsão de elevações de pressão devido a transientes hidráulicos. A maioria deles são métodos algébricos que permitem estimar somente a pressão máxima ou mínima durante o fenômeno. Durante muitos anos estes foram os únicos métodos disponíveis até o inicio da utilização do método das características que, através da solução das equações diferenciais do movimento do fluido, permite calcular a distribuição de pressão ao longo de toda a tubulação em função do tempo decorrido após o início do fenômeno.
3.1 Método de Michaud, Joukowsky e Allievi
Acredita-se que o início dos estudos do fenômeno de golpe de aríete tenha sido em meados do século XIX, no ano de 1878 por Gustave Michaud. Joukowsky em 1897 teria dado continuidade ao trabalho de Michaud e fez importantes contribuições em seu trabalho, mas foi Lorenzo Allievi, que baseado nos estudos desses dois antecessores, quem em 1902 propôs uma fundamentação teórica das perturbações do fluxo de água em tubos, descartando todas as possíveis perdas de carga. (CAMARGO, 1991).
O equacionamento por eles proposto é o mostrado abaixo, e será utilizado na seção 4 deste trabalho como um dos métodos apresentados para calcular o fenômeno de transiente hidráulico. A equação 1 é a equação proposta por Joukowsky.
ℎ = ∙ Eq. (1)
sendo: a: celeridade;
U0: velocidade média do escoamento do fluído na tubulação; g: aceleração da gravidade no local
caracteriza as propriedades de deformação do conduto. A compressibilidade de um fluído está intimamente relacionada com a celeridade.
= 9900
48,3 + ∙
Eq. (2)
na qual: K: coeficiente, função do módulo de elasticidade do material que constitui a tubulação;
= 10
D: diâmetro da tubulação; e: espessura do tubo;
E: módulo de elasticidade do material.
Para Costa, Santos e Lança (2001), o equacionamento proposto por Michaud, Joukowsky e Allievi podem ser divididos em duas partes: manobras rápidas e manobras lentas. Define-se uma manobra rápida àquela cujo tempo de fechamento de válvula (t) é menor que o tempo de ocorrência da depressão, e a manobra será lenta se ocorrer uma onda de depressão antes do fechamento total da válvula. Em termos matemáticos:
- Manobra Rápida:
<2
- Manobra Lenta:
>2
sendo: L: comprimento da tubulação; a: celeridade.
Se a manobra for rápida a equação de Joukowsky resolve o problema. Para manobras lentas utilizamos a equação proposta por Michaud:
Esse método permite ainda realizar cálculos de transiente hidráulico em tubulações complexas realizando associação de tubulações em série. Segundo Costa, Santos e Lança (2001), para tubos com comprimento L e seção S, teremos um de seção .
= +∙ + ∙ + ⋯ + ∙ Eq. (4)
Para tubos de mesmo diâmetro, porém celeridades diferentes, temos a celeridade equivalente dada por:
= = = Eq. (5)
com: = + + .
3.2 Método da Teoria Inelástica
Esse método também é conhecido por método de Johnson, que deduziu a seguinte equação e é para ser usada com válvulas à jusante e deve se conhecer o tempo de fechamento da mesma. (COSTA, SANTOS E LANÇA, 2001).
ℎ = 2 ∙ ∙ ℎ ∙
∙ + 4
∙ ℎ∙ + ∙ Eq. (6)
tf: tempo de fechamento da válvula; h: pressão à montante da tubulação.
Esse método permite o cálculo direto do golpe, e seu resultado é um limite superior que pode ser obtido devido ao golpe. Suas restrições quanto ao uso são nítidas, permitindo o cálculo apenas em tubulações simples e sem alteração no tipo de material.
Ao longo dos anos novos métodos foram surgindo, cada vez mais aprimorados e trazendo resultados mais confiáveis e considerando fatores que antes eram descartados.
O método a seguir é o das características, atualmente o mais utilizado, e segundo Camargo (1991), recomendado pela ABNT em projetos de adutoras de água.
Para Wylie e Street (1993), as equações de momento e continuidade formam um par de equações diferenciais parciais em termos de duas variáveis independentes, velocidade () e altura () e de duas variáveis independentes, distância ( ) e tempo (). As equações 7 e 8, são essas em sua forma simplificada.
= + !+2 || = 0" Eq. (7)
= !+
= 0
Eq. (8)
Utilizando um multiplicador desconhecido λ, combinam-se as duas equações:
= + # = # $# + !% + &#
+ !' +"||2 = 0
Eq. (9)
Para quaisquer dois valores reais e distintos de λ o resultado será duas equações em
termos das duas variáveis dependentes e . Selecionam-se apropriadamente dois valores particulares para λ, consegue-se que a equação 9 seja simplificada. Sabe-se que as variáveis e são ambas dependentes de e , então é possível escrever em função de , obtendo-se:
*
* = * * + !
Eq. (10) *
* = * * + !
Pela análise e comparação da equação 9 com a equação 10, nota-se que se:
*
* =# =#
Então a equação 9 se torna uma equação diferencial ordinária.
#** +** +"||2 = 0 Eq. (12)
Os valores particulares de λ são obtidos a partir da solução da equação 11:
# = ± Eq. (13)
Relacionando de maneira particular o resultado obtido de volta na equação 11, de modo a relacionar e , obtém-se:
* * = ±
Eq. (14)
Essa equação mostra a mudança de posição da onda em função do tempo e em função da celeridade . Substituindo o valor positivo encontrado de λ na equação 11, o mesmo deve ser feito para a equação 12. Analogamente faz-se o mesmo para o valor negativo e assim se constroem dois pares de equações, que são identificadas como -/ -6.
-/: 7
** +** +"||2 = 0 *
* = +
Eq. (15)
Eq. (16)
-6: 7−
** +** +"||2 = 0 *
* = −
Eq. (17)
Eq. (18)
baseado na divisão da tubulação em “N” partes pares e iguais, e é calculado o golpe em todas essas partes, uma a uma em função das seções (∆ = ∙ ?)@ e do tempo (∆ = ∆ @ ). As equações 15 e 16 serão integradas a partir de seu limite inferior, com V e H conhecidos partir de uma condição de contorno para obter seu limite superior definido por ∆ e ∆. O mesmo é feito para a parte negativa, porém agora a movimentação se dá no sentido contrário. Esses valores obtidos permitem traçar um gráfico do transiente em qualquer ponto da tubulação, em função do tempo. São os termos que carregam as propriedades no método das características:
A =B Eq. (19)
C = 2?B" Eq. (20)
nas quais: a: celeridade; f: fator de fricção (obtido no diagrama de Moody); g: aceleração da gravidade; D: diâmetro da tubulação;
A: área da seção do tubo; N: número de divisões da tubulação. L: comprimento total da tubulação.
Tem-se assim duas equações uma que é da característica positiva e outra da negativa, da
i-ésima seção do tubo, serão aplicadas para os coeficientes -D, AD, -E AE, constantes conhecidas, e que já carregam os termos calculados nas equações 19 e 20.
-/: F = -D− ADGF Eq. (21)
-6:
F = -E− AEGF Eq. (22)
Inicialmente essas constantes são obtidas a partir das condições de contorno, e se tornam quatro equações em função das propriedades da tubulação e fluído.
-D = F6+ AGF6 Eq. (23) AD = A + C|GF6| Eq. (24)
Por fim elimina-se GF nas equações das características e então obtemos as seguintes equações:
F = -DAAE+ -EAD
D + AE
Eq. (27)
GF =A-D− -E
D+ AE
Eq. (28)
O equacionamento apresentado até aqui foi convenientemente adequado para a implementação em algoritmo computacional. A seguir serão apresentadas as condições de contorno mais comumente encontradas.
CONDIÇÕES DE CONTORNO
Em cada extremidade de uma tubulação existirá um elemento que possui uma característica e um comportamento diferente e deverá então ser estudado separadamente do restante da tubulação. Serão esses elementos que irão fornecer os valores iniciais do problema e a partir desses iremos calcular o comportamento do transiente ao longo da tubulação.
Reservatório à montante com altura conhecida
Segundo Wylie e Street (1993), podem existir dois tipos de comportamento de reservatórios quanto a sua dimensão física. O nível piezométrico de um reservatório muito grande pode ser considerado constante ao longo do tempo, o que implica em uma altura H = constante. Já os reservatórios menores sofrerão uma variação de altura em função do tempo e seu comportamento pode ser descrito por uma equação com variação senoidal. A vazão de um reservatório é função das propriedades físicas da tubulação e fluído que dela partem.
= H + ∆ IJ K Eq. (29)
G =A− -E E
Eq. (30)
Bomba centrífuga à montante, falha por falta de energia.
Para Wylie e Street (1993), as situações de análises mais importantes são devidas a eventos que envolvem bombas de água. Esses eventos estão na maioria dos casos associados ao seu acionamento, desligamento, interrupção no fornecimento de energia e a abertura ou fechamento de válvulas associadas a essas.
O motor da bomba converte energia elétrica em energia mecânica e através de um impelidor transfere essa energia ao fluído, movimentando-o e fornecendo um aumento de pressão entre seus bocais de sucção e recalque. A carga fornecida por uma motobomba centrífuga é dada pela equação 28:
=2 +L MN + OL L− &P
2 +MN + OP P'
Eq. (31)
com: OP e OL, como as respectivas alturas da linha de centro de entrada no flange de sucção e de descarga.
Se em um dado instante há uma queda na tensão e o motor desse equipamento e imediatamente desligado, uma sequência de eventos irá acontecer. Primeiramente a resistência do fluído no rotor da bomba irá causar uma desaceleração do mesmo, e perda gradativa da pressão na saída da bomba até que se essa cesse. Nesse momento ondas de pressão serão transmitidas ao longo da tubulação. Em um segundo momento, se não existir uma válvula de retenção, o retorno do fluído para dentro do equipamento movimentará o rotor no seu sentido contrário de funcionamento impondo assim uma alta pressão sobre a bomba e em casos extremos podendo até haver criação de colunas de vapor, o que aumentaria significativamente a pressão sobre a mesma.
independentes, para vazão e rotação conhecidas, a carga e o torque devem ser obtidos a partir de suas características. Duas considerações básicas são feitas:
1. A condição de regime permanente não se altera no transiente e mesmo que a vazão e a rotação mudem com o tempo, poderemos a partir desses valores, determinar a pressão e o torque.
2. As relações de semelhança para motobombas devem ser válidas.
Como a pretensão da resolução desse problema é por algoritmo computacional, e as características de turbomáquinas são obtidas a partir de uma curva, Wylie e Street (1993), relacionaram tais características através da equação 32.
RS( ) =T+ ℎ
Eq. (32) RS( ) =T+ U
= V + J6
T
sendo: ℎ =SS W, U =
X XW, =
Y YW, T =
Z
ZW, o índice “R” significa médio.
O comportamento da desaceleração da bomba está diretamente ligado ás características apresentadas na equação 32, que carrega todas as informações físicas a respeito do aparelho. A pressão total fornecida pela bomba em função das variáveis T e , é dado por:
[S = -D − -E− GH(AD+ AE) + H(T+ )(B+ B ) −||\] = 0 Eq. (33)
com: os valores de B e B resultados de uma extrapolação realizada na curva das características de turbomáquinas, oriundo da variável RS( ). Podem ser expressas por:
B = RS(^ + 1) − R∆ S(^) Eq. (34)
B = RS(^ + 1) − ^B∆ Eq. (35)
para: ^ =
O próximo passo é o desenvolvimento do equacionamento para determinação da mudança de velocidade na bomba. A mudança de rotação depende da variação do torque aplicada a essa.
Q = −_*K* Eq. (36)
com: _ =`Ha
b ;
K: velocidade angular;
Lc
L!: aceleração angular.
Integrando a equação 33, para a variação de tempo proposta no método das características, obtém-se:
U = _?QH
H
V
30T∆ − U− T
Eq. (37)
Nesse caso o índice “0”, é referente ao valor obtido na iteração anterior.
Considere:
-X = _?QH H
V 30 ∙ ∆
Eq. (38)
Substituindo a equação 37, na equação 36, tem-se:
[X = U + U− -X(T− T) = 0 Eq. (39)
U
T+ = Rd( ) = A+ A$V + J6T%
Eq. (40)
para: A e A encontrados de forma análoga ao B e B. Combinando as equações 38 e 39, obtém-se a equação da variação da rotação em função de T e .
[X = (T+ ) eA+ A$V + J6T%f + U − -X(T− T) = 0 Eq. (41)
Válvula à jusante
Toda manobra de válvula, por mais rápida que seja, precisará de um mínimo de tempo para acontecer. Equações de posição de válvula em função do tempo podem ser usadas para descrever esse fenômeno e embutido nos cálculos as várias posições possíveis que essa poderá assumir com sua respectiva perda de carga. A equação a seguir representa a relação de fechamento de uma válvula desse tipo em função do tempo.
] = ]F − g]F− ]h
i
jk Eq. (42)
com: ]: posição instantânea de abertura da válvula; ]F: posição inicial de abertura da válvula; ]: posição final de abertura da válvula; t: instante da posição da válvula;
tc: tempo de fechamento da válvula; Em: movimentação da válvula.
Associação de Tubulações Série e Paralelo
paralelo. As equações que seguem são as mesmas apresentadas nessa seção 3.3, porém reajustadas para esse tipo de montagem. É valido ressaltar que apenas sofrerão alterações as equações que são referentes às propriedades da tubulação e fluído.
Figura 1 – Associação de tubulações, série e paralelo.
Fonte: (Próprio Autor)
Al = ml bnml = b
∑ ⎝ ⎜ ⎛st nt u ⎠ ⎟ ⎞ ∑ ⎝ ⎜ ⎛st t u ⎠ ⎟ ⎞ Eq. (43)
Cl =
"l∆ F 2lBl
= y2"zz
zBz
Eq. (44)
4. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS APRESENTADOS
4.1 Sistema de Tubulação Simples
Nesta seção é apresentado o sistema simples no qual se calculou o golpe utilizando-se os diferentes métodos. Os dados para esse problema são uma adaptação de um local existente que abastece um bairro de uma cidade no Vale do Paraíba. Pode-se observar que a figura 2 é um reservatório situado a montante da tubulação, o fluxo se dá no sentido da seta ilustrada pela vazão Q. O sistema possui um desnível H = 80m, a tubulação é feita de tubo de PVC soldável DN100 com coeficiente de atrito adotado f = 0,016, e comprimento L = 800m. À jusante está situada uma válvula de esfera de fechamento rápido. O tempo gasto para que essa válvula se feche totalmente é de 1,5s. Desconsideraremos as perdas de carga localizadas.
Figura 2 – Sistema de tubulação simples.
Fonte: (Próprio Autor)
4.2 Sistema de Tubulação Complexa
Para se analisar e calcular o fenômeno de transiente hidráulico em sistemas complexos, que são os mais comuns devidos às reduções de diâmetro de tubulação que se encontram e ramificações de uma tubulação principal, serão considerados três tubos diferentes, montados em série, para as condições da seção anterior. Os dados aqui foram totalmente arbitrados para utilizar todos os recursos do programa.
- Tubo de Borracha, L = 100m, D = 0,4m, e = 8mm, f=0,060;
- Tubo de Ferro Fundido, L = 400m, D = 0,25m, e = 3mm, f = 0,036.
4.3 Bomba D’água a montante com válvula de retenção na saída
Em instalações hidráulicas com bombas, em sua maioria observa-se a instalação de válvulas de retenção ao longo da tubulação, senão ao longo, quase sempre na saída dessa tem uma válvula desse tipo. Sua finalidade é evitar que o fluído que está na tubulação acima da bomba retorne ao reservatório de onde esse recalca água, sem contar que essa válvula também ajuda a proteger o equipamento em casos de falha na operação desse equipamento. O que será estudado agora, é exatamente esse caso clássico, sendo uma bomba centrífuga despejando água em um reservatório mais alto e em um dado instante acaba a energia elétrica e origina-se então um golpe de aríete.
Os dados para o problema dessa seção foi adaptado de Wylie e Street (1993). Considere que uma motobomba forneça água a um reservatório como esquema da figura 3, seja então um desnível H = 90m, comprimento de tubulação L = 500m de aço, espessura e = 5mm, diâmetro D = 300mm e fator de fricção f = 0,018. Os dados da motobomba são: Pressão nominal HR = 100mca, vazão nominal QR = 0,18m³/s, rotação nominal NR = 1760 RPM, torque nominal TR = 1000N.m e momento polar de inércia WR2 = 9000N.m².
Figura 3 – Instalação de Bomba D’água com válvula de retenção na saída.
4.4 Método de Joukowsky, Michaud e Allievi
O problema nos fornece a maioria dos dados necessários para o cálculo do golpe por esse método. Porém deve-se determinar ainda a velocidade média do fluído na tubulação, celeridade e coeficiente K. O presente método fornece o valor máximo que poderá atingir o golpe.
Primeiramente considerando que o regime de escoamento da figura 2 é permanente e aplicando-se a equação de Bernoulli para conservação da energia incluindo-se as perdas de carga, avaliadas pela equação proposta por Darcy-Weisbach, determina-se a velocidade na saída da tubulação.
Equação da Conservação da Energia:
{
} +
2 + O ={} +
2 + O+ ℎ"
Eq. (45)
sendo: P: Pressão;
V: Velocidade do escoamento; Z: Altura Piezométrica;
hf: Perda de carga na tubulação.
Equação de Perda de Carga em Tubulação:
ℎ" = "2 Eq. (46)
Sabe-se que:
{ = { = 0 O = 0
A equação (45) se reduz a:
O =
2 + "
9,81 ∙ 80 =~aa
+ 0,016
, ~aa
→ = 3,49/I
Calcula-se agora a celeridade, substituindo K na equação (2):
= 9900
48,3 + 10
Do anexo A, e das tabelas A-1 e A-3, obtém-se respectivamente: D~ = 0,5{
Z = 6,1
Substituindo em (2), obtém-se:
=
,/,× ,, → = 510,44/I
Por fim, calcula-se o tempo de fechamento para a escolha da equação adequada: =2 =2 ∙ 800510,44 = 3,13I
Como i = 1,5I < 3,13I, será calculado pelo método de Joukowsky, Eq. (1): ℎ = 510,44 ∙ 3,499,81 = 181,6
O resultado mostra uma sobre pressão devido ao transiente de aproximadamente 2,27 vezes a pressão em regime permanente.
Será calculado também por esse método o problema proposto na seção anterior. Os cálculos serão realizados, embora o método não preveja uma alteração no material da tubulação. Primeiro será calculado as seções das diferentes tubulações e na sequência o comprimento equivalente de cada parte da tubulação.
Sabe-se que a área da circunferência é dado por: B = V, assim sendo, são as seções:
= 0,196 = 0,126 = 0,05
Substituindo os valores na equação 4:
= 300 +∙,, +∙,, → = 2023,56
Aplicando a equação de Bernoulli (eq. 45) já fazendo as simplificações e resolvendo obtém-se um valor para a velocidade de = 4,61/I.
mudança. Para fins de comparação considerar-se-á na sequência dos cálculos que é o material da tubulação equivalente possui as propriedades do aço.
Do anexo A tabela A-1, obtemos ç = 207{. Por conseguinte a celeridade calculada de acordo com a equação 2 é, = 1318,83/I.
Para essa nova tubulação o tempo crítico de fechamento será: =2 =2 ∙ 2023,561318,83 = 3,07I
O tempo de fechamento é de 1,5s, ainda está abaixo do tempo crítico e a equação a ser utilizada é a de Joukowsky:
ℎ =1318,83 ∙ 4,619,81 = 619,8
O valor obtido é quase 8 vezes superior a pressão nominal do sistema.
4.5 Método de Johnson
Como pode ser observado, o método de Johnson calcula o golpe por apenas uma equação e não leva em consideração o material do tubo e nem o tipo de fluído. Substituindo os valores do problema na equação 6, chega-se a:
ℎ =2 ∙ 49,81800 ∙ 3,49 ∙ 80 ∙ 1,5$800 ∙ 3,49 + 4 ∙ 9,81∙ 80∙ 1,5 + 800∙ 3,49%
= 519,33
Como se pode notar o valor de pico do golpe é de aproximadamente 6,5 vezes a pressão em regime estacionário.
4.6 Método das Características
O software foi desenvolvido na linguagem Delphi, pois esse cria uma interface bastante amigável com o usuário, roda em sistema Windows, e consegue criar resultados gráficos com bastante facilidade e eficiência.
O programa permite que o usuário escolha o tipo de condição à montante, se bomba ou reservatório, e para reservatório podemos calcular o golpe em tubulações simples e complexas. Os resultados obtidos são trazidos em forma gráfica e numérica, o usuário pode escolher o número de divisões que será feita na tubulação e o gráfico do transiente na seção desejada. O programa traz também o valor máximo do golpe, que permitirá realizar as comparações com os outros métodos.
O equacionamento utilizado pelo programa é o apresentado na seção 3.3 deste trabalho, e foi baseado em rotinas desenvolvidas por Wylie e Street (1993).
A figura 4 mostra a tela inicial do programa. Esta é a sua principal tela e nela serão feitas as seleções dos tipos de sistema, tipo de tubulação, fluído e condições de contorno. O programa é autoexplicativo, basta o usuário preencher corretamente com os dados solicitados
e clicar no botão “Calcular” que aparecerá quando todos os dados já estiverem preenchidos.
Quando clicado nesse botão, uma nova janela irá se abrir com os resultados. Os resultados como já dito anteriormente vem expresso em um gráfico e em um campo ao lado do gráfico é possível observar o valor máximo do transiente. A figura 6 mostra esta tela do software.
Figura 4 – Janela inicial do software.
Fonte: (Próprio Autor)
Figura 5 – Programa com os dados preenchidos para o problema da seção 4.1.
Figura 6 – Janela de resultados gráfico e numérico.
Fonte: (Próprio Autor)
Figura 7 – Programa com os dados preenchidos para problema da seção 4.3.
A figura 7 mostra o programa com os valores preenchidos para motobomba com válvula de retenção em sua saída.
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Nesta seção, serão ilustrados os resultados obtidos em cada método e serão realizadas as comparações e as discussões sobre as considerações feitas por cada método.
5.1 Reservatório em Tubulação Simples
Primeiramente para o reservatório em tubulação simples com válvula à jusante, os resultados obtidos foram:
Tabela 1– Resultado dos cálculos para reservatório em tubulação simples com reservatório.
MÉTODO PRESSÃO MÁXIMA NO TRANSIENTE
Michaud, Joukowsky, Allievi 181,6 mca Johnson 519,3 mca Características 212,6 mca
Observando a tabela verifica-se que o método de Johnson leva a previsão de elevação de pressão superior aos outros métodos. Este tipo de comportamento deve ser esperado pois este método considera a pior situação na qual tanto o fluido como o tubo são rígidos.
A partir da análise dos resultados, e observação da figura 6, que ilustra o gráfico de resultado para o método das características, podemos concluir dos outros dois métodos que se mostraram eficientes para descrever o transiente. Ambos os métodos levam em consideração as perdas por perda de carga na tubulação, porém o método das características vai além levando em conta também a elasticidade do fluído, fator esse que levou a um resultado intermediário.
5.2 Reservatório em Tubulação Complexa ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE
Para essa situação o método de Johnson apresentado na seção 3.2 não se aplica, uma vez que seu uso é restrito apenas à tubulação simples. Nesse caso será calculado manualmente pelo método de Allievi conforme visto na seção 3.1 e calculado pelo método das características e colocado abaixo às figuras de 8 a 10 com os resultados gráficos obtidos pelo software para o caso de tubulação complexa da seção 4.2.
resultado o mais próximo do real possível, ao contrário do outro método que transforma toda a tubulação em uma tubulação equivalente e as mudanças de material são desprezadas.
Abaixo na tabela 2 estão os valores obtidos para ambos os métodos:
Tabela 2 – Resultados obtidos para a tubulação complexa em série com reservatório.
MÉTODO PRESSÃO MÁXIMA NO TRANSIENTE
Michaud, Joukowsky, Allievi 619,8 mca
Características
Tubulação 1 – 161,9 mca Tubulação 2 – 114,7 mca Tubulação 3 – 157,4 mca
Figura 8 – Resultado gráfico da primeira parte da tubulação complexa da seção 4.2.
Figura 9 – Resultado gráfico da segunda parte da tubulação complexa da seção 4.2.
Fonte: (Próprio Autor)
Figura 10 – Resultado gráfico da terceira parte da tubulação complexa da seção 4.2.
As análises gráficas mostram como é diferente o comportamento da propagação da onda dentro de cada tipo de tubo, inclusive pelo amortecimento. Para o segundo tubo que é de borracha, o amortecimento é bem pequeno e os períodos são bem curtos. Já para o aço e o ferro fundido as curvas são semelhantes, e inclusive os resultados de pressão máxima estão bem próximos.
Comparando agora os dois métodos, observamos claramente a grande diferença entre os valores obtidos. Como para o primeiro método foram feitas simplificações, essas deixam de levar em conta fatores relevantes ao cálculo e que traduzem no resultado uma variação muito grande como a encontrada. Ainda assim pode-se considerar que para situações extremas, no tempo em que não existiam os recursos computacionais de hoje, que o método de Allievi era bastante eficaz, pois conseguia trazer um resultado palpável e dar uma noção da ordem de grandeza do fenômeno.
ASSOCIAÇÃO EM PARALELO
Para se demonstrar todos os recursos do programa, foi feita uma simulação para tubulação em paralelo, saindo de uma caixa de querosene a altura H = 150m. Saem dessa caixa duas tubulações em paralelo, uma de concreto, com comprimento L = 200m, diâmetro D = 250mm, espessura e = 30mm e fator de fricção f = 0,06, e outra de polietileno, de dimensões: L = 50m, D = 100mm, e = 8 e f = 0,012. O resultado obtido é visto nas figuras 11 para o concreto e figura 12 para o polietileno.
Figura 11 – Gráfico da primeira parte de associação de tubulação em paralelo, tubo concreto.
Figura 12 – Gráfico da segunda parte de associação de tubulação em paralelo, tubo polietileno.
Fonte: (Próprio Autor)
Tabela 3 – Resultados obtidos para a tubulação complexa em paralelo com reservatório.
MÉTODO PRESSÃO MÁXIMA NO TRANSIENTE
Características Tubulação 1 – 333,3 mca Tubulação 2 – 194,8 mca
Não são feitas comparações nesse problema, pois os outros métodos não permitem associação de tubulação em paralelo.
5.3 Bomba com Válvula de Retenção na Saída
É calculado nessa seção o problema proposto na seção 4.3 do trabalho.
Figura 13 – Gráfico motobomba com válvula de retenção na saída.
Fonte: (Próprio Autor)
A figura 13 mostra o resultado de uma falha no fornecimento de energia elétrica quando uma motobomba está em funcionamento. Ao contrário do estudado em reservatórios, demora um tempo maior até que ocorra o fenômeno, esse fato se deve ao movimento causado pela bomba ao fluído, uma vez que quando essa é desligada leva certo tempo até que esta pare, fazendo assim com que a pressão diminua gradativamente. Nesse caso o golpe se dá em um determinado momento entre o início da redução da velocidade da bomba e a sua total parada, a válvula de retenção que fica logo em sua saída se fecha, sendo essa manobra é bastante rápida e causa assim uma interrupção brusca na movimentação do fluído originando uma onda de pressão.
observa-se que o fluxo está quaobserva-se zerado e é nesobserva-se momento que ocorre o fechamento da válvula, momento o qual a pressão começa a se elevar devido a esse fechamento. A válvula se fecha quase totalmente no tempo de 1,5 segundos, criando uma onda de pressão, porém por não estar totalmente fechada ainda devido a uma movimentação da bomba e fluído, essa pressão não atinge um máximo, cresce levemente até que a vazão cesse e a válvula esteja totalmente fechada. Nesse momento há o maior pico de pressão e a partir desse instante o fenômeno transitório está ocorrendo e ondas de pressão geradas se propagam até que sejam totalmente absorvidas pela própria compressibilidade do fluído, dilatação e atrito da tubulação.
A tabela 4, mostra o resultado obtido para motobomba calculado a partir do método das características.
Tabela 4 – Resultado obtido para a tubulação simples com bomba d’água.
MÉTODO PRESSÃO MÁXIMA NO TRANSIENTE
6. CONCLUSÃO
O objetivo proposto no início do desenvolvimento desse trabalho foi atingido, tendo sido desenvolvido um procedimento numérico, com interface amigável, para simulação de transientes hidráulicos em sistemas simples.
De uma maneira geral os resultados alcançados foram satisfatórios ficando evidenciada que a utilização do método das características é bastante adequada à solução de problemas de transientes hidráulicos, e também porque o método de Joukowski, Michaud e Allievi, apesar de suas restrições, é ainda bastante utilizado para sistemas simples.
Analisando os resultados obtidos em cada etapa, o método das características sempre se mostrou eficaz e atingiu os resultados de maneira rápida e objetiva. Para tubulações simples, o método das características e o método de Joukowski e Allievi mostraram valores bem próximos, enquanto o método de Johnson trouxe um resultado quase três vezes superior devido a não considerar dissipações por atrito e elasticidade e por ser um método que não busca um resultado para o golpe e sim um valor máximo que esse pode atingir. O método desenvolvido por Joukowski, Allievi e Michaud é ainda utilizado por ser de fácil aplicação e trazer resultados eficazes na previsão de valores para a sobrepressão. A vantagem do método das características é a possibilidade de se ter resultados mais detalhados com informações ao longo de toda a tubulação.
Para tubulações complexas associadas em série, o método das características se mostra mais adequado para a solução do problema visto que para essa situação o método de Allievi e Joukowski necessita de suposições não tão realistas para poder ser aplicado e estas considerações comprometem o resultado final.
Para as tubulações complexas em paralelo e sistemas de bombeamento com bomba
d’agua e com válvula de retenção, apenas o método das características foi capaz de calcular o
transiente hidráulico, mostrando sua grande eficácia em resolver os problemas nos sistemas mais complexos.
Para evidenciar as vantagens e desvantagens de cada método, na sequência a tabela 5 faz comparações entre os mesmos.
Tabela 5 – Tabela comparativa entre os métodos.
MÉTODO VANTAGENS DESVANTAGENS
Michaud, Joukowski, Allievi
9 Boas aproximações para tubulações simples;
9 Simples de se calcular;
9 Dimensão do golpe em
tubulações complexas em série.
9 Restrito a associações de tubulação de mesmo material e em série;
9 Restrição para as condições de contorno;
9 Considerações para resolução do problema.
Teoria Inelástica (Johnson) 9 Método direto;
9 Dimensão do Golpe.
9 Considerações para resolução do problema;
9 Não traz bons resultados, apenas estabelece um limite máximo;
9 Condições de contorno restritas.
Características
9 Flexibilidade para as condições de contorno;
9 Possibilidade de cálculo em qualquer seção da tubulação;
9 Gráfico do transiente em função do tempo e local;
9 Não faz aproximações.
9 Método iterativo, cálculo manual trabalhoso;
REFERÊNCIAS
CAMARGO, L. A. O golpe de aríete em condutos. Análise pelo método das características. In: XVI Encontro de Engenheiros de Assistência Técnica Tubos e Conexões Tigre S.A., 1991, Joinville-SC.
CARVALHO, A. L. B. Interação fluído-estrutura sob ação de transiente hidráulico. Universidade Federal Fluminense, Niterói-RJ, 2011.
COSTA, T.; SANTOS, D.; LANÇA R. Choque Hidráulico (Golpe de Aríete). Universidade do Algarve, Faro-Portugal, 2001.
DECKERT, M. D.; MENEZES, M. M. Estudo comparativo sobre golpe de aríete em tubulações de pequenas centrais hidrelétricas. Unoesc & Ciência – ACET. Joaçaba, v. 4, n. 2, p. 217-228, jul./dez. 2013.
IZQUIERDO, J.; IGLESIAS P. L. Mathematical Modelling of Hydraulic Transient in Simple Systems. Mathematical and Computer Modelling. Valencia, Spain, n. 35, p. 801-812, 2002.
MACINTYRE, A. J. Máquinas motrizes hidráulicas. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1983. 649 p.
MCINTIRE, A. J., Bombas e Instalações de Bombeamento. Ed. Guanabara Dois, 1980.
ANEXO A
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
TABELA A-1 – Módulo de Young e Coeficiente de Poisson para materiais de tubulação.
Modulo de Elasticidade Coeficiente de Poisson
Material E (GPa) μ
Aço 207,0 0,30
Alumínio 68,9 0,35
Borracha 0,1 – 1,04 0,46 – 0,49
Bronze 15,0
Cobre 18,0 0,37
Concreto 2,9 – 4,35 0,15
Ferro Fundido 22,0 0,27
Polietileno 0,1 0,46
Poliestireno 0,52 0,353
PVC 0,35 – 0,5 0,46
Fonte: (Wylie e Street, 1993)
Tabela A-2 – Propriedades de vários líquidos a 25ºC e Pressão Atmosférica.
Densidade Módulo de Elasticidade
Líquido ρ (kg/m³) K (GPa)
Água 997 2,24
Água do Mar 1025 2,42
Álcool 785 1,03
Benzeno 874 1,47
Glicerina 1259 4,59
Mercúrio 13593 28,58
Óleo de Mamona 956 2,08
Querosene 820 1,43
Fonte: (Wylie e Street, 1993)
Tabela A-3 – Dimensões Básicas dos Tubos de Água Fria – Soldável – NBR5648.
DN – Diâmetro Nominal
DE – Diâmetro Externo
Diâmetro Externo Médio
Espessura
15 20 20,0 1,5
20 25 25,0 1,7
25 32 32,0 2,1
32 40 40,0 2,4
40 50 50,0 3,0
50 60 60,0 3,3
65 75 75,0 4,2
75 85 85,0 4,7
100 110 110,0 6,1
