Stresses inside a roll in case of higher belt tension Напряжения в рулоне при дополнительном натяжении ленты

УДК 531

В.И. Антонов

НАПРЯЖЕНИЯ В РУЛОНЕ ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ

НАТЯЖЕНИИ ЛЕНТЫ

Рассмотрена задача определения напряжений, возникающих в сформирован-ном рулоне при дополнительсформирован-ном натяжении ленты, образующей рулон. Замечено, что если к свободному концу ленты, образующей рулон, приложить некоторую силу, то наружные слои приходят в движение и, вытягиваясь, несколько проскальзыва-ют по нижележащим слоям. Поверхность проскальзывания постепенно смещается к центру рулона и либо достигает поверхности сердечника, либо останавливает-ся на некотором удалении от него. Глубина проникновения зависит от начальных напряжений, величины приложенной силы и свойств материала ленты. Таким об-разом, образуются две зоны: наружная, в которой происходит скольжение ленты, и внутренняя, в которой относительного смещения слоев не происходит, но слои уплотняются под действием дополнительного давления на границах зоны. При не-которых значениях определяющих параметров вблизи поверхности сердечника возникает третья зона, которая, как и наружная, является зоной скольжения. Здесь перераспределение напряжений происходит как за счет относительного смещения слоев, так и за счет дополнительного давления со стороны наружной части руло-на. Получено аналитическое решение поставленной задачи в предположении, что сформированный рулон представляет собой изотропный однородный цилиндр.

Ключевые слова: натяжение ленты, скольжение ленты, изотропный однород-ный цилиндр, напряжение в рулоне.

Рассмотрим цилиндрическое тело, образованное намоткой с натягом не-которой ленты на цилиндрический сердечник — рулон. Задача об определе-нии начального напряженно-деформированного состояния, возникающего при формировании рулона, рассмотрена в [1, 2]. Задача о намотке цилиндра при-надлежит классу так называемых задач для растущих тел [3—10]. Среди задач о догрузке сформированного рулона представляет интерес задача о его затяж-ке. Замечено, что если к свободному концу ленты, образующей рулон, прило-жить некоторую силу, то наружные слои приходят в движение и, вытягиваясь, несколько проскальзывают по нижележащим слоям. Поверхность проскальзы-вания постепенно смещается к центру рулона и либо достигает поверхности сердечника, либо останавливается на некотором удалении от него. Глубина проникновения зависит от начальных напряжений, величины приложенной силы и свойств материала ленты. Таким образом, образуются две зоны: наруж-ная, в которой происходит скольжение ленты, и внутренняя, в которой относи-тельного смещения слоев не происходит, но слои уплотняются под действием дополнительного давления на границах зоны. При некоторых значениях опре-деляющих параметров вблизи поверхности сердечника возникает третья зона, которая, как и наружная, является зоной скольжения. Здесь перераспределение напряжений происходит как за счет относительного смещения слоев, так и за счет дополнительного давления со стороны наружной части рулона.

пределах одного слоя. Основная идея решения состоит в том, что дополни-тельные напряжения, возникающие при относительном проскальзывании слоев, интерпретируются как напряжения, возникающие при формировании рулона при некотором подлежащем определению напряжении натяга s_T.

Дополнительные напряжения, возникающие за счет приращения давления на поверхностях раздела зон, могут быть определены из решения задачи Ламе для соответствующего цилиндра.

Существенную роль в рассматриваемой задаче играют касательные напря-жения srθ, для определения которых используем условие равновесия

наруж-ной части спирали, образованнаруж-ной лентой:

2 *

θ θ

2πr lσ_r +hlrσ =Tr , (1)

где h — толщина слоя; l — высота рулона; *

r — наружный радиус рулона;

;

 o

T = T +T T_o — сила натяжения ленты при формировании рулона;

T



— сила натяжения ленты при затяжке рулона.

Под σrθ понимаем среднее по кольцу радиуса r касательное на-пряжение и полагаем, что в преде-лах одного слоя нормальная и тан-генциальная составляющие напря-жения слабо меняются, так что они могут рассматриваться как функции только координаты r.

Касательное напряжение воз-никает благодаря силе трения. В зоне отсутствия относительного смещения слоев сила трения мень-ше предельной и определяется из

уравнения (1). В зонах, где относительное скольжение слоев имело место, сила трения равна предельному значению:

θ

σ = σ = – σ

r f r f r, (2)

где f — коэффициент трения скольжения между слоями рулона. Вводя безразмерную координату, на основании (1) и (2) получаем

−

(

θ r

)

=

M (3)

в зонах, где происходило относительное скольжение слоев, и

(

θ

)

– ρ σ – λρσ_r ≤0

M (4)

в зонах, где относительного скольжения слоев не происходило. Здесь обозначено:

*

2 ρ

; π ; .

ρ = λ = o =

o

r f T

r

M

r h hl

Ограничимся случаем упругого изотропного однородного рулона, сформи-рованного при постоянном напряжении натяга σo = const.

T

* ρ 2 2 2 ρ ρ

σ σ σ ;

ρ +

= −

_∫

_%

I o I

r r T

c xdx

x + c (5)

* ρ 2

θ θ 2 2

ρ ρ

σ σ σ σ ,

ρ −

= +_% −

_∫

_%

I o I I

T T

c xdx

x + c (6)

где σ_%

T — напряжение дополнительного натяга, соответствующее силе T; по-стоянная c определяется через упругие постоянные материала рулона и сер-дечника.

Во второй (внутренней) зоне, 1≤ ≤ρ ρ_T , дополнительные напряжения воз-никают только за счет радиального сжатия внутренней части рулона некото-рым давлением 

T

P , равномерно распределенным по поверхности раздела зон, ρ=ρ_T. Эти дополнительные напряжения определяются из решения задачи о радиальном сжатии составного цилиндра, образованного сердечником и вну-тренней (застойной) зоной рулона. В рассматриваемом случае упругого изо-тропного однородного рулона для внутренней зоны имеем:

2 2 II 0 2 2 ρ ρ

σ σ ;

ρ ρ + = − + % T T r r T P c c 2 2 II

θ θ 2 2

ρ ρ

σ σ ,

ρ ρ − = −

+ %

o T T

T P c

c (7)

причем

( )

2 ρ*

I I

2 2

ρ

ρ

σ ρ σ .

ρ + = − = ⋅

_∫

% _{% %} T T

T r T T

T

c xdx

P

x + c (8)

Координату поверхности раздела зон ρ_T определим, учитывая, что во всей внутренней зоне сила трения между слоями меньше максимально возможной. Подставляя (7) в (4), получаем

(

)

(

2

) (

2

)

2

θ 2

ρ

ρ σ – λρσ λρ ρ ρ .

ρ   − ≤_ + − − _ + % T T r T P

M c c

c (9)

Если неравенство (9) не выполняется ни в одной точке внутри рулона, то это означает, что первая зона (зона затяжки) охватывает все тело рулона. При некоторых значениях определяющих параметров вблизи поверхности сердеч-ника возсердеч-никает третья зона, которая, так же как и первая, является зоной про-скальзывания. В этом случае неравенство (9) перестает выполняться, начиная с некоторого значения ρ_N <ρ_T.

При наличии трех зон, напряжения в первой зоне (наружной зоне сколь-жения) определяются по формулам (5) и (6). Дополнительные напряжения во второй (средней) зоне возникают из-за равномерного радиального сжатия дав-лениями 

N

P и P_T, распределенными по границам зоны:

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2

II 0

2 2 2

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

σ σ ;

ρ ρ ρ

− − −

= +

−

% %

T N N N T T

r r T N P P (10)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2

II 0

θ θ 2 2 2

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

σ σ .

ρ ρ ρ

+ − +

= +

−

% %

T N N N T T

T N

P P

В третьей (внутренней) зоне дополнительные напряжения возникают как за счет уплотнения слоев при их относительном скольжении, так и за счет сжа-тия внутренней зоны давлением 

N

c ρ xdx 2 2

III

2 2 2

ρ

ρ ρ

σ σ σ ;

ρ ρ   + = −  +  +   

∫

 % % N

o III N N

r r T

N P

x + c c (11)

σ = σ + σ –

ρ 2

2

III III III

θ θ 2 2 2

ρ

ρ ρ – c

× σ + .

ρ ρ +

      

∫

 % % % N

o N N

T T

N P xdx

x + c c

Для определения функции дополнительного напряжения натяга σ%T

( )

ρ используем уравнение (3), которое выполняется в зонах проскальзывания. Подставляя значения σ_r

( )

ρ и σθ

( )

ρ в уравнение (3), получаем

( ) ( )

ρz−A ρ J ρ =M; (12)

где

( )

λρ ρ

(

2

) (

ρ2

)

σ σ ; ρ ,

ρ

+ − −

= o +% =

T T

c c

z A

причем, для наружной зоны скольжения

( )

(

)

* ρ

I I

2 ρ

ρ =

∫

σo +σ%

T T

xdx J

x + c,

а для внутренней

( )

(

)

*

2

III III

2 2

ρ

ρ σ σ .

ρ

= + −

+

∫

o % N %N

T T

N P xdx

J

x + c c

ρ

ρ

Уравнение (12) представляет собой интегральное уравнение типа Вольтерры с вырожденным ядром. Не останавливаясь подробно на решении уравнения (12), приведем полученное решение.

Дополнительное напряжение натяга в наружной зоне скольжения равно

( )

_{( )}

(

)

* ρ I 2 ρ

ρ exp –λ

1

σ exp λρ .

ρ ρ   = _ + _ +   

∫

 %T

A x dx

M

c x (13)

Для дополнительного напряжения натяга во внутренней зоне скольжения получаем

( )

_{( )}

₍

₎

( )

_{( )}

(

)

* III 2 ρ 2 ρ ρ

σ σ ρ ρ exp –λ ρ – ρ

ρ

ρ exp –λ

1

exp λρ σ .

ρ ρ   = _ − _ _  +_ +   + _ + _− +   

∫

 % % o

T r N N N N

o T A

P c

A x dx

M

c x

(14)

Заметим, что функция I

( )

σ%T ρ не зависит от числа образовавшихся зон и

положения их границ. Это обстоятельство оказывается удобным для практи-ческих целей.

Библиографический список

1. Антонов В.И. Начальные напряжения в анизотропном неоднородном цилиндре, образованном намоткой // Вестник МГСУ. 2010. № 4. Т. 1. С. 29—31.

2. Антонов В.И. Метод определения начальных напряжений в рулоне при нели-нейной зависимости между напряжениями и деформациями // Вестник МГСУ. 2010. № 4. Т. 3. С. 177—180.

4. Механические характеристики органо- и углепластиковых труб, изготовлен-ных методом перекрестной намотки / К.П. Алексеев, Р.А. Каюмов, И.Г. Терегулов, И.Х. Фахрутдинов // Механика композиционных материалов и конструкций. 1998. Т. 4. № 4. С. 3—21.

5. Криканов А.А. Расчет напряжений в композитной оболочке вращения, образо-ванной намоткой ленты конечной ширины // Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. Т. 8. № 2. С. 151—160.

6. Абдулхаков К.А., Котляр В.М. Исследование влияния ширины ленты на проч-ность композитных оболочек вращения в зависимости от ориентации ленты при на-мотке // Вестник Казанского технологического университета. 2011. № 8. С. 150—153.

7. Битюков Ю.И. О параметрах, характеризующих схему укладки ленты в про-цессе намотки // Вестник Московского авиационного института. 2009. Т. 16. № 5. С. 274—281.

8. Lim H., Iwasa Y., Smith J.L. Normal zone propagation in cryocooler-cooled NB3SN tape-wound magnet. Cryogenics. 1995, vol. 35, no. 6, рр. 367—373.

9. Snigirev O.V., Maslennikov Yu.V., Vitale S., Cerdonio M., Prodi G.A. Thermal magnetic noise in a strip wound crystalline ferromagnetic core at 4.2 K. Journal of Applied Physics. 1996, vol. 79, no. 2, pр. 960—962.

10. Crockett J., Foszcz J.L. Tensioning synchronous belts. Plant Engineering. 1996, vol. 50, no. 10, pp. 90—91.

Поступила в редакцию в июне 2013 г.

О б а в т о р е : Антонов Виктор Иванович — кандидат технических наук,

до-цент, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО

«Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495)183-24-01, theormech@mgsu.ru.

Д л я ц и т и р о в а н и я : Антонов В.И. Напряжения в рулоне при дополнительном натяжении ленты // Вестник МГСУ. 2013. № 10. С. 24—29.

V.I. Antonov

STRESSES INSIDE A ROLL IN CASE OF HIGHER BELT TENSION

The author considers the problem of stresses arising in the roll in case of higher tension value in the roll-forming belt. It is noticed, that if some force is applied to the loose end of the roll-forming belt, outer layers are set in motion — they stretch and slightly slip along lower layers. The slipping surface gradually shifts to the center of the roll and either reaches the surface of the core, or stops at some distance from it. The penetration depth depends on the initial tension, the intensity of the applied force and the belt mate-rial properties. Thus, the two zones are formed — the outer zone where the belt slides, and the inner zone, where no relative motion of layers is demonstrated, but where layers compress under a higher pressure produced on the zone boundaries. At some values of inluential parameters, the third zone appears near the core area, which is also a slip zone. Stress redistribution occurs here both due to the relative shift of layers, and to the higher pressure produced by the outer part of the roll. The analytical solution to the prob-lem is found assuming that the formed roll is a homogeneous isotropic cylinder.

Key words: tape tension, belt slip, homogeneous isotropic cylinder, tension

in-side a roll.

References

2. Antonov V.I. Metod opredeleniya nachal'nykh napryazheniy v rulone pri nelineynoy zavisimosti mezhdu napryazheniyami i deformatsiyami [Method for Identiication of initial stresses in a Roll in Case of Nonlinear Dependence between Stresses and Deformations].

Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4, vol. 3, pp. 177—180.

3. Kutsubina N.V., Udintseva S.N. Matematicheskoe modelirovanie protsessov namotki rulonov bumagi na prodol'no-rezatel'nykh stankakh [Mathematical Modeling of Processes of Paper Roll winding Using longitudinal cutting machines] Izvestiya VUZov. Lesnoy zhurnal

[News of Higher Education Institutions. Forestry Magazine]. 2006, no. 1, pp. 89—94. 4. Alekseev K.P., Kayumov R.A., Teregulov I.G., Fakhrutdinov I.Kh. Mekhanicheskie kharakteristiki organo- i ugleplastikovykh trub, izgotovlennykh metodom perekrestnoy na-motki [Mechanical Characteristics of the Organoplastic and Carbon-Plastic Pipes Produced Using the Method of Cross Winding]. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsiy

[Mechanics of Composites and Structures]. 1998, no. 4, vol. 4, pp. 3—21.

5. Krikanov A.A. Raschet napryazheniy v kompozitnoy obolochke vrashcheniya, obra-zovannoy namotkoy lenty konechnoy shiriny [Analysis of Stresses Research inside a Com-posite Rotetional Shell Generated by the Winding of Finite Width Belt]. Mekhanika kompoz

-itsionnykh materialov i konstruktsiy [Mechanics of Composites and Structures]. 2002, no. 2, vol. 8, pp. 151—160.

6. Abdulkhakov K.A., Kotlyar V.M. Issledovanie vliyaniya shiriny lenty na prochnost' kom-pozitnykh obolochek vrashcheniya v zavisimosti ot orientatsii lenty pri namotke [Research into Inluence of Belt Width on the Strength of Composite Rotational Shells depending on the Positioning of the Belt in the Process of Winding]. Vestnik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta [Bulletin of Kazan Technological University]. 2011, no. 8, pp. 150—153.

7. Bityukov Yu.I. O parametrakh, kharakterizuyushchikh skhemu ukladki lenty v protsesse namotki [On Parameters Characterizing the Belt Laying Pattern in the Process of Winding].

Vestnik Moskovskogo aviatsionnogo instituta [Bulletin of the Moscow Aviation Institute]. 2009, no 5, vol. 16, pp. 274—281.

8. Lim H., Iwasa Y., Smith J.L. Normal zone propagation in Cryocooler-cooled NB3SN Tape-wound Magnet. Cryogenics. 1995, vol. 35, no. 6, pp. 367—373.

9. Snigirev O.V., Maslennikov Yu.V., Vitale S., Cerdonio M., Prodi G.A. Thermal magnetic noise in a strip wound crystalline ferromagnetic core at 4.2 K. Journal of Applied Physics. 1996, vol. 79, no. 2, pp. 960—962.

10. Crockett J., Foszcz J.L. Tensioning synchronous belts. Plant Engineering. 1996, vol. 50, no. 10, pp. 90—91.

A b o u t t h e a u t h o r : Antonov Viktor Ivanovich — Candidate of Technical Sciences,

As-sociate Professor, Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Mos

-cow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoye shosse, Moscow,

129337, Russian Federation; +7 (495) 183-24-01; theormech@mgsu.ru;