ВАРІАНТНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБ’ЄКТІВ МЕТОДОМ ПОЛІПАРАМЕТРИЗАЦІЇ

76

ПРОПЛЕМИ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

ВАРІАНТНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБ’ЄКТІВ

МЕТОДОМ ПОЛІПАРАМЕТРИЗАЦІЇ

УДК 004.925.8

ВАНІН Володимир Володимирович

д.т.н., професор, декан фізико-математичного факультету, завідувач кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки НТУУ «Київський політехнічний інститут».

Наукові інтереси: математичне та комп’ютерне моделювання об’єктів і процесів машинобудування.

ВІРЧЕНКО Галина Іванівна

здобувач кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки НТУУ «Київський політехнічний інститут». Наукові інтереси: варіантне геометричне моделювання технічних об’єктів.

ВІРЧЕНКО Сергій Геннадійович

магістрант кафедри автоматизованого проектування енергетичних процесів і систем НТУУ «Київський політехнічний інститут».

Наукові інтереси: автоматизоване проектування технічних об’єктів.

ВСТУП

Нині для комп’ютерного моделювання багатьох техніч-них об’єктів у якості базових складових широко використо-вуються різноманітні аналітичні поверхні в параметричній формі [1]. Узагальненням даного напрямку є напрацьовані на кафедрі нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут” структурно-параметричний [2] і комбінаторно-варіаційний [3] підходи до автоматизованого варіантного формоутворення. Зазна-чена методологія застосовується також під час багатовимірної візуалізації [4] та структурно-параметричної оптимізації виробів [5]. Зараз актуальними в галузі окресле-ної наукової тематики постають питання варіантокресле-ної динаміч-ної побудови геометричних фігур, зокрема, для забезпечен-ня ефективного комп’ютерного моделюванзабезпечен-ня технологічних процесів виготовлення промислової продукції.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

Метою даної публікації є подання запропонованого авторами методу поліпараметризації для варіантного динамічного формоутворення геометричних об’єктів,

який спирається на структурно-параметричний і комбі-наторно-варіаційний підходи та є одним із напрямків їх подальшого розвитку. При цьому головне завдання полягає у викладенні не тільки загального опису поставленої задачі, розроблених способів та прийомів її розв’язання, але й наведення конкретних прикладів їх практичної реалізації. Зазначена методика дозволяє достатньо ґрунтовно висвітлити сутність отриманих нових науково-прикладних результатів.

ОСНОВНИЙ МАТЕРІАЛ

Пля ілюстрації методу поліпараметризації застосо-вуватимемо такі фігури як точки, лінії, поверхні та тіла, що знаходяться у тривимірному просторі.

За наведених умов положення довільної точки від-носно деякої системи координат визначається упоряд-кованою множиною, тобто радіус-вектором із трьома компонентами

), , , (uv w



r (1)

77

# 16 (2014)

Очевидно, що в залежності від використовуваних систем координат (декартової, циліндричної, сферичної і т. д.) значення компонентів радіус-вектора r у формулі (1) для певної точки можуть змінюватися. Наприклад, для системи координат:

– декартової

, ,

, v y w z

x

u   (2)

де x, y, z – відстані; – циліндричної

, ,

, v w z

u   ₍₃₎

де , z – відстані,  – кут;

– сферичної

, ,

,  

  

 v w

u (4)

де – відстань,  , – кути.

Співвідношення між параметрами положення в різ-них системах координат є відомими й наведені в літе-ратурних джерелах. Варіантні дефініції (2) … (4) роз-ташування точки у тривимірному просторі демонстру-ють застосування методу поліпараметризації для мо-делювання цієї фігури.

Поширимо розглянуті прийоми на лінії у векторній формі

), (u r

r (5)

де u[0, 1] – проміжок змінювання параметра.

Примітка. Використання у формулі (5) одиничного відрізка для значень u не обмежує її загального харак-теру, оскільки залежність r(t), де параметр t[tmin, tmax], визначається як r(t(u)), де u[0, 1], на підставі виразу

t(u)=(1-u)tmin+utmax. Не будемо також наголошувати на можливості подання співвідношення (5) у вигляді

r=r(u)=r(f(t)), де f – деяка аналітична функція, оскільки головною ціллю даної публікації є акцентування уваги на структурних аспектах запропонованого методу, тобто застосування в ньому певної множини ділянок параметризації та їх дефініції. Зазначене вище повною мірою надалі стосується також поверхонь і тіл, які ана-лізуються.

За основу для класифікації досліджуваних способів варіантного формоутворення оберемо прийоми, що систематизовані згідно з кортежем наступних його властивостей:

, ) (В

В 3

1

i

 (6)

де В1=(неперервність), В2=(напрям), В3=(характер ділянок параметризації).

Нехай елементи множини (6) мають вигляд

. ) ,

( ) В , (В В

), ,

( ) В , (В В

), ,

( ) В , (В В

2 3 1 3 3

2 2 1 2 2

2 1 1 1 1

я я

я я

 

 

 

(7)

Тоді, на підставі кортежів (7), окреслені способи мо-делювання визначаються декартовим добутком

, ) ( В В

В 8

1 3 2

1   i

 (8)

де С1=(формоутворення неперервне однонаправле-не зі сталими ділянками параметризації),

С2=(формоутворення неперервне однонаправле-не зі змінними ділянками параметризації),

С3=(формоутворення неперервне багатонаправ-лене зі сталими ділянками параметризації),

С4=(формоутворення неперервне багатонаправ-лене зі змінними ділянками параметризації),

С5=(формоутворення дискретне однонаправлене зі сталими ділянками параметризації),

С6=(формоутворення дискретне однонаправлене зі змінними ділянками параметризації),

С7=(формоутворення дискретне багатонаправ-лене зі сталими ділянками параметризації),

С8=(формоутворення дискретне багатонаправ-лене зі змінними ділянками параметризації).

Проаналізуємо кілька прикладів.

Відповідно до виразів (2) та (5) у декартовій системі координат прямолінійний відрізок із кінцями в точках

P0(x0, y0, z0) і P1(x1, y1, z1) подамо як

]. 1 , 0 [ , )

1 ( )

(u  u P0uP1 u

r (9)

Пля варіантної динамічної побудови цієї фігури за-стосуємо деяку множину ділянок параметризації

. ) Д (

Д Д

1

N i

 (10)

Тоді, на підставі співвідношень (8) … (10), можна використати для:

 способу С1 – ділянки Пi=(ui[(i-1)/Nд, i/Nд]),

78

ПРОПЛЕМИ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

 способу С2 – ділянки Пi=(ui[

L m

i

m



,

L m i

i

m



1 1) -(

]), де



 

 N

m m N

L

1 1)

-( ;

 способу С3 – ділянки Пi=(ui[(<i/2>-1)/Nд,

<i/2>/Nд]) при непарних i, ділянки Пi=(ui[(N

д-<i/2>+1)/Nд, (Nд-<i/2>)/Nд]) при парних i, де Nд=2m,

mN, < > – округлення ненатурального числа до най-ближчого більшого натурального;

 способу С5 – ділянки Пi=(ui[2(i-1)/Nд, (2i-1)/Nд]),

де i=1…[(Nд+1)/2];

 способу С6 – ділянки Пi=(ui[

L m

i

m





1 2

1 1) -(

,

L m i

i

m



 

 2 1

1 1) -( 1 2

]), де



 

 N

m m N

L

1 1)

-( ,

i=1…[(Nд+1)/2];

 і т. д.

З наведених вище прикладів видно, що для способу С1 застосовано сталі ділянки параметризації з

величи-нами, які дорівнюють 1/Nд; у способі С2 кожна наступна

ділянка збільшується, порівняно з попередньою, на довжину першої; для способу С3 побудови здійснюються

почергово в напрямах із різних кінців відрізка й завер-шуються в його середині; у способах С5 та С6 ділянки для

візуалізації відрізка використовуються через одну, створюючи відповідну дискретну (штрихову) лінію.

За аналогією реалізується поліпараметричне моде-лювання й інших кривих вигляду (5), оскільки останні є топологічно еквівалентними проаналізованому відріз-ку прямої.

Поширимо викладені способи і прийоми запропо-нованого геометричного методу на динамічну побудо-ву поверхонь у векторній формі

), , (u v

r

r (11)

де u[0, 1], [0, 1] – проміжки змінювання па-раметрів.

Співвідношення (11) можна розглядати як топологічне відображення у тривимірний простір плос-кого одиничного квадрата зі сторонами u та , тобто

таке, що конкретній парі значень (ui, i) даної фігури

відповідає певна точка Pi досліджуваної поверхні,

на-приклад, із декартовими координатами xi, yi, zi. На

підставі цього подамо далі деякі варіанти поліпарамет-ризації зазначеного квадрата.

Шляхом узагальнення виразу (10) одержуємо

, ) Д ( )

Д ( )

Д (

Д Д Д Д Д Д

1

1 ,

1 , 1 ,

N n N N n N N j

i u v  u v 

  (12)

де Nдu, Nдv – кількість ділянок параметризації

вздовж параметрів u та .

Згідно з формулами (8), (11) та (12) можна застосу-вати для:

 способу С1 – ділянки Пi,j=(ui[(i-1)/Nдu, i/Nдu],

vj[(j-1)/Nдv, j/Nдv]);

 способу С2 – ділянки Пi,j=(ui[ u i

m

L m



1 1) -(

,

u i

m

L m

i







1 1) -(

], vj[

v j

m

L m



1 1) -(

,

v j

m

L m

j







1 1) -(

]), де



 u u

N

m

u N m

L

1 1)

-( ,



 

 v v

N

m

v N m

L

1 1)

-( ;

 способу С3 – ділянки Пi,1=(ui[(<i/2>-1)/Nдu,

<i/2>/Nдu], v1[0, 1]) при непарних i, ділянки

Пi,1=(ui[(Nдu-<i/2>+1)/Nдu, (Nдu-<i/2>)/Nдu], v1[0,

1]) при парних i, де Nдu=2m, mN, Nдv=1, < > –

округ-лення ненатурального числа до найближчого більшого натурального;

 способу С5 – ділянки Пi,j=(ui[2(i-1)/Nдu, (2i

-1)/Nдu], vj[2(j-1)/Nдv, (2j-1)/Nдv]), де

i=1…[(Nдu+1)/2], j=1…[(Nдv+1)/2];  тощо.

Аналогічним чином тіла, що визначені у векторній формі залежностями

), , , (uv w

r

r (13)

де u[0, 1], [0, 1], w[0, 1] – проміжки зміню-вання параметрів, можна розглядати як різноманітні топологічні відображення у тривимірному просторі одиничного куба з вимірами u,  та w. Тому далі наве-демо кілька прикладів поліпараметризації зазначеної фігури.

79

# 16 (2014)

1 1

1 1

Д Д

Д Д

u v w

u v w N ,N ,N i , j ,k , , 1

N N N N

n n

( )

( ) ⋅ ⋅ ( ) ,

= =

= = (14)

де Nдu, Nдv, Nдw – кількість ділянок параметризації

вздовж параметрів u, та w.

Відповідно до виразів (8), (13) та (14) можна вико-ристати для:

 способу С1 – ділянки Пi,j,k =(ui[(i-1)/Nдu, i/Nдu],

vj[(j-1)/Nдv, j/Nдv], wk[(k-1)/Nдw, k/Nдw]);

 способу С2 – ділянки Пi,j,k=(ui[ u i

m

L m



1 1) -(

,

u i

m

L m

i







1 1) -(

], vj[

v j

m

L m



1 1) -(

,

v j

m

L m

j







1 1) -(

], wk[

w k

m

L m



1 1) -(

,

w k

m

L m

k







1 1) -(

]), де



 

 u u

N

m

u N m

L

1 1)

-( ,



 v v

N

m

v N m

L

1 1)

-( ,



 

 w w

N

m

w N m

L

1 1)

-( ;

 способу С5 – ділянки П1,1,k=(u1[0, 1], v1[0, 1],

wk[2(k-1)/Nдw, (2k-1)/Nдw]), де k=1…[(Nдw+1)/2]];  і т.д.

Отже, в поданому вище матеріалі викладено базові теоретичні основи запропонованого методу поліпара-метричного варіантного динамічного формоутворення у тривимірному просторі таких об’єктів як точки, лінії, поверхні та тіла, наведено ряд прикладів практичного застосування розроблених способів і прийомів,

обґрун-товано їх інваріантний характер щодо геометричного моделювання конкретних фігур.

ВИСНОВКИ

Під час комп’ютерного моделювання багатьох тех-нічних виробів, із метою їх комплексної оптимізації, нині широко використовуються різноманітні спеціалі-зовані методології, зокрема, структурно-параметричний та комбінаторно-варіаційний підходи до формоутворення, що напрацьовані школою прикладної геометрії Національного технічного універ-ситету України «Київський політехнічний інститут».

Наукова новизна даної публікації полягає в розвит-ку зазначеного напрямрозвит-ку стосовно варіантного динамічного геометричного моделювання таких об’єктів як точки, лінії, поверхні та тіла. Виконані дослідження дозволи розробити достатньо універсаль-ний метод формоутворення, інваріантуніверсаль-ний до конкрет-них фігур тривимірного простору, що доволі просто реалізується комп’ютерними засобами та може бути включений, як окремий модуль, до складу відповідного прикладного програмного забезпечення.

Окреслена у статті тематика потребує проведення подальших наукових розвідок і впровадження отрима-них результатів у практику, наприклад, для візуалізації технологічних процесів виготовлення промислової продукції в середовищі систем автоматизованого проектування.

ЛІТЕРАТУРА:

1. Krivoshapko S.N. Enciklopedija analiticheskih poverhnostej [Tekst] /S.N. Krivoshapko, V.N. Ivanov. – M.: Knizhnyj dom «LIBROKOM», 2010. – 560 s.

2. Vanіn V.V. Strukturno-parametrichnі modelі jak zasіb іntegracії avtomatizovanogo proektuvannja suchasnogo lіtaka [Tekst] /V.V. Vanіn, G.A. Vіrchenko //Vіsnik Khersons'kogo nacіonal'nogo tehnіchnogo unіversitetu. – Vip.3 (50). – Kherson: KNTU, 2014. – S.571-574.

3. Vanin V.V. Primenenie kombinatorno-variacionnogo podhoda dlja komp'juternogo geometricheskogo modelirovanija inzhenernyh konstrukcij i sooruzhenij [Tekst] /V.V. Vanin, S.L. Shambina, V.G. Virchenko //Stroitel'naja mehanika inzhenernyh konstrukcij i sooruzhenij. – #4. – M.: RUDN, 2013. – S.3-8.

4. Vіrchenko G.A. Vikoristannja strukturno-parametrichnogo pіdhodu dlja komp’juternoї vіzualіzacії bagatovimіrnih geometrichnih ob’єktіv [Tekst] /G.A. Vіrchenko //Tehnіchna estetika і dizajn. – Vip.7. – K.: Vіpol, 2010. – S.68-73.

5. Tong L. Structural topology optimization with implicit design variable-optimality and algorithm [Text] /L. Tong, J. Lin //Finite Elements in Analysis and Design. – August 2011. – Vol. 47. – Issue 8. – P.922-932.