Relação entre dinâmica clássica e transição de fase quântica em modelos de campos médio

(1)

de Fase Quântia em Modelos de Campo

Médio.

Autor: Mauríio Reis e Silva Júnior

Orientadora: Professora Doutora Maria Carolina Nemes.

(2)

This work investigates Quantum Models used for desribing two interating

subsystems, with realonstantoupling. Speially,theSymmetriPairing

Model and Dike's Model for Superradiane are studied. The onept of

Quantum Phase Transition is understood as qualitative hanges present by

these models as a funtionof the ouplingonstant.

AssoiatedClassialDynamisareobtainedbyprojetionoftheQuantum

Hamiltonians on generalized Coeherent States. By this way, its possible to

(3)

EstetrabalhoestudaModelosQuântiosusadosnadesriçãode dois

sub-sistemasinteragentes, sendoesta interaçãodesritaporonstante de

aopla-mento real. Em espeío, são estudados o Modelo de Emparelhamentoe o

Modelode Dikepara Superradiânia. Ooneitode transição de fase

quân-tia éentendidoomomudanças qualitativasapresentadasporestesmodelos

omo função do parâmetrode aoplamento.

AsDinâmiasClássiassão assoiadas aosmodelosporprojeçãodas

Ha-miltonianas Quântias em Estados Coerentes generalizados. Proedendo de

tal forma, é possível observar o análogo da transição de fase quântia no

(4)

•

à Professora Maria Carolina Nemes que sempre me estimulou e até mesmo amparouquando foi neessário;

•

ao Mareloe aoAdélio, ompanheirosde disussão e de orientação;

•

à minha Avó, minha Mãee D. Apareidapeloapoioespiritual;

•

à Marlue pelaimpressão olorida;

(5)

(6)

1 Introdução 3

2 Ferramentas 5

2.1 Estados Coerentes . . . 5

2.1.1 Estados Coerentes doOsiladorHarmnio . . . 5

2.1.2 Estados Coerentes de Spin . . . 9

2.2 Distribuiçõesde Quasi-Probabilidade . . . 13

2.3 SistemasCompostos eEmaranhamento . . . 21

3 O Modelo de Emparelhamento 26 3.1 Omodelo . . . 26

3.2 Espetro e Transiçãode Fase Quântia . . . 27

3.3 Dinâmia Clássia. . . 29

3.4 Transição de Regime . . . 38

4 O Modelo de Dike para Super-radiânia 41 4.1 Omodelo . . . 41

4.2 Análogo Clássio . . . 47

5 Conlusão 53

A Soluções das equações de movimento da Hamiltoniana

(7)

Introdução

Quando a Meânia Quântia omeçou a surgir no iníio do séulo XX, a

Meânia Clássia estavamuito bem estabeleida. Portantofoi natural

ten-tar desrever quantidades quântias, omo por exemplo valores esperados

de operadores e espetros de energia, em termos de quantidades Clássias.

Surgiu então o que é hoje onheido omo a Velha Meânia Quântia

ujos erros e aertos nos onduziram à Teoria Quântia de E. Shrödinger

e W. Heisenberg. As fórmulas de quantização baseadas na Meânia

Clás-siamostraram-seomoaproximaçõesdaTeoriaQuântia,válidasquandoas

açõesdos sistemasestudados erambemmaioresqueaesala quântia típia

¯

h

. Esta maneirade obter olimite lássioou onheido omoo Prinípio de Correspondênia.

Um trabalho pioneiro no assunto é o método semilássio proposto por

Brilloin-EinsteineKellerque nos levaaregras de quantizaçãoparasistemas

integráveis. Outra ontribuiçãofundamental foi a função de Wigner [1℄que

nos fornee uma representação no espaço de fase de uma função de onda.

Comoaumentodointeressedaomunidadeientíanaáreadesistemas

di-nâmios,osestudossobrerelaçõesentredesriçõeslássiasequântiasforam

intensiadas. Para sitemas não-integráveis uma ontribuição importante é

aaproximaçãobaseadanaonstruçãode Feynman[2℄daMeâniaQuântia

utilizada por Gutzwiller [3℄ para deduzir a fórmula do traço. Esta fórmula

relaiona propagadores quântios om órbitas lássias periódias. Muitos

outros métodos e resultados relaionadosao assunto podem ser enontrados

na referênia[4℄.

A grande diuldade om o limite lássio-quântio é de natureza

es-senialmente inemátia. Enquanto um estado lássio, digamos de uma

partíula, é araterizadoporum pontonoespaço de fase,o orrespondente

estado quântio éum vetor doespaço de Hilberte emgeral tem aráternão

(8)

hamados modelos do tipoampo médio oumodelo dotipo Curie-Weiss

existem analogias bastante robustas no sentido de serem omuns a todos

os modelos investigados [5, 6℄. Dois dos modelos pertenentes a essa lasse

são de grande utilidade na Físia Nulear: o modelo de Lipkin [7℄ e o

mo-delo de Emparelhamento [8,9℄. Esses modelos são exatamente solúveispara

A partíulas, embora não sejam realístios devido a possuírem apenas dois

níveis altamente degenerados. Devido à impossibilidade de enontrar uma

solução exata para um potenial forte de urto alane, que age entre dois

orpos, desenvolveram-se vários métodos de aproximação que são testados

prinipalmentenos modelos itados.

Naprimeiraparte dopresentetrabalho,vamosnos onentrarnomodelo

de Emparelhamento. Sabemos que esse modelo apresenta uma transição de

omportamento: passa de um regime onde os núleos são esférios para um

regime no qual são deformados omo função do parâmetro de interação. A

esta mudança qualitativa de omportamento hamaremos de transição de

fase. Vamos mostrar em detalhe que existe uma estreita analogia entre a

transição de fase quântia e seu análogo lássio. Em partiular mostramos

o importante papel desempenhado pela órbita lássia homolínia

ara-terístiadopontode transição. Tantoesteestudo omooseguintesão feitos

a temperaturanula, o que põeem destaque alterações noespetro, em

par-tiular noEstado Fundamental.

A segunda parte dotrabalho tratado modelo de Dike [11,12℄. Embora

a transição desse modelo tenha sido largamenteestudada ereentemente no

regime aótio[13℄, um estudodas semelhanças ediferenças queoorrem na

transição de fase para a versão integrável e não-integrável do modelo nuna

foifeitaeasdiferençassãonotáveis. Asanalogiaslássio-quântiastambém

se mantém,nas duas situações.

Umaferramentaquetem sidobastanteutilizadaparaaraterizara

tran-sição de fase quântia para sistemas hamiltonianos om dois graus de

liber-dade é a entropia linear [14℄-[18℄, denida omo

S

= 1

−

Tr

{

ρ

2 j

}

onde

ρ

j

denota o subsistema em questão i.e., denota a matriz densidade reduzida

de um deles. Essa quantidade, sem análogo lássio bem denido, é uma

medida de orrelações. No ponto de transição de fase sabemos que as

or-relações passam a ter um papel muito importante. Com isso a variação da

entropia linear om o parâmetro de aoplamento do modelo, omo

mostra-remos, sinaliza laramente a transição de fase. Novamente, as transições de

fasenasversõesintegrávelenão-integráveldomodelosãomarantes-noaso

integrávelatransição de fase é de 1 a

ordem, enquantoque nonão-integrável

é de 2 a

ordem. Interessante também é que o análogo lássio do modelo

(9)

Ferramentas

2.1 Estados Coerentes

OHamiltonianodeumsistema,lássioouquântio, éogeradorde evolução

temporaldomesmo. AMeâniaClássia porémdávalores denidos paraa

posiçãoe omomentodapartíula, aopasso queemmeânia quântia essas

mesmas variáveissão desritas em termosde distribuições de probabilidade.

OteoremadeEhrenfest[19℄dizqueaevoluçãotemporaldevaloresmédiosde

observáveis segue as trajetórias lássias do sistema lássio orrespondente

noasoemqueadispersãonasdistribuiçõessãodesprezíveis, oqueemgeral

oorre para o aso de grandes número quântios. As desrições lássia e

quântia devem onordar quando esse limite é atingido. É de se esperar

portantoqueumestadoquântioqueapresenteessa dispersãomínimatenha

umomportamentobempróximodolássio. Nesta seçãoserãointroduzidos

estadosquântiosque,nesse sentido, podemseronsideradosquasi-lássios:

os estados oerentes.

2.1.1 Estados Coerentes do Osilador Harmnio

No aso do osiladorharmnio existe um estado quântio om asseguintes

araterístias:

1. Evoluçãotemporaldos valoresmédios

h

x

i

e

h

p

i

iguais aos doosilador harmnio lássio.

2. Produto de inertezas mínimo(

∆x∆p

= ¯

h/2

);

UmestadoquântioomestasaraterístiasfoiintroduzidoporGlauber

em 1963 [20℄. Passou então a ser onheido omo Estado Coerente e pode

(10)

1. Os estados oerentes

|

α

i

são autovetores dooperador não-hermitiano de aniquilaçãodoosiladorharmnio:

a

_|

α

_i

=

α

_|

α

_i

(2.1)

2. Os estados oerentes

|

α

i

podem ser obtidos apliando-se o operador unitáriodesloamento:

D(α) = exp

{

αa

†

₋

_α

∗

_a

_}

aoestado fundamental

do osiladorharmnio:

|

α

_i

=

D(α)

_|

0 _i

(2.2)

3. Estados Coerentes apresentam produto de inertezas mínimo

igual-mentedistribuído:

∆x∆p

= ¯

h/2

Essas três denições são equivalentes, istoé, qualquer estado obtido por

uma delas, satisfará as outras duas. No entanto, doponto de vista prátio,

a denição dada pelooperador desloamentoé mais útil 1

. Pode-se utilizá-lo

para obteraexpansãoemestadosdeFok(autoestadosde

n

=

a

†

_a

)paraum

estado oerente

|

α

i

. Através da relação[21℄

e

A+ ˆ

ˆ

B

=

e

−

1

2 [ ˆ

A,

B]

ˆ

e

A

ˆ

e

B

ˆ

(2.3)

válida se

[ ˆ

A,

[ ˆ

A,

B] ] = 0

ˆ

, é possível esrever ooperadordesloamento omo sendo:

D(α) =

e

−|

α

|

2 /2

e

αa

†

e

−

α

∗

a

.

(2.4)

Aoserapliadonoestadofundamentaldoosiladorharmnio,otermo

e

−

α

∗

_a

o deixaintato,já que apenas oprimeirotermo daexpansãoexponenial,

1

, dá resultado diferente de zero. Com isso, os estados oerentes podem ser

obtidos daseguinteforma:

|

α

_i

=

e

−|

α

|

2 /2

_e

αa

†

|

0 _i

=

e

−|

α

|

2 /2

∞

X

n=0

(αa

†

₎

n

n!

|

0 i

.

Para referênia futura, o fator

e

−|

α

|

2 _/2

será denido omo raiz quadrada da

normalização

N

(α, α

∗

₎

, istoé,

N

(α, α

∗

_{) =}

_e

|

α

|

2

para os estadosoerentes do

osilador harmnio.

Levando em ontaa relação:

a

†

_|

n

_i

=

q

(n

+ 1)

_|

n

+ 1

_{i ⇒}

(a

†

)

n

_|

0 _i

=

√

n!

_|

n

_i

,

1

(11)

|

α

_i

=

e

−|

α

|

2 /2

∞

X

n=0

α

n

√

n!

|

n

i

.

(2.5)

Através desta expansão, é possível veriar que os estados oerentes

da-dos pelooperadordesloamentosãoautoestadosdooperadorde aniquilação.

Como:

a

|

n

i

=

√

n

_|

n

₋

1 _i

,

a

_|

α

_i

=

e

−|

α

|

2 /2

∞

X

n=0

α

n

√

n!

√

n

_|

n

₋

1 _i

=

αe

−|

α

|

2 /2

∞

X

n=1

α

n

−

1 q

(n

₋

1)!

|

n

−

1 i

=

α

_|

α

_i

.

Essaequaçãodeautovaloresestabeleeumarelaçãodiretaentreosestados

oerenteseosnúmerosomplexos. NoasopartiularemqueaHamiltoniana

é linear nos operadores

a, a

†

_{, n}

, a HamiltonianaClássia

H

(α, α

∗

) =

_h

α

_|

H

_|

α

_i

(2.6)

gera equações de movimentopara

α, α

∗

ig

dα

dt

=

∂

_H

∂α

∗

−

ig

dα

∗

dt

=

∂

_H

∂α

,

(2.7)

onde

g

_≡

∂

2

_ln

_N

∂α∂α

∗

,

(2.8)

idêntias às equações de movimento de Heisenberg para os operadores

a, a

†

[5℄.

Para veriar a relaçãode inerteza, os operadores

x

ˆ

e

p

ˆ

são esritos em função dos operadores de riaçãoe aniquilaçãoomo sendo:

ˆ

x

=

s

¯

h

2mω

(a

+

a

†

₎

(2.9)

ˆ

p

=

₋

i

s

mω¯

h

2 (a

−

a

†

_).

(12)

h

x

_i

=

s

¯

h

2mω

(α

+

α

∗

₎

(2.11)

h

p

_i

=

₋

i

s

mω¯

h

2 (α

−

α

∗

₎

(2.12)

h

x

2

_i

=

h

¯

2mω

[1 + (α

+

α

∗

₎

2

_]

(2.13)

h

p

2

_i

=

mω¯

h

2 [1

−

(α

−

α

∗

₎

2

_]

(2.14)

Fazendo agora

(∆x)

2

₌

_h

_x

2

_{i − h}

_x

_i

2

,

(∆p)

2

₌

_h

_p

2

_{i − h}

_p

_i

2

obtém-se

∆x

=

∆p

=

q

¯

h

₂

, ou seja, os estados oerentes apresentam produto de inertezas mínimo eigualmente distribuído.

Os estados oerentes não são ortogonais. Fazendo

h

β

|

α

i

a partir da equação (2.5), obtém-se:

h

β

_|

α

_i

= exp

_{

β

∗

_α

₋

1

2 [

|

β

|

2

₊

_|

_α

_|

2

_]

_{} 6}

_{= 0.}

(2.15)

Qualquer estado doespaço vetorial gerado pelos autovetores de

n

=

a

†

_a

pode ser esrito em termos dos estados oerentes. Isso pode ser veriado

alulando-se

R R

d

2

_α

_|

_α

_ih

_α

_|

, onde

d

2

_α

₌

_d

₍

_ℜ

_α)d(

_ℑ

_{α) =}

_rdrdθ

.

Reesre-vendo a equação (2.5) oma mudança de variáveis

α

=

r e

iθ

,

Z

dα dα

∗

_|

α

_ih

α

_|

=

Z

2π

0 Z

∞

0

rdr dθ e

−

r

2 X

∞

n,n

′

r

n+n

′

e

i(n

′

₋

_n)θ

√

n!

n

′

_!

|

n

′

_ih

_n

_|

_.

Utilizando agoraos resultados:

Z

2π

0

e

i(n

−

n

′

_)θ

dθ

= 2π δ

n,n

′

Z

∞

0

r

2n+1

_e

−

r

2

dr

=

1

2 Γ(n

+ 1)

obtém-se arelação:

1 π

Z

d

2

_α

_|

_α

_ih

_α

_|

_{= 1.}

(2.16)

Noaso do osiladorharmnio,a evolução temporaldooperador

a

está em orrespondênia diretaomaevoluçãotemporaldada pelaHamiltoniana

(13)

em estados oerentes. Pode-se apliar este método não apenas ao osilador

harmnio, mas também a Hamiltonianas envolvendo operadores de spin

J

z

, J

+

, J

−

om relações de omutação

[J

z

, J

±

] =

±

J

±

,

[J

+

, J

−

] = 2J

z

. Para estem, devem ser denidosestados oerentes de spin, oque seráfeito

atravésde uma generalizaçãodooperador desloamento.

2.1.2 Estados Coerentes de Spin

Os estados oerentes de Spin são obtidos pela atuação de um operador de

desloamento [5℄, análogoàquele dado peladenição 2,

Ω(ζ)

_≡

exp

_{

ζ J

+

−

ζ

∗

J

−

}

(2.17)

atuando noestado

|

j,

−

j

i

|

ζ

_{i ≡}

Ω(ζ)

_|

j,

₋

j

_i

,

(2.18)

sendo o estado

|

j, m

i

autoestado dos operadores

J

z

,

J

2

₌

_J

+

J

−

+

L

2 z

−

L

z

:

J

2

_|

j,

₋

j

_i

=

j

(j

+ 1)

_|

j,

₋

j

_i

J

z

|

j, m

i

=

m

|

j, m

i

.

(2.19)

Osestadosoerentes doosiladorharmnio,

|

α

i

,sãoautoestadosdo opera-dor de aniquilação

a

omautovalor

α

. Essa relaçãofazuma orrespondênia 1 a 1 entre o operador

a

e o plano omplexo. O operador de spin

J

−

tam-bémpossui orrespondênia diretaom oparâmetro

ζ

; esse éopropósito do estadooerente. É possívelobterequaçõesde movimentopara

ζ, ζ

∗

apartir

da HamiltonianaClássiaanáloga,

H

=

h

ζ

|

H

|

ζ

i

, idêntias asequações de movimento para osoperadores

J

−

, J

+

.

Deve se notar no entanto que o espaço de Hilbert para estados de Spin

é nito. Esse fato traz duas onseqüênias. A primeiradelas é que o

opera-dor

J

−

não terá autovetores nesse espaço. No entanto é possível identiar

ζ, ζ

∗

om os valores médios de

J

−

, J

+

no estado

|

ζ

i

. A segunda é que o parâmetro

ζ

nãoestaráemum planoomplexoilimitado,omoaonteeom o parâmetro

α

, e sim na superfíie de uma esfera de raio unitário. Para o espaço de spin

1

2

, isso pode ser mostrado através da representação matriial dooperadordesloamento

Ω

. Osoperadores

J

±

, J

z

podemser representados em termosdas matrizes:

J

+

→

0 1

_{0 0}

!

, J

₋

_→

0 0

1 0

!

, J

z

→

1

2

0

0 ₋

1

2 !

(14)

tação, pode-seobter a formado operadordesloamento

Ω

:

Ω(ζ)

_→

exp

0 ζ

−

ζ

∗

₀

!

=

∞

X

k=0

1 k!

0 ζ

−

ζ

∗

₀

!

k

(2.21)

Elevara matrizà

k

-ésimapotêniaresulta nas séries:

1 0

0 1

!

(1

₋

|

ζ

|

2

2!

+

|

ζ

_|

4

4!

− · · ·

) +

+





0

_|

ζ

_ζ

_|

−

ζ

∗

|

ζ

|

0





(

|

ζ

| −

|

ζ

|

3 3!

+

· · ·

)

=





cos

_|

ζ

_|

ζ

_ζ

_|

sen

|

ζ

|

−

ζ

∗

|

ζ

|

sen

|

ζ

|

cos

|

ζ

|





(2.22)

Em outras palavras, o operador desloamento apresenta uma periodiidade

em

ζ

. Apesar de ter sido mostrado somente para spin

1/2

, essa periodii-dade oorre para todo

j

. A equação (2.22) sugere que o parâmetro

ζ

está relaionado aos ângulos polar

θ

eazimutal

φ

pela equação:

ζ

=

θ

2 e

iφ

_,

(2.23)

om

0 ≤

θ

≤

π ,

0 ≤

φ

≤

2π

, já que

Ω(ζ(θ, φ)) = Ω(ζ(θ

+

π, φ));

Ω(ζ

(θ, φ)) = Ω(ζ(θ, φ

+ 2π)).

Os operadores

J

±

não satisfazem a ondição

[ ˆ

A,

[ ˆ

A,

B] ] = 0

ˆ

neessária para que

Ω

tenha uma forma operaional semelhante à apresentada para o operador desloamento do osilador harmnio. No entanto, uma fórmula

BCH [22, 23℄ permite aobtenção da expressão desejada:

exp

_{

ζJ

+

−

ζ

∗

J

−

}

= exp

{

τ J

+

}

exp

{

ln(1 +

|

τ

|

2

)

J

z

}

exp

{

τ J

−

}

,

(2.24)

τ

=

_|

ζ

_ζ

_|

tan

_|

ζ

_|

=

e

iφ

_tan

θ

2

.

(2.25)

Proedendo de forma análoga ao que foi feito para o estado oerente do

osilador harmnio, o operador

exp

{

τ J

−

}

deixa o estado

|

j,

−

j

i

intato. Portanto,

|

ζ

_i

=

1

(15)

Alémdisso,

J

+

|

j, j

i

= 0

⇒

exp

{

τ J

+

}|

j, j

i

=

|

j, j

i

,ou seja,

|

ζ

_i

=

1 (1 +

_|

τ

_|

2

₎

j

2j

X

k=0

(τ J

+

)

k

k!

|

j,

−

j

i

.

(2.27)

Com a relação:

J

+

|

j, m

i

=

q

(j

+

m

+ 1)(j

₋

m)

_|

j, m

+ 1

_i

,

|

ζ

_i

=

1 (1 +

_|

τ

_|

2

₎

j

2j

X

k=0

τ

k

v

u

t

2j

k

!

|

j,

₋

j

+

k

_i

(2.28)

Aequação (2.25)éuma transformaçãodotipoprojeçãoestereográa,onde

ada ponto na esfera de Bloh é mapeado no plano omplexo innito da

variável

τ

. A equação (2.24) é a forma mais prátia de se obter os estados oerentes de spin. Normalmente na literatura os estados oerentes de spin

são denidos diretamente em função do parâmetro

τ

, i.e., omo

|

τ

i

= (1 +

|

τ

_|

2

₎

−

j

_exp

_{

_{τ J}

+

}|

j,

−

j

i

. Paraestabeleerumeloentreosvaloresesperados de

J

±

e os parâmetros

θ, φ

que apareem na denição de

ζ

, pode-se usar a equação (2.26) daseguinteforma:

J

+

|

τ

i

= (1 +

|

τ

|

2

)

−

j

J

+

e

τ J+

|

j,

−

j

i

;

J

+

= (1 +

|

τ

|

2

)

−

j

∂

∂τ

e

τ J+

|

j,

₋

j

_i

(2.29)

Usando a ortogonalidadedabase

{|

j m

i}

ea expansão binomial

(1 +

x)

N

=

N

X

n=0

N

n

!

x

n

O valoresperado de

J

+

pode ser esrito omo

h

J

+

i

=

2jτ

∗

1 +

_|

τ

_|

2

.

(2.30)

Retomando aequação (2.24) eusando relaçõestrigonométriaselementares,

h

J

+

i

=

j

sen

θe

iφ

_.

(2.31)

Portanto,osvaloresesperadosde

J

x

e

J

y

numestadooerenteserãodadospor

j

cos

φ, j

sen

φ

respetivamente. Pelaequação(2.26)anormalização

N

(τ, τ

∗

₎

será dada por

(16)

As equações de movimentopara o parâmetro

τ

serão dadas por:

i g

dτ

dt

=

∂

_H

∂τ

∗

−

i g

dτ

∗

dt

=

∂

_H

∂τ

.

(2.33)

H

=

_h

τ

_|

H

_|

τ

_i

.

(2.34)

O fatorg será dado por 2

g

=

∂

2

_N

_{(τ, τ}

∗

₎

∂τ

∗

_∂τ

=

2j

(1 +

_|

τ

_|

2

₎

2

(2.35)

Assimomonoasodoosiladorharmnio,osestadosoerentes despin são

em geral não ortogonais,

h

τ

_|

σ

_i

=

1 (1 +

_|

τ

_|

2

₎

j

1 (1 +

_|

σ

_|

2

₎

j

2j

X

k=0

2j

k

!

τ

∗

k

σ

k

=

1 (1 +

_|

τ

_|

2

₎

j

1 (1 +

_|

σ

_|

2

₎

j

(1 +

ω

∗

_σ)

2J

_,

(2.36)

e têm umarelaçãode super-ompleteza, omo noaso doosilador

harm-nio. Épossívelobtê-la,usandoaequação(2.28)eesrevendo

τ

omofunção de

θ

e

φ

de aordoom a equação (2.25):

|

τ

_ih

τ

_|

=

1 (1 +

_|

τ

_|

2

₎

2j

X

k, k

′

₌₀

τ

k

(τ

∗

)

k

′

_×

×

v

u

t

2j

k

!

2j

k

′

!

|

j,

₋

j

+

k

_ih

j,

₋

j

+

k

′

_|

.

(2.37)

Com

|

τ

|

2

_{= tan}

2

_θ/2

_,

_{(1 +}

_|

_τ

_|

2

₎

−

1

_{= cos}

2

_θ/2

, teremos:

|

τ

_ih

τ

_|

=

2j

X

k, k

′

₌₀

(

sen

θ/2)

k+k

′

(cos

θ/2)

4j

−

k

−

k

′

_×

×

e

i(k

−

k

′

)φ

v

u

t

2j

k

!

2j

k

′

!

|

j,

₋

j

+

k

_ih

j,

₋

j

+

k

′

_|

(2.38)

2

ParaestadosoerentesdoOsiladorHarmnio,

g

= 1

,oquenãooorreparaestados

(17)

Z

2π

0 Z

π

0

sen

θ dθdφ

|

τ

ih

τ

|

e usando osresultados

Z

2π

0

e

i(n

−

n

′

_)θ

dθ

= 2π δ

n,n

′

Z

π

0

(

sen

θ/2)

2k+1

_(cos

_θ/2)

2j

−

2k+1

_dθ

₌

Γ(k

+ 1)Γ(j

−

k

+ 1)

Γ(j

+ 2)

hega-se à relação:

2j

+ 1

4π

Z

d

2

τ

_|

τ

_ih

τ

_|

= 1

(2.39)

Para nalizar, um pequeno omentário sobre o prinípio da inerteza. Ao

ontrário dos estadosoerentes doosiladorharmnio,os estadosoerentes

de spin não são estados de inerteza mínima. Generalizandoooneito para

umsistemadespin, oprinípiode inertezadeveser esritoomo

∆J

x

∆J

y

≥

1

2

∆J

z

. Noentanto,mesmoparaoestado

|

j,

−

j

i

aigualdadenãoéobservada.

2.2 Distribuições de Quasi-Probabilidade

A Meânia Clássia desreve ompletamente um sistema dinâmio através

dosvaloresdevariáveisannias,omoporexemplomomentoeoordenada.

Portanto é possível responder às perguntas onde está? e om qual

ve-loidade? e obter todas asinformaçõespossíveisa respeito de um sistema

físio. Estendendo esta idéiapara aMeâniaEstatístia,estas perguntasse

tornam qual a probabilidade de estar aqui om essa veloidade ?.

Asso-iar uma probabilidadepara ada lugar possível dene uma distribuição de

probabilidade. Em Meânia Estatísitia as distribuições de probabilidade

são usadas para desrever um sistema físio e resumem toda a informação

que sepode obter dele. Já emMeâniaQuântia, oenárioé bemdistinto.

Basiamente, a desrição de um sistema quântio se baseia nooneito

abs-trato de estado quântio. O prinípio da inerteza limita as possibilidades

de desrição dosistema através de variáveis annias, já quenão é possível

onheer simultaneamenteeompreisãoarbitráriaovalorde duasvariáveis

que não omutam.

Ainda assim é possível em Meânia Quântia denir distribuições de

quasi-probabilidade [1℄ que servem omo representações de um sistema, em

analogia om o que é feito em Meânia Estatístia. É natural que essas

(18)

distribuição de probabilidadede uma está relaionadaom a outraporuma

transformada de Fourier,o que não oorre nas distribuiçõeslássias.

Uma propriedade desejável em funções de distribuição é a de se obter a

distribuiçãomarginaldeumadasvariáveissomando-sesobretodososvalores

das outras, istoé, se

R(x, y)

é uma distribuiçao de probabilidade, deseja-se obter uma distribuição para

x

fazendo-se

P

(x) =

R

∞

−∞

R(x, y)dy

, por exem-plo. No aso dameânia quântia, se adistribuição de quasi-probabilidade

W

(q, p)

para um dado estado

ρ

atende a essa propriedade das distribuições marginais,épossívelrelaioná-laom adesrição quântia usual pelas

equa-ções:

h

q

_|

ρ

_|

q

_i

=

Z

∞

−∞

W

ρ

(q, p)dp

;

(2.40)

h

p

_|

ρ

_|

p

_i

=

Z

∞

−∞

W

ρ

(q, p)dq .

(2.41)

Na verdade, é possível obter uma generalização das distribuições

margi-nais parauma determinadadireção

θ

. Issopodeser feitoatravésde um ope-rador unitário

U

ˆ

(θ)

, denido emfunção dosoperadores

a

=

1 √

2

(ˆ

q

+

i

p), a

ˆ

†

=

1 √

2

(ˆ

q

−

iˆ

p)

omosendo

U

ˆ

(θ) = exp

{−

ia

†

_aθ

_}

. Ooperador

U

ˆ

(θ)

transformaos operadores

q

ˆ

e

p

ˆ

da seguinteforma

3

:

ˆ

U

†

(θ) ˆ

q

U

ˆ

(θ) = ˆ

q

cos

θ

+ ˆ

p

sen

θ;

ˆ

U

†

(θ) ˆ

p

U

ˆ

(θ) =

₋

q

ˆ

sen

θ

+ ˆ

p

cos

θ.

(2.42)

Como

U(θ)

ˆ

é unitário,

U

ˆ

†

_|

_q

_i

é autovetor do operador

q

ˆ

′

_{= ˆ}

_U

†

_{(θ) ˆ}

_q

_U

ˆ

_(θ)

. A generalização das equações (2.40) e (2.41)pode ser feitaesrevendo-se

Z

∞

−∞

W

(q

cos

θ

−

p

sen

θ, q

sen

θ

+

p

cos

θ)

dp

=

h

q

|

U

ˆ

(θ)

ρ

U

ˆ

†

_(θ)

_|

_q

_i

(2.43)

Nosasos

θ

= 0

,

θ

=

π/2

obtém-seasdistribuiçõesdeprobabilidade

h

q

|

ρ

|

q

i

,

h

p

_|

ρ

_|

p

_i

respetivamente. Épossívelmostrar 4

queafunção distribuição

de-nida pela equação (2.43)deve ser obtida omo transformadade Fourier da

função araterístia

˜

W

(u, v) =

Tr

{

ρ

exp

{−

iuˆ

q

−

iv

p

ˆ

}}

(2.44) 3

Pode ser veriado pela relação

e

xA

Be

−

xa

=

B

+ [

A, B

]

x

+ [

A,

[

A, B

]]

x

2 /

2! +

[

A,

[

A,

[

A, B

]]]

x

3 /

3!

· · ·

4

(19)

Afunçãodedistribuição

W

(q, p)

assimdenidaéhamadafunçãodeWigner e possui a forma(

¯

h

= 1

):

W

ρ

ˆ

(q, p) =

1 2π

Z

∞

−∞

exp

{

ipx

}h

q

−

x

2 |

ρ

ˆ

|

q

+

x

2 i

dx

(2.45)

A função de Wigner possui uma série de propriedades. A seguir são itadas

as mais importantes:

1. Veria-se sem maiores problemas que a função de Wigner é real e

normalizada:

W

ρ

ˆ

(q, p) =

W

ρ

ˆ

∗

(q, p)

,

(2.46)

Z

∞

−∞

Z

∞

−∞

W

ρ

ˆ

(q, p)

dq dp

= 1 ;

(2.47)

2. O traço do produto de dois operadores pode ser alulado através da

função de Wigner:

Tr

{

A

ˆ

B

ˆ

}

= 2π

Z

∞

−∞

Z

∞

−∞

W

A

ˆ

(q, p)W

B

ˆ

(q, p)

dq dp

;

(2.48)

3. Diferentemente das distribuições de probabilidade lássias, a função

de Wigner pode apresentar valores negativos;

4. Ovalorqueafunçãode Wignerpode assumirélimitado,onseqüênia

da desigualdadede Shwarz:

|

W

ρ

ˆ

(q, p)

| ≤

1 π

.

(2.49)

Além de dar a fórmula para o álulo de valores médios, a propriedade 2

mostra que a função de Wigner é de fato uma representação em Meânia

Quântia. O elemento de matriz

h

u

|

ρ

ˆ

|

v

i

de um operador pode ser obtido omo

h

u

_|

ρ

ˆ

_|

v

_i

=

Tr

{

ρ

ˆ

|

v

ih

u

|}

=

Z

∞

−∞

Z

∞

−∞

W

ρ

ˆ

(q, p)

W

uv

(q, p)

dqdp

onde

W

uv

é a representação de Wigner doprojetor

|

v

ih

u

|

.

A seguir são mostrados os gráos das funções de Wigner para alguns

asos típios. Para fazera função de Wigner de um autoestadodo osilador

harmnio por exemplo, basta obter esses autoestados na representação de

posiçãoetomaratransformadadeFourierdafunção

Ψ

∗

n

(q

−

x/2)Ψ

n

(q

+

x/2)

em

x

, ou seja,

(2π)

−

1 R

∞

(20)

-2

0

2 q

-2

0

2 p

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1 W

-2

0

2 q

-2

0

2 q

-2

0

2 p

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1 W

-2

0

2 q

-2

0

2

Figura 2.1: Função de Wigner para o autoestado

n

= 1

doosilador harm-nio. À direita, vistainferior om detalhe para aparte negativa.

-2

0

2 q

-2

0

2 p

0

0.1

0.2

0.3 W

-2

0

2 q

Figura 2.2: Função de Wigner para o estado fundamental do osilador

har-mnio.

Já para o primeiro estado exitado do osilador harmnio, existe uma

região negativa nafunção de Wigner,onforme gura 2.1.

Naverdade,exetopeloestadofundamental,todososestadosdeFoksão

estadosnão-lássios. Noentanto,afunçãodeWignerdoestadofundamental

é uma Gaussiana (gura 2.2) em

q

e

p

entrada na origem,

W

_|

0 ih

0 |

(q, p) =

1 π

e

−

q

2 −

p

2

(2.50)

ComafunçãodeWignerépossívelilustrarmelhoroproessodeobtenção

de estados oerentes. Reesrevendo o operador desloamento emtemos dos

operadores

q

ˆ

e

p

ˆ

e denindo

α

=

u

+

iv

,

D(α) = exp

_{

i

(v

q

ˆ

₋

uˆ

p)

_}

=

e

−

1

2 i uv

e

i vˆ

q

e

−

i uˆ

p

.

(21)

Segundo o tratamentousado por Ballentine [19℄, o operador

p

ˆ

éum gerador hermitiano de translação no grupo de Galileu. Portanto,

T

(λ) =

e

−

i λˆ

p

é

um operador unitário de translação que, atuando nos autovetores de

q

ˆ

faz

e

−

i λˆ

p

_|

_q

_i

₌

_|

_q

₊

_λ

_i

. A função de Wigner de um estado oerenteserá obtida

omo:

W

_|

α

ih

α

|

(q, p) =

1 2π

Z

∞

e

−

i px

h

q

₋

x/2

_|

α

_ih

α

_|

q

+

x/2

_i

dx

=

1 2π

Z

∞

−∞

e

i px

h

q

₋

x/2

_|

D(α)

_|

0 _ih

0 _|

D

†

(α)

_|

q

+

x/2

_i

dx

=

1 2π

Z

∞

−∞

e

i px

_e

i v(q

−

x/2)

h

q

₋

x/2

_|

T

(λ)

_|

0 _{i ×}

×h

0 _|

T

†

(λ)

_|

q

+

x/2

_i

e

i v(q

−

x/2)

dx

=

1 2π

Z

∞

−∞

e

i

(p

−

v)x

h

(q

₋

u)

₋

x/2

_|

0 _ih

0 _|

(q

₋

u) +

x/2

_i

dx

(2.52)

Aequação(2.52)representaumaGaussianadesloadanasdireções

q, p

pelas partes real e imagináriade

α

.

Outra assinatura quântia notável surge na função de Wigner para a

superposição de dois estados oerentes. Esolhendo o parâmetro

α

de um estadooerenteomosendo

α

=

q

0

,umnúmeroreal,oestadodesuperposição

|

ψ

_i

= 2

−

1/2

₍

_|

_α

_i

₊

_{| −}

_α

_i

₎

terá omo operadordensidade o projetor:

|

ψ

_ih

ψ

_|

=

1

2 (

|

α

ih

α

|

+

| −

α

ih −

α

|

+

|

α

ih −

α

|

+

| −

α

ih

α

|

)

.

A função de Wigner para

|

α

ih

α

|

+

| −

α

ih −

α

|

é apenas a soma de duas Gaussianas, uma em entrada em

(q

0

,

0)

e a outra em

(

−

q

0

,

0)

. A parte de interesse está no termode interferênia

|

α

ih −

α

|

+

| −

α

ih

α

|

:

W

_|

α

ih −

α

|

=

1 2π

Z

∞

−∞

e

i px

_exp

{−

(q

2

+ (x

+

q

0

)

2

)

}

dx

=

1 2π

e

−

q

2 Z

∞

−∞

e

i p(u

−

2q0)

_exp

{−

u

2

4 }

du , u

=

x

+ 2q

0

(2.53)

usando

R

∞

−∞

exp

{−

i px

−

x

2

/4

}

=

π

−

1/2

2e

−

p

2

ereesrevendo oresultado para

ooutrotermodeinterferêniaobtidotroando

q

0

→ −

q

0

,afunçãodeWigner para o estado de superposição será dada por:

W

_|

ψ

ih

ψ

|

(q, p) =

(2π)

−

1

_e

−

p

2 −

(q

−

q0)

2

+

e

−

p

2 −

(q+q0)

2

+ 2

√

πe

−

p

2 −

q

2

cos(2p q

0

)

(2.54)

(22)

-5

0

5 q

-5

0

5 p

-0.2

0

0.2

0.4 W

-5

0

5 q

-0.2

0

0.2

0.4

Figura2.3: FunçãodeWignerparaumestadodesuperposiçãodedoisestados

(23)

efeito de interferênia.

Defato anegatividade dafunção de Wigneremalguns pontosdoespaço

traz informações relevantes sobre um estado quântio. Seria interessante

no entanto obter uma função de distribuição positiva em todos os pontos

do plano

qp

. A propriedade 2 fornee uma possibilidade de se obter tal distribuição,bastandoparaissoonsideraraprojeçãodoestado

ρ

emestados oerentes,

h

α

|

ρ

|

α

i

. É laro que o quadrado do módulo de tal projeção, é um valorreal positivo:

h

α

_|

ρ

_|

α

_i

=

Tr

{

ρ

|

α

ih

α

|} ≥

0 .

(2.55)

Esrevendo

α

= 2

−

1

_(q

₊

_ip)

e usando a fórmula do traço (2.48), obtém-se

uma função de distribuiçãopositiva:

Q

ρ

(q, p) =

1 π

Z

∞

−∞

Z

∞

−∞

W

ρ

(q

′

_{, p}

′

_)e

−

(q

−

q

′

₎

2 −

(p

−

p

′

₎

2

dq

′

dp

′

=

1 2π

h

α

|

ρ

|

α

i

(2.56)

Paraumdadoestado,afunção

Q

,tambémhamadadefunçãodeHusimi[27℄, emumpontoéamédiaponderadaporumagaussianaemtornodoponto,da

função de Wigner orrespondente. O fato de ela ser positiva sempre,dá um

limiteparaaáreaqueumaregiãonegativadafunçãodeWignerpodeoupar.

Élaroqueissotudonãovemdegraça. Opreçoquesepagapelapositividade

dafunçãode Husimiéofatodeelanãoreuperarasdistribuiçõesmarginais.

Agura2.4mostraasfunçõesde Husimiparaoprimeiroestadoexitado

do Osilador Harmnio e para o estado de superposição de dois estados

oerentes

|

ψ

i

= 2

−

1/2

₍

_|

_α

_i

₊

_{| −}

_α

_i

₎

. Devemser omparadas omasguras

2.1 e 2.3. A função de Wigner para um estado oerente é uma Gaussiana

de variânia

1/2

, a função de Husimi para um estado oerente é também Gaussiana, mas de variânia

1

. Para o estado de superposição, o termo de interferênia tem uma representação dada por

(2π)

−

1/2

exp

_{−

(q

2

+

p

2

+

q

0

2

)

}

cos(q

0

p)

,

que o tornagraamenteimpereptível.

As funçõesde Wigner e Husimiforam obtidaspara as representações de

posição e momento. É possível no entanto estender os oneitos até agora

utilizados para deni-lasem uma representação de momento angular,o que

foi feito por Agarwal [25℄ [26℄. A generalização da função de Husimi pode

ser feitadiretamenteatravésda projeçãoem estadosoerentes de spin

|

τ

i

:

Q

ρ

(θ, φ)

≡

2j

+ 1

(24)

-2

0

2 q

-2

0

2 p

0

0.02

0.04

0.06 Q

-2

0

2 q

-5

0

5 q

-5

0

5 p

0

0.02

0.04

0.06

0.08 -5

0

5 q

0

0.02

0.04

0.06

Figura 2.4: À esquerda, Função de Husimi para o autoestado

n

= 1

do osilador harmnio. À direita, função de Husimi para

|

ψ

i

= 2

−

1/2

₍

_|

_α

_i

₊

| −

α

_i

)

.

Para a função de Wigner, Agarwal objetivoupreservar a propriedade2, isto

é,

Tr

{

A

ˆ

B

ˆ

}

=

Z

2π

0 Z

π

0

W

A

ˆ

W

B

ˆ

sen

θ dθ dφ

(2.58) Nesta dissertação não serão apresentados os proedimentos utilizados por

ele para obter a generalização. Resumidamente pode-se dizer que, para a

álgebrademomentoangular,ooperadordesloamentoqueapareenafunção

araterístia

exp

_{−

iuˆ

q

₋

iv

p

ˆ

_}

,

é troado pelotensor esfério

ˆ

T

KQ

=

j

X

m=

−

J

(

₋

1)

j

−

m

√

2K

+ 1

j

K

j

−

m Q m

₋

Q

!

|

j, m

_ih

j, m

₋

Q

_|

.

(2.59)

O símbolo

j

K

j

−

m Q m

₋

Q

!

é onheido omo símbolo

3 −

j

de Wigner [19℄ e está relaionado aos o-eientes de Clebsh-Gordan. A matriz araterístia, orrespondente da

função araterístia, édenida omo:

̺

KQ

≡

Tr

{

ρ

T

ˆ

KQ

}

(2.60)

(25)

-5

-2.5

0

2.5

5 -5

-2.5

0

2.5

5 -5

0

5 -5

-2.5

0

2.5

5 -5

0

5 -5

0

5

0

0.5

1

1.5 -5

0

5

Figura 2.5: Função de Wigner para o estado de Dike

|

5,

−

5 i

. À direita, vista projetiva noplano omplexo dadapelaequação

τ

=

e

iφ

_tan

_θ/2

.

de Wigner para momento angularpode ser então esrita de forma únia em

termos de Harmnios esférios

Y

KQ

(θ, φ)

:

W

ρ

(θ, φ) =

s

2j

+ 1

4π

2j

X

K=0

K

X

Q=

−

K

̺

KQ

Y

KQ

(θ, φ).

(2.61)

Para visualizar asfunçõesde Wigner esférias,pode-se usar um esquema de

relevo em uma esfera de raio

q

j(j

+ 1)

. A representção gráa se faz então simplesmenteparametrizando a esfera om variações noraio de aordo om

os valores da função de Wigner. As guras 2.5 2.6 mostram as funções de

Wigner paraestadosde Dike

|

5,

−

5 i

e

|

5,

−

3 i

. Paravisualizar estadosna regiãodopólosul, éinteressanteusar umarepresentação projetiva,omuma

transformação de variáveis:

τ

=

e

iφ

_tan

_θ/2

.

2.3 Sistemas Compostos e Emaranhamento

A desrição de um sistema físioatravésda MeâniaQuântia é feita

atra-vés do oneito de estado. O estado quântio de um sistema, representado

através de um operador de estado ou operador densidade atuando em um

espaço vetorial (espaço de Hilbert), pode ser denido a partir da seqüênia

de proedimentosexperimentaisepreparaçõespelos quaisessesistema físio

passou [19, 28℄. Com isso, am determinadas asprobabilidadesde seobter

(26)

-5

-2.5

0

2.5

5 -5

-2.5

0

2.5

5 -5

0

5 -5

-2.5

0

2.5

5

Figura2.6: Função de Wigner parao estado de Dike

|

5,

−

3 i

.

-5

0

5 -5

0

5 -0.5

0

0.5

1 -5

0

5 -5

0

5 -5

0

5 -0.5

0

0.5

1 -5

0

5 -5

0

5

Figura 2.7: Funçãode Wigner para oestado de Dike

|

5,

−

3 i

. Vista proje-tivanoplanoomplexodadapelaequação

τ

=

e

iφ

_tan

_θ/2

. Adireita,detalhe

(27)

de informaçõesque sepode obter de um sistema físio através de proessos

de medição. Se o sistema físioem questão for uma partíula, porexemplo,

pode-se perguntar a respeito de diversas propriedades físias da partíula,

omo sua posição, sua veloidade, seu momento angular, sua polarização,

et. As propriedades físias de um sistema podem ser agrupadas de aordo

om os graus de liberdade do mesmo. Assim, a posição de uma partíulae

seuspinsãodoisgrausdeliberdadedistintosdapartíulaou,noasodeduas

partíulas, asposiçõesde ada umadelas sãograus deliberdadedistintosdo

sistema omposto. Assoia-se então um espaço vetorial para ada grau de

liberdade do sistema que está sendo desrito e pode-se falar do estado do

sistema em relação a um desses graus de liberdade. Por exemplo, pode-se

falar doestado de spinou doestado espaialda partíula, et.

O estado quântio da partíula deve forneer distribuições de

probabili-dade parapossíveismediçõesde grandezasfísiasassoiadasaestesgraus de

liberdade. Quando,paraumdadoestadoquântio,existeumtesteujo

resul-tadoépredizívelomprobabilidade

1

,diz-sequeesteestadoépuroepode-se atribuir aeleum vetor de estado

|

Ψ

i

no espaçode Hilbertassoiado àquele teste. O operador de estado torna-seneste aso um projetor

|

Ψ

ih

Ψ

|

e pos-suiapropriedadeTr

{

ρ

2

_}

_{= 1}

,jáqueneste aso

|

Ψ

ih

Ψ

||

Ψ

ih

Ψ

|

=

|

Ψ

ih

Ψ

|

. Esse tipo de estado representa a desrição quântia mais ompleta possível

de um sistema.

Fatonotávelemmeânia quântia: oonheimentoseparadodaspartes,

istoé,doestadodosistemaemadagraudeliberdadeseparado, nemsempre

determina o estado do todo. Para o aso de um estado puro, por exemplo,

o estado do sistema está emum espaço vetorial que é produto tensorial dos

espaços assoiados aos vários graus de liberdadedosistema, istoé,

|

Ψ

_{i ∈ H}

=

_H

1

⊗ H

2

· · · ⊗ H

n

.

(2.62) Para ospropósitos destetrabalho,será suienteonsiderarapenas

siste-mas om dois graus de liberdade:

|

Ψ

_{i ∈ H}

=

_H

1

⊗ H

2

.

(2.63)

Umabaseortonormalem

H

éobtidaapartirdebasesortonormais

{|

u

i

i}

e

{|

v

α

i}

em

H

1

e

H

2

de dimensões

N

1

e

N

2

omo sendo

{|

u

i

i ⊗ |

v

α

i}

. O vetor de estado

|

Ψ

i

pode então ser esrito emtermos desta base:

|

Ψ

_i

=

X

i, α

c

iα

|

u

i

i ⊗ |

v

α

i

.

(2.64)

(28)

possível assoiar todo estado

|

Ψ

i

a estados puros nos subespaços

H

1

e

H

2

separadamente; trata-sede um estado ujaspartes estão emaranhadas.

A matriz que representa um operador de estado em

H

possui

N

2

1

N

2

nú-meros omplexos, ao passo que asmatrizes que representam operadores nos

espaços

H

1

e

H

2

possuemno total

N

2

1

+

N

2

números. Ou seja, há asos em que

5

existe informação presente nas orrelações entre as partes. Isso

signi-a que em muitos asos as grandezas físiasde um grau de liberdadeestão

em orrespondênia om grandezas físias de outro. Medir grandezas

físi-as relaionadas a um grau de liberdade apenas, signia obter a grandeza

espeiada independente dos outros graus de liberdade. Portanto, se um

operador

A

ˆ

atua em

H

1

,sua extensão em

H

=

H

1

⊗ H

2

será dada por:

ˆ

A

1

= ˆ

A

⊗

1 ,

(2.65)

om formaanáloga para operadores que atuam em

H

2

. Com esta denição, é fail pereber que nem sempre o produto

h

A

ˆ

1

ih

B

ˆ

2

i

é igual aovalormédio do produto

A

ˆ

1

B

ˆ

2

, i.e., háasos emque

h

A

ˆ

1

ih

B

ˆ

2

i 6

=

h

A

ˆ

1

B

ˆ

2

i

.

Ovalormédio dooperador

A

ˆ

1

emumestadorepresentado por

ρ

éobtido pelotraço:

h

A

ˆ

1

i

=

Tr

{

ρ

A

ˆ

1

}

.

(2.66) Pode-se obteruma fórmulapara este traço esrevendo-se amatriz do

opera-dor

A

ˆ

1

emtermos de uma base ortonormal, i.e., se:

ˆ

A

=

X

ij

a

ij

|

u

i

ih

u

j

|

,

(2.67)

a extensão de

A

ˆ

em

H

será dada por:

ˆ

A

1

=

X

ijαβ

a

ij

δ

αβ

|

u

i

i ⊗ |

v

α

ih

u

j

| ⊗ h

v

β

|

(2.68)

Se um estado érepresentado pelamatriz dooperadorde estado,

ρ

=

X

ijαβ

λ

ijαβ

|

u

i

i ⊗ |

v

α

ih

u

j

| ⊗ h

v

β

|

,

(2.69)

o valormédio de

A

ˆ

pode ser esrito omo: Tr

{

ρ

A

ˆ

1

}

=

X

ijαβ

a

ij

δ

αβ

λ

jiβα

=

X

ijα

a

ij

λ

jiαα

=

Tr

{

ρ

1

A

ˆ

}

,

(2.70)

5

(29)

onde

ρ

1

é hamadooperadorde estado reduzido e édado pelotraço parial:

ρ

1

=

Tr

2

{

ρ

}

=

X

α

λ

ijαα

|

u

i

ih

u

j

|

.

(2.71)

Aosefazerotraçoparialdadopelaequação(2.71),háperdadeinformação.

O resultado disso é queo operador densidade reduzido dado por(2.71) nem

sempre é puro e portanto Tr

{

ρ

2

1

} ≤

1

. No entanto quando

ρ

possui a forma

ρ

=

ρ

1

⊗

ρ

2

, i.e., quando é possível estabeleer estados denidos em ada subsistema,osoperadoresdensidadereduzidossãopuroseTr

{

ρ

2

1

}

= 1

. Neste aso, diz-se que o estadoé fatorável.

Umamedidadasorrelaçõesentre doissistemaspode portantoserobtida

atravésda Entropia Linear denida omo:

S

= 1

₋

Tr

{

ρ

2

1

}

.

(2.72)

É importante notar que no aso de existirem dois subsistemas apenas,

não importaqualdosoperadores densidadereduzidoséutilizadoparadenir

a entropia linear. Para mostrar isso utiliza-se da deomposição de Shmidt

[28℄. Essa deomposição pode ser vista omo uma forma simpliada de se

esrever (2.64). Dado um vetor de estado

|

Ψ

i ∈ H

=

H

1

⊗ H

2

, é sempre possível enontrar bases ortogonais

{|

u

α

i}

de

H

1

e

{|

v

α

i}

de

H

2

de forma que:

|

Ψ

_i

=

N1

X

k

α

k

|

u

α

i ⊗ |

v

α

i

(2.73)

om

α

k

>

0,

P

N1

k

α

2 k

= 1

, sendo

N

1

a dimensão do menor dos subsistemas. Segundo estadeomposição, ooperadordeestado