UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA
PARA O ENSINO MÉDIO
MAXIMILIANO PAULO DA SILVA
PROVAS DE IDENTIDADES VIA ARGUMENTOS COMBINATÓRIOS
MARTINS – RN
2016
MAXIMILIANO PAULO DA SILVA
PROVAS DE IDENTIDADES VIA ARGUMENTOS COMBINATÓRIOS
Monografia apresentada à Universidade Federal do Rio Grande do Norte como um dos pré-requisitos para obtenção do grau de Especialista em Ensino de Matemática para o Ensino Médio, sob a orientação do Professor Dr. Iesus Carvalho Diniz.
MARTINS – RN
2016
MAXIMILIANO PAULO DA SILVA
PROVAS DE IDENTIDADES VIA ARGUMENTOS COMBINATÓRIOS
Monografia apresentada à Universidade Federal do Rio Grande do Norte como um dos pré-requisitos para obtenção do grau de Especialista em Ensino de Matemática para o Ensino Médio, sob a orientação do Professor Dr. Iesus Carvalho Diniz.
Aprovado em: 28 de agosto de 2016
Banca Examinadora
Professor Dr. Iesus Carvalho Diniz – UFRN Presidente – Orientador
Professora Esp. Luciana Vieira Andrade – UFRN Primeiro Membro
Professor Me. Odilon Junior dos Santos – UFRN Segundo Membro
MARTINS – RN
2016
As minhas filhas, Maria Jaziele e Maria Joziele, à minha esposa Bárbara, meus avôs maternos Severino Lázaro e Maria de Lourdes e a minha mãe Maria Ires que mesmo não podendo estar acompanhando de perto esta etapa da minha vida se sentem realizados com as conquistas alcançadas.
AGRADECIMENTOS
A Deus por tudo que me tens me concedido, pela sua presença constante na minha vida sem que eu precisasse pedir pelo auxílio nas minhas escolhas e me confortar nas horas difíceis. Aos meus avôs Severino Lázaro e Maria de Lourdes que se sentiram na sua obrigação de oferecer aquilo que tinham, para que, eu como neto e filho de criação pudesse crescer com os meus próprios esforços. À minha mãe Maria Ires, que teve a coragem de largar a vida no interior e ir buscar na cidade grande melhores condições de vida para garantir o apoio financeiro nas necessidades da vida. Ao meu irmão Igoberto, que mesmo tendo nossas indiferenças, adoro saber que lhe tenho como irmão único. À minha esposa Bárbara Suelen, pelo amor, carinho, compreensão e incentivo que tens me dado para seguir sempre de cabeça erguida e permanecer na busca de alcançar meus objetivos. Às minhas filhas Maria Jaziele e Maria Joziele que mesmo não satisfeita com minha ausência fazem de mim um pai realizado com o carinho que me dão. A todos os meus familiares que sempre me apoiaram naquilo que desejei realizar. Aos professores que fizeram parte deste curso, garantindo a oportunidade de poder oferecer uma qualificação profissional dentro do mercado de trabalho. Ao meu professor, Dr. Iesus Carvalho Diniz, que apesar de ter sido um grande orientador foi também um grande amigo, dando todo incentivo e colaboração para a construção desse trabalho.
A matemática é um instrumento poderoso nas mãos daqueles que a sabem usar.
RESUMO
A Análise Combinatória é o ramo da Matemática que analisa estruturas e relações discretas. A partir de seu estudo é possível resolver inúmeros problemas, principalmente aqueles que nos remetem a determinar cardinalidades, isto é, enumerar ou contar os subconjuntos de um conjunto finito dado e que satisfazem certas condições dadas. Para isto, contamos com várias técnicas de contagem, tais como, as combinações, arranjos e permutações, que são consideradas dentre tantas outras as mais conhecidas e, praticamente as mais utilizadas no ensino básico e até mesmo nas graduações de licenciatura em Matemática. O presente trabalho, não vem mostrar as fórmulas algébricas que são utilizadas para solucionar problemas de contagem. Vem apresentar uma técnica bastante interessante e de grande relevância para aqueles que desejam aprimorar e/ou remodelar a visão de como utilizar-se desse ramo para solucionar problemas de contagem, sem necessariamente está atrelado à fórmulas prontas. Nesse sentido, apresentamos algumas identidades combinatórias que serão demonstradas algebricamente e aplicadas na resolução de problemas, a partir de argumentações pautadas nos princípios básicos que fundamentam esse estudo. Desse modo, é possível perceber o quanto a Análise Combinatória aguça a forma de pensar a Matemática, principalmente quando se trata de situações problemas contextualizadas, o que proporciona um aprendizado mais preciso e concreto sobre o tema, ampliando o campo de visão e as possibilidades de utilização sem recorrer a meras fórmulas prontas.
Palavras – chave: Análise Combinatória – Identidades Combinatórias – Argumentação Combinatória.
ABSTRACT
The Combinatorial analysis is the branch of mathematics that analyzes structures and discrete relationships. From their study it is possible to solve many problems, especially those that lead us to determine cardinality, that is, list or count the subsets of a given finite set and satisfying certain given conditions. For this, we have various counting techniques such as, combinations, arrangements and permutations, which are considered among many others the best known and the most practically used in primary education and even in undergraduate degrees in mathematics. This work comes not show the algebraic formulas that are used to solve counting problems. Is presenting a very interesting technique and of great relevance for those who wish to enhance and / or reshape the vision of how to use this branch to solve counting problems without necessarily is linked to ready-made formulas. In this sense, we present some combinatorial identities will be demonstrated algebraically and applied problem solving, from arguments guided by the basic principles underlying this study. Thus, you can see how the Combinatorial Analysis sharpens thinking mathematics, especially when it comes to contextualized problem situations, which provides more precise and concrete learning on the topic, expanding the field of view and the possibilities for use without resorting to mere formulas ready.
SUMÁRIO
1 – INTRODUÇÃO ... 09
2 – IDENTIDADES COMBINATÓRIAS ... 10
2.1 – IDENTIDADE I (RELAÇÃO DE STIFEL) ... 10
2.1.1 – Prova da Identidade I ... 11
2.2 – IDENTIDADE II ... 12
2.2.1 – Prova da Identidade II ... 12
2.3 – IDENTIDADE III ... 13
2.3.1 – Prova da Identidade III ... 13
2.4 – IDENTIDADE IV ... 14
2.4.1 – Prova da Identidade IV ... 14
2.5 – IDENTIDADE V (O BINÔMIO DE NEWTON) ... 15
2.5.1 – Prova da Identidade V ... 16
3 – CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 18
9
1 – INTRODUÇÃO.
Ao debruçar-se sobre os estudos em Matemática Discreta, especialmente sobre a Análise Combinatória, a primeira impressão é que, essa é apenas uma teoria que estuda as combinações, arranjos e permutações. Apesar de contê-las, são apenas algumas técnicas utilizadas para solucionar casos particulares, ou seja, de certos tipos de subconjuntos de um conjunto finito.
De forma mais completa, é possível definir a Análise Combinatória como sendo a parte da Matemática que se ocupa em analisar estruturas discretas, e, dentro dessas estruturas, há outras técnicas mais elaboradas para ataca-las, tais como: o princípio da inclusão-exclusão, o princípio das gavetas, entre outras.
Apesar de existir dentro da Análise Combinatória técnicas gerais, para resolver problemas de contagem, essa solução, em muitos casos só é possível se o indivíduo conseguir extrair do problema, informações que o remetam a uma consistente interpretação e compreensão do que lhe é apresentado, ou seja, é necessário se inserir dentro da situação problema e pôr em prática a criatividade que é fundamentada nas técnicas já conhecidas.
Nesse sentido, objetivo desse trabalho não é o de apresentar um apanhado de formulas que permitam ser utilizadas para solucionar problemas de combinatória, mas sim, apresentar algumas dentre as várias identidades combinatórias existentes nesse contexto, dando assim, uma maior visão de como os problemas podem ser resolvidos, e, o mais importante, sem se preocupar necessariamente com a fórmula que será utilizada em cada caso, e sim, com a sua criatividade de argumentação.
No entanto, o presente trabalho está organizado em um único capítulo, no qual, contém cinco identidades combinatórias apresentadas, dentre elas, a Relação de Stifel e, o Binômio de Newton, que serão abordadas de forma algébrica e aplicadas em resoluções de problemas, uma para cada identidade por meio de argumentos combinatórios.
10
2 – IDENTIDADES COMBINATÓRIAS.
Nesse tópico apresentaremos uma série de identidades combinatórias, que serão definidas, demonstradas algebricamente, aplicadas em situações problemas que envolvem o estudo da Análise Combinatória, tudo isso, de forma sucessiva.
2.1 – IDENTIDADE I (RELAÇÃO DE STIFEL).
A Relação de Stifel é uma propriedade dos números binomiais que nos permite construir rapidamente o Triângulo de Pascal. [3]
Essa relação traduz a ideia de que ao somar dois elementos consecutivos de uma mesma linha do Triângulo de Pascal, o resultado obtido será encontrado na linha seguinte, logo abaixo da segunda parcela, como mostra a imagem abaixo.
Figura (1) – Triângulo de Pascal – Imagem Ilustrativa
(𝑛𝑘) + (𝑘+1𝑛 ) = (𝑛+1𝑘+1), para 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛. Demonstração Algébrica: (𝑛𝑘) + (𝑘+1𝑛 ) = 𝑛! 𝑘!(𝑛−𝑘)!+ 𝑛! (𝑘+1)!(𝑛−(𝑘+1))! = 𝑛! 𝑘!(𝑛−𝑘)!+ 𝑛! (𝑘+1)!(𝑛−𝑘−1)!= 𝑛! 𝑘!(𝑛−𝑘)!. (𝑘+1) (𝑘+1)+ 𝑛! (𝑘+1)!(𝑛−𝑘−1)!. (𝑛−𝑘) (𝑛−𝑘) = 𝑛!(𝑘+1) (𝑘+1)!(𝑛−𝑘)!+ 𝑛!(𝑛−𝑘) (𝑘+1)!(𝑛−𝑘)!= 𝑛!(𝑘+1+𝑛−𝑘) (𝑘+1)!(𝑛−𝑘)! = 𝑛!(𝑛+1) (𝑘+1)!(𝑛−𝑘)!= (𝑛+1)! (𝑘+1)!(𝑛−𝑘)!= (𝑛+1𝑘+1).
11
2.1.1 – Prova da Identidade I.
Problema: A turma 2008 do Curso de Matemática da Universidade Federal tem n estudantes. De quantas maneiras podemos formar uma comissão com k membros para representar a turma em um seminário sobre cálculo? [2]
Prova por Argumento Combinatório (1): Pela definição de combinação, seja Ѕ o conjunto das comissões com k representantes. As maneiras de se formar essas comissões é:
# 𝑺 = (𝑛𝑘) (𝒊)
Prova por Argumento Combinatório (2): Fixando um membro da turma, digamos João. Dividimos o processo de escolha das comissões em dois conjuntos:
A= {Comissões com o João}
B= {Comissões que excluem o João}
Observemos que A ∩ B = ∅ e # 𝑺 = 𝐴 ∪ 𝐵 são todas as comissões com k representantes que podemos formar.
Caso em que ocorre A: escolhemos João para a comissão, logo resta completar a comissão com (𝑘 − 1) membros escolhidos de (𝑛 − 1) estudantes. Assim, pela definição de combinação, (𝑛−1𝑘−1) é o número de comissões possíveis.
Caso em que ocorre B: retiramos João da turma, assim teremos (𝑛 − 1) estudantes, destes escolhemos as comissões com k membros. Assim, pela definição de combinação, (𝑛−1𝑘 ) é o número de comissões possíveis.
Como A e B são conjuntos disjuntos, e, pelo princípio aditivo, temos então:
#𝑺 = #(𝐴 ∪ 𝐵) = #𝐴 + #𝐵 = (𝑛 − 1 𝑘 − 1) + (
𝑛 − 1
12
Conclusão: Diante das soluções apresentadas em (i) e (ii), que caracterizam a resolução do mesmo problema e, relacionando com a Identidade I (Relação de Stifel) apresentada, é notório perceber que a prova por argumentação combinatória da Identidade I se verifica nessa solução. 2.2 – IDENTIDADE II. 𝑘(𝑛𝑘) = 𝑛(𝑛−1𝑘−1), 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑘 ≤ 𝑛, 𝑛 ≥ 1. [2] Demonstração Algébrica: 𝑘(𝑛𝑘) = 𝑘 𝑛! 𝑘!(𝑛−𝑘)!= 𝑘 𝑛(𝑛−1)! 𝑘(𝑘−1)!(𝑛−𝑘)! = 𝑛(𝑛−1)! (𝑘−1)!(𝑛−𝑘−1+1)!= 𝑛 (𝑛−1)! (𝑘−1)![(𝑛−1)−(𝑘−1)]!= 𝑛( 𝑛−1 𝑘−1).
2.2.1 – Prova da Identidade II.
Problema: A diretoria de um grêmio estudantil é formada por k representantes sendo um deles o presidente. Se a escola tem n estudantes e qualquer um deles pode fazer parte do grêmio estudantil, então, de quantos modos pode-se formar a diretoria do grêmio? [2]
Prova por Argumento Combinatório (1): Com n estudantes, é possível formar comissões com k representantes. Isso pode ser realizado fazendo uma combinação de (𝑛𝑘) modos. A partir dessas comissões, é necessário escolher um representante para assumir a função de presidente. Assim, esse fato, pode ser feito tomando uma combinação de (𝑘1) = 𝑘 .
Pelo princípio multiplicativo, temos: 𝑘(𝑛𝑘) (𝒊), Corresponde ao número de diretorias possíveis.
Prova por Argumento Combinatório (2): Dentre os n estudantes, escolhemos o presidente da comissão que pode ser escolhido de n modos. Com isso, a diretoria pode ser completada com os (𝑘 − 1) membros escolhidos dentre os (𝑛 − 1) estudantes.
Pelo princípio multiplicativo, o número de diretorias para formar o grémio estudantil é escrito como sendo: 𝑛(𝑛−1𝑘−1) (𝒊𝒊), corresponde ao número de diretorias possíveis.
13
Conclusão: Diante das soluções apresentadas em (i) e (ii), que caracterizam a resolução do mesmo problema e, relacionando com a Identidade II apresentada, é notório perceber que a prova por argumentação combinatória da Identidade II se verifica nessa solução.
2.3 – IDENTIDADE III. 𝑘(𝑘 − 1)(𝑛𝑘) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛−2𝑘−2), 𝑝𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛. [2] Demonstração Algébrica: 𝑘(𝑘 − 1)(𝑛𝑘) = 𝑘(𝑘 − 1) 𝑛! 𝑘!(𝑛−𝑘)!= 𝑘(𝑘 − 1) 𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)! 𝑘(𝑘−1)(𝑘−2)!(𝑛−𝑘)!= 𝑛(𝑛 − 1) (𝑛−2)! (𝑘−2)!(𝑛−𝑘)!= 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛−2𝑘−2).
2.3.1 – Prova da Identidade III.
Problema: Os proprietários de uma fábrica de sapatos querem formar uma comissão para representá-la em uma feira de calçados que ocorrerá em uma cidade vizinha. De quantas maneiras eles podem formar uma comissão com k membros, dentre eles um diretor e um vice-diretor, escolhidos dentre os n funcionários? [2]
Prova por Argumento Combinatório (1): De fato, a comissão pode ser escolhida tomando uma combinação de (𝑛𝑘) maneiras. Dentre os k membros escolhidos, se faz a escolha do diretor, o que, ocorre fazendo uma combinação de (𝑘1) = 𝑘. Por fim, faz-se a escolha do vice-diretor, a partir dos (𝑘 − 1) membros restantes, que será uma combinação de (𝑘−11 ) = 𝑘 − 1.
Aplicando o princípio multiplicativo temos:
𝑘(𝑘 − 1)(𝑛𝑘) (𝒊) Corresponde ao número de comissões possíveis.
Prova por Argumento Combinatório (2): Formando a comissão a partir da escolha do diretor e em seguida do vice-diretor, temos que, por definição de combinação, a escolha do diretor pode ser realizada fazendo uma combinação de (𝑛1) = 𝑛 maneiras. Tomando os mesmos
14
princípios a escolha do vice-diretor pode ser realizada fazendo uma combinação de (𝑛−11 ) = 𝑛 − 1 maneiras. Contudo, ainda restam (𝑛 − 2) funcionários para comporem a comissão, que será escolhida a partir da combinação de (𝑛−2𝑘−2).
Aplicando o princípio multiplicativo temos:
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛−2𝑘−2). (𝒊𝒊) Corresponde ao número de comissões possíveis.
Conclusão: Diante das soluções apresentadas em (i) e (ii), que caracterizam a resolução do mesmo problema e, relacionando com a Identidade III apresentada, é notório perceber que a prova por argumentação combinatória da Identidade III se verifica nessa solução.
2.4 – IDENTIDADE IV. ∑𝑛 𝑘(𝑛𝑘) = 𝑛2𝑛−1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 1. 𝑘=1 [3] Demonstração Algébrica: ∑ 𝑘(𝑛𝑘) = ∑𝑛𝐾=1𝑘 𝑛! 𝑘!(𝑛−𝑘)!= ∑ 𝑘 𝑛 𝑘=1 𝑛! 𝑘(𝑘−1)!(𝑛−𝑘)! = ∑ 𝑛(𝑛−1)! (𝑘−1)!(𝑛−𝑘)! 𝑛 𝑘=1 = 𝑛 𝑘=1 ∑𝑛𝑘=1𝑛 (𝑛−1)! (𝑘−1)!(𝑛−𝑘)!= ∑ 𝑛 𝑛 𝑘=1 (𝑛−1𝑘−1) = 𝑛 ∑𝑛𝑘=1(𝑛−1𝑘−1) = 𝑛2𝑛−1.
2.4.1 – Prova da Identidade IV.
Problema: Quantas são as comissões, de qualquer tamanho, com membros escolhidos de uma classe com n estudantes, sendo que um dos membros é designado como presidente? [2]
Prova por Argumento Combinatório (1): Por definição de combinação, há (𝑛𝑘) modos de formar uma comissão contendo k estudantes. Formada a comissão, tem-se, também, k modos de escolher o presidente dessa comissão.
Pelo princípio multiplicativo, temos então, 𝑘(𝑛𝑘) comissões distintas.
Sabendo-se que as comissões podem ser de qualquer tamanho possível, temos, pelo princípio aditivo:
15
1(𝑛1) + 2(𝑛2) + 3(𝑛3) + ⋯ + 𝑛(𝑛𝑛) = ∑𝑛𝑘=1𝑘(𝑛𝑘) (𝒊) Corresponde ao número de comissões possíveis.
Prova por Argumento Combinatório (2): Formando a comissão, a partir da escolha do presidente, há, no entanto, n maneiras de escolher o presidente. Escolhido o presidente a comissão será composta pelos escolhidos dentre os (𝑛 − 1) estudantes. Para tanto, cada estudante pode fazer parte ou não dessa comissão, o que gera duas possibilidades para cada um deles. Logo é possível completar a comissão independente do tamanho com 2𝑛−1 número de
escolhas possíveis.
Pelo princípio multiplicativo temos, então: 𝑛 2𝑛−1 comissões possíveis. (𝒊𝒊)
Corresponde ao número de comissões possíveis.
Conclusão: Diante das soluções apresentadas em (i) e (ii), que caracterizam a resolução do mesmo problema e, relacionando com a Identidade IV apresentada, é notório perceber que a prova por argumentação combinatória da Identidade IV se verifica nessa solução.
2.5 – IDENTIDADE V (O BINÔMIO DE NEWTON).
Se x e a são números reais e n é um inteiro positivo, então: (𝑥 + 𝑎)𝑛 = ∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑘)𝑥𝑛−𝑘𝑎𝑘 [3]
Demonstração Algébrica: observemos que:
i) o desenvolvimento de (𝑥 + 𝑎)𝑛 possui (𝑛 + 1) termos;
ii) os coeficientes do desenvolvimento de (𝑥 + 𝑎)𝑛 são os elementos da linha n do Triângulo de Pascal;
iii) escrevendo os termos do desenvolvimento na ordem, ou seja, ordenados segundo as potências decrescentes de x, o termo de ordem k+1 é: 𝑇𝑘+1= (𝑛𝑘)𝑥𝑛−𝑘𝑎𝑘.
Assim, temos:
16
Cada termo do produto é obtido escolhendo-se em cada parêntese um x ou um a e multiplicando-se os escolhidos. Para cada valor de k, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, se escolhermos a em k parênteses, x será escolhido em n-k dos parênteses e o produto será igual a 𝑥𝑛−𝑘𝑎𝑘 com 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛. Isso pode ser feito de (𝑛𝑘) maneiras. Então (𝑥 + 𝑎)𝑛 é uma soma onde há, para cada 𝑘 ∈ {0,1, … , 𝑛}, (𝑛𝑘) parcelas iguais a 𝑥𝑛−𝑘𝑎𝑘, isto é:
(𝑥 + 𝑎)𝑛 = ∑ (𝑛
𝑘)𝑥𝑛−𝑘𝑎𝑘 𝑛
𝑘=0
2.5.1 – Prova da Identidade V.
Problema: A professora de Matemática de uma turma de n alunos deu a seus alunos uma lista de x questões de combinatória e y questões de geometria, e pediu que cada aluno escolhesse uma questão para resolver. Quantas são as diferentes formas dos n alunos escolherem a sua questão? [2]
Prova por Argumento Combinatório (1): Considerando o banco de questões, cada aluno terá (𝑥 + 𝑦)𝑛 escolhas. (𝒊) Corresponde ao número de escolhas possíveis.
Prova por Argumento Combinatório (2): Considerando os n alunos da turma, x igual aos alunos que resolvem questões de combinatória e y igual aos alunos que resolve questões de geometria, escolhendo k alunos e fixamos. Se k=0, significa que não teremos alunos resolvendo questões de combinatória, somente alunos resolvendo questões de geometria. Isto pode ser feito de tal modo: (𝑛0)𝑥0𝑦𝑛 = 𝑦𝑛.
Se k=1 haverá, (𝑛1) maneiras de escolher o aluno que resolve uma questão de combinatória. Fixando o aluno escolhido, resta decidir a questão de combinatória (x) e a questão de geometria (y), o que gera um total de 𝑛. 𝑥𝑦𝑛−1.
Se k=2 haverá, (𝑛2)maneiras de escolher o aluno que resolve a questão de combinatória e este terá x² modos de escolher a questão de combinatória e, para a escolha do aluno e a escolha da questão de geometria pelo aluno, temos, 𝑦𝑛−2, num total de (𝑛2)𝑥2𝑦𝑛−2.
17
Assim, para um k arbitrário (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛), escolhe a lista de k alunos que resolvem a questão de combinatória, fixando a lista de k alunos temos xk modos de escolha da questão de combinatória e para escolha do aluno e a questão de geometria, temos 𝑦𝑛−𝑘.
Pelo princípio multiplicativo temos, (𝑛𝑘)𝑥𝑘𝑦𝑛−𝑘. Se k=n, temos alunos resolvendo somente questões de combinatória e nenhum resolvendo questão de geometria, o que pode ser visto com a combinação de (𝑛𝑛)𝑥𝑛𝑦0 maneiras.
Contudo, todos os modos possíveis de escolher a questão de combinatória ou de geometria são: 𝑦𝑛+ (𝑛 1)𝑥𝑦𝑛−1+ ( 𝑛 2)𝑥2𝑦𝑛−2+ ⋯ + ( 𝑛 𝑘)𝑥𝑘𝑦𝑛−𝑘+ ⋯ + 𝑥𝑛 = ∑ ( 𝑛 𝑘)𝑥𝑘𝑦𝑛−𝑘 (𝒊𝒊) ℎ 𝑘=0
Corresponde ao número de escolhas possíveis.
Conclusão: Diante das soluções apresentadas em (i) e (ii), que caracterizam a resolução do mesmo problema e, relacionando com a Identidade V apresentada, é notório perceber que a prova por argumentação combinatória da Identidade V se verifica nessa solução.
18
3 – CONSIDERAÇÕES FINAIS.
É importante destacar a importância no que diz respeito à aprendizagem com relação ao tema estudado, como também na estruturação do trabalho, pois, embora tenha sido um grande desafio e de certa forma enriquecedor para com o futuro promissor, ou seja, como educador matemático, surgiram algumas dificuldades por se tratar de uma nova experiência.
Neste trabalho, o tema estudado se apresentou de forma bastante sucinta e atrativa, já que o propósito não se estenderia em apresentar um trabalho em larga escala.
Contudo, se pode ver que a Análise Combinatória aguça a forma de pensar no raciocínio da Matemática, principalmente quando se trata de situações problemas contextualizadas. Isso, requer uma solidificação e consistência diante dos conhecimentos matemáticos já adquiridos.
A forma de manusear as técnicas utilizadas torna apreciativo o processo de realização de contagem. As demonstrações, permitem perceber os caminhos de forma detalhada para se chegar ao objetivo, que é o outro lado da igualdade.
Por fim, aplicabilidade dentro dos problemas permitem fechar o raciocínio de forma a enxergar um caminho que até então não podia ser visto, por meio dos métodos simples de contagem, tais como, a permutação, o arranjo e a combinação, aplicados de forma direta. Assim, a conexão fica clara e não há necessidade de recorrer a um número exaustivo de fórmulas decorativas.
19
REFERÊNCIAS
[1] LIMA, E. L., CARVALHO, P. C. P., WAGNER, E., MORGADO, A. C. A matemática do ensino médio – 6. ed. – Rio de Janeiro: SBM 2006.
[2] LIMA, V. B., Demonstração de Identidades Combinatórias com Teoria de Contagem. Trabalho de Conclusão de Curso – Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG, Belo Horizonte/MG, 2009.
[3] MORGADO, A. C. O., CARVALHO, J. B. P., CARVALHO, P. C. P., FERNANDEZ, P. Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada. 2006.
