Matrizes de rigidez e de tensões para um elemento finito de cascas ortotrópicas de revolução

U N I V E R S I D A D E F E D E R A L DE S A N T A C A T A R I N A D E P A R T A M E N T O DE E N G E N H A R I A ' M E C Â N I C A M A T R I Z E S DE R I G I D E Z E D E T E N S Õ E S P A R A U M E L E M E N T O F I ­ N I T O D E C A S C A S O R T O T R Õ P I C A S D E R E V O L U Ç Ã O D I S S E R T A Ç Ã O S U B M E T I D A Ä U N I V E R S I D A D E F E D E R A L DE S A N T A CA.TARINA P A R A A O B T E N Ç Ã O D O G R A U D E M E S T R E E M E N G E N H A RIA;' C A R L O S A L B E R T O D E C A M P O S S E L K E J U L H O - 19 80

C A R L O S A L B E R T O D E C A M P O S S E L K E E S T A D I S S E R T A Ç Ã O FOI J U L G A D A P A R A A O B T E N Ç Ã O D O T Í T U L O DE M E S T R E E M E N G E N H A R I A E S P E C I A L I D A D E E N G E N H A R I A M E C Â N I C A , Â R E A DE C O N C E N T R A Ç Ã O P R O J E T O M E C Â N I C O E A P R O V A D A E M S U A F O R M A F I N A L P E L O C U R S O DE P Õ S - G R A D U A ÇÃO. Prof. A r n o Bl a s s , Ph.D. Coor.denador P ro f , D o m i n g o s B o e c h a t A l v e s , Ph.D. O r i e n t a d o r A P R E S E N T A D A P E R A N T E A B A N C A E X A M I N A D O R A C O M P O S T A DOS P R O F E S S O R E S Pro.f, C l o v i s S pe r b de B a r c e l l o s , Ph.D. Prof. A r n o Bl a s s , Ph.D.

iii

A G R A D E C I M E N T O S - A o Prof, D o m i n g o s B o e c h a t A l v e s , p e l a o r i e n t a ç ã o ; - Ao c o m p a n h e i r o L u i z . T e i x e i r a do V a l e P e r e i r a , p e l o c o n s t a n t e i n c e n t iv o; - Aos c o m p a n h e i r o s A n t ô n i o B e n t o F i l h o e Ra u l G u e n ­ ther, p el a s s u g e s t õ e s ; . ■ - Ao a c a d ê m i c o W i l s o n W r o n s c k i R i c a r d o p e l o a u x í l i o n o t r a b a l h o c o m p u t a c i o n a l ; - Ã C N E N ( C om i s s ã o N a c i o n a l de E n e r g i a Nuclear)., t p e l a a j u d a f i n a n c e i r a p r e s t a d a durant'e p a r t e da r e a l i z a ç ã o d e s t e tra b a l h o ; Â UF SC, p o r t o r n a r p o s s í v e l a r e a l i z a ç ã o d e s t e t r a b a l h o .

V Í N D I C E N O T A Ç Ã O ... ... ... . . . ... . v i i R E S U M O . . . . --- . í ... ... ... ix A B S T R A C T ... ... ... ... . x C A P Í T U L O 1 - I N T R O D U Ç Ã O ... ... ... . 1 C A P Í T U L O 2 - F O R M U L A Ç Ã O A N A L Í T I C A DO E L E M E N T O F I N I T O ... 4 2.1. I n t r o d u ç ã o ... .. . ... ... . 4 2.2. G e o m e t r i a ... ... . 4 2.3. H i p ó t e s e s B á s i c a s . ... ... . 6 2.4. F u n ç õ e s D e s l o c a m e n t o s . ... . • 7 2.5. R e l a ç õ e s D e f o r m a ç õ e s - D e s l o c a m e n t o s ..., • 15' 2.6. R e l a ç õ e s T e n s õ e s R e s u l t a n t e s - D e f o r m a ç õ e s . 18 %2.7, M a t r i z de R i g i d e z do E l e m e n t o 24 2.8. M a t r i z de T e n s õ e s do E l e m e n t o . . . 31 C A P Í T U L O 3 - S U B - P R O G R A M A D I G I T A L C A S C A M ... 34 3.1, I n t r o d u ç ã o ... 34 3.2. B r e v e D e s c r i ç ã o do S u b - P r o g r a m a C A S C A M ,. 34 C A P Í T U L O 4 - R E S U L T A D O S E C O N C L U S Õ E S ... ... 38 4.1, I n t r o d u ç ã o ,•»,«.««•-,<«. • • . 38 4.2. S o l u ç ã o de P r o b l e m a s e C o m p a r a ç ã o de R e ­ s u l t a d o s ... ... ... 39 4.2.1, C a s c a c i l í n d r i c a - d e e s p e s s u r a c o n s . tante, lo n g a , c a r r e g a d a c o m p r e s ­ são i n t e r n a u n i f o r m e , m o m e n t o d i s ­ t r i b u í d o e f o r ç a c o r t a n t e d i s t r i ­ b u í d a no e x t r e m o ... 39 4.2.2, C a s c a c i l í n d r i c a de e s p e s s u r a co n s ; tante, cu r t a , c a r r e g a d a c o m p r e s -‘ • são i n t e r n a u n i f o r m e . . , , . . ... .. . 44 \ 4.2.3, C a s c a c i l í n d r i c a de e s p e s s u r a co n s t ante, c u r t a , b i e n g a s t a d a , c a r r e -/ g a d a c o m p r e s s ã o i n t e r n a u n i f o r m e . 49

4 ,2,4, C a s c a c i l í n d r i c a de e s p e s s u r a co n s tante, longa, c o m c a r g a u n i f o r m e -■ m e n t e d i s t r i b u í d a ao l o n g o de u m a s e c ç ã o c i r c u l a r . . . ... ... 59 4,3. C o n c l u s õ e s ... 63 R E F E R Ê N C I A S B I B L I O G R Á F I C A S ... ... . 65 A P Ê N D I C E S ... ... ... ... . 67 A. l - C O E F I C I E N T E S D A F U N Ç A O M E R I D I A N O R(.Ç) . . 68 A . 2 - S I S T E M A DE C O O R D E N A D A S ... ... 70 A . 3 - R E L A Ç Õ E S D E F O R M A Ç Õ E S - D E S L O C A M E N T O S ... 77 A . 4 - E Q U A Ç Õ E S DE D E F O R M A Ç Õ E S E S P E C Í F I C A S E M U D A N Ç A S DE C U R V A T U R A E M T E R M O S D AS C O O R D E ' N A D A S G E N E R A L I Z A D A S ... ... 84 - A. 5. - T E N S Õ E S E M O M E N T O S R E S U L T A N T E S ... 86 A .6 - T E R M O S D A M A T R I Z DE R I G l D Ê Z [K™] P A R A U M E L E M E N T O C I L Í N D R I C O ... . 9 3

V I I N O T A Ç Ã O Ç , R , <j>- - li n h a s de c o o r d e n a d a l o n g i t u d i n a l , r a d i a l e. c i r ~ c u n f e r e n c i a l , r e s p e c t i v a m e n t e , u, v, w d e s l o c a m e n t o s n a s d i r e ç õ e s m e r i d i o n a l , c i r c u n f e -r e n c i a l e -r a d i a l , -r e s p e c t i v a m e n t e . ( F i g u -r a 2.1.) 0 - r o t a ç ã o m e r i d i o n a l . ( F i g u r a A . 2,3.) ' - c o o r d e n a d a s 'g e n e r a l i z a d a s . m o r d e m do h a r m ô n i c o da s e r i e de F o u ri e r . - v e t o r d e s l o c a m e n t o do e l e m e n t o , p a r a ò h a r m ô n i c o e ■ . ’ m, £b] - m a t r i z (8x 1 2 ) q u e r e l a c i o n a d e s l o c a m e n t o s n o e l e ­ m e n t o c o m c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s . [M] - m a t r i z (12x12) que r e l a c i o n a c o o r d e n a d a s generali_ zadas c o m d e s l o c a m e n t o s no e l e me nt o, {e;™} . - v e t o r d e f o r m a ç õ e s e s p e c í f i c a s do e l e m e n t o , p a r a o h a r m ô n i c o m. [Wm ] m a t r i z (6x12) d e f o r m a ç ã o d e s l o c a m e n t o s do e l e m e n -Ç V t o , p a r a o h a r m ô n i c o m. z r ^ d i s t â n c i a medida, ao l on g o dá e s p e s s u r a , a p a r t i r da s u p e r f í c i e de r e f e r ê n c i a , (Fig. A . 2.1.) r aios de c u r v a t u r a nas d i r e ç õ e s m e r i d i o n a l e ci r -í $ c u n f e r e n c i a l r e s p e c t i v a m e n t e , L - c o m p r i m e n t o l o n g i t u d i n a l do e l e m e n t o , A, R - c o e f i c i e n t e s da p r i m e i r a f o r m a f u n d a m e n t a l p a r a \ ca s c a s .de r e v o l u ç ã o , h - e s p e s s u r a da casca. E» . E. - m o d u l o s de e l a s t i c i d a d e nas d i r e ç õ e s m e r i d i o n a l e £ ■ <J> . c i r c u n f e r e n c i a l , r e s p e c t i v a m e n t e .

v ' v - c o e f i c i e n t e s de P o i s s o n . V ^ ’ v <f>Ç

G - m o d u l o de e l a s t i c i d a d e t r a n s v e r s a l . {0 } • - v e t o r ten s õ e s .

{a^} - vetor' t e n s õ e s r e s u l t a n t e s do e le m e n t o , p a r a o har. m ô n i c o m. [E] - m a t r i z ('6x 6 ) t e n s õ e s r e s u l t a n t e s - d e f o r m a ç õ e s . {F } - v e t o r f o r ç a s de c o n t o r n o do e l e m e n t o , [Kjtf] - m a t r i z (8x 8 ) de r i g i d e z do e l e m e n t o . Um - e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o do e l e m e n t o , p a r a o h a r m ô n i 6 co m . w j - t r a b a l h o r e a l i z a d o p e l a s f o r ç a s de c o n t o r n o do e l em e n t o , p a r a o h a r m ô n i c o m. • - e n e r g i a p o t e n c i a l t o t a l do e l e m e n t o , p a r a o h a r m ô ■ n i c o m. a", a+ - r a i o s do p a r a l e l o no i n í c i o e t é r m i n o do e l e m e n -. to, r e s p e c t i v a m e n t e . [D™] - m a t r i z (.12x 8 ) q u e r e l a c i o n a c o o r d e n a d a s g e n e r a l i ­ z a das c o m d e s l o c a m e n t o s nos c o n t o r n o s do e l e m en to , p a r a o h a r m ô n i c o m. [Tg] m a t r i z (6x 8) .de t e n s õ e s do e l e m e n t o , p a r a o . h a r m ô n i c o m.

e°, e°, - componentes, do v e t o r d e f o r m a ç õ e s e s p e c í f i c a s da

K <í> £<*> • s u p e r f í c i e de r e f e r ê n c i a . k . k , k - c o m p o n e n t e s do v e t o r m u d a n ç a de c u r v a t u r a da su-V <}> ^ 1 • p e r f í c i e de r e f e r ê n c i a . \N , N ± , N _■ - t e n s õ e s de m e m b r a n a p o r u n i d a d e de c o m p r i m e n t o . Ç <f> Ç(J) M^, M,, M„, - m o m e n t o s p o r u n i d a d e de c o m p r i m e n t o . K «t> Ç<l> 0 , 0 - t e n s õ e s t r a n s v e r s a i s p o r u n i d a d e de c o m p r i m e n t o .

RESUMO

N este t r a b a l h o ê d e s e n v o l v i d a u m a f o r m u l a ç a o a n a l í t i c a p a r a u m e l e m e n t o f i n i t õ a x i s i m ê t r i c o de c a sc as finas de r e v o l u ­ ção, b a s e a d a n a t e o r i a de L o v e , v i s a n d o o c á l c u l o de d e s l o c a ­ m e nt o s e tens õ e s r e s u l t a n t e s e m c a s c a s de r e v o l u ç ã o c a r r e g a d a s a r b i t r a r i a m e n t e . A t r a v é s de uma. f o r m u l a ç ã o v.ariaci o n a i , a m a t r i z de r i ­ g idez do e l e m e n t o ê o b t i d a d a m i n i m i z a ç ã o -do f u n c i o n a l de e n e r ­ gia p o t e n c i a l total. P a r a l e l a m e n t e , são c a l c u l a d a s as m a t r i z e s de t e n s õ e s p a r a c a d a p o n t o de i n t e g r a ç ã o . A p a r t i r d e s t a f o r m u l a ç ã o a n a l í t i c a foi c o d i f i c a d o u m s u b - p r o g r a m a d i g i t a l que, i n s e r i d o em u m p r o g r a m a de e l e m e n t o s finitos, foi u t i l i z a d o n a r e s o l u ç ã o de v á r i o s p r o b l e m a s . Os r e s u l t a d o s o b t i d o s s ã o a p r e s e n t a d o s e c o m p a r a d o s com s o l u ç õ e s a n a l í t i c a s o u n u m é r i c a s e n c o n t r a d a s n a l i t e r a t u r a .

ABSTRACT

An analytical f o r m u l a t i o n for an a x i s y m e t r i c f i n i t e element, o f a thin s h ell of r e v o l u t i o n , b a s e d on the t h e o r y of Love, is d e v e l o p e d for the c o m p u t a t i o n of the d i s p l a c e m e n t s and the r e s u l t a n t s s t r e s s e s o f s h e l l s of r e v o l u t i o n a r b i t r a r i l y

l o a d e d . . •

By m ea n s o f a v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n , the s t i f f n e s s m a t r i x of the e l e m e n t is o b t a i n e d b y m i n i m i z a t i o n o f the

f u n c t i o n a l of t o t al p o t e n t i a l ’ e n e r g y . In a d d i t i o n , the s t r e s s m a t r i c e s are e v a l u a t e d for -eaxh i n t e g r a t i o n p o i n t .

U s i n g this a n a l y t i c a l f o r m u l a t i o n , a d i g i t a l s u b - p r o g r a m wa s c o d i f i e d and i n c l u d e d in a f in i t e e l e m e n t p r o g r a m .

A f t e r w a r d s , this p r o g r a m was u s e d in the s o l u t i o n o f v a r i o u s p r o b l e m s .

The r es u l t s are p r e s e n t e d a n d - c o m p a r e d w i t h a n a l y t i c a l or n u m e r i c a l s o l u t i o n s f o u n d in the l i t e r a t u r e .

U m a c a s c a f i na de r e v o l u ç ã o ê u m c o r p o d e l i m i t a d o p o r duas s u p e r f í c i e s de r e v o l u ç ã o s e p a r a d a s e n t r e si de p e q u e n a dis - tância. U t i l i z a n d o a F i g u r a 1.1. p o d e - s e v i s u a l i z a r os p a r â m e ­ tros g e o m é t r i c o s b á s i c o s de u m a c a s c a f i n a de r ev o l u ç ã o : o e i x o de r e v o lu çã o, a s u p e r f í c i e de r e f e r ê n c i a , a e s p e s s u r a e os c o n t o r nos. A s u p e r f í c i e de r e f e r ê n c i a ê o b t i d a p e l o g i r o da g e r a t r i z , d e n o m i n a d a m e r i d i a n o , em t o r n o do e i x o de r e v o l u ç ã o . 0 e s t u d o de cascas f in a s ê f e i to a t r a v é s d a a n á l i s e de suas s u p e r f í c i e s de r £ ferência. ■

1; INTRODUÇÃO

EIXO DE REVOLUÇÃO F i g u r a 1.1. - C a s c a f i n a de r e v o l u ç ã o

D i v e r s o s c o m p o n e n t e s e s t r u t u r a i s são c o n s t i t u í d o s de c a s c a s finas de r e v o l u ç ã o c a r r e g a d a s , e s t á t i c a ou d i n a m i c a m e n t e , das m a i s v a r i a d a s m a n e i r a s . S o l u ç õ e s a n a l í t i c a s e x a t a s p a r a p r o - b l e m a s de cascas p o d e m ser o b t i d a s s o m e n t e p a r a c a sos e s p e c i a i s . D e v i d o a isso, nos ú l t i m o s anos t e m s i d o g r a n d e o d e s e n v o l v i m e n t o de m é t o d o s a p l i c á v e i s a c o m p u t a d o r e s n a b u s c a de s o l u ç õ e s p a r a p r o b l e m a s c o m p l e x o s de c a s cas. E n t r e e s t e s m é t o d o s , u m dos q u e tem a l c a n ç a d o g r a n d e s u c e s s o é o m é t o d o dos e l e m e n t o s f i n i t o s , dcí v i d o ã sua g r a n d e v e r s a t i l i d a d e e e f i c i ê n c i a em m o d e l a r e r e s o l ­ v e r p r o b l e m a s de e s t r u t u r a s c o m p l e x a s c o m as m a i s d i v e r s a s f o r m a s de c a r r e g a m e n t o e v i n c u l a ç ã o . Em p r o b l e m a s de c a s c a s , e s t a s são m o d e l a d a s por um c o n j u n to de e l e m e n t o s i n t e r c o n e c t a d o s p o r n o s , s e n do q u e a c o n f i g u r a ç ã o d e s l o c a m e n t o no i n t e r i o r do e l e m e n t o é a p r o x i m a d a p o r f u n ç õ e s d e £ l o c a m e n t o dos nõs. E m v á r i a s a p l i c a ç õ e s do m é t o d o d e e l e m e n t o s fi^ n i t o s a c a s c a s de r e v o l u ç ã o , f o r a m u s a d o s s e g m e n t o s c ô n i c o s p a r a m o d e l a r a casca; es t e p r o c e d i m e n t o foi u s a d o p o r Popov, P e n z i e n e Lu [16]. N e s t e tipo de t r a t a m e n t o o c o r r e m d e s c o n t i n u i d a d e s de i n ­ c l i n a ç ã o e c u r v a t u r a e , e m c o n s e q ü ê n c i a , a p a r e c e m m o m e n t o s , f l e t o - res em r e g i õ e s on d e sõ e x i s t e m t e n s õ e s de m e m b r a n a . A u t i l i z a ç ã o de e l e m e n t o s curvos, e l i m i n a n d o d e s c o n t i n u i d a d e s de i n c l i n a ç ã o , tem sido m u i t o d i f u n d i d a nos ú l t i m o s anos. E s t e t r a t a m e n t o foi o u t i l i z a d o p o r B r o m b o l i c h e G o ü l d [15] ao d e r i v a r a m a t r i z de rigi^ dez e o c o n j u n t o de f o r ça s n o d a i s e q u i v a l e n t e s de u m e l e m e n t o f i ­ n it o p a r a c a s ca fi n a de r e v o l u ç ã o a t r a v é s do P r i n c í p i o de E n e r g i a P.otencial T o ta l E s t a c i o n á r i a . Os d e s l o c a m e n t o s g e n e r a l i z a d o s são a p r o x i m a d o s p o r p o l i n ó m i o s de g r a u v a r i á v e l * Os r e s u l t a d o s são c o n s i d e r a v e l m e n t e m e l h o r e s c o m p a r a d o s c o m a q u e l e s obtidos, .utili z an do -s e e l e m e n t o s côn i c o s .

3

No p r e s e n t e t r a b a l h o t e m - s e p o r o b j e t i v o o d e s e n v o l v i - m e n t o de u m e l e m e n t o f i n i t o c u r v o p a r a c a s c a s o r t o t r o p i c a s de r e ­

v o l u ç ã o a p a r t i r da m i n i m i z a ç ã o do f u n c i o n a l de e n e r g i a p o t e n c i a l total, c o m o i n t ui to de c a l c u l a r d e s l o c a m e n t o s e t e n s õ e s r e s u l t a n tes. P a r a t an t o a f o r m u l a ç ã o leva. em conta: a t e o r i a de c a s c a s f i ­ nas, c o n h e c i d a como t e o r i a de L o v e [1,5]. 0 m a t e r i a l d a c a s c a ê e l á s t i c o e orto.tropico. Os d e s l o c a m e n t o s são a p r o x i m a d o s p o r poli_ n ô m i o s do 3 9 grau, a s s i m c o mo o merid,iano, A l o c a l i z a ç ã o de u m p o n t o s o b re a c a s c a ê r e a l i z a d a p o r u m s i s t e m a de c o o r d e n a d a s c i ­ lín d r i c a s . Os c a r r e g a m e n t o s p o d e m ser q u a i s q u e r d e v e n d o s u a d i s ­ t r i b u i ç ã o ao l on g o da c o o r d e n a d a c i r c u n f e r e n c i a l s e r s u f i c i e n t e - m e n t e " s u a v e " p a r a q ue a e x p a n s ã o em s e ri e de F o u r i e r p o s s a ser r e a li za da . ' No c a p í t u l o dois ê d e s e n v o l v i d a u m a f o r m u l a ç ã o analíti. ca p a r a u m e l e m e n t o f i n i t o de c a s c a f i n a de r e v o l u ç ã o , u t i l i z a n d o a h i p ó t e s e de K i r c h h o f f - L o v e . A m i n i m i z a ç ã o do f u n c i o n a l da E n e r ­ gia P o t e n c i a l T o t a l f o r n e c e a m a t r i z de r i g i d e z do e l e m e n t o . C o m ­ p u t a ç õ e s a d i c i o n a i s l e v a m à m a t r i z de t e n s õ e s do e l e m e n t o . N o c a p í t u l o três é a p r e s e n t a d a u m a b r e v e d e s c r i ç ã o do s u b p r o g r a m a d i g i ta l C AS C A M , c o d i f i c a d o a p a r t i r da f o r m u l a ç ã o a n a l ít i c a d e s e n v o l v i d a no c a p í t u l o dois. No c a p í t u l o q u a t r o são a p r e s e n t a d o s r e s u l t a d o s de a l ­ guns p r o b l e m a s t í p i c o s r e s o l v i d o s c o m o s u b p r o g r a m a d i g i t a l C A S ­ CAM, c o m p a r a n d o - s e e s tes v a l o r e s c o m s o l u ç õ e s c o n h e c i d a s .

2. F O R M U L A Ç Ã O A N A L Í T I C A DO E L E M E N T O F I N I T O C U R V O 2.1. I n t r o d u ç ã o . N e s t e c a p í t u l o s e r á d e s e n v o l v i d a a f o r m u l a ç ã o a n a l í t i c a p a r a um e l e m e n t o f i n i t o de casca, f i n a . d e r e v o l u ç ã o , a p a r t i r da t e o r i a de cascas, u t i l i z a n d o h i p ó t e s e s b á s i c a s d i s c r i m i n a d a s n o item 2.3.. C o n s i d e r a n d o e s ta s h i p ó t e s e s , e x p a n d i r - s e - ã o os d e s l o ­ c a m e n t o s e os c a r r e g a m e n t o s em s e r i e de F o u r i e r n a d i r e ç ã o c i r c u n f e r e n c i a l e o b t e r - s e - ã o r e l a ç õ e s d e f o r m a ç õ e s - d e s l o c a m e n t o s e t e n ­ sões r e s u l t a n t e s - d e f o r m a ç õ e s . U t i l i z a n d o u m a f o r m u l a ç ã o v a r i a c i o n a l do p r o b l e m a , s e ­ rá m i n i m i z a d o o f u n c i o n a l de e n e r g i a p o t e n c i a l t o t a l do e l e m e n t o f i n i t o curvo, s e n d o o b t i d a s as m a t r i z e s de r i g i d e z e de t e n s õ e s do elemento. ■ \ 2 . 2 . G e o m e t r i a N e s t e t r a b a l h o s e r á u s a d o u m e l e m e n t o f i n i t o q u e a p r e ­ s e n ta o r a i o e s u a d e r i v a d a c o n t í n u o s ao l o n g o do e l e m e n t o ( F i g u ­ ra 2.1.). E s t e e l e m e n t o foi e s c o l h i d o d e v i d o ao fa t o q u e , e m c a s ­ cas com m e r i d i a n o " s u a v e " o. u s o de u m c o n j u n t o de e l e m e n t o s t r on- c o - c ô n i c o s i n t r o d u z d e s c o n t i n u i d a d e s nas t e n s õ e s r e s u l t a n t e s n a b o r d a de u n i ã o dos e l e m e n t o s , em r a z ã o da m u d a n ç a b r u s c a do v a l o r

5 F i g u r a 2.1. - E l e m e n t o de c a s c a U m p o n t o g e n é r i c o da s u p e r f í c i e de r e f e r ê n c i a da c a s c a ê d e t e r m i n a d o p el a s c o o r d e n a d a s l o n g i t u d i n a l Ç, r a d i a l R e cir- c u n f e r e n c i a l <j>. D e s s e m o do , o m e r i d i a n o p o d e .ser d e t e r m i n a d o e x ­ p l i c i t a n d o R como u m a f u n ç ã o de Ç, t o m a n d o - s e p a r a f u n ç ã o m e r i ­ d ia n o a exp r e s s ã o : R(£). = a Q + a-^Ç + a 2^ 2 + C2.1.)

u m a vez que esta f u n ç ã o a b r a n g e a g r a n d e m a i o r i a de t i pos de geo m e t r i a u s a d o s n a .prática, tais como: ar c o de c í r c u l o , a r c o de

e l i p s e , e t c ...

ca-sos g eral e p a r t i c u l a r e s p o d e m s e r e n c o n t r a d o s no A p ê n d i c e Al. N a Figura 2.1 e s t ã o r e p r e s e n t a d o s três d e s l o c a m e n t o s : u ( de s l o c a m e n t o m e r i d i o n a l ) , v ( d e s l o c a m e n t o c i r c u n f e r e n c i a l ) e w ( de s l o c a m e n t o n or m a l ) . 0 q u a r t o d e s l o c a m e n t o a s e r u t i l i z a d o s er ã a r o t a ç ã o m e r i d i o n a l 9, d a d a - p e l a r e l a ç ã o g e o m é t r i c a . ■ u - 2 - ) onde ê o raio. de c u r v a t u r a do m e r i d i a n o e A ê o c o e f i c i e n t e da p r i m e i r a f o r m a f u n d a m e n t a l , d e f i n i d o no A p ê n d i c e A . 2. 2.3. H i p ó t e s e s B a s i c a s N e s t e t r a b a l h o s e r ã u s a d a u m a t e o r i a l i n e a r de . cascas, elá s t i c a s , n o r m a l m e n t e c o n h e c i d a como . t e ò r i a ."de -Lové, b a s e a d a nas s e g u i n t e s h i p ó t e s e s : ' a) C a s c a f i n a bj P e q u e n o s d e s l o c a m e n t o s e r o t a ç õ e s c) A..tensão n o r m a l cr â s u p e r f í c i e de r e f e r ê n c i a é Ù * • d e s p r e z a d a , o q u e e q u i v a l e ã c o n d i ç ã o de t e n s õ e s planas'. ■ * d) As n o r m a i s ã s u p e r f í c i e de r e f e r ê n c i a antes da d e ­ f o r m a ç ã o , p e r m a n e c e m n o r m a i s à s u p e r f í c i e de r-efe-. r ê n c i a d e f o r m a d a , n ã o s o f r e n d o v a r i a ç ã o de c o m p r i -i \ m e n t o , o que e q u i v a l e ã c o n d i ç ã o de d e f o r m a ç õ e s p i a ■ n ( H i p ó t e s e de Kir- n a s , ou s e j a , e z = irÇz 0 . c h h ^ f £ . L o v e ) A i n c o n s i s t ê n c i a e n t r e o e s t a d o p l a n o de t e n s õ e s e o e s t a d o p l a n o de d e f o r m a ç õ e s é e l i m i n a d a c o n s i d e r a n d o - s e as d e f o r rv

7

m a çõ es m é d i a s da s u p e r f í c i e de r e f e r ê n c i a [ R e f e r e n c i a l ] . D e s t e modo, os d e s l o c a m e n t o s de u m p o n t o g e n é r i c o da c a s c a s e r ã o t o m a ­

dos como f u nç ão l i n e a r do d e s l o c a m e n t o do p o n t o c o r r e s p o n d e n t e da s u p e r f í c i e de r e f e r ê n c i a . ■ 2.4. F u nç õe s D e s l o c a m e n t o A.fim de e i i m i n a r a i n f l u ê n c i a da v a r i á v e l $ no d e s e n - v o l v i m e n t o do p r o b l e m a , os d e s l o c a m e n t o s u(Ç,<jO, v(Ç,<|>) é w(Ç,(j)) são e x p a n d i d o s em s é r i e de F o u r i e r - c o m o segue: 00

u(ç,<j)) = S um<ç) cosmcf) ( 2 . 3 . a . )

m=o • . 0 0 • . • v(Ç,<j>) = E v m (Ç) s e n m ^ (2.3.b.) : m = o \ 00 w U , f ) . = £ W m (ç) cos m <j> (2 .3 . c . ) m = o on d e m é o n ú m e r o do h a r m ô n i c o e um (£) , vm (£) e w m (Ç) os c o e f i - cientes de Fo u r i e r , que s ã o a p r o x i m a d o s p e l o s s e g u i n t e s p o l i n ó ­ mios do 3 9 grau, na v a r i á v e l Ç: m , M _ m m ~ 2 m ^ . 3 / ^ ^ \ u . U ) = a 5 .+ a 6 £ + a g Ç + a 1 Q Ç (2.4.a.J v (Ç) = a 7 + a g Ç + + a 1 2 í (2.4.b.) m,-,^ m" . m r , m r 2 m r 3 ^ w (Ç) = + ( 2 . 4 . c.)

sendo os c o e f i c i e n t e s a ™ c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s , d e n o t a d o s n e s t a o r d e m p a r a e n f a t i z a r a i m p o r t â n c i a da c o m p o n e n t e de d e s l o ­ c a m e n t o w e p o r n e c e s s i d a d e de se o b t e r . (2 . 9 , b .) i n v e r s i v e l . U s a n d o a e q u a ç ã o (2.2.) , p o d e - s e m o s t r a r q u e a r o t a ç ã o m e r i d i o n a l 0 (Ç ,-<j0 t a m b e m p o d e s e r e x p a n d i d a n a s e g u i n t e s e r i e de F o u r i e r : 0 (Ç ,<)>) = E 0 m (.Ç) cos m cj> m = o ( 2 . 5 . a .) onde 0 m (Ç) m a- a.m Rf 3 am a fm Rí 2 am a.m R £ m c 2 + Ü O Rr (2.5.b.) o b t i d a s u b s t i t u i n d o - s e as r e l a ç õ e s (2.4.) n a e x p r e s s ã o (2.2.). -Os v e t o r e s d e s l o c a m e n t o da o r i g e m (u , v , w , 0 ) e do t e r m i n o (u+ ,"v+ , w + , 9 + ) do e l e m e n t o p o d e m ser agrupados- e m u m ú n i c o v e t o r d e s l o c a m e n t o { X } v d a s e g u i n t e forma: {X> = u V w

e"

H U ■i V H w e H (2 .6 .)

9 C o n s i d e r a n d o as e q u a ç õ e s (2.3.) e ( 2 . 5 . a), e s t e v e t o r p o d e s er e s c r i t o em ter m o s do v e t o r d e s l o c a m e n t o c o r r e s p o n d e n t e ao h a r m ô n i c o m, da s e g u i n t e forma: ■{ X } = [ Q ] { Xm ’ } (2.7.) onde Q é a m a t r i z d i a g o n a l

Q = d i a (cõsmtj), senmcj), cos m <j), cos m <j>, cos m <j>, s e n m f , cos m <j>, cosmt}>)

(2 . 7. a.) m e { X "1 } = m u m v wm

0

m m u vm m w Gm ( 2 . 7 . b . ) 0 v e t o r {Xm } p o d e -ser d a d o em te r m o s das c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a das ou1, p a r a c ad a h a r m ô n i c o , p e l a s e g u i n t e e x p r e s s ão :

{ Xm } = [ B ] { a m }m

(

2

.

8

.)

onde os e l e me nt os da m a t r i z [B] são f u n ç ã o dos c o e f i c i e n t e s do p o l i n ó m i o d e f i n i d o r do m e r i d i a n o e do c o m p r i m e n t o a xial do e l e ­ mento.

A m a t r i z [b] , p a r a c a d a h a r m ô n i c o , p o d õ s e r p a r t i c i o n a da do m o d o que segue: [ B ] = m m ‘ = _{B B} a _b (2 . 9 . a.) onde ' m ’ m r B e B, a _b são m a t r i z e s o b t i d a s a v a l i a n d o - s e o v e t o r d e s l o c a m e n t o , p a r a o h a r m ô n i c o e m q u e s t ã o , nas b o r d a s do e l e m e n ­ to, u t i l i z a n d o as e x p r e s s õ e s (2.4.) e (2.5.b.). A s s i m p r o c e d e n d o obtêm-se: m B 0 0 0 0 1 0 ‘ 0 0 0 0 0 0 • 0 0 1 . 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 i / à -l 0 0 0 0 • 0 0 0 0 _{o ..} 1 L 0 0 0 0 0 0 0 0 1 L 1 L L 2 L 3 0 o' 0 0 0 1 2 L 3 L 2 1' L 0 0 X2 * 2 . X2 X4 x 4 ( 2 . 9 .6 . )

11 m B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 •o L 2 L 3 0 0 0 0 L 2 L 0 0 0 0 L 2 L 3 0 0 À 4 x 4 ( 2 .9 . c . ) s e n d o que

í

X '=

V

1 + a .(2 . 9 . d.)

]/ 1 + (a, + 2a«L + 2, 2 ( 2 . 9 . e.)

X 3 , (V^ 1 + a? ) 3 2 a. (2 . 9 .f.) X 4 -(]/ 1 ♦ (aj + 2 a 2L + 3 a 3 L 2 ) 2 ) 2a .2 + óa ^ L ( 2 . 9 . g . ) 0 v e t o r c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s {am } ê p a r t i c i o n a d o ade q u á d a m e n t e a [B] em {a } e {a, }, isto é:

, m, . a a a a a m 1 m

2

m 3 m 4 m a, m

a 6

ra a. m a. (2.9.h.) j - {ab } -a a m 9 m 10 m a ll am₁₂ ( 2 . 9 . i.) P a r a f a c i l i t a r d e s e n v o l v i m e n t o s f u t u r o s , r e l a t i v o s â m a t r i z de r i g i d e z do e l e m e n t o , a r e l a ç ã o (2 .8 ) ê m o d i f i c a d a da s e g u i n t e m an ei ra : \ . e x p l i c i t a - s e {a®} da r e l a ç ã o f x ” } r * • m * m . m B : B d. a ; b _m • . a b (2 .1 0 .) e o b t é m - s e o v e t o r r m-, -la } = a r ~ 11 m {Xm } -m m ‘ B B ■ B a a b r m-, b

(

2

.

11

.)

o q ua l c o m p o n d o - s e a d e q u a d a m e n t e c o m r e s u l t a n a s e g u i n t e e x p r e s s ã o p a r a o v e t o r c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s :

13 |am ) --1 - Jll r OL s. r a _{. ' =} m OL, ^ b Bm

©

Bm B,m rm (

2

.

12

.) m OL. D e f i n e - s e e n t a o a m a t r i z M : [m ] = ■ -1 m -l B 1 B B" a 1 a b 0 _{! r4 '} ( 2 . 1 3 . a.)

ou, em termos dos p a r â m e t r o s d e f i n i d o s p e l a s e q u a ç õ e s { 2 . 9 . e.) a (2 .9.h .), a m a t r i z [m] p o d e s e r e s c r i t a como:

tÒ o-J ™ S—í-O O O o ►J I o o o o o I . o o o (NJ I O O I o o I o o

a>

.1__

CSJ << t I o o o to|CNJ _K-l N _{I I —1} to _{O o o ° 1} o (NI r< CNJ. I (NI 1 <D C-J r r - l 0 - 1 o o o I I to o O O O O i*-l 7 H J tH K ) rH - 3 rH o r< 1 r< cs K ) r<1 csj -4 • 1-0 rH II I— I

s-15 2.5. R e l a ç õ e s D e f o r m a ç õ e s - D e s l o c a m e n t o s No A p ê n d i c e A * 3. s ã o d e s e n v o l v i d a s as r e l a ç õ e s d e f o r ­ m aç õ e s - d e s l o c a m e n t o s , e m c o o r d e n a d a s c i l í n d r i c a s , p a r a a s u p e r f í c i e de r e f e r ê n c i a de c a s c a s de r e v o l u ç ã o , c o n s i d e r a n d o a h i p ó ­ tese de K i r c h h o f f - L o v e . E s t a s e q u a ç õ e s são: -o = — u ' + — w A Rç .(2.14.a.) e° = - v* + ■ — u + — w ^ R A R R({) ( 2 .14 . b . ) ( 2 . 1 4 . c.) ( 2 . 1 4 . d.) ( 2 . 1 4 . e.) - =-_ J L + 2R 1 w . ^ A R . a r 2 ( 2 . 1 4 . f .) o n d e ( ) = e ( )• = 3<|>

Estas equações; p o d e m s e r e x p r e s s a s e m termos do v e t o r c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s {am } das f u n ç õ e s r e p r e s e n t a t i v a s dos

\ d e s l o c a m e n t o s do e - ê s i m o e l e m e n t o , p a r a o m - ê s i m o h a r m ô n i c o , p e ­ la s e g u i n t e r e l a ç ã o m a t r i c i a l : ' m ' m ( m e e — w e U ) h ( 2 . 1 5 . a.)

onde : m m I -o m • m £<à_<i> m cO m m m a (2 .1 S.b.) m ï a 1 a a a a a m

2

m 3 m 4 m 5 m

6

m a m a

8

m 9 m 10 m 11 m a a a a ( 2 .15 . c . )

12

111 e a m a t r i z [ W (?) I ê o b t i d a s u b s t i t u i n d o - s e os d e s l o c a m e n t o s 1 e J

u , v, w, d ados p e l a s e q u a ç õ e s (2 .4.) , e suas d er i v a d a s , nas e x ­ p re ss õ e s (2.14.), c o n f o r m e i n d i c a d o no A p ê n d i c e A . 4.. A s s i m p r o ­ c ed e n d o obtêm-se:.

17 IO Uf tO 33 (N J r-t lO + tO W' (N J 33 I t3 LO Q> LO rH CnJ <SÏ UP rH UP <NJ UT tO K . tO UP_CSJ PC (NJ U P₀₄ X UP rH Ä CNJ + (N J . UP (N I I tO UP to œ ï (NI UP to *X _I .

CD

- CnJ a\ Æ M\l 00 33 . ■ o X to 33 to 33 (XI .33 33 + luj>_CXI 33 I CNJ 33 I loci' to æ pi pi CN) <NJ 01 Pi vO 33 (SI 33 to 33 I P i P i CN] < pT -e-to UP Pi to UP UP **3* X vO I CNJ UP K to (N J UP La 33 to I to UP <o ffi to UP 3?> eV UP CO ffi to to Ä Ä o r «SI JUJ' . P i (NI W' 33* CNJ I w> r-~ 33 (Nl JUJ> LO 33 (N J I (N J • vO 33 (NJ US' 33°" I w 00 X (N J SIPÍ II to 33 Pi_13. UP r—I P i U* jS P i II U/> '•__ > & «> LO 33 I .33. 33° w> a> 33 I₀₀ 33. o f I <L> t/> CNJ 33 H|-< II T—i 33

2.6. R e l a ç õ e s T e n s õ e s R e s u l t a n t e s - D e f o r m a ç õ e s As r e l a ç õ e s d e f o r m a ç õ e s - t e n s õ e s p a r a u m m a t e r i a l e l á s t i c o l i ne ar e o r t o t r õ p i c o p o d e m ser e s c r i t a s na f o r m a m a t r i ­ cial s e g u i n t e [ R e f e r ê n c i a 2]: >• \ e ç . 1 7 é ■ ■ ç ■V<,5/e4<f> - Vz5/e z ! 1. e *• % - V?<í>/F 1 / e * - V * / E z 1 . I

e

_V

e z - V çz /E £ ■V<,Z/E *<f> l y E 1 Z 1 . a z ■ r --- ---J ' 1 1 --- :---i / r

0

0

Ycf>z

©

1 ' 1 1 t l / n • 0 Gcí)z T ct»z 1 I 1

1

1 - e , .

%

on d e se v e r i f i c a m as r el a ç õ e s : ■ ( 2 . 1 6 . a.) E r ( 2 .16 . b . ) > C o n s i d e r a n d o as h i p ó t e s e s b á s i c a s p a r a o e s t a d o p l a n o de t e n sões e o e s t a d o p l a n o de d e f o r m a ç õ e s , a b o r d a d a s no item 2.3. o = 0 ; e = Y , = y' = 0 z ’ z ’<f) z 'zÇ (2.17.)

19 E a lei de H o o k e f i c a n a forma: r/ E “v<K/ E <!> o - e <}> = " v ^ 7 e ç _{1 /e ò} 0 o . 0 1 / g ^ *1 a í % T Ç<f> * (2.18.) A m e s m a e qu aç ao , c o l o c a n d o t en s õ e s e m f u n ç ã o de d e f o r ­ maç õ e s , fica: O €.4» £<P <K Y 0 E ({, 0 0 0 ' E ç d -> r £ <i> Y Ç (j, . (2.19.) A h i p ó t e s e da m a n u t e n ç ã o da n o r m a l - a p õ s a d e f o r m a ç ã o leva a u m a d i s t r i b u i ç ã o l i n e a r de d e f o r m a ç õ e s ao longo da e s p e s ­ s u r a da c a s c a [ R e f e r ê n c i a l ] . Logo, a d i s t r i b u i ç ã o de t e n s õ e s t a m b é m ê linear. P a r a se o b t e r as forças e m o m e n t o s r e s u l t a n t e s p o r u n i d a d e de c o m p r i m e n t o , u s a - s e e s c r e v ê - l a s em f u n ç ã o das tensões d e f i n i d a s em (2.19.). Isto ê f e i to i n t e g r a n d o - s e as t e n ­ sões ao l ongo da e s p e s s u r a , r e f e r e n c i a d a s à s u p e r f í c i e m é d i a da casca, e l i m i n a n d o - s e a v a r i á v e l Z.

A o b t e n ç ã o das e q u a ç õ e s p a r a t e n s õ es r e s u l t a n t e s ê i n ­ d i c a d a no A p ê n d i c e A . 5.. Logo, das e qu aç õ e s ( A . 5.12.) as e q u a ­ ções de tensões r e s u l t a n t e s ficam:

h / 2 Nç = / a r dz ( 2 . 2 0 . a . ) " - h / 2 h y 2 N = ■/ dz (2.20 . b .) <j> / <j) _hy2 . • ' h / 2 N Ç<p = I T Ç(f) dz ( 2 .2 0 . c.) - h /2 ■ h /2 Mç = . / Oi- z dz (2 .2 0 .d.) _ h / 2 h /2 . = / % z dz ( 2 . 2 0 . e . ) " h / 2 • h / 2 = I T Ç<{> 2 dz (2.20 .f.) -h/2_ o nd e h ê a e s p e s s u r a da casca,

21 A c o n v e n ç ã o de t e n s õ e s e m o m e n t o s r e s u l t a n t e s p o s i t i ­ vos e m o s t r a d a na F i g u r a 2.2.: F i g u r a 2.2. - T e n s õ e s r e s u l t a n t e s e m o m e n t o s r e s u l t a n ­ tes. • • t \ As e q u a ç õ e s de t e n s õ e s r e s u l t a n t e s em te r m o s das d e f o r m aç õ e s e s p e c í f i c a s e m u d a n ç a s de c u r v a t u r a s s ã o o b t i d a s p e l a s u b s t i t u i ç ã o das relações tensões-deformações (2,19) em (2,20.). P a r a tal ê n e c e s s á r i a u m a a l t e r a ç ã o n a e q u a ç ã o (2.19.), a q u a l p o d e

s er e s c r i t a c o mo u m a r e l a ç ã o m a t r i c i a l : { ã } > [ H ] { e } ( 2 . 2 1 . ) A e q u a ç ã o (2.2,1.) p o d e s e r e s c r i t a n a f o r m a (2.22.) s e g u i n t e , u s a n d o as e q u a ç õ e s ( A . 3 . 8 .), u m a v e z que as t e n s õ e s e d e f o r m a ç õ e s se d i s t r i b u e m l i n e a r m e n t e ao l o n g o da e s p e s s u r a da casca. { o } = [ H ] { e Q } + [ H ] { k } ( 2 . . 2 2 . ) onde í ‘ o > -* " “ e° e _K £ ■ ç o H V . { k } = ' J k 0 • Yç<J> \ S u b s t i t u i n d o as li n h á s a p r o p r i a d a s de (2.22.) nas e q u a ções (2 .2 0 .),'o b t ê m - s e as t e n s õ e s r e s u l t a n t e s e m o m e n t o s r e s u l - tantes em termos das d e f o r m a ç õ e s e s p e c í f i c a s e das m u d a n ç a s de c u r v a t u r a que p o d e m s e r g r u p a d a s na s e g u i n t e e q u a ç ã o m a t r i c i a l :

í a } = [ E ] { .e '}. ( 2 . 2 3 . a . )

onde Er , E . = mSdulos de elas ^ * ticidade. v^o..v,r = coeficientes de W ^ Poisson. Gr . = modulo de elas ^ ticidade trans­ versal. h = espessura da casca.

2.7. M a t r i z de R i g i d e z do E l e m e n t o

E m (2.6.) temos o v e t o r d e s l o c a m e n t o {X} q u e ê compos_ to dos d e s l o c a m e n t o s nos c o n t o r n o s do. e l e m e n t o de casca. E s t es d e s l o c a m e n t o s são p r o v o c a d o s p o r for ç a s a t u a n d o no c o n t o r n o , mos^ tradas na F i g u r a 2.5,. E st a s f o r ça s p o d e m s e r c o l o c a d a s n a f o r m a de u m v e t o r - f o r ç a s de c o n t o r n o {F}. E n t r e as forças de c o n t o r n o e os d e s l o c a m e n t o s nos c o n t o r n o s e x i s t e u m a r e l a ç ã o m a t r i c i a l da d a por: (2.-24.a.) onde { F } e C' ^ ' N~ : 1 ■ \ _u i S“ : j (2.24.b.) , . j V T" ; Ii ‘ 1 w J M" + e ( X } = e 1 + CD N : u „ + + ; S : v : + 1 + 1 T ; w M + ' i ■ 0 + - •* ■ . ■ ! ( 2 . 2 4 . c.) è [Kg] ê a m a t r i z de r i g i d e z do e l e m e n t o ' a ser d e t e r m i n a d a p o r u m a f o r m u l a ç ã o v a r i a c i o n a l , m i n i m i z a n d o - s e o f u n c i o n a l d a e n e r g i a p o t e n c i a l t ot a l do e l e m en to .

Figura. 2.3. - Fo r ç a s de c o n t o r n o do e l e m e n t o

A d e n s i d a d e de e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o de u m e l e m e n t o g £ n ê r i c o de casca, c o m o o i n d i c a d o n a F i g u r a 2.3. e d a d a por:

d Ü = 1 { e }T {a} (2.25.)

dS 2

s en do que: {e} = v e t o r das d e f o r m a ç õ e s e s p e c í f i c a s em u m p o n t o da s u p e r f í c i e de r e f e r ê n c i a .

\ {o} = V e t o r de t e n s õ e s r e s u l t a n t e s n e s t e po n t o .

Lo g o a e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o de todo e l e m e n t o de cas ca, como o v i s t o n a F i g u r a 2.1.,. ê d a d a p e l a i n t eg ra l s o b r e a s u p e r f í c i e :

"o ' I t K ] í°e 1 d S (2.26.)

m

0 v e t o r d e f o r m a ç õ e s e s p e c í f i c a s e ° v e t o r t e n s õ e s r e s u l t a n t e s ía }, em te r m o s do v e t o r c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s { á g ) , p a r a o m - ê s i m o h a r m ô n i c o , dados p o r ( 2 . 1 5 . a.) e " ( 2 . 2 3. a.) r e s p e c t i v a m e n t e , q u a n d o s u b S t i t u i d o s e m (2.26.) forne c e m : ü e = i f [ L i a ™ / [ W ^ ] T [ e J [ W ™ ] } < S e n 2M > A R d Ç d * e 2 / / c e c cos m<j) J o J o (2.27.) 2 t . • s e n m<j> A n o t a ç ã o < ' 7 > i n d i c a q u e somente- termos q u a - cos mcf)

drados ‘de s e nos e cos s enos o c o r r e m q u a n d o o m - ê s i m o t e r m o d a s_e rie de F o u r i e r ê s u b s t i t u i d o n a e q u a ç ã o (2.26.). A l g u n s t e r m o s

2 2 ■

de (2.27) sao m u l t i p l i c a d o s p o r sen m ^ e os o u tr os p o r cos m<j), m a s suas i n t e g r a i s são; TT r2ir • 2 sen m<j> , _ < 2 > ^ - cós ni<J) < > p a r a m^O ir ( 2 . 2 7 . a) < ^ > p a r a m =0 L 2-rr - Co mo o v e t o r c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s (ae l i n d e p e n d e das c o o r d e n a d a s a x ial Ç e c i r c u n f e r e n c i a l <j>, ê e x p l i c i t a d o d a integral, o b t e n d o - s e — 1 m T r m -, m h . U e =

2

{ a e } t Le ! {a'e} (2.28.) o n d e :

{l/j > TT* f [W™]1 [E] [ w ™ ] - A R d Ç (2. 29.)

0

* ^

onde: '"''"=7'' se m / 0 e 'ir. = 2ir se m = 0

m. ‘ „ O v e t o r ctíordenadas g e n e r a l i z a d a s {a } e d a d o pela. v e q u a ç ã o (2 .1 2 .). e , c o l o c a d o n a e x p r e s s ã o (2.28.), faz c o m q u e a e n e r g ia de d e f o r m a ç ã o do e l e m e n t o , p a r a u m h a r m ô n i c o m, seja: • 27 — m U e 1 2 X a. m r "e_ m [ M ] ‘ [l£] [M] m ( _ e_ m (2.30.) a. m O t r a b a l h o r e a l i z a d o .p e l a s f o r ç a s de c o n t o r n o Í F e } , m . ao p r o d u z i r e m os d e s l o c a m e n t o s t X g > dos c o n t o r n o s do. e l e m e n t o , é dado p e l a i n t e g r a l ao l on g o da c o o r d e n a d a c i r c u n f e r e n c i a l <J> dos p ro du to s forças de c o n t o r n o X d e s l o c a m e n t o s de c o n t o r n o : W m 2ir {xm } e a l i

e

ui s e n miji { F e } < 2 cos m4> ã<t> (2.31.) n ÍXJ“} 0

0

t I I íF e> onde a = ra i o -do p a r a l e l o no i n í c i o do e l e m e n t o + * a = r ai o do p a r a l e l o no t e r m i n o do e l e m e n t o A e n e r g i a p o t e n c i a l t ot a l do e le m e n t o , p a r a o h a r m ô n i ­ co m, e d a d a por: (2.32.)

m 1

2

í X, m :_e_ m [M] a . ir L o [ W ” l ' [ E ] [W™] A R dÇ T [M] . m ( _ e _ m a. * f m i T ( x t a I S . . 9 ! * + i , m ÍF > e (2.33.)

n

e m TT 1 2 •X a . m ‘ e _ m [M] T m [ M ] -a.m (2.34.) { x * > 0 n T a '+ 0 { F m } P a r a m i n i m i z a r • es t e f u n c i o n a l de e n e r g i a p o t e n c i a l total do e l e m e n t o , d i f e r e n c i a - s e n m e m r e l a ç ã o a r X m ~|

29 e i g u a l a - s e o r e s ù l t a d o a zero: « < X m ) = 0 (2. 3 5 . a.) ou seja: onde

9 n

m m ( 2 . 3 5 . b . ) a e m E n t ã o , t e m- se : 9 n m A a í m e _ m [ M ] [ G em ] [ M l X a m ' e _ m I I - ' I I a I, I 1 _________i _ _ ________ -■ • ! .

r

F

m e _ e ~ = 0 ( 2 . 3 6 . a . ) L [Ge1" . ] ' M W e" ]T t E ] [ W em ] A R d C o ( 2 . 3 6 . b . )

r es ul t a n d o : T [> q [ G em ] [ m ] X a m e_ m r - ^ i i r __ > a I4 j I í F Pm 1 T,m F e 1 o +. T 1 Ia 4I -- 4 - Sf ---

=-1

e ]

~ e ”

!

I i 4 -(2.3 7.) onde {P™} é u m v e t o r q u e l e va e m c o n t a as f o rç as de c o n t o r n o e os raios do p a r a l e l o no c on t o r n o , ou seja, nos r e s p e c t i v o s p o n ­ tos de a p l i c a ç ã o d a q ue la s.

Da equação (2.37.)* define-se uma matriz de rigidez [K™] ' do ' elemento, da qual, como exemplo de aplicação da formulação aqui desenvol-

.vida, são apresentados os termos no Apêndice A.6 .;

K ] - [ M ] [ G " 1 ] [ M ] (2.38.) A m a t r i z [ K m ] ê u m a m a t r i z (12 x 12) que p o d e s e r p a r t i c i o n a d a c o n v e n i e n t e m e n t e p a r a se e l i m i n a r { a m } da e q u a ç a o • b ( 2 . 3 7 . ) . L o g o : . . [ C l » r Y m , 1^ m _aa_ i _ _ _ ab K,m 1 K ™ b a bb (2.39.)

E nt ão p o d e m o s e s c r e v e r , de (2.37.) e (2.39.):

[ K m]

_{l a a J}

{ x T }

_e

+

[ K Í ] { o m >

_{L a b J ^} T K,m 1 { X m } + [ K ™ ] {a m } = { 0 ) '' ( 2 . 40 . b .) L b a J e L b b J ^ E x p l i c i t a n d o - s e ^ (2.4Q.b.) e c o l o c a n d o - s e es^ •te v a l o r em (2 .4 .0 .a.) o b t ê m - s e , f i n a l m e n t e , a m a t r i z de r i g i d e z do e l e m ento, p a r a o h a r m ô n i c o m: . = { F*m } = [ K m ] { X m } ( 2 . 4 1 . a.) e e e onde ' r K m 1 = K m - K m (K _ 1 ) K m (2.41 .b.) e aa áb b b b a 2.8. M a t r i z de T e n s õ e s do E l e m e n t o • N a S e c ç ã o 2.6.,- a e q u a ç ã o ( 2 . 2 3 . a.) dã as t e n s õ e s r e ­ s ul ta nt e s p a r a u m e l e m e n t o g e n é r i c o de casca. Na r e s o l u ç ã o de u m p r o b l e m a q u a l q u e r de c a s c a s , p a r a c al c u l a r as t e n sões r e s u l t a n t e s u s a - s e e s c r e v e r a r e l a ç ã o ( 2 . 2 3 . a.) em termos do v e t o r d e s l o c a m e n t o s no c o n t o r n o do e l e m e n to { X V U s a n d o este p r o c e d i m e n t o , n e c e s s i t a - s e de u m a m a t r i z de tensões do elemento. [T ], q u e s e r ã o b t i d a c o n f o r m e s e g u e . © J

S u b s t i t u i n d o em ( 2 . 2 3 . a.) a e x p r e s s ã o (2.15.a.) das de f o r m a ç o e s e s p e c í f i c a s do e l e m e n t o , p a r a o h a r m ô n i c o m, t e m - s e as tensões r e s u l t a n t e s {a™} em ter m o s do v e t o r c o o r d e n a d a s g e n e r a -

i e

m m m

t a e )=■ [E] [We]

{ae }

{2.42 .)

A g o r a n e c e s s i t a - s e de u m a r e l a ç ã o e n t r e o v e t o r c o o r d £ n adas g e n e r a l i z a d a s {a1^} e o v e t o r d e s l o c a m e n t o s nos c o n t o r n o s

Da e q u a ç ã o (2.40.b) o b t e m - s e : {a } = t ' b ’* / 1 [ O Í X e J (2. 4 3, a) que l e v a d a â e q u a ç ã o (2 .1 1 .)» r e s u l t a :

tO ' * [»li [\] [Cl COHV

m b b ‘ b a J (2.,43.b.) C o m p o n d o os v e t o r e s {a*11} e {af1} no v e t o r c o o r d e n a d a s a b g e n e r a l i z a d a s { a ® }, co m o i n d i c a d o nas e q u a ç õ e s (2.9.h) e (2.9.i), o b t e m s e a r e l a ç ã o m a t r i c i a l e n t r e e s s e v e t o r e o v e t o r d e s l o c a -• m m e n t o s nos c o n t o r n o s do e l e m e n t o { X }: { « ; j - i d " ] < 0 (2.44.) m„ onde a m a t r i z [D ] ë d a d a por: r m i [ D J = [ B S “ ' + C O " ' [K^ ] " 1 [ * * ] - [K 111 i 1 [K m 1 L bb L b a (2.45.)

33

C o l o c a n d o a e x p r e s s ã o (2,44.) e m (2.42.) tem-se:

« £ > . - [E] D Õ [ O <x"i ■ > - « - 3

m . Assim, d e f i n e - s e a m a t r i z de t e n s õ e s do elemento [Te ] p or

3. S U B - P R O G R A M A D I G I T A L C A S C A M 3.1. I n t r o d u ç ã o C o m a f o r m u l a ç ã o a n a l í t i c a d e s e n v o l v i d a no C a p í t u l o 2 foi c o d i f i c a d o u m s u b - p r o g r a m a d i g i t a l p a r a a d e t e r m i n a ç ã o das m a t r i z e s de r ig id e z , de m a s s a e de t e n s õ e s p a r a u m e l e m e n t o fin_i to c u r v o de c a s c a de r e v o l u ç ã o . E st a s m a t r i z e s s e r ã o u t i l i z a d a s pe l o P r o g r a m a A n a l i s a d o r D i n â m i c o de C a s c as (PADCAS) n a r e s o l u ­ ção de p r o b l e m a s p r á t i c o s os m a i s d i v e r s o s . 3.2. B r e v e D e s c r i ç ã o do S u b - P r o g r a m a C A S C A M A e s t r u t u r a do s u b - p r o g r a m a C A S C A M e n c o n t r a - s e s u c i n ­ t a m e n t e e s q u e m a t i z a d a n a F i g u r a 3.1. Os, dados u t i l i z a d o s n e s t e s u b - p r o g r a m a , f o r n e c i d o s de ac o r d o c o m a R e f e r ê n c i a [4], inc l u e m : a) o ~ t i p o de g e o m e t r i a d a c a s c a (JG) b) os c o e f i c i e n t e s d e f i n i d o r e s do m e r i d i a n o (AGEV) . c) a c o o r d e n a d a a x i a l de i n í c i o do e l e m e n t o (XGLOBL) d) o c o m p r i m e n t o a x i a l do e l e m e n t o (XELEMT) e) as p r o p r i e d a d e s m e c â n i c a s da c a s c a (PSKV) . f) as p r o p r i e d a d e s das n e r v u r a s l o n g i t u d i n a i s (PSTV) , \ . se h o u v e r e m . g) o n ú m e r o de n e r v u r a s l o n g i t u d i n a i s (NST) h) o n ú m e r o do h a r m ô n i c o (N) Co m o p r i m e i r o pa s s o , a s u b - r o t i n a C R V M E R c a l c u l a as

35 c o n s t a n t e s g e o m é t r i c a s , a b a i x o d e f i n i d a s , p a r a a c o o r d e n a d a de início do elemento: Z = r a i o do m e r i d i a n o ( 3 . 1 . a) Al 1 - r - (:í.j A 2 2 = 1 + Z '2 _{(3 . 1 . c)} B H = (3. l . d ) B 2 2 / T Ã 2T Z" / ~ Ã 2 2 ( 3 . 1 . e ) 6 1 21 = ~ Z ~ ( 3 . 1 .f ) n i 9 _ “ Z Z ' . ' G 1 1 2 --- _ ( 3 . 1 . g) A 2 2 . 6 7 ' 7 " C 2 2 2 = . £ - £ - ■ ( 3 . 1 . h ) , A 2 2 pnde 2 E m s e q ü ê n c i a , a s u b - r o t i n a C M A T c a l c u l a os t e r mo s da m a t r i z [ M ] , d a d a p e l a e q u a ç ã o (2.13.b). A s e g u ir , a s u b - r o t i n a I N T E G R c a l c u l a a m a t r i z [G™] que ê f o r n e c i d a n a f o r m u l a ç ã o analítica' p o r ( 2 . 3 7 . b ) . . - E s t e c a l c u l o ê r e a l i z a d o u t i l i z a n d o - s e u m a f o r m u l a de i n t e g r a ç ã o de s e t e po n t o s p i v o t a i s [ R e f e r ê n c i a 3]:

J

_{f ( Ç ) d £}

_{Cf0 + •S£ 1 + f 2 + 6f 3 + f 4 + Sf5 + f 6 ) ( 3 . 2)}

^o

onde f. = £(£„ + i h) , i = 0,6 • . i o J ’ e h = i n t e r v a l o p i v o t a l • A s eg u i r , s ã o c a l c u l a d a s as c o n s t a n t e s g e o m é t r i c a s , ã e finidas p o r (3,1.)» p a r a a c o o r d e n a d a de t é r m i n o do e l e m e n t o , pois n e c e s s i t a - s e de s t a s c o n s t a n t e s nas et a p a s s e g u i n t e s de CASCAM. - " r r ó i 0 c a l c u l o da m a t r i z de r i g i d e z do e l e m e n t o LKe J e da m a t r i z [D^J , de a c o r d o c o m (2.41.b) e (2.45), é e f e t u a d o p e l a s u b - r o t i n a R I G I D Z . U t i l i z a n d o a m a t r i z [D™] ê c a l c u l a d a a s e g u i r a m a t r i z de tensões, dó e l e m e n t o [T™] , d a d a p e l a e q u a ç ã o (2.47), . a t r a v é s da s u b - r o t i n a T E N S à O . A d i c i o n a l m e n t e , a i n f l u ê n c i a do c i s a l h a m e n to ê l e v a d a em c o n t a a t r a v é s da s u b - r o t i n a CISALH* O b t i d a s e s t a s m a t r i z e s , e l a s são u t i l i z a d a s p e l o p r o - g r a m a P A D C A S n a r e s o l u ç ã o do p r o b l e m a e f o r n e c i m e n t o dos r e s u l t a dos de d e s l o c a m e n t o s e t e n s õ e s r e s u l t a n t e s .

37 C R V M Er TjG , XGLOB L , A G E v 7 [ (A G E V , X ELEMT, CX) IjCRVBaia ( JG , XG , A G E V: j S T R A IN (X < , N , W ) T %E (PSKV, PSTV,NST, HX) {<r} = [h>§ {e} j& ! U L T ( H X , W , P ) [hx] - - {w] , [hJ(] [w] . L G = L ' A y f [w]* [hx] [w] ARd S, (L X , CX , KX , D X ) KX = (kao “ Kba(Kbb) Kb a] Bq+Bq Bb(Kbb) Kba -(Kbli^ba H O O K E STRAIT'S M e } = o = fixjfwl-FSTRA - [HXJ [W] [DX] X LO CA L = XELEMT HO O K E

J

FSTRB = [hx] [w] [DX) S") Rra n s >cn i~> o O x^~. - u n co c/> x H_<

3

x H fn Ogg r>m >g» r s *"n 3 _(/)>■ H T J 33 W z z — c/> CISALH (FSTRA,FSTRB,XELEitf F S T F s KX F i g u r a 3.1. - S u b p r o g r a m a C A S C A M C AS C A H ( jG , A G E V , X G L O B L , X E L E M T , P S K V , P S T V , N S T , N , F S T F , F S T R A , F S T R B )

4.- R E S U L T A D O S E C O N C L U S Õ E S ■

4.1. I n t r o d u ç ã o

A f o r m u l a ç ã o a n a l í t i c a d e s e n v o l v i d a no C a p í t u l o 2 d e v e sèr testada. Co m o v i s t o no C a p í t u l o 3, o s u b p r o g r a m a digital' C A S C A M foi . c odificado a p a r t i r da m e s m a . U t i l i z a n d o es t e s u b p r o ­ grama, i n s e r i d o no p r o g r a m a g e r a l P A D C A S , .foram r e s o l v i d o s al-, guns p r o b l e m a s t í p i ço s de c a sc as de r e v o l u ç ã o , c u jas s o l u ç õ e s a n a l í t i c a s o u n u m é r i c a s são c o n h e c i d a s das r e f e r ê n c i a s c i t a d a s em ca d a caso, v i s a n d o c o m p a r a r r e s u l t a d o s e c o m p r o v a r a f o r m u l a ­ ção u t i l i z a d a .

39 D a d o s : \ 4.2. S o l u ç ã o de P r o b l e m a s e C o m p a r a ç a o de R e s u l t a d o s ,4.2.1. C a s c a c i l í n d r i c a de e s p e s s u r a c o n s t a n t e , lo n g a , c a r r e g a d a c o m p r e s s ã o i n t e r n a u n i f o r m e , m o m e n t o d i s t r i b u í d o e f o r ç a c o r t a n t e d i s t r i b u í d a no e x ­ t re m o . = E = E = 2 $ c -e - = V : = V = | <k h = 0.1 cm r = 2 cm P 100 k g f / c m Q 0 = 100 k gf M o = 100 k g f .cm N ú m e r o de e l e m e n t o s = 60 A s o l u ç ã o a n a l í t i c a d e s t e p r o b l e m a e s t a a p r e s e n t a d a n a R e f e r ê n c i a [5] , s e n d o f o r n e c i d o s o d e s l o c a m e n t o r a d i a l w e o