SECHETARXA DA EDUCAÇiîO DO DSTADO DE SlO PAULO CEI'TTHO DE PJDCUESOS HUîL^rTOS E PESQUISAS EDUCACIOHAIS
"PROP. lu-VERTE ILAJ^OS DE CARVALHO"
A S G E O I . I E T R I A S M O ~ E U C L I D I A U A S
A s g e o n e t r i a s
S . P n u l o Doc. i:.2AA/012 CE1ÎIÎUPE/014 Ma.rço 75 n a o - e u c l i d i o j a a s
A S G E 0 M E Ï E I A 3 ? ! A O - E U C L I D I A E A S
l o
1 . D e a l g i m a s g e o m e t r i a s
A geometria classicaj chegacla até nos atrave's da obra de
e l a b o r a ç a o d o s a n t i g o s g r e g o S j e e x p o s t a c i e n t i f i c a m e n t e n o s " E l e -mentos" de Euclides, parece destinada, a posto privilegiado : fundase sobre postulados que aparecem como dotados de uma evidencia.
-imediata e também espontâneamente sugeridos por uma "presumivel rea
lidade objetiva'' (ver cap. 4, alinéa 3)» Mas sao circunstancia.s de carater estranho à idgica. Esses postulados podem ser substituidos por outros e nasceriam entao varias geometrias ouj mais geralmente,
diverses capitules da. matematicaj todos com os mesmos direitos de ci dadania no reino da. idgica pura, segundo uioa. maneira de ver as
coi-sas que ja ilustramos (ver ca-p. 4? alinéas 4 e seguintes)^ com o que
aparece a "concepçao axiomatica da matematica", de acôrdo com o no
me "axioma" que sdi usar-se algumas vezes em lugar do de ''postuladd',
Nesta, ordem de ideias entram, por exemple, as geometrias
nao-euclidianas, que diferem da elementar - ou euclidea - por
ques-toes referentes ao paralelismo; as geometrias nao-arquimedianas, que
nao aceitam o chamado postulado de Arquimedes, ou melhor de
Eudoxo--Arquimedes, as geometrias finitas, e outras que se referemamo
dernas dirotivas da investigaça,o ma-tematica..
As primeiras, as n.ao-euclidiajias, sac as mais conhecidas
e delas se ocuparam muitos matematicos, e continuum ocupando-se, por
diversas razoes^ de carater historjco, por esta.r Ijgada à indagaçao
critica que acompanhou a geometria desde os seus primeiros esforços
para organizea?-se racionalmente; de natiu-eza filosofica, pelas reve
(l) - Pelo que, dadas dua,s ma.gnituilis homogenea.s - por exemplo, dos
segmentes - afirma-se a possibilidade de- superar sempre a moi
or delas com um multiplo oportiono da outra (isto é,
reiterar-do um numéro .adequareiterar-do de vezes a mener)s trata-se da troduq^o
do iato de que qualquer lugar. por distante que estera, pode
ale.?-10'---r ... n.--a super.a:• r. u ioclusive mov-cn3o-se a
peque-p
s c o n d - u z i i f c i i i L û s O T J . " " * ! ' " *
- î n t e - ê s s e p r a t i c o , v e i n ^ e s s ê n c i a d o p e n s a m e n t o j d e
- y / ^ ^ ® ® i " b i l i d a d e
protai- fenomenos ffsicog^ ^ ^ ® parecem oferecer para inter
e s p e c u l a ç o e s . 2. 0 problema do paralei•
-^ISLio Ï Î O e l e n c o
P o s + m
do£ '•Blementos" de !EhioT •
^ d e g - H U e .
p o d e e x p r e s s a r - s e n o s c , ' " ^ ® c i o s n a s p r i i n e i r a . s p a g i n a s
® ® s ^ i n t e „ q u i n .
'^0 espaçoj uma afirmaçao çtue
p
3 1 ) .
"Dado ufli ^
guc passa per P e é p^, - ® Vunp,
r
Esta propos^ . r, (2) ' ^^late uma reta, e uma so,
-V0.O ^_
postulado de EuclidegM ^ ^^-Ui+rN» o u q u e
r . ' - l a i i s m c e u c l i d i r a n o " • Para • •^^uo"^ C i t a - s e c o m o o " q u i n t o
-—^moR simp! esmente pov» ^ U—qr> ^'•ida.de da paralela ou do "pa
E " ' • o o m ^ ^
H o j e n i p ^ e ' , . . ° p a l a v x a s , i n d i o a l n
-d i f s
isEO parece obvio, iïituif
o d u o a g a o m a i s o u m e n o s i " ® "
U d i ^ o Q ^ e o s t e l u i z o i n fl u e m s e o u l o s d e g c s . G u a n d o s e f o r r a u Wa ^ o e r t o c C
' s u s c i ^ ^ ^ q u e n o s t e m p o s m a i s a n t i
-9 j : e i t o , s e s e e x i g e - u m ^ d e g c o n f s 4 - ^ •
^^iianças e tergiversaçoes. Com
^cp, r..l_nea 3), esta, para dos postulados (ver
GC, jr: quo oa verificaçao do parau'if'' lograr-se
satisfatori.a.en-maeao aO quo elas, em todo ^ o^itre duas ret^as implica a afir
t r a j e t o ^
E • ; . . . K a a d e t r a ^ e t o n n p t ê m n e a h u m ^ p o n t o • e m c o m u a .
-n a o t e m fi m
• ■ i o r a d o s l i m i t e s d e t o d o ^ l e v o - a o " i n f i n i t e " 5 i s t o■ " • * P o s s x ' b 2 . i i ( 3 . - . . ■ % .
:ad.-. a ima.gens materipig ^ ^ ^ ^ de experimentaçao direta, li-
' ' ■ o o n c r e t o s „•'?) ■• '.abcFOR gue duus retoa op
3. Pot esse mO*fcivO, © -b^jn'hem poa:* cs^-b^. oomplescidfr^-cle psiooiogi
CO x-odo^ dpopo ^.ppcux^ap "Hi" J teiH QUOD COeS ClîtlCRg QUQ Aù
terminnrain a necefialrlailo a« ulteplopen nvvc)A^nàp^mGnio^. Por^^^o-u^Do^
on-bro oixbTc.a coiar.D, ae se nPetlyauientC ao m "pOStUlaÛO" OU dQ
Uin 'tGOrGJilP,". Esta claro o significndo da per^^ita: bnsca-se saber se
afirmou de "E" nao e' uma consequencia dos outres postulados de
Eucli-des; se fosse assim, "E" entraria na categoria dos teoremas e poderia
suprimir-se do conjunto dos "postulados" ^ aohando seu sitio em outro
lugar dos "Elementos". îTudo ficaria esclarecido e toda dificuldade su
perada: seu maior ou menor grau de "evidência" deixaria de preooupar
(ver cap. 4? a,linea, 3).
Porem as coisas nao procedem assim: "E" e urn postulado; po
dera aceitar-se ou - segundo a idgica - rechaçar-sej pore'm, nao
igno-rar-se„ Cbegar a esta conclusao nao foi faeil, porem uma vez obti
d a , a b r i u m u i t o s h o r i z o n t e s a o e s t u d o .
A geometria que se obtém substituindo "E" por seu contra
-rio "nao-E" e conservrndo (em quanto é possfvel) os outros postulados
euclidisjios (ou seus équivalentes), se désigna, oomo "nao-euclidiana" e da lugar a dois capitules diverses, segundo se formule "nao-E".
0 postulado "E" garante dois fates: a existencia da rct'^
(3) - 0 procedimento seguido pode mencionar-se rapidamente; do elenco
dos postulados euclidianos, tirâmes "E" e colocamos a afirmaçao
contra'ria "nao-E". Se "E" e' uma consequêneia. dos restantes
pos-tula.dos euclidianos, fica implicitajuente présente ainda com es
ta apcorente supressaoj logo, o grupo de postulados assim modifi
cados, 4, em sua estrutura, contraditorio, Ja que contem ao mes
mo tempo as afirrmaçoes "E" e "nao-E". Desenvolvamos entao todas
as possiveis consequcncias dostes postulados (ioto 6,
construn-mos 0 sistema hipote'tico dedutivo baseado sobre eles); a contra
diçao, se existe, nao podera permanecer seupre latente e antes
ou depois devera manifestar-se. Porem nao se descobriu semelhante
te'contradiçao, ma,s somente 'logrou-se dcmonstrar que nao pode
existir (ver alinéa 0). Eo que résulta que "E" nao e' uma
que passa por P e é paralela a r, e sua anicidade Pode
contradÎ-zer-se ^E" negando-o por complete, ou nSo aoeitando a segunda das suas
a f i r m a ç o e s .
Em lugar de "E" podemos introdusir come postulado: duas
re-niM mesmo plaiio, distim-as, tern sempre um ponto em comum (fig. 32)j
isto e% nSo admltamos a exlstência de retas paralelas; com isso nasce'
ria (com esclareoimentos oporturos) '5) a geometria chamada de tipo
eliptuco ou riemaniana (de B. Elemann, 1826-1866) ou, mais Irevemente,
" g e o m e t r i a e l i p t i c a " ,
Porem, tambem, podemos fazer outras hipoteses diferentea Su
por, por exemplo, que as retas que passam por P (num mesmo piano com
dividem em dois grupos, cada um. com uma infinidade delas; o pri
Esta figura tern um significado puramente convencional. Se dissemos
OS sinais traçados nao sao retas" nao levaremos em conta que o piano
grafico usado constitui um"modelo" material, aproximado, da geometria
e u c l i d i a n a C v e r o a t i / n ^ r - . \
ap. 4 alinéa 7); lofo, o modo habitual de
represen-tar uma reta esta com contraste com as hipoteses nSo-euolidianas cue
e m s e u l u £ r a r « r p '
pressupoem naquele desenho- A mesma observacao vale
p a r a a s r e s t a n t e s fi ^ n i - p p c s n j - i g u r a s d o p r é s e n t e c a p i t u l o .
E e v e m o s c o n f e s q q r ' « - i ,
que aqui nos deixamos levar pela preocupaçao de
p essar com a maior simplicidade possfvel questoes delicadase e
n e m s e m p r e f a c p T p »
na verdade, das duas afirmaçoes contidas na pre
posiçao E , da maneira como a enun.cismos (que nao é a de Euclides)
so a segunda constitui um postuladc, jâ que a primeira era por sua
ve.. uma consequência dos restantes postulados contidos no elenoo
que desde Euclides, em seus "Elementos" depende, exatamente do se
g u n d o d e l e s .
-( 5 )D e a c ô r d o c o m o m i o - p , ^ ^ j - j . j . . . ~
o que foi dito na nota anterior, nao s6 se nega o
5 .
m e i r o c o n s t i t u i d o p e l o s q u e n a o o o r " ^ a m o r 9 o s e g u n d o p e l a s q u e c o r t a m 0 r . A m b o s o s g r u p o s d e r e t a s m a n t e r - s e - a o s e p a r a d o s p o r d u a s r e t a s p a r ticulares (que nao cortarao o r) pat sando ambas por P, que determinan
a m g u l o s o p o s t o s p e l o v e r t i c e a o s q u a i s s a c i n t e r n a s a s d o p r i m e i r o t i -po. As retas de separaçâo se consideram como as unioas paralelas a r
por P (fig. 33). A geometria que se funda sobre esta proposiçao, em lu gar da "E" é a do tipo Mperbolico ou de Lobacevski-Bolyai
r
(it.J.lobacevski, 1972-186^: J. Bolyaij l802-l860) oii., mwir-. Uluvr.vnr>rth(^ " g e o m e t r i a b i p e r b o l i c a " .
Por contraposiçâo, a geom<=-tria euolidiana se qualifica de pa
r a b o l i c a ,
3. A soma dos ângulos de um triângulo
O l h e m o s n o s s o l i v r o e s c o l a i ^ g e o m e t r i a e l e m e n t a r . N a s p r i
-m e i r a s p a g i n a s , p o u o o d e n o i s d e i n t r o d u z i r o p o s t u l a d o d o p a r a l e l i s -m o e u c l i d i a n o , a c b s m o s d e n o n s t r a d o c o n o c o n s e q u e n c i a d e s t e , a p r o p r i e d a d e
6 .
(um ângulo piano) (fig, 34). É uina circunatancia que impressiona, Po_
à.emo3 desenhar e imaginar muitos triangulos (grandes ou pequenos)
di-^ ~ „ V I - f e e s d o s â n g u l o s d o s J-erentes de forma,; os angulos de algims sao difers^-^
r i a r r . ' r . , ^ 0 m e s m o v a l o r d e
^^maiSy porem a soma peimianece constante, toma seiup
18o^„
^ l e d a d e , i s t o e , s e Ademais, se supomos ver "certa" esta prop^*^
. ^ n n ™ p o n t o e u m a
0onvertemos em postuls-do, entao so deduz que, da
4 - , - 1 n > e u m a s o ;
reta, pelo primeiro po<i® traçar-se uma paralela a
4 . - , - , . ^ t e o r e m a .
outras palavras, o "postulado" "E" se transfo:.
Na geometria elx'ptica a situaçao e difereri^^®"
^ l o s d e u m t r i â n ^ o ®
reverao, manor de 1®® 36).
-•ffl itfi lisffle sucessivo entre a s"®® angulos de
A p a r e c e a S S i ^ .
, ralelis®° entre retas. Dos ulterior®® desenvolvi
-UIÛ triangulo e o paraJ-»-^
mentos destas teorias nSo ^ possivel lazer mençSo aqui, faltando-nos,
ale'm disso, a possil3ili<i®^® aprofundar - desde pontos de viata
se-da Mstoricoa, seja cientifioos _ o i,ue ale'm de resultar intéressante
séria também necessnrio 3?efutar a opiniao, muito difundida, de
4. A geometria no mnndo em gue vivemos 7
A validez l6gica das diversas geometrias nos annesenta o pro
ble^na de saber guars delas se encontra^ na realldade ffsiea. Olhandol
-se ao redor tem-se a sensagSo de gue o fenSmenos do mundo em que vi
vemos obedecem, em oertos aspectos, a leis de oarater geome'trlco. Be
q u e g e o m e t r i a s e t n a a ?
Voltaremos ao carapo das e:periências. Sabemos que nSo se
po-de procépo-der a uma verlflcagao dlre.a e exaustiva dos postulados
refe-rentes ao paraleiismo. Podemos rodear o obstaculo e usar as consequênc
-as que aqueles postulados tim sobre o valor de um triângulo qualqJr
(ver alinéa 3); apresenta-se uma clrcunstância, pelo menos, favoravel
a nossa indagagao; no case nSo-euclidiano, quando a soma dos Sngulos
de um trlangulo difere de 180°, tal diferença, em valor absoluto, e'
tanto maior quanto mais extenso seja o triângulo ao quai se référé.
Construamos, pois, um triangle muito grande, megamos seus ângulos e
somemos as^medidas encontradas. Se obtemos 180°, esta (dada a existên
oia o rxan^o) nao pode fugir-nos e conforme seja positiva ou nega
iva, permitira reconhecer o tipo de geometria nSo-euclidiana diante
da quai nos enbontramos.
Os matematicos realizaram esta prova, valendo-se de um triân
^10 extenso, tomando diretamente os ve'rtices sobre os cimos de trêl
montanHas. Mediram seus angulos (mediante técnicas oportonas) e
obbi-veram a soma de tais, medidas. Hesul.ou de 180°, isto é, da ampliagao
d e \ m a n g u l o p i a n o ? N a o - ^ ^ - 5 • o .5 cento e 01 .enta graus nao se acharamj porém
a d i f e r e n ç a d e t a l v a l o r X o i i n f e r i o r - , u • /inierxoj: clos ori-oc nns Ururaeaitais (os quais
n a o p o d e m s e e l i m i n a d o s ) , E n t â o ' ? P o i - ^ no . n a o e p o s s x v e l d i s e r - s e a q u e l a
^ t f e r e n ç a e x i s t e r e a l m e n t e o u s e 4 o ■i - m - y - . r • ~uu e aev^da a imperfoiquo cio r»oç,i=«os meios d e i n v e s t i g a ç â o .
Assim nao estamos em-condiçSes de reconhecer as caracteristi
cas geométricas do ambiante em que vivetnos S âpresenta-se espontâneamln
te a advertênoia dantesca: "Estais satisfeitas, gentes humanas, perma
n e c e i e m q u i e t u d e " » ~
Pelizmente, as gentes humaruis nao se resignaram e sua sede de
saber, sua continua ansia de investi gar e de conhecer permitiu
esten-8 .
del* iiiin"fce3?nAp"baiiieii'fce as possibilidades ds compreensao, emboira "fcendo sempre présentes os insuperaveis limites constituidos pelas
limita-ç o e s d e n o s s a g e n t e .
5 . A i n t e r p r e t a ç a o d a r e a l i d a d e f f s i c a
S a c m a i s o u m e n o s c o n h e c i d a s , e m b o r a n a o e n t r e a s m a i s f a
cets, as teorias de Albert Einstein (1879-1955) q_ue estudando certas leis do imiverso, foi induzido a opinar que estas implicam uma geome
tria de tipo hiperbolico. É certo que, indo de tal modo as coisas, o chamado "ângulo de paralelismo" isto e, o que formam entre si as duas paralelas a "uma reta desde um ponto (ver alinéa 2), deve ser pequenis
simo, tanto como para nâo poder ser advertido no âmbito das
distân-cias acessiveis à experiencia, dentro da ordem usual de aproximaçâo,
Assim, de certo modo, o matematico pode comparar-se com o mecânico, o q u a i t e m s o b r e s u a m e s a d e t r a b a l b o d i v e r s a s f e r r a m e n t a s e s e v a l e d e umas ou de outras, conforme requer a técnica do seu trabalbo. 0 mate
m a t i c o , e m s e u s r e i n o d e p e n s a m e n t o p u r o , c o n s t r o i v a r i a s t e o r i a s e
quando se Ibe pede para indagar leis do mimdo da realidade fisica, ou
de interpretar fenômenos, recorre a uma ou outra delas, segundo as -o r i e n t a ç -o e s d a s u a . i n v e s t i g a ç a -o , -o s -o b j e t i v -o s q u e s e f i x a e -o m e n -o r
ou ma.ior grau de aproximaçao que queira alcançar. Porém surge entao ou
tra questao, nâo menos complicada.
Os sabios cbegaram a opinar que a geometria hiperbolica pode
achar uma realizaçao na fenomenologia do universo, E isto secede por-que hâ mais de cem anos antes os matematicos tiveram a ideia de oons-truir racionalmente a geometria? Isto é, os matematicos, hâ mais de
cem anos chegaram a conceber a geometria nao-euclidiana porque esta,
embora isso nâo fosse conhecido, tinha uma realizaçao no mundo circun
d a n t e ?
Aqui nos ajuda a lembrança de uma pagina de um grande
roman-cista, I^âo Tolstoi, em a sua Ana lïarenina, na quai convida a refletir
"sotre a vasta imaginaçào propria eo homen e SQ-bre aciuelas forças psi
quicas em virtude das quais as rep: îsentaçoes suscitadas pela fanta
sia se tornam tao vivas que oxigem -ncontrar uma correspondôncia no
9 .
m - u n d o d a r e a l i d a d e " .
E mais uma vez a pergunta; a^anta parte da verdade esta em
n o s , e q u a n t a f o r a d e n o s ?
6. Um modelo de geometria eliptica "olana
As geometrias nao-euolidian^s oferecem vm exemple, entre oe
mais significatives, de sistemas hip^'^®'^^'=='^-^etintivos, ideados fora
de toda sugestao concreta, corn final^^^^-® exclusivamente
especulati-v a .
Para um tal sistema se usa ^©nominaçao de "geometria" per
que per causa de sua genese Mstori^^*^ conserva o uso de pa.lavras,
como "ponto", "reta", "piano" ... ..paralelismo", ... circunstancias
distintas as da intuiçâo comum.
Dado um sistema hipotético-'^^'^^^^'^^' introduzimos e ilus
tramos o que deve entender-se por "modelo" ou "padrao" (ver cap.4,
alinéa 7)1 trata-se de construis tun elementos, escolhidos
de modo que nos familiarizem e que propriedades (inter
pretadas convenientemente) expressa^ pelos postulados sobre os quais
se "baseia o sistema.
Vejamos como pode obter-se "geometria eliptica
plana". Consideremos uma esfera p, e ^ superficie como o "piano
eli'ptieo", no quai se desenvolve geometria, chamado "ponto" a
nm par de pontos diametralmente opoe'^^^ "reta" a um qualquer de
seus circules ma::imos. Sem descer a particularidades
observa"-^-^os que para tais dados résulta^ ^erificadas afiimaçoes
co-m o :
d o i s
" p o n t e s "
d e t e m i n a m
u m a
^
1 0 .
mais postulacLos da geometria a que nos referimos. Delà, portante, ja
olDtivemos inn modelo, que esta simplesmente constituido por uma,
inter-f
»
pretaçâo oport'unamente "convencional" de figuras "bem conJiecidas da geo m e t r i a e l e m e n t a r .
7. Um modèle de geometria îiiperbolica plana
Se quisermos chegar a um resuiltado anâlogo para a geometria
hiperbolica plana (mais geralmente, poderiamos considerar qualquer c£
nica) e cliamemos;
- " p i a n o " , a r e g i â o i n t e r i o r a G - " p o n t e " , u m p o n t o i n t e r i o r a G
- "ponto improprio" um p-^nto de G, isto e, de sua
circxmfe.-r ê n c i a .
- " p o n t o i d e a l " u m p o n t o e x t e r n o a G - "reta", vma, corda de G (fig. 38)
- "retas paralelas" duas retas que tèm em comum, um "ponto im
proprio" isto é, duas cordas de G corn "um eztremo em comum
( fi g . 3 9 )
- "retas secantes", duas retas que tenliam em comum "um "ponto
proprio" (isto è, duar cordas de G que se cox-tara em î=ien
I l e - " r e t a s n a o - s e c a n t e s " o u " s e c a n t e s i d e a i s " - d u a s " r e t a s "
gue tem em comum um "ponte ideal" (isto e, duas cordas de
Cj que nao se atravessam) (fig. 41). \ '
\'
' \
/ \
Estes elementos satisfazera os postulados sobre os quais e^ ta fundamentada a, geometria hiperbolica plana; para alguns deles a
verificaçao é j.inediata, para outros deveriamos fazer mais esclarec^
mentes, que entrariam no âmbito da geometria projetiva,
A v a l i d e z l o g i c a d a s g e o m e t r i a s n a o - e u c l i d i a n a s
As consideraçoes desenvolvidas dizem, substancialmente^ que
toda propriedade (teorema) da geometria eliptica plana pode inter
-^ -^Como vimos, (ver cap, 2, alinéa 6) na geometria elementar
inter-vém, com fundamental import^cia, a consideraçao dos "movimentos rigidos" ; na geometria plana trata-se das infini tas posnihi 1 i 4a,-d e s q u e t e m o s 4a,-d e " 4a,-d e s l i s a r o p i a n o s o b r e s i m e s m o . E s t e c o n c e i t o
se introduz como primitive", ou, o que cm substância e o mesmo -- se define implicitamente com adequados postulados', estes devem conservar-se quando, tal como ja vimos, passa-se da geometria nao -euclidiana à euclidiana. No "modèle" antes construido para ageo
metria eliptica plana", os movimentos do nosso piano "elipticd'do nosso piano "eliptico" em si mesmo sao dados pela rotaçao da es tera em tôrno de seu proprio cenbro? mais complicado e o caso do "circule de Klein", bâ que considerar como "movimentos" certas
transformaçoes particulares (ch^nadas "homograficas"), que mudam
1 2 .
pretar-s0 coino uûa circanstancia relativa a al^^uma flguxei traçada so-"bre -ujiia esfera. E o mesmo pode diser-se para a geometria. hiperbolica
p l a n a j d e v m l a d O j e d o c x r c u l o d o o u t r o .
Porem, enbaOj a'braves dc otas xnterpretaçoes oouvertexona.x^ is to e, medxsinte os modelos que des:3revemoSj o estudo da geometria nao
-euolidxana plana fica reconduzido ao de capxtulos particulareSp das
geometrxas elementar c projetivar e isto prova a validez logica dos sistemas nao-euclidianosj que aparecem, portantoj indubitaveljaente fundados sobre postula.dos compatxveis : ao jxenoss ate que se aceite a validez das dua,s geoaetrias nas quais nos moveinost a elementar e a projetiva (ver cap. 4, alxnea 8).
Os exemples dados mostram como, recorrendo à construçao de modeless pode~se passar de um a outro sxstema hipotetico-dedutivos e
servem para esclarecer raciocxnios sobre os quais nos ha,vxamos entre tido no final do capxtudo précédante (ver cap. 4? alxnea 8).
' E x ' t r e . l d o d e
FANTASIA E LÔGICA NA rLATEj!L4TICA L u i g i C a v - i p e d e l l i
H E I I U S - L i v r a r i a E d i t e r a L i m i t a d a
p a g s . 6 0 e 7 0
Publicaçâo iiapressa iio Setor de ICecanografia CEPdiUlE
" P r o f . L a e r t e R s û ' a o s d e C a r v a U a o "
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