UNIVERSIDADE FE D E R A L DE SANTA CATARINA
UM ALGORITMO PARA MINIM IZAR ERROS
EM MODELOS LIN EARES INSTÁVEIS
CLEIDE REGINA LENTZ PALADINI
L I N E A R E S I N S T Ã V E I S P O R C L E I D E R E G I N A L E N T Z P A L A D I N I E S T A D I S S E R T A Ç Ã O F O I J U L G A D A A D E Q U A D A P A R A A O B T E N Ç Ã O D O T l T U L O D E " M E S T R E E M C I Ê N C I A S " E S P E C I A L I D A D E E M M A T E M Á T I C A E A P R O V A D A E M S U A F O R M A F I N A L P E L O C U R S O D E P Õ S - G R A D U A Ç Ã O E M M A T E M Á T I C A D A U N I V E R S I D A D E F E D E R A L D E S A N T A C A T A R I N A . P r o f . W i l l i a m G l e n n W h i t l e y , P h . D C o o r d e n a d o r B A N C A E X A M I N A D O R A :
i i i -A G R -A D E C I M E N T O S A o P r o f e s s o r P l i n i o S t a n g e , p o r s u a c o m p e t e n t e e o b j e t i v a o r i e n t a ç a o ; A o P r o f e s s o r M i l t o n L u i z V a l e n t e , p o r s u a p r e s e n ç a s e m p r e c o n s t a n t e e p o s i t i v a ; A o P r o f e s s o r N i l o K u e l k a m p , p e l a o r i e n t a ç ã o a c a d e m i c a ; A o E d s o n , p e l a p a c i ê n c i a e c o m p r e e n s ã o q u e s e m p r e m e d e d i c o u a o l o n g o d o d e s e n v o l v i m e n t o d e s t e t r a b a l h o , p e l o a p o i o e i n c e n t i v o c o n s t a n t e s ; Ã E m a n u e l e R e g i n a q u e , e m m u i t o s m o m e n t o s , d e v i d o ao e m p e n h o q u e e s t e t r a b a l h o e x i g i a , n ã o t e v e a a t e n ç ã o q u e m e r e c i a .
V -R E S U M O E s t e t r a b a l h o a p r e s e n t a ura a l g o r i t m o a l t e r n a t i v o p a r a r e s o l v e r m o d e l o s b á s i c o s d e p r o g r a m a ç ã o l i n e a r , q u e a p r e s e n t a m i n s t a b i l i d a d e n u m é r i c a q u a n d o s ã o e f e t u a d a s o p e r a ç o e s cora as m a t r i z e s q u e os c o m p o e m , o b j e t i v a n d o m i n i m i z a r os e r r o s g e r a d o s p o r t a i s o p e r a ç o e s . P a r a t a n t o , u t i l i z a - s e a d e c o m p o s i ç ã o d e m a t r i ’- z e s e m v a l o r e s s i n g u l a r e s e s u a a p l i c a ç à o n o c a l c u l o d a i n v e r s a d e u m a m a t r i z . M o s t r a m - s e r e s u l t a d o s d e v ã r i a s a p l i c a ç õ e s , o n d e p o d e m s e r v i s t a s as v a n t a g e n s d o a l g o r i t m o q u a n d o c o m p a r a d o c o m o s i m p l e x u s u a l .
C A P l T U L O I - I N T R O D U Ç Ã O ... 1 C A P l T U L O II - D E C O M P O S I Ç Ã O D E U M A M A T R I Z E M V A L O R E S S I N G U L A R E S ... o ... 4 C A P Í T U L O I I I - I N V E R S Ã O D E M A T R I Z E S ... ... 12 C A P Í T U L O I V - O M É T O D O S I M P L E X R E V I S A D O ... 21 C A P Í T U L O V - A L G O R I T M O D V S - P L E X ... 29 C A P Í T U L O V I - C O N C L U S Ã O ... ... 40 A N E X O 1 - E X E M P L O S D E D E C O M P O S I Ç Ã O D E U M A M A T R I Z E M V A L O R E S S I N G U L A R E S ... ... 43 A N E X O 2 - C Ã L C U L O D A I N V E R S A D E U M A M A T R I Z U S A N D O O M Ê T O D O D V S ... ... 48 A N E X O 3 - L I S T A G E M D O E X E M P L O D O C A P Í T U L O I I I „ ... 57 A N E X O 4 - L I S T A G E M D O E X E M P L O D E A P L I C A Ç Ã O D O A L G O R I T M O D V S - P L E X ... ... 66 A N E X O 5 - L I S T A G E M D O S E X E M P L O S D E I N V E R S Ã O D E M A T R I Z E S 69 A N E X O 6 - L I S T A G E M D O S E X E M P L O S D O A L G O R I T M O D V S - P L E X . . 85 B I B L I O G R A F I A - . . . ...<,... . ...o ... 106
C A P l T U L O I - I N T R O D U Ç Ã O 1 -1 . -1 - E S T A B I L I D A D E E M A N Ã L I S E N U M É R I C A C o n s i d e r e m - s e p r o b l e m a s d o t i p o : (1) F (x ,y ) = 0 o n d e x e u m a v a r i a v e l d e s c o n h e c i d a e y é u m a v a r i ã v e l d a d a d a q u a l x d e p e n d e . D i z - s e q u e o p r o b l e m a Cl) e e s t á v e l se a s o l u ç ã o x d e p e n d e d e m o d o c o n t i n u o d a v a r i a v e l y; i s t o e, se { y } e u m a s e q u ê n c i a d e n v a l o r e s t e n d e n d o p a r a y os v a l o r e s a s s o c i a d o s d a s o l u ç ã o { x ^ } t e n d e m p a r a x. O u , e q u i v a l e n t e m e n t e ; p e q u e n a s d i s t â n c i a s * a y i m p l i c a m e m p e q u e n a s d i s t a n c i a s a x. P r o b l e m a s e s t á v e i s s a o t a m b é m c h a m a d o s p r o b l e m a s b e m - c o n d i c i o n a d o s e u s a m - s e os d o i s t e r m o s i n d i s t i n t a m e n t e . Se o p r o b l e m a n a o e e s t á v e l , é c h a m a d o i n s t á v e l o u m a l - c o n d i c i o n a d o . 1 . 2 - E X E M P L O S 1. C o n s i d e r e o s i s t e m a d e e q u a ç õ e s x 2 - 2 xi * 1 , 0 1 x 2 = 2 , 0 1 A q u i 1 1 1 1 , 0 1 e o s i s t e m a p o s s u i a s o l u ç ã o e x a t a x^ = x 2 = 1 P o r o u t r o l a d o , o s i s t e m a Xj + x 2 = 2 l , 0 0 1 x j x 2 = 2 , 0 1 p o s s u i a s o l u ç ã o xj = 10 e x 2 = -8. P o r t a n t o , a v a l o r e s p r ó x i m o s d e y e s t a o a s s o c i a d o s v a
*
Uma mttfilca
em
um conjunto M
e
uma função
R,
que aòòocía
a
cada pax. ofidunado dz nlo.m<intoi> x,y
e M
um numzno Kcal d[x,y\,
chama
l o r e s d i s t a n t e s d a s o l u ç ã o x. L o g o a s o l u ç ã o x n a o d e p e n d e c o n t i n u a m e n t e de y; c o n c l u i - s e q u e e s t e p r o b l e m a é i n s t á v e l ou m a 1 - c o n d i c i o n a d o . E x i s t e m m u i t o s p r o b l e m a s q u e s a o e s t á v e i s n o s e n t i d o d a d o a n t e r i o r m e n t e , m a s c u j a r e s o l u ç ã o é m u i t o t r a b a l h o s a , e x i g i n d o q u e se a p l i q u e m c á l c u l o s n u m é r i c o s , os q u a i s c o m p r o m e t e m s u a e s t a b i 1 i d a d e , c o m o se v ê n o e x e m p l o a b a i x o . V e r r e f £ l 1 j . 2. C o n s i d e r e a m a t r i z n ã o - s i n g u l a r Y = 1 1 / 2 1/3 . . 1 / n + l 1/ 2 1 / 3 1 / 4 . . l / n + 2 1/n+l l/n+2 Vn+3 l/2n+l c h a m a d a m a t r i z d e H i l b e r t . 0 p r o b l e m a d e e n c o n t r a r a i n v e r s a de Y é u m p r o b l e m a e s t á v e l . A m a t r i z i n v e r s a Y ^ p o d e s e r o b t i d a p o r u m n ú m e r o f i n i t o d e p a s s o s u s a n d o a p e n a s o p e r a -ç o e s a r i t m é t i c a s s i m p l e s ; mas, ã m e d i d a q u e n c r e s c e j o p r o b l e m a se t o r n a m u i t o t r a b a l h o s o , e x i g i n d o a s s i m o a u x í l i o d e u m c o m p u t a d o r ; e aí q u e o p r o b l e m a se t o r n a m a 1 - c o n d i c i o n a d o . A o d a r - s e e n t r a d a d a m a t r i z Y e m u m c o m p u t a d o r o m e s m o a r r e d o n d a r á os e l e m e n t o s d e Y t r a n s f o r m a n d o a n a m a t r i z Y, a q u a l a p r e s e n t a r á e r
-__
£ r o s r e l a t i v o s e m t o r n o d e 10 e m c a d a u m d e s e u s e l e m e n t o s ( s u p o n d o - s e q u e se u s e u m c o m p u t a d o r I B M 3 6 0 q u e a r m a z e n e a m a t r i z de e n t r a d a u s a n d o u m F o r m a t p o n t o f l u t u a n t e d e p r e c i s ã o s i m p l e s ) . U s a n d o m a i o r e s p r e c i s o e s n u m é r i c a s , p o d e - s e c a l c u l a r A - 1 1 _ u m v a l o r m a i s e x a t o de Y . A i n v e r s a Y~ e c o n h e c i d a a n a l i t i c a m e n t e , e p o d e - s e c o m p a r á - l a c o m Y 1 . P ó r e x e m p l o , p a r a n = 6 a l g u n s d o s e l e m e n t o s d e Y 1 j á n o p r i m e i r o d í g i t o n a o n u l o d i f e r e m d o s e u c o r r e s p o n d e n t e de Y 1 . Os e l e m e n t o s n a l i n h a 6, c o l u n a 2, sa o : (y~ 1 ) 6,2= 83 160, 0 0 e (y “ 1 ) 6,2 = 7 3 8 6 6 ,3 43 -Istzo t o r n a o c á l c u l o de Y u m p r o b l e m a m a l c o n d i c i o n a d o , s e n d o q u e e s s e m a l - c o n d i c i o n a m e n t o a u m e n t a à m e d i d a q u e n c r e s c e . 0 p r e s e n t e t r a b a l h o v i s a e s t u d a r p r o b l e m a s m a l - c o n d i c i o n a d o s do t i p o d o e x e m p l o 2 , m a i s e s p e c i f i c a m e n t e e m p r o b l e m a s d e p r o g r a m a ç a o l i n e a r .
C A P Í T U L O II - D E C O M P O S I Ç Ã O DE U M A M A T R I Z E M V A L O R E S S I N G U L A R E S 2 . 1 - I N T R O D U Ç Ã O L i s t a m - s e a b a i x o , a l g u n s c o n c e i t o s e r e s u l t a d o s de ã l g e b r a l i n e a r q u e s a o u t i l i z a d o s n e s t e t r a b a l h o . N e n h u m e s f o r ço ê f e i t o p a r a a p r e s e n t a r u m a s e q u ê n c i a l ó g i c a d e s t e s d a d o s , p o i s a i n t e n ç ã o i i n t r o d u z i r b r e v e m e n t e a l g u n s c o n c e i t o s e r e s u l t a d o s q u e e s t a o d i r e t a m e n t e r e l a c i o n a d o s c o m o t r a b a l h o . P a r a u m e s t u d o m a i s d e t a l h a d o v e r r e f e r ê n c i a s [2] , [3] e [7^] 2 . 1 . 1 - S i s t e m a de e q u a ç õ e s e d e t e r m i n a n t e s de u m a m a t r i z A de o r d e m n : d e t A = A ^ 0 d e t A = 0 E x i s t e u m a ú n i c a m a t r i z i n v e r sa A 1 t a l q u e : - 1 -1 A A = A A =1, T o d a e q u a ç a o A x = b , b f 0 t e m u m a s o l u ç ã o . A ú n i c a s o l u ç ã o de A x = 0 e x = 0. A s o l u ç ã o p a r a t o d a e q u a ç a o A x = b 1 u n i c a . P o s t o A = n . N a o e x i s t e u m a m a t r i z -i i n v e r s a A Q u a l q u e r e q u a ç a o A x = b , b 4 0 n a o t e m s o l u ç ã o . . E x i s t e m s o l u ç õ e s d e A x = 0 , c o m x f 0. s o l u ç ã o de A x = b n u n c a 1 ú n i c a . Se e x i s t i r q u a l q u e r s o l u ç ã o x, e x i s t i r á o u t r a s o l u ç ã o x i ^ x . P o s t o A < n .
5 -2 . 1 . -2 - A u t o v a l o r e s e A u t o v e t o r e s D e f i n i ç ã o : Se A i u m a m a t r i z q u a d r a d a d e o r d e m n, d e f i - n e m - s e c o m o a u t o v a l o r d e A os n ú m e r o s A p a r a os q u a i s a e q u a ç a o c a r a c t e r í s t i c a A x = Xx t e m u m a s o l u ç a o x ^ O , o v e t o r x e c h a m a d o a u t o v e t o r a s s o c i a d o ao a u t o v a l o r X . T e o r e m a 2 . 1 . 1 : 0 n ú m e r o X ê u m a u t o v a l o r de u m a m a t r i z q u a d r a d a A se e s o m e n t e se d e t ( A - X I ) = 0 . T e o r e m a 2 . 1 . 2 : S e j a A u m a m a t r i z de o r d e m n c o m n a u t o v a l o r e s d i s t i n t o s X j , . . . , X n . E n t a o A t e m c o r r e s p o n d e n t e m e n t e n a u t o v e t o r e s x , . . . , x n l i n e a r m e n t e in d e p e n d e n t e s . A l é m d i s s o , o a u t o v e t o r Xj a s s o c i a d o a o a u t o v a l o r A. é ú n i c o ou a p e n a s u m m ú l t i p l o es c a l a r d e s t e . D e f i n i ç ã o : D u a s m a t r i z e s A e B d e o r d e m n s a o c h a m a d a s e-q u i v a l e n t e s se e x i s t e u m a m a t r i z T c o m d e t T ^ O t a l q u e : - \ T A T = B T e o r e m a 2 . 1 . 3 : M a t r i z e s e q u i v a l e n t e s t ê m os m e s m o s a u t o v a l o r e s c o m a m e s m a m u l t i p l i c i d a d e . T e o r e m a 2 . 1 . 4 : U m a m a t r i z A d e o r d e m n ê e q u i v a l e n t e a u m a m a t r i z d i a g o n a l se e s o m e n t e se A t e m n a u t o v e t o r e s l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e s . I s t o é, A ê e q u i v a l e n t e a u m a m a t r i z d i a g o n a l se A t e m n a u t o v a l o r e s d i s t i n t o s . ü e f i n i ç a o : D a d a u m a m a t r i z A q u a l q u e r a a d j u n t a d e A é de f i n i d a c o m o s e n d o (g a m a t r i z t r a n s p o s t a d a c o n j u g a d a d e A ) . D e f i n i ç ã o : A m a t r i z A d e o r d e m n é d i t a o r t o g o n a l se A C A = A A t = I n ( m a t r i z i d e n t i d a d e de o r d e m n ) . D e f i n i ç ã o : U m a m a t r i z d e o r d e m n é d i t a s i m é t r i c a se a i j = a j ^ p a r a t o d o i e j.
t i a n a se A = A ' . T e o r e m a 2 . 1 . 5 : Os a u t o v a l o r e s d e u m a m a t r i z lier- m i t i a n a s a o r e a i s , e os a u t o v e t o r e s c o r r e s p o n d e n t e s a a u t o v a l o r e s d i s t i n t o s s a o o r - t o g o n a i s . E s t e t e o r e m a m o s t r a q u e , se A = A * t e m a u t o v a l o r e s d i s t i n t o s , e n t a o A p o d e s e r d i a g o n a 1 i z a d a p e l a m a t r i z or t o g o n a l U de s e u s a u t o v e t o r e s , a s s o c i a d o s a o s n a u t o v a l o r e s dis t i n t o s , i, e u " 1 A U = U * A U = A = d i a g ( ^ . ,Xn ) T e o r e m a 2 . 1 . 6 : S e j a A u m a m a t r i z h e r m i t i a n a de o r d e m n, c o m a u t o v a l o r e s X j . . . , X n . E n t a o A t e m n a u t o v e t o r e s u n i t á r i o s m u t u a - m e n t e o r t o g o n a i s Uj , . . . , un , c o m A u j =X j uj ( j = 1 , . . . ,n) e U*AU = A, o n d e U e a m a t r i z o r t o g o n a l c o m c o l u n a s u j , . . . , u n e A = d i a g ( X X n ) U m e s t u d o d a d e m o n s t r a ç a o d e s t e t e o r e m a , m o s t r a q u e , se A e r e a l , n u n c a a p a r e c e r a o n ú m e r o s c o m p l e x o s , u m a v e z q u e os a u t o v a l o r e s s a o r e a i s . A m a t r i z U , q u e d i a g o n a l i z a A, t e r á t o d a s as c o m p o n e n t e s r e a i s . A s s i m , t e m o s : T e o r e m a 2 . 1 . 7 : Se A é u m a m a t r i z s i m é t r i c a r e a l , e x i s t e u m a m a t r i z o r t o g o n a l U , p a r a a qual U C A U é a m a t r i z d i a g o n a l A f o r m a d a p e l o s a u t o v a l o r e s d e A. D e f i n i ç ã o : D e f i n e - s e a n o r m a de u m a m a t r i z A c o m o s e n d o : n | | A | | = m ã x I |a-- | ( n o r m a d a m á x i m a i j=l 1J s o m a p o r l i n h a ) .
-
7-D e f i n i ç a o : S e j a A u m a m a t r i z n a o - s i n g u l a r . 7-D e f i
n e - s e o n ú m e r o de c o n d i ç ã o de A, a n o t a d o
c o n d ( A ) , c o m o s e n d o o n ú m e r o d a d o p o r
IIaII M a I I .Para a n o r m a e u c l i d i a n a o b s e r v a -
se q u e : | |A| | — yi e | |a | | onde ^1 I o maior
v a l o r s i n g u l a r de A e y n e o m e n o r . D e s ta f o r m a : c o n d ( A ) = | |A | | -| |A- ‘ | | = X ^ j_ D e f i n i ç ã o : U m a m a t r i z A q u a d r a d a é d i t a n a o - s i n g u l a r se A ^ 0 ( d e t e r m i n a n t e de A f o r n a o - n u - 1 o )
.
D e f i n i ç ã o : U m a m a t r i z s i m é t r i c a r e a l A é d i t a de f i n i d a p o s i t i v a se s u a f o r m a q u a d r á t i c a a s s o c i a d a n n E E a..x. x. i=l j=l 1 Jfor positiva definida.
D e f i n i ç ã o : U m a f o r m a q u a d r á t i c a é d i t a n a o n e g a t i v a d e f i n i d a se t o m a r s o m e n t e v a l o r e s n a o n e g a t i v o s q u a n d o se a t r i b u e m v a l o r e s r e a i s ar b i t r ã r i o s a x j ,x 2 , . . . . x n • U m a f o r m a q u a d r ã t i ca d e f i n i d a n a o n e g a t i v a q u e t o m a o v a l o r ze ro s o m e n t e q u a n d o Xj = x 2 = .... ~ x n = 0 é c h a m a d a d e f i n i d a p o s i t i v a . 2 . 2 - D E C O M P O S I Ç Ã O D E U M A M A T R I Z E M V A L O R E S S I N G U L A R E S T e o r e m a 2 . 2 . 1 : S e j a A u m a m a t r i z n a o - s i n g u l a r de o r d e m n. E n t a o e x i s t e m d u a s m a t r i z e s o r t o g o n a i s U e V de o r d e m n e u m a m a t r i z d i a g o n a l S de o r d e m n, t a i s q u e : (1) S = U 1" A V o u A = U S V t e os e l e m e n t o s d a d i a g o n a l
e s t a o e m s u c e s s ã o n a o c r e s c e n t e , i . e s i , i > s i + x, i+ 1 ( o u V S i +1} D e m o n s t r a ç a o : A m a t r i z s i m é t r i c a d e f i n i d a p o s i t i v a A t A t e m a s e g u i n t e d e c o m p o s i ç ã o a u t o v a l o r a u t o v e t o r (2) A UA = V D V 11, o n d e V ê u m a m a t r i z o r t o g o n a l ( m a t r i z d o s a u t o v e t o r e s d e A tA) e D é u m a m a t r i z d i a g o n a l ( m a t r i z d o s a u t o v a l o r e s d e A tA) c u j o s e l e m e n t o s d a d i a g o n a l s a o p o s i t i v o s n a o c r e s c e n t e s . S e j a S u m a m a t r i z d i a g o n a l d e o r d e m n c u j o s e l e m e n t o s d a d i a g o n a l s a o as r a i z e s q u a d r a d a s d o s e l e m e n t o s r e s p e c t i v o s d e D. A s s i m : (3) D = S t S = s 2 e (4) s"1 D S~1= I n S e j a u m a m à t r i z U d e o r d e m n d a d a p o r : (5) U= A V S _l D e (2) , (4) e (5) e do f a t o q u e V i o r t o g o n a l , (6) U C U = S_1V t A t AVS~1= S ^ D S " ^ I n P o r t a n t o U I o r t o g o n a l De (5) e do f a t o q u e V e o r t o g o n a l (7) U S V t = A V S -1S V t = A V V C = A, c o m o q u e r í a m o s . E m b o r a n a o s e n d o u m r e s u l t a d o a s e r u t i l i z a d o n o p r e s e n
9 -te t r a b a l h o , o b s e r v e - s e q u e o t e o r e m a ( 2 . 2 . 1 ) a p r e s e n t a u m a g e n o r a l i z a ç a o c u j o e n u n c i a d o é o s e g u i n t e : T e o r e m a 2 . 2 . 2 : S e j a A u m a m a t r i z d e o r d e m m x n e p o s t o k. E n t a o e x i s t e m d u a s m a t r i z e s or t o g o n a i s U de o r d e m m e V de ordem n e u m a m a t r i z d i a g o n a l S d e o r d e m m x n, t a l q u e : (8) U t A V = S o u A = U S V 1" , o n d e os e l e m e n t o s d a d i a g o n a l de S p o d e m ser arran j a d o s e m o r d e m n a o c r e s c e n t e e e x a t a m e n t e k d e l e s s a o e s t r i t a m e n t e p o s i t i v o s . D e m o n s t r a ç a o : ( v e r r e f . [8] , plg.20) S a b e - s e , a t r a v é s d a á l g e b r a l i n e a r , q u e u m a d a d a m a t r i z A de o r d e m m x n i e q u i v a l e n t e a u m a m a t r i z B d o t i p o :
1
0 . . . . ... 0
. . . 0
0
1 . . . . ... 0
. . . 0
0
kxk
Ò
0
ô . . . . ... 0
0
J m x n, onde k= posto A, Se existirem m a t r i z e s n a o - s i n g u l a r e s P de o r d e m m e Q de o r d e m n t a i s q u e B = P A Q C o m p a r a n d o - s e e s t e r e s u l t a d o c o m o q u e e s t a b e l e c e o t e o r e m a ( 2 . 2 . 1 ) , n o t a - s e q u e n o t e o r e m a P e Q f o r a m s u b s t i t u í d a s p e l a s m a t r i z e s o r t o g o n a i s U e V t e B foi s u b s t i t u í d a p e l a m a t r i z d i a g o n a l S. P a r a f i n s c o m p u t a c i o n a i s , a d e c o m p o s i ç ã o e m v a l o r e s s i n g u l a r e s e b e m m a i s ú t i l , p o i s a m u 1 1 i p 1 i c a ç a o de u m v e t o r por m a t r i z e s o r t o g o n a i s p r e s e r v a c o m p r i m e n t o s (||Ux||= ||x|| , o n d e U e u m a m a t r i z o r t o g o n a l ) , ao p a s s o q u e a m u l t i p l i c a ç a o de u m v e t o rS e j a A de o r d e m n, a r e p r e s e n t a ç a o m a t r i c i a l de u m a t r a n s f o r m a ç a o l i n e a r T d e u m e s p a ç o n - d i m e n s i o n a l X s o b r e u m s e g u n d o e s p a ç o s e m e l h a n t e Y, i s t o i, y= A x e s t á e m Y p a r a to d o x e m X . O b s e r v e - s e q u e , n a r e p r e s e n t a ç a o m a t r i c i a l d a t r a n s f o r m a ç a o l i n e a r T, p e l a m a t r i z A, s u p o e - s e q u e a m b o s os e s p a ç o s X e Y s e j a m d a d o s e m c o o r d e n a d a s o r t o g o n a i s . F a z - s e e n t ã o u m a t r o c a de c o o r d e n a d a s o r t o g o n a i s e m X, o n d e o v e t o r x o b t é m a n o v a r e p r e s e n t a ç a o x ' , t a l q u e x = Vx' e u m a t r o c a de c o o r d e n a d a s o r t o g o n a i s e m Y o b t e n d o - s e y' c o m o a n o v a r e p r e s e n t a ç a o d e y t a l q u e y = U y ' ( a q u i U e V s a o as m a t r i z e s do t eo r e m a 2 . 2 . 2 ) . R e s u l t a d e s t a t r o c a de b a s e s e m X e Y u m a n o v a r e p r e s e n t a ç a o m a t r i c i a l p a r a T , d a d a p o r : y '= u t:y = U C A x = U C A ( V x ' ) = ( U t A V) x ' = D x ' , o u s e j a : y ' = Dx' E m t e r m o s de c o m p o n e n t e s , ,e s t a n o v a r e p r e s e n t a ç a o e :
y i =
v
i x J
V 2 = U 2 X 2 ^ k = ^ k x k D e s t a f o r m a , a t r a n s f o r m a ç a o T a p e n a s r e l a c i o n a o p r i m e i r o e i x o c o o r d e n a d o de X c o m o p r i m e i r o e i x o c o o r d e n a d o d e Y p o r m e i o d e u m f a t o r de s i g n i f i c â n c i a y^ > 0 . A c o n t e c e o m e s m o c o m o 29, 39, • • • » k - e s i m o e i x o s c o o r d e n a d o s c o m os r e s p e c t i v o s f a t o r e s de s i g n i f i c â n c i a y2 , ••• , P ^ • Os (k + 1), ... . n - e s i m o s e i x o s c o o r d e n a d o s de X e s t a o r e l a c i o n a d o s com o v e t o r z e r o de Y .V e - s e , e n t a o , q u e a d e c o m p o s i ç ã o de u m a rnatriz A em v a l o r s i n g u 1 ar v. s i rn p i e s e e f i c i e n t e p a r a f i n s * c o m p u t a c i o n a i s F. st,a af i r m a ç a o e c o m p r o v a d a no c á l c u l o de i n v e r s ã o de m a t r i z e s e , c o n s e q U e n t e m e n t e , n a b u s c a d a s o l u ç ã o de u m P P L , a i n d a n e s t e t r a b a l h o . S e n d o A 1- a t r a n s p o s t a de A, t e m - s e : D t D = ( U tA V ) t (U t: A V ) = V tA t U U tA V = V tA tA V • t t t • A s s i m V (A A ) V = D D e u m a m a t r i z d i a g o n a l c u j o s e l e 2 2 2 ~ m e n t o s da d i a g o n a l s a o y j , y 2 , . * * > 0 , . . . . , 0 ; c o m o V ê o r t o g o n a l , V t= V e e n t a o a t r a n s f o r m a ç a o V t ( A t A ) V p r e s e r v a os a u t o v a l o r e s de A tA , o s q u a i s s a o y ^ , y 2 , . . . , M ^ , 0 , . . . . , 0 . C o n c l u i - s e e n t a o q u e os v a l o r e s s i n g u l a r e s de u m a m a t r i z A s a o as r a i z e s q u a d r a d a s d o s a u t o v a l o r e s d e A tA. A i n d a t e m - s e q u e : Se A = U S V t e a d e c o m p o s i ç ã o e m v a l o r e s s i n g u l a r e s da m a t r i z A , o n d e U U " = II U = I n > V V = V " V = 1 n e S "s = D e n -t a ° A A t= ( U S V * 1) ( VS tu f = U S S tU t= U D U t . L o g o U ê a m a t r i z d o s a u t o v e t o r e s de A A *". P o r t a n t o , se A = USV*"? a d e c o m p o s i ç ã o e m v a l o r e s s i n g u l a r e s da m a t r i z A, e n t a o U ê u m a m a t r i z o r t o g o n a l f o r m a d a p e l o s a u t o v e t o r e s de A A t , V ê u m a m a t r i z o r t o g o n a l f o r m a d a p e l o s a u t o v e t o r e s de A CA e S ê u m a m a t r i z d i a g o n a l c u j o s e l e m e n t o s d a d i a g o n a l s a o as r a í z e s q u a d r a d a s d o s a u t o v a l o r e s de A LA . O b s e r v e - s e q u e s e n d o A u m a m a t r i z n a o - s i n g u l a r t a m b é m S o s e r á . 2 . 3 - E X E M P L O S P a r a i l u s t r a r os r e s u l t a d o s do t e o r e m a ( 2 . 2 . 1 ) , a p r e s e n t a m - s e t r e s e x e m p l o s n o a n e x o 1.
D e f i n i ç ã o : U m a m a t r i z A de o r d e m n é d i t a u m a
.
-i m a t r i z m v e r s i v e l se e x i s t e u m a m a t r i z A de o r d e m n t a l q u e : A A = A A = I o n d e I e a m a t r i z i d e n t i d a d e de o r d e m n. 3 . 1 - D E T E R M I N A Ç Ã O DA I N V E R S A DE U M A M A T R I Z U S A N D O A D E C O M P O S I Ç Ã O E M V A L O R E S S I N G U L A R E S . ( M é t o d o D V S ) T e o r e m a 3 . 1 - Se A é u m a m a t r i z i n v e r s i v e l de o r d e m n e A = U S V 1- I a d e c o m p o s i ç ã o e m v a l o r e s s i n g u l a r e s de A ( c o n f o r m e t e o r e m a 2.2.1), e n t a o a i n v e r s a de A é a m a t r i z -i -i t A = VS U -i . -i -i -i. o n d e , S = d i a g (P ; , y 2> • • > )• D e m o n s t r a ç ã o : De f a t o : A A = ( VS_1U t ) ( U S V Ü ) = VS_ 1 (Ut U) S V C == v ( s -1S)
V C= V V C=I,
A A 1 = ( U S V Ü ) ( V S ^ U C) = U S ( V C V) S !U = = u ( s s 1) u t= U U t = I. P o r t a n t o : A A 1= A *A = I M o s train-se a l g u n s e x e m p l o s . n o a n e x o 2:1 3 -3 . 2 - M É T O D O D A E L I M I N A Ç Ã O T e o r e m a 3 . 2 : Se A ê u m a m a t r i z de o r d e m n i n v e r s í v e 1 e se u m a s e q u ê n c i a de o p e r a ç o e s e l e m e n t a r e s s o b r e l i n h a s r e d u z A â m a t r i z i- d e n t i d a d e I, e n t a o a q u e l a m e s m a s e q u ê n c i a de o p e r a ç o e s e l e m e n t a r e s s o b r e l i n h a s q u a n d o a p l i c a d a s a I p r o d u z A? D e m o n s t r a ç a o : V e r r e f [ 4 ] e [ 7 ] 0 m é t o d o d a e l m i n a ç a o p r o p o s t o n o t e o r e m a 3 . 2 , p o d e ser e s q u e m a t i z a d o c o m o s e g u e : a) P a r t e - s e d a m a t r i z a u m e n t a d a , q u e t e m a f o r m a [a ,i] o n d e , se A t e m o r d e m n, I s e r á a m a t r i z i d e n t i d a d e de o r d e m n. b) I n i c i a l m e n t e , n o r m a l i z a - s e a p r i m e i r a c o l u n a d a m a t r i z a u m e n t a d a , d i v i d i n d o - s e s e u s e l e m e n t o s p o r a ( p i v ô ) . A s s i m , t e m - s e p a r a j = l , 2 , . . . , 2 n i a ■ J 1 J 1 1 A q u i , o í n d i c e s u p e r i o r 1 i n d i c a a n o v a l i n h a . 1 O b s e r v e - s e q u e a 1 1 1 e o p r i m e i r o e l e m e n t o d a m a t r i z i d e n t i d a d e c) A s e g u i r , r e d u z e m - s e os d e m a i s e l e m e n t o s d a c o l u n a 1 a z e r o p o r m e i o de u m a s e q u ê n c i a de o p e r a ç o e s r e p r e s e n t a d a s p o r a . . = a . . ij 1 J a . a . , li lj A o f i n a l d e s t a e t a p a t e r - s e - á : 1 0 1 2 a
.
2 2 m ‘ 2n l/a1/í
1 1 ‘2 1 / 3 1 1 0 1 0 0 a n n 1 an i / a n 0d) P a s s a - s e ã n o r m a l i z a ç a o d a 2^ c o l u n a , c o m o s e g u e : i a 2 = — Á — , j = 2 , 3 , . . . , 2 n 2 1
J
a
* 2 2 a • a , • , i = 1 , 3 , 4 , . . . , n ( i ^ 2 ) j = 2 , 3, . . . , 2n 12 “ 2j A g o r a as d u a s p r i m e i r a s c o l u n a s d a m a t r i z a f o r m a d a s p r i m e i r a s c o l u n a s d a i d e n t i d a d e . A , I as s u m e m e) P a s s a n d o - s e às d e m a i s l i n h a s , c h e g a - s e ao f i n a l de n e t ap a s a : 1 0 0 1 0 0 A n n ° a il 3 1 2 0 a 11 a n 2 1 2 2 1 a n o n n i n 2 n 11 n n 12 n n n N e s t e u l t i m o q u a d r o : 1. As n p r i m e i r a s l i n h a s e c o l u n a s c o n t é m a i d e n t i d a d e ; 2. A p a r t i r d a c o l u n a (n + 1) ( m e t a d e d i r e i t a d a m a t r i z ) t e m - s e a m a t r i z i n v e r s a , o u s e j a , A a . .n.
iJj , i 1 , 2 , . . . , n j = n + 1, n + 2 , . . . 2 n D e s t a f o r m a , u t i l i z a m - s e , ao l o n g o de n e t a p a s , os s e g u i n t e s c á l c u l o s : p a r a k = 1 , 2 , . . . n , C a l c u l a - s e :1 5 -kj qk-l ak-l kk j= k,k + 1, k a. ♦ ij a1^:1 1J A " 1ik a i= 1 akj 3.2.1 - E x e m p l o C o n s i d e r e - s e o e x e m p l o : D e t e r m i n a r a i n v e r s a de 1 1/2 1/3 A= 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 _ " 1 1/2 1/3 1 0 0 " 1/2 1/3 1/4 0 1 0 1 / 3 1/4 1/5 0 0 1
_
I 1/2 1/3 1 0 0 “ 0 1/12 1./12 -1/2 1 0 _ 0 1/12 1/45 -1/3 0 1 _ - 1 1/2- 1/3 1 0 1 0 1/12 1/12 -1/2 1 0 0 0 1/180 1/6 -1 1 " 1 1/2 1/3 1 0 0 ” 0 1 1 -6 12 0 0 0 1 30 -180 180 - 1 1/2 0 -9 60 60 " 0 1 0 . -36 192 -180 0 0 1 30 -180 180 ~ 1 0 0 9 -36 30 ~ 0 1 0 -36 192 -180 0 0 1 30 -180 180 -J ., 2n ,n ( i ? k)9 - 3 6 30 - 3 6 1 92 - 1 8 0 30 - 1 8 0 1 8 0 3 . 3 - E S T U D O C O M P A R A T I V O E N T R E O S M É T O D O S DE I N V E R S Ã O D V S E E L I M I N A Ç Ã O C o m a f i n a l i d a d e de p r o c e d e r â a n á l i s e do p r o c e s s o de i n v e r s ã o de m a t r i z e s u t i l i z a n d o - s e a d e c o m p o s i ç ã o e m v a l o r e s s i n g u l a r e s , p r o c e d e u - s e a u m e s t u d o c o m p a r a t i v o d e s t e m é t o d o c o m o da e l i . m i n a ç a o , a n t e r i o r m e n t e e x p o s t o . P a r a t a n t o , f o i u t i l i z a d o o a l g o r i t m o D V S p a r a a i n v e r s ã o de m a t r i z e s , c u j o e s q u e m a g e r a l é o s e g u i n t e : 1
.
2 . 3 . 4 . 5 . 6 . D a m e s m a f o r m a , u t i l i z a n d o - s e u m a l g o r i t m o q u e a p l i c a -1 o m é t o d o d a e l i m i n a ç a o e m A, e n c o n t r a - s e A 2 e c a l c u l a - s e A'2 A -i e A A y . S e n d o I a m a t r i z de m e s m a o r d e m d o s p r o d u t o s , p r o c e d e r - se - á c o m o s e g u e : 1. P a r a c a d a a l g o r i t m o , c a l c u l e I = A * A ( i d e n t i d a d e à L eia a m a t r i z A ; D e c o m p o n h a A e m v a l o r e s s i n g u l a r e s , e n c o n t r a n d o - s e U, S e V t ; -I D e t e r m i n e S tal q u e s ij = sij se i * i sij = 1 11 / . . sij se i = j ; t De t e r m i n e U e V —1 t —J. F a ç a o p r o d u t o V. S . U = A^ -1 -1 C a l c u l e A j A e A A j1 7 -e s q u -e r d a ) -e I d = A A ( i d e n t i d a d e ã d i r e i t a ) ; P a r a c a d f c r e n ç a : 2. P a r a c a d a a l g o r i t m o c a l c u l e (DIF) ^ , m a t r i z di-< D I F ) . . = [ ( I e ) . . - ( I , ) . . ] ; 3. A p l i q u e a n o r m a da m á x i m a s o m a de l i n h a s s o b r e ( D I F ) ... C o m p a r e c o m z e r o ; ij 4. D e t e r m i n e , p a r a c a d a a l g o r i t m o , (DIF)„ e ( D I F ) , c d t a l q u e ( D I F ) . . e 1 J (I ) -e ij - - (I) •ij. • ( d i f e r e n ç a ã e s q u e r d a ) ( D I F ).. d 1 j (.1 , ) . . - d ij ( I ) . .ij. ( d i f e r e n ç a ã d i r e i t a ) 5. A p l i q u e a n o r m a da m á x i m a s o m a de l i n h a s sobre (DIFe ) e ( D I F ^ )... Compare c o m z e r o . 3-J C o n s i d e r a - s e o s e g u i n t e : 0 m e l h o r a l g o r i t m o s e r á o q u e a p r e s e n t a r m e n o r e s v a l o r e s d a s q u a t r o n o r m a s c i t a d a s . N a p r á t i c a , ■se q u e I = I , e d D a i , u t i l i z a r - s e - a o c o m o p a d r a o de c o m p a r a ç a o as n o r m a s a p l i c a d a s as m a t r i z e s ( D I F j ) c a l c u l a d a s e m c a d a a l g o r i t m o . A p r e s e n t a - s e , a s e g u i r , u m e x e m p l o p r e l i m i n a r . S e j a a s e g u i n t e m a t r i z M= 10 9 7 3 1 50 45 4 0 22 145 123 33 35 54 40 -6 0 - 5 3 76 20 30 46 56 20 45 11
A o a p l i c a r - s e o m é t o d o d a e l i m i n a ç a o p a r a d e t e r m i n a r M } o b s e r v a - s e , n a l i s t a g e m , q u e n o p a s s o 2 d o a l g o r i t m o f o r a m g e r a d o s n ú m e r o s m u i t o g r a n d e s e m m o d u l o . P a r a se t e r i d é i a d e s t e s v a l o r e s , e l e s s a o a p r e s e n t a d o s d e f o r m a e s p e c i a l n a p r ó p r i a lis t a g e m q u e e n c o n t r a - s e n o a n e ^ o 3. T a i s n ú m e r o s g e r a m f o r t e i n s t a b i l i d a d e n o a l g o r i t m o de e l i m i n a ç a o d e f o r m a a a f e t a r s i g n i f i c a t i v a m e n t e o r e s u l t a d o fi n a l , g e r a n d o u m a i n v e r s a q u e p r o d u z , q u a n d o m u l t i p l i c a d a p e l a m a t r i z o r i g i n a l , u m a m a t r i z m u i t o d i f e r e n t e d a i d e n t i d a d e , f a t o a t e s t a d o p e l o c a l c u l o d a n o r m a d a m á x i m a s o m a d a m a t r i z d i f e r e n ç a , c u j o v a l o r f o i d e 1 1 , 6 9 2 . I s t o m o s t r a q u e e s t e a l g o r i t m o é i n e f i c i e n t e p a r a d e t e r m i n a r a i n v e r s a d e s t a iuatriz M q u e p a r e c e s e r b a s t a n t e s i m p l e s . J a u t i l i z a n d o - s e o m é t o d o D V S t a l p r o b l e m a n ã o a c o n t e c e . C o m o a m a t r i z é s i m p l e s , as m a t r i z e s U, S e V s ã o d e f ã c i l c ã l c u l o , r e p r o d u z i n d o c o m e x a t i d a o a m a t r i z d a d a q u a n d o se e f e t u a o p r o d u t o U.S.V*'. A s s i m a i n v e r s a o b t i d a r e p r o d u z , q u a n d o multi^ p l i c a d a p e l a m a t r i z o r i g i n a l , a i d e n t i d a d e e x a t a , c o m o se p o d e v e r p e l a n o r m a r e s u l t a n t e , c u j o v a l o r e z e r o . E s t e e x e m p l o m o s t r o u a e f i c i ê n c i a d o m é t o d o D V S p a r a o c a l c u l o d e i n v e r s a d e m a t r i z e s . T a l e f i c i ê n c i a f o i t e s t a d a e m m u i t o s o u t r o s e x e m p l o s . A t a b e l a a s e g u i r r e s u m e 59 c a s o s d e n t r e os e s t u d a d o s . A q u i , n o t a - - s e q u e o m é t o d o D V S é m e l h o r e m 5 4 d e l e s ; e m 4 o m é t o d o d a e l i m i n a ç a o e m e l h o r ( p o r é m , e m u i t o p o u c o m e l h o r , p o i s a n o r m a D V S t a m b é m é p e q u e n a ) e h á 1 e m p a t e . N e s t a a m o s t r a , o m é t o d o D V S f o i m e l h o r - p a r a f i n s d e i n v e r s ã o d e m a t r i z e s - e m 9 1 , 5 % d o s c a s o s . N o a n e x o 5 d e s t e t r a b a l h o , e n c o n t r a - s e a l i s t a g e m d o s e x e m p l o s 2, 3, 19, 2 3, 24, 36, 43, 51, 55 e 5 6, n e s t a o r d e m .
2 1 -C A P l T U L O IV - O M É T O D O S I M P L E X R E V I S A D O 4 . 1 - I N T R O D U Ç Ã O O m é t o d o s i m p l e x r e v i s a d o e u m a p e r f e i ç o a m e n t o d o m e t o d o S i m p l e x ( . c o n v e n c i o n a l ) d o p o n t o d e v i s t a c o m p u t a c i o n a l , j a q u e t r a b a l h a c o m os v a l o r e s i n t e r m e d i á r i o s d e f o r m a m a i s c o m p a c t a, r e d u z i n d o as n e c e s s i d a d e s d e m e m ó r i a d o c o m p u t a d o r p a r a o a r m a z e n a m e n t o d e s s e s v a l o r e s . 0 s i m p l e x r e v i s a d o a p r e s e n t a d u a s c a r a c t e r í s t i c a s b ã s i c a s : 1. U t i l i z a u m a a b o r d a g e m m a t r i c i a l ao p r o b l e m a d e prói g r a m a ç a o l i n e a r ; 2. C a l c u l a e a r m a z e n a apenas, as i n f o r m a ç õ e s n e c e s s ã r i a s a c a d a i t e r a ç a o . A n o t a ç ã o m a t r i c i a l p o d e s e r e s q u e m a t i z a d a c o m o s e g u e : M a x z ■= cx S u j e i t o a: A x < b x _> 0 o n d e c(.l x n ) , x ( . n x 1), A(jn x n ) , b(.m x 1), 0 ( n x 1) N a f o r m a p a d r a o , t a l n o t a ç a o se t r a n s f o r m a em: M a x z = c x S • cl [ A , i] X X
[ > ]
> 0 > 0 Xo n d e I e a i d e n t i d a d e r e a l d e o r d e m m e x s ã o as m s v a r i á v e i s d e f o l g a . A s s i m : [ A , I] x ( n + m ) ( n + m ) x I ( n + m ) x 1 O b s e r v e - s e a i n d a q u e , a c a d a i t e r a ç a o , a s G n i c a s i n f o r m a ço e s r e l e v a n t e s s a o : a) C o e f i c i e n t e s d a s v a r i á v e i s n a o b á s i c a s q u e v a o en t r a r n a b a s e ; b) C o e f i c i e n t e s d a s v a r i á v e i s n a o b á s i c a s n a e q u a ç a o ( 0 ) ( f u n ç a o o b j e t i v o ) ; c) As c o n s t a n t e s d a c o l u n a b. 4 . 2 - N O Ç A O G E R A L D O M É T O D O C o n s i d e r e - s e a m a t r i z ; o b s e r v e - s e q u e e x i s t e m v a r i á v e i s n a o b á s i c a s c u j o v a l o r i n i c i a l e z e r o . E l i m i n a n d o - s e e s t a s n v a r i á v e i s n a o b á s i c a s , t e r - s e - á c o m o s o l u ç ã o b á s i c a i n i c i a l : X B = “BI ‘B 2 ‘B m C o n s t r 5 í - s e , a s e g u i r , a m a t r i z b a s e B , de o r d e m m , f o r m a d a p e l a s c o l u n a s c o r r e s p o n d e n t e s às v a r i á v e i s b á s i c a s da m a t r i z [A,l] q u e i a m a t r i z o r i g i n a l d o p r o b l e m a . L o g o : B . x -1 B x B = B
2 3 -C o n s i d e r e - s e a m a t r i z [c , O] . E l i m i n a n d o - s e o s c o e f i c i e n t e s d a s v a r i á v e i s n a o - b ã s i c a s e n c o n t r a r - s e - ã a m a t r i z d e o r d e m ( l x m ) , A s s i m , p a r a a s o l u ç ã o b á s i c a e n c o n t r a d a , o v a l o r d e Z s e r á : o u Z M a t r i c i a l m e n t e t e m - s e 1 - c 0 X
'
0 õ A I X s__ b o n d e 0 r e p r e s e n t a a m a t r i z n u l a . c o m o .b -i Z = c „ . B .b , t e m - s e : Jd - r -11 ■ -1 Z 1 : c b b 0 c g B b = -1.
X B_ õ : b b B b E s t a m a t r i z , de o r d e m ( ( m + l ) x l ) é o l a d o d i r e i t o a t u a l i z a d o d o p r o b l e m a . c o m o 1 -*1 c b ’b 1 - c 0 1 -i c B A - c B c bb_1 Õ -1 B Õ A I Õ -1 B A “1 B.
0 c o n j u n t o de e q u a ç õ e s , a p ó s q u a l q u e r i t e r a ç a o s e r á 1 C g B A - c CB ^ 0 B A .,-1 z c . B 1 . b X_
-X s- B“1. b E m r e s u m o , p o r t a n t o , o s i m p l e x r e v i s a d o t e m os m e s m o s c r i t é r i o s de i n i c i a l i z a ç a o , d e e n t r a d a e s a í d a de v a r i á v e i s da b a s e b e m c o m o d e p a r a d a do a l g o r i t m o s i m p l e x . M u d a r á , a p e n a s , o c á l c u l o de B - 1 e de x g = B_1b. A l é m d i s s o , o s i m p l e x r e v i s a d o , p a r a e f e i t o de s i m p l i f i c a ç õ e s , a p r e s e n t a u m m o d o de se d e t e r m i --1 ~ . -i n a r a m a t r i z B d a i t e r a ç a o i a p a r t i r d a m a t r i z B d a i t e r a ç a o ( i — 1) .li s q u e m a d e A l g o r i t m o D a d o o p r o b l e m a : m a x z = cx s . a : A x b x > 0 0 s i m p l e x r e v i s a d o s e g u e os s e g u i n t e s p a s s o s : 1. F o r n e ç a A (,m x n ) , b (m x 1), c ( l x m ) , x ( n x 1). 2. D e t e r m i n e a m a t r i z b á s i c a i n i c i a l B. ( e v i d e n t e m e n t e , c o m o A x ^ b, e n t ã o B = I) -i -i 3. C a l c u l e B. (no i n í c i o B =B) 4. E n t r a d a n a b a s e : 4 . 1 - C a l c u l e P ' = C g * B } P '(1 x m) 4 . 2 - S e j a A j ( m x 1) o v e t o r c o l u n a q u e r e p r e s e n t a os c o e f i c i e n t e s d a s v a r i á v e i s n a o b á s i c a s xj n o p r o b l e m a o r i g i n a l . 4 . 3 - C a l c u l e os v a l o r e s zj - Cj = P 1 A j - Cj 4 . 4 - Se p a r a t o d a s as v a r i á v e i s n a o b á s i c a s , zj - cj ^ 0, p a r e . A t i n g i u - s e a s o l u ç ã o ó t i m a . 4 . 5 - Se e x i s t e z j - c • < 0, e n t r a n a b a s e a v a r i á v e l q u e t i v e r o v a l o r m a i s n e g a t i v o ( í n d i c e k ) „ 5 - S e j a x k a v a r i á v e l q u e e n t r a n a b a s e ; c a l c u l e y k = b \ A k 6 - S a í d a d a b a s e : C o n s i d e r e os v a l o r e s d o v e t o r c o l u n a y k (m x 1) p a r a c a d a y k i > 0 ( i = l , 2 , . . . , m ) e f a ç a — bl - , i = 1 , 2 , . . . , m y k i o n d e b'. s a o os v a l o r e s a t u a i s d a s c o n s t a n t e s do 1 a - x d o d i r e i t o d a s r e s t r i ç õ e s . S a i r á d a b a s e a v a r i á v e l d a e q u a ç a o r o n d e o v a l o r
2 5 -__ i— , y !<.]•> 0 s e j a o m e n o r . yki 4 . 3 -7. C a l c u l o d a n o v a i n v e r s a :
r -Yl
- y :
7 . 1 - C a l c u l e y= y r yr yr 7 . 2 - D e t e r m i n e a m a t r i z E c o m o s e n d o a e x c e t o a c o l u n a r s u b s t i t u í d a p o r 7 . 3 - C a l c u l e : E B a n t e r i o r 8. A t u a l i z a ç a o d o l a d o d i r e i t o -i b ~ B n o v a . b -i 9. A t u a l i z a r Cg s B e b. R e t o r n e p a r a 4 . E X E M P L O C o n s i d e r e o p r o b l e m a : M a x z s . a = X j + X 2 + x 3 +: x 4 x , + 2 x „ x + 1 2 x , + x. + x< 10 x; ^ 0 ( i ; E n t ã o : C= [l 1 1 l] ’l 2 0 O" ■ 4' "X T 0 2 1 0 5 X , A = ; b = e x = A 0 0 1 1 8 X 3 1 1 1 1 10 _X -. y m \ y r J i d e n t i d a d e y 1 , 2 , 3, 4) I n i c i a l m e n t e . c o l o c a d o o p r o b l e m a n a f o r m a p a d r a o , t e r - s e - á : cB = [ 0 0 0 0]1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 P ' = c B . b"1 = [O 0 0 0] zi - cj = P ’Aj - D a i 2l Z2 Z3 Zl, Cl C2 C3 = -1 = -1 = -1 = -1 E n t r a n a b a s e , p o r e x e m p l o , xj p o i s h o u v e e m p a t e E n t a o k = l e A k = Aj
1
1
0
L o g o y k = y,=
0
0
0
1
1
e c o m o10
1 saíra x c 1, y = 1 0 0 0 “ 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 1 A n o v a i n v e r s a s e r ã E . B1
0
0
0
0
1 0
0
0
0
1 0
- 1 0
0
1
B-1 'nova" o u s e j a , a t u a l i z a n d o o l a d o d i r e i t o 4 5 b 1 = B'1 . b= -1 x 3 e n t r a n a b a s e , k = 3 , e ?k 1 1 1 0 c a l c u l a n d o os v a l o r e s i » tem-y k i - s e 5, 8, 6 d a 1 i n h a 1 (r = 2) • A q u i , u = [o, 1, 1 0 0 0 E = 0 1 0 0 0 -1 1 0 0 -1 0 1 A n o v a i n v e r s a s e r á : 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 1 0 1 -1 0 1 v a r i á v e l A t u a l i z a n d o o l a d o d i r e i t o t e m - s e :
D e o n d e : z s - c s = 3 7‘ 6 - c’6 = - 1 z2 ~ c2 = 1 21, — C — 1 0
y
4=
o
i i bi t e m - s e 3_ Y k i 1 4 ( r = 4) C a l c u l a n d o os v a l o r e s 1 s a i n d o x — í 1 q u e e a v a r i á v e l da linha Aqui., U = [ 0 0 -1 1 ] 1 0 0 1 o ! 1 0 1 0 0 T& 1] 5 0 0 1 -1 2 f — O 0 0 1 1 de o n d e : z 2 - c 2 = z 5 - c 5 = z 6 - c 6 = 0 e z 8 ~ c 8 = 1 c o m o p a r a t o d a s as v a r i á v e i s n a o b á s i c a s z j - c j 0, a s o l u ç ã o ó t i m a f o i a l c a n ç a d a e ê: xi = 4 X2
= 0 X 3 = 5 x 4 = 1 c o m Z = 102 9 -C A P Í T U L O V - A L G O R I T M O D V S - P L E X 5 . 1 - I N T R O D U Ç Ã O A i n d a q u e o s i m p l e x r e v i s a d o t e n h a , e m t e r m o s c o m p u t a c i o n a i s , c o n s i d e r á v e i s v a n t a g e n s s o b r e o s i m p l e x u s u a l , p e r m a n e c e m e m a b e r t o p r o b l e m a s d e v i d o s is i n s t a b i 1 i d a d e s n u m é r i c a s q u e o c o r r e m d u r a n t e a r e s o l u ç ã o d o s m o d e l o s l i n e a r e s . T a i s p r o b l e m a s e x i s t e m , m u i t a s v e z e s , d e v i d o a a r r e d o n d a m e n t o s , o p e r a ç o e s c o m n ú m e r o s g r a n d e s e p e q u e n o s ( p r i n c i p a l m e n t e m u l t i p l i c a ç õ e s e d i v i s õ e s ) a l i m d e c o n d i ç o e s e s p e c i a i s r e l a t i v a s às r e s t r i ç õ e s , c o m o s i t u a ç õ e s de q u a s e p a r a 1 e 1 i s in o . N e s t e ú l t i m o c a s o , o s i m p l e x r e v i s a d o q u e t r a b a l h a c o m a m a t r i z B d o s c o e f i c i e n t e s d a s v a r i á v e i s b á s i c a s n a f o r m a e x a t a e m q u e e l a f o i e s t r u t u r a d a a c a d a i t e r a ç a o , n a d a po de f a z e r p a r a c o n t o r n a r o p r o b l e m a . D a m e s m a f o r m a , o m é t o d o s i m p l e x r e v i s a d o n a o e v i t a a g e r a ç a o de e r r o s de a r r e d o n d a m e n t o d u r a n t e as o p e r a ç o e s n e m c o n s e g u e i m p e d i r s u a p r o p a g a - ç a o , s o b r e t u d o c . o n s i d e r a n d o - s e q u e a m a t r i z B 1 g e r a d a e m u m a d a d a i t e r a ç a o é d e t e r m i n a d a p e l a m a t r i z B 1 d a i t e r a ç a o a n t e r i o r e q u e e s t a m a t r i z d e t e r m i n a o v a l o r b 1 , q u e r e ú n e os v a l o r e s a t u a i s d o l a d o d i r e i t o , v a l o r e s e s t e s q u e d e t e r m i n a p i o r e s u l t a d o f i n a l d o p r o b l e m a . D e s t a f o r m a , e m b o r a s e j a i n e g á v e l a e f i c i ê n c i a o b s e r v a d a n e s t e m é t o d o , o s i m p l e x r e v i s a d o a p r e s e n t a a d e s v a n t a g e m de n a o e v i t a r i n s t a b i l i d a d e n u m é r i c a d u r a n t e o s e u d e s e n v o l v i m e n t o . 5 . 2 - I D E I A GERAI, D O A L G O R I T M O D V S - P L E X A p r o p o s t a b á s i c a d o a l g o r i t m o D V S - P L E X } q u e é o t e m a p r i n c i p a l d e s t e t r a b a l h o , e a de p r o m o v e r u m e f i c i e n t e c o n t r o l e de e r r o s d u r a n t e a r e s o l u ç ã o de p r o b l e m a s de p r o g r a m a
-ç a o l i n e a r . P a r a t a n t o : 1) 0 a l g o r i t m o e s t r u t u r a o m o d e l o da m e s m a f o r m a q u e o s i m p l e x r e v i s a d o , 2) a p r o v e i t a s u a s v a n t a g e n s , 3) p e r m i t e q u e , a c a d a i t e r a ç a o , se d e s e n v o l v a u m c o n t r o l e de e r r o s , 4) r e d u z o a p a r e c i m e n t o de e r r o s , 5) i m p e d e a p r o p a g a ç a o d e e r r o s , o u s e j a , m i n i m i z a as d e s v a n t a g e n s d o s i m p l e x r e v i s a d o . 0 a l g o r i t m o D V S - P L E X u t i l i z a a n o t a ç à o m a t r i c i a l d o m o d e l o e s u a e s t r u t u r a b ã s i c a e d i v i d i d a e m á r e a s i n t e r d e p e n d e n t e s , c o m o m o s t r a - s e a s e g u i r : 1. Ã r e a de d e f i n i ç ã o : D a d o o m o d e l o , s ã o i d e n t i f i c a d a s as m a t r i z e s A, b , c e o n ú m e r o d e r e s t r i ç õ e s e d e v a r i á v e i s , b e m c o m o a n a t u r e z a d a s r e s t r i ç õ e s . 2. Ã r e a d e f o r m a ç a o d a b a s e : I d e n t i f i c a m - s e a q u i as v a r i á v e i s b á s i c a s e n a o - b á s i c a s . N o i n í c i o , as v a r i á v e i s b ã s i c a s s a o as d e f o l g a . D e p o i s , e s t a ã r e a t r a n s f o r m a - s e n o l o c a l de a t u a l i z a ç a o d a b a s e , s u b s t i t u i n d o - s e a v a r i á v e l q u e s ai p e la q u e e n t r a , ou s e j a , a v a r i á v e l d a l i n h a r p e l a v a r i á v e l de í n d i c e k
.
D e f i n i d a a b a s e , m o n t a m - s e as m a t r i z e s M B e c B f o r m a d a s , r e s p e c t i v a m e n t e , p e l o s c o e f i c i e n t e s d a s v a r i á v e i s b á s i c a s n a s m a t r i z e s i n i c i a i s A e c . N o i n í c i o , M B = I e c B = 0 . D e p o i s , d e a c o r d o c o m a v a r i á ve], q u e s ai e a q u e e n t r a , a t u a l i z a m - s e M B e cB. 3. Ã r e a de o p e r a ç a o d a b a s e ; A q u i u t i l i z a m - s e d o i s s u b - p r o g r a m a s , a 1 1 e r n a n d o - se s u a u t i l i z a ç a o , c o m a ã r e a de o p e r a ç ã o d a s v a r i á v e i s n a o - b ã s i - c a s . I n i c i a l m e n t e , u t i l i z a - s e o s u b p r o g r a m a 1 q u e t e m c o m o e n t r a d a as m a t r i z e s M B e b. S u b p r o g r a m a 1:a) D e c o r a p o e a m a t r i z M B e m v a l o r e s s i n g u l a r e s , e n c o n t r a n d o as m a t r i z e s U , S e V ; b) D e t e r m i n a , u s a n d o U, S , e V a i n v e r s a de M B q u e é a m a t r i z M B I ; c) D e t e r m i n a M B I , u s a n d o o m é t o d o d a e l i m i n a ç a o ; d) P r o m o v e o c o n t r o l e de e r r o s g e r a d o s n e s t a e t a p a , m i n i m i z a n d o - o s ( v e r ã r e a 6); e) A t u a l i z a o l a d o d i r e i t o d o p r o b l e m a , c a l c u l a n d o a m a t r i z B D d a d a p e l o p r o d u t o M B I . b . A s s a í d a s d o s u b p r o g r a m a s a o as m a t r i z e s M B I e B D . A s e g u i r , a c i o n a - s e a ã r e a 4 q u e . a p ó s s e r e x e c u t a d a, p r o m o v e o r e t o r n o a e s t a ã r e a , p a r a f i n s de e x e c u ç ã o , do s u b p r o g r a m a 3. 0 s u b p r o g r a m a 3 t e m c o m o e n t r a d a s as m a t r i z e s M B I e o í n d i c e k d e f i n i d o n a ã r e a 4. S u b p r o g r a m a 3: a) L o c a l i z a n a m a t r i z A, a c o l u n a k; b) C a l c u l a a m a t r i z B A, d a d a p o r : B A = (M B I ) . A k c) C a l c u l a os v a l o r e s F ^ , d a d o s p o r : F- = BP.i , BAi > 0 > o n d e B A £ é o e l e m e n t o
1
BAi
1
d a i - é s i m a l i n h a d a m a t r i z B A . As s a í d a s d e s t e s u b p r o g r a m a s a o os v a l o r e s F j . A s e g u i r , f i x a - s e r c o m o s e n d o o í n d i c e d a v a r i á v e l q u e s a i u d a b a s e , d e t e r m i n a d o p e l o í n d i c e i d o m e n o r F i . 0 c o n t r o l e d o p r o g r a m a r e t o r n a , n e s t e p o n t o ’'a ã r e a de f o r m a ç a o d a b a s e ( ã r e a 2). 4. Ã r e a de o p e r a ç a o d a s v a r i á v e i s n a o b ã s i c a s : A q u i u t i l i z a - s e o s u b p r o g r a m a 2, q u e t e m c o m o e n t r a d a s as m a t r i z e s cB, c, M B I e os v a l o r e s de j ( í n d i c e s d a s v ar i á v e i s n a o b á s i c a s ) . S u b p r o g r a m a 2 : a) C a l c u l a o p r o d u t o cB. M B I = P B 1 ; b) P a r a c a d a v a l o r de j, d e t e r m i n a - s e P B 2 = P B 1 . Aj e T j = P B 2 - C j A s s a i d a s d o s u b p r o g r a m a 2 s a o os v a l o r e s Tj. C a s o t o d o s os v a l o r e s d e Tj s e j a m n a o n e g a t i v o s , p a £ s a - s e p a r a á r e a 5 ( c á l c u l o s f i n a i s ) . Se h o u v e r a l g u m v a l o r d e Tj n e g a t i v o , f i x a - s e k c o m o s e n d o o v a l o r de j p a r a o q u a l se t e m Tj m a i s n e g a t i v o . A se g u i r , r e t o r n a - s e à á r e a de o p e r a ç a o d e b a s e . 5. Ã r e a de c á l c u l o s f i n a i s A q u i c a l c u l a m - s e os v a l o r e s f i n a i s d a s v a r i á v e i s , u t i_ l i z a n d o - s e a b a s e a t u a l e o v e t o r a t u a l b 1 . C a l c u l a - s e o v a l o r de Z, u t i l i z a n d o - s e a f u n ç a o o b j e t i v o . 6. Ã r e a de c o n t r o l e de e r r o s E s t a á r e a é u s a d a n o c á l c u l o d a i n v e r s a d a m a t r i z bã s i c a B. D o i s m é t o d o s s a o u t i l i z a d o s p a r a c a l c u l a r B - o m e t o d o d a d e c o m p o s i ç ã o e m v a l o r e s s i n g u l a r e s e o m é t o d o d a e l i m i n a ç a o . U m a v e z d e t e r m i n a d a a i n v e r s a d e B e m c a d a u m d o s mé t o d o s , c a l c u l a - s e o p r o d u t o d e s t a i n v e r s a p o r B, c o m p a r a n d o - se e s t e p r o d u t o c o m a i d e n t i d a d e , e s c o l h e n d o - s e , e n t a o , a q u e la q u e g e r a r m e n o r e r r o . T a l c o m p a r a ç a o s e r á p r o c e s s a d a p e l a e s c o l h a d a m e n o r n o r m a de m á x i m a s o m a p o r l i n h a s , a p l i c a d a s o b r e as m a t r i z e s di_ f e r e n ç a s : D = |b B - l| . ( c o n f o r m e c a p í t u l o 3, d e s t e t r a b a l h o ) . I d e a l m e n t e , a n o r m a d e v e s e r z e r o . 5 . 3 - R O T E I R O C O M P U T A C I O N A L C o n s i d e r e o s e g u i n t e p r o b l e m a :
3 3 -n m a x z = £ c-x; j = l J J (P) s u j e i t o a: ^ ajj xj < bj p a r a i - 1 ,2,3,...,m 0 a l g o r i t m o D V S - P L E X p a r a r e s o l v e r e s t e p r o b l e m a u t i l i z a o s e g u i n t e r o t e i r o c o m p u t a c i o n a l . 1) C o l o q u e o p r o b l e m a n a n o t a ç à o m a t r i c i a l : a) v a r i á v e i s : x (n x 1) b) c o e f i c i e n t e s d a f u n ç ã o o b j e t i v o : c (.1 x n) c) c o n s t a n t e s d o l a d o d i r e i t o ; b (m x 1) d) c o e f i c i e n t e s d a s r e s t r i ç õ e s : A (m x n) de m o d o q u e o p r o b l e m a (P) a s s u m i r a a f o r m a m a x z = cx s .a : A x < b x v 0 2) C o m p l e t e o q u a d r o i n i c i a l : a) a d i c i o n a n d o v a r i ã v e i s d e f o l g a : x Cm x 1) -* x b) a d i c i o n a n d o os r e s p e c t i v o s c o e f i c i e n t e s : I (m x m) t a l q u e : m a x z = cx , s . a [ A , i] x X , X X, = b. > 0 3) D e t e r m i n e : a) cB i n i c i a l (1 x m) b) M B i n i c i a l (m x m) c) M B I i n i c i a l (m x m) d) B D i n i c i a l (m x 1) ( v e t o r c) ( m a t r i z B ) ( m a t r i z B^1) ( v e t o r BD)
4) C a l c u l e P B 1 (.1 x m) c o m o s e n d o : P B 1 = ( cB) . (MBI) 5) D e f i n a as v a r i á v e i s n a o b á s i c a s j £ { 1 , 2 , . . . , n + m } 6) C a l c u l a r Tj Cl x 1) c o m o s e n d o : Tj = [ C P B 1 . A j ) - C j ] ,
