Método da descida infinita

(1)

Universidade de Aveiro Departamento de Matem´atica, 2011

Cl´

audia Maria

Ferreira Sebasti˜

ao

(2)

(3)

Universidade de Aveiro Departamento de Matem´atica, 2011

Cl´

audia Maria

Ferreira Sebasti˜

ao

M´

etodo da Descida Infinita

Disserta¸cão apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos requisitos necessários à obten¸cão do grau de Mestre em Matemática e Aplica¸cões, área de especializa¸cão Matemática Empresarial e Tecnológica, realizada sob a orienta¸cão cient´ıfica do Dr. Paulo José Fernandes Almeida, Professor Auxiliar do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro

(4)

(5)

o j´uri / the jury

presidente / president Professor Doutor Helmuth Robert Malonek

Professor Catedr´atico do Departamento de Matem´atica da Universidade de Aveiro

vogais / examiners committee Professor Doutor Ant´onio Jos´e de Oliveira Machiavelo

Professor Auxiliar da Faculdade de Ciˆencias da Universidade do Porto

Professor Doutor Paulo Jos´e Fernandes Almeida

Professor Auxiliar do Departamento de Matem´atica da Universidade de Aveiro (orientador)

(6)

(7)

agradecimentos / acknowledgements

Agrade¸co ao Dr. Paulo Almeida todo o seu esfor¸co, dedica¸cão e com-preensão. Estou-lhe muito grata pelo tempo que generosamente me dedicou, partilhando a sua grandiosa sabedoria. Tive o prazer de re-ceber os ensinamentos de dois grandes mestres, Dr. Paulo Almeida e Pierre de Fermat. Por último, agrade¸co ao meu precioso suporte familiar.

(8)

(9)

Palavras-chave descida Infinita, somas de dois quadrados, equa¸cões de grau quatro, equa¸cões de grau três, equa¸cão de Pell, somas de quatro quadrados,

´

Ultimo Teorema de Fermat

Resumo Fermat teve um papel muito importante na Teoria dos Números. Esta contém problemas muito dif´ıceis que fascinaram (e ainda fascinam) vários matemáticos. Refira-se, em particular, as propriedades dos números inteiros positivos e dos números primos que despertaram in-teresse em Fermat. Sobre estes existem problemas bastante dif´ıceis de provar, mas que, contrariamente, possuem uma formula¸cão bastante simples. Perante a dificuldade em demonstrar alguns destes resultados, Fermat desenvolveu uma técnica de demonstra¸cão, conhecida pela de-signa¸cão de Método da Descida Infinita. Resumidamente, o método prova que certas propriedades ou rela¸cões são imposs´ıveis para intei-ros ao provar-se que, se fossem válidas para alguns números, seriam válidas para alguns números mais pequenos; usando o mesmo argu-mento, seriam válidas para alguns números ainda mais pequenos, e assim sucessivamente, o que é imposs´ıvel devido ao facto de que uma sequência de números inteiros positivos não pode decrescer infinita-mente. Fermat descreveu, em linhas gerais, o seu método, enunciando as várias proposi¸cões nas quais o aplicou, numa carta dirigida a Car-cavi em 1659. Era através de correspondências por carta que Fermat partilhava as suas descobertas e nesta desafiou outros matemáticos a aplicar o seu método na demonstra¸cão de vários resultados. Esta tese teve por objetivo reproduzir as demonstra¸cões de algumas proposi¸cões referidas na carta a Carcavi, as quais Fermat diz ter demonstrado pelo Método da Descida Infinita.

(10)

(11)

Keywords inﬁnite descent, sums of two squares, equations of degree four, equa-tions of degree three, Pell equation, sums of four squares, Fermat´s Last Theorem

Abstract Fermat played a very important role in the Theory of Numbers. This area contains very difficult problems which fascinated (and still does) several mathematicians. Particularly, the properties of positive whole numbers and prime numbers which arouse Fermat’s interest. About these, there are problems which very hard to prove, but, in an oppo-site way, are very easy to state. In the presence of the difficulty to demonstrate some of these results, Fermat developed a demonstra-tion technique known as the Method of Infinite Descent. In sum, the method proves that certain properties or relations are impossible for integers, proving that if they were valid to some numbers, would also be valid for some smaller numbers; using the same argument, would be valid for some even smaller numbers, and so on, which is impossible due to the fact that a sequence of positive whole numbers cannot in-definitely decrease. Fermat described his method in a letter to Carcavi in 1659, in general terms, expressing several propositions to which he applied it. It was by his letters that Fermat shared his discoveries and in this one he challenged other mathematicians to apply his method to give proofs of several results. The purpose of this thesis is to re-produce the demonstrations of some propositions referred in the letter to Carcavi, the ones that Fermat says have been demonstrated by the Method of Infinite Descent.

(12)

(13)

“Devemos ficar gratos a Fermat por nos mostrar que o est´ımulo de uma compreens˜ao mais profunda pode ser adquirido a partir do estudo das obras dos grandes homens do passado.”

(14)

(15)

Conte´

udo

Conte´udo i

1 Preliminares 1

1.1 Introdu¸cão . . . 1 1.2 No¸cões básicas da Teoria dos Números . . . 3 1.3 Descida Infinita . . . 6

2 Somas de dois quadrados 9

2.1 Introdu¸cão . . . 9 2.2 Diferen¸cas sucessivas . . . 10 2.3 Demonstra¸cão pelo Método da Descida Infinita . . . 14

3 Equa¸c˜oes de grau quatro 19

3.1 A Equa¸cão Pitagórica . . . 20 3.2 Não existe nenhum triângulo retângulo cujos lados são números inteiros e

cuja área é igual ao quadrado de um número inteiro . . . 22 3.3 Não existem inteiros biquadrados cuja soma seja um inteiro biquadrado . . 31 3.4 Nenhum número triangular, à exce¸cão da unidade, pode ser um biquadrado 34

4 Equa¸c˜oes de grau trˆes 39

4.1 Não existe nenhum cubo que seja a soma de dois cubos . . . 39 4.2 Curvas El´ıpticas da carta . . . 51 4.3 Números que tanto eles como os seus quadrados são o dobro de um quadrado

menos um. . . 53 4.4 O primeiro resultado da carta . . . 57

5 Equa¸c˜oes de Pell 59

5.1 M´etodo C´ıclico . . . 59 5.2 Solu¸c˜ao geral . . . 63

6 Somas de quatro quadrados 65

6.1 Lemas preliminares . . . 65 6.2 Teorema de Lagrange . . . 67

(16)

BIBLIOGRAFIA

7 Conclus˜ao 70

(17)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1 Introdu¸

c˜

ao

Pierre de Fermat, embora tenha sido jurista de profissão, não ficou conhecido dentro dessa área, mas sim pelo seu grande contributo à Matemática, em particular à Teoria dos Números (apesar de ter sido apenas um matemático amador). Fermat tinha um fasc´ınio es-pecial pelos números e, por isso, dedicava parte do seu tempo a resolver problemas do livro “Arithmetica”de Diofanto de Alexandria, uma tradu¸cão em latim, da autoria de Claude Gaspar Bachet. Fermat foi um dos maiores matemáticos do seu tempo, contudo, não viu o seu trabalho verdadeiramente reconhecido. Por um lado, devido a este ser bastante revo-lucionário e muito complexo para a época em que viveu e por outro, devido à sua maneira de ser, reservada e um pouco distante, não permitindo a publica¸cão de nenhum dos seus trabalhos. Num per´ıodo em que os meios de comunica¸cão eram escassos, os matemáticos formavam c´ırculos de discussão através de uma correspondência constante. Apesar de Fermat nunca ter publicado nenhum trabalho, este acabou por ser divulgado após a sua morte.O seu filho Samuel recolheu todos os seus manuscritos, correspondências e anota¸cões contidas na sua cópia da “Arithmetica”de Diofanto, encontrando as mais importantes des-cobertas. Foi também importante o papel desempenhado por Mersenne (1588-1648) que lutou contra a atmosfera de segredo, encorajando todos os matemáticos a exporem as suas ideias. Por intermédio de Mersenne as cartas passaram a ser publicadas. Nas suas cartas Fermat descrevia as suas ideias e descobertas, desafiando outros matemáticos a resolver os mesmos problemas. Numa dessas correspondências, dirigida a Carcavi, em 1659 [16, pp.431-436], Fermat diz ter finalmente encontrado um método de demonstra¸cão que lhe permitira demonstrar algumas proposi¸cões que até ao momento não tinham sido poss´ıveis provar. Sobre este método, do qual ficou muito orgulhoso e ao qual chamou Método da Descida Infinita, Fermat deu algumas indica¸cões sobre a sua forma de aplica¸cão. Particular-mente na carta dirigida a Carcavi, Fermat expôs as linhas gerais de algumas demonstra¸cões de proposi¸cões pelo seu método. A forma como Fermat descreveu e ilustrou o seu método foi, contudo, pouco detalhada. Isto talvez se deva, em parte, ao facto de Fermat ter como objetivo desafiar outros matemáticos a utilizarem o seu método.

(18)

CAP´ITULO 1. PRELIMINARES

Desde então, este método teve um papel fundamental na resolu¸cão de várias questões da área de Geometria Algébrica, incluindo alguns casos particulares do famoso “ Último Teorema de Fermat”e da demonstra¸cão, por Mordell, de que o grupo dos pontos racionais de uma curva el´ıptica é finitamente gerado.

O presente trabalho teve como finalidade ingressar nesse desafio por ele proposto. Foi feita uma análise das proposi¸cões que são referidas na carta dirigida a Carcavi com o intuito de fazer uma poss´ıvel recria¸cão da forma como Fermat as poderá ter demonstrado. Como tal, tentou-se não utilizar conceitos que não tivessem sido desenvolvidos naquela época.

No primeiro cap´ıtulo são introduzidos alguns conceitos básicos da Teoria dos Números e é exemplificado o Método da Descida Infinita.

No segundo cap´ıtulo estudam-se as diferen¸cas sucessivas de potências e é reproduzida a prova de Euler de que todo o número primo da forma 4n+1 é a soma de dois quadrados. No terceiro cap´ıtulo é recriada a única prova completa deixada Fermat de que não existe nenhum triângulo retângulo cujos lados são números inteiros e cuja área é igual ao quadrado de um número inteiro. São também abordados outros resultados relacionados com este, incluindo a prova do ´Ultimo Teorema de Fermat para n = 4.

No quarto cap´ıtulo ´e analisado o caso n = 3 do ´Ultimo Teorema de Fermat, que foi quase na sua totalidade, demonstrado por Euler. S˜ao tamb´em estudadas as curvas el´ıpticas mencionadas por Fermat na sua carta a Carcavi.

No quinto cap´ıtulo é descrito o método c´ıclico, uma das abordagem utilizadas para encontrar solu¸cões de equa¸cões de Pell anterior a Fermat e que se assemelha ao tipo de demonstra¸cões efetuadas por Fermat.

No sexto cap´ıtulo é analisada a aplica¸cão do Método da Descida Infinita, por Lagrange na demonstra¸cão de que qualquer inteiro positivo é a soma de quatro quadrados.

Na carta dirigida a Carcavi, Fermat faz ainda referência a um último resultado, cuja demonstra¸cão, segundo Fermat, pode ser feita com a aplica¸cão do Método da Descida Infinita:

“Toutes les puissances quarrées de 2 augmentée de lúnité, sont nombres premiers.”

Fermat expressou repetidamente a sua conviçcão de que todos os números da forma 22n

+ 1 s˜ao primos. De fato, para n = 0, 1, 2, 3 e 4 s˜ao realmente primos: 3, 5, 17, 257, 65537. Mas Fermat estava enganado. Em 1732 Euler prova que 225_{+ 1 tem um divisor n˜}_ao

trivial, o 641. Embora a conclusão seja falsa, seria interessante saber como Fermat poderá ter aplicado o método da descida infinita neste resultado.

“Esta questão é um estudo muito subtil e engenhoso e embora seja uma afirma¸cão

positiva, equivale a uma negativa, pois dizer que um número é primo é o mesmo que dizer que ele não pode ser dividido por outro número.”

Como terá então Fermat deduzido um número menor do mesmo tipo, que não é primo? Esta questão permanece sem resposta.

Contudo Fermat foi o primeiro a estudar estes números, por isso designados Números de Fermat e sobre os quais se desenvolveram muitos resultados importantes. Curiosamente ainda hoje existe quem se debruce sobre os Números de Fermat, procurando divisores destes números.

(19)

Este trabalho vai de alguma forma ao encontro do desejo manifestado por Fermat no final dessa mesma carta:

“Multi pertransibunt et augebitur scientia.”

“Muitos passar˜ao e o conhecimento ser´a aumentado.”

1.2 No¸

c˜

oes b´

asicas da Teoria dos N´

umeros

Nesta seçcão são introduzidas algumas defini¸cões e alguns resultados relativamente aos números inteiros positivos, que serão utilizados ao longo deste trabalho.

Defini¸cão. Um n´umero primo ´e um número natural que tem exatamente dois divisores positivos (distintos).Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é um n´umero composto.

Defini¸c˜ao. Sejam a e b inteiros em que pelo menos um deles ´e n˜ao nulo. Ao maior inteiro que divide simultaneamente a e b chama-se m´aximo divisor comum de a e b e denota-se

por (a, b).

Se (a, b) = 1 ent˜ao dizemos que a e b s˜ao primos entre si.

Teorema 1.1. Algoritmo da divis˜ao inteira

Sejam a e b dois inteiros positivos. Ent˜ao existem dois ´unicos inteiros q e r (chamados o quociente e o resto, respetivamente) tais que 0≤ r < a e b = aq + r.

Demonstra¸cão: Claramente existem v´arios pares de inteiros (q, r) que verificam a igualdade b = aq + r. A dificuldade está em encontrar um destes pares em que o resto r est´a entre 0 e a− 1. Uma vez que queremos que seja r = b − aq, consideremos todos os inteiros não negativos da forma

b− ak,

onde k ´e um número inteiro. Nesta cole¸cão (infinita) de números não negativos, existe um que é mais pequeno que todos os outros (esta propriedade dos subconjuntos dos inteiros não negativos ´e chamada Princ´ıpio da Boa Ordena¸cão).

Este n´umero ´e o resto r = b− aq que procur´avamos. Para o ver, basta mostrar que

r < a. De facto, se fosse b− aq > a, ent˜ao ter´ıamos

b− aq > b − a(q + 1) = (b − aq) − a ≥ 0,

e portanto b− aq n˜ao seria o menor inteiro positivo da forma b − ak.

Unicidade: Suponhamos que existem dois pares de inteiros (q, r) e (q′, r′) que verificam as condi¸cões exigidas. Podemos admitir que 0≤ r ≤ r′ < a. Então b = aq + r = aq′+ r′, pelo que a(q− q′) = r′− r. Como 0 ≤ r′− r < a e r′− r é múltiplo de a, temos r − r′ = 0,

(20)

Algoritmo de Euclides Sejam a e b dois inteiros positivos. Pelo algoritmo da divis˜ao, existem dois inteiros q0 e r0, tais que

b = aq0+ r0, com 0≤ r0 < b.

Se r0 ̸= 0 podemos utilizar o algoritmo da divis˜ao para os inteiros a e r0. Ent˜ao existem

q1 e r1 tais que

a = q1r0+ r1, com 0≤ r1 < r0.

Procedendo desta forma obtemos uma sequˆencia de inteiros n˜ao negativos r0, r1, . . . , rn,

tais que r0 > r1 > · · · > rn ≥ 0. Note que este processo tem de terminar ao fim de um

n´umero finito de passos e que o ´ultimo resto, que denotamos por rk+1, ´e nulo.

O próximo teorema não será aqui demonstrado mas pode ser consultado nas referências.

Teorema 1.2. Se a e b s˜ao dois inteiros positivos e rk é o último resto não nulo obtido pelo

algoritmo de Euclides, ent˜ao rk = (a, b). Mais, o algoritmo de Euclides permite encontrar

inteiros x e y tais que

ax + by = (a, b).

Demonstra¸c˜ao: Ver p´aginas 18 e 19 de [4]. 2

Proposi¸c˜ao 1.3. Se c | ab e (b, c) = 1 ent˜ao c | a.

Demonstra¸c˜ao: Tem-se ab = qc e bx + cy = 1 para determinados inteiros q, x, y.

Vem ent˜ao

a = a(bx + cy) = abx + acy = qcx + acy = (qx + ay)c,

e, portanto, c| a. 2

Proposi¸c˜ao 1.4. Se um n´umero primo dividir um produto de n´umeros inteiros, tem que dividir pelo menos um dos fatores.

Demonstra¸c˜ao: Seja p um n´umero primo. Vamos provar por indu¸c˜ao que, sendo

n≥ 2 um natural qualquer, se p dividir um produto de n n´umeros inteiros, ent˜ao tem que

dividir pelo menos um dos fatores.

O primeiro caso ´e n = 2. Sejam ent˜ao a1, a2 dois inteiros quaisquer e suponhamos que

p| a1a2. Se p dividir a1, n˜ao h´a mais nada a demonstrar.

Se p n˜ao dividir a1, ent˜ao p e a1 s˜ao primos entre si, porque p n˜ao tem outros divisores

positivos senão 1 e ele próprio. Então pela proposi¸c˜ao anterior, temos que p| a2.

Suponhamos agora que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira para produtos de k fatores e sejam a1,

(21)

a demonstrar. Se p n˜ao dividir ak+1, ent˜ao pelo mesmo racioc´ınio do primeiro caso, p tem

que dividir o produto a1a2. . . ak e portanto, pela hip´otese de indu¸c˜ao, tem que dividir um

dos inteiros a1, a2, . . . , ak. 2

Teorema 1.5. Pequeno Teorema de Fermat

Se p é um número primo então para qualquer inteiro a, ap_{− a é divis´ıvel por p.}

Demonstra¸c˜ao: Vamos provar o resultado por indu¸c˜ao em a. Para a = 1, ´e trivial que o resultado ´e verdadeiro.

Suponhamos que é v´alido para k, isto é, p| kp−k. Vejamos então que também é válido

para k + 1. Note-se que p|(p_i) com 1≤ i ≤ p − 1. Ora, (k + 1)p− (k + 1) = p ∑ j=0 ( p j ) kj − (k + 1) = 1 + pk + ( p 2 ) k2+ . . . + ( p p− 1 ) kp−1+ kp − (k + 1) = pk + ( p 2 ) k2+ . . . + pkp−1+ kp− k = py + pt para y e t inteiros.

Logo p| (k + 1)p_{− (k + 1), conforme o pretendido.} ₂

Corol´ario 1.6. Seja p um n´umero primo e a um número inteiro não divis´ıvel por p. Então p| ap−1− 1.

Demonstra¸c˜ao: Pelo teorema anterior temos que

(22)

1.3 Descida Infinita

Uma demonstra¸cão pelo Método da Descida Infinita é um tipo particular de prova por contradi¸cão, que assenta no Princ´ıpio da Boa Ordena¸cão dos números inteiros positivos.

´

E na maioria das vezes aplicado quando se pretende provar que não existe uma solu¸cão com uma determinada propriedade. Primeiro assumimos que existe um número inteiro positivo x que satisfaz a propriedade em quest˜ao. De seguida deduz-se que existe um outro inteiro positivo x1, com x1 < x, que tamb´em verifica a mesma propriedade. Repetindo

este procedimento constru´ımos uma sequˆencia infinita decrescente de valores positivos x >

x1 > . . ., o que ´e imposs´ıvel. Este m´etodo foi desenvolvido por Fermat e utilizado nas

demonstra¸cões de várias proposi¸cões relativas a propriedades de números inteiros. A aplica¸cão do Método da Descida Infinita será exemplificada nesta seçcão.

Teorema 1.7. √2 ´e irracional.

Demonstra¸cão: Suponhamos que √2 é um número racional. Então existem inteiros positivos a e b tais que

a

b =

√

2.

Multiplicando por b e elevando ao quadrado ambos os membros tem-se que

a2 = 2b2. (1.1)

Ora,

b2 < 2b2 < 4b2,

substituindo 2b2 por a2 tem-se

b2 < a2 < (2b)2,

donde podemos concluir que

b < a < 2b.

Sejam A = 2b− a e B = a − b. Temos que

A > 0, B > 0,

A < a pois A− a = 2b − 2a = 2(b − a) < 0,

B < b pois B− b = a − 2b < 0,

A2 = 2B2 pois A2− 2B2 = (2b− a)2− 2(a − b)2 = 2b2− a2 = 0.

Deste modo constru´ımos A e B que s˜ao solu¸c˜ao de (1.1), menores que a e b. Repetindo o procedimento indefinidamente, poder´ıamos obter uma sequência infinita decrescente de números inteiros positivos que são solu¸cão de (1.1), o que é imposs´ıvel. Deste modo,

(23)

conclu´ımos que n˜ao existem inteiros a e b tais que a_b =√2, isto ´e, √2 ´e irracional. 2

Conclu´ımos esta seçcão com três resultados que serão necessários ao longo deste trabalho e cuja demonstra¸cão dos primeiros dois utiliza o Método da Descida Infinita.

Teorema 1.8. Qualquer n´umero natural a > 1 ´e um produto de n´umeros primos.

Demonstra¸c˜ao: Seja a um inteiro tal que a > 1. Se a for primo, n˜ao h´a nada a provar (temos um produto com um s´o fator). Suponhamos que a ´e composto. Ent˜ao a tem divisores maiores que 1 e menores que a. Se m for o menor destes divisores, m ´e de certeza primo (porque, se n˜ao, teria divisores menores do que m que seriam tamb´em divisores de

a). Designemos m por p1. Ent˜ao tem-se

a = p1a1,

com p1 primo e 1 < a1 < a. Se a1 for primo, já chegámos à conclus˜ao desejada. Se a1

for composto, repetindo o racioc´ınio anterior conclu´ımos que a1 tem um divisor primo p2

satisfazendo 1 < p2 < a1, onde

a = p1p2a2,

com p1 e p2 primos e 1 < a2 < a1 < a.

Prosseguindo desta forma, obtemos n´umeros naturais a > a1 > a2 > . . . > 1. Como

uma sucessão de números naturais não pode decrescer indefinidamente, há-de haver um momento em que um destes números ´e primo, digamos ps, pelo que

a = p1p2. . . ps.

2

Teorema 1.9. Sejam a e b inteiros positivos. Se a e b s˜ao primos entre si e ab é um quadrado, então a e b são ambos quadrados.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que existem a e b, primos entre si, tais que ab ´e um quadrado e a ou b n˜ao ´e um quadrado. Seja u um inteiro positivo tal que

ab = u2.

Suponhamos que a n˜ao ´e um quadrado. Em particular a ̸= 1. Portanto a ´e divis´ıvel por, pelo menos, um n´umero primo. Seja p um n´umero primo tal que

p| a isto ´e a = pk para algum k inteiro positivo.

Ent˜ao tamb´em p | ab ou seja p | u2. Como p ´e primo p | u logo u = pm para algum m inteiro positivo.

(24)

Deste modo ab = u2 _{pode ser reescrito da seguinte forma:}

pkb = (pm)2 = p2m2,

o que implica que

kb = pm2.

Portanto, mais uma vez porque p ´e primo, p| k ou p | b. Mas p - b pois p | a e (a, b) = 1. Ent˜ao p| k, logo k = pa′, para algum inteiro positivo a′. Deste modo, de

kb = pm2,

vem

pa′b = pm2,

logo

a′b = m2.

De a = pk = p2_a′ _{temos que qualquer divisor de a}′ _´_{e tamb´}_{em divisor de a e portanto a}′ _e

b n˜ao podem ter nenhum divisor comum maior que 1. Al´em disso se a′ fosse um quadrado ent˜ao de a = p2a′ concluir´ıamos que a ´e um quadrado, o que contradiz com a suposi¸cão inicial. Portanto a′ não ´e um quadrado. Deste modo, a′ e b est˜ao nas condi¸cões iniciais, ou seja, (a′, b) = 1, a′b é um quadrado e a′ e b n˜ao s˜ao ambos quadrados, com a′ < a.

Repetindo o procedimento seria poss´ıvel definir um outro inteiro positivo a′′ < a′ tais que a′′ e b estariam nas condi¸c˜oes iniciais. Repetindo o procedimento indefinidamente ter´ıamos uma sequˆencia de n´umeros inteiros positivos a > a′ > a′′ > a′′′ > . . . que decrescia

indefinidamente. Ora tal é imposs´ıvel. Ter´ıamos também uma contradi¸cão se tivessemos suposto que b n˜ao ´e um quadrado, logo a e b tˆem de ser ambos quadrados. Isto prova a

proposi¸c˜ao. 2

Teorema 1.10. Sejam a e b inteiros positivos tais que (a, b) = 1 e ab = cn_{. Ent˜}_{ao existem} inteiros positivos d e f tais que a = dn _{e b = f}n_.

(25)

Cap´ıtulo 2

Somas de dois quadrados

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Um dos primeiros tópicos da Teoria dos Números estudado por Fermat, que o levou a tantas outras questões importantes, foi o problema de representar números como soma de dois quadrados. Como em tantos outros momentos, o interesse de Fermat por este assunto tem origem no livro “Arithmetica”de Diofanto. Em várias correspondências Fermat inclui o teorema que afirma que todo o n´umero primo da forma 4n + 1 ´e uma soma de dois quadrados. Numa delas, dirigida a Digby, em 1658 [16, pp. 402-408], Fermat acrescenta a seguinte particularidade ao problema: “Dado um número primo desta natureza, como por exemplo o 53, encontre uma regra geral para determinar os dois quadrados que fazem parte dessa decomposi¸cão.”A ideia de Fermat seria então encontrar um método eficaz, sem ser por tentativa erro, para resolver o problema. Em 1659, na carta dirigida a Carcavi, Fermat volta a fazer referência ao resultado, afirmando tê-lo demonstrado, aplicando o Método da Descida Infinita:

“Supondo a existência de um número primo que é um a mais que um múltiplo

de 4 que n˜ao pode ser decomposto como a soma de dois quadrados, consegue-se

provar que existe um outro menor da mesma natureza que n˜ao pode ser

decom-posto na soma de dois quadrados, e de seguida um terceiro ainda menor,. . . ,

chegando ao n´umero 5 que ´e o menor de todos desta natureza, do qual seguiria

que n˜ao pode ser decomposto como a soma de dois quadrados, que no entanto

´e falso. Desta forma deduz-se que todos os n´umeros primos daquela natureza

podem ser decompostos na soma de dois quadrados.”

Fermat deixou apenas a sua ideia da demonstra¸cão, uma vez que não explica como deduz o número mais pequeno do maior. Os passos em falta deste racioc´ınio foram mais tarde explicados e apresentados por Euler em 1747. A demonstra¸cão deixada por Euler foi a base deste cap´ıtulo. Euler mostrou que se um n´umero primo da forma 4n + 1 n˜ao é a soma de dois quadrados então existiria uma sequência de números inteiros positivos infinitamente decrescente, o que é imposs´ıvel. Embora Euler tenha conseguido provar o resultado utilizando o Método da Descida Infinita, não resolveu inteiramente o problema

(26)

CAP´ITULO 2. SOMAS DE DOIS QUADRADOS

de Fermat uma vez que não construiu um método construtivo que permitisse escrever qualquer n´umero primo da forma 4n + 1 na soma de dois quadrados. No entanto um estudo cuidado da prova deixada por Euler permite torná-la construtiva através de uma pequena modifica¸cão, tal como foi observado por Edwards [6, pp. 55-57].

Este cap´ıtulo encontra-se dividido em duas seçcões, a primeira onde são estudados resultados sobre as diferen¸cas sucessivas das potências dos números inteiros e a segunda onde é feita a demonstra¸cão pelo Método da Descida Infinita deixada por Euler.

2.2 Diferen¸

cas sucessivas

Vejamos de seguida alguns resultados sobre as diferen¸cas sucessivas das potˆencias dos n´umeros inteiros.

Exemplo. Diferen¸cas de xk:

k=1 1 2 3 4 5 6

diferen¸cas de ordem 1 1 1 1 1 1

diferen¸cas de ordem 2 0 0 0 0

k=2 1 4 9 16 25 36 49 dif. de ordem 1 3 5 7 9 11 13 dif. de ordem 2 2 2 2 2 2 dif. de ordem 3 0 0 0 0 k=3 1 8 27 64 125 216 dif. de ordem 1 7 19 37 61 91 dif. de ordem 2 12 18 24 30 dif. de ordem 3 6 6 6 dif. de ordem 4 0 0 k=4 1 16 81 256 625 1296 dif. de ordem 1 15 65 175 369 671 dif. de ordem 2 50 110 194 302 dif. de ordem 3 60 84 108 dif. de ordem 4 24 24 dif. de ordem 5 0

(27)

Vemos que, por exemplo, a 3a _{diferen¸ca das diferen¸cas de ordem 2 de x}4 _´_{e 194.}

Teorema 2.1. Seja (xk) a sucessão de potências de ´ındice k, com k ≥ 0 inteiro, dos números inteiros positivos, isto é,

1k, 2k, 3k, 4k, 5k, . . . .

A m-´esima diferen¸ca das diferen¸cas de ordem t de xk _´_{e dada por:} t ∑ j=0 (−1)j ( t j ) (m + t− j)k.

Demonstra¸c˜ao: Vamos provar o resultado por indu¸c˜ao em t. Para t = 0 o resultado ´ e verdadeiro: 0 ∑ j=0 (−1)j ( 0 j ) (m− j)k = mk.

Suponhamos, por hipótese de indu¸cão que o resultado é v´alido para t, isto é, a m-´esima diferen¸ca das diferen¸cas de ordem t de xk é dada por:

t ∑ j=0 (−1)j ( t j ) (m + t− j)k.

Vejamos que o resultado tamb´em ´e v´alido para t + 1.

Fa¸camos n = m + t. A m + 1-´esima diferen¸ca das diferen¸cas de ordem t ´e

t ∑ j=0 (−1)j ( t j ) (n + 1− j)k = t ∑ j=0 (−1)j ( t j ) (n− (j − 1))k = (n + 1)k− t−1 ∑ j=0 (−1)j ( t j + 1 ) (n− j)k. A m-´esima diferen¸ca ´e: t ∑ j=0 (−1)j ( t j ) (n− j)k= t−1 ∑ j=0 (−1)j ( t j ) (n− j)k+ (−1)t(n− t)k.

(28)

Ent˜ao a m-´esima diferen¸ca das diferen¸cas de ordem t + 1 de xk _´_{e dada por:} t ∑ j=0 (−1)j ( t j ) (n + 1− j)k− t ∑ j=0 (−1)j ( t j ) (n− j)k= = (n + 1)k− t−1 ∑ j=0 (−1)j ( t j + 1 ) (n− j)k− t−1 ∑ j=0 (−1)j ( t j ) (n− j)k− (−1)t(n− t)k = (n + 1)k− (−1)t(n− t)k− t−1 ∑ j=0 (−1)j ( t + 1 j + 1 ) (n− j)k = (n + 1)k+ (−1)t+1(n− t)k+ t ∑ j=1 (−1)j ( t + 1 j ) (n + 1− j)k = t+1 ∑ j=0 (−1)j ( t + 1 j ) (n + 1− j)k.

Fica, deste modo, provado o resultado para qualquer inteiro t. 2

Exemplo. A 3a _diferen¸_{ca das diferen¸}_{cas de ordem 2 de x}4 _´_{e dada por} 2 ∑ j=0 (−1)j ( 2 j ) (5− j)4 = 54− 2 · 44+ 34 = 194,

como vimos anteriormente.

Teorema 2.2. As diferen¸cas de ordem k de xk _s˜_{ao todas iguais a k!.}

Consequentemente as diferen¸cas de ordem t com t > k s˜ao todas iguais a zero.

Demonstra¸c˜ao:

Em primeiro lugar vamos provar por indu¸c˜ao em k que:

k ∑ j=0 (−1)j ( k j ) ji = { 0 se 0≤ i < k (−1)k_k! _se _{i = k} (2.1) Para k = 0 temos 1 = (−1)0_0!00_. 1 1₀0_{= 1}

(29)

CAP´ITULO 2. SOMAS DE DOIS QUADRADOS Para k = 1: 1 ∑ j=0 (−1)j ( 1 j ) ji = 0i− 1i = { 0 se i = 0 −1 se i = 1 = { 0 se 0≤ i < 1 (−1)1_.1! _se _{i = 1} ,

donde conclu´ımos que o resultado ´e verdadeiro para k = 1.

Suponhamos, por hipótese de indu¸cão que o resultado é v´alido para k, isto ´e,

k ∑ j=0 (−1)j ( k j ) ji = { 0 se 0≤ i < k (−1)k_k! _se _{i = k} .

Provemos que o resultado tamb´em ´e v´alido para k + 1. Ora, se 1≤ i ≤ k + 1,

k+1 ∑ j=0 (−1)j ( k + 1 j ) ji =− k ∑ j=0 (−1)j ( k + 1 j + 1 ) (j + 1)i =− k ∑ j=0 (−1)j (k + 1)! (j + 1)!(k− j)!(j + 1) i =−(k + 1) k ∑ j=0 (−1)j ( k j ) (j + 1)i−1 =−(k + 1) k ∑ j=0 (−1)j ( k j )∑i−1 l=0 ( i− 1 l ) jl =−(k + 1) i−1 ∑ l=0 ( i− 1 l )∑k j=0 (−1)j ( k j ) jl.

Usando a hip´otese de indu¸c˜ao, temos que

k ∑ j=0 (−1)j ( k j ) jl = { 0 se l < k (−1)k_k! _se _{l = k} . Deste modo, k+1 ∑ j=0 (−1)j ( k + 1 j ) ji = { 0 se i− 1 < k −(k + 1)(−1)k_k! _se _i_{− 1 = k} = { 0 se 1≤ i < k + 1 (−1)k+1(k + 1)! se i = k + 1 .

(30)

CAP´ITULO 2. SOMAS DE DOIS QUADRADOS Para i = 0 k+1 ∑ j=0 (−1)j ( k + 1 j ) j0 = k+1 ∑ j=0 (−1)j ( k + 1 j ) = (1− 1)k+1 = 0.

Ficou assim provado que

k ∑ j=0 (−1)j ( k j ) ji = { 0 se 0≤ i < k (−1)k_k! _se _{i = k} . (2.2)

Pelo teorema anterior e pelo resultado provado anteriormente, temos que as diferen¸cas de ordem k s˜ao dadas por

k ∑ j=0 (−1)j ( k j ) (n− j)k= k ∑ j=0 (−1)j ( k j )∑k i=0 (−1)i ( k i ) nk−iji = k ∑ i=0 (−1)i ( k i ) nk−i k ∑ j=0 (−1)j ( k j ) ji = (−1)k ( k k ) n0(−1)kk! = k!. 2

Corol´ario 2.3. Seja p um primo. Se p divide as diferen¸cas de primeira ordem de xk_, ent˜ao p| k!.

Demonstra¸c˜ao: As diferen¸cas de primeira ordem de xk _s˜_{ao da forma} ak− (a − 1)k,

com a inteiro positivo.

Se p divide as diferen¸cas de ordem t tamb´em divide as diferen¸cas de ordem t + 1, para

t≥ 1. Portanto p | k!. 2

2.3 Demonstra¸

c˜

ao pelo M´

etodo da Descida Infinita

(31)

Lema 2.4. O produto de dois n´umeros, cada um dos quais ´e a soma de dois quadrados, ´e uma soma de dois quadrados.

Demonstra¸c˜ao: (a2+ b2)(c2+ d2) = a2c2+ b2d2+ a2d2+ b2c2 = a2c2+ b2d2+ 2acbd + a2d2+ b2c2− 2abcd = (ac + bd)2+ (ad− bc)2. 2 Observa¸c˜ao:

Este produto corresponde a

|z1z2|2 =|z1|2|z2|2.

Exemplo.

25 = 32+ 42 61 = 52+ 62 25× 61 = 392+ 22

Lema 2.5. Se um n´umero que é uma soma de dois quadrados é divis´ıvel por um número primo que é uma soma de dois quadrados, então o quociente é uma soma de dois quadrados.

Demonstra¸c˜ao: Seja p um n´umero primo e a, b inteiros positivos tais que:

p = r2+ s2 e p|(a2+ b2). Como

(rb− as)(rb + as) = r2b2− a2s2 = r2(a2+ b2)− a2(r2+ s2), e p ´e primo, ent˜ao

p|(rb − as) ou p | (rb + as).

Suponhamos que p| (rb − as). Uma vez que

(a2+ b2)(r2+ s2) = (ar + bs)2+ (rb− as)2,

Ent˜ao p| (ar + bs). Logo a igualdade anterior pode ser dividida por p2_:

a2 + b2 r2_{+ s}2 = ( ar + bs r2_{+ s}2 )2 + ( as− br r2_{+ s}2 )2 .

(32)

Suponhamos agora que p - (rb − as). Ent˜ao p | (rb + as). Como (a2+ b2)(s2+ r2) = (as + br)2+ (ar− bs)2,

ent˜ao p| (ar − bs). Logo a igualdade anterior pode ser dividida por p2_:

a2 + b2 r2_{+ s}2 = ( as + br r2_{+ s}2 )2 + ( ar− bs r2_{+ s}2 )2 .

Ficando, deste modo, provado o pretendido. 2

Lema 2.6. Se um n´umero que pode ser escrito como uma soma de dois quadrados é divis´ıvel por um número que não é uma soma de dois quadrados, então o quociente possui

pelo menos um fator primo que n˜ao ´e uma soma de dois quadrados.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que x | (a2 _{+ b}2_{), sendo que x n˜}_{ao ´}_{e a soma de dois}

quadrados e que o quociente fatorizado em primos ´e da forma p1p2. . . pn. Ent˜ao a2+ b2 = xp1p2. . . pn. Suponhamos que todos os fatores pi, i = 1, . . . , n, podem ser escritos como a

soma de dois quadrados. Ent˜ao dividindo a2_{+ b}2 _{por p}

1 obt´em-se

a2_{+ b}2

p1

= xp2. . . pn,

que, pelo resultado anterior ´e uma soma de dois quadrados.

Repetindo o procedimento, ou seja, dividindo a igualdade anterior por p2 e assim

suces-sivamente, por p3. . . pn, concluimos que x tamb´em ´e uma soma de dois quadrados, o que

contradiz a suposi¸c˜ao inicial. Logo, por redu¸c˜ao ao absurdo, conclui-se que pelo menos um

dos fatores pi n˜ao ´e uma soma de dois quadrados. 2

Lema 2.7. Se x| a2+ b2 com (a, b) = 1 ent˜ao x ´e uma soma de dois quadrados.

Demonstra¸c˜ao: Sendo m e n os inteiros mais pr´oximos de a_x e _xb, respetivamente, tem-se que

a = mx± c e b = nx ± d,

onde |c| ≤ x₂ e |d| ≤ x₂. Ent˜ao:

a2 + b2 = (mx± c)2+ (nx± d)2

= m2x2± 2mxc + c2+ n2x2± 2nxd + d2

= Ax + (c2+ d2), pondo A = m2_x_{± 2mc + n}2_x_{± 2nd.}

(33)

Se x | (a2_{+ b}2_{) e (a}2_{+ b}2_{) = Ax + (c}2_{+ d}2_{) ent˜}_{ao x}_{| (c}2_{+ d}2_{), ou seja,}

c2+ d2 = xy, (2.3)

para algum y inteiro positivo.

Sendo D = (c, d) ent˜ao D′ = (D, x) = 1. Isto porque se D′ ̸= 1 ent˜ao D′ | x, D′ | c e

D′ | d e portanto D′ dividiria a e b, o que contradiz com a suposi¸c˜ao inicial de que a e b s˜ao primos entre si.

Como (D, x) = 1 ent˜ao (D2, x) = 1. Deste modo, D2 | y, pois D2 | c2+ d2

D2 | yx D2 | y.

Assim, dividindo ambos os membros de (2.3) por D2 _vem

(_c D )2 + ( d D )2 = y D2x,

ficamos com uma express˜ao da forma

e2+ f2 = zx, em que e e f s˜ao primos entre si e z ≤ x₂, pois

zx = e2+ f2 ≤ c2+ d2 ≤ (_x 2 )2 + (_x 2 )2 = 1 2x 2_.

Se x n˜ao for a soma de dois quadrados ent˜ao, pelo lema 2.6, z possui pelo menos um fator primo que n˜ao ´e a soma de dois quadrados. Seja x1 esse fator. Temos ent˜ao que x1 < x

em que x1 n˜ao ´e a soma de dois quadrados e divide uma soma de dois quadrados.

Repetindo o procedimento indefinidamente ter´ıamos x > x1 > x2 > . . ., o que ´e

imposs´ıvel.

Deste modo podemos concluir que x ´e a soma de dois quadrados. 2

Teorema 2.8. Todo o n´umero primo da forma 4n + 1 ´e uma soma de dois quadrados.

Demonstra¸c˜ao: Se p = 4n + 1 ent˜ao, pelo corol´ario (1.6),

p| 14n− 1 p| 24n− 1 p| 34n− 1 .. . p| (4n)4n− 1.

(34)

Portanto as diferen¸cas 24n_{− 1, 3}4n_{− 2}4n_{, . . . , (4n)}4n_{− (4n − 1)}4n _s˜_{ao divis´ıveis por p. Cada}

uma destas diferen¸cas pode ser fatorizada da seguinte forma: 24n− 1 = (22n+ 1)(22n− 1)

34n− 24n= (32n+ 22n)(32n− 22n) ..

.

(4n)4n− (4n − 1)4n= [(4n)2n+ (4n− 1)2n][(4n)2n− (4n − 1)2n].

Sendo p um n´umero primo, ele divide um dos dois fatores. Suponhamos que p divide todas as 4n− 1 diferen¸cas, isto ´e:

p| 22n− 1 p| 32n− 22n p| . . .

p| (4n)2n− (4n − 1)2n.

Logo pelo corol´ario 2.3, p| (2n)!, o que ´e imposs´ıvel (pois 4n + 1 > 2n).

Chegamos a um absurdo, logo p n˜ao divide todas as 4n− 1 diferen¸cas, ou seja, p divide um dos termos da forma t2n_{+ (t}_{− 1)}2n_{. Como p} _{| (a}2n_{+ b}2n_{) e a e b s˜}_{ao primos entre si}

(pois diferem entre si uma unidade) ent˜ao, pelo lema 2.7, p ´e uma soma de dois quadrados.

(35)

Cap´ıtulo 3

Equa¸

c˜

oes de grau quatro

“Escrever um quadrado como uma soma de dois quadrados.”

Este foi o problema da “Arithmetica”de Diofanto que inspirou Fermat para a formula¸c˜ao do ´

Ultimo Teorema de Fermat. O problema apresentado por Diofanto tinha como finalidade encontrar ternos de inteiros positivos que satisfizessem a equa¸c˜ao x2 _{+ y}2 _{= z}2_{, os quais}

foram designados de ternos pitag´oricos. O exemplo mais simples e mais conhecido ´e o terno (3, 4, 5).

Este problema foi tratado por Euclides, no livro “Elementos”(cerca de 300 A.C.), vários séculos antes de Diofanto. Contudo, de acordo com uma das surpreendentes descobertas da arqueologia do século XX, o problema foi estudado hà mais de mil anos antes de Euclides, pelos antigos Babilónios. A cole¸cão arqueológica da Universidade da Colômbia possui uma tabela cuneiforme datada de 1500 A.C., que possui uma lista de ternos pitagóricos [14]. Desta lista fazem parte, por exemplo, os ternos (3, 4, 5) e (4961, 6480, 8161). Este ´ultimo leva-nos a pensar que os antigos Babilónios possuiam um método, diferente do de tentativa e erro, para encontrar as solu¸cões do problema de Diofanto. Não sabemos qual era o método nem as razões que os Babilónios tiveram para investigar os ternos pitagóricos, mas na opinião de Neugebauer, é provável que eles conhecessem o significado geométrico dos ternos pitagóricos e que os tivessem obtido através de algum método semelhante ao de Diofanto. Isto significa que os Babilónios conheciam o Teorema de Pitágoras cerca de 1000 anos antes do próprio Pitágoras ter nascido.

Este cap´ıtulo encontra-se dividido em quatro seçcões. Na primeira iremos determinar todos os ternos pitagóricos. Na segunda analisaremos a prova deixada por Fermat de que não existe nenhum triângulo retângulo cujos lados sejam números inteiros e cuja área seja igual ao quadrado de um número inteiro. Na terceira ser´a demonstrado o caso n = 4 do

´

Ultimo Teorema de Fermat. Por último, na quarta seçcão será abordado outro resultado enunciado por Fermat que garante que nenhum número triangular, à exce¸cão da unidade, ´

(36)

CAPÍTULO 3. EQUAÇ ÕES DE GRAU QUATRO

3.1 A Equa¸

c˜

ao Pitag´

orica

Uma solu¸c˜ao inteira (a, b, c) da equa¸c˜ao Pitag´orica

x2+ y2 = z2 (3.1)

diz-se uma solu¸c˜ao primitiva se os inteiros a, b, c s˜ao positivos e primos entre si. ´

E imediato que, se (a, b, c) ´e solu¸c˜ao inteira de x2_{+ y}2 _{= z}2_{, ent˜}_{ao tamb´}_{em (ka, kb, kc),}

com k inteiro, ´e solu¸c˜ao e se d ´e divisor comum de a, b, c, tamb´em ( a d, b d, c d ) , ´

e solu¸cão. Assim, para determinar todas as solu¸cões inteiras e positivas, basta determinar todas as suas solu¸cões primitivas e multiplic´a-las por inteiros positivos k.

´

E também imediato que a solu¸c˜ao inteira positiva (a, b, c), de x2 + y2 = z2, é uma solu¸cão primitiva se e s´o se dois quaisquer dos inteiros a, b, c, s˜ao primos entre si.

Note-se ainda que um terno (a, b, c), com a, b e c inteiros positivos satisfaz x2_{+ y}2 _{= z}2

se e só se existir um triângulo retˆangulo cujas medidas dos catetos sejam a e b e cuja medida da hipotenusa seja c. Estes triângulos dizem-se triângulos pitagóricos.

Nesta seçcão serão determinadas todas as solu¸cões inteiras da equa¸c˜ao x2_{+ y}2 _{= z}2_.

Numa primeira fase ser´a demonstrado um resultado auxiliar que ser´a posteriormente uti-lizado.

Lema 3.1. Seja (x, y, z) uma solu¸c˜ao de x2_{+ y}2 _{= z}2_{. Se (x, y, z) = 1 ent˜}_{ao x ou y ´}_{e par}

e z é ´ımpar. Isto é, num triângulo pitagórico primitivo a medida da hipotenusa e de um dos catetos é ´ımpar e a medida do outro cateto é par.

Demonstra¸c˜ao: ´E imediato que se (x, y, z) ´e uma solu¸c˜ao primitiva de x2_{+ y}2 _{= z}2_,

(x, y) = 1 , (x, z) = 1 e (y, z) = 1.

De facto se (x, y) ̸= 1 ent˜ao existiria um inteiro p tal que p | x e p | y logo p | x2 _{+ y}2 _e

portanto p| z, o que contraria o facto de (x, y, z) = 1. Do mesmo modo se justificaria que (x, z) = 1 e (y, z) = 1.

Consequentemente, x, y e z n˜ao podem ser todos pares. Al´em disso, x e y n˜ao podem ser ambos ´ımpares pois se

x = 2r + 1 e y = 2s + 1 com r e s inteiros,

ent˜ao

x2+ y2 = (2r + 1)2+ (2s + 1)2 = 2 + 4(r + r2+ s + s2), donde concluir´ıamos que 2| z2 _{mas 4}_{- z}2_{, o que ´}_{e imposs´ıvel.}

(37)

Teorema 3.2. A equa¸c˜ao

x2+ y2 = z2 (3.2)

tem infinitas solu¸cões, com (x, y, z) = 1, x par e x, y, z > 0. Estas solu¸cões são da forma

x = 2ab y = a2− b2 z = a2+ b2,

sendo a e b inteiros positivos,com a > b, primos entre si e de paridades opostas.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos, sem perda de generalidade, que x ´e par. Se (x, y, z) ´e solu¸c˜ao de (3.2) ent˜ao

x2 = z2− y2 = (z− y)(z + y).

Ora z− y e z + y são ambos pares, logo podemos dividir a equa¸cão anterior por 4: ( 1 2x )2 = 1 4(z− y)(z + y). Seja u = 1₂(z + y) e v = 1₂(z− y). Então

( 1 2x

)2

= uv.

Temos que (u, v) = 1. Caso contrário existiria um inteiro p tal que p | u e p | v, logo ter´ıamos tamb´em que p | u + v e p | u − v, isto é p | z e p | y, o que é imposs´ıvel pois (y, z) = 1. Além disso como uv ´e um quadrado ent˜ao u e v s˜ao ambos quadrados de n´umeros inteiros. Deste modo existem inteiros a e b tais que

u = a2 e v = b2 com (a, b) = 1. Logo a2 = u = 1 2z + 1 2y b2 = v = 1 2z− 1 2y a2b2 = 1 4x 2_. Ent˜ao x = 2ab y = a2− b2 z = a2+ b2.

(38)

Reciprocamente, se a e b s˜ao primos entre si, de paridades opostas, com a > b, como (2ab)2+ (a2− b2)2 = (a2+ b2)2,

conclui-se que (2ab, a2− b2, a2+ b2) ´e uma solu¸c˜ao primitiva de (3.2). 2

Corol´ario 3.3. A solu¸c˜ao geral positiva de x2_{+ y}2 _{= z}2 _´_{e dada por}

   x = k(a2 _{− b}2₎ y = 2kab z = k(a2 _{+ b}2₎ ou    x = 2kab y = k(a2− b2) z = k(a2_{+ b}2₎ (3.3)

onde k, a, b s˜ao inteiros positivos, a e b s˜ao primos entre si, de paridades diferentes e a > b.

3.2 N˜

ao existe nenhum triˆ

angulo retˆ

angulo cujos

la-dos s˜

ao n´

umeros inteiros e cuja ´

area ´

e igual ao

quadrado de um n´

umero inteiro

Em toda a obra deixada por Fermat sobre Teoria dos Números, apenas foi encontrada uma única demonstra¸cão, a prova de que a área de um triângulo retângulo não pode ser um quadrado. Esta proposi¸cão foi referida várias vezes na sua correspondência mas nela nunca foi verdadeiramente provada.

Numa carta dirigida a Mersenne, possivelmente em Maio de 1640 [16, pp. 192-193], mas destinada a Fr´enicle de Bessy, Fermat incluiu o desafio numa lista de quatro problemas para Fr´eniche resolver:

• Encontrar um triângulo retângulo (de lados inteiros) cuja área seja o quadrado de

um inteiro;

• Encontrar dois inteiros biquadrados cuja soma seja um inteiro biquadrado; • Encontrar quatro quadrados em progress˜ao aritm´etica cont´ınua;

• Encontrar dois cubos de inteiros cuja soma seja o cubo de um inteiro.

Ora estes problemas são todos imposs´ıveis e é poss´ıvel que Fermat já soubesse disso na altura em que os enviou.

Em Agosto de 1659, na carta dirigida a Carcavi, volta a fazer referência ao mesmo problema dizendo agora ter encontrado finalmente um método, o Método da Descida Infi-nita, para demonstrar algumas proposi¸cões, nomeadamente esta. E refere que a prova da proposi¸cão é da seguinte forma:

(39)

“Se houvesse um triângulo retângulo cujos lados são números inteiros e cuja a área é

igual ao quadrado de um número então existiria um triângulo menor que teria a mesma

propriedade. Se houvesse um segundo menor do que o primeiro, com a mesma propriedade,

ent˜ao haveria, por um racioc´ınio semelhante, um triˆangulo menor que o segundo, com a

mesma propriedade, e um quarto, um quinto, etc, descendendo infinitamente. No entanto não há um número infinito decrescente de números inteiros positivos.”

Mais uma vez Fermat deixa o desafio, agora já com algumas indica¸cões para aplica¸cão do seu método, mas ainda assim muito vagas uma vez que não explica como deduz o triângulo menor que o primeiro.

A verdadeira prova foi encontrada pelo seu filho Samuel numa das margens da cópia de “Arithmetica”de Diofanto e foi posteriormente publicada por ele em “Observa¸cões de Diofanto”com o número 45 [15, pp. 340]. Antes da demonstra¸cão Fermat afirma que não encontrou a demonstra¸cão desta proposi¸cão “sem uma intensa e laboriosa medita¸cão”e que este tipo de demonstra¸cão “conduzirá a progressos maravilhosos na ciência dos números”.

Area trianguli in numeris non potest esse quadratus Hujus theorematis a nobis inventi demonstrationem, quam et ipsi tandem non sine operosa et laboriosa meditatione deteximus, subjungemus. Hoc nempe demonstrandi genus miros in Arithmeticis suppeditabit progressus. Si area trianguli esset quadratus, darentur duo quadratoquadrati quórum differentia esset quadratus; unde sequitur dari duo quadratos quórum et summa et differentia esset quadratus: datur itaque numerus, compositus ex quadrato et duplo quadrati, aequallis quadrato, ea conditione ut quadrati eum componentes faciant quadratum. Sed, si numerus quadratus componitur ex quadrato et duplo quadrati, ut facillime possumus demonstrare; unde concludetur latus illud esse summam laterum circa retum trianguli retanguli, et unum ex quadratis illud componentibus efficere basem, et duplum quadratum aequari perpendiculo. Illud itaque triangulum retangulum conficietur a duobus quadratis quórum summa et differentia erunt quadrati. At isti duo quadrati minores probabuntur primis quadratis primo suppositis, quórum tam summa quam differentia faciunt quadratum: ergo, si dentur duo quadrati quórum summa et differentia faciant quadratum, dabitur in integris summa duorum quadratorum ejusdem naturae, priore minor. Eodem ratiocinio dabitur et minor istà inventa per viam prioris, et semper in infinitum minores invenientur numeri in integris idem praestantes. Quod impossibile est, quia, dato numero quovis integro, non possunt dari infiniti in integris illo minores. Demonstrationem integram et fusius explicatam inserere margini vetat ipsius exiguitas. Hac ratione deprehendimus et demontratione confirmavimus nullum numerum triangulum, prater unitatem, aequari quadratoquadrato.

Esta seçcão terá duas partes. Na primeira será feita uma análise da prova deixada por Fermat e na segunda será aplicado o método da descida infinita em outros teoremas também descobertos por Fermat, por exemplo: Não existem inteiros positivos tais que a soma dos seus quadrados seja um quadrado e a diferen¸ca dos seus quadrados seja também um quadrado. Seguem-se corolários que se relacionam, nomeadamente o resultado relativo `

a área de um triângulo retângulo.

Fa¸camos ent˜ao uma reconstru¸c˜ao da prova deixada por Fermat, utilizando a linguagem actual:

Teorema 3.4. A medida da ´area de um triângulo retângulo não pode ser um quadrado, isto é, não existem inteiros positivos x,y,z,w, tais que:

{

x2_{+ y}2 _{= z}2 1

2xy = w

(40)

Demonstra¸cão: Suponhamos que a ´area de um triângulo retângulo é um quadrado, isto ´e, existem inteiros positivos x,y,z,w, tais que:

{

x2+ y2 = z2

1

2xy = w

2_. (3.5)

A prova feita por Fermat supõe que as medidas dos lados não números primos entre si. De facto se (x, y)̸= 1 então existiria um inteiro positivo D tal que D | x e D | y. Então

D| w. Daqui resultaria { (_x D )2 +(_Dy)2 =(_Dz)2 1 2 xy D2 = (_w D )2 (3.6)

onde _Dx, _Dy, _Dz e _Dw s˜ao inteiros positivos.

Deste modo verific´amos que podemos considerar, sem perda de generalidade, que (x, y) = 1.

Ent˜ao pelo corol´ario 3.3 temos que    x = 2ab y = a2− b2 z = a2_{+ b}2 ou    x = a2− b2 y = 2ab z = a2_{+ b}2 (3.7)

onde a, b são inteiros positivos, primos entre si, de paridades diferentes e a > b. Como a área do triângulo é um quadrado temos que

ab(a− b)(a + b),

´

e um quadrado. Tendo em conta que os fatores a, b, a− b e a + b são dois a dois primos entre si, então pelo teorema 1.9 cada um deles é um quadrado. Sejam

r2 = a s2 = b u2 = a + b v2 = a− b.

Deste modo temos que u e v s˜ao ´ımpares, r e s s˜ao de paridades diferentes, (u, v) = 1 e (r, s) = 1 (pois (a, b) = 1). Al´em disso,

r4− s4 = k2 onde k = uv (3.8)

(“Se a área de um triângulo retângulo fosse um quadrado, então existiriam duas potências

de grau quatro cuja diferen¸ca seria um quadrado.”)

De (3.8) vem que

(41)

Como r e s s˜ao primos entre si temos mais uma vez, pelo teorema 1.9, que r2_{− s}2 _{e r}2_{+ s}2

s˜ao ambos quadrados. Sejam

r2− s2 = c2 e r2 + s2 = d2,

onde c e d s˜ao inteiros positivos, ambos ´ımpares.

(“Consequentemente existiriam dois quadrados cuja soma e diferen¸ca seriam

quadra-dos.”)

Reorganizando temos

r2 = c2+ s2,

e substituindo obtemos

d2 = c2+ 2s2.

(“Portanto ter´ıamos um quadrado igual `a soma de um quadrado com o dobro de outro

quadrado, em que a soma dos quadrados envolvidos na soma anterior (c2 _{e s}2_{) ´}_{e tamb´}_em

um quadrado.”)

Deste modo d ter´a de ser da forma

d = e2+ 2f2.

(“Mas se o quadrado de um n´umero ´e a soma de um quadrado e o dobro de outro

qua-drado, esse número é também a soma de um quadrado com o dobro de um outro quadrado,

o que consigo facilmente demonstrar.”)

Sobre esta última conclusão Fermat apenas afirma que o consegue facilmente demons-trar, mas não o faz. Vejamos como Fermat o poderá ter demonstrado:

Sejam

m = d + c

2 e n =

d− c

2 . Ent˜ao m e n s˜ao inteiros (pois d e c s˜ao ambos ´ımpares) e

mn = s

2

(42)

Suponhamos que (m, n) > 1. Ent˜ao existiria um primo p tal que p | m e p | n e portanto tamb´em p| s. Al´em disso, temos que p | m + n = d e p | m − n = c, donde p | c2_{+ d}2 _e

p ´ımpar. Atendendo a que 2r2 = c2 + d2 temos que p | r. Cheg´amos a uma contradi¸c˜ao,

pois r e s s˜ao primos entre si. Conclu´ımos assim que m e n s˜ao primos entre si. Ent˜ao de

2mn = s2 e (m, n) = 1, conclu´ımos que existem inteiros e e f tais que

m = e2 n = 2f2 e 2ef = s

(isto no caso em que n ´e par, caso fosse ´ımpar bastava trocar os pap´eis de m e n). Logo

d = m + n = e2+ 2f2

e

c = m− n = e2 − 2f2,

conforme Fermat concluiu. Ora,

s2 = 2mn = 4e2f2

e, al´em disso,

r2 = d2− s2 = (e2+ 2f2)2− 4e2f2 = e4+ 4f4.

Desta igualdade temos que e2 _{e 2f}2 _s˜_{ao as medidas dos lados de um triˆ}_{angulo retˆ}_angulo

cuja hipotenusa ´e r e a sua ´area, e2_f2_{, ´}_{e um quadrado.}

(“Deste modo conclu´ımos que esse n´umero ´e a soma das medidas dos catetos de um

triângulo retângulo cuja medida da base é um quadrado e a medida da altura o dobro de

outro quadrado”)

Observa¸c˜ao: A prova do teorema poderia ter terminado neste momento, uma vez que

foi definido um novo triângulo retângulo cuja área é o quadrado de um inteiro. Além disso facilmente se justificaria que esse novo triângulo é menor que o inicial. Contudo, não foi o que Fermat fez. Deste modo continuaremos a seguir a sua prova.

Vimos anteriormente que r2 _{= (e}2₎2_{+ (2f}2₎2_{, donde pelo corol´}_{ario 3.3 podemos concluir}

que existem inteiros positivos m1 e n1 tais que

   e2 = m2₁− n2₁ 2f2 _{= 2m} 1n1 r = m2 1+ n21 (3.9)

(43)

Al´em disso,

(ef )2 = m1n1(m1− n1)(m1+ n1).

Como (m1, n1) = 1, mais uma vez pelo teorema 1.9 temos que m1, n1, m1 − n1 e m1+ n1

s˜ao todos quadrados.

(“Os lados deste triângulo retângulo serão formados por dois quadrados cuja soma e

diferen¸ca ser˜ao quadrados.”)

Temos que

m1 ≤ m1n1 = f2 < 4e2f2 = s2 = b

e que

n1 ≤ m1n1 = f2 < e4+ 4f4 = r2 = a.

(“Mas consegue-se provar que estes quadrados s˜ao menores que os quadrados iniciais

cuja soma e diferen¸ca eram quadrados.”)

Temos aqui uma descida infinita de n´umeros inteiros positivos.

(“Ent˜ao se existirem dois quadrados cuja soma e diferen¸ca sejam ambas quadrados

ent˜ao existir´a outros dois quadrados com a mesma propriedade mas em que pelo menos um

deles ´e menor. Repetindo o racioc´ınio podemos encontrar outro par cuja soma seja menor,

e continuando o procedimento indefinidamente ser˜ao sempre encontrados quadrados de

n´umeros inteiros menores com a mesma propriedade. No entanto isto ´e imposs´ıvel uma

vez que não pode haver uma sucessão infinita de números menores do que qualquer inteiro dado.”)

E assim termina Fermat a sua prova, acrescentando no final:

“A margem ´e muito pequena para conseguir dar uma prova completa e detalhada.”

2

O resultado que será seguidamente demonstrado já foi mencionado no teorema anterior, contudo será agora tratado individualmente.

(44)

Teorema 3.5. N˜ao existem inteiros positivos tais que a soma dos seus quadrados seja um

quadrado e a diferen¸ca dos seus quadrados seja tamb´em um quadrado. Ou seja, o sistema

{

x2_{+ y}2 _{= z}2

x2− y2 = t2 (3.10)

n˜ao tem solu¸c˜ao com x, y, z e t inteiros.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que existem inteiros positivos x, y, z, t que satisfazem

(3.10).

Se (x, y)̸= 1 ent˜ao existiria um primo p tal que p | x e p | x, logo p2 | z2 _{e p}2 | t2 _donde

p| z e p | t. Ter-se-ia _   ( x p )2 + ( y p )2 = ( z p )2 ( x p )2 −(y p )2 = ( t p )2 (3.11)

com x_p, y_p, z_p e _pt inteiros positivos.

Deste modo podemos considerar, sem perda de generalidade, que (x, y) = 1.

Note-se que do teorema 3.1 podemos concluir que z e x s˜ao ´ımpares e consequentemente,

y ´e par e t ´e ´ımpar.

Temos que x2_{+ y}2 _{e x}2 _{− y}2 _s˜_{ao primos entre si. De facto se (x}2 _{+ y}2_{, x}2 _{− y}2₎ _{̸= 1}

ent˜ao existiria um fator primo comum que tamb´em seria um divisor comum da sua soma e diferen¸ca. Mas

(x2+ y2) + (x2− y2) = 2x2 e

(x2+ y2)− (x2− y2) = 2y2.

Como (x2_{, y}2_{) = 1 esse fator comum s´}_{o poderia ser 1 ou 2. No entanto x}2_{e y}2 _tˆ_{em paridades}

distintas, logo x2 + y2 e x2− y2 são ambos ´ımpares e portanto não têm nenhum fator em comum diferente de 1.

Como x2_{+ y}2 _{e x}2− y2 _s˜_{ao ambos ´ımpares e (x}2_{+ y}2_{, x}2− y2_{) = 1 ent˜}_{ao z e t tamb´}_em

s˜ao ambos ´ımpares e (z, t) = 1. Voltando ao sistema inicial, obtemos sucessivamente { 2x2 = z2+ t2 2y2 _{= z}2_{− t}2 (3.12) { 4x2 _{= (z + t)}2_{+ (z}− t)2 2y2 = (z− t)(z + t) (3.13) { x2 ₌(z+t 2 )2 +(z−t₂ )2 2y2 = (z− t)(z + t) (3.14)

Como (z+t₂ ,z−t₂ ) = 1, do teorema 3.2 podemos concluir que existem inteiros positivos