Um estudo sobre bases de Schauder em espaços de Banach e aplicações do princípio de seleção de Bessaga-Pelczynski

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(1)IEGO FERNANDES PIRES. Um estudo sobre bases de Schauder em espaços de Banach e aplicações do princípio de seleção de Bessaga-Pelczynski.. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA 2013 i.

(2) ii. IEGO FERNANDES PIRES. Um estudo sobre bases de Schauder em espaços de Banach e aplicações do princípio de seleção de Bessaga-Pelczynski.. Dissertação. apresentada. ao. Programa. de. Pós-. Graduação em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia, como parte dos requisitos para obtenção do título de. MESTRE EM MATEMÁTICA.. Área de Concentração: Matemática. Linha de Pesquisa: Análise Funcional. Orientador:. Prof. Dr. Vinícius Vieira Fávaro..

(3) iii. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Sistema de Bibliotecas da UFU , MG, Brasil. P667e 2013. Pires, Iego Fernandes,1986Um estudo sobre bases de Schauder em espaços de Banach e aplicações do princípio de seleção de Bessaga-Pelczynski / Iego Fernandes Pires. - 2013. 61 f. : il. Orientador: Vinícius Vieira Fávaro. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal de Uberlândia, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Inclui bibliografia. 1. Matemática - Teses. 2. Análise funcional - Teses. 3. Banach, Espaços de - Teses. I. Fávaro, Vinícius Vieira. II. Universidade Federal de Uberlândia. Programa de Pós-Graduação em Matemática. III.Título.. CDU: 51.

(4) iv.

(5) v. Dedicatória. Dedico este trabalho a toda minha família, especialmente ao meu pai Ginair Francisco Pires, à minha mãe Cátia Deus Fernandes, às minhas irmãs Iêla Fernanda e Ingrid Nayara, e, a minha esposa Keina, pelo incentivo, compreensão e todo o apoio..

(6) vi. Agradecimentos. Primeiramente agradeço a Deus por ter me abençoado em mais uma conquista. Agradeço a minha esposa Keina, por acreditar em mim e nunca me deixar desanimar. Aos meus pais Ginair e Cátia, por não medirem esforços para eu chegar até aqui. Às minhas irmãs Iêla e Nayara, por estarem sempre a meu lado. Ao professor Vinícius Vieira Faváro, pela paciência e compreensão na orientação desse trabalho. À professora Marcela Luciano Vilela de Souza e ao professor Ariosvaldo Marques Jatobá, por terem aceito o convite para fazerem parte da banca de defesa deste trabalho. Aos professores do programa de Pós-Graduação em Matemática da UFU. Aos colegas do curso de mestrado: Bruno, Rafael, Letícia e Otoniel. Ao meu primo Mário Sergio e aos amigos Rafael Fernandes, João Victor e Thiago Alves. À CAPES pelo apoio nanceiro..

(7) vii. Um estudo sobre bases de Schauder em espaços de Banach e aplicações do princípio de seleção de Bessaga-Pelczynski. 2013. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de PIRES, I. F.. Uberlândia, Uberlândia-MG.. Resumo. Neste trabalho faremos um estudo detalhado da teoria básica de bases de Schauder em espaços de Banach. Mais precisamente, estudaremos os principais resultados envolvendo bases de Schauder (incondicionais), sequências básicas (incondicionais) e provaremos um importante resultado da teoria de espaços de Banach, o princípio de seleção de Bessaga-Pelczynski. Estudaremos também algumas aplicações deste princípio tais como a existência de sequências básicas em espaços de Banach e o Teorema de Pitt para operadores compactos entre espaços de sequências.. Palavras-chave :. Espaços de Banach, Bases de Schauder, sequências básicas, o problema da. base incondicional, princípio de seleção de Bessaga-Pelczynski e Teorema de Pitt..

(8) viii. A study about Schauder`s basis in Banach spaces and applications of the BessagaPelczynski selection principle. 2013. M. Sc. Dissertation, Federal University of Uberlândia,. PIRES, I. F.. Uberlândia-MG.. Abstract. In this work, we will study the basic theory of Schauder basis of Banach spaces. More precisely, we will study the main results involving (unconditionally) Schauder basis, (unconditionally) basic sequences and we will prove an important result of the Banach space theory, the BessagaPelczynski selection principle. We will also study some applications of this principle such that the existence of basic sequences in Banach spaces and the Pitt's Theorem for compact operators between sequence spaces.. Keywords :. Banach spaces, Schauder basis, basic sequences, the unconditional basis problem,. Bessaga-Pelczynski selection principle and Pitt's Theorem..

(9) SUMÁRIO. Resumo. vii. Abstract. viii. Introdução. 1. 1 Resultados Clássicos de Análise Funcional. 3. 2 Bases de Schauder em espaços de Banach. 9. 2.1. Séries em espaços de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.2. Bases em espaços de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 3 Sequências básicas em Espaços de Banach. 27. 3.1. Bases e sequências básicas incondicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 3.2. Dois problemas importantes envolvendo sequências básicas em espaços de Banach 37 3.2.1. O problema da base incondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.2.2. O Princípio de Seleção de Bessaga-Pelczynski. 39. . . . . . . . . . . . . . . .. 4 Aplicações do princípio de seleção de Bessaga-Pelczynski. 48. 4.1. Existência de sequências básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 4.2. O Teorema de Pitt. 49. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ix.

(10) Introdução. A área do conhecimento na qual essa dissertação se insere é a Análise Funcional, mais precisamente na teoria de espaços de Banach. Em Análise Funcional, um conceito bastante importante e usual é o de base de Schauder. Bases de Schauder são muito úteis para se entender o comportamento e a estrutura dos espaços de Banach. Dizemos que uma sequência de Schauder de um espaço de Banach ∞ X. E. se cada. x∈E. (xn )∞ n=1. é base. pode ser escrito de maneira única como. an xn , onde an são escalares no corpo. Como veremos neste trabalho, n=1 é fácil provar que todo espaço de Banach com base de Schauder é separável. Entretanto, a uma série do tipo. pergunta de que todo espaço de Banach separável tem base de Schauder permaneceu em aberto por vários anos. A resposta a esse problema veio com Eno em 1973, em sua negativa. A busca de condições para que um espaço de Banach tenha base de Schauder foi objeto de pesquisa de diversos matemáticos e um problema importante e que tem resposta armativa é que todo espaço de Banach tem um subespaço com base de Schauder. A solução desse problema utiliza um resultado extremamente importante que é conhecido como o princípio de seleção de Bessaga-Pelczynski. Esse resultado é importante não só devido a sua aplicação para a solução desse problema, mas também em diversos outros problemas. Nesta dissertação, mostraremos com detalhes a demonstração deste princípio de seleção, mostraremos também detalhadamente a demonstração de que todo espaço de Banach tem um subespaço com base de Schauder. Além disso, faremos uma outra aplicação interessante do princípio de seleção de Bessaga-Pelczysnki, que é a demonstração do Teorema de Pitt (essas aplicações serão feitas no capítulo 4). O Teorema de Pitt tem diversas aplicações e ele caracteriza operadores compactos entre espaços de sequências somáveis. Este teorema é usado, por exemplo, na obtenção de operadores, denidos entre espaços de sequências somáveis, que atingem a norma e problemas de lineabilidade envolvendo tais operadores (veja por exemplo [14] para os problemas de lineabilidade e operadores que atingem a norma e [12] como referência para resultados sobre operadores que atingem a norma). Nesta dissertação, faremos também um estudo sobre bases de Schauder incondicionais, isto. 1.

(11) 2. é, bases em que a convergência da representação de cada elemento, em termos da base, é incondicional. Tais bases são muito úteis na teoria dos espaços de Banach, entretanto não é verdade nem que espaços de Banach possuem algum subespaço com base de Schauder incondicional. Este problema é conhecido como o. problema da base incondicional (trataremos desse problema. com mais detalhes no capítulo 3). Entretanto, daremos uma caracterização para que uma base de Schauder seja base de Schauder incondicional de algum subespaço. Este trabalho está dividido da seguinte maneira:. (i) No capítulo 1, daremos os principais conceitos e notações que usaremos ao longo do trabalho e faremos uma revisão dos principais resultados de Análise Funcional necessários. (ii) No capítulo 2, devotaremos uma seção ao estudo de séries em espaços de Banach e depois introduziremos as bases de Schauder juntamente com os resultados básicos pertinentes além de vários exemplos importantes. (iii) No capítulo 3, faremos um estudo sobre sequências básicas (incondicionais) em espaços de Banach, isto é, bases de Schauder (incondicionais) de um subespaço. Além disso, abordaremos os problemas de existência de sequências básicas e sequências básicas incondicionais. Neste capítulo também provaremos o princípio de seleção de Bessaga-Pelczynski. (iv) Finalmente, no capítulo 4, faremos as duas aplicações do princípio de seleção que nos referimos anteriormente, além de dar os pré-requisitos necessários para elas.. Iego Fernandes Pires. Uberlândia-MG, 31 de Julho de 2013..

(12) CAPÍTULO 1 Resultados Clássicos de Análise Funcional. O objetivo deste capítulo é introduzir algumas denições, notações e alguns resultados de Análise Funcional que serão utilizados nos demais capítulos. Durante todo o texto,. Denição 1.0.1. k · k: E → R. Seja. K denotará o corpo R dos números reais ou o corpo C dos complexos.. E. um espaço vetorial sobre. K.. Uma. norma. em. E. é uma função. tal que. (N1) kxk ≥ 0 para todo x ∈ E e kxk = 0 ⇔ x = 0. (N2) kaxk = |a|kxk para todo a ∈ K e x ∈ E . (N3) kx + yk ≤ kxk + kyk para quaisquer x, y ∈ E . Denição 1.0.2.. espaço normado é um espaço vetorial E munido de uma norma k · k. E por sua vez é um espaço métrico com a métrica induzida pela norma, isto é, a métrica d dada Um. por. d(x, y) = kx − yk A. bola unitária fechada. do espaço normado. E. com. x, y ∈ E.. é o conjunto. BE = {x ∈ E : kxk ≤ 1} .. Denição 1.0.3. Dizemos que um espaço normado E é um espaço de Banach se E for completo. Denição 1.0.4.. Se. K. é um espaço métrico compacto, denotamos o espaço vetorial de todas. as funções contínuas denidas no compacto. K. a valores em. R por espaço C(K), o qual torna-se. um espaço de Banach com a norma. kf k∞ = sup {|f (x)| : x ∈ K} . 3.

(13) 4. Um caso que estamos particularmente interessado é quando Nesse caso, denotamos. Denição 1.0.5.. C(K). por. K. é o intervalo compacto. [a, b].. C[a, b].. Denotamos. c0 = {(an )∞ n=1 : an ∈ K. para todo. n∈N. e. an → 0}. o qual se torna um espaço de Banach com a norma. k (an )∞ n=1 k∞ = sup {|an | : n ∈ N} .. Denição 1.0.6. somáveis. 1 ≤ p < +∞.. Seja. O espaço vetorial das sequências. absolutamente p-. é dado por. ∞ X. ( `p =. (an )∞ n=1 : an ∈ K. n∈N. para todo. e. ) |an |p < ∞ ,. n=1 o qual se torna um espaço de Banach com a norma. k (an )∞ n=1. kp =. ∞ X. ! p1 |an |p. .. n=1. Denição 1.0.7.. O espaço vetorial das sequências limitadas é dado por. `∞. = (an )∞ n=1 : an ∈ K. para todo. n∈N. e. sup |an | < ∞ n∈N. o qual se torna um espaço de Banach com a norma. k (an )∞ n=1 k∞ = sup |an |. n∈N. Denição 1.0.8.. Um espaço métrico. M. é dito. separável. se contém um subconjunto denso e. enumerável.. Proposição 1.0.9. Um espaço normado E é separável se, e somente se, E possui um subconjunto enumerável A ⊂ E tal que span {A} é denso em E , onde span {A} denota o espaço gerado pelo conjunto A.. Demonstração:. Veja [3, Lema 1.6.3].. Denição 1.0.10.. Se. E. e. F. são espaços normados, denotamos o conjunto de todos os. operadores lineares e contínuos de. E. em. F. por. L(E, F ). que é um espaço vetorial com as. operações usuais de funções. Quando de. dual. de. F = K, denotamos simplesmente L(E, K) = E 0 ou L(E, K) = E ∗ , o qual é chamado. E.. Já o espaço. E 00 = (E 0 )0. é chamado de. bidual. de. E..

(14) 5. Proposição 1.0.11. Sejam E e F espaços normados. (a) A expressão kT k = sup kT (x)k x∈BE. dene uma norma no espaço L(E, F ).. (b) kT (x)k ≤ kT kkxk para todos T ∈ L(E, F ) e x ∈ E . (c) Se F for Banach, então L(E, F ) é um espaço Banach. Demonstração:. Veja [3, Proposição 2.1.4]. Corolário 1.0.12. O dual E 0 de qualquer espaço normado E é um espaço de Banach. Denição 1.0.13.. Dizemos que os espaços normados. operador linear contínuo e bijetor. T: E → F. E. T. F. são. isomorfos. cujo operador inverso. isomorsmo. T (x) ∈ F dizemos que T é um isomorsmo isométrico.. é contínuo. Neste caso, dizemos que. e. é um. E se. se existe um. T −1 : F → E. kxk = kT (x)k. para. também. x∈E. e. Teorema 1.0.14. Todo espaço normado separável é isometricamente isomorfo a algum subespaço de C[0, 1].. Demonstração:. Veja [3, Teorema 6.5.5].. Proposição 1.0.15. Seja 1 ≤ p < ∞. Então (a) Os espaços (`p )0 e `p0 são isometricamente isomorfos, onde p0 denota o isto é, p é tal que. conjudado. de p,. 0. 1 1 + = 1. p0 p. (b) Os espaços (c0 )0 e `1 são isometricamente isomorfos. Demonstração:. Veja [3, Proporsições 4.2.1 e 4.2.3].. Teorema 1.0.16 (Teorema de Baire). Seja (M, d) um espaço métrico completo e (Fn )∞ n=1 uma sequência de subconjuntos fechados de M tais que M = tem interior não vazio.. Demonstração:. Veja [3, Teorema 2.3.1].. ∞ [. n=1. Fn , então existe n0 ∈ N tal que Fn0.

(15) 6. Teorema 1.0.17. . Sejam E um espaço de Banach, F um. (Teorema de Banach-Steinhaus). espaço normado e (Ti )i∈I uma família de operadores em L(E, F ) tal que para cada x ∈ E existe Cx > 0 tal que sup kTi xk < Cx . i∈I. Então sup kTi k < ∞. i∈I. Demonstração:. Veja [3, Teorema 2.3.2].. Teorema 1.0.18. . Sejam E e F espaços de Banach e. (Teorema da Aplicação Aberta). T : E → F linear, contínuo e sobrejetor. Então T é uma aplicação aberta. Em particular,. todo operador linear contínuo e sobrejetor entre espaços de Banach é um isomorsmo.. Demonstração: Teorema 1.0.19. Veja [3, Teorema 2.4.2].. . Seja T : E → F um operador linear entre. (Teorema do Gráco Fechado). espaços de Banach. Então T é contínuo se, e somente se, o gráco Gr(T ) é fechado em E × F . Lembrando que Gr(T ) = {(x, y) : x ∈ E e y = T (x)} = {(x, T (x)) : x ∈ E} ⊆ E × F.. Demonstração:. Veja [3, Teorema 2.5.1].. Proposição 1.0.20. Sejam E e F espaços normados, com F completo. Seja D um subespaço denso de E e seja T ∈ L(D, F ). Então existe T˜ ∈ L(E, F ) tal que T˜|D = T e kT˜k = kT k.. Demonstração:. Dado. x ∈ E,. seja. (xn )∞ n=1. uma sequência em. D. que converge para. x.. Como. kT (xm ) − T (xn ) k ≤ kT kkxm − xn k e como. F. é completo, segue que a sequência. (T (xn ))∞ n=1. converge em. F.. Assim a aplicação. denida por. Te : E −→ F ; Te(x) = lim T (xn ) n→∞. está bem denida. Além disso, é fácil ver que. Te. é linear,. Te(x) = T (x). para todo. x∈D. e que. kTek = kT k.. Proposição 1.0.21. Para todo espaço normado E o operador denido por 00. JE : E −→ E ; JE (x)(ϕ) = ϕ(x). para todos x ∈ E e ϕ ∈ E 0 , é uma isometria linear, chamado de mergulho canônico de E em 00 E .. Demonstração:. Veja [3, Proposição 4.3.1]..

(16) 7. Denição 1.0.22. JE : E −→ E. 00. Dizemos que o espaço normado. for sobrejetor, ou seja,. E. é. reexivo. se o mergulho canônico. 00. JE (E) = E .. Denição 1.0.23. Seja T ∈ L(E, F ) um operador linear contínuo entre espaços normados. O operador. adjunto. de T é o operador T 0 : F 0 → E 0 dado por T 0 (ϕ) (x) = ϕ (T (x)) para todos x ∈ E e ϕ ∈ F 0 .. Proposição 1.0.24. Seja T ∈ L (E, F ). Então T 0 ∈ L (F 0 , E 0 ) e kT 0 k = kT k. Mais ainda, se T é isomorsmo (isométrico), T 0 também é isomorsmo (isométrico).. Demonstração:. Veja [3, Proposição 4.3.11].. Denição 1.0.25.. topologia fraca. A. ∞ quando a sequência (xn )n=1 de. num espaço normado. E,. será denotada por. σ (E, E 0 ). e. w. E convergir para x ∈ E na topologia fraca, escreveremos xn → x.. Proposição 1.0.26. Sejam E e F espaços de Banach. Então T : E −→ F é contínua se, e somente se, T é fracamente contínua, isto é, se T : (E, σ (E, E 0 )) → (F, σ (F, F 0 )) for contínuo.. Demonstração:. Veja [3, Proposição 6.2.9].. Teorema 1.0.27. Um espaço de Banach E é reexivo se, e somente se, a bola unitária BE é compacta na topologia fraca.. Demonstração:. Veja [3, Teorema 6.4.5].. Denição 1.0.28. Sejam E e F é. compacto. se. T (BE ). Denição 1.0.29.. espaços normados. Dizemos que o operador linear. é compacto em. Sejam. completamente contínuo. E. se. e. F w. F.. espaços de Banach e. xn → x. T : E −→ F. em. E. implicar que. T : E −→ F. linear. Dizemos que T é. T (xn ) −→ T (x). em. F.. Proposição 1.0.30. Sejam E e F espaços de Banach, E reexivo e T ∈ L (E, F ). Se T é completamente contínuo, então T é compacto.. Demonstração: (xn )∞ n=1 em. BE. Seja. (zn )∞ n=1. uma sequência de vetores não nulos em. por. xn = n ∈ N.. e dena a sequência. zn , kzn k. BE é fracamente compacta, w ∞ ∞ o que implica a existência de uma subsequência (xnk )k=1 de (xn )n=1 tal que xnk → x ∈ BE . w Mas por hipótese xnk → x em BE implica T (xnk ) → T (x) em F , logo T (BE ) é compacto. para todo. Portanto. T. Como. é compacto.. E. E. é reexivo, segue do Teorema 1.0.27 que.

(17) 8. Teorema 1.0.31. Sejam E e F espaços de Banach. Então T : E −→ F é um operador compacto se, e somente se, T 0 : F 0 −→ E 0 é compacto.. Demonstração:. Veja [3, Teorema 7.2.7]. Teorema 1.0.32 (Teorema de Ascoli). Seja K um espaço métrico compacto e A um subconjunto de C(K) . Então A é compacto se, e somente se, as sequintes condições são satisfeitas: (a). A é equicontínuo, isto é, para todo t0 ∈ K e ε > 0, existe δ > 0 tal que |f (t) − f (t0 )| < ε. para todos t ∈ K com d(t, t0 ) < δ e f ∈ A, (b). O conjunto {f (t); f ∈ A} é limitado em K para todo t ∈ K.. Demonstração:. Veja [9, Teorema III.2.1]..

(18) CAPÍTULO 2 Bases de Schauder em espaços de Banach. Antes de iniciarmos o estudo das bases de Schauder, faremos um breve apanhado sobre séries em espaços de Banach.. 2.1. Séries em espaços de Banach. Denição 2.1.1.. Seja. (xn )∞ n=1. uma sequência em um espaço normado. E.. Dizemos que. (xn )∞ n=1. é:. • somável. se a série. ∞ X. xn. é convergente.. n=1. • absolutamente somável. se. ∞ X. kxn k < ∞.. n=1. • incondicionalmente somável. ∞ X. xσ(n). é convergente para qualquer bijeção (permuta-. critério de Cauchy,. análogo ao da reta, para séries num espaço de. se. n=1 ção). σ : N −→ N.. É fácil ver que vale o. Banach. Mais precisamente, uma série. ∞ X. xn. é convergente se, e somente se, dado. ε > 0, existe. n=1. n0 ∈ N. tal que. m X. xj < ε,. sempre que. m > n ≥ n0 .. j=n. É claro que toda sequência incondicionalmente somável é também somável. Dirichlet provou em 1873 que, em. R, os conceitos de somabilidade absoluta e incondicional são equivalentes.. espaços de Banach, tal equivalência não é verdadeira. Vejamos um exemplo.. 9. Em.

(19) 10. Exemplo 2.1.2.. Seja. (en )∞ n=1. a sequência canônica de vetores unitários, isto é,. en = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .), n-ésima coordenada de en . en xn = , é incondicionalmente somável, n (xn )∞ n=1 não é absolutamente somável, pois. c0 ,. onde o 1 aparece apenas na. Vamos provar que, em. (xn )∞ n=1 , onde. mas não é absolutamente somável. É. claro que. ∞ X. kxn k∞. n=1. a sequência. ∞ X 1 = n n=1. a qual é divergente. Vejamos agora que qualquer. Como. σ. Chamando. é bijeção, para cada. max{n1 , . . . , nN } sn =. n X. (xn )∞ n=1 é incondicionalmente somável. Seja σ : N −→ N uma bijeção n X 1 sn = xσ(j) e considerando ε > 0, tome N ∈ N tal que < ε. N j=1. e. k ∈ {1, · · · , N }. existe. A = {1, . . . , n} − {n1 , . . . , nN },. nk. tal que. σ(nk ) = k .. segue que para. xσ(j) = xσ(1) + · · · + xσ(n) = xσ(n1 ) + · · · + xσ(nN ) +. j=1. X. Tomando. n ≥ n0 ,. xσ(j) = x1 + · · · + xN +. j∈A. Assim, para todo. n0 =. X. xσ(j) .. j∈A. n ≥ n0. ∞ . sn − 1 ≤ 1 < 1 < ε.. n n=1 ∞ N + 1 N. Considerando este exemplo, podemos questionar se, em qualquer espaço de Banach de dimensão innita, existe uma série incondicionalmente convergente que não é absolutamente convergente. Mais ainda, será que convergência incondicional implicar em convergência absoluta é exclusividade dos espaços de dimensão nita? A resposta é sim, e o Teorema de Dvoretzky-Rogers garante que toda série incondicionalmente convergente em um espaço de Banach. E. E. é absolutamente convergente se, e somente se,. tem dimensão nita. Não entraremos em detalhes, mas a demonstração deste resultado pode. ser encontrada em [4, Theorem 1.2] Mesmo assim, o resultado a seguir mostra que tais conceitos ainda estão fortemente relacionados.. Proposição 2.1.3. Um espaço normado E é um espaço de Banach se, e somente se, toda sequência absolutamente somável é incondicionalmente somável.. Demonstração:. Primeiramente, suponha que. cia absolutamente somável em. E.. yn =. yσ(n) ,. seja Banach e considere. Considerando. (yn )∞ n=1 é absolutamente somável em ∞ ∞ X X n=1. E. R,. yn = kxn k. para qualquer permutação. n=1. uma sequên-. n ∈ N,. a sequência. logo também é incondicionalmente somável em. σ : N −→ N.. Com isso. n=1 ∞ X. para cada. (xn )∞ n=1. kxσ(n) k =. ∞ X n=1. yσ(n) < ∞.. R. e.

(20) 11. Pn. ε > 0 dado, existe n0 ∈ N tal que. . m n m m X X. X X. . kSm − Sn k = xσ(j) − xσ(j) = xσ(j) ≤ kxσ(j) k < ε. . Então denindo. Sn =. j=1. xσ(j) ,. temos que para. j=1. j=1. m > n > n0 . !∞ n X (Sn )∞ xσ(j) n=1 =. j=n+1. j=n+1. sempre que Assim. j=1 convergente. Portanto Reciprocamente seja. 1 2. ε=. > 0,. dado. nk < · · ·. (xn )∞ n=1. k∈N. Com isso, para cada tais que. (xn )∞ n=1 existe. k ∈ N,. é uma sequência de Cauchy no espaço de Banach. (k). n0 ∈ N. tal que. podemos obter. −k. kxnk+1 − xnk k < 2 ∞ X. kxn − xm k < 2−k ,. nk ∈ N; nk >. o que implica que a série. para todos. E.. Assim para. (k). m, n > n0. (k) n0 e assim temos. .. n1 < n2 < · · · <. .. kxnk+1 − xnk k ≤. k=1 ∞ P. logo. n=1 é incondicionalmente somável.. uma sequência de Cauchy no espaço normado. Logo. E,. ∞ X. 2−k = 1. k=1. xnk+1 − xnk. . é absolutamente convergente, logo convergente.. k=1 Como. xnk+1 = xn1 +. k P. xnj+1 − xnj. . , então segue que a subsequência. (xnk )∞ k=1. de. (xn )∞ n=1. j=1 ∞ convergente. Como (xn )n=1 é de Cauchy e possui subsequência convergente, segue que é convergente, garantindo assim que. E. é. (xn )∞ n=1. é completo.. O resultado a seguir nos dá uma caracterização de sequências incondicionalmente somáveis em espaços de Banach.. Teorema 2.1.4. Para uma sequência (xn )∞ n=1 em um espaço de Banach E , são equivalentes: (xn )∞ n=1 é incondicionalmente somável.. (a). Para cada ε > 0, existe nε ∈ N tal que, quando M é um subconjunto nito de N com. (b). X . minM > nε , temos que xn < ε.. n∈M. ∞ (c) (xn )n=1. é. subsérie somável. , ou seja, a série. ∞ X. xkn é convergente para qualquer sequência. n=1. estritamente crescente de inteiros positivos (kn )∞ n=1 . ∞ (d) (xn )n=1. é. , ou seja, a série. sinal somável. εn ∈ {−1, 1}, n ∈ N. (e). ∞ X. εn xn é convergente quaisquer que sejam. n=1. O operador T : `∞ −→ E dado por T ((λn )∞ n=1 ) =. ∞ X. λn xn é contínuo.. n=1. Demonstração:. A prova de que o item (e) é equivalente aos demais não será feita aqui, mas. pode ser encontrada em [4, p. 12]. Vejamos as demais implicações..

(21) 12. (a). ⇒. (b): Seja. (xn )∞ n=1. incondicionalmente somável e suponha que (b) é falso, ou seja,. X . xn ≥ ε sempre que existe ε > 0 tal que para todo m ∈ N existe M ⊂ N nito tal que . n∈M. X . xn ≥ ε. min M > m . Assim, para m = 1, tome M1 ⊂ N nito tal que min M1 > 1 e . n∈M1. X . xn ≥ ε. Procedendo Para m = 2 tome M2 ⊂ N nito tal que min M2 > max M1 + 1 e . n∈M2. X . x n ≥ ε. desta forma, para n ∈ N tome Mn ⊂ N nito tal que min Mn > max Mn−1 + 1 e . n∈Mn. Denotando por. |Mn |. o número de elementos de. Mn ,. [min Mn , min Mn + |Mn |). leva cada inteiro do intervalo. tal bijeção pois o número de inteiros do intervalo. dena uma bijeção em. Mn .. σ : N −→ N. que. Note que é possível denir. [min Mn , min Mn + |Mn |). é igual. |Mn |. e os. intervalos são dois a dois disjuntos, o que também ocorre com os Mn . n P ∞ Considere a sequência (Sn )n=1 denida por Sn = xσ(k) , para todo n ∈ N, e vamos provar k=1 que ela não é de Cauchy. Para cada m ∈ N, podemos escolher algum dos Mn , com min Mn > m. X . xn ≥ ε.. e. Tomando. p = min Mn − 1. e. q = min Mn + |Mn | − 1,. temos. q ≥p+1>m. e. n∈Mn assim. q q . p X X P X. kSq − Sp k = xσ(k) − xσ(k) = xσ(k) = xk ≥ ε.. . k∈Mn k=1. Com isso. xσ(n). ∞. (b). nε. n=1. ⇒. (Sn )∞ n=1. k=1. k=p+1. não é de Cauchy, logo é divergente pois. E. é um espaço de Banach. Então. não é somável, o que é uma contradição.. (a): Sejam. σ : N −→ N. de acordo com (b).. {σ(1), . . . , σ(mε )}.. Para. Então existe. mε ∈ N. n P. xσ(k) . Dado ε > 0 tome k=1 sucientemente grande tal que {1, . . . , nε } ⊂. uma bijeção qualquer e. p, q ∈ N com q ≥ p + 1 ≥ mε. Sn =. temos que. σ(p + 1), σ(q) > mε. e portanto. q . X X . . kSq − Sp k = xσ(k) = xj < ε,. . j∈M0. k=p+1. onde. M0 = {σ(p + 1), . . . , σ(q)}.. Portanto. (Sn )∞ n=1. é uma sequência de Cauchy e segue o resul-. tado.. (b). ε,. ⇒. (c): Dado. sempre que. ε > 0,. min M > nε .. inteiros positivos temos. por hipótese existem Considerando. kn ≥ n. para todo. nε ∈ N. (kn )∞ n=1. n∈N. e. M ⊂N. nito tal que. X . xn <. n∈M uma sequência estritamente crescente de. e para. p, q ∈ N. tais que. q ≥ p + 1 > nε. temos.

(22) 13. kq ≥ q > nε. e. kp+1 ≥ p + 1 > nε .. Denindo então a sequência. Sn =. n P. xkj. segue que. j=1. q. q p X. X X . xk j = xkj = kxkp+1 + · · · + xkq k xkj − kSq − Sp k = . j=1 j=p+1 j=1. X. xkn < ε. =. n∈M0. onde. M0 = {kp+1 , . . . , kq }.. (xkn )∞ n=1 (c). (Sn )∞ n=1. Logo. é uma sequência de Cauchy.. Portanto a sequência. é somável.. ⇒. (d): Seja. n X. Sn =. εj xj. com. εj ∈ {−1, 1},. para todo. n ∈ N.. Considerando os con-. j=1. N + = {n ∈ N; εn = 1} e N − = {n ∈ N; εn = −1} ordenados de maneira crescente, segue X X ∞ hipótese de (xn )n=1 ser subsérie somável que as séries xn e xn são convergentes.. juntos da. Logo as sequências. (An ). e. (Bn ). são de Cauchy, onde. n∈N + n X. An =. n∈N −. xj. e. j=1 j∈N +. n ∈ N.. Assim, para cada. ε > 0,. existe. n+ ε ∈ N. Bn =. n X. xj ,. para todo. j=1 j∈N −. tal que. X ε q < . x kAq − Ap k = j. j=p+1 2 j∈N + sempre que. q > p > n+ ε. e existe. n− ε ∈ N. tal que. q. X ε kBq − Bp k = xj . < . j=p+1 2 j∈N − sempre que. q > p > n− ε.. Por m, tomando. − nε = max {n+ ε , nε }. temos. q. X. kSq − Sp k = εj xj = kεp+1 xp+1 + . . . + εq xq k. j=p+1. . . q q q. q X X X X. . = xj − xj ≤ xj + xj . j=p+1 j=p+1 j=p+1 j=p+1 j∈N + j∈N + j∈N − j∈N − ε ε < + = ε, 2 2 sempre que. q > p > nε .. Logo. (Sn ). é de Cauchy, implicando assim que a série. ∞ X n=1. convergente.. εn xn. é.

(23) 14. (d)⇒ (b): Por hipótese falso.. (xn )∞ n=1. é uma sequência sinal somável. Suponhamos que (b) seja. ∞ ε > 0 e uma sequência (Mk )k=1 de X . xn ≥ ε, para todo k ∈ N. > max Mk e . Então existem. min Mk+1. subconjuntos nitos de. N. tais que. n∈Mk. Dena a seguinte função. εn =.    1,. n∈. Mk. .. k=1.   Considere a sequência denida por. se. ∞ [. −1,. caso contrário. n X Sn = (1 + εj )xj. e para cada. m ∈ N,. tome. k∈N. tal que. j=1. m < min Mk .. p = min Mk e q = max Mk segue que p, q > m, mas. max M. X Xk. . 2xn ≥ 2ε. (1 + εj )xj = kSq − Sp k = . . Assim, para. n∈Mk. j=min Mk +1. ∞ Então (Sn )n=1 não é uma sequencia de Cauchy, logo diverge, pois ∞ ∞ X X. xn. isso,. n=1. εn x n. ou. E. é espaço de Banach. Com. é divergente (ou ambas), o que é um absurdo.. n=1. Corolário 2.1.5. Se (xn )∞ n=1 é uma sequência incondicionalmente somável em um espaço de Banach E , então para qualquer bijeção σ : N −→ N é verdade que ∞ X. xn =. n=1. Demonstração:. Como. (xn )∞ n=1. ∞ X. xσ(n) .. n=1. é uma sequência incondicionalmente somável, segue do Teo-. ε > 0, existe nε ∈ N tal que, se M ⊂ N é nito com min M > nε ,. X ε. então xn < . Tome q ∈ N sucientemente grande de tal forma que {1, . . . , nε } ⊂. 2 n∈M {σ(1), . . . , σ(nε ), . . . , σ(q)} e dena M0 = {1, . . . , q}−{σ(1), . . . , σ(q)} e M1 = {σ(1), . . . , σ(q)}−. rema 2.1.4(b) que para. {1, . . . , q}. Assim,. Portanto, fazendo. ∞ X n=1. q . q X X. X X. . x − x = x − x. n n n σ(n) . . n=1 n=1 n∈M0 n∈M1. . X X . ≤ xn + xn . . n∈M0 n∈M1 ε ε < + = ε. 2 2 ! q q q q X X X X q → ∞ em xn = xn − xσ(n) + xσ(n) , n=1. xσ (n).. n=1. n=1. n=1. segue que. ∞ X n=1. xn =.

(24) 15. 2.2. Bases em espaços de Banach. O conceito de base que trataremos no decorrer deste texto é o de base de Schauder, conceito este que não é o mesmo de base algébrica (de Hamel) de espaços vetoriais. E um dos motivos de geralmente não se trabalhar com bases algébricas em espaços de Banach de dimensão innita está justicado no resultado a seguir:. Proposição 2.2.1. Todo espaço de Banach com dimensão innita possui base algébrica (base de Hamel) não enumerável.. Demonstração:. E. Seja. um espaço de Banach com dimensão innita e suponhamos que exista. uma base algébrica enumerável. [v1 , . . . , vn ],. B = {vj ∈ E; j ∈ N}. isto é, o espaço vetorial gerado por. de. E.. v1 , . . . , vn .. n ∈ N, dena Fn = ∞ [ E = Fn , cada Fn é. Para cada Assim. n=1 subespaço próprio de. E. e fechado (pois tem dimensão nita).. Logo cada. vazio, mas isto é uma contradição devido ao Teorema de Baire, 1.0.16.. Fn. tem o interior. Portanto não existe. base algébrica enumerável em espaços de Banach de dimensão innita.. Denição 2.2.2. der. de. E. se cada. Uma sequência. x∈E. (xn )∞ n=1. no espaço de Banach. E. é chamada de. base de Schau-. pode ser representado de maneira única por. x=. ∞ X. an x n ,. n=1 onde. an ∈ K. para todo. ∗ funcionais lineares xn :. n ∈ N.. É fácil ver que tal unicidade nos permite denir, a sequência de. E −→ K. dada por. x∗n. ∞ X. ! aj x j. = an ,. j=1. n ∈ N.. Tais funcionais são chamados. funcionais coecientes. (ou funcionais coordenadas ou. ainda funcionais biortogonais associados).. A unicidade também garante o resultado a seguir.. Proposição 2.2.3. Se (xn )∞ n=1 é base de Schauder de um espaço de Banach E , então o conjunto {xn ∈ E; n ∈ N} é linearmente independente.. Demonstração:. Suponha que. k X. an xn = 0,. onde. k ∈ N.. Chamando. x=. k X. an x n ,. segue da. n=1 n=1 unicidade de representação que esta é a representação de x em termos da base de Schauder. ! k X ∗ ∗ ∗ Aplicando xj em x segue que aj = xj (x) = xj an xn = x∗j (0) = 0, para cada j = 1, . . . , k . n=1 Logo, {xn ∈ E; n ∈ N} é linearmente independente..

(25) 16. Exemplo 2.2.4.. A sequência dos vetores unitários canônicos. (en )∞ n=1. é base de Schauder de. c0 e `p , 1 ≤ p < ∞. Mostraremos primeiramente que (en )∞ n=1 é base de Schauder de c0 . Seja ∞ x = (xn )n=1 ∈ c0 . Como xn → 0, para ε > 0 dado, existe n0 ∈ N tal que k (xn )∞ n=1 k∞ < ε sempre que. n ≥ n0 .. n X. xj ej − x. j=1. Logo. ∞. ∞ X. Assim, para. n ≥ n0 ,. n X. ∞ = xj ej − (xj )j=1 . j=1. xn en = x. = k (0, 0, · · · , 0, xn+1 , xn+2 , · · · ) k∞ = sup |xj | < ε. j≥n+1. ∞. (en )∞ n=1. e daí. n=1 é base de Schauder de. (en )∞ n=1. Uma pergunta natural é se. é base de Schauder de. c0 .. De maneira análoga prova-se que. `p , 1 ≤ p < ∞. `∞. também possui base de Schauder. O próximo resultado nos. diz que ser separável é uma condição necessária para que um espaço de Banach tenha base de Schauder. Como. `∞. não é separável, então não possui base de Schauder.. Proposição 2.2.5. Todo espaço de Banach com base de Schauder é separável. Demonstração: der. (xn )∞ n=1 .. Seja. Seja. da convergência de. E. um espaço de Banach sobre o corpo K = R com base de Schau∞ X an xn , com (an )∞ E . Então x = n=1 ⊂ K. Dado ε > 0, segue n=1. ∞ X. x ∈ ∞ X. an x n. que existe. n0 ∈ N. tal que. n=n0. n=1. ( k X. ε. an x n < .. 2 +1. Claramente. ) qn xn ; qn ∈ Q, k ∈ N. é enumerável.. Seja. M = max{kx1 k, . . . , kxn0 k} > 0.. Da densi-. n=1 dade de. Q. em. R. segue que, para cada. n = 1, . . . , n0 ,. existe. qn ∈ Q. tal que. |an − qn | <. Assim,. ε . 2n0 M. n0 n0 n0 ∞. X X X X ε ε. q n xn ≤ |an − qn | kxn k + an x n < kxn k + ≤ ε. x −. 2n0 M 2 n=1 n=1 n=n +1 n=1 0. Logo. ( k X. K=C. ). qn xn ; qn ∈ Q, k ∈ N n=1 segue usando o conjunto. é denso em. Q + iQ. E,. concluindo assim que. ao invés de. Q. E. e sua densidade em. Vejamos que o espaço das funções contínuas denidas no intervalo Schauder. A existência de base de Schauder em. é separável. O caso. C[0, 1]. C.. [0, 1]. possui base de. será bastante útil na demonstração de. um dos resultados principais do Capítulo 3 e do Capítulo 4.. Exemplo 2.2.6 (Base de Faber-Schauder). Em C[0, 1] considere a sequência (xn )∞ n=0 de funções contínuas denidas por. x0 (t) = 1. e. x1 (t) = t. e, para. n ≥ 2,. considere o inteiro positivo. m. tal.

(26) 17. que. 2m−1 < n ≤ 2m e dena:  2n − 2  m  2 t− −1  m   2 2n − 1 xn (t) = m 1−2 t− −1   2m    0. Vamos provar que únicos escalares. (xn )∞ n=0. (an )∞ n=0. é base de Schauder de ∞ X. f=. tais que. an x n .. se se. 2n − 2 −1≤t< 2m 2n − 1 −1≤t< 2m. 2n − 1 ; 2m − 1 2n − 1; 2m. , caso contrário.. C[0, 1].. Para. f ∈ C[0, 1] queremos determinar. Para isso dena em. C[0, 1]. a sequência. (pn )∞ n=0. n=0. por. p0 = f (0)x0 , p1 = p0 + (f (1) − p0 (1)) x1 , 1 1 p 2 = p 1 + f ( ) − p 1 ( ) x2 , 2 2 1 1 p 3 = p 2 + f ( ) − p 2 ( ) x3 , 4 4 3 3 p 4 = p 3 + f ( ) − p 3 ( ) x4 , 4 4 1 1 p 5 = p 4 + f ( ) − p 4 ( ) x5 , 8 8 . . . Agora, como para qualquer no ponto. 0. t ∈ C[0, 1]. temos. p0 (t) = f (0)x0 (t) = f (0). então. p0. coincide com. f. e como. p1 (t) = p0 (t) + (f (1) − p0 (1)) x1 (t) = f (0) + (f (1) − f (0)) t então. p1. (0, f (0)). coincide com e. (1, f (1)).. f. nos ponto. 0. e. 1. e o seu gráco é o segmento de reta com extremidade. Com um raciocínio análogo verica-se que. p2. coincide com. f. nos pontos. 0, 1 e 21 e o seu gráco é a união dos segmentos de reta com extremidades em (0, f (0)) e 21 , f ( 12 ) 1 e em , f ( 21 ) e (1, f (1)). Continuando com este raciocínio para n ∈ N, temos que pn coincide 2 . com f nos n + 1 primeiros pontos do subconjunto D = 0, 1, 21 , 14 , 43 , 18 , 38 , 58 , · · · ⊂ [0, 1] e. . seu gráco é a justaposição dos segmentos de reta cujas abscissas das extremidades estão no conjunto. D. m, seja am o coeciente de xm na equação que dene pm . Então, n X pn = am xm . Como f ∈ C[0, 1] é uniformemente contínua segue. Para cada inteiro não negativo para cada que para. n ∈ N,. ε>0. teremos. dado, existe se. Considere. m∈N. m=0 tal que. δ>0. t1 , t2 ∈ [0, 1], |t1 − t2 | < δ. |f (t1 ) − f (t2 ) | <. ε . 2. δ < grande de modo que f e pn0 2 e tome n0 ∈ N sucientemente m 2 − 1 D = 0, 1, 21 , 14 , 43 , 18 , 83 , 58 , . . . , . Com isso, se t ∈ [0, 1], então 2m. tal que. coincidam no conjunto. 1 2m. então.

(27) 18. existe. k ∈ {1, . . . , 2m − 1}. tal que. |t −. k | 2m. < δ.. k 6= 2m ,. Logo, se. segue que.

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33) k

(34)

(35)

(36)

(37) k

(38) |f (t) − pn (t)| ≤

(39) f (t) − f − pn (t)

(40)

(41) +

(42) f

(43) m m 2 2

(44)

(45)

(46) k ε

(47) − pn (t)

(48)

(49) < +

(50)

(51) f m 2 2

(52)

(53)

(54) ε

(55)

(56) k

(57) = +

(58) pn − p (t) n

(59) 2 2m

(60)

(61) ε

(62)

(63) k k + 1

(64)

(65) ≤ +

(66) pn − pn 2 2m 2m

(67)

(68)

(69) k k + 1

(70)

(71) ε

(72)

(73) −f = +

(74) f 2 2m 2m

(75) < ε, n > n0 .. para todo. f k∞ = 0,. Se. k = 2m. o resultado segue de maneira similar. Portanto, ∞ X. ou seja, é válida a representação. f=. an x n .. n=0 Considere uma sequência de escalares ∞ X. Vejamos agora que tal representação é única. ∞ ∞ X X tal que. ∞ X. bn x n .. f =. (an − bn )xn (t) = 0. para todo. t ∈ [0, 1].. a0 = b 0 .. ∞ X a1 − b 1 = (an − bn )xn (1) = 0 cando. para todo. n=0 Para. n=0 implicando assim que. bn xn (t),. an xn (t) = f (t) =. Como. n=0. n=0. Com isso. t = 0,. ∞ X. temos. a0 − b 0 =. t ∈ [0, 1],. ∞ X. (bn )∞ n=1. temos que. (an − bn )xn (0) = 0,. n=0. (an − bn )xn (t) = 0. n=1 que implica. limn→∞ kpn −. a1 = b 1 .. Assim. ∞ X. t = 1,. temos. (an − bn )xn (t) = 0. e apli-. e, para. n=1 n=2 1 obtemos a2 = b2 . Procedendo com este raciocínio para os demais valores de 2 1 1 3 1 3 5 , , , , , , . . . , obtém-se an = bn para todo n ∈ N. 2 4 4 8 8 8. t =. t = 0, 1,. Nosso próximo objetivo é mostrar que os funcionais coecientes de uma base de Schauder são contínuos. Para isso precisaremos da seguinte denição e do seguinte lema.. Denição 2.2.7. por. VE. Dada uma base de Schauder. (xn )∞ n=1. do espaço de Banach. o espaço vetorial formado pela sequência de escalares. (an )∞ n=1. E,. denotaremos ∞ X. an x n. tais que a série. n=1 é convergente em. E.. Lema 2.2.8. Seja E um espaço de Banach com base de Schauder (xn )∞ n=1 . Então a função n. X. ηE : VE −→ R; ηE ((an )∞ ) = sup a x. j j n=1. n∈N j=1.

(76) 19. é uma norma em VE e (VE , ηE ) é um espaço de Banach. Além disso o operador TE : VE −→ E; TE ((an )∞ n=1 ) =. ∞ X. an x n. n=1. é um isomorsmo.. Demonstração:. Por simplicidade usaremos a notação. uma. n. X. aj x j = 0 . sup . n∈N. ηE ((an )) = 0 então. n. X. aj xj = 0. Daí an xn = 0. (i) Se. (an )∞ n=1 = (an ). e vamos provar que. η. é. norma: Logo dado. n ∈ N. temos. 0 ≤ kan xn k ≤. j=1. e como. xn 6= 0. segue que. an = 0.. Como. n∈N. é arbitrário segue. j=1. que. (an ). é nula. Por outro lado, é claro que se. (an ). é nula, então. ηE ((an )) = 0.. λ ∈ K temos que. n n. X. X. aj xj = |λ|ηE ((an )) ηE (λ(an )) = sup λaj xj = |λ| sup . n∈N n∈N . (ii) Para. j=1. j=1. (iii) Para todo. (an ), (bn ) ∈ VE. temos. n X. ηE ((an ) + (bn )) = sup (aj + bj )xj . n∈N j=1. n n X. X. ≤ sup aj xj + sup bj x j n∈N . n∈N j=1. j=1. = ηE ((an )) + ηE ((bn )) . Vejamos agora que Cauchy em. VE ,. VE. é um espaço de Banach. Seja. yn = (ank )∞ k=1 ,. ∞. n ∞ (yn )∞ n=1 = ((ak )k=1 )n=1. uma sequência de. n ∈ N. Assim,. n n−1 X. X. |akn − ajn |kxn k = k(akn − ajn )xn k = (aki − aji )xi − (aki − aji )xi . n i=1 n−1 i=1 X X. . ≤ (aki − aji )xi + (aki − aji )xi . . i=1. i=1 . n n−1 X. X. ≤ sup (aki − aji )xi + sup (aki − aji )xi . n n onde. para cada. i=1. i=1. = 2ηE (yk − yj ) e assim. ε > 0. |akn − ajn | ≤ dado, existe. k, j ≥ jε em. K,. segue que. 2ηE (yk − yj ) , kxn k jε ∈ N. para cada. tal que se. k, j ≥ jε. Como. temos. (yj )∞ j=1. é de Cauchy em. ηE (yk − yj ) <. kxn k ε. 2. VE ,. para. Logo, para. 2ηE (yk − yj ) < ε, concluindo assim que (akn )∞ k=1 é de Cauchy kxn k k cada n ∈ N, digamos que an → an quando k → ∞. Denindo. |akn − ajn | ≤. logo convergente. Para. n ∈ N..

(77) 20. y = (an )∞ n=1. , vejamos que. y ∈ VE. e que. (yj )∞ j=1. ∞ fato de (yn )n=1 ser de Cauchy, segue que existe. converge para. nε ∈ N. tal que. y. em. VE .. Novamente pelo. ηE (yk − yj ) <. ε , 4. sempre que. n ε X. j k k, j ≥ nε Assim, (ai − ai )xi < , para todo n ∈ N e k, j ≥ nε e, fazendo k → ∞, segue 4. i=1. n X ε. que (ai − aji )xi ≤ , para todo n ∈ N e todo j ≥ nε . Em particular, para m, n ∈ N, com. 4 i=1 m > n, temos. . n m m ε ε X X X ε. . nε nε nε (ai − ai )xi ≤ (ai − ai )xi + (ai − ai )xi ≤ + = .. 4 4 . 2 Como. ynε =. i=1. i=1. i=n+1. (ank ε )∞ k=1. ∈ VE ,. existe. n0 ∈ N. tal que. m. X ε. nε ai x i < ,. 2 i=n. sempre que. m > n ≥ n0 .. m > n ≥ n0 , segue que. m m m n. X X X X. . nε nε (ai + ai − ai )xi ai x i = ai x i − ai x i = . . i=n+1 i=n+1 i=1 i=1. . m m X X. nε nε ≤ (ai − ai )xi + ai x i . . i=n+1 i=n+1 ε ε < + = ε, 2 2 ! ∞ n X concluindo assim que ai x i é de Cauchy em E e, portanto, convergente. Assim y = i=1 n=1 m. X. ε. n ∞ (an )n=1 ∈ VE e ηE (yn − y) = sup (ai − ai )xi ≤ < ε, sempre que n ≥ nε . Portanto,. 4 m i=1 yn → y , concluindo assim que (VE , ηE ) é completo. ∞ X Finalmente vejamos que a aplicação TE : VE −→ E ; TE ((an )) = an xn é um isomorsmo. Logo, para. n=1 Para. (an ), (bn ) ∈ VE. e. λ ∈ K,. temos. TE ((an ) + λ(bn )) = =. ∞ X n=1 ∞ X. (an + λbn )xn =. TE. Agora se. (an xn + λbn xn ). n=1. an x n +. n=1 ou seja,. ∞ X. ∞ X. λbn xn = TE ((an )) + λTE ((bn )) ,. n=1. é linear.. (an ), (bn ) ∈ VE. (devido a. (xn )∞ n=1. para todo. x∈E. são distintos tem-se. TE ((an )) =. ∞ X. an xn 6=. n=1 ser base de Schauder), logo. existe. (an ) ∈ VE. tal que. x=. TE ∞ X. bn xn = TE ((bn )). n=1. é injetor. É claro que. an xn = TE ((an )).. ∞ X. TE. é sobrejetor, pois. Agora, como. n=1. ∞ n n X. X. X. kTE ((an )) k = an xn = lim ai xi ≤ sup ai xi = ηE ((an )). n→∞ n∈N . n=1. i=1. i=1.

(78) 21. segue que. TE. é contínua e do Teorema da Aplicação Aberta (Teorema 1.0.18) segue que. TE. é. −1 uma aplicação aberta. Portanto TE é contínua.. Denição 2.2.9.. (xn )∞ n=1. Sejam. e. (yn )∞ n=1. bases de Schauder dos espaços de Banach. equivalente à. ∞ respectivamente. Dizemos que a sequência (xn )n=1 é ∞ (xn )∞ n=1 ≈ (yn )n=1 , se para qualquer sequência de escalares ∞ X. an xn. é convergente se, somente se,. n=1. ∞ X. (an )∞ n=1 an y n é. E. e. F,. (yn )∞ n=1 e representamos por temos que. convergente.. n=1. Não é difícil provar que vale a seguinte caracterização para sequências equivalentes (veja [3, Teorema 10.3.11]):. ∞ Teorema 2.2.10. Sejam (xn )∞ n=1 e (yn )n=1 bases de Schauder dos espaços de Banach E e F, ∞ respectivamente. Então (xn )∞ n=1 ≈ (yn )n=1 se, e somente se, existe um isomorsmo T : E → F tal que T (xn ) = yn , para todo n ∈ N.. Teorema 2.2.11. Os funcionais coecientes da base de Schauder (xn )∞ n=1 de um espaço de Banach E são contínuos.. Demonstração: n∈N. ∞ Sejam (an )n=1. ∈. e cada funcional coeciente. VE e TE ((an )∞ n=1 ). x∗n ∈ E 0. =. ∞ X. an xn = x ∈ E.. Assim, para cada. n=1 é verdade que. n n−1 X. X. ∗ ∗ |xn (x)|kxn k = kxn (x)xn k = kan xn k = ai x i − ai xi . i=1 i=1 n n−1 n X X X. . ≤ ai x i + ai xi ≤ 2 sup ai x i . . n∈N i=1 i=1 i=1 −1 = 2ηE ((an )∞ n ) = 2ηE (TE ) (x) ≤ 2kTE−1 kkxk. Ou seja,. |x∗n (x)| ≤. Denição 2.2.12.. 2kTE−1 k kxk kxn k. Seja. E. para todo. x ∈ E.. Logo. x∗n. é contínuo.. um espaço de Banach com base de Schauder. (xn )∞ n=1 .. Considere a. ∞ sequência de operadores (Pn )n=1 dada por. Pn : E −→ E; Pn (x) = Pn. ∞ X j=1. onde. x=. ∞ X j=1. aj x j ∈ E .. Os. Pn. são chamados de. ! aj x j. =. n X. aj x j ,. j=1. projeções canônicas. associadas a base. (xn )∞ n=1 ..

(79) 22. Observação 2.2.13. Note que kPn k ≥ 1, para cada n ∈ N. De fato, . x 1 n. kPn k = sup kPn (x)k ≥ Pn kxn k = kxn k kPn (xn )k kxk≤1. n. 1 1 . X ∗ = xj (xn )xj = kxn k = 1.. kxn k kxn k j=1 ∞ Proposição 2.2.14. As projeções canônicas (Pn )∞ n=1 associadas a base de Schauder (xn )n=1 do. espaço de Banach E são contínuas.. Demonstração:. x=. Seja. ∞ X. an x n ∈ E .. Para cada. j ∈ N e cada xj ∈ E. dena. x∗j ⊗ xj : E −→. n=1. E por x∗j ⊗xj (x) = x∗j (x) xj . Note que x∗j ⊗xj = ij ◦x∗j , onde ij : K −→ E é dada por ij (a) = axj , para todo. a ∈ K, j ∈ N.. para todo. x∈E. Como ij e. x∗j. ∞ X. ! an x n. =. n=1. Pn =. é contínua. Além disso,. temos que. Pn (x) = Pn. Ou seja. x∗j ⊗ xj. são contínuas, segue que. n X. x∗j ⊗ xj ,. n X. aj x j =. j=1. Pn. concluindo que. n X. x∗j (x)xj. =. j=1. n X. x∗j ⊗ xj (x) .. j=1. é contínua.. j=1. Observação 2.2.15.. x∗j ⊗ xj : E −→ E denida na demonstração ∗ ∗ tem-se também que xj ⊗ xj = xj kxj k, pois. Além da aplicação. posição 2.2.14 acima ser contínua,. da Pro-. ∗.

(80)

(81) xj ⊗ xj = sup x∗j ⊗ xj (x) = sup x∗j (x)xj = sup

(82) x∗j (x)

(83) kxj k = x∗j kxj k . kxk≤1. kxk≤1. kxk≤1. Proposição 2.2.16. Sejam (Pn )∞ n=1 as projeções canônicas associadas a base de Schauder (xn )∞ n=1 do espaço de Banach E . Então sup kPn k < ∞. n. Demonstração: n X j=1 cada. Para cada. x=. ∞ X. an x n ∈ E ,. como. Pn. n=1. !∞ aj x j. converge para. x,. !. ∞ X. an x n. =. n=1. segue que a sequência. n X. aj x j. e a sequência. j=1. (kPn (x)k)∞ n=1. é limitada.. Logo, para. n=1. x ∈ E , supn∈N (kPn (x)k) < ∞.. de Banach-Steinhauss que. Como. E. é Banach e cada. Pn. é contínua segue do Teorema. sup kPn k < ∞. n. ∞ Denição 2.2.17. Sejam (Pn )∞ n=1 as projeções canônicas associadas a base de Schauder (xn )n=1 do espaço de Banach. E.. O número. sup kPn k. é chamado de. n denotado por. constante da base (xn )∞ n=1. e é. K(xn )∞ . n=1. ∗ ∞ Teorema 2.2.18. Sejam (xn )∞ n=1 uma base de Schauder de um espaço de Banach E e (xn )n=1. seus funcionais coecientes. Então, para todo k ∈ N,.

(84) 23. 1 ≤ kx∗k kkxk k ≤ 2K(xn )∞ . n=1. Demonstração:. Considerando as projeções canônicas. (Pn )∞ n=1. associadas a base de Schauder. (xn )∞ n=1 , segue que. k k−1. X X. x∗j ⊗ xj − x∗j ⊗ xj 1 = kx∗k (xk )k ≤ kx∗k k kxk k = kx∗k ⊗ xk k = . j=1 j=1. . k−1 k. X X. x∗j ⊗ xj = kPk k + kPk−1 k ≤ 2 sup kPn k = 2K(xn )∞ . x∗j ⊗ xj + ≤ n=1. . n j=1. j=1. ∞ Corolário 2.2.19. Sejam (x∗n )∞ n=1 os funcionais coecientes da base de Schauder (xn )n=1 de. um espaço de Banach E . Então,. (a). sup kxn k < ∞ se, e somente se, inf kx∗n k > 0. n∈N. n∈N. (b). inf kxn k > 0 se, e somente se, sup kx∗n k < ∞ .. n∈N. n∈N. Demonstração: 2K(xn )∞ n=1. Faremos o caso (a), pois (b) segue de maneira similar.. segue do Teorema anterior que. suponha que. sup kxn k < ∞.. Assim,. n∈N. 1 ≤ kx∗k k sup kxn k. 1 ≤ kx∗k kkxk k ≤ K ,. para todo. 1 ≤ kx∗k k sup kxn k < ∞,. Chamando. k ∈ N.. para todo. K =. Primeiramente. k ∈ N.. Logo. 0 <. n∈N. k∈N. para todo. e segue da denição de ínmo que. n∈N. 0<. 1 ≤ inf kx∗n k. sup kxn k n∈N n∈N. Reciprocamente, temos que. kxk k ≤ ∞.. K inf. n∈N. kx∗n k. , para todo. Denição 2.2.20. 0. E,. i, j ∈ N,. n∈N. k ∈ N.. e como. Da denição de supremo segue que. sup kxn k ≤. segue que. K inf kx∗n k. <. n∈N. Sejam. E. ∗ ∞ Dizemos que (yn , yn )n=1 é um. onde. (yn )∞ n=1. um espaço de Banach e. δij = 0. se. i 6= j. e. δij = 1. e. (yn∗ )∞ n=1. sistema biortogonal. se. i = j.. Pn : E −→ E; Pn (x) =. n X. yj∗ (x)yj. j=1. projeções canônicas. do sistema biortogonal. sequências em. ∗ se yi (yj ). = δij. Neste caso, as funções. dadas por. são chamadas. inf kx∗n k > 0,. n∈N. n∈N. respectivamente.. quaisquer. kxk k inf kx∗n k ≤ kx∗k kkxk k ≤ K. (yn , yn∗ )∞ n=1 .. E. e. para. (Pn )∞ n=1 ,.

(85) 24. Exemplo 2.2.21. (x∗n )∞ n=1. Claramente, se. (xn )∞ n=1. é a sequência dos seus funcionais coecientes,. biortogonal.. Mais ainda, se. (xn , yn∗ )∞ n=1. n ∈ N. De fato, como x∗n e yn∗ ∞ X para x = aj xj ∈ E , temos. para todo então. é base de Schauder de um espaço de Banach. ∗ ∞ então (xn , xn )n=1. x∗n (xj ) = δnj = yn∗ (xj ). e. é um sistema. x∗n = yn∗. também é um sistema biortogonal, então. são tais que. E. para todo. n, j ∈ N,. j=1 ∞ X. x∗n (x) = x∗n. ! aj x j. =. j=1 Logo. x∗n = yn∗ ,. ∞ X. aj x∗n (xj ) =. j=1. para todo. ∞ X. aj δnj =. j=1. ∞ X. aj yn∗ (xj ) = yn∗. j=1. ∞ X. ! aj x j. = yn∗ (x).. j=1. n ∈ N.. Teorema 2.2.22. Seja (xn , x∗n )∞ n=1 um sistema biortogonal em um espaço de Banach E e con∗ ∞ sidere (Pn )∞ n=1 as projeções associadas a (xn , xn )n=1 . As seguintes armações são equivalentes: (a). (b). (c). (xn )∞ n=1 é base de Schauder de E ; lim Pn (x) = x para todo x ∈ E ;. n→∞. [xn ; n ∈ N] = E e sup kPn (x)k < ∞ para todo x ∈ E ; n∈N. (d). [xn ; n ∈ N] = E e sup kPn k < ∞. n∈N. Demonstração: ∗ ∞ (xn )∞ n=1 é base de Schauder de E , segue do Exemplo 2.2.21 que, (xn )n=1 ∞ n X X é a sequência dos seus funcionais coecientes. Logo x = x∗j (x)xj e Pn (x) = x∗j (x)xj .. (a)⇒(b): Seja. x ∈ E.. Como. j=1. j=1. Portanto,. lim Pn (x) = lim. n→∞. (b)⇒(c): Claramente. [xn ; n ∈ N] ⊂ E .. Seja. lim. n→∞. e como. n→∞. n X. x∗j (x)xj = x.. j=1. De (b) segue que. x∗j (x)xj = lim Pn (x) = x, n→∞. j=1. (Pn (x))∞ n=1 ⊂ [xn ; n ∈ N],. (logo limitada), segue que. x ∈ E.. n X. temos. x ∈ [xn ; n ∈ N].. Como. (Pn (x))∞ n=1. é convergente. sup kPn (x)k < ∞. n∈N. (c)⇒(d): É consequência imediata do Teorema de Banach-Steinhaus aplicado para a sequência de operadores. (Pn )∞ n=1 ..

(86) 25. (d)⇒(a): A hipótese de (d) garante que o conjunto. D=. ( m X. ) aj xj ; m ∈ N, aj ∈ K, j = 1, . . . , m. j=1. é denso em. E.. Assim para. m X. aj x j = y m ∈ D ,. se. n≥m. temos que. j=1. Pn (ym ) =. n X. x∗j (ym )xj. j=1. =. m X. x∗i (ym )xj. n X. +. i=1. x∗j (ym )xj. m X. =. j=m+1. aj xj + 0 = ym .. j=1. lim Pn (ym ) = ym . Agora, sejam z ∈ E e ε > 0. Da densidade de D, existe y ∈ D ε tal que kz − yk < . Além disso, segue do que vimos acima que existe n0 ∈ N 1 + sup kPn k Logo. n→∞. tal que para. n ≥ n0 ,. n∈N temos. Pn (y) = y .. Logo, para todo. n ≥ n0 ,. é verdade que. kPn (z) − zk = kPn (z) − Pn (y) + Pn (y) − y + y − zk ≤ kPn (z) − Pn (y)k + kPn (y) − yk + ky − zk = kPn (z − y)k + kz − yk ≤ kPn kkz − yk + kz − yk = (kPn k + 1) kz − yk ≤ sup kPj k + 1 kz − yk j∈N. < ε. Portanto,. lim Pn (z) = z,. n→∞. para todo. z∈E. z = lim Pn (z) = lim n→∞. Note ainda que a representação. ∞ X. n X. n→∞. z =. e, além disso,. ∞ X. x∗j (z)xj =. ∞ X. x∗n (z)xn .. n=1. j=1. x∗n (z)xn é única, pois se. z =. n=1. (x∗n (z) − bn )xn = 0.. Logo, para cada. ∞ X. bn x n. n=1. j ∈ N,. temos. n=1. x∗j (z) − bj =. ∞ X. (x∗n (z) − bn )x∗j (xn ) = x∗j. n=1 e, consequentemente,. x∗j (z) = bj ,. ∞ X. ! (x∗n (z) − bn )xn. = x∗j (0) = 0. n=1 para todo. j ∈ N.. Corolário 2.2.23. Se (xn , x∗n )∞ n=1 é um sistema biortogonal no espaço de Banach E e sup kPn k < ∞, n∈N. então. (xn )∞ n=1. é uma base de Schauder de um subespaço fechado de E .. então.

(87) 26. Demonstração:. Considere o subespaço fechado de. (xn , x∗n )∞ n=1 é um sistema biortogonal de ∗ ∞ adas a (xn , xn )n=1 em F . Além disso,. F. E. dado por. F = [xn ; n ∈ N].. sup kPn |F k ≤ sup kPn k < ∞. n∈N Logo, segue do Teorema 2.2.22(d) que. Claramente. ∞ com (Pn |F )n=1 sendo as projeções canônicas associ-. n∈N. (xn )∞ n=1. é base de Schauder de. F..

(88) CAPÍTULO 3 Sequências básicas em Espaços de Banach. Vimos no capítulo anterior que todo espaço de Banach com base de Schauder é separável. Um problema que permaneceu em aberto por vários anos é se a recíproca deste resultado é verdadeira.. Este problema, além do interesse por se tratar de um problema importante da. Análise Funcional, também cou conhecido por uma história curiosa. Nos anos de 1930 e 1940, Banach e outros matemáticos tinham o hábito de se reunirem em um bar (o Scottish Café) para, dentre outras coisas, discutirem matemática. Eles usavam um livro cedido pela esposa de Banach e que cava no bar (o qual cou conhecido como. Scottish Book). para escreverem. problemas interessantes de matemática (principalmente de Análise Funcional e Topologia) e suas soluções. Geralmente, aos problemas propostos mas não resolvidos, eram oferecidos prêmios, tais como uma garrafa de vinho ou de conhaque. Mas o problema de número 153 do livro, que é justamente a pergunta sobre a validade da recíproca acima, foi proposto por Mazur, em 1936 e oferecido um ganso vivo para quem solucionasse o problema. Em um artigo de 1973, P. Eno mostrou que a recíproca é falsa, ou seja, existem espaços de Banach separáveis que não possuem base de Schauder. De fato, Eno provou mais do que isso, ele construiu um espaço de Banach reexivo e separável que não tem a propriedade da aproximação e não possui base de Schauder, respondendo também negativamente à questão de que todo espaço de Banach tem a propriedade da aproximação. A demonstração de Eno utiliza propriedades de simetria em espaços de dimensão alta e técnicas avançadas de combinatória, assuntos esses que fogem do escopo deste trabalho.. Para um leitor interessado, sugerimos a. leitura do trabalho original de Eno, em [6]. Quanto a premiação, Eno viajou a Varsóvia e recebeu o ganso das mãos do próprio Mazur, o qual foi feito em um jantar naquele mesmo dia.. Voltando à matemática, um resultado mais fraco, porém bastante importante, é verdadeiro:. Todo espaço de Banach de dimensão innita contém um subespaço de dimensão innita com base de Schauder. 27.

(89) 28. Neste capítulo, o principal resultado a ser provado é o princípio de seleção de BessagaPelczynski e, como uma das aplicações do princípio de seleção, provaremos o resultado enunciado acima.. Faremos também, neste capítulo, um estudo sobre bases incondicionais e sequências. básicas incondicionais. Começamos com o conceito de sequência básica.. Denição 3.0.24. de Schauder de. Uma sequência. span {xn ; n ∈ N},. (xn )∞ n=1. onde. em. E. é dita. sequência básica. quando. (xn )∞ n=1. é base. span A denota o espaço gerado por A.. Note que o Corolário 2.2.23 pode ser reescrito da seguinte forma:. "Se (xn , x∗n )∞ n=1 é um sistema biortogonal no espaço de Banach E e sup kPn k < ∞, então n∈N. (xn )∞ n=1 é uma sequência básica em E .". O resultado a seguir nos dá uma caracterização útil na decisão de que uma sequência num espaço de Banach é ou não básica.. Teorema 3.0.25. (Critério de Banach-Grunblum) Seja E um espaço de Banach e (xn )∞ n=1 uma sequência de vetores não-nulos em E . Então (xn )∞ n=1 é uma sequência básica se, e somente se, existe M > 0 tal que se n ≥ m, então m. n. X. X. aj x j ≤ M aj x j ,. j=1. j=1. para qualquer sequência de escalares (an )∞ n=1 .. Demonstração:. Para a implicação direta, suponha que. (xn )∞ n=1. é uma sequência básica em. ∞ Assim, (xn )n=1 é base de Schauder de. E.. span {xn ; n ∈ N}. Considerando (x∗n )∞ n=1 como a sequên∞ ∗ ∞ cia dos funcionais coecientes de (xn )n=1 , segue que (xn , xn )n=1 é um sistema biortogonal em span {xn ; n ∈ N}. Logo, segue do Teorema 2.2.22(b) que a sequência (Pn (x))∞ n=1 converge em ∞ span {xn ; n ∈ N}, qualquer que seja x ∈ span {xn ; n ∈ N}, onde (Pn )n=1 são as projeções canô∗ ∞ nicas de ((xn , xn ))n=1 . Pelo mesmo resultado (agora usando (d)) segue que M := sup kPn k < ∞. n∈N ∞ Assim, para toda sequência de escalares (an )n=1 e para n ≥ m, temos que Pm. n X. ! ai x i. =. n X. i=1. ai Pm (xi ) =. i=1. =. n X i=1. =. n X. ai. m X j=1. n X. ai. i=1 j=1 n X m X. δij xi =. n ≥ m,. ai δij xi. (ai δi1 xi + . . . + ai δim xi ) =. m X. ai x i .. i=1. temos que. m X . a x. i i = Pm. i=1. x∗j (xi )xi. i=1 j=1. i=1 Então, para. m X. n X i=1. ! n n. X. X. ai xi ≤ kPm k ai x i ≤ M ai x i .. i=1. i=1.

(90) 29. Agora vejamos a recíproca. Seja de Schauder de induzida de sejam. n∈N. F = span {xn ; n ∈ N}.. F = span {xn ; n ∈ N} ⊂ E. E ).. Vejamos primeiro que. e uma sequência. (ai )∞ i=1. Devemos mostrar que. (aqui estamos considerando. {xn ; n ∈ N}. F. F. e. (xn )∞ n=1. com a norma. é linearmente independente. n X. ai xi = 0.. de escalares qualquer com. é base. Para. Para isso,. m=1. vale. i=1. n X. 0 ≤ ka1 x1 k ≤ M aj x j = 0. j=1. e, consequentemente,. a1 = 0,. pois. x1 6= 0.. m=2. Para. segue que. n X. 0 ≤ ka2 x2 k = ka1 x1 + a2 x2 k ≤ M aj xj = 0,. j=1. donde obtém-se. a1 = 0.. a2 = 0.. Portanto. Continuando com esse procedimento até. {xn ; n ∈ N}. Agora vejamos que cada Considere, para cada. obtém-se. o funcional linear. é escrito de maneira única como. x∗n : F −→ K. k X. ! aj x j. = an. k X. Tn. e. j=1. e a transformação linear. se. n≤k. j=1. k X. ! aj x j. =0. e. Tn. j=1. n > k,. =. n X. aj x j ,. j=1. e. x∗n se. ! aj x j. onde. k X. ! aj x j. j=1. =. n X. aj x j ,. j=1. ak+1 = · · · = an = 0.. Assim, segue da hipótese que se. n ≤ k,. então. ! n k k. X. X. X. . T a x = a x ≤ M a x n. j j j j j j .. . j=1. e se. n > k,. j=1. j=1. então. ! k k. X. X. . aj x j = aj x j . Tn. . j=1. j=1. Pelas duas relações acima, concluíimos que. kTn k = sup kTn (x)k ≤ sup max{M kxk, kxk} = max{M, 1}. kxk≤1. Chamando. C = max{M, 1},. segue que. kxk≤1. kTn k ≤ C ,. x=. ∞ X. an x n .. n=1. por:. x∗n. an = · · · =. é linearmente independente.. x ∈ span {xn ; n ∈ N}. n ∈ N,. m=n. ou seja, cada. Tn. é contínua.. Tn. dados.

(91) 30. Note que se. n ≤ k,. então para todo. x ∈ F, x =. n X. ai x i ,. temos. i=1. n n−1 X. X. ∗ ai x i − |xn (x)|kxn k = |an |kxn k = ai x i . i=1. i=1. . n n−1 n. X X X. . ai x i ai xi ≤ 2M ai x i + ≤. . i=1. i=1. i=1. = 2M kxk. Logo. |x∗n (x)| ≤ garantindo assim que. x∗n. são espaços de Banach e. 2M kxk, kxn k. também é contínua. E como os contradomínios. F. é denso em. F,. de. x∗n. da Proposição 1.0.20 segue que, para cada. ∗ únicas extensões lineares e contínuas fn e Rn de xn e e. K. e. F. de. Tn. n existem. Tn , respectivamente, tais que kx∗n k. = kfn k. kTn k = kRn k. Agora é fácil ver que, como. Tn (z) =. n X. x∗i (z)xi ,. i=1 para todo. z ∈ F,. então segue da unicidade das extensões que. Rn (x) =. n X. fi (x)xi ,. i=1 para todo. x ∈ F.. E agora dados. x∈F. e. ε > 0, como F. é denso em. F , existe y =. m X. aj xj ∈ span {xn ; n ∈ N}. i=1 tal que. kx − yk < Assim, para todo. n > m,. ε . 1 + kTn k. temos. kx − Rn (x)k = kx − y + y − Rn (y) + Rn (y) − Rn (x)k ≤ kx − yk + ky − Rn (y)k + kRn (y) − Rn (x)k ≤ kx − yk + ky − yk + kRn kkx − yk ≤ (1 + kRn k)kx − yk ε < (1 + kRn k) 1 + kTn k ε = (1 + kTn k) = ε, 1 + kTn k e, portanto,. x = lim Rn (x) = lim n→∞. n→∞. n X i=1. fi (x)xi =. ∞ X i=1. fi (x)xi .. (3.1).