Aula 09 - Geometria Espacial (Poliedros e Prismas)

(1)

Geometria Espacial

(2)

ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 – Poliedros 1.5 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM

A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA

Capítulo 23 – Poliedros

Superfície poliédrica fechada

É uma superfície poliédrica fechada.

Não é uma superfície poliédrica

fechada.

23.1

Uma superfície poliédrica fechada é composta de um número finito (quatro ou mais) de superfícies poligonais planas, de modo que cada lado de uma dessas superfícies coincida com apenas um lado de alguma das outras

(3)

Poliedro

a) b) c)

É chamado de poliedro o sólido geométrico formado pela reunião de uma superfície poliédrica fechada com todos os pontos do espaço delimitados por ela.

(4)

Elementos de um poliedro

23.3 face aresta vértice

(5)

Nomenclatura de um poliedro

 Um poliedro costuma ser nomeado de acordo com seu número de faces.

“várias” “face”

(6)

Nomenclatura de um poliedro

Exemplos a) hexaedro 6 faces 8 vértices 12 arestas b) tetradecaedro 14 faces 16 vértices 28 arestas c) dodecaedro 12 faces 20 vértices 30 arestas 23.4

(7)

Nomes de poliedros estudados

com maior frequência

Número

de faces 4 5 6 7

Nome do

poliedro tetraedro pentaedro hexaedro heptaedro

Número de faces Nome do

poliedro

8 12 20

(8)

Se cada plano que contém uma face de um poliedro posiciona as demais faces em um mesmo semiespaço, então o poliedro é convexo; caso contrário, é não

convexo (ou côncavo).

Poliedro convexo e poliedro não convexo

Observação:

Um plano  divide o espaço em dois semiespaços de mesma origem .

(9)

Poliedros convexos Poliedros não convexos

Poliedro convexo e poliedro não convexo

(10)

Relação de Euler

V + F – A = 2

número de

vértices número de faces

número de arestas

23.6

(11)

Poliedro V F A V + F V + F − 2

Relação de Euler

Observe que a relação de Euler é válida para os poliedros abaixo.

8 6 12 14 12

6 6 10 12 10

(12)

Exercício

1. Obter o número de arestas de um poliedro convexo que

tem 6 faces e 8 vértices.

Resolução

Como a relação de Euler é válida para todos os poliedros convexos, temos:

V + F – 2 = A  A = 8 + 6 – 2  A = 12

Portanto, esse poliedro convexo tem 12 arestas.

(13)

Exercício

2. Quantos vértices tem um poliedro convexo com 4 faces

triangulares e 5 faces quadradas?

Resolução

Número de faces do poliedro: 4 + 5 = 9.

As 4 faces triangulares têm 12 lados (4  3) e as 5 faces

quadradas têm 20 lados (5  4). Então, o número de arestas é dado por: (12 + 20) : 2 = 16, pois a ligação de duas faces consecutivas se dá sempre por uma única aresta. Assim, o poliedro tem 16 arestas e 9 faces. Logo:

V + 9 – 2 = 16  V = 9

(14)

Exercício

3. Um poliedro euleriano (que atende à relação de Euler) de

7 vértices tem 5 vértices nos quais concorrem 4 arestas e 2 vértices nos quais concorrem 5 arestas. Quantas arestas e quantas faces tem esse poliedro?

Resolução

 5 vértices com 4 arestas: (5



4) arestas = 20 arestas  2 vértices com 5 arestas: (2



5) arestas = 10 arestas

(15)

Exercício

3.

Resolução

Como cada aresta foi contada duas vezes (uma vez em cada vértice), temos:

A = = 15

Pela relação de Euler, obtemos:

V + F = A + 2  7 + F = 15 + 2  F = 10

Logo, o poliedro tem 15 arestas e 10 faces. 20 + 10

(16)

Poliedros de Platão

Um poliedro é chamado de poliedro de Platão se, e somente se:

 é convexo e, portanto, satisfaz a relação de Euler;

 todas as faces têm o mesmo número inteiro n de arestas;  em todos os vértices concorre o mesmo número inteiro m

de arestas.

(17)

Poliedros de Platão

Exemplo

a) Esse poliedro é de Platão, pois:

 todas as faces têm 4 arestas;  em todos os vértices concorrem

3 arestas;

 ele é convexo, portanto a relação de Euler é válida (8 + 6 – 2 = 12).

(18)

b) Esse poliedro não é de Platão, pois,

embora seja convexo e em todos os vértices concorra o mesmo número de arestas, nem todas as faces têm o mesmo número de arestas. Há faces quadrangulares, pentagonais e uma triangular.

23.10

Poliedros de Platão

(19)

Classe Característica Exemplo

As cinco classes de poliedros de Platão

Tetraedro

4 faces triangulares, e em cada vértice concorrem 3 arestas Hexaedro Octaedro 6 faces quadrangulares, e em cada vértice concorrem 3 arestas 8 faces triangulares, e em cada vértice concorrem 4 arestas

(20)

Classe Característica Exemplo

As cinco classes de poliedros de Platão

23.11

Dodecaedro

12 faces pentagonais, e em cada vértice concorrem 3 arestas

Icosaedro

20 faces triangulares, e em cada vértice concorrem 5 arestas

(21)

Poliedros regulares

Os poliedros regulares têm todas as faces poligonais regulares e congruentes entre si.

Observações:

 Uma superfície poligonal plana é regular se o polígono que a compõe é regular;

 Um polígono é regular se tem todos os lados de mesma medida e todos os ângulos internos congruentes.

pentágono regular

(22)

Poliedros regulares

Veja a seguir os cinco poliedros regulares.

23.12

tetraedro

regular regular (cubo) hexaedro octaedro regular

dodecaedro

(23)

Planificação da superfície de um poliedro

A superfície de um poliedro, que é formada por superfícies poligonais planas, pode ser projetada sobre um plano, de tal modo que cada uma das faces do poliedro tenha pelo menos um lado em comum com outra face.

Obtemos, assim, uma figura plana, que costuma ser chamada de molde do poliedro, planificação da superfície do

poliedro ou, simplesmente, planificação do poliedro.

As faces de um poliedro podem ser arranjadas de vários modos, desde que cada face esteja ligada a outra por pelo menos um de seus lados.

(24)

Planificação da superfície de um poliedro

Exemplo

(25)

Exercício

4. Para o caso do cubo, há 11 diferentes planificações.

Duas delas estão representadas abaixo; desenhar as outras 9 planificações.

(26)

Exercício

4.

Resolução

A resolução fica facilitada se usarmos uma malha quadriculada. Estas são as outras possibilidades:

(27)

Exercício

5. Desenhar duas planificações diferentes da superfície do

tetraedro regular.

Resolução

(28)

Exercício

6. Qual é o número de vértices

do sólido obtido ao dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas da figura ao lado?

Resolução

O sólido obtido é um heptaedro, logo o número de faces é 7. Como há 5 faces quadrangulares e 2 faces pentagonais, o número de arestas é:

Como vale a relação de Euler, temos:

V = 15 – 7 + 2 ou V = 10

23.17

A = 5  4 + 2  5

(29)

Prismas

Geometria Espacial

(30)

Chama-se prisma o poliedro formado por todos os segmentos de reta paralelos a r tais que uma de suas extremidades é um ponto da região P e a outra

extremidade é um ponto no plano .

Prismas

Vamos considerar dois

planos paralelos,  e , uma região poligonal P contida em  e uma reta r que

intercepta os planos  e .

(31)

Prismas

Exemplos

a) b)

(32)

Elementos de um prisma

23.19

 bases: são as regiões poligonais

P e P', congruentes e situadas

em planos paralelos ( e , respectivamente);

 faces laterais: as regiões poligonais AA’BB’, BB’CC’ etc.;

 arestas das bases: os segmentos AB, BC, ..., A’B’, B’C’ etc.;  arestas laterais: os segmentos AA’, BB’, CC’ etc.;

 altura do prisma: a distância h entre os planos das bases ( e ).

(33)

Classificação dos prismas

1o_critério

Consideramos a inclinação da reta r em relação aos planos

 e  que contêm as bases:

faces laterais são retângulos prisma reto faces laterais são paralelogramos prisma oblíquo  se a reta r não é

perpendicular aos planos

 e  prisma oblíquo  se a reta r é

perpendicular aos planos

(34)

2o_critério

Consideramos o polígono que determina as bases:

23.20

Classificação dos prismas

 se esse polígono é um triângulo prisma triangular

 se é um pentágono

prisma pentagonal,

e assim por diante.  se é um quadrilátero

(35)

Um prisma é regular se, e somente se, é reto e suas bases são superfícies poligonais regulares.

Prisma regular

Este prisma não é regular, pois as suas bases não são polígonos regulares.

Este prisma é regular, pois ele é reto e as suas bases são quadradas.

(36)

Paralelepípedo

Entre os prismas quadrangulares, aqueles que têm bases em forma de paralelogramos são chamados de paralelepípedos. Esses prismas podem ser retos ou oblíquos.

23.22

Exemplos

Paralelepípedo

oblíquo reto-retângulo ou Paralelepípedo bloco retangular

(37)

Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento

cujas extremidades são vértices desse paralelepípedo que não pertencem a uma mesma face.

Medida da diagonal de um

paralelepípedo reto-retângulo

(38)

23.23

d =

Medida da diagonal de um

(39)

Sabemos que: d =

Substituindo a, b e c, respectivamente, por 3, 4 e 5, temos:

d = = = 

 d =

Logo, a diagonal mede cm.

Exercício resolvido

R8. Calcule a medida da diagonal

do paralelepípedo ao lado.

(40)

Exercício resolvido

R9. Calcule a medida da aresta de um cubo cuja diagonal

excede em cm a diagonal da base.

Resolução

Sendo d a medida da diagonal do cubo e

f a medida da diagonal da base, temos, pelos

dados do problema:

d = f + ⇒ d – f =

Também temos:

(41)

Portanto: = cm

Exercício resolvido

R9.

Resolução

Por se tratar de um cubo, sabemos que: d = Assim: d – f =