Determinação das variáveis de navegação de um ARP asa fixa com fusão de dados de unidade inercial, gps e método triad

(1)

CENTRO DE TECNOLOGIA

DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

Halisson Tedesco

DETERMINAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE NAVEGAÇÃO DE UM ARP

ASA FIXA COM FUSÃO DE DADOS DE UNIDADE INERCIAL, GPS E

MÉTODO TRIAD.

Santa Maria, RS

2018

(2)

Halisson Tedesco

DETERMINAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE NAVEGAÇÃO DE UM ARP ASA FIXA COM FUSÃO DE DADOS DE UNIDADE INERCIAL, GPS E MÉTODO TRIAD.

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao de Graduação em Engenharia Elétrica, Área de Concentração em Engenharias IV, da Uni-versidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para obtenção do grau de em Engenharia Elétrica.

André Luís da Silva

Santa Maria, RS 2018

(3)

DETERMINAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE NAVEGAÇÃO DE UM ARP ASA FIXA COM FUSÃO DE DADOS DE UNIDADE INERCIAL, GPS E MÉTODO TRIAD.

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao de Graduação em Engenharia Elétrica, Área de Concentração em Engenharias IV, da Uni-versidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para obtenção do grau de em Engenharia Elétrica.

Aprovado em 14 de dezembro de 2018:

André Luís da Silva, Dr. (UFSM)

Pedro Paglioni, Dr. (UFSM)

Natanael Rodrigues Gomes, Dr. (UFSM)

Santa Maria, RS 2018

(4)

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho aos meus pais Genésio Tedesco e Lúcia Zanella Tedesco, por suas palavras de sabedoria e incondicional apoio nos momentos difíceis.

(5)

Em primeiro lugar agraceço a Deus pela proteção.

Ao meu orientador Prof.Dr. André Luís da Silva que por meio de sua orientação, apoio e paciência tornou possível a realização desse trabalho.

Aos membros do Grupo de Sistemas Aeroespaciais e Controle (GSAC) e, principalmente ao Renan Ratis Sacco pela contribuição e idéias discutidas.

Aos professores Dr. Natanael Rodrigues Gomes e Dr.Pedro Paglione pelo tempo dedi-cado como membros da banca examinadora deste trabalho.

Aos meus amigos, familiares e professores que, de alguma forma, contribuíram para este trabalho.

(6)

Aos outros dou o direito de ser como são, a mim dou o dever de ser cada dia melhor. (Chico Xavier)

(7)

DETERMINAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE NAVEGAÇÃO DE UM ARP

ASA FIXA COM FUSÃO DE DADOS DE UNIDADE INERCIAL, GPS E

MÉTODO TRIAD.

AUTOR: Halisson Tedesco

André Luís da Silva

Este trabalho trata do desenvolvimento de um algoritmo de fusão de dados para a determina-ção de posidetermina-ção, velocidade e atitude de uma aeronave remotamente pilotada (ARP) do tipo asa fixa. É feita a integração de sensores inerciais do tipo MEMS (Micro-Electro-Mechanical Systems) com dados de GPS. Foi usada a técnica de filtro de Kalman (EKF) estendido para a fusão sensorial. O EKF é um algoritmo recursivo de processamento de dados que combina todas as medições disponíveis, independente de sua precisão, a fim de estimar o valor atual das variáveis de interesse. O algoritmo foi programado em MATLAB e testado por simulação através do Simulink . A Atitude foi determinada de maneira implícita com o filtro de Kalman e de maneira explicita com o método TRIAD. Resultados com e sem ruídos foram determinados.

(8)

ABSTRACT

DETERMINATION OF NAVIGATION VARIABLES OF A FIXED

WING RPA WITH FUSION OF INERTIAL UNIT DATA, GPS AND

TRIAD METHOD.

AUTHOR: Halisson Tedesco

ADVISOR: André Luís da Silva

The present work provides as main contribution the determination of the position, velocity and attitude of a fixed wing type remotely piloted aircraft (RPA). The integration of MEMS type inercial (Micro-Electro-Mechanical Systems) with GPS data are presented and analyzed. The extended kalman filter (EKF) technique was used for sensory fusion. The EKF is a recursive data processing algorithm that combines all available measurements, regardless of their accu-racy, in order to estimate the current value of the variables of interest. The algorithm was im-plemented in MATLAB language, and simulation and testing using the graphical programming language, SIMULINK. Attitude was determined implicitly with the Kalman filter and explicitly with the TRIAD method. Results with and without noise were also determined.

(9)

Figura 2.1 – Estrutura geral do acelerômetro e seu modelo Mecânico. (Adaptado de

(CAR-VALHO, 2011).) . . . 19

Figura 2.2 – Modelo interno do sensor acelerômetro MEMS. (Adaptado de (BEEBY; EN-SEL; KRAFT, 2004)) . . . 19

Figura 3.1 – Metodologia de cálculo para a variância de Allan. (Adaptado de (HOU; EL-SHEIMY, 2001)). . . 26

Figura 3.2 – Inclinação padrão para o ruído branco. (Imagem gerada no MATLAB R2017a). 28 Figura 3.3 – Inclinação padrão para o random walk. (Imagem gerada no MATLAB R2017a). 29 Figura 3.4 – Apresentação gráfica da VA. (Adaptado de (BOARD, 1997)). . . 29

Figura 4.1 – Sistema de Plataforma Estável. (Adaptado de (WOODMAN, 2007)). . . 30

Figura 4.2 – Algoritmo de navegação inercial para a plataforma estável. (Adaptado de (WOODMAN, 2007)). . . 30

Figura 4.3 – Algoritmo para o sistema de navegação inercial Strapdown. (Adaptado de (WOODMAN, 2007)). . . 31

Figura 4.4 – Eixos do Referencial ECI. (Adaptado de (GROVES, 2013)). . . 32

Figura 4.5 – Eixos do Referencial NED. (Adaptado de (GROVES, 2013)). . . 33

Figura 4.6 – Eixos do Referencial do Veículo. (Adaptado de (GROVES, 2013)). . . 34

Figura 4.7 – Referencial inercial (fixo). (Adaptado de (SANTANA, 2011)). . . 37

Figura 4.8 – Referencial rotacional (terrestre). (Adaptado de (SANTANA, 2011)). . . 38

Figura 5.1 – Observador de estados determinístico. (Adaptado de (FURUKAWA, 1992)). 39 Figura 5.2 – Estimador de estados estocástico. (Adaptado de (FURUKAWA, 1992)). . . 40

Figura 5.3 – Predição-Correção do filtro de Kalman. (Adaptado de (SANTANA, 2011)). 41 Figura 7.1 – MPU-9250/6500. (Adaptado de br.gearbest.com). . . 48

Figura 7.2 – Desvio de Allan para os acelerômetros. . . 49

Figura 7.3 – Desvio de Allan para o acelerômetro do eixo X. . . 50

Figura 7.4 – Desvio de Allan para o acelerômetro do eixo Y. . . 51

Figura 7.5 – Desvio de Allan para o acelerômetro do eixo Z. . . 51

Figura 7.6 – Desvio de Allan para os giroscópios. . . 53

Figura 7.7 – Desvio de Allan para o giroscópio do eixo X. . . 53

Figura 7.8 – Desvio de Allan para o giroscópio do eixo Y. . . 54

Figura 7.9 – Desvio de Allan para o giroscópio do eixo Z. . . 55

Figura 7.10 – Desvio de Allan para os magnetômetros. . . 56

Figura 7.11 – Desvio de Allan para o magnetômetro do eixo X. . . 56

Figura 7.12 – Desvio de Allan para o magnetômetro do eixo Y. . . 57

Figura 7.13 – Desvio de Allan para o magnetômetro do eixo Z. . . 58

Figura 7.14 – Modelo para geração dos ruídos sintéticos. . . 59

Figura 7.15 – Comparação desvio de Allan sintético e real - Acelerômetros. . . 59

Figura 7.16 – Comparação desvio de Allan sintético e real - Giroscópio. . . 60

Figura 7.17 – Comparação desvio de Allan sintético e real - Magnetômetro. . . 60

Figura 8.1 – Modelo dos acelerômetros. . . 61

Figura 8.2 – Modelo dos giroscópios. . . 62

Figura 8.3 – Modelo dos magnetômetros. . . 62

(10)

Figura 8.5 – Modelo do barômetro. . . 63

Figura 8.6 – Modelo do GPS. . . 63

Figura 8.7 – Modelo de navegação inercial completo. . . 64

Figura 9.1 – Trajetória 3D do ARP simulada e estimada. . . 66

Figura 9.2 – Deslocamentos simulados e estimados. . . 66

Figura 9.3 – Velocidades simuladas e estimadas. . . 67

Figura 9.4 – Ânguos de Euler simulados e estimados. . . 67

Figura 9.13 – Ângulos de Euler - Magnetômetro descalibrado. . . 74

Figura 9.17 – Ângulos de Euler simulados e estimados. . . 76

(11)

(12)

LISTA DE SÍMBOLOS

φ , θ , ψ

Ângulos de Euler;

C

b_n matriz de transformação de coordenadas do corpo para o NED;

a

_i vetor aceleração inercial;

f

vetor força específica;

g

vetor aceleração gravitacional;

Ω

vetor velocidade de rotação da Terra;

x

posição no eixo x;

y

posição no eixo y;

z

posição no eixo z; k−1 amostra passada;

k

amostra presente; k+1 amostra futura;

l

longitude;

L

latitude;

v

k ruído associado à medição;

V

vetor velocidade;

x

vetor de estado do sistema;

ˆx

estimativa do vetor de estados;

h(.)

função não linear que descreve a saída do sistema;

ˆx

+_k estimativa a posteriori;

ˆx

−_k estimativa a priori;

ˆx

+₀ estimativa inicial de x;

P

+_k covariância a posteriori;

P

−_k covariância a priori;

P

+₀ covariância inicial;

(13)

Q

_g matriz de covariância dos giroscópios;

Q

_a matriz de covariância dos acelerômetros;

I

matriz identidade;

K

k ganho de Kalman;

z

vetor de medições;

u

vetor de entrada do sistema;

σ , σ

2 desvio padrão e variância;

σ

_RB2 covariância do ruído branco

σ

_RW2 covariância do random walk

F

matriz Jacobiana;

H

matriz de medições;

b

₁ vetor normalizado medido pelos acelerômetros;

b

₂ vetor geomagnético;

Q

coeficiente do ruído branco;

K

coeficiente do random walk;

(.)

T representa o transposto de uma matriz;

(.)

−1 representa a inversa de uma matriz;

(14)

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO E OBJETIVOS . . . 14 1.1 MOTIVAÇÃO E CONTEXTUALIZAÇÃO. . . 14 1.2 OBJETIVOS . . . 15 1.2.1 Objetivos Gerais . . . 15 1.2.2 Objtivos Específicos . . . 15 1.3 CONTRIBUIÇÃO . . . 15

2 PROCEDIMENTO METODOLÓGICO E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . 16

2.1 O CONCEITO DE NAVEGAÇÃO . . . 16 2.2 FORMAS DE NAVEGAÇÃO . . . 16 2.3 SISTEMAS DE NAVEGAÇÃO . . . 17 2.4 NAVEGAÇÃO INERCIAL . . . 17 2.4.1 Conceito . . . 17 2.5 SENSORES INERCIAIS . . . 17 2.5.1 Giroscópios MEMS . . . 18

2.5.1.1 Princípio de Operação e especificação . . . 18

2.5.1.2 Grau de desempenho dos giroscópios. . . 18

2.5.2 Acelerômetros MEMS . . . 18

2.5.2.1 Escalas de Desempenho de Acelerômetros. . . 19

2.5.3 Magnetômetros MEMS . . . 20

2.5.4 Principais características dos erros nas medições dos sensores inerciais . . . 20

3 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS . . . 22

3.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS . . . 22

3.1.1 Função de distribuição de probabilidade . . . 22

3.1.2 Função densidade de probabilidade . . . 22

3.1.3 Funçao distribuição e densidade de probabilidade para duas variáves aleaórias 23 3.1.4 Valor esperado, variância e covariância . . . 23

3.1.5 Processos estocásticos . . . 24

3.2 REPRESENTAÇÃO DOS COMPONENTES DE RUíDOS PELA VA . . . 27

3.2.1 Ruído Branco . . . 27

3.2.2 Random Walk . . . 28

4 MODELOS DE CONSTRUÇÃO DE UM INS . . . 30

4.1 SISTEMAS DE COORDENADAS . . . 31

4.1.1 Referencial ECI (Earth Centered Inertial) . . . 32

4.1.2 Referencial ECEF (Earth-Centered Earth-Fixed) . . . 33

4.1.3 Referencial de Navegação Local (NED). . . 33

4.1.4 Referencial do Veículo . . . 34

4.2 TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS . . . 34

4.2.1 Ângulos de Euler . . . 35

4.3 CINEMÁTICA . . . 36

4.3.1 Modelagem num sistema de coordenadas fixo . . . 36

4.3.2 Modelagem num sistema de coordenadas girante . . . 37

5 ESTIMAÇÃO DE ESTADOS E FILTROS DE KALMAN . . . 39

5.1 O PROBLEMA DA ESTIMAÇÃO DE ESTADOS . . . 39

5.2 FILTRO DE KALMAN ESTENDIDO (EKF) . . . 40

(15)

6 EQUACIONAMENTO DO SISTEMA DE NAVEGAÇÃO INERCIAL

COM-PLETO . . . 45

6.1 CINEMÁTICA . . . 45

7 VARIÂNCIA DE ALLAN APLICADA A DADOS REAIS E SIMULADOS . . . 48

7.1 DADOS DA UNIDADE DE MEDIÇÃO INERCIAL . . . 48

7.2 DESVIOS DE ALLAN REAIS . . . 49

7.2.1 Representação dos acelerômetros da MPU-9250 pela VA . . . 49

7.2.2 Representação dos girocópios da MPU-9250 pela VA . . . 52

7.2.3 Representação dos magnetômetros da MPU-9250 pela VA. . . 55

7.3 DESVIOS DE ALLAN SINTÉTICOS . . . 58

8 MODELO DESENVOLVIDO NO SIMULINK . . . 61

8.1 MODELO DOS SENSORES INERCIAIS E GPS . . . 61

9 TESTES DO MODELO PROPOSTO . . . 65

9.1 SIMULAÇÕES SEM A PRESENÇA DE RUíDOS - TRAJETÓRIA IDEAL . . . 65

9.2 SIMULAÇÕES NA PRESENÇA DE RUíDO BRANCO E RANDOM WALK COM MAIOR PESO NA CORREÇÃO - TRAJETÓRIA IDEAL . . . 68

9.3 SIMULAÇÕES NA PRESENÇA DE RUíDO BRANCO E RANDOM WALK COM MAIOR PESO NA PROPAGAÇÃO . . . 71

9.4 MAGNETÔMETRO DESCALIBRADO - TRAJETÓRIA IDEAL . . . 73

9.5 SIMULAÇÕES SEM A PRESENÇA DE RUíDOS - X-PLANE . . . 74

9.6 SIMULAÇÕES NA PRESENÇA DE RUíDOS - TRAJETÓRIA X-PLANE. . . 76

10 CONSIDERAÇÕES FINAIS E PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTU-ROS . . . 80

(16)

1 INTRODUÇÃO E OBJETIVOS

1.1 MOTIVAÇÃO E CONTEXTUALIZAÇÃO

Aeronaves Remotamente Pilotadas (ARPs) possuem muitas vantagens sobre sistemas tripulados, entre elas: Menor risco para tripulação, custo reduzido e fácil manutenção. Dentre muitas aplicações destas aeronaves, destacam-se: Fotografia, filmagem, georreferenciamento e monitoramento de fronteiras. Entretanto, há problemas em aberto no que diz respeito à estabi-lização e medição correta das variáveis de navegação.

Unidades de medição inercial (UMI) são equipadas com giroscópios, acelerômetros e magnetômetros, mas possuem precisão baixa e grandes ruídos para uso civil. Estes ruídos são de natureza estocástica que, ao serem integrados, acumulam-se com o passar do tempo. Esta característica prejudica muito a navegação inercial, de modo que dependendo do grau de precisão dos sensores, em pouco tempo a trajetória estimada pelos sensores inerciais diverge da real. Para tratar este problema, uma possibilidade é combinar os sensores inerciais com os não-inerciais; Esta técnica é conhecida como fusão sensorial.

A fusão sensorial é um algoritmo que provém de um modelo matemático que determina um conjunto de propriedades representadas por uma vetor de estados. Nesta técnica, os estados e os sinais dos sensores são combinados para produzir informações mais precisas. Uma técnica largamente utilizada para fazer a fusão sensorial é o filtro de Kalman (FK). O filtro de Kalman é um observador que estima os estados de um sistema dinâmico em que as medidas estão supos-tamente contaminadas por ruídos. Em aplicações de navegação inercial, o FK é frequentemente utilizado para estimar estados de posição, velocidade e orientação (atitude) por meio de sinais provenientes de giroscópios, acelerômetros e magnetômetros.

Em um sistema de navegação inercial (SNI) ideal 1, é possível calcular a velocidade

linear e a atitude da aeronave a partir de um modelo determinístico de sensores inerciais e força gravitacional, integrando-se numericamente as acelerações e velocidades angulares.

Como será mostrado neste trabalho, as medições dos sensores inerciais não são contí-nuas e são imperfeitas, em um SNI de baixo desempenho. Por esse motivo, a integração numé-rica dos erros dos sensores contaminados por ruídos faz com que os erros de posição, velocidade e orientação do SNI cresçam rapidamente, degradando o processo de navegação inercial. No entanto, é possível produzir medidas melhores e robustas quando um SNI é auxiliado por outros sensores não inerciais. Uma das técnicas é a fusão SNI/GPS, que será utilizada neste trabalho.

Uma técnica utilizada para o cálculo da matriz de atitude é o método TRIAD. Esse método consiste em medir dois vetores base, (dos acelerômetros e magnetômetros) e gerar a matriz de atitude com vetores auxiliares que são combinações lineares da base.

(17)

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 Objetivos Gerais

O objetivo geral do trabalho é desenvolver um algoritmo de fusão sensorial, para um ARP asa fixa, programado em MATLAB e testado por simulação.

1.2.2 Objtivos Específicos

O foco deste trabalho é a realização de testes de um sistema de navegação inercial utili-zando modelagem e simulação. Os objetivos específicos são:

• Desenvolver um modelo de um sistema de navegação inercial completo no Simulink; • Determinar a amplitude dos ruídos Branco e Random Walk real dos sensores, por meio

da variância de Allan, e inserir no modelo do Simulink;

• Fazer um voo virtual no X-plane para obter os dados de entrada do modelo do Simulink; • Fazer as simulações para determinação das variáveis de navegação do ARP com e sem

ruídos.

1.3 CONTRIBUIÇÃO

A relevância deste trabalho está em desenvolver uma proposta de um sistema de nave-gação inercial para uma aeronave remotamente pilotada com sensores de baixo custo e desem-penho.

Além do mais, a amplitude dos ruídos, foi determinada com base em dados reais. Com isso o nível de proximidade entre um sistema real e o simulado neste trabalho fica maior.

(18)

2 PROCEDIMENTO METODOLÓGICO E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 O CONCEITO DE NAVEGAÇÃO

Não se tem uma definição exata para o termo navegação. (GROVES, 2013), por exem-plo, cita uma definição do The Concise Oxford Dictionary que considera a navegação como um de muitos métodos para se determinar a posição de um veículo pela geometria, astronomia, sinais de rádio, etc. Por outro lado, (TITTERTON; WESTON; WESTON, 2004) cita que a na-vegação diz respeito, em essência, a viajar e encontrar o caminho de um lugar para outro, seja através de um simples ato de seguir instruções de direção como: "Ande um quilometro e vire a esquerda", ou ainda por meio de modernos navegadores automotivos. Já para (LAWRENCE, 2012) a navegação pode ser considerada como o processo de seguir um caminho em um mapa através de latitudes e longitudes pré-determinadas.

2.2 FORMAS DE NAVEGAÇÃO

Os pesquisadores (GREWAL; WEILL; ANDREWS, 2007) classificam a navegação em cinco maneiras distintas de acordo com o método de posicionamento utilizado.

1. Pilotagem, que se baseia no reconhecimento de objetos visíveis no terreno para determi-nação da posição e atitude.

2. Navegação Celestial, que se baseia no conhecimento de astros como a Lua, o Sol e planetas.

3. Navegação via Rádio, que se baseia em fontes de radiofrequência com localização co-nhecida.

4. Dead Reckoning, que se baseia no conhecimento prévio do local de origem, alguma informação de orientação e a estimativa da velocidade.

5. Navegação Inercial, que se baseia no conhecimento prévio da posição, velocidade e atitude mantendo-as ao longo do percurso a partir de medições da aceleração em direções espaciais conhecidas por meio de instrumentos que mecanizam as leis de Newton.

(19)

2.3 SISTEMAS DE NAVEGAÇÃO

Os sistemas de navegação determinam automaticamente a posição e velocidade de um corpo. Um sistema de navegação pode ser dependente de infraestrutura externa para determinar a posição e velocidade (navegação por beacons e rádio, por exemplo) ou contar apenas com sua construção interna como no caso de um INS (Inertial Navigation System). O resultado de um sistema de navegação é conhecido como Solução de Navegação (GROVES, 2013).

2.4 NAVEGAÇÃO INERCIAL

2.4.1 Conceito

Um INS mede o movimento linear e/ou angular pelo processamento das grandezas de um ou mais sensores inerciais, tais como: acelerômetros e giroscópios.

Os acelerômetros fornecem, em teoria, uma medida da força não gravitacional por uni-dade de massa exercida no sensor ou "força específica. No entanto, na prática, os acelerômetros não são capazes de separar a aceleração total do objeto da aceleração devida à presença do campo gravitacional. Em consequência disso, as medidas fornecidas pelos acelerômetros, têm de ser combinadas com o conhecimento do campo gravitacional a fim de se determinar a acele-ração do objeto em relação ao espaço inercial. Já, giroscópios fornecem medidas da mudança da atitude de um objeto com respeito a um referencial inercial (TITTERTON; WESTON; WES-TON, 2004).

A navegação é então realizada combinando-se as medições da rotação do objeto e a "força específica". Com isso, é possível calcular estimativas da atitude, velocidade e posição com respeito a um sistema de referência pré-definido (TITTERTON; WESTON; WESTON, 2004).

2.5 SENSORES INERCIAIS

Dentre os sensores inerciais, os acelerômetros e os giroscópios são os mais utilizados. Os acelerômetros fornecem a medida da força específica que atua no corpo. Os giroscópios, por sua vez, fornecem a medida da velocidade angular. Esse dado é utilizado para determinação da atitude do veículo, e para manutenção do referencial de medida das acelerações.

De uma forma geral, os sensores inerciais são agrupados e controlados por uma eletrô-nica embarcada, formando uma unidade de medição inercial (UMI). Tipicamente, uma UMI contém uma tríade ortogonal de giroscópios e outra de acelerômetros (SANTANA, 2011).

(20)

18

2.5.1 Giroscópios MEMS

A tecnologia de giroscópios possui três gerações. A primeira, denominada giroscó-pios mecânicos, tem como princípio de funcionamento as propriedades de um disco girante. Esses sensores apresentam maior exatidão, volume e custo que as demais classes, sendo uti-lizados principalmente em aplicações navais. A segunda geração, a dos giroscópios ópticos, tem seu funcionamento baseado nas propriedades da luz. Comparados aos giroscópios mecâni-cos, apresentam menor custo, volume e exatidão, sendo principalmente utilizados em aplicações aeronáuticas. A terceira geração é formada pelos sensores baseados na tecnologia MEMS, apre-sentando os menores custo e volume, e a pior qualidade de medida dentre todas as tecnologias. Esse trabalho utilizará a última geração.

2.5.1.1 Princípio de Operação e especificação

A quase totalidade dos giroscópios MEMS utiliza elementos mecânicos vibrantes para "sentir"a rotação. Eles não têm peças rotativas que exijam rolamentos, e por isso podem ser miniaturizados e fabricados em volume usando técnicas de microusinagem. Todos os giroscó-pios vibratórios são baseados na transferência de energia entre dois modos de vibração de uma estrutura causada pela aceleração de Coriolis (YAZDI; AYAZI; NAJAFI, 1998).

2.5.1.2 Grau de desempenho dos giroscópios

Segundo (YAZDI; AYAZI; NAJAFI, 1998), resolução, drift, taxa zero de saída (ZRO) e fator de escala são fatores importantes que determinam o desempenho de um giroscópio. Caso não haja rotação, o sinal de saída de um giroscópio é uma função aleatória que é a soma do ruído branco e uma função de variação lenta. O ruído branco define a resolução do sensor e é expresso em termos do desvio padrão da taxa de rotação equivalente pela raiz quadrada da largura de banda da detecção. O random-walk também pode ser usado. O valor pico-a-pico da função de variação mais lenta define o drift de longo ou curto prazo do giroscópio. Por fim, o fator de escala é definido como a quantidade de mudança no sinal de saída por unidade de mudança da taxa de rotação.

2.5.2 Acelerômetros MEMS

Um acelerômetro consiste de um corpo de prova suspenso por vigas ancoradas em um corpo fixo. O corpo de prova tem uma massa M, os feixes de suspensão têm uma constante de mola efetiva K e há um fator de amortecimento D afetando a dinâmica do movimento. Um

(21)

modelo simples para o acelerômetro é um sistema corpo-mola de segunda ordem como na figura 2.1

Figura 2.1 – Estrutura geral do acelerômetro e seu modelo Mecânico. (Adaptado de (CARVA-LHO, 2011).)

2.5.2.1 Escalas de Desempenho de Acelerômetros

Os acelerômetros são tipicamente especificados por sua sensibilidade, faixa máxima de operação, resposta em frequência, resolução, não linearidade no fundo de escala, offset, sensibilidade fora do eixo e resistência a choque.

Quanto à classificação, os acelerômetros MEMS são divididos em dois grupos princi-pais: piezorresistivos e capacitivos.

O acelerômetro piezorresistivo opera sob a deformação de um cristal piezoelétrico, al-terando sua resistência. A vantagem desse tipo de sensor é a simplicidade da sua estrutura e fabricação. Por outro lado, possui a desvantagem de ser muito sensível à temperatura.

Já nos acelerômetros MEMs capacitivos (utilizados neste trabalho), o princípio pelo qual a aceleração é medida é a alteração da capacitância entre três placas ligadas em série, onde a placa inteira é presa por apenas uma de suas extremidades, sendo livre para oscilar sob a ação da aceleração, como ilustrado na figura 2.2.

Figura 2.2 – Modelo interno do sensor acelerômetro MEMS. (Adaptado de (BEEBY; ENSEL; KRAFT, 2004))

(22)

20

2.5.3 Magnetômetros MEMS

Os magnetômetros são sensores que medem a densidade de fluxo magnético. Sua prin-cipal função na navegação é fornecer a direção do norte magnético. Com isso, conhece-se o azimute inicial necessário na inicialização da atitude da plataforma. É preciso corrigir o norte geográfico por uma medida de declinação magnética a partir da posição inicial.

A saída do magnetômetro é dada por:

m_b(t) = m_h(t) + w_h(t) (2.1)

onde mh é o valor do vetor campo magnético terrestre mb1somado de um ruído branco

w_h. O vetor campo magnético terrestre é obtido entre valores de referências (componentes do

vetor geomagnético) e a matriz mudança de coordenadas, ou seja:

m_h= Cb_n    mx my mz    (2.2)

em que mx, my, mz são as componentes do vetor geomagnético local escrito no sistema

vinculado à Terra NED. Esse vetor muda para diferentes regiões, e a obtenção de suas com-ponentes pode ser feita pelo <https://www.ngdc.noaa.gov/geomag/calculators/magcalc.shtml>.

Para Santa Maria - Rs, o vetor fica2:

m_b= [16936.5nT, −4668.4nT, −13874.6nT ] (2.3)

em que nT denotam nano Tesla.

O magnetômetro será utilizado neste trabalho para determinação da atitude com o Mé-todo TRIAD.

2.5.4 Principais características dos erros nas medições dos sensores inerciais

Os sensores inerciais apresentam erros com componentes determinísticos que precisam ser estimados e compensados, e componentes aleatórios que precisam ser modelados e filtra-dos. As principais componentes de erros são: fator de escala, bias, desalinhamento, ruído e quantização.

O fator de escala, definido como a taxa de variação da saída em relação à entrada, é um parâmetro determinístico devendo ser estimado e compensado. Idealmente é modelado como uma constante, indicando uma relação linear entre a entrada e a saída. Na prática, contudo,

1_{Este vetor está referenciado no referencial da plataforma.}

2_{Devido a uma anomalia do campo geomagnético no atlântico sul, a componente x é quase igual a z, em}

(23)

isso não é verificado, e em algumas aplicações os problemas de não linearidade, instabilidade e assimetria do fator de escala devem ser considerados.

O bias é o principal componente de erro de um sensor inercial. Por definição, bias é o componente do sinal de saída que não está relacionado com a entrada à qual o sensor está submetido(BEEBY; ENSEL; KRAFT, 2004) . Pode-se dizer que o bias é composto por dois componentes, ou seja:

bias= bias_{o f f set}+ bias_{dri f t} (2.4)

em que biaso f f set é um componente determinístico e não variante com o tempo, e

bias_{dri f t} apresenta um comportamento aleatório e normalmente composto por duas partes:

bias_{dri f t}= biasrepetibilidade+ biasinstabilidade (2.5)

O componente biasinstabilidadeé descrito como uma variação aleatória do bias em baixa

frequência, sendo normalmente modelado como um processo de Markov de primeira ordem.

Por outro lado, o biasrepetibilidadeé caracterizado por uma parcela do bias com valor constante no

tempo, que é alterada sempre que o sensor é colocado em operação. Devido a essa característica, esse componente é modelado como uma constante aleatória (NASSAR, 2003).

O desalinhamento é um erro determinístico resultante das imperfeições na montagem dos sensores, mais precisamente da não ortogonalidade dos eixos sensíveis, fazendo com que a medida de um dos sensores seja afetada pela entrada de outros.

O ruído é um sinal aleatório aditivo, de alta frequência, que interfere na medida do sensor. Os dois principais ruídos são: Ruído Branco e o Walk que é um componente do ruído associado aos efeitos físicos que o sensor é submetido, como choque mecânico, vibração e efeito da temperatura (CARVALHO, 2011).

O erro de quantização segundo (SANTANA, 2011) está associado à amostragem na amplitude. O que é diferente do erro de discretização, associado à amostragem no tempo.

Neste trabalho, serão considerados essas fonte de erros: Ruído Branco, Random Walk e bias constante.

(24)

3 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

Neste capítulo será apresentada uma revisão dos principais conceitos referentes aos pro-cessos estocásticos.

3.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Uma variável aleatória (VA) é um número X(s), atribuído a cada resultado s de um expe-rimento. Logo uma VA é uma função cujo domínio é o conjunto s de resultados do expeexpe-rimento. Se uma VA assume somente um número finito de valores em um intervalo de observação finito, ela é dita discreta. Caso a variável aleatória possa assumir qualquer valor em um intervalo de observação finito, ela é chamada de variável aleatória contínua.

3.1.1 Função de distribuição de probabilidade

A função de distribuição de probabilidade associada com a variável aleatória X é definida como:

FX(x) = P(X ≤ x) (3.1)

onde x representa a realização de X e P é a probabilidade.

A função de distribuição de probabilidade tem as seguintes propriedades:

• FX(x) −→ 0, quando x −→ - ∞;

• FX(x) −→ 1, quando x −→ + ∞;

• FX(x) é uma função não decrescente de x.

3.1.2 Função densidade de probabilidade

A informação contida na função de distribuição de probabilidade pode ser apresentada na forma diferencial.

f_X(x) = d

(25)

onde a função fX(x) é conhecida como função de densidade de probabilidade,FDP,

as-sociada à variável aleatória X . Algumas propriedades dessa função são:

• fX(x) é não negativa;

• R+∞

−∞ fX(x)dx = 1.

3.1.3 Funçao distribuição e densidade de probabilidade para duas variáves aleaórias

Sejam duas variáveis aleatórias X e Y, a função distribuição conjunta é dada por:

F_X,Y(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) (3.3)

A distribuição conjunta X e Y pode ser considerada como uma matriz de probabilida-des bi-dimensional, com cada elemento representando a probabilidade de ocorrência de uma combinação particular de X e Y.

A função densidade de probabilidade conjunta de variáveis aleatórias conjuntas é dada por:

fX,Y(x, y) =

∂2FX,Y(x, y)

∂ x∂ y (3.4)

3.1.4 Valor esperado, variância e covariância

A média ou valor esperado da variável aleatória X é definida por:

m_X = E[X ] =

Z +∞ −∞

x f_X(x)dx (3.5)

onde E[ ] denota o operador expectância. A média de uma função g(X ) é definida por:

E[g(X )] =

Z +∞

−∞ g(x) fX

dx (3.6)

Para o caso especial, onde g(X ) = Xn, obtém-se o n-ésimo momento da distribuição de

probabilidade da variável aleatória X , ou seja:

E[Xn] =

Z +∞ −∞

xnf_Xdx (3.7)

(26)

24

E[X2] =

Z +∞ −∞

x2f_Xdx (3.8)

Momentos centrais são os momentos das diferenças entre a variável X e sua média mX:

E[(X − mX)n] =

Z +∞

−∞ (x − mX)

n_f

Xdx (3.9)

A variância é definida quando n = 2, ou seja, é o segundo momento em torno da média:

Var[X ] = σ_X2= E[(X − m_X)2] =

Z +∞ −∞

(x − m_X)2f_Xdx (3.10)

Sendo o desvio padrão a raiz quadrada da variância.

A variância restringe a largura efetiva da função de densidade de probabilidade de uma VA em torno de sua média. Portanto, a média e a variância de uma variável aleatória fornecem uma descrição parcial de sua distribuição de probabilidade.

Se a média é igual a zero, pode-se demonstrar que:

σ_X2= E[X2] (3.11)

Sejam as VA X e Y . Momentos conjuntos são tidos como o valor esperado de XjYk,

onde j e k são inteiros positivos:

E[XjYk] = Z +∞ −∞ Z +∞ −∞ xiykfX,Ydxdy (3.12)

Quando j = k = 1, tem-se correlação E[XY ].Com isso, a covariância de X e Y é:

Cov[XY ] = Q[XY ] = E[(X − mX)(Y − mY)] = E[XY ] − mXmY (3.13)

Se a covariância é zero as variáveis são ditas descorrelacionadas.

3.1.5 Processos estocásticos

Um sinal aleatório sempre possui um ou mais elementos de incerteza associado. Seus valores não podem ser exatamente previsíveis, mas podem ser conhecidos em termos de descri-ção probabilística.

Um processo estocástico é um conjunto de variáveis aleatórios que evoluem no tempo segundo algum experimento conceitual de acaso (SIMON, 2006).

Se as funções de densidade de probabilidade que descrevem o processo forem invarian-tes com respeito a translações no tempo, o processo aleatório é dito estacionário (CARVALHO, 2011).

(27)

como:

R_X(t1,t2) = E[X (t1)X (t2)] (3.14)

em que t1e t2são instantes de amostragem arbitrários.

A FAC indica o quanto o processo é correlacionado com ele próprio em dois instantes diferentes. Se o processo é estacionário, a função densidade de probabilidade é invariante no tempo e a FAC depende apenas da diferença de tempo, ou seja:

RX(τ) = E[X (t)X (t + τ)] (3.15) Portanto: R_X(τ) = lim T→∞ 1 T Z T 0 X_A(t)XA(t + τ)dt (3.16)

onde XA(t) é uma realização do processo X (t). Logo o valor esperado não depende do

tempo, mantendo o valor médio constante (se o processo for estacionário).

A densidade espectral de potência X (t) é a Transformada de Fourier da função de Auto-correlação, Teorema de Wiener-Khintchine.

S_X( jω) = F[RX(τ)] =

Z ∞ −∞

R_X(τ)e− jωτdτ (3.17)

A densidade espectral de potência é simétrica e não negativa. Variância de Allan

Os sensores MEMS apresentam processos estocásticos onde a média e a variância não convergem a um dado valor específico. Afim de resolver esse problema (FERRE-PIKAL et al., 1999) recomenda, nos casos com médias móveis, usar a variância entre duas amostras consecu-tivas, a Variância de Allan, como medida de instabilidade.

Segundo (CARVALHO, 2011), a variância de Allan é uma técnica de análise de sinais no domínio do tempo baseada na hipótese de que a incerteza de um sinal é causada pela ação de um conjunto de processos estocásticos básicos.

Por meio de um gráfico de variância em função do intervalo de tempo de análise, é possí-vel reconhecer os padrões que representam alguns processos estocásticos, indicando a presença destes no sinal analisado. As estimativas dos parâmetros dos modelos são obtidas por método gráfico com base na densidade espectral de potência de cada processo.

A seguir é apresentada uma metodologia de cálculo da variância de Allan conforme (HOU; EL-SHEIMY, 2001).

Seja uma amostra de um sinal com N pontos consecutivos e espaçados com um período

de amostragem igual a t0. Cada sub-conjunto de n pontos forma um grupo, com n < N/2,

(28)

26

Figura 3.1 – Metodologia de cálculo para a variância de Allan. (Adaptado de (HOU; EL-SHEIMY, 2001)).

Cada grupo tem m tempo T = nt0 e o valor médio de saída do sensor, onde a leitura

inicia no k-ésimo instante e possui n pontos é:

S_k(T ) = 1

T

Z t_k+T tk

S(t)dt (3.18)

onde, S(t) é uma função que representa a saída do sensor. O valor médio para o grupo seguinte será:

S_k+1(T ) = 1 T Z t_k+1+T tk+1 S(t)dt (3.19) onde, tk+1= tk+ T .

a diferença entre os dois grupos adjacentes é dada por:

ξk+1= Sk+1(T ) − Sk(T ) (3.20)

Para cada grupo no intervalo T , o conjunto de ξ ’s forma um conjunto de variáveis alea-tórias. A grandeza de interesse é a variância de ξ ’s sobre todos os grupos de mesmo tamanho que podem ser formados pelo conjunto de dados.

Em (BOARD, 1997), a variância de Allan é definida como:

σ2(T ) =1

2h[Sk+1(T ) − Sk(T )]

2_i _(3.21)

Onde h i denota o produto interno.

Para qualquer número finito de N pontos, um número finito de grupos de duração fixa T pode ser formado. A equação 3.22 representa uma estimativa da variância de Allan, cuja qua-lidade depende do número de grupos independentes, com tamanho fixo, que pode ser formado (HOU, 2004). σ2(T ) = 1 2(N − 2n) N−2n

∑

k=1 [Sk+1(T ) − Sk(T )]2 (3.22)

Há uma relação entre a variância de Allan e a densidade espectral de potência de um processo aleatório dado por (BOARD, 1997):

(29)

σ2(T ) = 4 Z ∞ 0 D_S( f )sin 4_{(π f T )} (π f T )2 d f (3.23)

Onde DS( f ) é a densidade espectral de potência do processo aleatório.

A equação (3.23) será utilizada para calcular a variância de Allan a partir da densidade espectral de potência de um dado ruído.

3.2 REPRESENTAÇÃO DOS COMPONENTES DE RUÍDOS PELA VA

A seguir, são apresentados os principais processos estocásticos com as expressões da densidade espectral de potência e variância de Allan utilizados neste trabalho.

3.2.1 Ruído Branco

Conforme (BOARD, 1997), a densidade espectral de potência do ruído branco é dada por:

D_S( f ) = Q2 (3.24)

onde Q é o coeficiente do ruído branco. Aplicando a equação (3.23) têm-se:

σ2(T ) = 4 Z ∞ 0 Q2sin 4_{(π f T )} (π f T )2 d f (3.25)

desenvolvendo a equação chega-se em:

σ2(T ) = Q 2 T (3.26) ou, σ (T ) = √Q T (3.27)

Com isso, em um gráfico log-log de σ (T ) x T , a variância de Allan para o ruído branco é representada por uma reta com inclinação de -1/2, como ilustrado na figura 3.2.

(30)

28

Figura 3.2 – Inclinação padrão para o ruído branco. (Imagem gerada no MATLAB R2017a).

10-1 100 101 102 103 Tamanho do cluster (s) 10-3 10-2 10-1 Desvio de Allan

Reta com inclinação -1/2

O coeficiente do ruído branco, Q, pode ser obtido diretamente para T = 1.

3.2.2 Random Walk

A densidade espectral de potência para o random walk é:

D_S( f ) = K

2π

2

1

f2 (3.28)

onde K é o coeficiente do random walk.

Substituindo a expressão (3.28) em (3.23) têm-se:

σ2(T ) = 4 Z ∞ 0 K 2π 2 1 f2 sin4(π f T ) (π f T )2 d f (3.29)

Desenvolvendo a equação, chega-se a expressão para a variância de Allan:

σ2(T ) = K

2_T

3 (3.30)

Em um gráfico log-log σ (T ) x T a variância de Allan para o walk é representada por uma reta com inclinação de +1/2, conforme a figura 3.3.

(31)

Figura 3.3 – Inclinação padrão para o random walk. (Imagem gerada no MATLAB R2017a). 10-1 100 101 102 103 Tamanho do cluster (s) 10-1 100 Desvio de Allan

Reta com inclinação 1/2

O coeficiente do random walk, K, pode ser obtido diretamente para T = 3.

Existem muitas outras componentes de erros como: quantização, f licker, Ruído expo-nencialmente correlacionado, rate ramp, que não serão mostrados neste trabalho e podem ser consultados em (FERRE-PIKAL et al., 1999) e (BOARD, 1997).

Um gráfico típico da VA, com essas componentes de erros listadas, é mostrada na figura 3.4.

(32)

4 MODELOS DE CONSTRUÇÃO DE UM INS

A maioria dos INS podem ser classificados em duas categorias: Sistemas de plataforma Estável e sistemas de plataforma solidária (Strapdown) (MORI, 2013).

No sistema de plataforma estável, os sensores inerciais sao montados em uma plata-forma que é isolada de qualquer movimento de rotação externo, ou seja, mantida alinhada com o referencial do sistema. Esse sistema possui liberdade nos três eixos do movimento, como mostrado na figura 4.1.

Figura 4.1 – Sistema de Plataforma Estável. (Adaptado de (WOODMAN, 2007)).

Os sensores montados na placa detectam qualquer que seja a rotação na plataforma. Estes sinais realimentam então, motores que giram as partes móveis para cancelar as rotações sofridas pela placa, deixando-a alinhada com o dispositivo em que está montada. A posição é calculada pela duplas integração dos sinais dos acelerômetros, descontando a aceleração gravi-tacional. Conforme o trabalho de (WOODMAN, 2007), o algoritmo da plataforma de navega-ção inercial é mostrado na figura 4.2

Figura 4.2 – Algoritmo de navegação inercial para a plataforma estável. (Adaptado de (WO-ODMAN, 2007)).

(33)

No sistema Strapdown, os sensores são montados rigidamente sobre o dispositivo, sendo assim, as leituras dos sensores são feitas em relação ao dispositivo e não ao movimento. Para obter a atitude, os sinais dos giroscópios são integrados. Já para obter a posição, as leituras dos acelerômetros são distribuídas em coordenadas globais usando uma orientação conhecida a partir da integração dos sinais dos giroscópios. Os sinais globais das acelerações são então integrados como no algoritmo do sistema de plataforma estável. O processo é mostrado na figura 4.3

Figura 4.3 – Algoritmo para o sistema de navegação inercial Strapdown. (Adaptado de (WO-ODMAN, 2007)).

Os sistemas strapdown possuem uma complexidade mecânica reduzida e são fisica-mente menores, tendo como desvantagem maior custo computacional. No entanto, esse sistema foi o adotado neste trabalho.

4.1 SISTEMAS DE COORDENADAS

O movimento e a posição não são conceitos absolutos e podem ser descritos apenas em relação a algum referencial. Este, por sua vez, pode ser matematicamente representado por um sistema de coordenadas (KOVALEVSKY; MUELLER; KOLACZEK, 2012).

Em geral, quando se tratam problemas simples de mecânica, o modelamento do movi-mento é feito em relação a um referencial terrestre considerado, normalmente um referencial inercial (pela simplicidade da solução). Todavia, para a navegação, esta suposição nem sempre é válida. A rotação da Terra tem um impacto significativo nos cálculos de navegação, principal-mente quando se trabalha com grandes distâncias.

Devido a esses fatores, a navegação é um problema de múltiplos sistemas de coordena-das. No caso dos sensores inerciais, eles medem seu movimento com relação a um referencial inercial. Já o GPS fornece a posição e velocidade linear de um receptor com respeito a uma constelação de satélites. Entretanto, o usuário deseja saber sua posição em relação à Terra.

(34)

coor-32

denadas deve ser modelada corretamente.

Um sistema de coordenadas pode ser definido de duas formas:

• Por meio da definição de uma origem e um conjunto de eixos nos termos aos quais os movimento de um objeto pode ser descrito (uma referência);

• Através da definição da posição e orientação de um objeto.

Estas duas definições são intercambiáveis. Em um problema de dois referenciais, por exemplo, definir qual é o sistema do objeto e qual é o sistema de referência é facultativo. É igualmente válido descrever a posição e orientação de um sistema A com respeito ao sistema B como é válido descrever o sistema B com relação à A (GROVES, 2013).

Um sistema de referência ortogonal tem seis graus de liberdade, a posição da origem, o, e a orientação dos eixos x, y e z que devem ser expressos em relação a outro sistema a fim de defini-los (GROVES, 2013).

A seguir serão apresentados os referenciais mais utilizados em navegação.

4.1.1 Referencial ECI (Earth Centered Inertial)

Esse sistema é denotado pelo símbolo i e é sempre centrado no centro de massa da Terra com orientação ao seu eixo de rotação. Esse referencial é idealista, pois o Planeta não pode ser considerado um referencial inercial, uma vez que sofre aceleração em sua órbita ao redor do Sol e seu eixo de rotação se move vagarosamente.

A figura 4.4 ilustra a disposição dos eixos de um sistema ECI. Figura 4.4 – Eixos do Referencial ECI. (Adaptado de (GROVES, 2013)).

O eixo z sempre aponta na direção do eixo de rotação da Terra, do centro de massa ao polo norte verdadeiro. O eixo x aponta na direção Terra-Sol, na primavera do hemisfério norte. Por fim o eixo y é dado pela regra da mão direita.

(35)

4.1.2 Referencial ECEF (Earth-Centered Earth-Fixed)

Representado pelo símbolo e, o referencial ECEF é similar ao referencial ECI, exceto que todos os eixos permanecem fixos em relação à Terra e os acompanham durante todo seu movimento.

Neste referencial, a origem está no centro do elipsoide o qual não corresponde necessa-riamente ao centro de massa da Terra. O eixo z aponta na direção do eixo de rotação da Terra do centro até o pólo norte verdadeiro. Já o eixo x aponta do centro da intersecção do equador com o meridiano internacional de referência (IRM), que define a longitude O. O eixo y completa o sistema dextrogiro.

O referencial terrestre é importante na navegação porque o usuário deseja saber sua po-sição relativa à Terra, então este referencial é comumente utilizado como sistema de referência ou um sistema de resolução para outros sistemas (GROVES, 2013).

4.1.3 Referencial de Navegação Local (NED)

O referencial de navegação local (n) é amplamente utilizado em navegação. Esse re-ferencial representa a superfície terrestre como uma superfície plana. A figura 4.5 mostra a disposição dos eixos do referencial NED.

Figura 4.5 – Eixos do Referencial NED. (Adaptado de (GROVES, 2013)).

A origem está no ponto em que solução de navegação foi configurada, por exemplo, o centro de massa do veículo. O eixo z é definido pela normal ao elipsoide de referência. Já o eixo x, ou eixo norte, é a projeção no plano ortogonal ao eixo z da linha do usuário ao polo norte. Por fim o eixo y completa o conjunto ortogonal e sempre aponta para o leste sendo conhecido como eixo leste.

(36)

34

4.1.4 Referencial do Veículo

Esse referencial é denotado por b e fica fixo no corpo. A figura 4.6 ilustra a disposição dos eixos do referencial do veículo.

Figura 4.6 – Eixos do Referencial do Veículo. (Adaptado de (GROVES, 2013)).

A origem é coincidente com a origem do referencial local, mas os eixos permanecem fixos com relação ao veículo. O eixo z está orientado na direção usual da gravidade (para baixo). Já eixo x está orientado na direção usual do movimento.

No caso do movimento angular: • O eixo z é o eixo de guinada • O eixo x é o eixo de rolamento; • O eixo y é o eixo de arfagem;

Esse referencial é essencial na navegação uma vez que descreve o objeto que está na-vegando. Todos os sensores strapdown medem o movimento do veículo com respeito a um referencial inercial genérico (GROVES, 2013).

4.2 TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS

As transformações de coordenadas são utilizadas para converter um vetor inscrito num determinado sistema de coordenadas para outro sistema de coordenadas conveniente (SAN-TANA, 2011).

As transformações de coordenadas são realizadas por matrizes (de ordem 3x3)

represen-tadas por Cαβ onde o índice superior representa "de" um sistema e o índice inferior indica "para"

um sistema.

Matrizes de transformação de coordenadas são de fácil manipulação, pois são ortogo-nais. Para invertê-las é calculada a sua transposta, denotada pelo sobrescrito T. Assim,

(37)

C_αβ = (Cα β)

T

Para realizar sucessivas transformações ou rotações, as matrizes de transformação de coordenadas são simplesmente multiplicadas:

C_αγ = Cγ

βC β α

4.2.1 Ângulos de Euler

Os Ângulos de Euler são uma maneira intuitiva de se converter um vetor do referencial do veículo para o referencial de navegação local e vice-versa. Além do mais, representar a atitude usando ânulos de Euler pode ser feito através de três rotações sucessivas, sendo elas:

• A rotação guinada, ψ, realizada sobre o eixo z; • A rotação arfagem, θ , realizada sobre o eixo y; • A rotação rolamento, φ , realizada sobre o eixo x;

De acordo com (SANTANA, 2011), as três rotações de Euler não comutam. Se as mesmas são realizadas em uma ordem diferente, a orientação dos eixos ao final da transforma-ção fornece resultados diferentes. Devido a esse motivo é importante explicitar e conservar a sequência das rotações.

A rotação de Euler (φ + π, π − θ , ψ + π) gera o mesmo resultado que a rotação de Euler (φ , θ , ψ).Por esse motivo e, para evitar conjuntos duplicados de ângulos de Euler representando a mesma atitude, uma convenção é adotada limitando a rotação arfagem, para valores entre -90º ≤ θ ≤ 90º (GROVES, 2013).

Por esse motivo, o uso de ângulos de Euler se restringe à aplicações com ângulos meno-res que ± 90º. Em 90º , rolamento e guinada tornam-se indistinguíveis.

As matrizes de transformação de coordenadas usando ângulos de Euler, que podem transformar um vetor do referencial local para o do corpo, são mostradas a seguir. Vale des-tacar que as operações foram definidas na seguinte sequência de rotações respectivamente:

ψ (guinada), θ (ar f agem), φ (rolamento), também conhecida como sequência aeronáutica1.

Cn_b=    1 0 0 0 cos φ sin φ 0 − sin φ cos φ       cos θ 0 − sin θ 0 1 0 sin θ 0 cos θ       cos ψ sin ψ 0 − sin ψ cos ψ 0 0 0 1    (4.1)

1_{Sequência aeronáutica: primeira rotação psi em torno do eixo Z do sistema local, segunda rotação theta em}

torno do primeiro eixo y intermediário, terceira rotação phi em torno do eixo x do segundo sistema intermediário. Todas as rotações são no sentido da regra da mão direita.

(38)

36

= 

 

cos θ cos ψ cos θ sin ψ − sin θ

(sin θ sin φ cos ψ − cos φ sin ψ) (sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ) sin φ cos θ

(cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ) (cos φ sin θ sin ψ − sin φ cos ψ) cos φ cos θ    Cb_n= (Cn_b)T (4.2) =   

cos θ cos ψ sin φ sin θ cos ψ − cos φ sin ψ sin φ sin ψ + cos φ cos ψ sin θ

cos θ sin ψ sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ cos φ sin θ sin ψ − sin φ cos ψ

− sin θ sin φ cos θ cos φ cos θ



 

Vale notar então, que C_nb é uma rotação na sequência 1,2,3, com os ângulos no sentido

da regra da mão esquerda.

4.3 CINEMÁTICA

Tanto a descrição de um movimento linear como um angular requer pelo menos duas fontes de referência. Uma delas é a do corpo que se está estudando (α) e outra deve ser aquela em que se deseja que o movimento seja referido (β ). Ainda, muitas grandezas cinemáticas, como posição, velocidade, aceleração e velocidade angular , envolvem um terceiro referencial que representa o conjunto de eixos em que o movimento é resolvido γ (MORI, 2013).

4.3.1 Modelagem num sistema de coordenadas fixo

Em uma navegação num sistema de coordenadas inercial, as componentes da força es-pecífica (aceleração inercial - aceleração gravitacional) e da aceleração gravitação são somadas para determinar as componentes da aceleração em relação a este sistema de coordenadas. Essas grandezeas podem ser integradas uma vez para se obter estimativas da velocidade e duas vezes para se obter estimativas da posição.

Este processo pode ser dado matematicamente da seguinte forma. Seja r um vetor posi-ção que mapeia o ponto P com respeito à origem do sistema inercial, como na figura 4.7.

(39)

Figura 4.7 – Referencial inercial (fixo). (Adaptado de (SANTANA, 2011)).

Logo, a velocidade e a aceleração de P com respeito ao sistema inercial são expressas por: v_i=dr dt ai= d2r dt2

Como os acelerômetros medem a força específica que atua no ponto P têm-se que

d2r dt2 i = f + g

onde f e g representação o vetor força específica e o vetor aceleração gravitacional, respectivamente.

Essa equação é chamada de equação da navegação inercial, onde a primeira integração fornece a velocidade e a segunda integração fornece a posição.

4.3.2 Modelagem num sistema de coordenadas girante

A navegação sobre a superfície da Terra requer informações sobre a velocidade e a aceleração do veículo em relação ao sistema de coordenadas girante fixado à Terra. No entanto, devido ao movimento de rotação terrestre, forças aparentes atuam sobre o veículo. Para tratar esse problema, o teorema de Coriolis relaciona as velocidades de deslocamento de um veículo sobre um referencial girante e um referencial inercial pela equação a seguir:

dr dt e = dr dt i − ωie× r

(40)

38 ve= dr dt e = vi− ω × r

onde ωie= [0 0 ω]T é o vetor que expressa a velocidade de rotação da Terra em relação

ao sistema de referencial inercial.

A figura 4.8 ilustra o sistema de referencial girante.

(41)

5.1 O PROBLEMA DA ESTIMAÇÃO DE ESTADOS

A construção de trajetórias pela navegação inercial é interpretada como um prolema de estimação de estados. Um estimador de estados é um modelo matemático que determina, na presença de ruídos, uma aproximação dos estados do corpo em questão a cada instante (SANTANA, 2011). A figura 5.1 ilustra este problema.

Figura 5.1 – Observador de estados determinístico. (Adaptado de (FURUKAWA, 1992)).

Na figura 5.1, x é o estado a ser estimado, u é a entrada do sistema (que deve ser

conhe-cida a priori) e z é a saída, relacionada por h(x)1 e x e que pode ser observado. O estimador

determina as estimativas ˆxdos estados com base em um modelo matemático do sistema e de um

modelo de h0da saída.

Todavia, em sistemas reais, os erros e ruídos são inevitáveis e não estão representados no modelo anterior. Para corrigir esse problema, as fontes de erros podem ser modeladas como ruídos (w) somados às entradas e saídas v do sistema, como na figura 5.2.

(42)

40

Figura 5.2 – Estimador de estados estocástico. (Adaptado de (FURUKAWA, 1992)).

Os ruídos adicionados às entradas são denominados de ruídos de processo e os ruídos adicionados às saídas são conhecidos como ruídos de medição.

Com a presença de ruídos estocásticos, o novo sistema passa a ter natureza aleatória,

onde se tem agora que determinar a estimativa dos estados ˆx e a incerteza associada ˆp. Uma

das técnicas mais difundidas na implementação de estimadores de estados estocásticos são os filtros de Kalman.

Neste trabalho será utilizado o filtro de Kalman Estendido (Não linear) com nove va-riáveis de estado. Para mais informações a respeito dos demais filtros de Kalman consultar (SIMON, 2006).

5.2 FILTRO DE KALMAN ESTENDIDO (EKF)

O Filtro de Kalman (FK) gera as estimativas dos estados (as variáveis de navegação) efetuando a correção destas através de medidas auxiliares, que no caso deste trabalho podem ser: medidas de velocidade, medidas de atitude e GPS ou a combinação de todas. Quando algumas condições são satisfeitas, o FK é considerado um estimador ótimo (melhor de todos) e minimiza a covariância do erro estimado.

segundo (SANTANA, 2011), o filtro de Kalman é empregado no sentido de tentar

es-timar o estado xk de um processo controlado em instantes discretos de tempo, governado por

equações lineares ou não, do tipo

x_k= A_k−1x_k−1+ B_k−1u_k−1+ G_k−1 (sistema linear) (5.1)

x_k= f (x_k−1, u_k−1, k) + G_k−1w (sistema no linear) (5.2)

(43)

e as equações de medições

zk= Hkxk+ vk (sistema linear) (5.3)

zk= h(xk, k) + vk (sistema no linear) (5.4)

onde Gk e vk presentam os ruídos do processo e da medição respectivamente e o

subín-dice k representa a amostra.

Embora admita vários tipos de formulação, o principal objetivo do Filtro de Kalman é

estimar o estado xk, baseado no conhecimento do modelo do sistema dinâmico e da

disponibi-lidade da medição z_k.

As equações de atualização temporal são responsáveis por projetar a frente no tempo o estado corrente e a estimativa da covariância do erro. As equações para a atualização da medição são responsáveis pela realimentação , ou seja, elas incorporam uma nova medição ao

estado ˆx−_k e a covariância ˆx−_K, estimados a priori para obter uma estimativa do estado ˆx+_k e da

covariância ˆP+_k melhoradas (corrigidas) a posteriori. A figura 5.3 ilustra as etapas de predição

(a priori) e correção (a posteriori).

Figura 5.3 – Predição-Correção do filtro de Kalman. (Adaptado de (SANTANA, 2011)).

Na aplicação desde trabalho , o sistema (ARP) possui um comportamento não linear por natureza. Devido a isso, foi utilizado o filtro de Kalman Estendido (FKE). A seguir, os algoritmos iterativos que executam o EKF são apresentados segundo (SIMON, 2006).

1. Inicializa-se o filtro de Kalman, logo as condições iniciais são:

ˆx+₀ = E[ ˆx₀] (5.5)

ˆ

P+₀ = E[(x0− ˆx+0)(x0− ˆx+0)T] (5.6)

2. Computa-se a matriz (Fk−1) a partir do estado estimado anteriormente e processa-se a

(44)

42 Ak−1= ∂ f (x, u, k) ∂ x x= ˆx_k−1+ + I (5.7) P−_k = Ak−1P+_k−1ATK−1+ Qk−1 (5.8)

em que I é a matriz identidade e F é a matriz Jacobiana2.

3. Processa-se a atualização dos estados e computa-se a matriz Hk:

ˆx−_k = f_k−1(ˆx+_k−1, u_k−1, k) (5.9) Hk= ∂ H(x, k) ∂ x x= ˆx+_k−1 (5.10)

4. Processa-se a atualização da correção com a medida dos estados e da covariância:

K_k= P−_kHT_k(H_kP−_kHT_k + R_k)−1 (5.11)

ˆx+_k =ˆx−_k + K_k(z_k− h(ˆx−_k , k)) (5.12)

P+_k = (I − K_kH_k)P−_k (5.13)

5. Volta ao passo dois.

5.3 ESTIMAÇÃO DA ATITUDE COM MÉTODO TRIAD

Embora o filtro de Kalman estime os ângulos de Euler (atitude) de forma implícita, pode-se calcular a atitude do ARP pelo método TRIAD equilibrado. O algoritmo paro o cálculo foi baseado em (MARKLEY, 1998).

Considerando que foram medidos dois vetores unitários3b1e b2(vetores medidos pelo

magnetômetro e acelerômetro), em relação ao sistema de coordenadas da plataforma, a atitude

do veículo é descrita por uma matriz A3x3, com base em três parâmetros.

No entanto, precisa-se conhecer dois vetores r1 e r2 referenciados em um sistema de

coordenadas inercial. A matriz de atitude rotaciona os vetores do referencial inercial para o do corpo, então:

Ar1= b1 (5.14)

Ar2= b2 (5.15)

2_{Necessária para correção do filtro de Kalman estendido}

(45)

mas como a atitude é dada por uma matriz 3x3, não é possível calculá-la apenas com esses vetores. Buscando solucionar esse problema, o método TRIAD é utilizado para determinar

mais dois vetores b3e r3que faltam para obter A. Estes vetores são dados por:

b3= b1× b2 |b1× b2| (5.16) r3= r1× r2 |r1× r2| (5.17) Uma relação importante do TRIAD é:

b1• b2= (Ar1)˙(Ar2) = rT1ATAr2= rT1r2= r1r2 (5.18)

e quatro vetores adicionais são definidos

r+= r2+ r1 |r2+ r1| = r2+ r1 p2(1 + r1r2) (5.19) r−= r2− r1 |r2− r1| = r2− r1 p2(1 − r1r2) (5.20) b+= b2+ b1 |b₂+ b₁|= b2+ b1 p2(1 + b1b2) (5.21) b−= b2− b1 |b2− b1| = b2− b1 p2(1 − b1b2) (5.22)

o produto interno tanto de r+ com r− quanto de b+ com b− é igual a zero, o que

signiica que r+e r− são ortogonais e o mesmo vale para b+e b−.Além do mais, r3= r+× r−e

b3= b+× b−, o que implica que os conjuntos {r+, r−, r3} e {r+, r−, r3} são tríades ortognais.

A relação de A com as tríades é:

A = b+rT++ b−rT−+ b3rT3 (5.23)

Como a matriz A representa a mesma rotação descrita pela matriz Cb_n apresentada na

equação (4.2) tem-se que:

   A₁₁ A₁₂ A₁₃ A₂₁ A₂₂ A₂₃ A₃₁ A₃₂ A₃₃   

em que os coeficientes da matriz A são os mesmos da equação mas á direita em (4.1) e com isso pode-se extrair os ângulos de Euler:

sin φ cos θ

cos φ cos θ =

A₂₃

A33

(46)

44 então: φ = tan−1 A23 A33 (5.25) − sin θ = A13 (5.26) logo, θ = sin−1A13 (5.27) por fim, cos θ sin ψ cos θ cos ψ = A₁₂ A₁₁ (5.28) ψ = tan−1 A12 A11 (5.29) Na implementação do método TRIAD considerada neste trabalho, duas medidas são

utilizadas, do magnetômetro b2 e do acelerômetro b1. A relação do magnetômetro, que

rela-ciona o campo no sistema inercial e do corpo é dada pela equação (2.2). O vetor do sistema inercial é aquele dado pelo modelo IGRF. O vetor no sistema do corpo é aquele medido pelo magnetômetro. Já o modelo do acelerômetro é a própria definição de força específica

ae= Cnb[axayaz] − [0 0 g] (5.30)

Onde ax, ayeaz são as componentes da aceleração do veículo no sistema inercial e g é

a aceleração da gravidade. Logo, a medida do corpo é aquela dada pelo acelerômetro, mas a medida no sistema inercial carece da informação da gravidade (bem determinada e da aceleração inercial. Esta última é muito difícil de obter, em alguns sistemas, usa-se os dados de câmera ou radar. Mas, no trabalho em questão, este dado é estimado pela derivada numérica da velocidade inercial estimada pelo filtro de Kalman, a qual também é submetida a um filtro passa baixa.

Em algumas situações, a leitura de aceleração inercial é desprezada, mas isso só pode ser feito quando a mesma é muito baixa quando comparada à gravidade.

(47)

6.1 CINEMÁTICA

O sistema de navegação inercial desenvolvido neste trabalho é o dito completo, pois não separa a cinemática rotacional da cinemática translacional. Em vez disso, agrupa toda cinemática em uma matriz 9x9 com nove variáveis de estado, sendo elas:

• vx: Velocidade estimada no eixo x;

• vy: Velocidade estimada no eixo y;

• vz: Velocidade estimada no eixo z;

• x: Posição estimada no eixo x; • y: Posição estimada no eixo y; • z: Posição estimada no eixo z; • φ : Ângulo de Euler rolamento; • θ : Ângulo de Euler ar f agem; • ψ: Ângulo de Euler guinada;

Então a matriz de cinemática X_d fica:

                  ˙ φ ˙ θ ˙ ψ ˙vx ˙vy ˙vz ˙x ˙y ˙z                   =                   G_{ω 1} G_{ω 2} Gω 3 F11 F21 F31 vx v_y vz                   (6.1)

em que F é dado por:

F = Cb_n    a_x a_y az   +    0 0 g    (6.2)

(48)

46

onde Cb_n é a matriz de transformação do sistema do corpo para o NED mostrado na

equação (4.1) e axaye azsão as componentes do vetor ae_bmedido pelo acelerômetro.

A matriz Gω é dada por:

G_ω =



 

1 sin φ tan θ cos φ tan θ

0 cos φ − sin φ

0 sin φ sec θ cos φ sec θ

      p q r    (6.3)

e os subíndices são as linhas de Gω.

com u dado por:

u = " w ae_b # (6.4) O vetor de estados ˙x é dado por:

˙x = Q_uum+ c + Ax (6.5)

sendo Q_udada por:

Q_u=    Gω Z(3, 3) Z(3, 3) Cb_n Z(3, 3) Z(3, 3)    (6.6)

em que Z(3, 3) uma matriz de zeros 3x3,

um= ureal+ wruido. (6.7) A =    Z(3, 3) Z(3, 3) Z(3, 3) Z(3, 3) Z(3, 3) Z(3, 3) Z(3, 3) I(3, 3) Z(3, 3)    (6.8)

Substituindo (6.7) em (6.9) chega-se em:

˙x = Q_uu_real+ Guwruido+ C + Ax (6.9)

onde Q_ué a matriz de distribuição do ruído e C é dada por:

C =    Z(3, 1) g Z(3, 1)    (6.10)

(49)

Q_g=    σ_xx2g 0 0 0 σ_yy2g 0 0 0 σ_zz2g   = E[ww T_] (6.11) Q_a=    σ_xx2a 0 0 0 σ_yy2a 0 0 0 σ_zz2a   = E[a e b(aeb)T] (6.12) com isso:

ˆx = E[(G_uu)(G_uu)T] = E[G_uuuTGT] = G_uE[uuT]GT_u (6.13)

por fim chega-se na matriz de covariância do ruído de processo:

ˆx =    GωQgGTω Z(3, 3) Z(3, 3) Z(3, 3) Cb_nQ_a(Cb_n)T Z(3, 3) Z(3, 3) Z(3, 3) Z(3, 3)    (6.14)

(50)

7 VARIÂNCIA DE ALLAN APLICADA A DADOS REAIS E SIMULADOS

Neste capítulo será verificado a validação do algoritmo desenvolvido para o cálculo da estimativa da variância de Allan por meios de dados reais e simulados.

7.1 DADOS DA UNIDADE DE MEDIÇÃO INERCIAL

Antes de testar os algoritmos, cabe frisar a IMU utilizada neste projeto; a MPU-9250/6500, mostrada na figura 7.1.

A coleta dos dados da IMU foi realizada utilizando um Arduíno mega. O MATLAB recebia os dados via porta serial com uma frequência de amostragem de 100 Hz.

Figura 7.1 – MPU-9250/6500. (Adaptado de br.gearbest.com).

Algumas características do sensor são mostradas na tabela 7.1 Tabela 7.1 – Características do MPU-9250(InvenSense, 2016) .

Características Acelerômetros Giroscópios Magnetômetros

ADC 16-bits 16-bits –

Inormal 3.2mA 450µA 280µA

Resolução saída – – 0.6µT/LSB

Voperao 3.3 V 3.3 V 3.3 V

(51)

7.2 DESVIOS DE ALLAN REAIS

Nesta seção, são apresentados os resultados da aplicação da variância de Allan aos dados reais.

7.2.1 Representação dos acelerômetros da MPU-9250 pela VA

Na figura 7.2 é apresentada a sequência de dados dos valores lidos para os três acelerô-metros (x,y,z). A aquisição de dados foi realizada durante 16 horas.

Figura 7.2 – Desvio de Allan para os acelerômetros.

10-1 100 101 102 103 Tamanho do cluster (s) 10-4 Eixo X real 10-1 100 101 102 103 Tamanho do cluster (s) 10-4 Desvio de Allan Eixo Y real 10-1 100 101 102 103 Tamanho do cluster (s) 10-4 Eixo Z real

A figura 7.2 indica características evidentes de dois processos estocásticos presentes na leitura do sensor. Para grupos com pequenos valores de T, tamanho do cluster, a variân-cia de Allan apresenta características de ruído branco. Para valores maiores de T, o processo random walk.

Com isso o modelo proposto fica: • ruído branco + random walk

Diante disso, a variância de Allan é um processo que combina os valores obtidos para o ruído branco e random walk.

(52)

50

O valor de Q (coeficiente do ruido branco) é obtido lendo-se o eixo y da reta1 que

representa o padrão do ruído branco da figura 7.3 à 7.5 para T=1s. O valor de σRB, desvio

do ruído branco, é obtido fazendo-se σRB = Q/

√

t_s (ts é o tempo de amostragem da coleta,

0.01 s). A conversão é necessária pela fato de Q envolver densidade espectral de potência e representação no tempo discreto.

Já o valor de K é obtido lendo-se o eixo y da reta que representa o padrão do random walk

das figuras 7.3 á 7.5 para T=3s. O valor de σRB, desvio do ruído branco, é obtido fazendo-se

σRB = K/

√

ts (ts é o tempo de amostragem da coleta, 0.01 s). A conversão é necessária pela

fato de Q envolver densidade espectral de potência e representação no tempo discreto. Figura 7.3 – Desvio de Allan para o acelerômetro do eixo X.

10-1 100 101 102 103 Tamanho do cluster (s) 10-6 10-5 10-4 10-3 Desvio de Allan Eixo X real

Padrão do random walk Padrão do ruído branco

X: 3.01 Y: 4.563e-06

Para o ruído branco (eixo X)

Q= 0.0003311 m/s/√s

σRB= 0.003311 m/s2

Para o random walk (eixo x)

K= 0.000004563 m/s/√s

σRW = 0.00004563 m/s2

(53)

Figura 7.4 – Desvio de Allan para o acelerômetro do eixo Y. 10-1 100 101 102 103 Tamanho do cluster (s) 10-5 10-4 10-3 Desvio de Allan Eixo Y real

X: 3.01 Y: 1.022e-05

Para o ruído branco (eixo Y)

Q= 0.0004898 m/s/√s

σRB= 0.004898 m/s2

Para o random walk (eixo Y)

K= 0.00001022 m/s/√s

σRW = 0.0001022 m/s2

Figura 7.5 – Desvio de Allan para o acelerômetro do eixo Z.

10-1 100 101 102 103 Tamanho do cluster (s) 10-5 10-4 10-3 Desvio de Allan Eixo Z real

X: 3.01 Y: 1.141e-05