INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
KARIELY LOPES GOMES DE BRITO
DIVISÃO COM NÚMEROS NATURAIS: UM ESTUDO DE SABERES (RE)CONSTRUÍDOS POR PROFESSORES DOS ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Vitória 2017
KARIELY LOPES GOMES DE BRITO
DIVISÃO COM NÚMEROS NATURAIS: UM ESTUDO DE SABERES (RE)CONSTRUÍDOS POR PROFESSORES DOS ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Cefor - Instituto Federal do Espírito Santo, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Educação em Ciências e Matemática.
Orientadora: Profa. Drª. Maria Auxiliadora Vilela Paiva
Vitória
2017
(Biblioteca Nilo Peçanha do Instituto Federal do Espírito Santo) B862d Brito, Kariely Lopes Gomes de.
Divisão com números naturais : um estudo de saberes (re)construídos por professores dos anos iniciais do ensino fundamental / Kariely Lopes Gomes de Brito. – 2017.
188 f. : il. ; 30 cm
Orientadora: Maria Auxiliadora Vilela Paiva.
Dissertação (mestrado) – Instituto Federal do Espírito Santo, Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática, Vitória, 2017. 1. Professores – Formação. 2. Matemática - Estudo e ensino. 3.
Matemática - Problemas, questões, exercícios. 4. Divisão. 5. Aprendizagem. I. Paiva, Maria Auxiliadora Vilela II. Instituto Federal do Espírito Santo. III. Título.
Para meus pais, Penha e Valdemar, que me deram a vida. Para minha avó, Maria, meu grande exemplo. Para você, Diogo, meu porto seguro.
AGRADECIMENTOS
Em 2015, ao saber da aprovação no mestrado, lembro-me de que a primeira coisa que fiz foi cair de joelhos chorando, agradecendo a Deus por ter atendido minhas orações e me permitir realizar algo que sempre sonhei. Dois anos depois, não seria diferente. Hoje, sou ainda mais grata pelas bênçãos que o Senhor tem me concedido e pelo aprimoramento que vem fazendo em minha vida, por toda força, por me segurar em seus braços nos momentos de dúvidas e desânimo. Ao Senhor, meu Pai amado, toda honra e toda glória para sempre, pois sem Ti, eu nada seria.
Agradeço minha família como um todo, por sempre acreditar em meu potencial e se orgulhar da pessoa estudiosa que sou. Faço um agradecimento especial para duas pessoas extremamente essenciais: Mamãe e Vovó, meus maiores exemplos de vida. Mamãe, mulher guerreira e com uma fé inabalável, sempre me deu força nos momentos mais difíceis, vibrou com cada conquista, acreditou em mim e me incentivou a jamais desistir daquilo que almejava. E vovó, por toda preocupação e todo seu amor.
Agradeço ao meu amado Diogo, que abraçou comigo esse sonho, que enxugou minhas lágrimas muitas vezes sem saber o motivo de cada uma delas, que não desistiu de mim nos momentos de loucura e ansiedade, que sempre me incentivou a estudar e me dedicar, mesmo que isso significasse não lhe dar muita atenção. Obrigada por me compreender e me acalmar. Essa vitória também é sua, meu amor!
Á todos os professores do mestrado, por compartilharem comigo e os colegas da turma seus conhecimentos e experiências. Em especial, agradeço a minha orientadora, Dora, por acreditar em meu potencial e dedicar seu tempo, sempre que possível, para me orientar e auxiliar no desenvolvimento da pesquisa.
Agradeço a você, Sandra, que se dispôs a me ajudar, mesmo antes de me conhecer. Agradeço também ao querido professor/amigo Alexandre Krüger, por toda atenção a mim dispensada, jamais esquecerei sua bondade para comigo.
A todos os amigos do mestrado, pelos momentos de diversão, aprendizado e compartilhamento de alegrias e tristezas. Meu imenso agradecimento para Adriana, minha companheira nas idas e vindas a Vitória; quantas situações passamos e vivenciamos juntas, quantas vezes nos apoiamos nos momentos de dificuldade, muito obrigada, minha querida. Raíza e Margareth, nunca pensei que admiraria tanto alguém da área de Ciências, duas “ogras” que levarei para além do mestrado, obrigada por me permitir conhecê-las e fazer parte de suas vidas.
Dani, aquela que me defende melhor do que eu mesma. Se fosse agradecer aqui tudo o que fez por mim no decorrer do mestrado, acho que escreveria outra dissertação. Então, de forma sucinta e objetiva, assim como você me ensinou a ser, deixo aqui o meu MUITO OBRIGADA, em maiúsculo, para que todos saibam o quanto sou grata por sua amizade. Obrigada pela força, pelo carinho, pela confiança, por me doar parte de seu tempo, enfim, obrigada por existir!
Aos membros da banca Anemari, Carmen e Rony, pelas valiosas contribuições.
Um agradecimento especial à Secretaria de Educação e aos professores do município de Itaguaçu. Á secretaria, por ter acolhido com muito carinho nossa proposta de formação e incentivado a participação dos profissionais; e aos professores, por aceitarem fazer parte de nossa pesquisa e compartilhar conosco seus conhecimentos.
Agradeço a todos que, direta ou indiretamente, contribuíram para que este trabalho pudesse ser realizado.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Autarquia criada pela Lei n° 11.892 de 29 de Dezembro de 2008
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
RESUMO
Esta pesquisa teve por objetivo analisar saberes reconstruídos por professores dos anos iniciais sobre o conceito de divisão ao participar de um curso de formação continuada. Para tanto, foi disponibilizado um curso de formação para professores dos anos iniciais da rede municipal de Itaguaçu-ES, na qual foram trabalhados conceitos envolvendo a divisão, seu ensino e aprendizagem. O curso intitulado “Divisão com números naturais: possibilidades pedagógicas” teve uma carga horária equivalente a 80 horas, distribuídas em encontros presenciais e atividades on-line realizadas na plataforma Moodle. A formação foi subsidiada por discussões teóricas a respeito do conteúdo divisão e pelas experiências trazidas pelos participantes. Este estudo, de natureza qualitativa, baseou-se em uma metodologia de pesquisa do tipo intervenção pedagógica e, no que tange à fundamentação teórica relativa à base do conhecimento para o ensino, baseou-se na teoria de Shulman (1986, 2015) e Ball et al. (2008). Além disso, para tratar dos conceitos relativos ao conteúdo divisão apoiou-se na teoria dos campos conceituais de Vergnaud (2014). Os dados foram construídos por meio de questionários, observações, gravações de áudio e vídeo, diário de bordo da pesquisadora e dos participantes, bem como com atividades realizadas na plataforma Moodle e durante os encontros presenciais. Ao finalizar a pesquisa, pode-se afirmar que os professores conseguiram (re)construir os conhecimentos relativos ao conteúdo, visto que o conceito de divisão e as ideias a ela subjacentes foram aperfeiçoados e aprimorados por eles. Intensificou-se também o conhecimento pedagógico do conteúdo, tendo em vista as implicações trazidas para o trabalho em sala de aula. Tudo isso foi possível graças aos diálogos entre os pares e as trocas de experiências vivenciadas. Os frutos desta pesquisa culminaram na produção de um livro destinado a formadores e professores que, assim como nós, desejam ampliar e difundir os estudos acerca da temática em
questão. Esperamos que esta pesquisa seja uma forma de divulgar a abrangência do conteúdo divisão e a importância de os professores construírem saberes do conteúdo e pedagógicos do conteúdo voltados à construção de conceitos.
Palavras chaves: Formação de Professores. Saberes Docentes. Conceito de Divisão. Campo Multiplicativo.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Autarquia criada pela Lei n° 11.892 de 29 de Dezembro de 2008
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
ABSTRACT
This research had the objective of analyzing the reconstructed knowledge by teachers of the initial years on the concept of division when participating in a continuous education course. For this purpose, a training course was provided for teachers from the initial years from the municipal network of Itaguaçu-ES, where the concepts of division, its teaching and learning were discussed. The course entitled "Division with natural numbers: pedagogical possibilities" had an hourly load equivalent to 80 hours, in a mix of in face-to-face meetings and on-line activities performed on the Moodle platform. The training was delivered with a mix of theoretical discussions about the concepts of division and the experiences brought by the participants. This qualitative study was based on a methodology of research called pedagogical intervention and with regard to the theoretical basis for teaching was based on Shulman's (1986, 2015) and Ball et al. (2008) theories. In addition, in relation to concepts related to content division was based on the theory of Conceptual Fields from Vergnaud (2014). The data was collected through questionnaires, observations, audio and video recordings, journals from the researcher and the participants, as well as activities performed in the Moodle platform and during the face-to-face meetings. At the end of the research, it is possible to say that teachers have been able to (re)build knowledge about the content as the concept of division and the ideas underlying it have been enhanced and improved by them. The pedagogical knowledge of content was also intensified, considering the contributions brought to the work in the classroom. This was a resultsof the number peer discussions and exchange of experiences. This research culminated in the production of a book intended for trainers and teachers who, like us, wish to broaden and disseminate studies on the subject in question. We hope this
research will be a way of disseminating the breadth of content division and the importance of building content pedagogical concepts in teachers.
Keywords: Professional development for teachers. Teaching knowledge. Concept of
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Problemas de Partição elaborados pelos grupos...97
Figura 2 – Problemas de quotição elaborados pelos grupos...98
Figura 3 – Problemas envolvendo configuração retangular...100
Figura 4 – Problemas de combinação elaborados pelos grupos...102
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 – Graduação dos participantes... 73
Gráfico 2 – Formação continuada dos participantes...73
Gráfico 3 – Cursos na área de Matemática... 74
Gráfico 4 – Tempo de atuação no magistério... 75
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Categorias da base de conhecimento...37
Quadro 2 – Modelo de ação e raciocínio pedagógicos...40
Quadro 3 – Refinamento das ideias de Shulman (1986), segundo Ball et al.(2008) ...44
Quadro 4 – Situação de comparação entre razões envolvendo a distribuição (divisão por partição) ...50
Quadro 5 - Situação de comparação entre razões envolvendo a formação de grupos (divisão por quotição)...50
Quadro 6 – Divisão utilizando o método das subtrações sucessivas...61
Quadro 7 – Distribuição da carga horária do curso...69
Quadro 8 – Cronograma de atividades do curso...70
Quadro 9 – Problemas de configuração retangular elaborados pelos professores ...120
Quadro 10 – Estratégias de cálculo mental utilizando a multiplicação...133
Quadro 11 – Estratégia, resolução e justificativa dos grupos...137
Quadro 12– Estratégias adotadas para encontrar o resto da divisão de 125 por 8 utilizando a calculadora...140
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Resposta dos professores à questão 22 do questionário...114 Tabela 2 – Mudanças de pensamento com relação ao cálculo mental, calculadora e algoritmo...149
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ... 18
2 REVISÃO DE LITERATURA ... 24
3 REFERENCIAL TEÓRICO ... 32
3.1 FORMAÇÃO DE PROFESSORES ... 32
3.1.1 As categorias do conhecimento para o ensino, segundo Shulman ... 36
3.1.2 Conhecimento para o ensino, segundo Ball, Thames e Phelps ... 41
3.2 A CONSTRUÇÃO DE CONCEITOS ... 44
3.3 SITUAÇÕES DO CAMPO MULTIPLICATIVO ... 48
3.3.1 Situações de comparação entre razões ... 49
3.3.2 Situações de configuração retangular ... 51
3.3.3 Situações envolvendo raciocínio combinatório ... 52
3.3.4 Situações de comparação multiplicativa ... 53
3.4 CÁLCULO MENTAL, ESTIMATIVA E CALCULADORA... 54
3.5 UM OLHAR SOBRE O ALGORITMO ... 59
3.5.1 Algoritmo convencional/usual – Processo longo e curto ... 62
4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ... 64
4.1 O ESTUDO ... 64
4.2 CONTEXTO DA PESQUISA ... 67
4.3 FASES DA PESQUISA ... 71
4.4 LOCAL E SUJEITOS DA PESQUISA... 72
4.5 PRODUÇÃO DE DADOS ... 76
5 DESCRIÇÃO DA INTERVENÇÃO ... 78
5.1 AVALIAÇÃO ... 107
5.1.1 Avaliação dos professores/cursistas ... 108
5.1.2 Nossa avaliação ... 109
6 ANÁLISE DE DADOS ... 113
6.1 AS SITUAÇÕES DO CAMPO MULTIPLICATIVO ... 113
6.2 CONHECIMENTOS MOBILIZADOS AO RESOLVER CÁLCULOS ... 130
7 PRODUTO EDUCACIONAL ... 152
8 CONCLUSÕES ... 153
REFERÊNCIAS ... 159
APÊNDICE A – QUESTIONÁRIO ... 163
APÊNDICE B – PLANEJAMENTO DO CURSO ... 167
ANEXOS ... 186
1 INTRODUÇÃO
Esta pesquisa de mestrado está vinculada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática- EDUCIMAT, ofertado pelo Instituto Federal do Espírito Santo. Enquadra-se na linha de pesquisa formação de professores, mais especificamente formação continuada, tendo como temática geral discussões relativas ao conteúdo divisão com números naturais e saberes docentes relativos a esse conteúdo.
Inicio1 este trabalho relatando um pouco de minha trajetória educacional, destacando os caminhos que me conduziram à docência e os principais motivos para realizar este estudo.
Em 2001, ingressei na Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio “Eurico Salles” e, nessa instituição, passei grande parte de minha vida estudantil. Lembro-me sempre de uma professora de Matemática que Lembro-me encantava, Marcela. Desde a sétima série ela dizia que eu tinha aptidão para docência e que, além de possuir um bom domínio dos conteúdos, possuía também “um jeito de professora”. Na época, considerei apenas como elogio e não encarei como um incentivo, afinal, ainda era muito nova e meu sonho era ser futuramente juíza ou promotora.
O tempo passou e iniciei o ensino médio. Fase de descobertas e amadurecimento. Com frequência, ouvia dos professores que deveríamos ter expectativas para o futuro, um futuro que estava cada vez mais próximo. Comecei, então, a sentir a “pressão” para decidir o que faria da minha vida quando terminasse o ensino médio, qual profissão iria exercer. Mesmo com muitos sonhos e expectativas, sempre tive os pés no chão, era consciente de que meu pai não tinha condições de pagar uma faculdade particular, nem me sustentar financeiramente em outro município, caso conseguisse estudar em uma universidade federal. Por muitas vezes pensei em desistir do sonho de fazer uma faculdade, até que um dia, já na 2ª série do ensino médio, a professora Marcela me apresentou um programa de bolsas oferecido pelo
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Utilizamos, em algumas partes do capítulo 1, a primeira pessoa do singular para identificar as experiências pessoais da pesquisadora iniciante.
governo para estudantes da escola pública. O sonho reascendeu e agora estava mais perto de se tornar realidade. Não restaram mais dúvidas, minha profissão seria professora. Após muito estudo e empenho, em 2008, fui agraciada com uma bolsa integral de estudos para o curso de Licenciatura Plena em Matemática na Faculdade da Região Serrana – FARESE.
Durante a graduação, sempre me inquietei com as disciplinas que compunham a grade curricular do curso. A maioria delas se apresentava distante da realidade que futuramente vivenciaria como professora do ensino fundamental/médio. Contudo, uma das disciplinas mais marcante foi o Estágio Supervisionado, uma vez que possibilitou um contato mais abrangente com a realidade da sala de aula. Sentia satisfação em elaborar planos de aula, sequências didáticas, exercícios, dinâmicas e, principalmente, em ensinar. Cada dia de estágio me dava a certeza de que havia feito a escolha certa.
Em 2012, assumi como efetiva minha cadeira de professora de Matemática na Escola Municipal de Educação Infantil e Ensino Fundamental “Pedro Thomazini”, localizada em Itaguaçu – ES. A fase de adaptação foi gratificante, me sentia desafiada a cativar os alunos, a interagir com os demais colegas da escola, elaborar projetos, promover mudanças. Contudo, percebi que o trabalho com a Matemática não seria tão fácil como eu esperava. Meus alunos sentiam muita dificuldade e essa era ainda maior com o conteúdo divisão.
Frequentemente, encontrava-me frustrada ao trabalhar com a operação de divisão, pois percebia que a maioria dos alunos (principalmente os de 6º ano) não conseguia executar o algoritmo. Minha frustração não era decorrente da dificuldade apresentada por eles, mas sim da dificuldade que eu sentia de encontrar outros meios para auxiliá-los. Esse foi o primeiro motivo que me impulsionou a realizar esta pesquisa: a necessidade de aprofundar meus conhecimentos sobre o conteúdo divisão.
Naquela época, minha compreensão da operação de divisão (e também da multiplicação) era totalmente diferente da atual. Antes, me preocupava
excessivamente em ensinar o algoritmo, aplicar listas de arme e efetue e problemas relacionados à operação e ao resultado. Tudo isso está de acordo com a afirmação de Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999. p.40), de que “durante muito tempo foi tarefa da escola elementar o ensino da aritmética. Saber aritmética correspondia saber as tabuadas e saber fazer as contas”.
O primeiro motivo originou o segundo, que consistiu em entender um pouco mais da Matemática no universo dos anos inicias. Diante das dificuldades vividas e sentidas ao trabalhar com o conteúdo divisão, procurei auxílio com professores dos anos iniciais do ensino fundamental, mas percebi que muitas das minhas dificuldades, eram similares às deles. De maneira semelhante a minha, muitos professores estavam acostumados a trabalhar via algoritmo.
A partir de então surgiu o terceiro motivo, que delimitou definitivamente o foco da pesquisa: trabalhar o conceito de divisão em um curso de formação continuada. A intenção foi buscar alternativas que contribuíssem para melhorar o trabalho docente, tanto meu como dos professores do município em que resido. De acordo com Serrazina e Oliveira (2010), as discussões realizadas por professores na formação continuada são necessárias
por criarem um ambiente propício à partilha de conhecimento sobre o pensamento matemático dos alunos e à construção de sequências de tarefas matemáticas conducentes a um ensino efectivo e, também, por permitirem a construção de um suporte social e emocional para lidar com a incerteza (SERRAZINA e OLIVEIRA, 2010, p. 56).
É nesse contexto de discussões direcionadas à prática do professor que esta pesquisa se insere, tendo como objetivo analisar saberes que os professores dos anos iniciais (re)constroem sobre o conceito de divisão ao participar de um curso de formação continuada, e de forma mais específica:
Identificar saberes prévios dos professores acerca do conteúdo divisão e das situações do campo multiplicativo.
Elaborar e ministrar um curso de formação continuada a partir do levantamento de conhecimentos prévios dos professores acerca do conteúdo divisão.
Analisar conhecimentos mobilizados pelos professores no curso ao realizar cálculos de divisão.
Identificar saberes que emergem nas discussões e reflexões em grupo.
Identificar saberes próprios da prática docente com base em elaborações e aplicações de atividades pelos professores, durante o curso.
Elaborar um livro com informações teóricas/metodológicas e sugestões de atividades que auxiliem o trabalho de formadores e professores na construção do conceito de divisão.
Para alcançarmos tais objetivos, elaboramos um curso de formação continuada destinado a professores dos anos iniciais do ensino fundamental, realizado no município de Itaguaçu – ES, com carga horária de 80 horas. Acreditamos que participar de uma formação que tenha como base o conceito de divisão tenha sido uma oportunidade valiosa para os professores dialogarem e refletirem com os pares e, assim (re)construírem conhecimentos a respeito desse conteúdo, tanto teórico como prático e metodológico.
Dessa forma, a pesquisa desenvolveu-se em uma metodologia qualitativa, com características da pesquisa-intervenção, tendo como sujeitos professores da rede municipal de Itaguaçu, que lecionavam em turmas de 1º ao 5º ano do ensino fundamental. Além dos docentes, também participaram alguns pedagogos2 do município.
A realização desta pesquisa justifica-se pela relevância do conteúdo divisão dentro de Matemática e das aplicações deste como pré-requisito para conteúdos subsequentes, como frações, porcentagem, proporcionalidade, entre outros, e pela importância de uma prática pedagógica de qualidade, tendo em vista que o aprendizado dos alunos está diretamente relacionado com as posturas adotadas e os conhecimentos disponibilizados e já assimilados pelos professores.
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Entendemos que pedagogos são aqueles formados em Pedagogia, porém, nesta pesquisa, esse termo refere-se aos docentes em função administrativa.
Nessa perspectiva, concordamos com Silva (2014, p.39), que “o trabalho pedagógico na sala de aula precisa estar pautado na compreensão dos diferentes significados associados aos conceitos matemáticos”. Além disso, “a abordagem desses conhecimentos é fundamental para desenvolver nos alunos pensamento matemático, habilidades matemáticas, bem como criticidade e autonomia no contexto da vida estudantil e social” (SILVA, 2014, p.39).
Nesse sentido, estruturamos a pesquisa em sete capítulos, os quais descreveremos de forma resumida a seguir. No primeiro deles, apresentamos uma breve trajetória da pesquisadora, ressaltando os motivos da escolha do tema divisão e do eixo formação continuada de professores. Em seguida, destacaremos também nossos objetivos e a justificativa para realizar esta pesquisa.
No capítulo 2 trazemos a revisão de literatura realizada, contemplando pesquisas relacionadas ao conteúdo divisão, à formação de professores, bem como aspectos do processo de ensino e aprendizagem. Todos se tornaram alicerces para que, aos poucos, pudéssemos consolidar nossos ideais de pesquisa, assim como subsídios para o aprofundamento teórico.
O capítulo 3 contém o referencial teórico fundamental para esta pesquisa. Foi dividido em três seções: na primeira, enfatizamos aspectos da formação de professores e saberes necessários à prática docente, na segunda, considerações relativas à construção de conceitos e, na terceira, ideias referentes ao conteúdo divisão.
O capítulo 4 apresenta os procedimentos metodológicos adotados para desenvolver e executar o trabalho. Destaque para o tipo de estudo realizado, o local e o contexto de realização da pesquisa, seus participantes, fases contempladas, instrumentos utilizados para produzir dados, descrições de cada encontro formativo, nossa avaliação e a dos participantes.
O capítulo 5 apresenta a análise dos dados construídos no decorrer da pesquisa, em diálogo com nossos referenciais teóricos. Divide-se em duas seções: na primeira
delas, denominada “As situações do campo multiplicativo”, trazemos discussões relativas às diferentes situações multiplicativas em que o conteúdo divisão se insere e, na segunda, denominada “Conhecimentos mobilizados ao resolver cálculos”, trazemos discussões referentes ao cálculo mental, calculadora e algoritmo. No capítulo 6 apresentamos a estrutura do produto educativo elaborado e, por fim, no capítulo 7 apontamos nossas considerações finais a respeito do trabalho realizado.
Nessa perspectiva, desejamos que esta pesquisa possa contribuir para melhorar e aperfeiçoar o processo de ensino e aprendizagem da Matemática nos anos iniciais, sobretudo do conteúdo de divisão, e possibilitar a ampliação de conhecimentos, tanto teóricos como práticos e metodológicos.
Na seção seguinte, apresentamos de maneira detalhada a revisão de literatura que contribuiu para o desenvolvimento da problemática e do percurso metodológico utilizado.
2 REVISÃO DE LITERATURA
Para enriquecer e fundamentar a pesquisa, o apoio veio de estudos já realizados no âmbito da formação de professores e dos conhecimentos necessários para ensinar Matemática, analisando trabalhos relacionados ao conteúdo divisão com números naturais e evidenciando aspectos da aprendizagem dos alunos, bem como conhecimentos fundamentais à prática do professor.
Sendo assim, no âmbito da formação inicial destacamos a pesquisa desenvolvida por Megid (2012) com alunas de um curso de Pedagogia, a qual investigou como a retomada de memórias (utilizando como recurso a escrita e narrativas) acerca das aprendizagens dessas alunas sobre o conteúdo divisão, seguida de uma intervenção pedagógica da pesquisadora, pode auxiliar na (re) construção de conhecimentos a respeito do conteúdo. A autora considerou no estudo as experiências de aprendizagem já adquiridas pelas alunas e as formas adotadas por elas para resolver tarefas problematizadoras. Desenvolvidas inicialmente de maneira individual e posteriormente em trios, as tarefas intencionaram analisar a maneira como essas alunas articulavam mentalmente e a forma de registrar/argumentar os diferentes passos percorridos para encontrar respostas. Após realizá-las, houve debates e discussões acerca das questões elencadas, o que possibilitou a elas o esclarecimento de dúvidas, o compartilhamento de conhecimentos e a (re) significação de conceitos.
A pesquisadora ressalta algumas percepções depreendidas do estudo realizado, com ênfase para a presença do que ela denomina de “marcas da matemática escolar”, em outras palavras, conhecimentos reproduzidos de maneira igual/similar ao que foi aprendido na escola, geralmente de forma tradicional, fazendo-se uso apenas do algoritmo. Após o estudo, constatou que as discussões dos saberes iniciais relacionados ao conceito de divisão e sua (re) elaboração, bem como a retomada de memórias de aprendizagem do conteúdo por meio das narrativas, auxiliaram as alunas a compreenderem melhor o conceito de divisão, favorecendo a superação de muitas dessas “marcas” e estimulando uma aprendizagem para a docência.
Assim como Megid (2012), acreditamos que o professor ensina aquilo que aprendeu ao longo de sua formação; e as aprendizagens ocorridas durante os anos iniciais e finais do ensino fundamental muitas vezes têm grande influência no modo de agir e nas posturas adotadas pelos professores. Desse trabalho, aproveitamos também a proposta de resgate de memórias (seja da época estudantil ou da própria experiência profissional) como forma de incitar os professores a refletir a respeito de suas práticas e (re) significá-las.
O estudo de Alencar (2012) teve como objetivo principal identificar o conhecimento profissional docente de professores que ensinam Matemática no 5.º ano do ensino fundamental, cujos alunos se destacaram no Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar de São Paulo (Saresp). De forma secundária, analisou o perfil profissional desses educadores, a relação deles com a Matemática (tanto pessoal como profissional), o desenvolvimento da prática docente, as ações realizadas para o excelente desempenho do Saresp e as atividades e estratégias utilizadas por esses professores para desenvolver a aprendizagem dos alunos.
O estudo realizado explanou sobre o conhecimento profissional docente, contemplando especialmente as estruturas multiplicativas (multiplicação e divisão de números naturais). No tocante à formação de professores, fundamentou-se nas teorias de Schön (1987), Shulman (1986) e Tardif e Raymond (2000); e, no que concerne às questões didáticas, associadas ao objeto matemático em questão, embasou-se na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1990). Alencar (2012) também se baseou nos relatórios do Sistema de Avaliação e Rendimento do Estado de São Paulo 2008/2009 (Saresp), identificando as questões que os alunos mais erraram.
Para a coleta de dados, Alencar (2012) adotou como estratégia a aplicação de um questionário e entrevistas semiestruturadas – tanto com professores como com a equipe gestora – além de observação em sala de aula e protocolos das tarefas realizadas pelos alunos.
O questionário estruturou-se em duas etapas. A primeira delas contém uma situação fictícia geral, que retrata o pedido de auxílio feito por uma professora que trabalhava com uma turma com dificuldades de aprendizagem, principalmente em resolver situações-problema envolvendo cálculos com números naturais. O objetivo dessa questão foi identificar quais estratégias os professores indicariam para solucionar o problema proposto e, com base nos depoimentos, observar quais atitudes profissionais eles adotariam frente à problemática apresentada.
Na segunda parte houve simulação de respostas dadas por alunos para situações que envolviam o Campo Conceitual Multiplicativo. Para elaborar o instrumento de pesquisa, Alencar (2012) baseou-se nos estudos realizados por Ball e Bass (2003). A ideia foi analisar as diferentes abordagens utilizadas por professores no ensino da Matemática e identificar estratégias de intervenção.
Após a análise de dados, Alencar (2012, p.163) ressaltou que os principais aspectos que influenciaram o bom desempenho na avaliação externa do Saresp foram os seguintes:
[...] os professores entrevistados reconhecem em seus discursos a importância do trabalho com situações contextualizadas; procuram situações envolvendo contexto real, todavia a falta de conhecimento específico sobre o conteúdo limita tal encaminhamento. Observamos ainda que os docentes valorizam um ensino com práticas pedagógicas que utilizam uma diversidade recursos e atividades, veem a necessidade de busca por orientações do Programa Ler e Escrever, trabalham coletivamente trocando atividades, experiências e realizando com os alunos as duplas produtivas e sistemas de monitorias, e oferecem ainda a recuperação paralela e contínua dos alunos com dificuldade.”
A pesquisa desenvolvida por Alencar (2012), além de ter alguns referenciais semelhantes aos deste estudo (Shulman e Ball), também contribuiu para pensar em como elaborar o questionário de pesquisa. Dessa investigação, aproveitamos a ideia de formular questões com situações do dia a dia dos professores, como, por exemplo, identificar onde está o erro dos alunos e o que fazer para corrigi-lo. Esse tipo de questionário permite identificar quais saberes docentes a respeito do conteúdo os professores manifestam e como esses saberes são aplicados na prática.
Outro trabalho que contribuiu para nosso estudo foi o de Silva (2014), cujo objetivo principal foi analisar as estratégias utilizadas pelos alunos para resolver situações-problema que envolvendo a operação de divisão antes e após um experimento de ensino do tema. Os sujeitos da pesquisa foram alunos da 3ª série/ 4º ano de uma escola pública municipal de Vitória, sendo as intervenções didáticas planejadas juntamente com a professora regente da turma.
Os dados foram produzidos por meio da observação, conversa informal com os alunos, gravação em áudio, diário de bordo, entrevista com a professora titular da turma, atividades matemáticas desenvolvidas pelos alunos e aulas ministradas pela pesquisadora. A finalidade da observação foi obter conhecimentos mais específicos e aproximar a pesquisadora da turma e da professora. Já a entrevista objetivou compreender o processo de formação da docente e o trabalho pedagógico por ela desenvolvido em sala de aula. As atividades de pesquisa foram planejadas em duas sequências, uma de atividades diagnósticas e a outra de atividades de ensino.
Foram desenvolvidas quatro atividades diagnósticas, sendo que, em duas delas, os alunos deveriam criar estratégias para resolver um dado problema e, nas outras, criar situações-problema de acordo com o que era solicitado. Os objetivos das atividades foram verificar de que maneira os alunos procedem para resolver situações que propõem a divisão com a ideia de medida e de repartir em partes iguais e também verificar se essas ideias estão contidas na situação-problema produzida pelos alunos. Além disso, intentou diagnosticar o procedimento utilizado na resolução do problema.
Para a sequência de atividades de ensino foram elaboradas dez atividades, todavia, a pesquisadora optou por abordar apenas quatro delas na análise de dados. Os objetivos das atividades relacionavam-se: i) discutir e explorar os diferentes caminhos para resolver situações-problema, ii) identificar quais caminhos de solução seriam escolhidos pelos alunos para resolver situações-problema; verificar a aprendizagem das ideias de divisão, iii) ensinar o método do algoritmo por subtrações sucessivas para resolver situações-problema de divisão, e iv) desenvolver o cálculo de divisão pelo método das subtrações sucessivas.
Durante as aulas, a pesquisadora adotou uma metodologia expositiva e dialogada, aproveitando ao máximo as ideias e estratégias adotadas/sugeridas pelos alunos. Silva (2014) também explorou o algoritmo da divisão por subtrações sucessivas para resolver os cálculos sem, contudo, desistir das resoluções por meio do cálculo mental e da estratégia icônica (desenhos). Uma das estratégias adotadas pela pesquisadora foi retomar as situações-problema abordadas nas atividades diagnósticas e discutir com os alunos seus enunciados, as informações neles contidas e as possíveis estratégias para resolvê-los.
O estudo realizado revelou que os alunos apresentam distintas estratégias para resolver uma mesma situação numérica: utilizando o cálculo mental, somente o algoritmo, fazendo representações com desenho junto com algum algoritmo, com o auxílio de um material concreto.
Nesse sentido, a princípio, a representação icônica foi identificada como a estratégia mais utilizada pelos alunos para solucionar situações-problema, incluindo as duas ideias básicas de divisão (de medida e de partilha). A estratégia de cálculo mental predominou mais nas situações-problema de divisão, incluindo a ideia de medida, revelando que os alunos já possuem alguma habilidade de cálculo e de compreensão de divisão. Para Silva (2014), os alunos tiveram mais facilidade para resolver situações de divisão envolvendo a distribuição em partes iguais até o esgotamento dos elementos a serem distribuídos. Outro fato que merece destaque é que a maioria dos alunos conseguiu utilizar estratégias alternativas para solucionar as situações-problema, sem fazer uso de nenhum algoritmo convencional. Contudo, Silva (2014) ressalta que, após serem apresentados aos algoritmos das subtrações sucessivas, os alunos foram aos poucos abandonando a estratégia icônica. Conforme a autora, fazer com que o aluno compreenda que não há um único meio para calcular um quociente e que existem diferentes estratégias de resolução de problemas de divisão possibilita um envolvimento nas aulas e uma aprendizagem significativa.
O trabalho de Silva contribuiu para entendermos muitas das ideias básicas da divisão (partitiva e quotativa), e suas análises e reflexões serviram de base para a construção de nosso próprio referencial.
Embora a pesquisa realizada por Rogeri (2015) contemple um conteúdo diferente do nosso – a autora explora o ensino de números racionais e, nós, a divisão com números naturais – optamos em nos apoiar também em seus estudos por identificarmos similaridades com nossa proposta de investigação. Entre as semelhanças, destacamos a intenção de analisar os conhecimentos de um grupo de professores dos anos iniciais do ensino fundamental mediante a proposta de uma formação continuada, cujos pressupostos são reflexões compartilhadas acerca das práticas docentes e dificuldades de aprendizagem relativas ao tema.
A pesquisa foi realizada no âmbito do Observatório da Educação da Universidade Anhanguera de São Paulo e contou com a participação dos professores da rede pública de São Paulo. A coleta de dados foi dividida em duas fases, sendo a primeira, aplicação de questionários, e a segunda, o processo formativo.
O questionário foi composto de 15 questões, as quais tinham como objetivo investigar os conhecimentos pedagógicos, curriculares e de conteúdo dos professores relativos às possíveis formas de abordagem dos números racionais, à relevância dada a esse conteúdo nos anos iniciais do ensino fundamental, à análise e interpretação das produções de alunos e possíveis dificuldades que podem apresentar durante o processo de aprendizagem do tema. As questões foram respondidas individualmente em dois encontros, o primeiro, com duração de três horas, e o segundo, de uma hora e meia.
A segunda fase, denominada processo formativo, foi realizada segundo princípios da metodologia “Design Experiments”. A autora fundamenta-se em Cobb et al. (2003) para explicar que
[...] trata-se uma metodologia de pesquisa em que se pode avaliar continuamente os resultados parciais do design inicial, composto por uma sequência de atividades, e propor reformulações necessárias no decorrer
do experimento, por meio da revisão e da reinvenção dessa sequência (ROGERI, 2015, p.163).
Dessa forma, desenvolveu-se inicialmente uma sequência de atividades levando em consideração o resultado do diagnóstico obtido no questionário aplicado aos professores e outras pesquisas já realizadas sobre o assunto números racionais. No decorrer dos encontros, as atividades eram discutidas e revisadas/reformuladas de acordo com as necessidades encontradas.
Os encontros do processo formativo foram acompanhados por quatro pesquisadores da Universidade Anhanguera, que se revezavam no registro e na observação das discussões dos grupos de professores. Nos primeiros encontros foram exploradas situações que oportunizaram aos professores vivenciar atividades para compreender como os alunos podem aprender números racionais, além de discussões e leituras compartilhadas de textos em pequenos grupos, focando significados e expectativas de aprendizagem referentes ao tema. Nos demais encontros, ocorreram momentos de sistematização de ideias com o grupo, nos quais foram analisados aspectos de pesquisas acadêmicas que possuíam relação com o conteúdo em estudo.
Para a análise dos dados obtidos na etapa diagnóstica, a pesquisadora fundamentou-se nas categorias defendidas por Shulman (1986), devido a seu caráter mais abrangente e por contar com as produções escritas e individuais dos professores. Já na etapa do processo formativo, no qual foram interpretados registros, diálogos, debates de ideias e procedimentos, reflexões dos professores, entre outros, utilizou-se as ideias defendidas por Ball, Thames e Phelps (2007, 2008). Vale ressaltar que esses pesquisadores também serão o aporte teórico de nossa pesquisa.
Cabe destacar, também, que a pesquisadora se apoiou nas ideias defendidas por Zeichner (1993) no tocante a uma formação que busca promover a reflexão dos professores, por meio de interações sociais, em um ambiente de estudo de inovações curriculares e nas ideias de Tall e Vinner (1981) no que concerne à apreensão/construção de um conteúdo, utilizando a noção de imagem conceitual.
Com relação às respostas obtidas pela análise de dados, evidenciamos apenas aspectos da segunda pergunta da pesquisa – que se refere às contribuições de um processo formativo, fundamentado em reflexões compartilhadas, para a reconstrução dos conhecimentos de professores para o ensino – uma vez que a primeira está diretamente relacionada aos conhecimentos dos professores acerca do ensino dos números racionais e pouco contribui com nosso estudo. Sendo assim, concluiu-se que a proposta de análise das sequências de atividades adotadas durante a formação favoreceu perceber outras possibilidades de abordagem do conteúdo ao longo do ensino fundamental. Além disso, as reflexões compartilhadas do grupo sobre as sequências de atividades, tarefas e leituras propostas, envolvendo diferentes abordagens, estratégias e contextos, provocaram conflitos de ideias, aparentemente compreendidas, e promoveram a revisão de conceitos e propriedades, de modo a consolidar ou mesmo (re)significar esses conhecimentos.
O trabalho desenvolvido por Rogeri (2015) nos indicou caminhos para “elaborar” e desenvolver um curso de formação continuada aos professores que favoreça o refletir sobre a própria prática e (re) construir conceitos a respeito do conteúdo divisão. Além disso, evidenciou também a necessidade de se abordar nas formações os conhecimentos que, de fato, os alunos dos anos iniciais já devem ter do conteúdo, para que possam utilizá-los no cotidiano e posteriormente em outros anos da educação básica, bem como os conhecimentos necessários ao professor para auxiliar seus alunos na compreensão do tema.
Na sequência, apresentaremos o referencial teórico que dará suporte a nossa pesquisa.
3 REFERENCIAL TEÓRICO
Neste capítulo, apresentaremos aspectos da formação de professores que subsidiam nossa pesquisa. Enfatizamos os saberes necessários para o ensino à luz das teorias de Shulman (1986, 2015) e Ball e seus colaboradores (2008). Posteriormente, destacaremos ideias referentes ao conteúdo divisão e à construção de conceitos e, para tanto, tomamos por base a teoria dos campos conceituais de Gerard Vergnaud (1990, 2014).
3.1 FORMAÇÃO DE PROFESSORES
O interesse em investigar os saberes necessários ao ensino tem tornado a formação de professores um assunto em destaque nas últimas décadas. Os estudos de Gatti e Barreto (2009) mostram uma considerável mobilização em torno do assunto formação continuada, que aumentaram substancialmente as produções teóricas, eventos para debates, investimentos por parte dos sistemas de ensino e um contingente elevado de professores que participam de atividades ou cursos com esse objetivo.
Conforme as autoras (GATTI; BARRETO, 2009, p.200), o propósito da formação continuada tem sido, em geral, a “[...] atualização e aprofundamento de conhecimentos como requisito natural do trabalho em face do avanço nos conhecimentos, as mudanças no campo das tecnologias, os rearranjos nos processos produtivos e suas repercussões sociais”. Contudo, o crescente número de problemas advindos da formação inicial fez com que a ideia de formação continuada como aperfeiçoamento profissional se deslocasse também para uma concepção de formação compensatória, com a responsabilidade de preencher lacunas da formação inicial.
Assim sendo, à ideia de formação continuada como oportunidade para o professor aperfeiçoar/ampliar seus conhecimentos e interar-se das “novidades” que circundam o ambiente educacional, acrescenta-se também o pressuposto de que esse tipo de formação contemplará as lacunas da formação inicial. Consideramos importante
destacar que não é nossa intenção fazer generalizações, uma vez que muitos cursos de graduação se comprometem com a formação do professor e oferecem subsídios para que ele desenvolva um bom trabalho em sala de aula. Nesses casos, a formação continuada assume o papel de completar e acrescentar conhecimentos, e não de suprir possíveis falhas. No entanto, estamos cientes de que a formação continuada precisa preencher as lacunas referentes à construção de conceitos apresentados pelos professores, pois o pouco ou a ausência de conhecimento do conteúdo dificulta trabalhar com outras questões relacionadas ao ensino e à aprendizagem da Matemática e às políticas públicas relativas à formação de professores.
Ao adentrar as políticas de formação continuada que vigoraram nas últimas décadas, em Gatti e Barreto (2009) vislumbramos críticas ao modelo proposto a partir da década de 1980. Uma delas é a limitada, se não ausente, presença dos professores na definição de políticas de formação docente. Conforme as autoras, na segunda metade da década de 1990, em virtude da realização de pesquisas destinadas a investigar assuntos relativos à identidade profissional do docente, houve uma (re) conceitualização da formação continuada, que passou a considerar o professor como protagonista do próprio desenvolvimento. Nesse último modelo, “as representações, atitudes, motivação dos professores passam a ser vistas como fatores de capital importância a se considerar na implementação de mudanças e na produção de inovações na prática educativa” (GATTI; BARRETO, 2009, p.202).
Parece-nos evidente que o modelo de formação continuada proposto na década de 1990 contém implicações positivas para o desenvolvimento pessoal e profissional do professor, visto que este se tornou o centro do processo formativo. Nessa mesma década (1996) institui-se também a Lei das Diretrizes e Bases da Educação, legislação que ampliou o incentivo às ofertas de formação continuada e que se encontra em vigor até os dias atuais.
De acordo com o artigo 67 dessa lei (LDB 9394/96), os sistemas de ensino deverão promover a valorização dos profissionais da educação, garantindo-lhes o direito ao aperfeiçoamento profissional continuado. Em seu artigo 80, também ressalta que
cabe ao poder público o incentivo quanto ao desenvolvimento e à veiculação de programas de ensino a distância, inclusive de educação continuada. Por fim, o artigo 87 delega ao Distrito Federal, aos Estados e Municípios e, supletivamente, à União, o dever de realizar programas de capacitação para todos os docentes em exercício, inclusive, utilizando recursos da educação a distância.
Convém ressaltar que, se todos os direitos garantidos por lei fossem cumpridos na íntegra, certamente teríamos uma educação de qualidade superior. No entanto, muitas são as falhas que circundam a área da educação. Em nossa pesquisa, não discutiremos aspectos relacionados ás políticas públicas, porém, consideramos importante realizar esse resgate histórico como forma de nos situar. Fixamos nosso olhar na década de 1990, adotando como perspectiva de formação aquela que contribui para o desenvolvimento profissional do professor.
Assim como Ferreira (2006), entendemos o desenvolvimento profissional como um processo que ocorre no decorrer de toda experiência profissional com o ensino e a aprendizagem da Matemática, que não acontece de forma linear e, tampouco, possui uma duração preestabelecida. É influenciado por fatores cognitivos, sociais e afetivos, e envolve a pessoa do professor em sua multiplicidade, entre as quais destacam-se as formas de apreensão e organização do conhecimento aprendidas por ele. De forma semelhante, Paiva (2006, p.93) acredita que “trabalhar na perspectiva do desenvolvimento profissional é ver o professor com potencialidades próprias, como um profissional autônomo e responsável pela construção de seus saberes”. Conforme a autora, o professor constrói saberes da experiência adquirida ao longo de sua carreira e seu desenvolvimento profissional depende de como ele produzirá conhecimentos com base nessa prática. Assim, sua formação não pode ser fundamentada em uma prática idealizada ou na tradição pedagógica.
Ao abordar a noção de formação e desenvolvimento profissional, Ponte (2014) destaca que são próximas, mas não equivalentes. Na formação, o movimento é de fora para dentro, o professor é um receptor das informações que lhe são transmitidas, mas no desenvolvimento profissional, o movimento é de dentro para fora, à medida que o professor toma decisões relativas às questões que deseja
considerar, aos projetos que quer empreender e à maneira de executá-los. A formação parte da teoria e, na maioria das vezes, não avança em outros aspectos, sua tendência é atender àquilo que o professor não sabe. Já no desenvolvimento profissional, parte-se tanto da teoria como da prática, considerando as duas de forma interligada. Assim, contemplam-se os conhecimentos que o professor já tem e que podem ser desenvolvidos. Em suma, o professor é objeto na formação, mas assume o papel de sujeito no desenvolvimento profissional.
Nessa perspectiva, Ponte (2014, p.347) afirma que:
[...] o desenvolvimento do professor poderá ser promovido pela sua participação em processos formativos que proporcionem oportunidades de reflexão, participando em práticas sociais, com um forte envolvimento pessoal e um suporte dado pelos grupos sociais em que participa. Nestes contextos de formação, é essencial uma forte presença da prática, mas também um significativo contributo por parte da teoria. É necessário um enquadramento coletivo, mas também uma assunção de um projeto pessoal por parte do professor.
Desse modo, a reflexão acerca da prática também é contributo para o desenvolvimento profissional dos professores. Faz-se essencial, portanto, uma formação que propicie ao professor (re) pensar suas práticas, refletir sobre suas atitudes, tomar decisões estratégicas, ser crítico da realidade que o cerca e capaz, sobretudo, de formar cidadãos críticos e reflexivos.
Outro ponto destacado por Ponte (2014) bastante relevante refere-se à construção de dispositivos de formação que propiciem um efetivo desenvolvimento dos professores envolvidos, que se ajustem aos variados contextos. Para isso, o autor explicita a necessidade de conhecer bem os participantes – seus interesses, em que medida estão dispostos a se expor e se questionar perante os outros, até que ponto estão dispostos a investir na formação como processo de aprendizagem. Assim sendo,
[...] é necessária uma perspectiva muito clara sobre qual é efetivamente o poder da formação – isto é, o que está e o que não está ao seu alcance. Há aprendizagens que se podem fazer num dia, outras que requerem meses ou anos de trabalho. Uma noção clara desta questão será fundamental para se poderem conceber e realizar programas mais ajustados às efetivas
necessidades de diferentes grupos de professores em formação inicial e em serviço (PONTE, 2014, p.356).
Tais colocações estimularam reflexões a respeito do desenvolvimento da formação realizada com os professores, a relevância de ter objetivos bem delimitados, de contemplar assuntos que despertassem o interesse deles em permanecer no curso, a importância de abordar aspectos condizentes com suas realidades que os deixassem confortáveis para opinar e discutir diante de um grupo maior assuntos da prática cotidiana e, sobretudo, de estabelecer uma relação mútua, respeitando-se os limites e as capacidades de cada um.
Tudo isso porque o professor realiza atividades fundamentais no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, para desempenhar seu papel com qualidade é imprescindível uma formação apropriada, bem como qualidades profissionais e humanas, como um bom relacionamento com os estudantes e a capacidade de lidar com os desafios do dia a dia. Em decorrência disso, consideramos, assim como Ponte (2014), que o professor deve atualizar-se constantemente. Na sequência, destacamos as ideias de Lee Shulman (1986, 2015), o qual evidencia os conhecimentos necessários à formação docente. Em seguida, ressaltamos Ball e seus colaboradores (2008), que, ao adotarem como referência as ideias de Shulman, desenvolveram uma teoria baseada no conhecimento matemático para o ensino. A preocupação deles está nas tarefas envolvidas em ensinar e as necessidades matemáticas dessas tarefas.
3.1.1 As categorias do conhecimento para o ensino, segundo Shulman
Nesta seção, abordaremos alguns conhecimentos relevantes aos professores. Antes de iniciarmos, consideramos importante destacar que a expressão conhecimentos docentes também é abordada por alguns autores como saberes docentes. Em nosso trabalho, não faremos distinção entre as duas nomenclaturas e respeitaremos as expressões utilizadas por cada autor.
Shulman, em seu artigo “Those Who Understand: knowledge growth in teaching” (1986), estabelece três categorias de conhecimento fundamentais e necessárias ao
professor para o exercício de sua prática profissional: conhecimento do conteúdo, conhecimento pedagógico do conteúdo e conhecimento curricular. Em 1987 essas categorias foram refinadas e Shulman propôs sete novas bases do conhecimento para o ensino, sintetizadas no Quadro 1 a seguir.
Quadro 1 – Categorias da base de conhecimento
Fonte: Elaborado pela autora baseado em Shulman (2015, p. 206, grifos nosso).
Para Shulman (2015), a base de conhecimento refere-se a um repertório profissional, são conhecimentos subjacentes à compreensão que o professor deve possuir para promover a aprendizagem entre os alunos. De forma semelhante, Mizukami (2004, p.38) explica que:
[...] consiste de um corpo de compreensões, conhecimentos, habilidades e disposições que são necessários para que o professor possa propiciar processos de ensinar e de aprender, em diferentes áreas de conhecimento, níveis, contextos e modalidades de ensino.
Desse modo, são abordados conhecimentos de diversas naturezas, todos necessários e indispensáveis à prática profissional do professor, possibilitando-lhe compreender o que é necessário para promover a aprendizagem dos alunos.
Mesmo reconhecendo a importância de cada uma das sete categorias apresentadas no Quadro 1, abordaremos em nosso trabalho apenas duas: o conhecimento do
conteúdo e o conhecimento pedagógico do conteúdo, que definem dimensões
específicas do conteúdo.
O conhecimento do conteúdo refere-se à quantidade e à organização do conhecimento em si, na mente do professor. Relaciona-se aos conteúdos
• conhecimento do conteúdo;
• conhecimento pedagógico geral, com especial referência aos princípios e estratégias mais abrangentes de gerenciamento e organização de sala de aula, que parecem transcender a matéria; • conhecimento do currículo, particularmente dos materiais e programas que servem como “ferramentas do ofício” para os professores;
• conhecimento pedagógico do conteúdo, esse amálgama especial de conteúdo e pedagogia que
é o terreno exclusivo dos professores, seu meio especial de compreensão profissional; • conhecimento dos alunos e de suas características;
• conhecimento de contextos educacionais, desde o funcionamento do grupo ou da sala de aula, passando pela gestão e financiamento dos sistemas educacionais, até as características das comunidades e suas culturas; e
específicos da matéria lecionada pelo professor e requer ir além do conhecimento dos fatos ou conceitos de um domínio. Para Shulman,
Os professores devem não apenas ser capazes de definir para os estudantes as verdades aceitas em um domínio. Eles devem também ser capazes de explicar por que uma proposição particular é considerada justificada, porque vale à pena conhecer, e como se relaciona com outras proposições, tanto no âmbito da disciplina ou fora dela, tanto na teoria quanto na prática (SHULMAN, 1986, p.9, tradução nossa).
Além disso, Shulman (1986, 2015) considera importante que o professor compreenda as várias formas de organizar sua disciplina, ciente de que cada uma delas interfere diretamente na aprendizagem dos alunos. Para o autor, a grande diversidade de estudantes exige do docente uma compreensão flexível e multifacetada, adequada à oferta de explicações diferentes dos mesmos princípios ou conceitos. “Essa responsabilidade demanda especialmente a profundidade de compreensão do professor das estruturas da matéria, assim como suas atitudes e entusiasmo com relação ao que está sendo ensinado e aprendido” (SHULMAN, 2015, p.208).
Ademais, Shulman (1986) ressalta, porém, que:
O mero conhecimento do conteúdo é susceptível de ser tão inútil como o conteúdo pedagógico isento de habilidade. Mas a mistura adequada
dos dois aspectos de capacidades de um professor requer que prestemos mais atenção aos aspectos de conteúdo do ensino que temos recentemente dedicado aos elementos do processo de ensino (SHULMAN, 1986, p.8, tradução nossa, grifo nosso).
Ressalta também que, mesmo diante de sua importância, o domínio do conteúdo por si só não garante que seja ensinado e aprendido com sucesso. É muito comum ouvirmos dos alunos expressões como “ele sabe muito [o professor], mas só sabe para ele”. Essa frase nos faz refletir que muitos profissionais, apesar de uma gama de conhecimentos relativos ao conteúdo, não conseguem ensiná-lo de forma a promover a aprendizagem dos alunos. Tal fato evidencia que o processo de ensino-aprendizagem requer algo mais do professor, que transcende o conhecimento específico da matéria que leciona.
O conhecimento pedagógico do conteúdo está relacionado à maneira de representar e formular um determinado assunto/conteúdo de forma a torná-lo compreensível para os alunos (SHULMAN, 1986). Esse conhecimento inclui ainda
[...] uma compreensão sobre o que faz a aprendizagem de tópicos específicos ser fácil ou difícil: as concepções e pré-concepções que os estudantes de diferentes idades e formações trazem para a aprendizagem dos temas mais frequentemente ensinados e lições. Se esses pressupostos são equivocados, e muitas vezes o são, o conhecimento dos professores precisa de estratégias mais susceptíveis de serem fecundas em reorganizar a compreensão dos alunos, porque os alunos não são susceptíveis de aparecer diante deles como lousas em branco (SHULMAN, 1986, p.9 – 10, tradução nossa).
Refere-se, portanto, a um saber específico do professor, que orienta suas decisões baseadas na organização de estratégias que têm como foco o desenvolvimento e a compreensão da aprendizagem dos alunos em diferentes níveis cognitivos. Para Mizukami (2004, p.40), essa categoria é de fundamental importância em processos de aprendizagem da docência. “É o único conhecimento pelo qual o professor pode estabelecer uma relação de protagonismo. É de sua autoria”. Segundo a autora, é um conhecimento aprendido no exercício profissional, mas não prescinde de outros tipos de conhecimentos adquiridos via curso, programas, estudos de teorias etc.
Além das categorias descritas por Shulman, Mizukami (2004) defende também, assim como Tardif (2002) considerar o conhecimento da experiência como base do conhecimento, visto que esta se faz presente em todo o processo de raciocínio pedagógico, sendo condição necessária, mas não suficiente, para a construção do conhecimento pedagógico do conteúdo pelo docente. De fato, o saber advindo da experiência influencia o desenvolvimento da prática docente. Ao adquirir experiência, tem-se a oportunidade de aprimorar e (re) significar conhecimentos, e também segurança nas tomadas de decisão, como, por exemplo, na escolha de uma ou outra metodologia, nas formas de explicar um conteúdo, na escolha dos exemplos utilizados, enfim, em várias situações que podem ser melhoradas com o passar do tempo.
Outro ponto destacado por Shulman (2015) diz respeito ao raciocínio pedagógico, que retrata como os conhecimentos são construídos, relacionados e acionados
durante o processo de ensinar e aprender. Esse raciocínio perpassa as seguintes fases: compreensão, transformação, instrução, avaliação, reflexão e nova compreensão, apresentadas com mais detalhes no Quadro 2.
Quadro 2 – Modelo de ação e raciocínio pedagógicos
Compreensão De propósitos, estruturas do conteúdo, ideias dentro e fora da disciplina.
Transformação Preparação: interpretação crítica e análise de textos, estruturando e segmentando, desenvolvimento de um repertório curricular e esclarecimento de propósitos.
Representação: uso do repertório representacional, que inclui analogias, metáforas, exemplos, demonstrações, explicações, e assim por diante.
Seleção: escolha dentro de um repertório instrucional que inclui modos de ensinar, organizar, gerenciar e arrumar.
Adaptação e ajuste às características dos alunos: consideração de conceitos, preconceitos, equívocos e dificuldades, língua, cultura e motivações, classe social, gênero, idade, habilidade, aptidão, interesses, autoestima e atenção. Instrução Gerenciamento, apresentações, interações, trabalho em grupo, disciplina, humor,
questionamentos e outros aspectos do ensino ativo, instrução de descoberta ou de investigação e as formas observáveis de ensino em sala de aula.
Avaliação Verificação do entendimento do aluno durante o ensino interativo. Testar o entendimento do aluno no final das aulas ou unidades. Avaliar o próprio desempenho e ajustá-lo às experiências.
Reflexão Rever, reconstruir, reconstituir e analisar criticamente o próprio desempenho e o da classe, e fundamentar as explicações em evidência.
Novas
compreensões
De propósitos, da matéria, dos alunos, do ensino e de si mesmo.
Consolidação dos novos entendimentos e aprendizagens da experiência. Fonte: Shulman (2015, p.216).
Embora os processos estejam apresentados de forma sequencial, Shulman (2015) destaca que não pretende representar um conjunto de etapas, fases ou passos fixos. Segundo o autor, muitos dos processos podem ocorrer em ordem diferente ou até mesmo inexistir durante algumas etapas do ensino. Contudo, o professor precisa ser capaz de adotá-los quando solicitado e, portanto, cabe à formação de professores oferecer subsídios relacionados à aquisição da compreensão e das habilidades necessárias para progredirem em seus raciocínios.
Como já exposto, as categorias de conhecimento estabelecidas por Shulman (1986) foram refinadas por Ball e seus colaboradores (2008). Na seção seguinte, detalharemos cada uma delas.
3.1.2 Conhecimento para o ensino, segundo Ball, Thames e Phelps
Para Ball e seus colaboradores (2008), o conhecimento matemático necessário aos professores deve ir além daquele comumente usado por qualquer outro adulto. Os autores evidenciam que o ato de ensinar transcende a capacidade do professor de realizar procedimentos e identificar uma resposta incorreta do aluno – o que qualquer outro adulto familiarizado com a matemática também faria, por exemplo. O ensino requer, entre outras coisas, a capacidade de interpretar a fonte do erro matemático, de fazer generalizações, fornecer respostas matematicamente plausíveis para os questionamentos dos alunos, interpretar soluções por eles apresentadas e também explicar os procedimentos. Dessa maneira, usando como exemplo a operação de subtração, argumentam que:
Professores devem saber justificativas para os procedimentos, significados dos termos e explicações para os conceitos. Professores precisam de formas eficazes de representar o significado do algoritmo da subtração - não apenas confirmar a resposta, mas a mostrar o que os passos do procedimento significam e por que eles fazem sentido (BALL; THAMES; PHELPS, 2008, p.397-398, tradução nossa).
Ball e seus colaboradores (2008) destacam que o foco desse estudo não estava no que os professores precisam ensinar para as crianças, mas sim naquilo que precisam conhecer e serem capazes de fazer para ensinar. Os autores sugerem articular entre a compreensão do conteúdo – conhecimento da e sobre a disciplina – e as percepções dos professores sobre ensino e aprendizagem, bem como suas representações dos contextos e de seus alunos.
Ao fazer uma análise das exigências matemáticas para o ensino, Ball e seus colaboradores (2008) identificaram conhecimentos matemáticos essenciais para o exercício do trabalho docente. São eles: conhecimento comum do conteúdo, conhecimento especializado do conteúdo, conhecimento horizontal do conteúdo, conhecimento do conteúdo e dos estudantes, conhecimento do conteúdo e do ensino e conhecimento do currículo.
O conhecimento comum do conteúdo (CCK) refere-se a conhecimentos e habilidades matemáticas utilizadas em outros contextos, além daqueles do ensino. Identifica um conhecimento que não é exclusivo do professor e que outras pessoas com formação matemática também dispõem. Os autores frisam que o termo “comum” não sugere que todos tenham esse conhecimento, mas sim que não é algo exclusivo ao ensino e que pode ser usado em situações variadas.
Assim sendo, o professor precisa conhecer o conteúdo que ensina e o material que utiliza, ter domínio das atividades propostas para seus alunos, reconhecer respostas erradas e definições imprecisas presentes nos materiais didáticos, utilizar adequadamente termos, notações, linguagem e símbolos matemáticos.
O conhecimento especializado do conteúdo (SCK) refere-se ao conhecimento matemático utilizado unicamente para o ensino. Os professores precisam ter um conhecimento que extrapole aquele ensinado para o aluno, bem como possuir características peculiares para refletir sobre a matemática, não requisitadas em outras áreas de atuação que não o ensino.
Esse conhecimento envolve, entre outras coisas, a capacidade do professor de identificar padrões em erros cometidos pelos estudantes; avaliar se uma abordagem funciona de maneira geral ou se possui restrições; explicar procedimentos e os “porquês” utilizá-los e tornar visíveis aspectos de um conteúdo em particular, de forma que possa ser aprendido pelos estudantes.
O conhecimento horizontal do conteúdo implica na consciência de como os tópicos da matemática estão relacionados no currículo. De forma mais simples, requer que o professor estabeleça conexões e planeje suas aulas considerando a sequência e o aprofundamento de abordagens matemáticas no decorrer dos anos escolares. Para os professores do primeiro ano, por exemplo, é fundamental saber como a matemática ensinada nesse ano está relacionada àquela que seus alunos irão aprender no terceiro ano. Cria-se, assim, um embasamento matemático para o que será ensinado posteriormente.
