AL aula1

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Álgebra Linear

Cleide Martins

DMat - UFPE - 2019.2

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Objetivos

1 Revisar as operações básicas com matrizes

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Matrizes: REVISÃO

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Exemplos

2 3₄ π 3 −5 15 26 √3     A U E O I A U E     1.65 1.70 1.54 1.87   1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0  

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Matrizes Reais: Notação

Uma matriz é real se seus elementos são números reais. Em geral atribuimos uma letra maiúscula para nos referirmos a uma matriz e, quando necessário, especicamos sua ordem

A2×4 M4×2 P2×2 T1×1

O elemento de uma matriz H que está na linha i e na coluna j é denotado por hij

A matriz H pode ser denida em termos das posições de seus elementos, por exemplo, escreva a matriz H3×2 tal que

h =

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Matrizes Especiais

Algum destaque costuma ser dado aos seguintes tipos de matrizes Matriz quadrada Matriz nula Matriz linha Matriz coluna Matriz diagonal Matriz identidade Matriz simétrica

Matriz triangular superior Matriz triangular inferior

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Matrizes Especiais

(8)

Matrizes Especiais

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Matrizes Especiais

(10)

Matrizes Especiais

(11)

Matrizes Especiais

(12)

Matrizes Especiais

(13)

Matrizes Especiais

Matriz triangular superior

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Matrizes Especiais

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Matrizes: Operações Básicas

Dizemos que as matrizes A e B são iguais se têm a mesma ordem m × n e

aij = bij : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

As operações básicas com matrizes são

1 Soma

2 Produto por escalar

3 Transposição

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Propriedades da Soma

A Soma de matrizes é Comutativa

Associativa

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Propriedades da Soma

A Soma de matrizes é Comutativa Associativa

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Propriedades da Soma

A Soma de matrizes é Comutativa Associativa

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Propriedades do Produto por Escalar

O Produto de uma matriz por um escalar é Distributivo em relação à soma de matrizes

Distributivo em relação à soma de escalares Existe um elemento neutro

0.A = O para toda matriz A (O é a matriz nula)

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Propriedades do Produto por Escalar

O Produto de uma matriz por um escalar é Distributivo em relação à soma de matrizes Distributivo em relação à soma de escalares

Existe um elemento neutro

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Propriedades do Produto por Escalar

O Produto de uma matriz por um escalar é Distributivo em relação à soma de matrizes Distributivo em relação à soma de escalares Existe um elemento neutro

(22)

Propriedades do Produto por Escalar

(23)

Propriedades do Produto por Escalar

(24)

Propriedades da Transposição

Sobre a transposição de uma matriz podemos notar (At)t= A

(A + B)t= At+ Bt (kA)t= kAt

(25)

Propriedades da Transposição

(A + B)t_{= A}t_{+ B}t

(kA)t= kAt

(26)

Propriedades da Transposição

(A + B)t_{= A}t_{+ B}t

(kA)t= kAt

(27)

Propriedades da Transposição

(A + B)t_{= A}t_{+ B}t

(kA)t= kAt

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Propriedades do Produto

Desde que a operação possa ser realizada, o Produto de matrizes é Não comutativo

Associativo

Distributivo à direita em relação à soma de matrizes Distributivo à esquerda em relação à soma de matrizes (AB)t= BtAt

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Propriedades do Produto

Associativo

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Propriedades do Produto

Associativo

(31)

Propriedades do Produto

Associativo

Distributivo à direita em relação à soma de matrizes

Distributivo à esquerda em relação à soma de matrizes (AB)t= BtAt

(32)

Propriedades do Produto

Associativo

Distributivo à direita em relação à soma de matrizes Distributivo à esquerda em relação à soma de matrizes

(AB)t= BtAt

(33)

Propriedades do Produto

Associativo

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Propriedades do Produto

Associativo

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Sistemas de Equações Lineares

Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares nas mesmas variáveis. Geralmente, quando são poucas as variáveis, usamos as letras x, y, z, w, t

Caso o número de variáveis seja grande, usamos uma dessas letras com um índice, por exemplo x1, x2, x3, x4, x5,etc.

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Forma matricial de um sistema linear

Exemplo de um sistema linear nas variáveis x, y, z    2x + 3y − z = 3 x − 4y + 5z = −3 3x + y + 3z = 7

Escrito na forma matricial   2 3 −1 1 −4 5 3 1 3     x y z  =   3 −3 7  