Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade (II)

Métodos Quantitativos

Aplicados à Contabilidade (II)

2

Revisão de Matemática

Parte II

Otavio Medeiros 4

Definições

Definições: matrizes e vetores

•

Dimensão ou tamanho: m x n = n

• o _{de linhas x n}o _{de colunas}

Vetor linha (

• 1 x n)

Vetor coluna (m x

• 1)

Matriz retangular (m

•  _n)

Matriz quadrada (m = n)

•

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

A

...

m m mn

a

a

a

a

a

a

a

a

a



























( 1, ; 1, ): elementos

ij

Definições

• Escalar (dimensão 1x1)

• Diagonal principal (conjunto de elementos a_ii, i=1,...,n, dispostos

em diagonal da esquerda para a direita em uma matriz quadrada)

• Diagonal secundária (a diagonal da direita para a esquerda em

uma matriz quadrada)

• Traço (soma dos elementos da diagonal principal)

• Matriz diagonal (matriz quadrada com todos elementos fora da

Definições (cont.)

• Matriz simétrica (matriz quadrada onde todos os elementos acima/direita da diagonal principal são iguais aos seus correspondentes abaixo/esquerda dessa diagonal)

• Matriz identidade (matriz diagonal com todos elementos = 1)

Definições (cont.)

• Posto (rank): maior dimensão em que linhas ou colunas de uma

matriz quadrada são independentes entre si

• Matriz com posto pleno (full rank): matriz quadrada com dimensão igual ao posto

• Matriz com posto não pleno: matriz quadrada com posto < dimensão

3 4

2 posto pleno (full rank)

7 9

3 6

1 posto não pleno (non full rank)

2 4

posto

posto

 

 

 

 

 

 

 

Otavio Medeiros 8

Álgebra matricial

• Igualdade: A = B  A e B têm mesma dimensão e a_ij = b_ij " i, j.

• Soma: A+B= C  A e B têm mesma dimensão e a_ij + b_ij = c_ij " i, j.

2 4 1 2 1 6

3 5 4 1 7 6



     

 

Álgebra matricial

• Multiplicação: se A é m x n e B é n x p, o produto A.B = C, onde C é m x p com elementos:

Obs.:

1) A.B  B.A

2) A multiplicação só é possível se as matrizes forem compatíveis: no _{de colunas da}

1ª matriz = no _{de linhas da 2ª matriz}

1

n

ij ik kj

k

c

a b







2 4 1 2 2 ( 1) 4 4 2 2 4 1 14 8

3 5 4 1 3 ( 1) 5 4 3 2 5 1 17 11

       

       

  

     _{      }   

Álgebra matricial

• Multiplicação de um escalar por uma matriz: multiplica-se cada elemento da matriz pelo escalar:

11 12 1

21 22 2

1 2

... ... A

...

n n

m m mn

ca ca ca

ca ca ca c

ca ca ca

 

 

 



 

 

Álgebra matricial

• Transposição de matrizes:

• Linhas  colunas; colunas  linhas

11 12 1 11 21 1

21 22 2 12 22 2

1 2 1 2

... ...

... ...

A ; A '

... ...

n m

n m

m m mn n n mn

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

   

   

   

 

   

   

Otavio Medeiros 12

Propriedades

v) (A+B)+C=A+(B+C)

vi) (A.B).C=A(B.C)

i) (A')'=A

ii) (A+B)'=A'+B'

iii) (A.B)'=B'.A'

Propriedades (cont.)

1

(

)



-1 -1

-1 -1

-1 -1

-1 -1

AA = A A = I

(A ) = A

AB

B A

Otavio Medeiros 14

Matrizes quadradas

• Matriz identidade I:

• Às vezes coloca-se o tamanho da matriz como um indicador, i.e. _In. No caso, a matriz é _I4

Obs.: A.I = I.A = A

1 0 0 0

0 1 0 0

I

0 0 1 0

0 0 0 1























Matrizes quadradas:

• Matriz diagonal:

1

2

0

...

0

0

...

0

0

0

...



















 









Otavio Medeiros 16

Matrizes quadradas

• Matriz escalar = matriz diagonal, quando



 

 ... 

• Matriz nula: todos os elementos = 0

• Traço de uma matriz:

• Se A é m x n e B é n x m, então AB e BA são matrizes quadradas e tr(AB) = tr (BA)

1

(A)

( A)

( (A))

n

ii i

tr

a

tr c

c tr









Otavio Medeiros 18

Determinantes

• Matriz 2 x 2:

3 1

3 2 2 1 6 2 4

Determinantes

• Matriz 3 x 3: expansão de Laplace

• Pode-se escolher qualquer linha ou coluna para a expansão

2 3 2

1 2

1 2

1 1

1 1 2

2

3

2

2 2

3 2

3 2

3 2 2

2(2 4) 3(2 6) 2(2 3)

4 12 2 6







_{ }

_

_

_















 

 

 

Otavio Medeiros 20

Determinantes

• Matriz 3 x 3: método simplificado (só para 3x3)

2 3 2 2 3 2 2 3

1 1 2 1 1 2 1 1

3 2 2 3 2 2 3 2

2 1 2 3 2 3 2 1 2 2 1 3 2 2 2 3 1 2 4 18 4 6 8 6 6

 

 _{ }

 

 

 

Matrizes singulares

• Matrizes com posto não pleno (non full rank) possuem uma ou mais linhas ou colunas não independentes entre si

• Essas matrizes possuem determinante igual a zero e são chamadas

“matrizes singulares” • Exemplo:

3 6

Determinante de 3 4 2 6 0

2 4

 

      

Otavio Medeiros 22

Inversão de matrizes

• Se A é uma matriz quadrada não-singular: A x A-1_=A-1 _{x A = I}

• Matriz A tem uma inversa  |A|  0 (A é não-singular).

• (A.B)-1 _{= B}-1_.A-1

• (A-1)’=(A’)-1 \ _{se A é simétrica e não-singular, então A}-1 _é

simétrica.

• Somente matrizes quadradas com posto pleno (“full rank”), isto é, matrizes não singulares, têm determinante  0 e

Inversão de matrizes

1. Cálculo do determinante: |A| ou Det. A

2. Menor do elemento a_ij = determinante da submatriz após exclusão

da i-ésima linha e da j-ésima coluna.

3. Cofator é o menor multiplicado por (-1)i+j

4. Matriz dos cofatores = matriz onde cada elemento foi substituído por seu cofator

5. Matriz adjunta = transposta da matriz de cofatores 6. Matriz inversa:

Obs.: Se a matriz não tem posto pleno (m. singular), |A| = 0, então A-1

não existe pois envolve divisão por zero. 1 1

Adj( ) | |

 _

A A

Otavio Medeiros 24 1 1 Adj( )  _ A A A

11 22 11 22 12 21 12 21

11 12 11 12

21 12 21 12

21 22 21 22

22 11 22 11

11 11 12 12

22 12 21 11

1

11 22 12 21 11 22

=

Adj ( )

Adj( ) 1

m a c a

m a c a

a a a a

m a c a

a a a a

m a c c

a c a c

a a

a a

a a a c a a a

  \   \         _{ } \ \  _{ }  \         \       _{  }        A C A A C' A

A 22 12

12 21 21 11

a a

c a a

  

_ 

Exemplo

Matriz 2 x 2:

-1

4 3

4 3 2 3 12 6 6

2 3

3 2 3 -3

Adj( ) = =

3 4 -2 4

1 1

3 -3

1 1 _{2 2}

Adj( )= 1 2 -2 4 6 3 3 1 1

4 3 _{2 2}

1 2 2 3    _{ }                _         _       _{   }    _       _              _    2 A A

C A C'

A A

A

Otavio Medeiros 26

Exemplo

• Matriz 3 x 3:

• C = matriz de cofatores

• Adj = matriz adjunta = C´

1

1 2 1 2 1 1

2 2 3 2 3 2

2 3 2 2 4 1

3 2 2 2 2 3

1 1 2 ;| | 6; 2 2 5

2 2 3 2 3 2

3 2 2 4 2 1

3 2 2 2 2 3

1 2 1 2 1 1

2 2 4 1

6 6 6 3

2 2 4

4 2 2

Adj.( )= 3 2 2 ;

6 6 6

1 5 1

1 5 1

6 6 6

        _{ }   _{ }     _{ }    _{ }      _  _                _      _{ }  _{ }       _{ }  _{ }  _{     }   _{ } _{ }  _{ }   _     

A A C

A A

1 2

3 3

2 1 1

3 3 3

1 5 1

6 6 6

Matrizes: casos especiais (1)

• Soma dos quadrados dos elementos de um vetor:

• Seja o vetor

• Transpondo:

• Multiplicando u´ por u:

• Logo, u´u = soma dos quadrados dos elementos do vetor

1

2

T u

u

u

      

      u

 1 2 

´ u u u_T ´

u

1

2 2 2 2

1 1 2 2 2

1

´ ...

T

T T T t

t

u u u u u u u u u u u u



Otavio Medeiros 28 Diferenciação de matrizes (1)

A derivada de um escalar em relação a um vetor coluna (n x 1) é um vetor coluna

cujos elementos são as derivadas do escalar em relação a cada elemento do vetor coluna:

Seja um escalar e um vetor coy x

1 1 2 2 ( ) ( ) ( )

luna tal que . Então:

Diferenciação de matrizes (2)

1 1

2 2

1 1 2 2

1

2

Seja um vetor coluna e um vetor coluna . Então:

´

A derivada de ´ em relação a será: ( ´ ) ( ´ ) ( ´ ) ( ´ ) n n n n n a x a x a x

a x a x a x

x x x              _{ }  _{ }                         _{ }    _       a x a x

a x x

a x

a x a x

x

a x

1 1 2 2

1

1 1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) n n n n n n n n

a x a x a x

x

a

a x a x a x

a x

a

a x a x a x

Otavio Medeiros 30 Diferenciação de matrizes (3)

11 12 1 1

12 22 2 2

1 2

2 2

11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 22 2 23 2 3 2 2

Seja uma matriz simétrica e um vetor coluna .

Então:

´ 2 2 2 2 2

n n

n n nn n

n n n n nn n

a a a x

a a a x

a a a x

a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x

            _{ } _{ }                       A x

x Ax 2

1

11 1 12 2 1 11 12 1 12 1 22 2 2 21

2

1 1 2 2

A derivada de ´ em relação a será: ( ´ ) 2( ) ( ´ ) 2( ) ( ) 2 2( ) ( ´ )

n n n

n n

n n nn n

n

x

a x a x a x a a a

a x a x a x a a

x

a x a x a x

x     _    _{   } _  _{ }     _ _{   }  _{  }  _{  }      _    _     _   

x Ax x

x Ax x Ax x´Ax x x Ax 1 22 2 2 1 2

2 ´

n

n n nn n

x

a x

a a a x

       _{   }            

Exemplo de aplicação de matrizes: o estimador de

mínimos quadrados

• Seja 𝑦 = 𝑋𝛽 + 𝑢 uma equação com variável dependente 𝑦 =

3 2 3 2

, um vetor 𝛽 e

uma matriz X com um intercepto e uma variável independente, tal que 𝑋 =

1 2 1 3 1

1 31

. u é o vetor dos resíduos da regressão. Queremos calcular ෡β= ො𝛼_መ𝛽 .

• O estimador de mínimos quadrados em forma matricial é dado por

෠

Exemplo de aplicação de matrizes: o estimador de

mínimos quadrados

• 1º passo: transpor X:

𝑋′ = 1 1 1 1_{2 3 3 1}

• 2º passo: multiplicar X’ por X (X’X será 2x2):

𝑋′𝑋 = 4 9_{9 23}

• 3º passo: calcular matriz de cofatores:

Exemplo de aplicação de matrizes: o estimador de

mínimos quadrados

• 4º passo: calcular a matriz adjunta. Nesse caso, a matriz adjunta é igual à matriz dos cofatores, pois esta é simétrica, ou seja, Adj(X’X)=C

• 5º passo calcular o determinante de X’X:

Det(X’X)=23*4-(-9)*(-9)=92-81=11

• 6º passo: calcular (X’X)-1 _{= (1/Det(X´X))*Adj}(X’X)

= 1

11 −923 −94 = 23 11

−9 11 −9

11

4 11

= 2,0909 −0,8182

Exemplo de aplicação de matrizes: o estimador de

mínimos quadrados

• 7º passo: calcular X’y (será 2x1 x 4x1  2x1)

𝑋′𝑦 = 1 1 1 1_{2 3 3 1}

3 2 3 2

= 10

23

• 8º passo: multiplicar (X’X)-1 _por X’y_:

2,0909 −0,8182

−0,8182 0,3636 1023 = 2,09040,1808 = 𝛽෡

• O 1º valor é o intercepto e o 2º é a inclinação.

y = 0,1818x + 2,0909

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y