Otimização topológica de perda de carga utilizando CFD

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Mecânica

VINICIUS LOPES NOGUEIRA

Otimização Topológica de Perda de Carga

Utilizando CFD

CAMPINAS 2020

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VINICIUS LOPES NOGUEIRA

Otimização Topológica de Perda de Carga

Utilizando CFD

Orientador: Prof. Dr. Rogério Gonçalves dos Santos

CAMPINAS 2020

Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica, na área de Térmica e Fluidos.

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO(A) ALUNO: VINICIUS LOPES NOGUEIRA, E ORIENTADA PELO PROF. DR ROGÉRIO GONÇALVES DOS SANTOS.

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Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Nogueira, Vinicius Lopes,

N689o NogOtimização topológica de perda de carga utilizando CFD / Vinicius Lopes Nogueira. – Campinas, SP : [s.n.], 2020.

NogOrientador: Rogério Gonçalves dos Santos.

NogDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica.

Nog1. Simulação. 2. Mecânica dos fluidos. 3. Fluidodinâmica computacional. 4. Otimização topológica. I. Santos, Rogério Gonçalves dos, 1978-. II.

Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Topological optimization for head loss reduction using CFD Palavras-chave em inglês:

Simulation Fluid mechanics

Computational fluid dynamics Topological optimization

Área de concentração: Térmica e Fluídos Titulação: Mestre em Engenharia Mecânica Banca examinadora:

Rogério Gonçalves dos Santos [Orientador] José Ricardo Figueiredo

Savio Souza Venancio Vianna

Data de defesa: 29-01-2020

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Mecânica

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0003-4428-2583 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/5746911830571373

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICO

Otimização Topológica de Perda de Carga

Utilizando CFD

Autor: Vinicius Lopes Nogueira

Orientador: Prof. Dr. Rogério Gonçalves dos Santos

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação: Prof. Dr. Rogério Gonçalves dos Santos

Departamento de Energia, Faculdade de Engenharia Mecânica, UNICAMP Prof. Dr. José Ricardo Figueiredo

Departamento de Energia, Faculdade de Engenharia Mecânica, UNICAMP Prof. Dr. Savio Souza Venancio Vianna

Departamento de Engenharia de Sistemas Químicos, Faculdade de Engenharia Química, UNICAMP

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

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Aos que me deram apoio e aos que se apoiaram em mim, porque juntos garantimos sucesso e colecionamos vitórias. DEDICO

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Agradecimentos

O presente trabalho foi realizado com apoio do CNPq, Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - Brasil.

Aos meus pais Valdete Lopes dos Santos e Joel Bonfim Nogueira, por me proporcionarem as melhores condições para que eu pudesse me dedicar exclusivamente aos meus estudos.

À minha namorada Ailyn de Oliveira Vilela, por estar sempre ao meu lado e me fazer acreditar que tudo é possível, e por me fazer mais feliz independente das saudades e das distâncias.

À Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) e à Faculdade de Engenharia Mecânica (FEM) pela oportunidade de me tornar mestre.

Ao meu orientador Prof. Dr. Rogério Gonçalves dos Santos pela oportunidade, disponibilidade e incontáveis contribuições.

Aos meus colegas do Departamento de Energia pela disposição e paciência em me ajudar com meus trabalhos e dúvidas.

Aos amigos que fiz em Campinas, por serem meus companheiros nessa jornada difícil e muito, muito longe de casa.

E aos amigos que estão distantes, dessa vez muitos deles para citar a todos, por ainda estarem presentes, apesar de distantes.

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Resumo

No presente trabalho buscou-se simular e otimizar a geometria de canais para que o escoamento em regime laminar de fluído incompressível através deste tivesse menor perda de carga quando comparado a um canal não otimizado. Foram otimizadas três geometrias diferentes, com diferentes números de Reynolds, o degrau, o cotovelo e o cano duplo. Para simulação do escoamento foi utilizado um código CFD em linguagem Fortran que resolve as equações de Navier-Stokes em duas dimensões para fluidos newtonianos incompressíveis. O código utilizado trabalha com volumes finitos, o método UNIFAES e o acoplamento pressão-velocidade através da equação de Poisson. Ele está paralelizado por meio do uso de openmp. A otimização foi realizada com uma técnica conhecida como otimização topológica, onde as características geométricas do canal são alteradas pela mudança na disposição do material que compõe o mesmo. No presente trabalho a otimização buscou eliminar as zonas de recirculação e estagnação do escoamento, assim reduzindo a perda de carga causada por estas. Diferentes geometrias foram simuladas a fim de encontrar geometrias otimizadas, e ao final do experimento os resultados de perda de carga foram analisados para checar sua concordância com resultados encontrados em literatura. Em alguns dos casos estudados a redução da perda de carga foi de mais de 90%.

Palavras Chave: Simulação, Mecânica dos Fluidos, Fluidodinâmica Computacional, Otimização Topológica

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Abstract

The present work aimed to simulate and optimize a channel’s geometry so that the laminar and incompressible fluid flow presented less head loss when compared to the non-optimized geometries. Three geometries were optimized, with different Reynolds numbers, the backwards facing step, the pipe bend and the double pipe. To simulate the fluid flow, a Fortran CFD code was used to solve the Navier-Stokes equations in two dimensions for incompressible Newtonian fluids. The CFD code utilizes the finite volumes method, the UNIFAES technique, and the pressure-velocity coupling is done using the Poisson equation. This program is parallelized with openmp. The optimization technique used is known as topology optimization, which consists of changing the channel geometry by relocating the materials present in the domain. The analyzed channels were optimized by removing recirculation and stagnation zones and thus reducing head loss in the fluid flow. Different initial geometries were tested to achieve optimized geometries. Finally, the results for total head loss were analyzed and compared with results found in the literature. In some cases, the head loss values found were 90% smaller than the ones in the original geometries.

Keywords: Simulation, Fluid Mechanics, Computational Fluid Dynamics, Topological Optimization

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Lista de Ilustrações

Figura 2.1 – Disposição de malha semi-deslocada ... 25

Figura 3.1 –Domínio Inicial do degrau ... 32

Figura 3.2 – Domínio inicial do cotovelo ... 32

Figura 3.3 – Domínio inicial do cano duplo ... 33

Figura 3.4 – Malha uniforme bidimensional genérica ... 34

Figura 3.5 – Posição dos valores de velocidade e pressão nas faces da célula ... 35

Figura 3.6 – Representação do degrau não otimizado ... 37

Figura 3.7 – Representação do degrau otimizado sem fronteiras ... 37

Figura 3.8 – Representação do degrau otimizado... 38

Figura 3.9 – Representação do degrau inicial com valores positivos ... 38

Figura 3.10 – Representação do degrau otimizado com valores positivos ... 39

Figura 4.1 – (a) Geometria inicial do cotovelo – (b) Campo de velocidade inicial do cotovelo ... 41

Figura 4.2 – Progressão da geometria do cotovelo para Reynolds = 1 e 10; a) 1 otimização, b) 5 otimizações, c) 10 otimizações, d) 20 otimizações. ... 42

Figura 4.3 – Geometria otimizada do cotovelo de Gersborg-Hansen et al. (2005) para Re = 5 (à esquerda) e encontrada (à direita) para Reynolds = 1. ... 42

Figura 4.4 - Perda de carga x número de otimizações para o cotovelo e Re =1 ... 43

Figura 4.6 – Formação sólida na entrada do cotovelo (10ª otimização) para simulação de Re = 10. ... 44

Figura 4.7 – Geometria com 20 otimizações para o cotovelo e Re = 1 (à esquerda) e 10 otimizações e Re = 10 (à direita). ... 45

Figura 4.8 – Campo de velocidade para cotovelo não otimizado e Reynolds = 100 ... 46

Figura 4.9 – Progressão da geometria do cotovelo para Reynolds = 100; a) 1 otimização, b) 5 otimizações, c) 10 otimizações, d) 20 otimizações. ... 47

Figura 4.10 – Geometria otimizada do cotovelo de Gersborg-Hansen et al. (2005) para Re = 850 (à esquerda) e encontrada (à direita) para Reynolds = 100. ... 48

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Figura 4.13 – (a) Geometria inicial do cano duplo – (b) Campo de velocidade inicial do cano

duplo ... 50

Figura 4.14 – Progressão da geometria do cano duplo para Reynolds = 1 e 10; a) 1 otimização, b) 5 otimizações, c) 10 otimizações, d) 20 otimizações. ... 51

Figura 4.15 – Geometria otimizada do cano duplo de Borrvall & Petersson (2003) (à esquerda), de Abdelwahed et al. (2009) (ao centro), ambos com escoamentos de Stokes e a encontrada para Reynolds = 1 (à direita). ... 52

Figura 4.16 - Perda de carga x número de otimizações para o cano duplo e Re =1 ... 52

Figura 4.17 - Perda de carga x número de otimizações para o cano duplo e Re =10 ... 53

Figura 4.18 – Geometria com 6 otimizações para o cano duplo e Re = 1 (acima) e com 19 otimizações e Re = 10 (abaixo). ... 54

Figura 4.19 – Campo de velocidade para o cano duplo não otimizado e Reynolds = 100 ... 54

Figura 4.20 – Progressão da geometria do cano duplo para Reynolds = 100; a) 1 otimização, b) 5 otimizações, c) 10 otimizações, d) 20 otimizações. ... 55

Figura 4.21 - Perda de carga x número de otimizações para o cano duplo e Re = 100 ... 56

Figura 4.22 – Geometria otimizada para cano duplo (escoamento de Stokes) ... 56

Figura 4.23 – Geometria com 16 otimizações para o cano duplo e Re = 100. ... 57

Figura 4.24 – Geometria inicial (a) e Velocidade inicial (b) do degrau ... 57

Figura 4.25 – Progressão da geometria a cada otimização para o degrau (Re = 1 e 10) ... 58

Figura 4.26 – Campo de velocidade do degrau antes e depois da otimização (Re = 100) ... 60

Figura 4.27 – Progressão da geometria a cada otimização para o degrau (Re = 100) ... 61

Figura A.0.1 – Progressão da geometria entre 0 e 9 otimizações para o Cano Duplo (Re = 1) ... 71

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Figura A.0.5 – Progressão da geometria entre 0 e 9 otimizações para o Cano Duplo (Re = 100) ... 78 Figura A.0.6 – Progressão da geometria entre 10 e 20 otimizações para o Cano Duplo (Re = 100) ... 79 Figura B.0.1 – Progressão da geometria entre 0 e 11 otimizações para o Cotovelo (Re = 1) .. 81 Figura B.0.2 – Progressão da geometria entre 12 e 20 otimizações para o Cotovelo (Re = 1) 82 Figura B.0.3 – Progressão da geometria entre 0 e 11 otimizações para o Cotovelo (Re = 10) 84 Figura B.0.4 – Progressão da geometria entre 12 e 20 otimizações para o Cotovelo (Re = 10)

... 85 Figura B.0.5 – Progressão da geometria entre 0 e 11 otimizações para o Cotovelo (Re = 100)

... 87 Figura B.0.6 – Progressão da geometria entre 12 e 20 otimizações para o Cotovelo (Re = 100)

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SUMÁRIO

1 Introdução ... 14 1.1 Objetivos ... 15 2 Revisão Bibliográfica ... 16 2.1 Otimização Topológica ... 16 2.2 Equações Utilizadas ... 21

2.3 O Método dos Volumes Finitos ... 23

2.4 Código em Fortran ... 24 2.5 Perda de Carga ... 30 3 Metodologia ... 32 4 Resultados e Discussões ... 40 4.1 O Cotovelo ... 40 4.1.1 O Cotovelo – Re = 1 e 10 ... 41 4.1.2 O Cotovelo – Re = 100 ... 45 4.2 O Cano duplo ... 49 4.2.1 O Cano duplo – Re 1 e 10 ... 50 4.2.2 O Cano duplo – Re 100 ... 54 4.3 O Degrau ... 57 4.3.1 O Degrau – Re = 1 e 10 ... 58 4.3.2 O Degrau – Re = 100 ... 60 4.3.3 O Degrau – Re = 300 ... 61 4.3.4 O Degrau – Re = 500 ... 63 5 Conclusões ... 66

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Apêndice A – Cano Duplo ... 71

A.1 – Cano Duplo – Re = 1 ... 71

A.2 – Cano Duplo – Re = 10 ... 74

A.3 – Cano Duplo – Re = 100 ... 77

Apêndice B – Cotovelo ... 81

B.1 – Cotovelo – Re = 1 ... 81

B.2 – Cotovelo – Re = 10 ... 84

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1 Introdução

Perda de carga representa a perda na energia total presente num fluído escoando, este fenômeno pode acontecer por uma variedade de fatores presentes no escoamento, como atrito, turbulências causadas por mudanças repentinas de direção e/ou área da seção transversal. Estes fatores são bastante comuns quando a tubulação em questão conta com componentes como válvulas e cotovelos e, portanto, perdas de energia são frequentes nesse tipo de tubulação.

A otimização topológica é uma eficiente e moderna técnica utilizada para encontrar um melhor layout estrutural para uma determinada situação, esta surgiu a partir dos avanços computacionais, que contribuem para melhor velocidade e poder de processamento de dados, e pode ser usada para modificar designs já existentes, incorporar características especificas no layout e até mesmo gerar designs inteiramente novos. (QUERIN et al., 2007).

Desse modo, o domínio da técnica de otimizar escoamentos a fim de evitar as características ligadas a perda de carga mostra-se extremamente importante. A otimização topológica pode ser útil em inúmeras situações, como por exemplo em geometrias complexas que operaram em regime laminar, como vasos sanguíneos e microcomponentes.

Segundo Gersborg-Hansen et al. (2005), uma vez que na prática, qualquer escoamento conta com perda de carga, o design de geometrias que obedecem a um limite de dissipação de energia é bastante útil. Essas geometrias podem ser utilizas em dispositivos microfluídicos, como microrreatores onde é importante evitar a perda de carga e instabilidades no escoamento, que normalmente se originam em defeitos de fabricação.

Hathcock (2006) ao analisar escoamento em vasos sanguíneos afirma que em determinadas situações, zonas de recirculação próximas a paredes feridas nesses vasos sanguíneos podem favorecer o acúmulo de produtos coagulantes. O que significa que a possibilidade de simular possíveis mudanças no escoamento de vasos sanguíneos antes ou depois de uma cirurgia pode ajudar a encontrar vórtices que poderiam causar complicações futuras ao paciente, um software que permite otimização de canais pode encontrar geometrias que evitem o aparecimento de recirculações e as complicações decorrentes destas.

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1.1 Objetivos

Os objetivos específicos deste trabalho foram:

1. Implementar o cálculo de perda de carga em um programa já existente

2. Calcular a perda de carga nas geometrias iniciais propostas em diferentes números de Reynolds.

3. Implementar um modelo de otimização no código.

4. Desenvolver critérios de otimização a fim de reduzir a perda de carga encontrada 5. Utilizar otimização para encontrar novas geometrias otimizadas

6. Comparar os resultados encontrados nas geometrias otimizadas com os resultados da geometria inicial.

De maneira geral, buscou-se a otimização de três canais com geometrias especificas: o degrau, o cotovelo e o cano duplo, com o objetivo de reduzir a perda de carga em um escoamento laminar com fluido incompressível, resultando em geometrias otimizadas com regiões menores de recirculação e estagnação.

Para alcançar tais objetivos foi utilizado um código de CFD, bidimensional laminar desenvolvido por Medeiros Filho (2018), disponibilizado para o grupo de pesquisa, e foi acoplado o cálculo de perda de carga e otimização neste. Os resultados encontrados foram comparados com os da literatura.

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2 Revisão Bibliográfica

2.1 Otimização Topológica

Otimização topológica é uma ferramenta de design que busca melhorar uma geometria em estudo mudando a maneira na qual material é distribuído em um determinado domínio (BRUGGI & TALIERCIO, 2015), e apenas com essa mudança na disposição de material é possível otimizar diferentes parâmetros de interesse.

O desenvolvimento de designs otimizados usando fluidodinâmica é útil na solução de diversos problemas de aerodinâmica e hidrodinâmica como o design de capôs de automóveis, asas de aeronaves, tubo de admissão em motores etc. (ABDELWAHED et al., 2009). Esses mesmos autores demonstram o uso de um algoritmo para otimização topológica com o objetivo de desenvolver uma geometria otimizada usando sensibilidade topológica. O algoritmo busca distribuir obstáculos no domínio estudado, a melhor posição para estes obstáculos é dada pelo maior valor negativo de uma função escalar chamada de gradiente topológico. Foram analisados dois casos bidimensionais, e um tridimensional. O algoritmo proposto funciona com a ideia central da otimização topológica de alterar a disposição de material a fim de encontrar a geometria que maximiza a função custo.

No caso de projetos estruturais é comum a remoção de materiais, criando “furos” no domínio inicial, entretanto, como se trata de um problema de fluidodinâmica, o domínio é composto pelo fluido e os “furos” nesse caso são pequenos obstáculos que foram adicionados ao domínio a cada interação, resultando numa geometria final que dissipa menos energia a partir do escoamento do fluido.

Kondoh et al. (2011) apresentam um modelo de otimização topológica de corpos em domínios com escoamentos laminares, com o objetivo de minimizar coeficientes de arrasto e maximizar coeficientes de sustentação, usando funções objetivo similares para os dois casos, estas são expressas como uma integração da força corpo no domínio. Usando as funções objetivo são encontradas geometrias ótimas para os corpos em escoamentos laminares axissimétricos e bidimensionais.

Gersborg-Hansen et al. (2005) descrevem um método de design topológico para otimização de escoamentos incompressíveis e laminares em duas dimensões com o principal objetivo de compreender o impacto de componentes inerciais. O escoamento é modelado

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usando o método dos elementos finitos e os critérios de otimização são definidos através de um algoritmo que utiliza análise de sensibilidade.

O método utiliza a teoria da lubrificação, e, portanto, os canais estudados têm a largura muito maior que a altura. Os resultados mostram que essas considerações tornam a influência dos efeitos inerciais desprezíveis na otimização de escoamentos em dispositivos microfluídicos, aonde o escoamento deve permanecer laminar e estável. Entretanto, quando o número de Reynolds se torna um pouco maior, com valores entre 500 e 1000, os efeitos inerciais passam a ser relativamente significativos e as geometrias otimizadas mudam.

O método é bem-sucedido em encontrar geometrias otimizadas que simulam dispositivos com o intuito de direcionar o fluxo de fluidos em direções de interesse. Entretanto, aproximação de lubrificação utilizada requer que o escoamento seja sempre bidimensional, limitando a técnica a microcomponentes, para aplicações em maior escala, com taxas parecidas de comprimento-largura e com maiores valores para Reynolds, por exemplo, é necessária uma modelagem tridimensional, e os resultados encontrados podem ser diferentes.

Duan et al. (2007) corroboram o uso do método level set, cuja ideia principal é escolher a direção do escoamento de maneira a diminuir a função de custo, entretanto, em métodos level set convencionais as interfaces são representadas pelo nível zero, o que pode ser difícil de manter durante sua evolução, para resolver esse problema é comum o uso de reinicializações, o que aumenta muito a complexidade e o custo do método.

Buscando mais eficiência os autores seguem um novo método level set proposto anteriormente em outros trabalhos como os de como Chan (1995) e Li et al. (2005) que não requer nenhum tipo de reinicialização. O foco principal do trabalho é encontrar a melhor geometria ou topologia para problemas comuns baseados nas equações de Navier-Stokes, como os mostrados por Chan (1995).

Exemplos numéricos são usados para mostrar a precisão, velocidade de convergência e a não-importância do design inicial quando a otimização topológica é usada para resolver problemas em duas dimensões como já demonstrado por Borrvall & Petersson (2003).

Duas geometrias são otimizadas como exemplo, um tubo em curva e um difusor, ambos mostram geometrias otimizadas coerentes e com velocidade de convergência satisfatória. Também é notado que os testes do tubo em curva foram realizados com diferentes Reynolds, e conforme o número aumenta a geometria otimizada muda de um canal relativamente reto para um canal em curva.

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Bai et al. (2018) aplicam um algoritmo evolutivo de otimização topológica para otimizar a disposição de nanopartículas presentes em um nanofluido. Baseando-se em trabalhos passados é possível notar que o desempenho de um sistema pode ser melhorado de acordo com a maneira que nanopartículas são distribuídas no interior de nanofluidos.

A partir dessa ideia, o algoritmo proposto busca distribuir nanopartículas de maneira a criar estruturas de alta condutividade para melhorar a performance do sistema.

Os autores utilizam um algoritmo evolutivo de otimização topológica desenvolvido por Xie & Steven (1993). Este algoritmo se baseia na mudança controlada de critérios de otimização para atingir o design ideal.

O critério de otimização escolhido foi a resistência térmica do sistema, por ser o melhor indicador da capacidade de transferência de calor de um nanofluido. A simulação distribui nanopartículas no fluido constantemente até que a resistência térmica do sistema não diminua mais. A distribuição otimizada de nanopartículas apresenta uma configuração de tiras de alta condutividade formadas por essas nanopartículas, as tiras têm a mesma espessura das partículas e o comprimento é igual ao tamanho característico do sistema. As tiras reduziram consideravelmente a resistência térmica do sistema.

Jahan et al. (2019) demonstraram um algoritmo de otimização topológica térmica e de fluidos para o design de canais conformados de refrigeração. O problema trabalha com transferência de momento e de calor e, portanto, é modelado com base no acoplamento das equações de Navier-Stokes com a equação de transferência de calor.

Os critérios de otimização são encontrados através de análise de sensibilidade. A distribuição de material depende diretamente dos efeitos da resistência do escoamento, condução de calor e convecção natural e forçada.

O algoritmo busca alcançar um conceito de design em duas dimensões com transferência de calor ideal e escoamento balanceado, e este é posteriormente transformado em um canal de resfriamento tridimensional.

O objetivo da otimização é criar um macho com canais de refrigeração usados durante o processo de injeção de plástico. A eficiência e velocidade da refrigeração de moldes é de extrema importância na indústria de injeção de plástico. O macho com canais de refrigeração encontrado com o uso da otimização foi comparado com o utilizado atualmente, fabricado através de usinagem.

Os resultados foram positivos, com o macho otimizado permitindo que o fluido refrigerante fosse mais fundo no mesmo e trabalhasse de forma mais eficiente. As temperaturas encontradas no macho otimizado foram mais altas, o que pode parecer prejudicial. Entretanto,

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o macho otimizado foi impresso em 3D com um material de condutividade térmica quase três vezes menor que o do macho comum.

A partir disso, caso o macho otimizado fosse fabricado do mesmo material, é inegável que as temperaturas diminuíram e sua eficiência seria maior.

Ruspini et al. (2019) apresentaram aplicações de métodos de otimização topológica para a solução de problemas de fluidodinâmica em duas e três dimensões, com o objetivo de desenvolver uma ferramenta capaz de otimizar dispositivos realistas, como por exemplo, coletores de admissão. A otimização topológica consiste na otimização de função custo em particular, ou seja, buscando mínimos ou máximos locais nessa função ao longo do domínio geométrico estudado.

Os autores utilizaram um código próprio escrito em Fortran que trabalha com elementos finitos e resolve as equações de Navier-Stokes em regime permanente com um método iterativo de Galerkin linearizado. O programa trabalha criando furos na geometria através do método de remoção de elementos máximos (MERM – Maximum Elemental Removing Method) que consiste em considerar o máximo valor normal do elemento que pode vir a ser removido.

Três problemas são estudados pelos autores, um canal retangular bidimensional, um cano em curva e um possível coletor de admissão. Cada um dos casos conta com funções custos diferentes, no caso do cano em curva por exemplo o programa tenta tornar as perdas em energia interna uniformes e essa lógica é estendida para o caso do coletor de admissão, que por sua vez é um caso tridimensional e também usa energia interna como função custo mas com critério de parada definido pelo usuário.

Ao fim do experimento o programa consegue chegar em geometrias com até 50% menos massa através da otimização e remoção de material.

Chen & Li (2017) mostraram um método de otimização topológica para canais microfluidicos com presença de escoamento reverso utilizando o COMSOL Multiphysics 4.4. Como é comum em escoamentos microfluidicos, a dissipação de energia foi utilizada como função para otimizações topológicas. O módulo de escoamento laminar do COMSOL foi utilizado para resolver as equações de Navier-Stoke e a equação da continuidade e o módulo de otimização implementa a otimização do domínio estudado.

O domínio otimizado é uma área circular, com um tubo de entrada e um de saída separados por um ângulo 𝜃. Geometrias com ângulos 𝜃 = 30°, 90°, 150° e 180° e números de Darcy = 10 , 10 , 10 , 10 foram analisadas. A condição de escoamento reverso direcionado para a entrada é definida no centro do círculo.

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Com um ângulo de 30° entre entrada e saída, o escoamento reverso não impacta o campo de velocidade mesmo com a variação do número de Darcy, para o ângulo de 90°, conforme o número de Darcy aumenta, o impacto desse fenômeno é maior.

Com relação a variável 𝛾 de otimização, esta varia de 0 a 1, onde 0 representa um solido artificial formado para moldar a geometria otimizada e 1 representa domínio fluido, valores entre 0 e 1 representam regiões insatisfatórias, as geometrias mais bem definidas e sem valores intermediários de 𝛾 foram encontradas nas simulações com 𝜃 > 90° e número de Darcy = 10 , mostrando que essas condições foram as geometrias mais promissoras.

O método proposto por Asmussen et al. (2019) busca reduzir o custo computacional de otimização de problemas envolvendo convecção natural usando um modelo de ordem reduzida. A modelagem do método é feita a partir de um modelo de escoamento potencial, introduzindo uma propriedade de fluido adicional, por conta disso, pequenas mudanças são necessárias em comparação com métodos que se baseiam em soluções numéricas das equações de Navier-Stokes.

O modelo de escoamento simplificado parte das equações de Navier-Stokes e é reduzido com base em diversas suposições. Apesar dessas simplificações serem significativas, otimizações topológicas baseadas nesse modelo de ordem reduzida mostram designs qualitativamente similares aos obtidos com modelos mais complexos.

A método é implementado utilizando Matlab, a equação governante para a pressão é discretizada através do método de Galerkin e o sistema de equações não lineares é resolvido com o método de Newton.

Otimização topológica é aplicada usando um modelo de design 𝛾, no cenário discretizado, cada elemento finito recebe uma constante de design 𝛾 , essas variáveis recebem valor 0 quando o domínio é fluido e 1 quando o domínio é solido. O objetivo de design é encontrar um dissipador de calor que minimize a conformidade térmica do sistema, essa característica como função de otimização é usada com sucesso em diversos trabalhos.

Os designs otimizados do dissipador de calor encontrado através do método seguem as mesmas tendências observadas em estudos que utilizam as equações de Navier-Stokes por completo, entretanto, o número de graus de liberdade é reduzido pela metade em casos bidimensionais e a complexidade computacional é cerca de 12,5% do método completo. Isso permite com que usuários desse método obtenham designs que se assemelham aos encontrados por métodos mais complexos e caros, que podem ser pós-processados usando CAD ou usados como passos iniciais (protótipos) para posteriormente serem aperfeiçoados ainda mais.

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2.2 Equações Utilizadas

Nesta seção são apresentadas as equações a serem resolvidas durante o estudo da otimização dos domínios propostos.

De acordo com Versteeg & Malalasekera (2007) as equações governantes de escoamentos de fluidos são representações matemáticas das leis físicas conhecidas como leis da conservação, são elas:

I. Conservação de massa: a massa de um fluido se conserva

II. Conservação de momento: a taxa de variação de momento é igual a soma das forças em uma partícula de fluido (segunda lei de Newton)

III. Conservação de energia: A taxa de variação de energia é igual a soma da taxa de calor e trabalho realizado sobre uma partícula de fluido (primeira lei da termodinâmica)

No presente trabalho foram usadas apenas as equações de conservação de massa e momento, e estas são introduzidas a seguir.

Partindo de I, a conservação de massa tem início no balanço de massa em um elemento de fluido, o que significa que a taxa de aumento de massa no elemento de fluido é contraposta a taxa resultante do fluxo de massa que atravessa o elemento de fluido, ou seja,

𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝜕(𝜌𝑢) 𝜕𝑥 + 𝜕(𝜌𝑣) 𝜕𝑦 + 𝜕(𝜌𝑤) 𝜕𝑧 = 0 (2.1)

onde, 𝜌 representa a densidade, 𝑡 o tempo, 𝑢, 𝑣 e 𝑤 as componentes de velocidade e 𝑥, 𝑦 e 𝑧 as componentes espaciais.

Ou, na forma vetorial compacta,

𝜕𝜌

𝜕𝑡 + ∇⃗ ∙ (𝜌𝑢⃗) = 0

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essa equação (2.2), conhecida como equação da conservação de massa, representa a conservação de massa em três dimensões. Para um fluido incompressível, a densidade representada por 𝜌 é constante e, portanto, essa equação se torna:

∇⃗ ∙ (𝑢⃗) = 0 (2.3)

Como mencionado em II, a variação de momento está ligada às forças atuantes sobre uma partícula de fluido, essas forças podem são divididas em forças de superfície e forças volumétricas, tomando como exemplo a componente x da equação da conservação de momento,

𝜌𝐷 𝐷 = 𝜕(−𝑝 + 𝜏 ) 𝜕𝑥 + 𝜕𝜏 𝜕𝑦 + 𝜕𝜏 𝜕 + 𝑆 (2.4)

onde o termo à esquerda representa a taxa de variação de momento em x por unidade de volume de uma partícula de fluido, p a pressão, 𝜏 as tensões viscosas e 𝑆 o termo fonte de momento em x por unidade de volume por unidade de tempo.

Essa equação, assim como as equivalentes para as coordenadas y e z, apresentam o termo de tensão viscosa 𝜏 , o que a torna difícil de ser utilizada, as formas mais uteis da equação são obtidas ao aplicar um modelo para essas tensões viscosas. Em fluidos newtonianos, a tensão viscosa é diretamente proporcional à taxa de deformação. Essa modelagem em particular da origem as equações de Navier-Stokes.

As equações de Navier-Stokes em sua forma mais adequada para o método de volumes finitos, já escrita para fluidos incompressíveis e escoamento laminar se dá por

𝜕𝑢 𝜕𝑡 + ∇⃗ ∙ (𝑢𝑣⃗) = − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑥+ ∇⃗ ∙ (ν∇𝑢) 𝜕𝑣 𝜕𝑡 + ∇⃗ ∙ (𝑣𝑣⃗) = − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑦+ ∇⃗ ∙ (ν∇v) 𝜕𝑤 𝜕𝑡 + ∇⃗ ∙ (𝑤𝑣⃗) = − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑧+ ∇⃗ ∙ (ν∇w) (2.5)

(23)

No presente estudo, o escoamento é bidimensional, transiente e incompressível, e, portanto, as equações de Navier-Stokes e conservação de massa foram utilizadas nesta forma.

2.3 O Método dos Volumes Finitos

Nesta seção é introduzido o método dos volumes finitos, o método numérico que foi utilizado para resolver as equações apresentadas na seção anterior.

Existem três principais vertentes distintas de técnicas de solução numérica: O Método de Diferenças Finitas (Finite Difference Method - FDM), O Método de Volumes Finitos (Finite Volume Method - FVM) e métodos espectrais. O método dos volumes finitos nada mais é que uma formulação especial do método de diferenças finitas. (VERSTEEG & MALALASEKERA, 2007)

O método de volumes finitos é comumente usado em malhas não estruturadas, e por isso é mais indicado para geometrias complexas. Outra vantagem apresentada pelo FVM quando usado em mecânica dos fluidos, é que este é baseado nas formas integrais e não diferenciais das leis da conservação. Isso resulta em mais precisão e estabilidade. (NEILL & HASHEMI, 2018) Essas equações governantes, integradas espacialmente em um volume de controle tridimensional, para uma variável genérica 𝜙 tornam-se então,

𝜕

𝜕𝑡(𝜌𝜙)𝑑𝑉 + (𝜌𝑢⃗𝜙)𝑑𝐴= (Γ∇ϕ)dA+ 𝑆𝑑𝑉

(2.6)

onde, Γ representa o coeficiente de difusão, 𝑆 o termo fonte, e a variável dependente 𝜙 representa uma variável escalar genérica e pode representar uma variedade de grandezas, como a fração mássica de uma espécie química, entalpia, temperatura, um componente de velocidade, etc. Para cada uma dessas possíveis variáveis, são necessários um coeficiente de difusão Γ e um termo fonte 𝑆 adequados (PATANKAR, 1980).

Métodos numéricos utilizam valores encontrados em cada um dos nós da malha numérica para encontrar aproximações dos resultados de cada uma dessas integrais, quanto mais complexo e de maior ordem for a aproximação, mais nós vizinhos são utilizados, resultando em maior precisão.

(24)

𝜕 𝜕𝑡(𝜌𝜙)𝑑𝑉 ≈ 𝜕 𝜕𝑡(𝜌𝜙) 𝑉 (2.7) (𝜌𝑢⃗𝜙)𝑑𝐴⃗≈ (𝜌𝑢⃗𝜙) 𝐴⃗ (2.8) (𝛤𝛻𝜙)𝑑𝐴⃗≈ (Γ∇𝜙) 𝐴⃗ (2.9) 𝑆𝑑𝑉≈ 𝑆 𝑉 (2.10)

Nessas equações o subscrito 𝑃 representa um elemento volumétrico e o subscrito 𝑓 uma parcela da fronteira de um volume.

Em problemas que dependem do tempo, também é necessária a discretização temporal, e, portanto, sua aproximação, na forma geral esta torna-se:

𝜕

𝜕𝑡(𝜌𝜙) ≈ 𝑓(Δ𝑡, (𝜌𝜙) , (𝜌𝜙) , (𝜌𝜙) … )

(2.11)

2.4 Código em Fortran

Nesta seção é apresentado o código utilizado nas simulações, este é um código bidimensional de CFD escrito em Fortran, desenvolvido primeiramente em Pascal por Figueiredo (1997) e posteriormente modificado por Medeiros Filho (2018), ele apresenta as seguintes características:

 Malha computacional: Estrutura semi-deslocada. (velocidade nos nós das faces e pressão no centro das células)

 Discretização espacial: Método UNIFAES.  Discretização Temporal: Euler Explícito.

(25)

Uma particularidade do programa usado é que a malha numérica segue o padrão semi-deslocado como mostra a Figura 2.1, o que significa que as velocidades e a pressão não se encontram na mesma coordenada espacial:

Figura 2.1 – Disposição de malha semi-deslocada Fonte: Medeiros Filho (2018)

Por conta disso, algumas modificações foram feitas no programa para os cálculos de perda de carga e estas são mostradas no capítulo seguinte.

O método UNIFAES (Unified Finite Approach Exponential-type Scheme), utilizado por Figueiredo & Llagostera (1999) é aplicado para a discretização espacial dos termos difusivo e convectivo das equações de transporte, incluindo Navier-Stokes incompressível. Esse esquema trabalha com a solução exata de uma equação linear.

Partindo da equação 2.12 de momento adimensional em duas dimensões para uma variável genérica 𝜙, 𝜕𝜙 𝜕𝑡 + 𝑅𝑒 𝜕(𝑢𝜙) 𝜕𝑥 + 𝑅𝑒 𝜕(𝑣𝜙) 𝜕𝑥 − 𝜕 𝜙 𝜕 𝑥 − 𝜕 𝜙 𝜕 𝑦 = 𝑆 (2.12)

onde, 𝑅𝑒 representa o número de Reynolds.

Os métodos exponenciais de discretização do fluxo viscoso das equações de Navier-Stokes são definidos como esquemas provenientes da interpolação da curva da solução exata

(26)

da equação 2.13 unidimensional dada por (chamada equação geradora) (MEDEIROS FILHO, 2018) 𝑅𝑒 𝑢 𝑑𝜙 𝑑𝑥− d ϕ d x = K (2.13)

A maioria dos esquemas de tipo exponencial usa como curva interpolante a solução exata da equação 2.13. Essa equação aproxima os termos advectivo e difusivo, assumindo velocidade 𝑢 , localmente como constante, e localizada em cada face da célula, assim como o termo não homogêneo 𝐾 , o qual representa todos os termos da equação original de momento que não estão inclusos explicitamente na equação 2.13 (OLIVEIRA & FIGUEIREDO, 2009).

A fim de encontrar os coeficientes do método UNIFAES, são utilizadas as seguintes curvas interpoladoras para uma variável 𝜙 e sua derivada, novamente para a fronteira 𝑒 (east) da célula.

𝜙 = C + C δx + C e 𝜕𝜙

𝜕𝑥 = 𝐶 + 𝐶 𝑅𝑒𝑢 𝑒

(2.14)

A constante 𝐶 é encontrada pela solução particular da equação não homogênea

𝐶 = 𝐾

𝑅𝑒 𝑢

(2.15)

Partindo destas equações, as constantes 𝐶 e 𝐶 são obtidos com o uso dos valores de interpolação de 𝜙 (valor central) e do vizinho ao leste 𝜙

𝜙 = 𝐶 + 𝐶

𝜙 = 𝐶 + 𝐶 Δx + 𝐶 𝑒 (2.16)

Os esquemas exponenciais usados em volumes finitos diferem a partir da determinação do termo 𝐾. O esquema UNIFAES obtêm as informações necessárias sobre K através do

(27)

procedimento de diferenças finitas de Allen, que dá origem ao esquema Allen & Southwell (1955).

O termo fonte 𝐾 é então encontrado por interpolação linear da generalização acerca das estimativas de 𝐾 de Allen & Southwell (1955), que consiste em utilizar curvas geradoras obtidas para interpolar entre os pontos vizinhos 𝜙 , 𝜙 e 𝜙 , onde o subscrito W representa o vizinho a oeste do nó central P.

𝜙 = 𝐶 − 𝐶 Δ𝑥 + 𝐶 𝑒 𝜙 = 𝐶 + 𝐶 𝜙 = 𝐶 + 𝐶 Δ𝑥 + 𝐶 𝑒

(2.17)

Para malhas uniformes

𝑅𝑒𝑢 𝜕𝜙 𝜕𝑥 − 𝜕 𝜙 𝜕 𝑥 = 𝐾 = (𝜙 − 𝜙 )Π + (𝜙 − 𝜙 )Π Π± = ±𝑅𝑒𝑢 Δ𝑥 Δ𝑥 [𝑒± , _{− 1]} (2.18)

Assim, o fluxo resultante integrado no volume de controle pode ser aproximado como

𝐴 𝑑𝑣 ≈ 𝑎 (𝜙 − 𝜙 ) + 𝑎 (𝜙 − 𝜙 ) + 𝑎 (𝜙 − 𝜙 ) + 𝑎 (𝜙 − 𝜙 ) − ψ

(2.19)

Onde os novos subscritos N e S representam os nós vizinhos ao norte ao sul, respectivamente.

Os coeficientes mostrados na equação 2.19 podem ser descritos como

𝑎 / = 𝜋 ±𝑝 / 𝛿 Δ𝑥± 𝑎 / = 𝜋 ±𝑝 / 𝛿 Δ𝑦± 𝑝 / = 𝑅𝑒 𝑢 / Δ𝑥±

(28)

𝑝 / = 𝑅𝑒 𝑢 / Δ𝑦± 𝜋(𝑝) = 𝑝 exp(𝑝) − 1 𝜓 = [𝐾 Δ𝑥 𝜒(𝑝 ) − 𝐾 Δ𝑥 𝜒(𝑝 )]𝛿 + [𝐾 Δ𝑦 𝜒(𝑝 ) − 𝐾 Δ𝑦 𝜒(𝑝 )]𝛿𝑥 𝜒(𝑝) =𝜋(𝑝) − 1 𝑝 + 𝑅 𝑅 / = 𝛿𝑥 / Δ𝑥± 𝑅 / = 𝛿𝑥 / Δ𝑦± (2.20)

Nessas equações, os coeficientes com subscritos 𝑒 e 𝑛 recebem o sinal positivo, e os subscritos 𝑤 e 𝑠 recebem o sinal negativo.

O termo 𝐾 para um nó central P, é então definido como

𝐾 = (𝜙 − 𝜙 )Π + (𝜙 − 𝜙 )Π (2.21)

E a variável Π±_{pode ser definida para malhas uniformes como}

Π±₌ 𝜋(±𝑝 ±₎

Δ𝑥 𝑝±= 𝑅𝑒 𝑢 Δ𝑥±

(2.22)

O código trabalha com valores adimensionais, e esta adimensionalização é feita da seguinte maneira: 𝑥∗ ₌ 𝑥 𝐿 𝑦∗ ₌ 𝑦 𝐿 𝑢∗ = 𝑢 𝑉 𝑣∗ = 𝑣 𝑉

(29)

𝑡∗ ₌ 𝑡 𝑅𝑒𝐿 𝑉 𝑝∗ = (𝑝 + 𝜌𝑔𝑧)𝐿 𝜇𝑉 (2.23)

onde os termos acompanhados do sobrescrito ∗ representam variáveis adimensionalizadas, 𝐿 representa o comprimento característico da geometria, 𝑉 a velocidade de corrente livre e 𝑅𝑒 o número de Reynolds, escrito como:

𝑅𝑒 =𝜌𝑉 𝐿 𝜇

(2.24)

Quando se trabalha com escoamentos compressíveis, pressão e velocidade podem ser acoplados através da equação de estado. Porém, quando o escoamento é incompressível não existe uma maneira evidente de acoplar pressão e velocidade.

Uma maneira de realizar esse acoplamento é utilizar o divergente da equação de momento e de conservação de massa para obter uma equação de Poisson para pressão.

Combinando a equação de conservação de massa:

𝜕𝑢 𝜕𝑥+

𝜕𝑣 𝜕𝑦= 0

(2.25)

Substituindo as variáveis adimensionais no sistema de equações 2.5,

𝜕𝑢∗ 𝜕𝑡∗ = −𝑅𝑒 𝜕𝑢∗ 𝜕𝑥∗ + 𝜕𝑣∗_𝑢∗ 𝜕𝑦∗ + 𝜕 𝑢∗ 𝜕𝑥∗ + 𝜕 𝑢∗ 𝜕𝑦∗ − 𝜕𝑝∗ 𝜕𝑥∗ 𝜕𝑣∗ 𝜕𝑡∗ = −𝑅𝑒 𝜕𝑢∗_𝑣∗ 𝜕𝑥∗ + 𝜕𝑣∗ 𝜕𝑦∗ + 𝜕 𝑣∗ 𝜕𝑥∗ + 𝜕 𝑣∗ 𝜕𝑦∗ − 𝜕𝑝∗ 𝜕𝑦∗ (2.26)

Onde o lado esquerdo representa a variação de tempo, os dois primeiros termos do lado direito dessas equações correspondem aos fluxos advectivo e viscoso e o terceiro a variação de pressão. Utilizando a 𝐴 para representar ambos os termos de fluxo:

(30)

𝜕𝑢∗ 𝜕𝑡∗ = 𝐴∗ − 𝜕𝑝∗ 𝜕𝑥∗ 𝜕𝑣∗ 𝜕𝑡∗ = 𝐴 ∗ ₋𝜕𝑝∗ 𝜕𝑦∗ (2.27)

Derivando e combinando o sistema de equações 2.27, a equação de Poisson para pressão resultante pode ser escrita por:

𝜕 𝑝∗ 𝜕𝑥∗ + 𝜕 𝑝∗ 𝜕𝑦∗ = 𝜕𝐴∗ 𝜕𝑥∗ + 𝜕𝐴∗ 𝜕𝑦∗ − 𝜕𝑢∗ 𝜕𝑥∗+𝜕𝑣 ∗ 𝜕𝑦∗ 𝜕𝑡∗ (2.28) 2.5 Perda de Carga

Nesta seção são apresentadas as equações utilizadas para o cálculo de perda de carga e como ela foi implementada no código. O cálculo da perda de carga é o primeiro passo na otimização das geometrias estudadas.

Partindo da primeira lei da termodinâmica aplicada à um sistema, é possível calcular a quantidade de energia mecânica transformada em energia térmica e a energia perdida através de transferência de calor. Com esses valores pode-se calcular a perda de carga no escoamento. Pela equação da conservação de energia para um volume de controle: (FOX; PRTICHARD; MCDONALD, 2008)

𝑄̇ − 𝑊̇ = 𝛿

𝛿𝑡 𝑒𝑝𝑑𝑉 + (𝑒 + 𝑝𝜈)𝜌𝑉⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗

(2.29)

onde 𝑄̇ representa a taxa de variação de calor no volume de controle, 𝑊̇ a taxa de trabalho realizado no volume de controle, 𝑒 a energia, 𝑝 a pressão, 𝜈 o volume específico e 𝑉⃗ o vetor velocidade que atravessa um elemento infinitesimal 𝑑𝐴⃗.

Adotando as hipóteses de trabalho nulo, escoamento incompressível e regime permanente, e expandindo os termos pertinentes:

(31)

− 𝑉 2 + 𝑃 𝜌 𝜌𝑉⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ − 𝑉 2 + 𝑃 𝜌 𝜌𝑉⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ = −𝑄̇ + 𝜌𝑢𝑉⃗𝑑𝐴⃗ + 𝜌𝑢𝑉⃗𝑑𝐴⃗ (2.30)

o membro direito da equação 2.30 representa a perda de carga total no sistema ℎ em joules, multiplicado pela vazão mássica 𝑚̇, ou seja:

− 𝑉 2 + 𝑃 𝜌 𝜌𝑉⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ − 𝑉 2 + 𝑃 𝜌 𝜌𝑉⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ = ℎ ∙ ṁ (2.31)

A perda de carga é o principal critério de otimização que será utilizado no programa, e a partir dessa equação 2.31 será feito o cálculo dessa perda nas fronteiras dos domínios estudados.

(32)

3 Metodologia

Como já mencionado, três geometrias foram otimizadas. O escoamento é sempre bidimensional, laminar de fluido incompressível. As três geometrias escolhidas foram: o degrau a montante (backwards facing step), o cotovelo (pipe bend) e o cano duplo (double pipe). O primeiro caso por ser um problema clássico de engenharia estudado de muitos ângulos diferentes, e os outros por serem casos bastante comuns em estudos de otimização e por mostrarem nuances importantes durante as simulações.

Figura 3.1 –Domínio Inicial do degrau

(33)

Figura 3.3 – Domínio inicial do cano duplo

Como já fora mencionado, o programa trabalha com valores adimensionais. Os resultados obtidos através deste foram dimensionados para encontrar valores dimensionais de perda de carga.

Partindo da equação 2.27 para perda de carga, e aplicando-a ao domínio discretizado representado na Figura 3.4, tem-se que o conjunto de equações (3.1) é utilizado para o cálculo da perda de carga no volume de controle, onde os índices 𝑜, 𝑙, 𝑠 e 𝑛 representam cada uma das fronteiras oeste, leste, sul e norte do domínio. As equações utilizadas são as que correspondem a uma fronteira que conte com entradas ou saídas de fluxo para o caso analisado.

ℎ 𝑚̇ = 𝑢 + 𝑣 2 + 𝑃 𝜌 𝜌(−𝑢Δy) ℎ 𝑚̇ = 𝑢 + 𝑣 2 + 𝑃 𝜌 𝜌(𝑢Δy) ℎ 𝑚̇ = 𝑢 + 𝑣 2 + 𝑃 𝜌 𝜌(−𝑣Δx) ℎ 𝑚̇ = 𝑢 + 𝑣 2 + 𝑃 𝜌 𝜌(𝑣Δx) _(3.1)

(34)

Figura 3.4 – Malha uniforme bidimensional genérica

No caso do cano duplo e do degrau por exemplo, as equações utilizadas são as atreladas as fronteiras Leste e Oeste, onde se encontram as saídas e entradas, respectivamente, enquanto no cotovelo estas estão posicionadas ao Sul e ao Oeste, e neste as equações Norte e Leste não seriam utilizadas.

A perda de carga total é encontrada pela soma desses valores (energia de entrada - saída), ou seja:

ℎ =ℎ 𝑚̇ + ℎ 𝑚̇ + ℎ 𝑚̇ + ℎ 𝑚̇ 𝑚̇

(3.2)

Outro cuidado necessário é com relação a posição dos valores de velocidade e pressão na malha. Como já fora mencionado, a pressão se encontra no centro das células, enquanto as velocidades estão nos vértices da mesma (Figura 2.1). E esses valores foram assim calculados, entretanto, mudanças foram feitas no pós-processamento para o cálculo da perda de carga.

Para calcular a perda de carga é preciso que estes valores estejam na face das células, nas regiões de entrada e saída foram então calculadas médias, para que estes estejam todos na mesma posição, na face das células, a nova disposição de valores é mostrada na Figura 3.5.

(35)

Figura 3.5 – Posição dos valores de velocidade e pressão nas faces da célula

De acordo com a malha inicial mostrada na Figura 2.1 seria necessário o uso de métodos numéricos para o cálculo da pressão nos vértices da malha, para evitar tal problema os cálculos foram feitos a partir da segunda linha e coluna da malha, onde é possível encontrar as médias de pressão e velocidade sem maiores complicações e a física e coerência do problema se mantém.

O programa usa características bastante comuns no campo de otimização, buscando maximizar ou minimizar algum tipo de função de interesse no problema estudado, nesse caso a função que deve ser minimizada é a de energia dissipada pelo escoamento de fluido, ou, perda de carga.

O objetivo de otimização – a não ser confundido com critério de otimização – é minimizar essa perda de carga através da distribuição de material. Considerando que o domínio em um problema de mecânica dos fluidos é composto simplesmente pelo fluido, o programa trabalha criando pequenos obstáculos nesse domínio em posições que favoreçam a diminuição da dissipação de energia, a ideia inicial é distribuir material em locais que costumam gerar recirculações ou estagnação de fluido, é bastante comum recirculações serem um dos motivos responsáveis por perda de carga, e substituir essas regiões por material sólido pode diminuir essas perdas.

A distribuição de material sólido acontece após uma primeira simulação feita com as geometrias base mostradas nas Figuras 3.1 a 3.3. Após essa simulação base, cada um dos casos

(36)

conta com um critério de otimização específico, estes foram utilizados por sinalizar a estagnação ou recirculação de fluido em uma determinada região no escoamento, quando uma célula no campo de velocidade da simulação retorna um valor que atende a este critério, a posição correspondente na geometria desta simulação que antes tinha valor de fluido (0) será substituída por um sólido (−1), depois disso, entre essas células de sólido e fluido também são marcados planos que representam fronteiras (1). Os critérios de otimização são mostrados na Tabela 3.1.

Geometria Critério de otimização

Degrau 𝑢 < 0

Cotovelo _{𝑢 + 𝑣 < 0,1 ∙ 𝑉}

Cano Duplo 𝑢 < 0,1 ∙ 𝑉

Tabela 3.1 – Critérios de otimização

Onde 𝑣 é a componente de velocidade vertical, 𝑢 a componente de velocidade horizontal e 𝑉 a velocidade média na entrada do canal.

Isso significa que quando o campo de velocidade da simulação base do degrau retorna um valor negativo para velocidade horizontal 𝑢, a geometria naquela posição será substituída por um sólido, ou seja, um célula que tinha valor 0 é agora recebe o valor -1 o mesmo vale para o cotovelo quando o módulo da velocidade for menor que 10% da velocidade média inicial e para o cano duplo quando a velocidade 𝑢 for menor que este valor.

Com esses novos sólidos em posição, uma nova simulação é realizada, e o mesmo processo de repete até que o número definido de otimizações seja alcançado.

Esses critérios foram escolhidos por demonstrarem os melhores resultados para cada um dos casos, de acordo com a maneira com que o escoamento acontece em cada um. O valor de 10% da velocidade média também foi escolhido pelo desempenho da otimização em diferentes testes partindo de 25% dessa velocidade média, o valor de 10% mostrou resultados mais promissores, mas é possível que valores ainda menores poderiam ter sido utilizados.

(37)

Usando o degrau como exemplo, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Figura 3.6 – Representação do degrau não otimizado

A Figura 3.6 mostra uma representação do domínio inicial do degrau, onde as células com valor 0 são fluidos, células com valor −1 são sólidos e as posições com valor 1 são fronteiras. É importante lembrar que apesar da representação mostrada nas Figuras 3.6 – 3.10 ilustrar as fronteiras (posições marcadas com 1) da mesma maneira que as células de sólido e fluido, essas não são células, apenas planos que separam os sólidos dos fluidos.

A Figura 3.7 mostra uma representação de como os pontos fluidos cuja velocidade encontrada é inferior a 0 (para o caso do degrau) são substituídos por sólidos.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Figura 3.7 – Representação do degrau otimizado sem fronteiras

Após a criação dos sólidos, é necessário criar fronteiras entre estes novos sólidos e as células de fluido.

Para isso o programa analisa as vizinhanças de cada célula e as classifica os pontos como fronteira quando necessário. O resultado desse processo é mostrado na Figura 3.8.

(38)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Figura 3.8 – Representação do degrau otimizado

A cada nova simulação de otimização o programa repete esse processo, buscando substituir as células que satisfazem o critério de otimização e consequentemente evitando recirculações e estagnação de fluido, assim reduzindo a perda de carga.

Apesar desse modelo simplificado ilustrado pelas Figura 3.6 – 3.8, o método UNIFAES utiliza informações de 8 células vizinhas para cálculo dos coeficientes pertinentes, e por isso os planos de fronteira contam com valores positivos que os identificam como fronteiras sul (6), norte (2), leste (3) e oeste (12), e combinações destes valores para cantos internos (14, 18, 5, 9) e externos (140, 180, 50, 90).

Levando em conta essas considerações, uma representação mais fiel da geometria inicial do degrau seria a mostrada na Figura 3.9.

14 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 18 6 6 6 180 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 -1 -1 -1 -1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 -1 -1 -1 -1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 -1 -1 -1 -1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 -1 -1 -1 -1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 -1 -1 -1 -1 18 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 9

(39)

Por conta disso a análise de pontos para definir que tipo fronteira deve ser colocada em determinada posição se torna bastante extensa, principalmente nas geometrias mais complexas. Uma representação mais fiel do degrau otimizado seria a mostrada na Figura 3.10.

14 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 18 6 6 6 6 180 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 -1 -1 -1 -1 -1 18 6 6 180 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 18 180 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 18 6 180 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 18 180 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 18 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 9

Figura 3.10 – Representação do degrau otimizado com valores positivos

A tolerância usada para o resíduo da quantidade de movimento foi de 10 esse valor foi escolhido por apresentar resultados satisfatórios e garantir a convergência de todos os casos sem maiores problemas, e por isso as simulações acontecem até que este resíduo retorne um valor menor que este.

A Tabela 3.2 mostra as características definidas para as simulações de cada geometria.

Geometria Malha Tolerância

Degrau 500 𝑥 200 10

Cotovelo 500 𝑥 500 10

Cano Duplo 500 𝑥 300 10

(40)

4 Resultados e Discussões

Neste capítulo são apresentados os resultados encontrados com as simulações das três geometrias estudadas, o degrau foi otimizado 4 vezes com valores de Reynolds = 1, 10, 100, 300 e 500, enquanto o cotovelo e o cano duplo foram otimizados 20 vezes com valores de Reynolds = 1, 10 e 100.

A princípio todos os casos seriam otimizados 20 vezes, mas o caso do degrau não apresentou nenhuma mudança após a segunda otimização e por isso foi otimizado apenas 4 vezes.

Para as simulações dos casos do cano duplo e do degrau, foram usados “tubos” de entrada e saída para direcionamento do escoamento até a região de interesse a ser otimizada, essa medida foi tomada apenas para facilitar a convergência e visualização do comportamento do escoamento.

4.1 O Cotovelo

O caso do cotovelo foi escolhido para este estudo por ser um caso bastante comum em estudos sobre otimização, além disso, o mesmo mostra nuances bastante interessantes conforme o número de Reynolds sobe, o que demonstra de maneira proveitosa o funcionamento do programa e do critério de otimização. Foram realizadas 20 otimizações para cada caso, com Reynolds = 1, 10 e 100.

As condições iniciais utilizadas são de perfis de velocidade completamente desenvolvidos durante todo o tubo de entrada e de saída, em toda região de interesse as velocidades inicializadas como nulas. No cotovelo a entrada está localizada na fronteira oeste e a saída na fronteira sul. A Figura 4.1 ilustra a geometria e a velocidade inicial do cotovelo.

(41)

Figura 4.1 – (a) Geometria inicial do cotovelo – (b) Campo de velocidade inicial do cotovelo Na Figura 4.1, (a) representa a geometria inicial, onde a região em branco são células de fluido e em azul, células de sólido. Enquanto (b) representa o campo de velocidade inicial, com velocidades iniciais na entrada e na saída do domínio, e a região em azul são velocidades nulas.

Essa representação se repete em todos os outros casos adiante.

Quanto as paredes, estas são inicializadas com condições de não deslizamento, ou seja, as componentes 𝑢 e 𝑣 também são nulas.

4.1.1 O Cotovelo – Re = 1 e 10

As simulações do cotovelo com Reynolds = 1 e Reynolds = 10 mostraram geometrias similares entre si, ambos os valores de Reynolds sugerem que este escoamento se encontra em um regime conhecido como escoamento de Stokes, onde o valor do número de Reynolds é baixo e a viscosidade é alta, a fim de comparar a diferença com essa pequena variação de Reynolds nesse tipo de escoamento esses dois casos são analisados juntos.

(42)

Figura 4.2 – Progressão da geometria do cotovelo para Reynolds = 1 e 10; a) 1 otimização, b) 5 otimizações, c) 10 otimizações, d) 20 otimizações.

A geometria final (d) é coerente quando comparada com as de Gersborg-Hansen et al. (2005), Figura 4.3, para Reynolds 5 algumas semelhanças podem ser notadas.

Figura 4.3 – Geometria otimizada do cotovelo de Gersborg-Hansen et al. (2005) para Re = 5 (à esquerda) e encontrada (à direita) para Reynolds = 1.

É possível perceber pela Figura 4.3 que apesar da parte superior da geometria encontrada ser relativamente arredondada a parte inferior é bastante parecida e tem um formato diagonal

(43)

como esperado para esses valores de Reynolds. Essas comparações são pertinentes, considerando que ambos os escoamentos acontecem em valores baixos de Reynolds sugerindo o mesmo regime de escoamento.

Apesar das geometrias parecidas, os valores de perda de carga mostraram algumas diferenças entre as simulações de Re = 1 e Re = 10, esses valores estão dispostos nas Figuras 4.4 e 4.5.

Figura 4.4 - Perda de carga x número de otimizações para o cotovelo e Re =1

Figura 4.5 - Perda de carga x número de otimizações para o cotovelo e Re =10 133,0 88,8 146,5 113,3 30,5 0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 140,0 160,0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

P

er

da

d

e

ca

rg

a

[J

]

Número de Otimizações

Perda de Carga x Otimizações (Cotovelo Re = 1)

7908,3 3145,8 955,6 636,1 970,8 0,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0 9000,0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

P

er

da

d

e

ca

rg

a

[J

]

Número de Otimizações

(44)

A Figura 4.4 mostra que para Reynolds = 1 a perda de carga diminui continuamente depois de subir da primeira até a quarta otimização, e o menor valor encontrado foi na vigésima otimização. Isso mostra um fenômeno recorrente em otimização, onde a função objetivo alcança um valor conhecido como mínimo local.

Já na Figura 4.5, para Reynolds = 10 a perda de carga diminui até a décima otimização, e depois cresce continuamente até a vigésima.

Em ambos os casos após 10 otimizações um pequeno sólido é formado na entrada do escoamento, dando origem a um possível estrangulamento na entrada. Esse pequeno estrangulamento é apontado em detalhe na Figura 4.6.

Figura 4.6 – Formação sólida na entrada do cotovelo (10ª otimização) para simulação de Re = 10.

Apesar desse comportamento ser o mesmo para ambos os casos, no caso com Reynolds menor a perda de carga continuou a diminuir e para Reynolds = 10 a perda de carga sobe depois da décima otimização onde acontece a formação desse pequeno sólido.

A redução na perda de carga para as simulações com Re =1 foi de 77,07% e para Re = 10 essa redução foi de 91,96%.

(45)

Figura 4.7 – Geometria com 20 otimizações para o cotovelo e Re = 1 (à esquerda) e 10 otimizações e Re = 10 (à direita).

4.1.2 O Cotovelo – Re = 100

Para o caso do cotovelo com Reynolds = 100, como é comum nesse tipo de geometria, uma região de recirculação se forma no canto inferior esquerdo do escoamento. Por se tratar de um escoamento em curva, a Figura 4.8 ilustra o módulo da velocidade encontrado.

(46)

Figura 4.8 – Campo de velocidade para cotovelo não otimizado e Reynolds = 100

Como o critério de otimização utiliza o módulo da velocidade (Velocity magnitude) o algoritmo de otimização detecta as velocidades nessa recirculação como altas o suficiente para as células não serem substituídas por sólidos, isso é refletido na primeira otimização (Figura 4.9a).

(47)

Figura 4.9 – Progressão da geometria do cotovelo para Reynolds = 100; a) 1 otimização, b) 5 otimizações, c) 10 otimizações, d) 20 otimizações.

Apesar da recirculação resultar numa geometria não esperada na primeira otimização, nas demais otimizações o programa detecta baixas velocidades na região e a progressão das geometrias acontece normalmente, como pode ser visto na Figura 4.9.

Novamente comparando com os resultados de Gersborg-Hansen et al. (2007) na Figura 4.10 é possível notar que ambas as geometrias agora têm um formato arredondado, comum para canos em curva. Apesar das simulações destes autores terem sido feitas com número de Reynolds maior que 100, a comparação se mantém relevante pelo fato de os escoamentos terem características similares, trabalhando fora do regime conhecido como escoamento de Stokes e ainda serem considerados escoamentos laminares.

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Figura 4.10 – Geometria otimizada do cotovelo de Gersborg-Hansen et al. (2005) para Re = 850 (à esquerda) e encontrada (à direita) para Reynolds = 100.

A Figura 4.11 mostra os resultados para perda de carga a cada nova otimização do cotovelo com Reynolds =100.

Figura 4.11 - Perda de carga x número de otimizações para o cotovelo e Re =100 O mesmo comportamento das simulações com Reynolds =10 se repete para esse caso, onde a perda de carga diminui até que um pequeno sólido se forme na entrada do canal, e depois

45645,8 20070,5 6851,3 7800,0 11872,9 0,0 5000,0 10000,0 15000,0 20000,0 25000,0 30000,0 35000,0 40000,0 45000,0 50000,0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

P

er

da

d

e

ca

rg

a

[J

]

Número de Otimizações

(49)

disso a mesma passa a subir, entretanto dessa fez isso acontece mais cedo, após a sexta otimização. Por conta disso a geometria com menor perda de carga é a com 6 otimizações, apresentada na Figura 4.12, a redução da perda de carga para essa geometria foi de 85%.

Figura 4.12 – Geometria com 6 otimizações para o cotovelo e Re = 100.

4.2 O Cano duplo

O cano duplo, assim como o cotovelo, foi escolhido por ser um caso comum em estudos de otimização, além disso, o cano duplo tem a característica de resultar em diferentes geometrias de acordo com o critério de otimização utilizado, o tornando assim um bom caso de interesse.

(50)

Figura 4.13 – (a) Geometria inicial do cano duplo – (b) Campo de velocidade inicial do cano duplo

Novamente foram usados “tubos” para facilitar a convergência das simulações como ilustrado pela Figura 4.13, nesse caso os tubos de saída são um pouco maiores a fim de evitar possíveis recirculações na saída.

As condições iniciais utilizadas são de perfis de velocidade completamente desenvolvidos durante todo o tubo de entrada e de saída, em toda região de interesse as velocidades inicializadas como nulas. No cano duplo a entrada está localizada na fronteira oeste e a saída na fronteira leste.

Quanto as paredes, novamente estas são inicializadas com condições de não deslizamento, ou seja, as componentes 𝑢 e 𝑣 são nulas

4.2.1 O Cano duplo – Re 1 e 10

Novamente é difícil notar diferenças entre as geometrias otimizadas para Reynolds =1 e 10, nesse caso a única variação é da posição do sólido na região central da geometria, que se desloca levemente para a direita com o aumento do número de Reynolds. Mas essa diferença é quase imperceptível.

(51)

Figura 4.14 – Progressão da geometria do cano duplo para Reynolds = 1 e 10; a) 1 otimização, b) 5 otimizações, c) 10 otimizações, d) 20 otimizações.

Comparando a geometria desenvolvida com as encontradas por Borrvall & Petersson (2003) e Abdelwahed et al. (2009) (Figura 4.15) as diferentes geometrias possíveis ficam claras.