Estados ressonantes e superdifusão em cadeias correlacionadas com desordem diluída

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE FÍSICA PÓS-GRADUAÇ

(2) O EM FÍSICA DA MATÉRIA CONDENSADA. Dissertação de Mestrado. Estados Ressonantes e superdifusão do pa ote de onda em adeias orrela ionadas om desordem diluída. Filipe Ferreira Santos Leão. Ma eió 2011.

(3) Filipe Ferreira Santos Leão. Estados Ressonantes e superdifusão do pa ote de onda em adeias orrela ionadas om desordem diluída. Dissertação. apresentada. ao. Instituto. de. Físi a da Universidade Federal de Alagoas, omo parte dos réditos para a obtenção do título de Mestre em Ciên ias.. Orientador: Prof. Mar elo Leite Lyra. Ma eió 2011.

(4) Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecário: Marcelino de Carvalho Freitas Neto L437e. Leão, Filipe Ferreira Santos Leão. Estados ressonantes e superdifusão do pacote de onda em cadeias correlacionadas com desordem diluída / Filipe Ferreira Santos Leão. – 2011. 61 f., grafs. Orientador: Marcelo Leite Lyra. Dissertação (mestrado em Física da Matéria Condensada) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Física. Maceió, 2011. Bibliografia: f. 57-61. 1. Ácido desoxirribonucléico - Transporte eletrônico. 2. Desordem diluída. 3. Desordem correlacionada. 4. Localização de Anderson. I. Título. CDU: 538.935.

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(6) AGRADECIMENTOS. Agradeço à minha família pelo esforço que sempre dedi aram à minha riação e em parti ular a atenção e importân ia que deram à minha edu ação. Aos meus olegas, pela união demonstrada nos momentos de di uldade e pela des ontração nas horas vagas. Ao prof. Mar elo Lyra, pela orientação e pa iên ia, e aos demais professores do Instituto de Físi a da UFAL. Agradeço ao Programa de Pós-Graduação em Físi a da Matéria Condensada, ao Grupo de Físi a Teóri a e Computa ional e ao Instituto de Físi a da UFAL, bem omo o apoio nan eiro da CAPES..

(7) RESUMO. Nesta dissertação de mestrado analisaremos um modelo de Hamiltoniano. tight-binding para um sistema de dupal adeia om desordem orrela ionada e diluída. A introdução das orrelações inter- adeias é feita através da imposição ǫi,s = −ǫi,−s , onde. s = ±1 é o índi e que indi a à qual das duas adeias da es ada estamos nos referindo. A seguir onsideraremos ada adeia da es ada omo omposta de duas sub- adeias interpenetrantes, uma ordenada e outra aleatória. Demonstraremos que a presença de uma distribuição aleatória em uma das adeias interpenetrantes induz uma lo alização de Anderson, ex eto em um par simétri o espe í o de autoestados de energia. Adi ionalmente, integrando a equação de S hrödinger dependente do tempo, nós seguimos a evolução temporal de um pa ote de onda de um elétron ini ialmente lo alizado. Nós mostramos que os estados ressonantes delo alizados são responsáveis por um alargamento superdifusivo da dispersão do pa ote de onda, enquanto a função parti pação permanen e nita. Uma análise de es ala da distribuição do pa ote de onda mostra que ela obede e a uma forma de es ala universal om o desenvolvimento de audas do tipo lei de potên ia e um uto que evolui superdifusivamente. Nós obtemos três expoentes que ara terizam esta dinâmi a superdifusiva e mostramos que eles satisfazem uma relação de es ala simples.. Palavras- have:transporte eletrni o no DNA, desordem diluída, desordem orrela ionada..

(8) Abstra t In this work, we study a tight-binding Hamiltonian model system of a binary orrelated ladder with diluted disorder. We introdu e intra- hain orrelations between the on-site potentials by imposing that ǫi,s = −ǫi,−s where s = ±1 indexes the two ladder hains. Further we onsider ea h ladder hain as omposed of inter-penetrating ordered and random sub- hains. We show that the presen e of a random on-site distribution in one of the inter-penetrating hains leads to Anderson lo alization ex ept at a spe i symmetri pair of energy eigenmodes. Further, by integrating the time-dependent S hroedinger equation, we follow the time-evolution of an initially lo alized one-ele tron wave-pa ket. We report that the remaining delo alized resonant modes are responsible for a super-diusive spread of the wave pa ket dispersion while the wave pa ket parti ipation fun tion remains nite. A s aling analysis of the wave pa ket distribution shows that it obeys a universal s aling form with the development of a power-law tail followed by a super-diusively evolving uto. We obtain three exponents hara terizing this super-diusive dynami s and show that they satisfy a simple s aling relation.. Keywords:. Eletroni Transport in DNA, diluted disorder, orrelated disorder,. Anderson lo alization..

(9) Sumário. 1 INTRODUÇ

(10) O - TRANSPORTE ELETRÔNICO. 8. 1.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.2. O Modelo de Drude. 1.3. Teoria de Sommerfeld para os Metais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Propriedades do Estado Fundamental de um Gás de Elétrons . . . . 12. 1.4. O Problema da Capa idade Térmi a do Gás de Elétrons . . . . . . . . . . . 17. 1.5. O Modelo de Blo h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 1.6. A Aproximação. 1.7. O Modelo de Anderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 1.8. A teoria de es ala e a transição de Anderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. 1.9. Correlações no modelo de Anderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. Tight-binding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 2 TRANSPORTE ELETRÔNICO NO DNA. 35. 2.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. 2.2. A Molé ula de DNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. 2.3. Transporte Eletrni o no DNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. 2.4. O Papel das Correlações e A oplamento entre Cadeias . . . . . . . . . . . . 39. 2.5. Efeito da Desordem Diluída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. 3 CADEIAS COM DESORDEM CORRELACIONADA E DILUÍDA. 43. 3.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. 3.2. Modelo e Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.

(11) SUMÁRIO 3.3. 7. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48. 4 CONCLUS

(12) O. 55. REFERÊNCIAS. 57.

(13) 1 INTRODUÇ

(14) O - TRANSPORTE ELETRÔNICO. 1.1. Introdução. Os primeiros estudos sobre as propriedades eletrni as dos sólidos os modelavam omo estruturas periódi as perfeitas. Porém, é sabido que qualquer sólido real, seja ele en ontrado na natureza ou produzido em laboratório, não possui uma simetria transla ional ompleta. Os sólidos possuem desordem em suas estruturas, que podem ser o asionadas por impurezas, distorções na rede ou vibrações da estrutura ristalina (T 6= 0). A desordem desempenha um papel ru ial nas propriedades eletrni as dos sólidos. Um bom exemplo é que no modelo de Blo h, que onsidera ristais perfeitos, não há resistên ia elétri a. P. W. Anderson, em 1958, foi o primeiro a propor um modelo para os sólidos onde se in luía desordem [1℄. Neste trabalho, foi mostrado que para um valor de desordem maior que erto valor ríti o Wc a função de onda eletrni a a restrita a uma região nita do espaço e não há transporte. No entanto, se a largura da desordem for menor Wc , o sistema apresenta estados estendidos em uma faixa de energias em torno do entro da banda. Estes estados estendidos separam duas faixas de energias om estados lo alizados. 8.

(15) 1 Introdução. 9. nas proximidades dos extremos da banda. Quando a energia de Fermi ǫF estiver em uma faixa de energias onde os estados são estendidos, tem-se uma fase metáli a, aso ontrário o sistema é isolante. Eviden ia-se assim a possível o orrên ia de uma transição metal-isolante induzida por desordem, denominada transição de Anderson. A hipótese de um úni o parâmetro de es ala proposta por Abrahams e olaboradores [2℄, prevê que não deve haver uma transição de Anderson para sistemas om dimensão. d ≤ 2. Contudo, modelos re entes que in luem no sistema desordem orrela ionada, a oplamentos de longo-al an e, ou a presença de um ampo magnéti o externo, têm mostrado a existên ia de transições de Anderson para sistemas de baixa dimensionalidade. Re entemente, tem havido um grande interesse no estudo das propriedades eletrni as de sistemas ompostos por adeias a opladas devido a sua estrutura ser semelhante a segmentos da molé ula do DNA. A presença de orrelações entre as adeias rela ionadas ao emparelhamento entre as bases nu leotídias, bem omo a existên ia de orrelações ao longo de ada adeia afeta a natureza dos estados eletrni os. Nessa dissertação, nós iremos estudar um modelo de adeias a opladas no qual nós in luiremos ara terísti as da molé ula do DNA, em parti ular o emparelhamento entre bases. Adi ionalmente, nós iremos onsiderar a presença de desordem em uma sub-rede do sistema. Estaremos interessados em investigar os efeitos ausados pela diluição da desordem na dinâmi a do pa ote de onda de um elétron. Modelos om desordem diluída podem suportar estados ressonantes estendidos. Nosso objetivo é investigar omo a presença destes estados ressonantes pode inuen iar a evolução temporal de pa otes de onda ini ialmente lo alizados. Este trabalho está organizado da seguinte forma.. No restante deste apítulo,. nós iremos fazer uma breve revisão sobre os prin ipais aspe tos rela ionados ao transporte eletrni o em sistemas desordenados. No apítulo 2, nós dis utiremos algumas proprieadades da molé ula do DNA e revisaremos alguns trabalhos re entemente publi ados que abordam a questão do transporte eletrni o em sistemas de baia dimensionalidade om ara terísit as extraídas da molé ula do DNA. No apítulo 3 nós apresentaremos o modelo estudado nessa dissertação e analisaremos a natureza dos estados eletrni os e a dinâmi a.

(16) 1 O Modelo de Drude. 10. do pa ote de onda. Por m, nós apresentamos nossas on lusões no apítulo 4.. 1.2. O Modelo de Drude. Metais são ex elentes ondutores de alor e eletri idade, são dú teis e maleáveis e apresentam brilho em suas superfí ies re ém-expostas. Tentar expli ar estas ara terísti as foi o ímpeto ini ial da moderna teoria dos sólidos. Um sé ulo de pesquisas se a umulou na tentativa de expli ar o estado metáli o, e apesar de muito progresso, os modelos mais antigos, om suas terríveis falhas em alguns aspe tos, ainda são úteis hoje omo uma forma práti a de estimar propriedades que requerem uma onsiderável análise para resultados mais pre isos. Apenas três anos após a des oberta do elétron por J. J. Thomson, P. Drude onstruiu seu modelo para a ondução elétri a e térmi a dos metais, usando o su esso al ançado pela teoria inéti a dos gases e expandindo estes resultados para um metal, onsiderado omo um gás de elétrons. No entanto, existe uma diferença fundamental entre os gases e os metais: enquanto nos gases mais simples existe apenas um tipo de partí ula, nos metais existem pelo menos duas, já que os elétrons têm arga negativa e os metais são eletri amente neutros. Para ontornar este problema, Drude assumiu que a arga positiva ompensadora estaria em partí ulas muito mais pesadas e imóveis ( aroços). Assim omo na teoria inéti a, no modelo de Drude as olisões são eventos instantâneos que alteram a velo idade do elétron abruptamente. Estas olisões são atribuídas ao espalhamento dos elétrons pelos aroços impenetráveis, em vez de olisões elétron-elétron, o análogo do me anismo presente num gás ordinário. No ínterim entre as olisões não há qualquer tipo de interação. A aproximação que des onsidera a interação entre os elétrons é hamada de aproximação do elétron independente, enquanto a que despreza as interações elétron-íon, são hamadas de aproximação do elétron livre. Um dos méritos da teoria de Drude foi a expli ação para a lei de Ohm e uma estimativa para a resistên ia elétri a. O resultado mais importante da teoria de Drude foi sua expli ação para a lei empíri a de Wiedemann e Franz para a ondução térmi a dos metais. Esta lei arma que a.

(17) 1 Teoria de Sommerfeld para os Metais. 11. razão, κ/σ , entre as ondutividades térmi a e elétri a é diretamente propor ional à temperatura, om uma onstante de propor ionalidade aproximadamente igual para todos os metais. A maior di uldade enfrentada pelo modelo de Drude foi em relação a apa idade térmi a dos elétrons de ondução. A distribuição lássi a de Maxwell-Boltzmann prevê que a apa idade térmi a de uma partí ula livre deve ser 32 kB , onde kB é a onstante de Boltzmann. Num metal om N átomos, ada um edendo um elétron de valên ia para o gás eletrni o, a ontribuição eletrni a para a apa idade térmi a dever ser 32 N kB , da mesma forma que para os átomos de um gás monoatmi o. No entanto, os dados experimentais mostram uma ontribuição eletrni a à temperatura ambiente usualmente menor que um 1% deste valor. Este problema só foi resolvido om o advento da me âni a quânti a e sua apli ação no estudo dos metais através do modelo de Sommerfeld.. 1.3. Teoria de Sommerfeld para os Metais. Drude assumiu que a distribuição de velo idades dos elétrons, da mesma forma que um gás lássi o ideal de densidade n, era dada no equilíbrio a uma temperatura T pela distribuição de Maxwell-Boltzmann. Para esta distribuição, o número de elétrons por unidade de volume om velo idade entre. v. v e v + dv é dado por fM B (v)d3v, onde. fM B ( ) = n e. . m 2πkB T. 3. 2. mv2. e 2kB T. (1.1). n é o número de elétrons por unidade de volume, kB é a onstante de Boltzmann e m é. a massa do elétron. A teoria estava de a ordo om a lei empíri a de Wiedemann Frantz, que mostrava que a razão entre a ondutividade térmi a e a ondutividade elétri a dos metais é linear om a temperatura, mas previa uma ontribuição para o alor espe í o de um metal de 3 2 kB. por elétron que não foi observada. O mistério foi resolvido er a de 25 anos depois. om o advento da me âni a quânti a e a des oberta de que elétrons seguem o prin ípio da.

(18) 1 Teoria de Sommerfeld para os Metais. 12. ex lusão de Pauli, o que requer a substituição da distribuição de Maxwell-Boltzmann pela distribuição de Fermi-Dira , dada por. v. fF D ( ) =. (m/~)3 4π 3 exp. 1 2 2 mv. 1 − kB T0 /kB T + 1. (1.2). Aqui T0 é uma temperatura determinada pela ondição de normalização. n=. Z. v v. d3 f ( ). (1.3). e é tipi amente da ordem de 104 K [6℄. O modelo de Sommerfeld é basi amente o modelo de Drude om a úni a modi ação da distribuição das velo idades dos elétrons ser dada pela distribuição de Fermi-Dira em vez da distribuição de Maxwell-Boltzmann, já que elétrons são férmions e, portanto, estão sujeitos ao prin ípio da ex lusão de Pauli. Essa úni a alteração foi su iente para resolver as anomalias térmi as do modelo de Drude. 1.3.1. Propriedades do Estado Fundamental de um Gás de Elétrons. Nesta seção analisaremos as propriedades do estado fundamental de N elétrons onnados num volume. V. Como neste trabalho estamos assumindo a aproximação do elétron. independente, os elétrons não interagem entre si e podemos a har o estado fundamental simplesmente al ulando os níveis de energia de um úni o elétron no volume. V, e então. preen her estes níveis de uma maneira onsistente om o prin ípio da ex lusão de Pauli, que permite que ada nível seja o upado por apenas um elétron. Um elétron é des rito. r. pela sua função de onda ψk ( ) e pela espe i ação de seu spin. Para elétrons livres, o termo poten ial da equação de S hrödinger é nulo, e amos om:. r. (1.4). Representaremos o onnamento dos elétrons no volume. V através de ondições. −~2 2m. . ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2. . r. ψk ( ) = ǫk ψk ( ). de ontorno na Eq. (1.4). A es olha das ondições de ontorno pode ser feita om bastante.

(19) 1 Teoria de Sommerfeld para os Metais liberdade, pois as propriedades do. 13. bulk metáli o prati amente não são afetadas por essa. es olha, e não estamos interessados em efeitos de superfí ie. Assim sendo, es olheremos a forma do metal que mais se adequa às nossas ne essidades matemáti as. A es olha anni a é o ubo de lado. L = V 3 . Tomando ondições periódi as de ontorno, temos: 1. ψ(x,y,z + L) = ψ(x,y,z) (1.5). ψ(x,y + L,z) = ψ(x,y,z) ψ(x,y,z + L) = ψ(x,y,z). As soluções da equação de S hrödinger para a partí ula livre (1.4), sujeita às ondições de ontorno (1.6), são funções de onda da forma de ondas planas. r. k r. 1 ψk ( ) = √ exp(i · ), V desde que os omponentes do vetor de onda. kx =. (1.6). k satisfaçam. 2πny 2πnx , ky = , L L. kz =. 2πnz . L. (1.7). Es olhemos a ondição de normalização de forma que a probabilidade de en ontrar o elétron em algum lugar no volume V seja unitária:. Z Os omponentes de. r r. d |ψk ( )|2 = 1. (1.8). k são os números quânti os do problema, juntamente om o. número quânti o de spin. Substituindo nossa solução na equação de S hrödinger, obtemos. k. a energia ǫk do orbital om vetor de onda :. ǫk =. ~2 2 ~2 2 k = (k + ky2 + kz2 ). 2m 2m x. k. (1.9). Para ver a signi ân ia do vetor , per eba que a onda plana ψk é uma autofunção.

(20) 1 Teoria de Sommerfeld para os Metais. 14. k. do momento linear om autovalor ~ :. pψk(r) = −i~∇ψk(r) = ~kψk (r).. (1.10). Como uma partí ula no autoestado de um operador tem um valor denido do observável orrespondente dado pelo autovalor, um elétron no estado ψk tem um momento. k. denido propor ional a :. p = ~k,. (1.11). v = ~k/m. Agora podemos justi ar o fato de k ser hamado de vetor de onda: a onda plana eik·r é onstante em qualquer plano perpendi ular a k (já que estes planos são denidos por k · r = onstante) e é periódi a ao longo de linhas paralelas a k, om omprimento de onda , onhe ido omo omprimento de onda de de Broglie. e a velo idade é dada por. Devido à hipótese de elétrons não interagentes, podemos onstruir o estado fundamental de N elétrons olo ando elétrons nos níveis permitidos de um elétron. O prin ípio da ex lusão de Pauli desempenha um papel entral nesta onstrução: só podemos olo ar um elétron em ada nível. Cada nível é espe i ado pelo vetor de onda. k e a projeção do. spin do elétron ao longo de um eixo arbitrário, que pode assumir apenas dois valores: ~/2 ou −~/2. Portanto, para ada vetor de onda. k temos asso iados dois níveis eletrni os,. um para ada direção de spin. Começamos por olo ar dois elétrons om vetor de onda. k=0, que têm a menor. energia possível para um elétron ǫk = 0. Continuamos a adi ionar elétrons, preen hendo os níveis de menor energia que ainda não estão o upados. Como a energia de um elétron é propor ional ao quadrado de seu vetor de onda (Eq. 1.9), quando a quantidade N de elétrons é um número muito grande, a região o upada se aproxima de uma esfera no espaço. k.. Se a região não fosse esféri a, isto signi aria que poderíamos onstruir um estado de. menor energia movendo elétrons om vetor de onda mais distantes de. k = 0 para níveis. deso upados om vetores de onda mais próximos da origem e não estaríamos no estado.

(21) 1 Teoria de Sommerfeld para os Metais. 15. fundamental. O raio da esfera onstruída para o estado fundamental, é hamado de raio de Fermi (kF ) e seu volume é 4πkF3 /3. A energia na superfí ie desta esfera é hamada de energia de Fermi:. ǫF =. ~2 2 k . 2m F. (1.12). As equações (1.7) nos mostram que há um vetor de onda permitido por (2π/L)3 unidades de volume do espaço. k.. Logo, o número total de orbitais o upados no estado. fundamental é dado por:. 2·. 4πkF3 /3 V = 2 kF3 = N, (2π/L)3 3π. (1.13). onde o fator 2 vem da degeneres ên ia de spin. De (1.13), temos:. kF =. 3π 2 N V. . 1/3. (1.14). ,. que depende apenas da on entração de partí ulas. Usando (1.12) e (1.14),. ~2 ǫF = 2m. . 3π 2 N V. 2/3. .. (1.15). Esta equação rela iona a energia de Fermi om a on entração eletrni a N/V . Agora en ontraremos uma expressão para o número de orbitais por unidade de energia, D(ǫ), hamada densidade de estados. Usando (1.12) para en ontrar o número total de orbitais om energia menor ou igual a ǫ:. N=. V 3π 2. . 2mǫ ~2. 3/2. ,. de forma que a densidade de estados (Fig. (1.1)) é dada por. (1.16).

(22) 1 Teoria de Sommerfeld para os Metais. 16. Figura 1.1: Densidade de estados de uma partí ula omo função da energia, para um gás de elétrons livres em três dimensões. A urva tra ejada representa a densidade f (ǫ, T )D(ǫ) de orbitais o upados em uma temperatura nita, mas tal que kB T é pequeno em omparação om ǫF . A área sombreada representa os orbitais o upados no zero absoluto. A energia média aumenta quando a temperatura aumenta de 0 a T , pois os elétrons são ex itados da região 1 para a região 2.. dN V D(ǫ) ≡ = 2· dǫ 2π. . 2m ~2. 3/2. · ǫ1/2 .. (1.17). Este resultado pode ser expresso numa forma mais simples se ompararmos (1.16) om (1.17) para obter em ǫ. D(ǫ) ≡. 3N dN = . dǫ 2ǫ. (1.18). A menos de um fator da ordem da unidade, o número de orbitais por unidade de energia al ulado na energia de Fermi é o número total de elétrons dividido pela energia de Fermi, omo é de se esperar..

(23) 1 O Problema da Capa idade Térmi a do Gás de Elétrons. 1.4. 17. O Problema da Capa idade Térmi a do Gás de Elétrons. O maior problema que aigia os físi os no omeço do desenvolvimento da teoria dos elétrons nos metais era o problema da apa idade térmi a dos elétrons de ondução. A me âni a estatísti a lássi a prevê uma apa idade térmi a de. 3 2 kB. por partí ula livre, onde kB é. a onstante de Boltzmann. Se N átomos doam um elétron de valên ia ada para o gás de elétrons, e os elétrons são livres para se mover, então a ontribuição para a apa idade térmi a deveria ser de 32 N kB , da mesma forma que para os átomos de um gás monoatmi o. Entretanto, a ontribuição eletrni a à temperatura ambiente é normalmente menos de 1% deste valor. Tinha-se um aparente paradoxo: omo os elétrons podem parti ipar da ondução elétri a omo entidades móveis e ao mesmo tempo não ontribuírem signi ativamente para a apa idade térmi a? A resposta viria om o surgimento da teoria quânti a, espe i amente, om a des oberta do prin ípio da ex lusão de Pauli e a distribuição de Fermi-Dira . A solução para o mistério é que quando aque emos uma amostra a partir do zero absoluto, nem todo elétron ganha uma energia da ordem de kB T omo é esperado lassi amente, apenas os elétrons em orbitais dentro de um intervalo kB T da energia de Fermi são termi amente ex itados, porque somente estes podem pular para orbitais deso upados. O valor obtido para a apa idade térmi a eletrni a segundo a teoria de Sommerfeld é. Cel =. 1 2 2 π N kB T /ǫF . 2. (1.19). Este valor para a apa idade térmi a eletrni a difere do valor lássi o por um fator. π 2 kB T /3ǫF e depende linearmente da temperatura, enquanto a apa idade térmi a ini a depende do ubo da temperatura. Esta previsão provê um meio de testarmos a teoria do gás eletrni o, se tivermos erteza de que outros graus de liberdade que não o eletrni o não farão ontribuições da mesma grandeza ou até mesmo maiores para a apa idade térmi a..

(24) 1 O Modelo de Blo h. 18. À altas temperaturas, a ontribuição ini a domina ompletamente a apa idade térmi a, devido a sua dependên ia om o ubo da temperatura. Mas esta mesma dependên ia faz om que à baixas temperaturas sua ontribuição de aia om o ubo da temperatura, enquanto a ontribuição eletrni a de ai apenas linearmente, permitindo que sejam feitos experimentos para estimar esta ontribuição.. 1.5. O Modelo de Blo h. O modelo de Blo h onsidera um ristal perfeito, ou seja, nos quais os íons formam um arranjo regular periódi o. Os elétrons estão submetidos a um poten ial om a perio-. r. di idade da rede de Bravais subja ente, isto é, um poten ial U ( ) que satisfaz a ondição. r R)=U (r), para todos os vetores R da rede.. U( +. O problema de elétrons em um sólido é, em prin ípio, um problema de muitos elétrons. O Hamiltoniano do sólido ontém não apenas os termos que des revem as interações entre os elétrons e os nú leos, omo também poten iais des revendo as interações tipo elétron-elétron. Na aproximação do elétron independente estas interações são repre-. r. sentadas por um poten ial efetivo de um elétron U ( ). Mais ainda, as propriedades de transporte eletrni o em sistemas periódi os estão intimamente rela ionadas à natureza dos estados eletrni os. Somos levados, portanto, a onsiderar as propriedades dos estados de um úni o elétron sujeito a um poten ial periódi o. Analisamos, portanto, a equação de S hrödinger, que rege o omportamento de um elétron,. Hψ =. . r. −~2 2 ∇ + U ( ) ψ = ǫψ. 2m. (1.20). O exemplo mais simples de poten ial periódi o é o aso de elétrons livres, em que temos o poten ial identi amente nulo. Elétrons que obede em a equação de S hrödinger om poten ial periódi o são hamados de elétrons de Blo h e seus estados esta ionários têm uma propriedade bas-.

(25) 1 A Aproximação. Tight-binding. 19. tante interessante em virtude da periodi idade do poten ial. O teorema de Blo h arma que os estados esta ionários são da forma de uma onda plana vezes uma função om a periodi idade da rede.. r. ψnk = eik·r unk ( ). r+R) = unk(r).. onde unk (. r. (1.21). As funções unk ( ) são hamadas de funções de Blo h. O. índi e n apare e porque para ada vetor de onda. k, a equação de S hrödinger admite. várias soluções. Este índi e é onhe ido omo índi e de banda. Cada índi e de banda n orresponde a um nível eletrni o En (k) hamado de banda de energia. Uma forma equivalente do teorema de Blo h é que os autoestados do Hamiltoniano,. H, estão asso iados a um vetor de onda k tal que para ada ψ. r+R) = eik·Rψ(r).. (1.22). ψ(. O teorema de Blo h introduz um vetor de onda. k, que exer e um papel no problema. de poten ial periódi o semelhante aquele exer ido pelo vetor de onda do elétron livre. Devemos salientar, entretanto, uma importante diferença: enquanto o vetor de onda do elétron livre é. p/~, onde p é o vetor de onda do elétron, no aso de elétrons de Blo h k. não é propor ional ao momento eletrni o. Isto o orre porque o Hamiltoniano não tem invariân ia transla ional ompleta na presença de um poten ial que não é onstante, seus autoestados não são, portanto, autoestados simultâneos do operador momento. O vetor de onda dos elétrons de Blo h é um número quânti o que reete a simetria de um poten ial periódi o, da mesma forma que o momento. p reete a simetria transla-. ional ompleta do espaço livre.. 1.6. A Aproximação. Tight-binding. Até o momento vimos modelos de ál ulos dos níveis eletrni os num metal através do modelo do gás de elétrons, apenas fra amente perturbados por um poten ial periódi o.

(26) 1 A Aproximação. Tight-binding. 20. dos íons. Porém, existe uma abordagem diametralmente oposta a esta: onsiderar um sólido (metal ou isolante) omo uma oleção de átomos neutros fra amente interagentes. Os elétrons estariam então lo alizados em níveis atmi os nos sítios da rede, em vez de espalhados por toda a rede omo no aso do gás de elétrons e suas funções de onda em nada lembrariam as ondas planas dos elétrons livres. Esta aproximação é válida para o aso em que a onstante de rede é grande em relação ao al an e da função de onda. A aproximação. tight-binding lida om o aso em que a superposição dos orbitais. atmi os é su iente para requerer orreções à visão de átomos isolados, mas não grande o su iente para deixar a des rição atmi a irrelevante. Esta aproximação é bastante útil na des rição das bandas de energia que surgem de orbitais. d par ialmente preen hidos dos. átomos de metais de transição e na des rição da estrutura eletrni a de materiais isolantes. À parte de sua utilidade práti a, a aproximação. tight-binding nos forne e um meio. instrutivo de ver funções de Blo h omplementares àquelas da visão de elétrons quase livres, permitindo uma uni ação entre dois modelos aparentemente ontraditórios: o modelo de níveis atmi os lo alizados de um lado e o modelo de elétrons livres do outro. Para desenvolvermos a aproximação tight-binding, assumiremos que nas vizinhanças de ada ponto da rede, o Hamiltoniano do ristal omo um todo, H , pode ser aproximado pelo Hamiltoniano, Hat , de um úni o átomo lo alizado no ponto da rede em questão. Outra hipótese ne essária é que os estados ligados do Hamiltoniano atmi o sejam lo alizados, i.e., se ϕn é um estado ligado de Hat para um átomo na origem, (Hat ϕn = En ϕn ), então. ϕn (r) deve ser pequena quando a distân ia r ultrapassa a ordem da distân ia da onstante da rede. No aso extremo em que o Hamiltoniano do ristal omeça a diferir de Hat , as funções de onda ϕn (r) ainda são ex elentes aproximações para os autoestados do Hamiltoniano do ristal, om autovalores En . As funções ϕn (r − R) também serão ex elentes aproximações, para todos os R da rede de Bravais, já que H tem a periodi idade da rede. Para o ál ulo das orreções deste aso extremo, es revemos o Hamiltoniano do ristal, H , omo o Hamiltoniano atmi o om a adição de uma perturbação:.

(27) 1 A Aproximação. Tight-binding. 21. (1.23). H = Hat + ∆U (r),. onde ∆U (r) ontém todas as orreções no poten ial atmi o ne essárias para produzir o poten ial periódi o ompleto do ristal. Uma solução ψ(r) para a equação de S hrödinger independente do tempo de um elétron é então aproximada por uma ombinação linear dos orbitais atmi os, ϕn (r − R):. ψ(r) =. X. (1.24). bn (R)ϕn (r − R). n,R. Assumiremos que a base primitiva tem apenas um átomo. A simetria transla ional do ristal impli a que uma translação na função de onda pode mudar apenas a sua fase (teorema de Blo h):. ψ(r + R) = eik·R ψ(r).. (1.25). Es olhendo bn (R) = N −1/2 eik·R a função de onda a:. ψ(r) =. X. N −1/2 eik·R ϕn (r − R),. (1.26). n,R. e a ondição (1.25) será satisfeita:. ψ(r + R) = N −1/2. X. n,R′. ′. eik·R ϕn (r + R − R′ ) . = N −1/2 eik·R  . = N −1/2 eik·R  = N. −1/2 ik·R. e. X. n,R′. X n,R. ψ(r).. ik·(R′ −R). e. . ϕn (r − (R′ − R)) . eik·R ϕn (r − R). (1.27).

(28) 1 O Modelo de Anderson. 22. Assim, mostramos que a função de onda da aproximação tight-binding, tem a forma de uma onda de Blo h.. 1.7. O Modelo de Anderson. Os primeiros modelos para sólidos os onsideravam omo sendo onstituídos por átomos em uma estrutura periódi a perfeita. Mas todos os sólidos, sejam eles naturais ou arti iais, possuem algum tipo de desordem, esta podendo onstituir-se de átomos intrusos na estrutura ou até mesmo por distorções da rede. Com o avanço no estudo dos sólidos, o próximo passo foi investigar as propriedades eletrni as dos materiais que não possuem a periodi idade na rede que estava presente nos modelos anteriores, em espe ial a lo alização dos estados eletrni os, que pare e desempenhar um papel proeminente nestas propriedades. O modelo bási o para estes materiais, onhe idos omo sólidos amorfos, foi proposto por P. W. Anderson. Anderson mostrou que as funções de onda dos elétrons em sólidos amorfos não são estendidas omo ondas de Blo h e sim lo alizadas em torno das desordens. Além disso, estimou a largura de desordem ne essária para haver uma transição entre os estados estendidos e os lo alizados, esta transição ou onhe ida omo transição de Anderson. O Hamiltoniano do modelo de Anderson para uma adeia de átomos possui um termo inéti o, representado pelo hopping entre os sítios vizinhos da rede e um termo poten ial que representa a energia em ada sítio. Para simular as desordens ao longo da rede, utiliza-se um poten ial aleatório. O Hamiltoniano tight-binding a:. H=. X i. ǫi |iihi| +. X. tij |iihj|. (1.28). onde ǫi representa o poten ial aleatório, tij o termo de hopping que modela a interação entre os sítios i e j e |ii é o orbital atmi o entrado no sítio i. As energias ǫi são distribuídas aleatoriamente num intervalo de largura W e o termo inéti o diminui rapidamente om a distân ia entre os sítios |i − j|. A largura W é onhe ida omo força ou intensidade da.

(29) 1 O Modelo de Anderson. 23. desordem e o seu valor ontrola a transição entre o omportamento metáli o e o isolante. Anderson mostrou que a depender do valor da intensidade da desordem, pode haver uma supressão do transporte eletrni o. Esta transição é ontrolada por um valor de W hamado de valor ríti o e indi ado por Wc . Os autoestados e autoenergias são en ontrados através da equação de S hrödinger independente do tempo (equação de autovalores):. H|ψi = E|ψi. (1.29). É possível es rever as soluções desta equação, os estados esta ionários, omo ombinações lineares dos orbitais atmi os:. |ψi =. X i. ci |ii. (1.30). onde os autoestados |ii formam uma base ortogonal para o espaço das soluções do Hamiltoniano da equação (1.28) e ci representa a amplitude de probabilidade de en ontrar o elétron no orbital |ii. Substituindo a equação (1.30) e o Hamiltoniano (1.28) na equação de autovalores (1.29), obtemos uma relação entre as amplitudes de probabilidade:. Eci = ǫi ci +. X. tij cj. (1.31). j. Os modelos ristalinos anteriores podem ser obtidos da última equação. Para o modelo de Blo h unidimensional, a intensidade de desordem será nula, de forma que as energias em todos os sítios são as mesmas e iguais a ǫ0 , ou seja,. ǫi = ǫ0 ,. i = 1,2,3.... (1.32). Para uma adeia onde onsidera-se apenas a interação entre os primeiros vizinhos, o. hopping será não-nulo apenas para os sítios i − 1 e i + 1. Fazendo estas simpli ações.

(30) 1 O Modelo de Anderson. 24. obtemos:. Eci = ǫi ci + t. X. cj .. (1.33). j=i−1,i+1. Supondo soluções do tipo onda de Blo h, ou seja, tomando cn = c0 eikn , temos que:. E = ǫ0 + 2t cos(k). (1.34). que é a relação de dispersão obtida para o modelo de Blo h unidimensional om poten ial onstante em ada sítio da rede e dado por ǫ0 . A banda de energias permitidas neste aso é dada por:. ǫ0 − 2t < E < ǫ0 + 2t. (1.35). A equação (1.35) nos diz que numa adeia linear monoatmi a, a largura da banda de energia é de (E0 + 2t) − (E0 − 2t) = 4t, e depende apenas do termo de interação entre os vizinhos, t. Obviamente, Anderson estudou o aso mais geral em seu modelo, tomando W e t diferentes de zero, o que torna o problema muito mais omplexo. Seus resultados mostraram que se um sólido possui uma estrutura ordenada, então todos os estados eletrni os serão do tipo onda de Blo h, e portanto, se estendem por toda a adeia. Caso o sólido possua um erto grau de desordem, seja ela estrutural, deposi ional ou de qualquer outra natureza, pode haver ou não transmissão da função de onda, dependendo da quantidade de desordem existente. O fenmeno no qual a desordem lo aliza a função de onda é expli ado através das interferên ias destrutivas sofridas por esta ao passar pelas barreiras aleatórias de orrentes do poten ial. O modelo de Anderson permitiu que se desse um salto a frente no estudo das propriedades eletrni as dos sólidos. Desde sua proposição original, várias versões têm sido apresentadas fazendo om que a quantidade de trabalhos na área aumentasse bastante. Estes estudos têm sido favore idos pelo avanço nas té ni as omputa ionais e experimen-.

(31) 1 A teoria de es ala e a transição de Anderson. 25. tais, que foram alavan adas através da produção de dispositivos mi roeletrni os.. 1.8. A teoria de es ala e a transição de Anderson. O trabalho pioneiro sobre os efeitos da desordem na lo alização eletrni a foi publi ado por P. W. Anderson em 1958. Anderson mostrou que a desordem induzia à lo alização eletrni a e quanti ou a desordem ne essária para a ausên ia de transporte em sistemas aleatórios [1℄. Posteriormente, N. F. Mott em 1968, estudou as propriedades de transporte em materiais amorfos e deniu o on eito de mobility edge omo sendo a energia que separa estados eletrni os estendidos de estados lo alizados [3℄. Em T = 0 e desprezando possíveis os ilações da rede, o mobility. edge é a energia ríti a que ara teriza a transição do estado. metáli o para o estado isolante. Esta transição é onhe ida omo transição metal-isolante (MIT -. metal-insulator transition ) induzida por desordem, ou transição de Anderson. Em 1979, Abrahams, Anderson, Li iardello e Ramakrishman [2℄, obtiveram a. dependên ia da transição metal-isolante om a dimensão do sistema. A hipótese bási a desta teoria de es ala é que a transição metal-isolante em T = 0 é ontrolada por apenas uma quantidade: a ondutân ia generalizada g. A teoria de es ala foi utilizada por Thouless [4℄ na reformulação do modelo de Anderson. Na abordagem de Thouless, as unidades fundamentais da rede deixam de ser os sítios atmi os i, passando a ser aixas de volume Ld , onde d é a dimensão do sólido e L é a dimensão lateral da aixa. Cada aixa ontém muitos sítios e o sólido é formado por várias aixas a opladas umas às outras. Os parâmetros ara terísti os do modelo de Anderson, W e t, são mapeados respe tivamente em ∆E , que representa o espaçamento médio entre os níveis de energia dentro de ada aixa, e em δE , o deslo amento ausado por mudanças nas ondições de ontorno. A densidade de estados, n(E) é dada em termos destas quantidades por:. n(E) =. 1 Ld ∆E. .. (1.36).

(32) 1 A teoria de es ala e a transição de Anderson. 26. Utilizamos agora o prin ípio da in erteza de Heisenberg para rela ionar a variação de energia δE e o tempo tD ne essário para um pa ote de onda difundir-se até os ontornos da aixa de lado L:. δE · tD = ~.. (1.37). Considerando que o elétron difunde-se através de um movimento Browniano dentro da aixa, podemos es rever:. tD =. L2 , D. (1.38). sendo D a onstante de difusão. Usando a relação de Einstein entre a ondutividade σ e as propriedades de difusão:. σ = e2 Dn(E).. (1.39). Combinando esta equação om as Eqs. (1.38) e (1.39), obtemos:. δE =. σ~ . e2 L2 n(E). (1.40). A razão ∆E/δE é tomada omo sendo a medida da força da desordem no sistema, análoga a razão W/t no modelo de Anderson tradi ional. Estados estendidos são sensíveis às mudanças nas ondições de ontorno ∆E δE < 1 , enquanto estados lo alizados não são ∆E δE > 1 . O parâmetro de desordem, g −1 , é dependente da es ala e é denido omo:. ∆E 1 ≡ . g(L) δE. (1.41). Substituindo as Eqs. (1.36) e (1.40) em (1.41), obtemos a dependên ia de es ala para o parâmetro g :.

(33) 1 A teoria de es ala e a transição de Anderson. g(L) =. 27. ~ σLd−2 . e2. (1.42). Como a equação (1.40) é válida apenas no limite de estados estendidos, a equação (1.42) também só é válida para este limite. O termo σLd−2 é a denição da ondutân ia de um ubo de dimensão d, lado L e ondutividade σ . Desta forma, a laro que g(L) é uma ondutân ia generalizada em unidades de e2 /~. A teoria de es ala para a transição de Anderson exprime omo a função g es ala om o omprimento ara terísti o L do sistema. Consideremos agora um sistema de tamanho L0 , omposto por aixas de volume. Ld0 . Sua ondutân ia generalizada é. g0 = g(L0 ) =. δE(L0 ) . ∆E(L0 ). (1.43). Dado g0 em uma es ala de omprimento L0 , a relação de es ala permite en ontrar. g numa es ala L = bL0 . Os volumes das aixas nesta nova es ala de omprimento são fa ilmente en ontrados em função dos omprimentos das aixas originais L0 e do fator de es ala b:. V = (bL0 )d .. (1.44). Portanto, a ondutân ia generalizada é ompletamente determinada por uma função de es ala f (g0 ,b). Sendo b uma transformação ontínua, ou seja, b = 1 + ǫ, onde ǫ ≪ 1, o omportamento de es ala de g pode ser determinado pela função de es ala diferen ial. β(g), dada por:. β(g) =. dlng(L) dlnL. (1.45). A Fig. (1.2), proposta por Abrahams e olaboradores [2℄, mostra o omportamento da função β(g), denida na equação (1.45). Para β > 0, a ondutân ia generalizada g.

(34) 1 A teoria de es ala e a transição de Anderson. 28. Figura 1.2: Comportamento qualitativo de β(g) para uma, duas e três dimensões apresentado por Abrahams e olaboradores em 1979. res e om o res imento de L, ara terizando um omportamento metáli o; para β < 0, a função g de res e om o res imento de L, indi ando um omportamento isolante. O omportamento de β(g) é determinado pela observação de seus limites assintóti os. Como a equação (1.42) é válida no limite ma ros ópi o de estados estendidos, temos:. (1.46). lim β(g) = d − 2.. g→∞. Mais expli itamente:.    +1 para    β(g → ∞) = 0 para      −1 para. d=3 d=2 .. (1.47). d=1. Para g pequeno, ou seja, g ≪ 1, o modelo de Anderson prevê que os estados eletrni os são exponen ialmente lo alizados, omo mostra a Fig. (1.2). Deste modo, nos ontornos de ada aixa de lado L, a amplitude da função de onda de um elétron lo alizado no interior da aixa é e−γL , onde γ é o expoente de Lyapunov (inverso do omprimento de lo alização λ). Como o a oplamento entre as aixas possui a mesma dependên ia.

(35) 1 A teoria de es ala e a transição de Anderson. 29. exponen ial om L, a ondutân ia generalizada também de ai exponen ialmente (g(L) ∝. e−γL , e da equação (1.45),. lim β(g) = ln g,. (1.48). lim β(g) = −∞,. (1.49). g→0. de forma que. g→0. omo mostrado na Fig. (1.2), independentemente da dimensão d do sistema. Assumindo que β(g) é monotni a entre os limites g → ∞ e g → 0, reproduzimos o omportamento da Fig. (1.2). Para d = 1 e d = 2 o diagrama de uxo nos mostra que g diminue om o res imento de L. Para d = 3, temos um ponto xo instável em β = 0 om. g = gc . O valor ríti o, gc separa a região de forte a oplamento e baixa desordem (g < gc ), onde os estados são estendidos, da região de fra o a oplamento e forte desordem (g > gc ), onde os estados são lo alizados. O diagrama resume a idéia entral da teoria de es ala: em. d = 1 e d = 2 não existe transição metal-isolante, diferentemente do aso d = 3. O omprimento de lo alização λ e a ondutividade σ apresentam omportamento tipo lei de potên ia quando a energia está próxima da energia ríti a de transição (mobility. edge ): λ ∝ (E − Ec )ν σ ∝ (E − Ec )s . Estimou-se que s = ν = 1 tanto através de té ni as diagramáti as, omo zeram Vollhard e Wole [5℄, quanto através de expansão em d + ǫ, omo fez Wegner [7℄. Pesquisas re entes, entretanto, ao onsiderarem orreções na teoria de es ala, obtiveram um valor mais a urado para ν (≈ 1,57) [8, 9, 10, 11℄. Como exemplos de experimentos nesta área podemos itar aqueles realizados em silí io dopado om fósforo ou bário [12, 5, 13, 14, 15℄. Em tais experimentos a desordem advém das posições aleatórias dos átomos dopantes. A largura de desordem é ontrolada através da on entração de dopantes ou da apli ação de.

(36) 1 Correlações no modelo de Anderson. 30. um ampo.. 1.9. Correlações no modelo de Anderson. A teoria de es ala prevê que para o modelo de Anderson todos os estados eletrni os para sistemas de baixa dimensionalidade (d ≤ 2) serão lo alizados, independentemente do grau de desordem. Outra previsão da teoria é uma transição de Anderson para sistemas de dimensão d = 3 em determinado valor ríti o, Wc , da largura de desordem. No entanto, re entemente surgiram vários trabalhos que indi am uma violação da teoria de es ala, pois demonstram a existên ia da transição metal-isolante para sistemas desordenados de baixa dimensionalidade. A expli ação mais a eita para este fenmeno é que orrelações na desordem sejam responsáveis pelos estados estendidos que permane em. Em 1976, G. Theodorou e M. H. Cohen ao analisarem modelos. tight-binding para. adeias unidimensionais om desordem nos termos fora da diagonal do Hamiltoniano (amplitudes de. hopping aleatórias), mostraram que os estados no entro da banda eram es-. tendidos [16℄. No ano seguinte, L. Fleishman e D. C. Li iardello examinaram a natureza dos estados de energia zero em sistemas unidimensionais om desordem nos termos fora da diagonal do Hamiltoniano e mostraram que o omprimento de lo alização diverge para este valor da energia. No entanto, devido à inuên ias de utuações, a função de onda √. do elétron a aba tornando-se lo alizada, om omportamento assintóti o ψ(r) ∼ expα. r,. apesar da divergên ia do omprimento de lo alização, diferindo do modelo de Anderson original, onde as funções de onda eram exponen ialmente lo alizadas. Isto faz om que o valor médio do oe iente de transmissão, que está rela ionado à ondutividade σ , vá a zero no limite termodinâmi o [17℄. Em 1989, novamente através de estudos do modelo de Anderson om Hamiltoniano. tight-binding, desta vez om desordem tanto nas energias do sítio quanto nos termos de hopping, J. C. Flores mostrou que tais sistemas podem apresentar uma energia ríti a Ec para a qual o estado eletrni o permane e estendido aso as desordens na diagonal e fora da diagonal sejam orrela ionadas de uma maneira parti ular[18℄. Neste mesmo ano, D..

(37) 1 Correlações no modelo de Anderson. 31. H. Dunlap, K. Kundu e P. Phillips, ao pesquisarem a dinâmi a eletrni a em sistemas om desordem orrela ionada tanto nas energias do sítio quanto no. hopping, per eberam que. pode haver uma delo alização de um pa ote de onda ini ialmente lo alizado, independentemente da dimensão espa ial do sistema [19℄. Estas pesquisas mostraram uma dinâmi a superdifusiva para a função de onda em sistemas unidimensionais, pois o deslo amento quadráti o médio res e om o tempo de propagação t segundo uma lei de es ala t3/2 . M. Griniasty e S. Fishman [20℄ usaram uma abordagem um pou o diferente e estudaram o problema da lo alização em sistemas unidimensionais om um pseudo-poten ial randmi o, os quais apresentam um omportamento intermediário entre o aso periódi o e o aso aleatório. O pseudo-poten ial utilizado era da forma:. ǫn = λ cos(πα|n|ν ),. (1.50). onde n é o índi e que indi a a posição do sítio. Eles observaram que o aráter metal-isolante do modelo dependia dos valores dos parâmetros que denem o poten ial:. • para α ra ional o omportamento é de um sólido ristalino; • para α irra ional, • e ν ≥ 2, todos os estados são lo alizados om omprimento de lo alização semelhante ao modelo om poten ial totalmente aleatório;. • e 0 < ν ≤ 1, existem estados estendidos e estados lo aliza-. dos, om. mobility edge (energia que divide estados lo alizados de estendidos) para λ < 2.. No entro da banda de energia (|E| < 2 − λ) existem estados estendidos e nos extremos (2 + λ > |E| > 2 − λ) os estados são lo alizados. Para λ > 2, todos os estados são lo alizados.. • e ν > 1, todos os estados fora do entro da banda são lo alizados, mesmo om omprimento de lo alização onsideravelmente grande [21℄. Em 1990, D. H. Dunlap, H. L. Wu e P. Phillips estudaram uma liga binária, através de um Hamiltoniano de Anderson [22℄. Nesta adeia, as energias dos sítios podem assumir.

(38) 1 Correlações no modelo de Anderson. 32. os valores ǫa e ǫb om probabilidades p e 1 − p respe tivamente, e os sítios de energia ǫa apare em sempre aos pares. Os termos de. hopping entre os primeiros vizinhos é onstante. e igual a t. Observou-se que se −2t < ǫa − ǫb < 2t, o sistema apresenta uma energia ressonante onde a função de onda é delo alizada e o pa ote de onda evolui de forma superdifusiva om t3/2 . Porém, se |ǫa − ǫb | = 2t, a evolução do pa ote de onda é difusiva e o deslo amento quadrado médio é linear om o tempo. Em qualquer outro regime a função de onda é exponen ialmente lo alizada. Outros modelos de dímeros, om Hamiltoniano. tight-binding, foram formulados e apresentaram em geral algumas energias ressonantes onde a função de onda deixa de ser lo alizada para se espalhar por toda a adeia. Hilke foi o primeiro a introduzir um modelo de Anderson om desordem diluída em 1997 [23℄. O modelo era omposto por duas adeias interpenetrantes, onde a desordem era inserida em apenas uma das adeias ( adeia de Anderson), enquanto a outra possuía poten iais onstantes. Devido a simetria remanes ente na adeia não-aleatória, surgem energias ressonantes, para as quais o elétron está em um estado estendido. A quantidade destas energias ressonantes é independente do tamanho do sistema; isto levou a onje tura de que estes estados estendidos ressonantes em nada interfeririam no transporte eletrni o. A presença de modos ressonantes delo alizados foi experimentalmente demonstrada em polianilina dopada [22℄ e em superestruturas semi ondutoras aleatórias do tipo dímero[24℄. Estados ressonantes estendidos foram também reportados em ligas semi ondutoras binárias om desordem diluída [25℄, bem omo em adeias harmmi as aleatórias om desordem diluída na distribuição de massas [26℄. Além disso, previu-se teori amente que sistemas unidimensionais om desordem livre de es ala e de longo al an e permitiriam a presença de. mobility edges om intervalo de energia nito de estados delo alizados, previsão onrmada experimentalmente em guias de mi ro-ondas aleatórios. O modelo de Anderson diluído foi estendido para in luir uma função de diluição geral que dene as energiais on-site para ada segmento não-aleatório [27℄. Através de uma abordagem de dizimação, foi demonstrado que o número de estados ressonantes estendidos depende fortemente do tamanho dos segmentos diluidores e das simetrias da função.

(39) 1 Correlações no modelo de Anderson. 33. diluidora. Modelos de Anderson unidimensionais om desordem orrela ionada vêm sendo amplamente estudados, visto que estes apresentam estados eletrni os estendidos [18, 22℄, propriedade não usual para sistemas desta dimensão, devido a teoria de es ala. Nestes modelos de baixa dimensionalidade, a presença de desordem de urto-al an e induz o apare imento de energias ressonantes, para as quais os estados eletrni os são estendidos, formando um grupo de medida nula [22℄. Entretanto, para orrelações de longo-al an e, a o orrên ia de uma transição metal-isolante torna-se possível em uma dimensão [28, 29℄. Efeitos rela ionados à presença de orrelações de longo-al an e em sistemas desordenados têm sido amplamente analisados. Em 1998, Russ e olaboradores [30℄, apresentaram um modelo de Anderson unidimensional onde as energias dos sítios possuiam uma orrelação dada por C(l) ∝ hǫn ǫm i ∝ l−γ , sendo γ um parâmetro. O que observou-se é que para γ positivo todos os estados são lo alizados. Contudo, o omprimento de lo alização diverge quando γ tende a zero. F. A.B. F de Moura e M. L. Lyra [31℄ estudaram em 1998 um modelo de Anderson unidimensional om desordem diagonal e orrelações de longo-al an e. No modelo, os poten iais nos sítios são dados pelo traço de um movimento Browniano fra ionário, uja densidade espe tral é dada por:. S(k) ∝. 1 , kα. (1.51). onde S(k) é a transformada de Fourier da função de orrelação de dois sítios, hǫn ǫm i . Os poten iais nos sítios são dados por:. ǫn =. N/2 X k=1.

(40)

(41) 1−α 1/2

(42)

(43)  cos 2πik + φk , k−α

(44)

(45) 2π

(46)

(47)

(48) N

(49) N . (1.52). om N representando o número de sítios e φk representando N/2 fases independentes e aleatórias, distribuídas uniformemente no intervalo [0, 2π]. O omportamento deste sistema depende do valor do expoente α. Utilizando um formalismo de grupo de renormalização, F. A.B. F de Moura e M. L. Lyra mostraram que,.

(50) 1 Correlações no modelo de Anderson. 34. para α > 2, este sistema exibe estados estendidos no entro da banda, separados dos estados lo alizados por dois. mobility edges. Pela primeira vez uma verdadeira transição metal-. isolante em sistemas unidimensionais foi apresentada. Vários outros trabalhos que in luem orrelações de longo-al an e em sistemas de baixa dimensionalidade têm sido propostos [29, 32, 33, 34, 35℄. Por exemplo, o estudo de mi ro-ondas em guias retangulares om espalhadores orrela ionados [40m℄ e trabalhos que indi am que as orrelações de longoal an e são responsáveis pelo transporte eletrni o no DNA [34, 36, 37℄. Os ilações de Blo h em adeias unidimensionais om desordem orrela ionada de longo-al an e, onde o elétron é sujeito a um ampo elétri o uniforme [35℄, foram en ontradas para um pa ote de onda ini ialmente gaussiano, e a largura de banda de estados estendidos en ontrada estava de a ordo om a previsão teóri a a ampo nulo. Portanto, orrelações na desordem têm sido onsideradas omo sendo um dos me anismos bási os para a quebra da lo alização em sistemas desordenados de baixa dimensionalidade..

(51) 2 TRANSPORTE ELETRÔNICO NO DNA. 2.1. Introdução. Pesquisadores têm se voltado ada vez mais para o estudo do DNA, omo atestam inúmeros sequen iamentos de genoma, om destaque para o genoma humano, modi ações genéti as em várias espé ies e, em nossa área de interesse podemos itar a síntese, ara terização e estudo das propriedades eletrni as de sistemas baseados na molé ula de DNA. Estas pesquisas têm envolvido tanto físi os quanto biólogos, pois existe a possibilidade do desenvolvimento de dispositivos eletrni os baseados no DNA, omo também há a sugestão de que a transferên ia de elétrons no DNA possa ser biologi amente importante. Como exemplo podemos itar a existên ia de evidên ia direta [38℄ de que a enzima MutY, faz parte de alguma forma de transferên ia de elétrons omo parte do pro esso de reparo do DNA [39℄. Este fato é onsistente om estudos nos quais uma orrente elétri a apli ada no DNA mostra que regiões dani adas têm omportamento eletrni o signi ativamente diferente de regiões saudáveis [38℄. Uma possível apli ação para esta des oberta seria a identi ação de regiões do DNA om mutações e, no futuro, sua possível orreção. Naturalmente o DNA é en ontrado em soluções líquidas, e portanto, admite-se. 35.

(52) 2 Introdução. 36. experimentalmente duas abordagens: pode-se estudar a molé ula em solução ou em ambientes arti ialmente se os. Em experimentos de soluções líquidas, o DNA é pro essado para hospedar uma molé ula doadora e outra re eptora em diferentes sítios ao longo do seu eixo. Desta forma, experimentos são feitos variando-se as molé ulas doadoras/re eptoras, a distân ia e a sequên ia de DNA entre estas molé ulas. Experimentos om DNA se o também têm sido exe utados nos últimos anos. Os resultados têm se mostrado bastante variáveis, a depender do método de se agem do DNA, da natureza dos dispositivos usados para medir a ondutividade e da sequên ia e omprimento do DNA. O DNA já foi des rito omo isolante [41, 42℄, ondutor Ohmi o [43, 44, 45, 46, 47℄ e semi ondutor [48℄. Apesar da falta de onsistên ia para as propriedades eletrni as do DNA, em uma oisa os experimentos on ordam: o meio em que o DNA se en ontra inui drasti amente em suas propriedades estruturais, quími as e, provavelmente eletrni as. Estudos teóri os e experimentais têm mostrado que a temperatura e o tipo de solução em que o DNA está envolto têm um papel signi ativo em sua estrutura e forma [49, 50, 51℄. Dentro do ontexto do transporte eletrni o no DNA, tem havido um interesse res ente no estudo de sistemas aleatórios orrela ionados om uma topologia de es ada, devido à sua similaridade om a estrutura de ta dupla (double-strands ) do DNA e sua apli ação poten ial no desenvolvimento de dispositivos bioeletrni os, já que estudos mostram que o DNA pode servir omo o, transistor,. swit h ou reti ador, dependendo de suas. propriedades eletrni as [52, 53, 54℄. Es adas aleatórias de dois anais têm, portanto, sido onsideradas uma lasse interessante de modelos no qual orrelações podem inuen iar fortemente nas propriedades eletrni as. Foi demonstrado que as orrelações entre as tas da es ada, asso iadas ao emparelhamento de bases nitrogenadas no DNA, e as orrelações. intra-strand favore em o transporte eletrni o sobre segmentos maiores quando omparado om adeias aleatórias sem orrelação [37, 40℄. Entretanto, todos os estados permane em exponen ialmente lo alizados e o transporte por longas distân ias não o orre..

(53) 2 A Molé ula de DNA. Figura 2.1: Desenho esquemáti o de um segmento de DNA om o 2.2. 37. ba kbone em destaque.. A Molé ula de DNA. O DNA (do inglês Deoxyribonu lei a id) é a molé ula responsável por armazenar as informações ne essárias para o desenvolvimento e fun ionamento de todos os seres vivos, om a ex eção de alguns vírus. O DNA é um longo polímero om uma estrutura em dupla héli e (Fig.2.1) formado por unidades que se repetem hamadas nu leotídeos. Estas unidades são ompostas por fosfatos, uma molé ula de açú ar e uma base. Um nu leotídeo tem um omprimento de er a de 0,34 nm. Embora sejam muito pequenos, uma molé ula de DNA pode ser bastante grande, pois ontém entenas de milhares destas unidades fundamentais. A parte do nu leotídeo formada por uma molé ula de açú ar e grupos de fosfatos ompõe o hamado. ba kbone, a parte do DNA que impede que a molé ula se desfaça. (Fig.2.1). Enquanto a base é responsável por ligar os dois lamentos do DNA. Existem quatro possíveis bases nitrogenadas, a saber: adenina (A), itosina (C), guanina (G) e timina (T). Estas bases são divididas em dois grupos: purinas e piramidinas, adenina e guanina são purinas, enquanto itosina e timina são piramidinas. Cada base em um dos lamentos do DNA junta-se a apenas uma outra base espe í a no outro lamento,.

(54) 2 A Molé ula de DNA. 38. Figura 2.2: Pontes de hidrogênio entre as bases que formam o DNA. desta forma, adenina junta-se a timina, enquanto guanina junta-se a itosina. O que está o orrendo é a formação de ligações de hidrogênio entre purinas e piramidinas. Como as ligações de hidrogênio são fra as quando omparadas om ligações ovalentes, os lamentos de DNA podem ser fa ilmente separados, através de esforço me âni o ou do aumento da temperatura. Esta separação e uma posterior união, exe utam um papel ru ial na reprodução do DNA.. Os dois pares de base possuem um número diferente de ligações de hidrogênio; AT possui duas e CG, três (Fig.2.2 ). DNA om alta on entração de CG são mais estáveis, mas ao ontrário do que possa pare er, não por ausa do número maior de ligações de hidrogênio e sim devido a interações devido ao empilhamento de bases. sta king.. O DNA pode ser dani ado por uma série de fatores, que mudam a sequên ia de bases nitrogenadas ou quebram a dupla héli e. Tais fatores in luem agentes oxidantes e radiação eletromagnéti a, omo raios X ou luz ultravioleta. O DNA tem despertado interesse na onstrução de nanoestruturas. Este interesse de orre de suas propriedades de re onhe imento mole ular, ou seja, o emparelhamento espe í o das bases nitrogenadas. Isto permite one tar partes do DNA baseando-se em sua sequên ia de bases. Desta forma, o DNA é usado omo um material para a onstrução de estruturas, em vez de portador de informação genéti a..

(55) 2 Transporte Eletrni o no DNA. 2.3. 39. Transporte Eletrni o no DNA. Devido às poten iais apli ações em nanoeletrni a, têm havido um interesse res ente tanto na síntese quanto na ara terização de molé ulas baseadas em DNA om sequên ias periódi as de nu leotídeos, e na predição teóri a das propriedades eletrni as de estruturas mole ulares modelo [55, 56, 57, 58, 59, 60℄. Entre estas, molé ulas om sequên ias binárias periódi as têm atraído bastante atenção devido à estrutura de banda espe ial omposta de duas bandas prin ipais de estados permitidos separadas por um. gap de ener-. gia. Tal estrutura de banda é similar àquelas de semi ondutores de estado sólido. Quando as bandas estão semipreen hidas, a presença do. gap de energia dá a estas molé ulas um. aráter isolante intrínse o. A introdução de defeitos pode gerar estados dentro do. gap e. aumentar substan ialmente a ondutân ia, espe ialmente em molé ulas nitas.. 2.4. O Papel das Correlações e A oplamento entre Cadeias. Visando revelar a verdadeira relevân ia de orrelações de urto e longo al an e nas propriedades de sequên ias do tipo DNA, E.L. Albuquerque, M.L. Lyra e F.A.B.F. de Moura [40℄, estudaram numeri amente a dinâmi a do pa ote de onda de um elétron em arranjos de segmentos de adeia úni a ou dupla. As sequên ias de DNA foram modeladas onsiderando que seus quatro nu leotídeos seguiam duas sequên ias arti iais, a saber, a sequên ia quasiperiódi a de Rudin-Shapiro, om orrelação de longo al an e entre os pares e uma sequên ia aleatória om pares orrela ionados, om as orrelações de primeiros vizinhos do romossomo 22 humano, que mostra um omportamento de orrelação de urto al an e entre os pares. Eles veri aram que o espalhamento anmalo de um pa ote de onda de um elétron ini ialmente lo alizado poderia ser expli ado pelas orrelações de urto al an e, sugerindo que a in lusão de apenas orrelações intra- adeia entre primeiros vizinhos na distribuição de nu leotídeos provê uma des rição adequada das propriedades eletrni as do DNA. Além disso, ou demonstrado que o a oplamento entre adeias permite o transporte eletrni o.

(56) 2 Efeito da Desordem Diluída. 40. Figura 2.3: Representação esquemáti a de DNA om uma úni a ta mostrando as prin ipais adeias periódi as de bases alternadas (sequên ias CG e CT) om emparelhamento de bases diluído. As bases guanina (G) são a opladas lateralmente e de modo aleatório a uma fração p dos sítios itosinas (C). sobre segmentos mais longos. Entretanto, tal aumento depende fortemente do a oplamento intra- adeia e mais estudos onsiderando parâmetros de modelo mais realísti os se fazem ne essários antes que se possa fazer qualquer inferên ia sobre a verdadeira relevân ia deste aumento do espalhamento eletrni o nas molé ulas de DNA.. 2.5. Efeito da Desordem Diluída. Em um trabalho posterior, E.L. Albuquerque, M.L. Lyra e F.A.B.F. de Moura [61℄, investigaram a natureza dos autoestados de um elétron no ontexto de um modelo. tight-. binding em molé ulas de DNA poly(CG) e poly(CT) om emparelhamento de bases diluído. O modelo onsidera que nu leotídeos guanina juntam-se às itosinas da adeia prin ipal om probabilidade p, Fig. (2.3). Eles demonstraram que este modelo pode ser mapeado exatamente no modelo de Anderson diluído, que onsiste de duas adeias interpenetrantes. Uma das adeias é omposta por unidades não-aleatórias: sítios G (guanina) para poly(CG) ou T (timina) para poly(CT). A segunda adeia é uma sequên ia aleatória de sítios itosina om poten ial on-site ǫC e sítios itosina renormalizados om poten ial on-site efetivo dado por ǫ∗C = ǫC + V 2 /(E − ǫG )..