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Exerc´ıcios Auxiliares - Microeconomia II - EPGE/FGV - 2S2012 Jogos Estáticos sob Informa¸cão Incompleta (Incluindo Leilões) Professor: Angelo Polydoro

Monitora: Clara Costellini

1. Encontre o equil´ıbrio de Nash-Bayesiano do seguinte jogo:

• A natureza determina se os payoffs dos jogadores ser˜ao determinados pelo jogo 1 ou pelo jogo 2, sendo cada um dos dois igualmente prov´avel.

• O jogador 1 toma conhecimento do sorteio realizado pela natureza (se o resultado foi o jogo 1 ou 2), mas o jogador 2 n˜ao.

• Os jogadores decidem simultaneamente as suas a¸c˜oes.

• O payoff dos jogadores ´e determinado de acordo com o jogo escolhido pela natureza.

L R T 1,1 0,0 B 0,0 0,0 Jogo 1 L R T 0,0 0,0 B 0,0 2,2 Jogo 2

Solu¸c˜ao: Poss´ıveis estrat´egias do jogador 1:

(T se a natureza escolhe o jogo 1, T se a natureza escolhe o jogo 2) (T se a natureza escolhe o jogo 1, B se a natureza escolhe o jogo 2) (B se a natureza escolhe o jogo 1, T se a natureza escolhe o jogo 2) (B se a natureza escolhe o jogo 1, B se a natureza escolhe o jogo 2)

O jogador 2 não sabe qual a escolha da natureza, logo suas poss´ıveis estratégias são: (Joga L)

(Joga R)

Se a Natureza escolhe o jogo 1, o jogador 1 tem como estratégia dominante Jogar T. Se a Natureza escolhe o jogo 2, o jogador 1 tem como estratégia dominante Jogar B. Dado as estratégias do Jogador 1 e a probabilidade de 50% para cada escolha da natureza temos para o jogador 2 que:

Payoff de jogar L: (0, 5 × 1) + (0, 5 × 0) = 0, 5. Payoff de jogar R: (0, 5 × 0) + (0, 5 × 2) = 1.

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Portanto, o ENB desse jogo ´e:

Jogador 1:(T se a natureza escolhe o jogo 1, B se a natureza escolhe o jogo 2) Jogador 2:(Joga R).

2. Considere a seguinte versão do duopólio de Betrand sob informa¸cão incompleta com pro-dutos heterogêneos. A demanda pelos produtos da firma i é igual a:

qi(pi, pj) = a − pi− bipj.

O custo de produ¸cão é zero para ambas as firmas. O impacto na demanda do produto i do pre¸co do produto j pode ser alta ou baixa. Isto é, bi ∈ {bL, bH} onde bH > bL > 0. Para

cada firma, bi = bH com probabilidade θ e bi = bL com probabilidade 1 − θ independente

da realiza¸cão de bj. Cada firma conhece o próprio bi, mas não o do competidor e isso é

de conhecimento comum para ambas as firmas. Qual o espa¸co de a¸cão, espa¸co de tipos, cren¸cas e fun¸cões payoff desse jogo? Encontre o equil´ıbrio Nash-Bayesiano simétrico desse jogo.

Solu¸c˜ao: Cada firma resolve: max pH i E[π_iH(pH_i , pj)] = θ(a − pHi − bHpHj )p H i + (1 − θ)(a − p H i − bHpLj)p H i e max pL i E[π_iL(pL_i, pj)] = θ(a − pLi − bLpHj )p L i + (1 − θ)(a − p L i − bLpLj)p L i

Resolvendo para pH_i temos:

CPO: θa − 2θpH_i − θbHpHj + (1 − θ)a − 2(1 − θ)p H i − (1 − θ)bHplj = 0 pH_i = a − θbHp H j − (1 − θ)bHplj 2 De forma an´aloga para a pL

i :

pL_i = a − θbLp

H

j − (1 − θ)bLpLj

2 Dada a simetria do problema temos que:

pH_i = pH_j e pL_i = pL_j ⇒ pH_i = a − (1 − θ)bHp L i 2 + θbH e pL_i = a − θbLp H i 2 + (1 − θ)bL

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Logo, temos um sistema com duas equa¸c˜oes e duas inc´ognitas. Resolvendo Temos: pH_i = a 2 + θbH − (1 − θ)bH 2 + θbH a 2 + (1 − θ)bL − θbLp H i 2 + (1 − θ)bL = a 2+θbH − a(1−θ)bH (2+θbH)(2+(1−θ)bL) 1 + θbL(1−θ)bH (2+θbH)(2+(1−θ)bL) pH_i = a[(2 + (1 − θ)bL) − ((1 − θ)bH)] (2 + θbH)(2 + (1 − θ)bL) − (θbL(1 − θ)bH)

De forma an´aloga:

pL_i = a[(2 + θbH) − (θbL)]

(2 + θbH)(2 + (1 − θ)bL) − (θbL(1 − θ)bH)

Espa¸co de tipos Θ = {bL, bH}

Espa¸co de cren¸cas {θ, (1 − θ)}

Espa¸co de a¸c˜oes A = {pL, pH} com pL_{, p}H _{≥ 0}

Fun¸c˜_{ao payoff π : Θ × A → R} πi(pLi, p L j) = p L i qi(pLi , p L i ) πi(pLi, p H j ) = p L i qi(pLi , p H i ) πi(pHi , p L j) = p H i qi(pHi , p L i) πi(pHi , p H j ) = p H i qi(pHi , p H i )

3. (Micro 2 - 2011 - A2) Dois sócios de uma empresa estão contemplando a possibilidade de financiar a reforma da estrutura da empresa. Cada um decide se irá contribuir para a reforma ou não. Caso pelo menos um sócio decida contribuir para a reforma o benef´ıcio de ambos é normalizado em 1. O custo de cada sócio contribuir ci é sorteado de uma

distribui¸cão uniforme com valores entre [0, 3]. Cada sócio conhece apenas o próprio custo. A situa¸cão estratégica envolvendo os sócios pode ser descrita através do jogo abaixo:

S´ocio 1

Contibui N˜ao S´ocio 2 Contribui 1 − c1,1 − c2 1 − c1,1

N˜ao 1,1 − c2 0,0

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Solu¸cão: As a¸cões são [contribuir, não contribuir, o tipo de um sócio é um custo ci ∈ [0, 3], uma

estratégia é uma fun¸cão si : [0, 3] → {Contribuir, Não Contribuir}.

(b) Encontre o equil´ıbrio Nash-Bayesiano desse jogo. Solu¸c˜ao O equil´ıbrio Nash-Bayesiano desse jogo ´e tal que

c = 1 − 1 − c/3 3

c = 3 4

4. Um objeto é vendido para um número N de participantes através de um leilão. Cada participante atribui valor vi ao objeto. O valor vi de cada participante do leilão é sorteado

de uma distribui¸cão uniforme com valores entre [0, 1]. O mecanismo utilizado para a venda do objeto é um leilão holandês. Nesse tipo de leilão, o leiloeiro inicia a oferta com o valor de 1 e diminui o valor progressivamente até o primeiro participante levantar a mão indicando que deseja comprar o objeto ao pre¸co que acaba de ser anunciado. Esse tipo de leilão é equivalente a que tipo de leilão com lances selados? Encontre a decisão ótima de cada participante em fun¸cão do seu valor vi.

Solu¸cão: Esse tipo de leilão é estrategicamente equivalente ao leilão selado de primeiro pre¸co. Assim, o equil´ıbrio simétrico desse leilão bi(vi) = N −1_N vi.

5. Considere um leil˜ao onde cada comprador, N no total, possui valor vi pelo bem e este ´e

sorteado de uma distribui¸cão uniforme em [0, 1]. Qual a fun¸cão lance em um equil´ıbrio simétrico para um leilão selado de primeiro pre¸co?

Solu¸cão: Suponha que os jogadores empreguem uma estratégia simétrica β(vi) = b. Um participante

com valor viganha se todos os outros jogadores submeterem lances menores do que β(vi) =

b. Isso ocorre com probabilidade (β−1(b))N −1 e resulta em um payoff (vi− b). O payoff

esperado ´e:

(β−1(b)) × (vi− b) + 1 − (β−1(b)) × 0.

Maximizando o payoff esperado em fun¸c˜ao de b encontramos a condi¸c˜ao de primeira ordem: (N − 1)(β−1(b))N −2

β0_(β−1_(b))) (vi− b) − (β −1

(b))N −1= 0

em um equil´ıbrio simétrico o jogador em questão também utilizará a fun¸cão lance β(vi) = b,

ent˜ao: (N − 1)(vi)N −2 β0_(v i) (vi− β(vi)) − (vi)N −1= 0 (N − 1)(vi)N −2vi− (N − 1)(vi)N −2β(vi) = β0(vi)(vi)N −1 (N − 1)(vi)N −2vi = (N − 1)(vi)N −2β(vi) + β0(vi)(vi)N −1

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Dado que um participante com valor para o objeto igual a zero ir´a escolher um lance igual a zero β(0) = 0, podemos resolver a equa¸c˜ao diferencial acima.

d dvi (vi)N −1β(vi) = (N − 1)(vi)N −2vi (vi)N −1β(vi) = (N − 1) Z vi 0 xN −1dxβ(vi) = 1 (vi)N −1 (N − 1) Z vi 0 xN −1dx β(vi) = 1 (vi)N −1 (N − 1) x N N vi 0 β(vi) = 1 (vi)N −1 (N − 1)v N i N β(vi) = N − 1 N vi

6. Considere um leilão de segundo pre¸co com dois participantes N = 2, onde cada um atribui valor vipelo bem e este é sorteado de uma distribui¸cão uniforme em [0, 1]. Cada comprador

´

e avesso ao risco e possui fun¸c˜ao utilidade ui(vi− bi) =

√

vi− bi.

(a) Escolher um lance igual ao pr´oprio valor ´e um equil´ıbrio nesse caso?

Solu¸cão: Um lance igual ao valor privado ainda é um equil´ıbrio, pois qualquer lance menor é dominado.

(b) Qual a fun¸cão lance em equil´ıbrio para um leilão selado de primeiro pre¸co? Compare esse resultado com a fun¸cão lance obtida no exerc´ıcio anterior.

(c) Seguindo os mesmos passos do exerc´ıcio anterior obtemos: Solu¸c˜ao:

γ(vi) =

2 3vi.

Comparando com a fun¸cão lance do leilão de primeiro pre¸co quando os participantes são neutros ao risco β(vi) = v₂i < 2v₃i = γ(vi). Os lances são maiores quando os