MAE Planejamento e Pesquisa I

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COMPARA¸C ˜OES DE M´EDIAS - 1 FATOR FIXO 1 de abril de 2014

(2)

INTRODU ¸

C˜

AO

Testamos H0: µ1 = . . . = µr.

Se H0 não é rejeitada, não há evidências de rela¸cão entre a variável

resposta e o fator.

Se H0 ´e rejeitada, prosseguimos a an´alise com o objetivo de localizar as

diferen¸cas entre as m´edias dos tratamentos.

Consideremos o modelo de m´edias associado ao plano completamente aleatorizado com um fator fixo

yij = µi+ eij.

Exemplo. Embalagens para cereal matinal. Uma companhia desejava testar 4 diferentes embalagens para um novo cereal matinal. 20 lojas, com volumes de vendas similares, foram selecionadas como unidades

experimentais. Para cada loja foi aleatoriamente atribu´ıda uma das embalagens (5 lojas para cada embalagem).

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Devido a um incêndio ocorrido numa das lojas durante o per´ıodo de realiza¸cão do experimento, essa loja foi retirada do estudo. Todas as condi¸cões que pudessem afetar as vendas durante o per´ıodo de realiza¸cão do estudo foram mantidas constantes nas 19 lojas restantes. As vendas (Y ), em número de embalagens, foram anotadas durante o per´ıodo de realiza¸cão do experimento e constam da tabela abaixo. A este experimento pode ser associado um plano completamento aleatorizado, sendo o tipo de embalagem um fator fixo com 4 n´ıveis.

(4)

EXEMPLO

Tabela 1. Vendas (em n´umero de embalagens).

Embalagem 1 Embalagem 2 Embalagem 3 Embalagem 4

11 12 23 27 17 10 20 33 16 15 18 22 14 19 17 26 15 11 28 y1.= 73 y2. = 67 y3.= 78 y4.= 136 ¯ y1.= 14, 6 y¯2.= 13, 4 y¯3. = 19, 5 y¯4.= 27, 2 y..= 354 y¯..= 18, 63 n1 = 5 n2 = 5 n3 = 4 n4= 5

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4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 35 30 25 20 15 10 Tipo de embalagem

No. embalagens vendidas

Gr´afico 1. Dispers˜ao de Y por tratamento

A variabilidade de Y por tratamento parece constante. As vendas parecem maiores sob as embalagens 3 e 4.

(6)

EXEMPLO

Main Effects Plot das m´edias amostrais: Indica o(s) tratamento(s) que se destaca dos demais. A Embalagem 4 ´e a que se destaca.

4 3 2 1 27,5 25,0 22,5 20,0 17,5 15,0 Tipo de embalagem M é d ia d a s v e n d a s

(7)

Este padrão de diferen¸cas reflete apenas uma varia¸cão casual de diferen¸cas entre as médias dos tratamentos?

Tabela 2. Vendas (em n´umero de embalagens). FV gl SQ QM F valor P Embalagem 3 588,20 196,1 18,59 < 0, 001

Res´ıduo 15 158,20 10,5 Total 18 746,40

(8)

ESTIMA¸

C˜

AO DAS M´

EDIAS SOB OS TRATAMENTOS

Estima¸c˜ao da m´edia µi sob um tratamento;

Estima¸cão da diferen¸ca entre médias sob dois tratamentos; Estima¸cão de um contraste entre as médias sob os tratamentos; Estima¸cão de uma combina¸cão linear entre as médias sob os tratamentos.

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1. Estima¸c˜ao da m´edia µi sob um tratamento t∗= y_q¯i.− µi QMR ni ∼ t_n−r, sendo n =P ini.

Um intervalo de confian¸ca para µi com coeficiente de confian¸ca γ = 1 − α

´ e dado por " ¯ yi.∓ t[1−α 2;n−r] r QMR ni # .

(10)

ESTIMA¸

C˜

AO DAS M´

EDIAS SOB OS TRATAMENTOS

Exemplo. Embalagens para cereal matinal. Obter um intervalo de 95% de confian¸ca para a m´edia de vendas sob a Embalagem 4.

Temos ¯y4.= 27, 2, n4 = 5 e QMR = 10, 5. Como α = 0, 05, temos

t[0,975;15] = 2, 131. O intervalo de confian¸ca para µ4 ´e dado por

" 27, 2 ∓ 2, 131 r 10, 5 5 , # ou seja, [24, 11; 30, 29].

(11)

4 3 2 1 30 25 20 15 10 Tipo de embalagem

No. embalagens vendidas

Interval Plot of No. embalagens vendidas

95% CI for the Mean - Mesmo desvio padrão

Gr´afico 3. Intervalos de confian¸ca para µi, i = 1, 2, 3, 4.

Os intervalos do Gr´afico 3 foram constru´ıdos com base em QMR.

(12)

ESTIMA¸

C˜

AO DAS M´

EDIAS SOB OS TRATAMENTOS

2. Estima¸c˜ao da diferen¸ca entre m´edias sob dois tratamentos

Sejam D = µi− µi0 e ˆD = ˆµ_i− ˆµ_i0 = ¯y_i.− ¯y_i0_.. Temos t∗= r D − Dˆ QM R_n1 i + 1 ni0 ∼ tn−r.

Um intervalo de confian¸ca para D com coeficiente de confian¸ca γ = 1 − α ´ e dado por " ˆ D ∓ t_[1−α 2;n−r] s QM R 1 ni + 1 ni0 # .

(13)

Exemplo. Embalagens para cereal matinal. Estimar a diferen¸ca entre as vendas m´edias sob as embalagens 3 e 4. Usar γ = 0, 95. Temos D = µ3− µ4, . ¯y3. = 19, 5, ¯y4.= 27, 2, ˆD = −7, 7, n3 = 4, n4= 5, QMR = 10, 5 e ˆ var( ˆD) = QM R 1 n3 + 1 n4 = 10, 5 1 4 + 1 5 = 4, 725. Como α = 0, 05, temos t[0,975;15]= 2, 131. O intervalo de confian¸ca para

D = µ3− µ4 com coeficiente de confian¸ca γ = 0, 95 ´e dado por

h

−7, 7 ∓ 2, 131p4, 725 i

, ou seja, [−12, 33; −3, 07].

Como o valor 0 n˜ao pertence ao intervalo de confian¸ca obtido, podemos dizer que existe diferen¸ca entre µ3 e µ4. Assim, conclu´ımos que h´a

evidências de que as vendas médias sob a embalagem 3 são menores do que sob a embalagem 4.

(14)

ESTIMA¸

C˜

AO DAS M´

EDIAS SOB OS TRATAMENTOS

3. Estima¸cão de um contraste entre as médias sob os tratamentos Defini¸cão. Um contraste C é definido como

C = r X i=1 ciµi, com r X i=1 ci= 0.

Exemplos de contrastes. Embalagens para cereal matinal. a)C = µ1− µ2. Aqui, c1= 1, c2 = −1, c3= c4= 0.

b) C = µ1+ µ2 2 −

µ3+ µ4

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Um estimador não viesado de C é dado por ˆ C = r X i=1 ciµî = r X i=1 ciy¯i.. Além disso, var( ˆC) = var( r X i=1 ciy¯i.) = σ2 r X i=1 c2_i ni e ˆ var( ˆC) = QM R r X i=1 c2_i ni .

(16)

ESTIMA¸

C˜

AO DAS M´

EDIAS SOB OS TRATAMENTOS

Um intervalo de confian¸ca para C com coeficiente de confian¸ca γ = 1 − α ´ e dado por ˆ C ∓ t[1−α₂;n−r] q ˆ var( ˆC) .

Exemplo. Embalagens para cereal matinal. Obter um intervalo de 95% de confian¸ca para C = µ1+ µ2 2 − µ3+ µ4 2 . Temos ˆ C = y¯1+ ¯y2 2 − ¯ y3+ ¯y4 2 = 14, 6 + 13, 4 2 − 19, 5 + 27, 2 2 = −9, 35, 4 X i=1 c2_i ni = (1/2) 2 5 + (1/2)2 5 + (−1/2)2 4 + (−1/2)2 5 = 0, 2125,

(17)

ˆ

var( ˆC) = 10, 5 × 0, 2125 = 2, 23125 e t_[0,975;15] = 2, 131. O intervalo de confian¸ca para C com coeficiente de confian¸ca γ = 0, 95 ´e dado por

h

−9, 35 ∓ 2, 131p2, 23125i, ou seja, [−12, 53; −6, 07]. Como o valor 0 não pertence ao intervalo obtido, podemos dizer que há evidências de que as vendas médias sob as embalagens 1 e 2 são menores do que sob as embalagens 3 e 4.

Vamos testar as hip´oteses H0: C = 0 contra H1: C 6= 0. Usar α = 0, 05.

Temos t∗ = ˆ C − 0 q ˆ var( ˆC) = √−9, 5 2, 23125 = −6, 26.

Sob H0, o valor P associado a t∗ ´e obtido da distribui¸c˜ao t-Student com

15 graus de liberdade, sendo igual a 2 × 0, 0000076 < 0, 001.

(18)

COMPARA¸

C ˜

OES M ´

ULTIPLAS

Método de Tukey; Método de Scheffé; Método de Bonferroni;

Compara¸c˜oes com um controle;

(19)

M´etodo de Tukey: para o conjunto de todas as diferen¸cas (duas a duas) entre as m´edias sob os tratamentos.

Sejam Dk= µi− µi0, k = 1, . . . , r(r − 1)/2, ˆD_k= ¯y_i.− ¯y_i0_.e ˆ var( ˆDk) = QM R 1 ni + 1 ni0 . Consideremos T = √1 2q(1 − α; r; n − r),

sendo q(1 − α; r; n − r) o quantil de ordem 1 − α da distribui¸c˜ao studentized range com parˆametros r e n − r, tabelada em Kutner et al. (2004) - Tabela B.9.

(20)

M´

ETODO DE TUKEY

Os limites de confian¸ca para Dk com coeficiente de confian¸ca global 1 − α

s˜ao dados por " ˆ Dk∓ T s QM R 1 ni + 1 ni0 # . Coment´arios:

O método de Tukey quando utilizado para amostras de tamanhos desiguais é denominado método de Tukey-Kramer;

Quando n1= n2= . . . = nr = m, o coeficiente de confian¸ca global

pelo método de Tukey é exatamente 1 − α e o n´ıvel de significância global é exatamente α.

(21)

O método de Tukey pode ser usado para compara¸cões de médias duas a duas, sejam essas compara¸cões sugeridas ou não pelos dados. Quando os tamanhos das amostras não são todos iguais, o coeficiente de confian¸ca global é pelo menos 1 − α e o n´ıvel de significância global é no máximo α. Em outras palavras, o método de Tukey é conservador quando os tamanhos das amostras não são todos iguais.

Exemplo. Embalagens para cereal matinal. Vamos obter todas as compara¸cões duas a duas das médias sob as 4 embalagens, utilizando o método de Tukey com um coeficiente de confian¸ca global igual a 90%.

(22)

M´

ETODO DE TUKEY

D1 = µ1− µ2, ˆD1 = 14, 6 − 13, 4 = 1, 2, n1 = n2= 5, QMR = 10, 5 e ˆ var( ˆD) = QM R 1 n1 + 1 n2 = 10, 5 2 5 = 4, 2. Como 1 − α = 0, 10, temos T = √1 2q(1 − α; r; n − r) = T = 1 √ 2q(0, 90; 4; 15) = 1 √ 23, 54 = 2, 50,

constante para todas as compara¸c˜oes.

O intervalo de confian¸ca para D1= µ1− µ2 com coeficiente de confian¸ca

global 1 − α = 0, 90 ´e dado por h

(23)

Como o valor 0 ∈ ao intervalo de confian¸ca obtido, podemos dizer que n˜ao parece existir diferen¸ca entre µ1 e µ2. Assim, conclu´ımos que as vendas

médias sob as embalagens 1 e 2 não são diferentes.

D2 = µ1− µ3, ˆD2 = 14, 6 − 19, 5 = −4, 90, n1 = 5, n3 = 4, QMR = 10, 5 e ˆ var( ˆD) = QM R 1 n1 + 1 n3 = 10, 5 1 5 + 1 4 = 4, 725.

O intervalo de confian¸ca para D2= µ1− µ3 com coeficiente de confian¸ca

global 1 − α = 0, 90 ´e dado por h

−4, 9 ∓ 2, 50p4, 725 i

, ou seja, [−10, 33; 0, 534].

(24)

M´

ETODO DE TUKEY

Como o valor 0 ∈ ao intervalo de confian¸ca obtido, podemos dizer que não parece existir diferen¸ca entre µ1 e µ3. Assim, conclu´ımos que não há

evidˆencias de que as vendas m´edias sob as embalagens 1 e 3 sejam diferentes.

Exerc´ıcio. Obter os demais 4 intervalos de confian¸ca e interpretá-los. Verificar se o método de Tukey está implementado no R.

(25)

Método de Scheffé: para o conjunto de todos os contrastes entre as médias sob os tratamentos.

Sejam Ck=Pri=1ciµi com Pri=1ci= 0, para k = 1, 2, . . .

ˆ Ck= Pr i=1ciy¯i. e ˆvar( ˆCk) = QM R r X i=1 c2_i ni . Consideremos S2 _{= (r − 1)F} [1−α;r−1,n−r], sendo F[1−α;r−1,n−r] o quantil

de ordem 1 − α da distribui¸c˜ao F-Snedecor com r − 1 graus de liberdade no numerador e n − r no denominador.

(26)

M´

ETODO DE SCHEFF´

E

Os limites de confian¸ca para Ck com coeficiente de confian¸ca global 1 − α

s˜ao dados por  Cˆk∓ S v u u tQM R r X i=1 c2_i ni  .

Observa¸cão. Os limites de confian¸ca para C obtidos pelo método de Scheffé diferem daqueles obtidos para um único contraste somente através de um múltiplo de

q ˆ

(27)

Exemplo. Embalagens para cereal matinal. Vamos estimar os seguintes contrastes entre as médias de vendas sob as 4 embalagens, utilizando o método de Scheffé com um coeficiente de confian¸ca global igual a 90%:

C1= µ1+ µ2 2 − µ3+ µ4 2 , C2= µ1+ µ3 2 − µ2+ µ4 2 , C3 = µ1− µ2, C4 = µ3− µ4. Como 1 − α = 0, 90, temos F_{[0,90;4−1,19−4]}= 2, 49 e S2 = (4 − 1) × 2, 49 = 7, 47 (cte para todos os contrastes).

(28)

M´

ETODO DE SCHEFF´

E

Ck Cˆk var( ˆˆ Ck) Limites de confian¸ca

C1 -9,35 2,23125 [−9, 35 ∓ √ 7, 47 × 2, 23125] [−13, 53; −5, 37] C2 -3,25 2,23125 [−3, 25 ∓ √ 7, 47 × 2, 23125] [−7, 33; 0, 83] C3 1,2 4,2 [1, 2 ∓ √ 7, 47 × 4, 2] [−4, 40; 6, 80] C4 -7,7 4,725 [1, 2 ∓ √ 7, 47 × 4, 725] [−13, 64; −1, 76]

(29)

A embalagem 1 tem 3 cores mas não tem desenhos, a embalagem 2 tem 3 cores e desenhos, a embalagem 3 tem 5 cores mas não tem desenhos e a embalagem 4 tem 5 cores e desenhos. Assim, pelo intervalo de confian¸ca para C1, temos que parece haver diferen¸ca entre as vendas médias sob

embalagens com 3 e 5 cores (as com 3 cores têm vendas médias menores). Já, pelo intervalo de confian¸ca para C2, temos que parece não haver

diferen¸ca entre as vendas m´edias sob embalagens com e sem desenhos. O intervalo de confian¸ca para C3 mostra que n˜ao parece haver diferen¸ca

entre as vendas m´edias sob as embalagens com 3 cores. Contudo, o intervalo de confian¸ca para C4 mostra que parece haver diferen¸ca entre as

vendas médias sob as embalagens com 5 cores (a venda média é maior com a embalagem 4).

(30)

M´

ETODO DE BONFERRONI

Método de Bonferroni: para um subconjunto de todas as diferen¸cas, de todos os contrastes ou combina¸cões lineares entre as médias sob os tratamentos.

Seja g o número de afirma¸cões no subconjunto de combina¸cões lineares (notar que contrastes são combina¸cões lineares).

Os limites de confian¸ca para cada Lk com coeficiente de confian¸ca global

pelo menos igual a 1 − α s˜ao dados por ˆ Lk∓ B q ˆ var( ˆLk) , k = 1, . . . , g,

sendo B = t[1−α/(2g);n−r] e t[1−α/(2g);n−r] o quantil de ordem 1 − α/(2g)

(31)

Exemplo. Embalagens para cereal matinal. Vamos estimar apenas os seguintes dois contrastes entre as m´edias de vendas sob as 4 embalagens, utilizando o m´etodo de Bonferroni com um coeficiente de confian¸ca global igual a 0,975: L1 = µ1+ µ2 2 − µ3+ µ4 2 , L2 = µ1+ µ3 2 − µ2+ µ4 2 . Como 1 − α = 0, 975, temos t[1−0,025/(2×2);15] = t[0,99375;15]= 2, 84

(constante para os dois contrastes).

(32)

M´

ETODO DE BONFERRONI

Temos

Lk Lˆk var( ˆˆ Lk) Limites de confian¸ca

L1 -9,35 2,23125 [−9, 35 ∓ 2, 84 × √ 2, 23125] [−13, 59; −5, 11] L2 -3,25 2,23125 [−3, 25 ∓ 2, 84 × √ 2, 23125] [−7, 49; 0, 99]

Vale observar que os limites de confian¸ca L1 e L2, pelo m´etodo de Scheff´e

e um coeficiente de confian¸ca global igual a 0,975, se baseiam em S2 = 3 × F[0,975;3,15]= 3 × 4, 15 = 12, 45,

(33)

Observa¸cão. Se o coeficiente de confian¸ca global é 1 − α e o número de compara¸cões é g, não é necessário que o coeficiente de confian¸ca

associado a cada compara¸c˜ao seja 1 − α/g. Podemos ter, 1 − α = 1 − (α1+ . . . + αg).

Compara¸cões entre os métodos de Bonferroni, Scheffé e Tukey.

Compara¸c˜oes de m´edias 2 a 2

Todas: Tukey

Algumas: Bonferroni, em geral;

(34)

COMPARA¸

C ˜

OES ENTRE OS TRˆ

ES M´

ETODOS

Contrastes

Bonferroni: n´umero de contrastes g ≤ r, sendo r o n´umero de

tratamentos

Scheff´e: n´umero de contrastes a serem estimados excede r por uma

boa quantidade;

Desde que as compara¸cões múltiplas sejam estabelecidas a priori, os 3 métodos podem ser aplicados e escolhe-se o que fornecer os menores limites de confian¸ca. Para compara¸cões múltiplas estabelecidas a posteriori, apenas o método de Bonferroni não se aplica.

Outros m´etodos: ver, por exemplo, Miller (1991), Simultaneous Statistical Inference. New York: Springer–Verlag.

(35)

Compara¸cões com um controle: Comparar as r − 1 médias populacionais com a média sob o tratamento controle. Número de compara¸cões é r − 1. Dunnett (1964), Biometrics, 20, 482–491. Vamos supor que o tratamento controle seja o r-ésimo tratamento. Queremos testar H0 : µi− µr versus H1: µi 6= µr, i = 1, . . . , r − 1. O

procedimento de Dunnett é uma modifica¸cão de teste t. Para cada hipótese, calculamos

|¯yi.− ¯yr.| i = 1, . . . , r − 1.

Seja α, o n´ıvel de significˆancia global. Rejeitamos H0 se

|¯yi.− ¯yr.| > dα(r − 1, n − r) s QM R 1 ni + 1 nr ,

sendo que dα(r − 1, n − r) ´e tabelado para testes unicaudais e bicaudais.

(36)

COMPARA¸

C ˜

OES COM UM CONTROLE - EXEMPLO

Exemplo: Embalagens para carne. Doze bifes de 75g receberam aleatoriamente um de 4 tratamentos (tipos de embalagem). Após 9 dias de armazenamento a 4oC, foi contado, na superf´ıcie de cada bife, o número existente de bactérias (em log(contagem/cm2) de certa espécie. Os dados constam da tabela abaixo.

Embalagem 1 Embalagem 2 Embalagem 3 Embalagem 4 7,66 5,26 7,41 3,51 6,98 5,44 7,33 2,91 7,80 5,80 7,04 3,66 ¯ y1.= 7, 48 y¯2.= 5, 50 y¯3. = 7, 26 y¯4.= 3, 36 FV gl SQ QM F valor-P Embalagem 3 32,873 10,958 94,58 < 0, 001 Res´ıduo 8 0,927 0,116 Total 11 33,800

(37)

Exemplo: Embalagens para carne. Vamos comparar o valor médio do log(contagem) do número de bactérias sob os tratamentos 2, 3 e 4 com o sob tratamento 1 (saco plástico), utilizando o método de Dunnett com um coeficiente de confian¸ca global igual a 95%. Vale relembrar que os

tratamentos 2 a 4 são descritos como: 2. Embalagem à vácuo; 3.

Embalagem com 1% de CO (mon´oxido de carbono), 40% de O2 (oxigˆenio)

e 59% de N (nitrogˆenio) e 4. Embalagem com 100% de CO2 (di´oxido de

carbono). Sendo 0,95, o coeficiente de confian¸ca global, temos que d0,05(3, 8) = 2, 88

(valor obtido da Tabela IX de Montgomery, 2001).

(38)

COMPARA¸

C ˜

OES COM UM CONTROLE - EXEMPLO

Compara¸c˜ao Estimativa Variˆancia Limites de estimada confian¸ca µ1− µ2 1,98 0,0773 [1, 98 ∓ 2, 88 √ 0, 0773 ] [1, 18; 2, 78] µ1− µ3 0,22 0,0773 [0, 22 ∓ 2, 88 √ 0, 0773 ] [−0, 58; 1, 02] µ1− µ4 4,12 0,0773 [4, 1 ∓ 2, 88 √ 0, 0773 ] [3, 32; 4, 92]

Observamos que o valor médio do log(contagem) do número de bactérias sob a embalagem padrão (saco plástico) pode ser considerado maior do que sob o tratamento 2 e 4, mas não sob o tratamento 3.

(39)

An´alise dos efeitos do fator quando o fator ´e quantitativo

Quando o fator é quantitativo, a análise dos efeitos dos tratamentos pode ir além das compara¸cões múltiplas para incluir um estudo da natureza da fun¸cão resposta.

Procedimento: Regress˜ao Y vs X, sendo que os valores de X s˜ao os n´ıveis do fator.

Como experimentos completamente casualizados com um fator sempre envolvem réplicas nos diferentes n´ıveis do fator, podemos testar a falta de ajuste do modelo de regressão. Nesse caso, pode ser mostrado que a SQR do modelo de ANOVA é igual à SQEP do modelo de regressão.

(40)

FATOR QUANTITATIVO - EXEMPLO

Exemplo. Seja y o número de unidades aceitáveis produzidas a partir de uma mesma quantidade de matéria prima em uma fábrica de objetos de vidro. Consideremos que 28 empregados da fábrica (unidades

experimentais) receberam um treinamento especial. Foram considerados 4 per´ıodos de treinamento: 6, 8, 10 e 12 horas (fator per´ıodo com 4 n´ıveis). Sete empregados foram designados ao acaso para cada per´ıodo. Observar que quanto maior for o número de unidades aceitáveis mais eficiente é o empregado. Os dados constam da tabela que segue.

(41)

Horas de treinamento

6 horas 8 horas 10 horas 12 horas

40 53 53 63 39 48 58 62 39 49 56 59 36 50 59 61 42 51 53 62 43 50 59 62 41 48 58 61 ¯ y1.= 40, 00 y¯2.= 49, 85 y¯3.= 56, 57 y¯4.= 61, 43 ¯ y..= 51, 96 s1 = 2, 31 s2 = 1, 77 s3= 2, 64 s4 = 1, 27

(42)

FATOR QUANTITATIVO - EXEMPLO

Modelo de m´edias associado ao plano completamente aleatorizado com um fator fixo yij = µ + αi+ eij, i = 1, . . . , 4; j = 1, . . . , 7. Suposi¸c˜ao:

eij ∼ N(0, σ2), independentes. Queremos testar H0: µ1 = . . . = µ4.

ANOVA

FV gl SQ QM F valor-P Per´ıodos 3 1808,68 602,89 141,46 < 0, 001

Res´ıduo 24 102,29 4,29 Total 27 1910,97

(43)

Vamos comparar as m´edias duas a duas, utilizando o m´etodo de Tukey com um coeficiente de confian¸ca global igual a 95%. Temos

Dk = µi− µi0 e Dˆk= ¯yi.− ¯yi0 k = 1, . . . , 6.

Temos tamb´em, ˆ var( ˆDk) = QM R 1 ni + 1 ni0 = 4, 29 × 2 7 = 1, 23. Al´em disso, q ˆ var( ˆDk) = 1, 11

(comum a todas as compara¸c˜oes pois o experimento ´e balanceado). Como α = 0, 95, temos T = √1 2q(1 − α; r; n − r) = 1 √ 2q(0, 95; 4; 24) = 1 √ 2 × 3, 90 = 2, 76.

(44)

µi− µi0 Limites de confian¸ca µ1− µ2 [(40, 00 − 49, 85) ∓ 2, 76 × 1, 11] [−12, 91; −6, 79] µ1− µ3 [(40, 00 − 56, 57) ∓ 2, 76 × 1, 11] [−19, 63; −13, 51] µ1− µ4 [(40, 00 − 61, 43) ∓ 2, 76 × 1, 11] [−24, 49; −18, 37] µ2− µ3 [(49, 85 − 56, 57) ∓ 2, 76 × 1, 11] [−9, 78; −3, 66] µ2− µ4 [(49, 85 − 61, 43) ∓ 2, 76 × 1, 11] [−14, 64; −8, 52] µ3− µ4 [(56, 57 − 61, 43) ∓ 2, 76 × 1, 11] [−7, 92; −1, 80]

(45)

Estima¸cão da fun¸cão resposta. Pelo diagrama de dispersão, observamos que as diferen¸cas entre as médias diminuem à medida que o número de horas de treinamento aumenta.

12 11 10 9 8 7 6 65 60 55 50 45 40 35

No. de horas de treinamento

No de unidades aceitáveis

Gráfico 1. Dispersão do Número de unidades aceitáveis vs Número de horas de treinamento

(46)

FATOR QUANTITATIVO - EXEMPLO

Indica¸cão. As médias µi são uma fun¸cão quadrática do número de horas

de treinamento.

Modelo a ser ajustado e testado. yij = β0+ β1xi+ β2x2i + eij, sendo β

o vetor de parâmetros da regressão de dimensão p = 3 e xi = Xi− ¯X, isto

´

e, xi = Xi− 9, com Xi igual ao n´umero de horas de treinamento. Temos:

Y =          40 39 39 .. . 61          X =          1 -3 9 1 -3 9 1 -3 9 .. . ... ... 1 3 9          .

(47)

Modelo ajustado. ˆ yij = 53, 52679 + 3, 55xi− 0, 3125x2i, ou seja, ˆ yij = 53, 53 + 3, 55(Xi− 9) − 0, 3125(Xi− 9)2.

ANOVA para o modelo de regress˜ao

FV gl SQ QM

Regress˜ao 2 (p − 1) 1808,100 904,05 Res´ıduo 25 (n − p) 102,864 4,11

Total 27 (n − 1) 1910,964

Como os dados cont´em r´eplicas, podemos testar a falta de ajuste.

(48)

FATOR QUANTITATIVO - EXEMPLO

ANOVA para o teste de falta de ajuste

FV gl SQ QM Regress˜ao 2 (p − 1) 1808,100 904,05 Res´ıduo 25 (n − p) 102,864 4,11 Falta de ajuste 1 (r − p) 0,587 0,58 Erro puro 24 (n − r) 102,286 4,26 Observar que SQResreg = r X i=1 ni X j=1 (yij− ˆyi)2, SQF A = r X i=1 ni(¯yi.− ˆyi)2, SQEP = r X i=1 ni X j=1 (yij − ¯yi.)2,

(49)

SQEP = SQResAN OV A,

ou seja, ambas medem a varia¸cão em torno da média a um dado n´ıvel de X, isto é, em torno de ¯yi., e

SQF A = SQResreg− SQEP = 102, 864 − 102, 286 = 0, 587.

Além disso, temos c = r = 4 n´ıveis de X e p = 3 parâmetros de regressão. Logo, o número de gl associado à SQFA é 4-3 = 1.

Queremos testar

H0: E(Y ) = β0+ β1xi+ β2x2i ou µi = β0+ β1xi+ β2x2i

versus

H1 : E(Y ) 6= β0+ β1xi+ β2x2i ou µi6= β0+ β1xi+ β2x2i.

(50)

FATOR QUANTITATIVO - EXEMPLO

Estat´ıstica F. F∗ = QM F A QM EP = 0, 58 4, 26 = 0, 136. Sob H0, F∗ ∼ F_[1,24].

Adotando α = 0, 05, temos F[0,95;1,24]= 4, 26. Assim, não há evidências

para rejeitarmos H0, ou seja, considerando os valores originais Xi temos

ˆ

(51)

Vamos apresentar uma técnica para agrupar tratamentos que combina teste de hipóteses com análise de conglomerados. Essa técnica foi proposta por Calinski e Corsten (1985) e se baseia na distribui¸cão studentized range (ver Tabela B.9 de Kutner et al., 2004).

O algoritmo come¸ca com r conglomerados, representados pelas r m´edias amostrais ¯yi., i = 1, . . . , r, arranjadas em ordem crescente.

Exemplo. T´ecnicas de limpeza (ver arquivo Limpeza.docx).

S C T P

¯

yi. 21,85 22,30 24,42 26,78

(52)

AGRUPAMENTO DE TRATAMENTOS

Passo 1. Obter a menor diferen¸ca em valor absoluto |¯yi.− ¯yi0_.|. Denot´a-la

por R1 e compar´a-la ao valor cr´ıtico

Cα= q[1−α,r,n−r]

r QM R

k ,

sendo k o n´umero de observa¸c˜oes sob cada tratamento (estudo balanceado).

Se R1< Cα, agrupamos as m´edias ¯yi. e ¯yi0_. e passamos para o passo

(53)

No exemplo, adotando α = 0, 10, temos C0,10= q[0,90,4,84]

r 27, 7

22 = 3, 295 × 1, 122 = 3, 697. Temos tamb´em,

|¯yC − ¯yS| = 0, 45

|¯yP − ¯yC| = 2, 12

|¯yT − ¯yP| = 2, 36

Assim, R1 = 0, 45 < C0,10= 3, 697 e agrupamos a m´edias sob os

tratamentos C e S.

(54)

AGRUPAMENTO DE TRATAMENTOS

PASSO s. A cada passo seguinte, um novo conglomerado ´e formado combinando dois conglomerados adjacentes com a menor distˆancia entre eles.

A distância Rs no Passo s, 1 ≤ s ≤ t − 1, é então comparada a Cα.

Se Rs > Cα, o processo p´ara e o conglomerado obtido no Passo s − 1 ser´a

o agrupamento final dos tratamentos.

Os grupos assim formados s˜ao considerados internamente homogˆeneos de acordo com o teste studentized range de n´ıvel α.

(55)

Passo 2:

Distˆancia entre P e {S, C} = |24, 42 − 21, 85| = 2, 57 Distˆancia entre P e T = |26, 78 − 24, 42| = 2, 36

Logo R2 = 2, 36, R2 < C0,10 e agrupamos as m´edias sob os tratamentos P

e T.

Passo 3. R3 = |26, 78 − 21, 85| = 4, 93 (distˆancia entre {P, T } e {S, C})

> Cα.

Formamos, ent˜ao, dois grupos G1: S, C e G2: P, T.