TCC FINAL Leandro

(1)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA

Departamento de Ciˆencias Exatas

Especialização em Matemática

Trabalho de conclus˜ao de curso

SISTEMAS MEC ˆ

ANICOS COM 1 E 2 GRAUS DE

LIBERDADE

Leandro Correia Ara´

ujo

Orientador: Prof. Dr. Jean Fernandes Barros

Feira de Santana Mar¸co de 2018

(2)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA

Departamento de Ciˆencias Exatas

Especialização em Matemática

SISTEMAS MEC ˆ

ANICOS COM 1 E 2 GRAUS DE

LIBERDADE

Leandro Correia Ara´

ujo

Trabalho de conclusão de curso apresentado ao Curso de Especializa¸cão em Matemática do Departamento de Ciências Exatas, UEFS, como requisito parcial para a obten¸cão do t´ıtulo de Especialista.

Orientador: Prof. Dr. Jean Fernandes Barros

Feira de Santana 03 de Mar¸co de 2018

(3)

Agradecimentos

Agrade¸co inicialmente à Deus, por todas as gra¸cas com as quais Ele nos têm dado. A minha mãe e aos familiares.

A todos os professores do curso de Especializa¸c˜ao e, em especial, aos professores Kisn-ney e Jean, meu orientador, que nos acompanharam por um tempo maior durante o curso com muita dedica¸c˜ao e nos inspirando enquanto profissionais.

(4)

Resumo

Esse trabalho é um breve estudo de Mecânica Newtoniana, a qual foi e ainda é uma área muito rica para a Matemática e para a F´ısica. Abordamos os sistemas mecânicos com um e dois graus de liberdade do ponto de vista da Matemática, tentando analisar com um m´ınimo de rigor alguns dos principais conceitos e resultados pertinentes a tais sistemas. Mostramos como a existência de uma integral primeira do sistema possibilita reduzir o grau do mesmo. E, ao final, estabelecemos a equivalência entre as leis de Kepler e a lei de Newton da gravita¸cão.

Palavras-Chave: Lei da conserva¸c˜ao de energia, Campo central, Lei de conserva¸c˜ao do Momento angular, Leis de Kepler.

(5)

Abstract

This work is a brief study of Newtonian Mechanics, which was and still is a very rich area for Mathematics and Physics. We approached mechanical systems with one and two degrees of freedom from the point of view of Mathematics, analyzing with a minimum of rigor some of the main concepts and pertinent results to such systems. We showed with the existence of a first integral of a system makes us to reduce its degree of freedom. At the final, we established the equivalence between Kepler’s law and Newton’s law of the gravity.

Key-words: The law of conservation of energy, Central fields, The law of conservation of angular momentum, Kepler’s laws.

(6)

Sum´

ario

Agradecimentos i Resumo ii Abstract iii Sum´ario iv Introdu¸c˜ao 1

1 Sistemas com um grau de liberdade 3

2 Sistemas com dois graus de liberdade 10

2.1 Rela¸c˜ao entre trabalho e energia potencial . . . 17

2.2 Campos centrais . . . 19

2.3 Momento angular . . . 21

2.4 A segunda lei de Kepler . . . 22

3 Investiga¸c˜ao do movimento em um campo central 24 3.1 Redu¸c˜ao a um problema unidimensional . . . 24

3.2 Integra¸c˜ao de uma equa¸c˜ao de movimento . . . 25

3.3 Investiga¸c˜ao das ´orbitas . . . 26

3.4 O problema de Kepler . . . 27

3.5 As leis de Kepler e a lei de Newton da gravita¸c˜ao . . . 29

4 Conclus˜ao 31

(7)

Introdu¸

c˜

ao

O objetivo principal deste trabalho é desenvolver um texto que possa servir de inspira¸cão ao estudo da Mecânica Clássica. Historicamente, é comum que aconte¸ca o desenvolvimento da f´ısica teórica e, após isso, o desenvolvimento de ferramentas matemáticas para dar su-porte às teorias elaboradas. Sendo assim, partimos do pressuposto contrário, pretendemos aqui, criar o ambiente matemático necessário para o estudo e compreensão da mecânica e posteriormente observar algumas aplica¸cões na F´ısica. Vale ressaltar que alguns resulta-dos importantes na mecânica clássica foram obtidos nos anos 90 e 2000, mantendo-a como importante área de pesquisa na matemática.

A Mecânica Clássica divide-se em três formula¸cões principais: Newtoniana, Lagrangi-ana e HamiltoniLagrangi-ana. Estamos interessados na formula¸cão newtoniana da mecânica, sendo o nosso pilar inicial a segunda lei de Newton. Analisaremos então sistemas com um e dois graus de liberdade, realizando uma breve análise destes e chegando ao final às formula¸cões das leis de Kepler.

Para a leitura do presente texto, são necessários apenas conhecimentos de cálculo e de equa¸cões diferenciais, observando que estamos, implicitamente, sempre admitindo o teorema de existência e unicidade das solu¸cões de equa¸cões diferenciais ordinárias, o qual não é enunciado no texto. O leitor pode encontrar seu enunciado e demonstra¸cão em [1, 8]. Consideraremos apenas exemplos de massa unitária constante, sabemos da importância de sistemas com massa variável, porém para este trabalho tais sistemas não serão considerados.

No cap´ıtulo 1, definimos os sistemas mecânicos com um grau de liberdade. Observamos que tais sistemas são completamente determinados por quadratura, exibindo uma fam´ılia de potenciais. E através da lei de conserva¸cão de energia, fazemos uma análise qualitativa destes sistemas, estudando as curvas de nivéis de um potencial.

No cap´ıtulo 2, definimos os sistemas mecânicos com dois graus de liberdade. Como no caso de sistemas de um grau, mostramos que a energia total é conservada. A seguir, exibimos uma classe importante de campos conservativos, que são os campos centrais. Mostraremos que para campos centrais, o momento angular é preservado. Este é o teor da segunda lei de Kepler.

(8)

conserva¸cão do momento angular, permite-nos reduzir o grau do sistema. Sendo assim, podemos tratar o movimento num campo central como um movimento unidimensional. E então, utilizamos esta redu¸cão para obter as leis de Kepler. E no final, demonstramos que as leis de kepler equivalem a lei de Newton da gravita¸cão.

O leitor notará ainda que grande parte deste trabalho baseia-se nos primeiros cap´ıtulos de [2], acrescida de informa¸cões adicionais advindas principalmente de [1, 4, 9]. As imagens de autoria própria foram obtidas utilizando os softwares Winplot, Microsoft Paint e Adobe Photoshop CS2, estes dois últimos também utilizados para edi¸cões das outras imagens utilizadas no texto.

(9)

Cap´ıtulo 1

Sistemas com um grau de

liberdade

Neste cap´ıtulo, estudaremos sistemas mecânicos com um grau de liberdade. Veremos que a observa¸cão do gráfico da energia potencial é suficiente para uma análise qualitativa da equa¸cão do sistema. E mais, mostraremos que estes sistemas podem ser completamente resolvidos por quadraturas. Para este cap´ıtulo utilizamos os livros [1, 2, 9].

Defini¸cão 1.1. Um sistema com um grau de liberdade é uma equa¸cão diferencial do tipo ¨

x = F (x), (1.1)

onde F é uma fun¸cão diferenciável definida no intervalo I ⊂ R no x-eixo. Aqui, a classe de diferenciabilidade de F é de acordo com a necessidade. Podemos assumir que F está definida em toda a reta real, como é o caso da maioria dos problemas em Mecânica.

A equa¸c˜ao (1.1) ´e equivalente ao sistema: ˙

x = y (1.2)

˙

y = F (x) Na mecˆanica, utilizamos a seguinte terminologia:

1. I é o espa¸co de configura¸cões; 2. x é a coordenada;

3. y(= ˙x) é a velocidade; 4. ˙y é a acelera¸cão;

5. I × R é o espa¸co fase. Neste caso, como este espa¸co é bidimensional, é comum denominá-lo de plano fase, ou, mais precisamente, de (x, y)-plano fase;

(10)

6. (1.1) ´e a equa¸c˜ao de Newton;

7. ~v(x, y) = (y, F (x)) é a defini¸cão do campo vetorial velocidade fase; 8. F é o campo for¸ca;

9. F (x) ´e a for¸ca.

10. T (y) = y

2

2 , a energia cin´etica; 11. U (x(t)) = −R_xx(t)

0 F (α)dα, a energia potencial;

12. A energia total E = T + U , que ´e definida no (x, y)-plano fase.

O sinal na fun¸c˜ao U ´e tomado de modo que a energia potencial de uma pedra seja maior se a pedra estiver acima do n´ıvel do solo. Observamos que F (x) = −∂U

∂x. Portanto, a energia potencial determina F . Sendo assim, para especificar um sistema da forma (1.1) é suficiente saber a energia potencial. Adicionando uma constante à energia potencial, não mudamos a equa¸cão do movimento (1.1).

Defini¸cão 1.2. Uma solu¸cão do sistema 1.2 é um movimento ϕ : I −→ I × R de um ponto fase no (x, y)-plano fase tal que

˙

ϕ(t) = ~v(ϕ(t)).

A imagem de ϕ é denominada de curva fase ou órbita ou trajetória. Para o que se segue, por simplicidade, assumiremos que ϕ é definido em toda a reta real. O teorema de existência e unicidade de solu¸cões de uma equa¸cão diferencial ordinária garante-nos que por cada ponto fase passa uma, e somente uma, curva fase. Quando uma curva fase possui apenas um ponto, este ponto é denominado de uma posi¸cão de equil´ıbrio. Sendo assim, o vetor velocidade fase numa posi¸cão de equil´ıbrio é zero.

Exemplo 1.3. Considerando o pêndulo simples sob a a¸cão da for¸ca da gravidade, ver figura 1.1. Seja uma haste r´ıgida de tamanho l e de massa desprez´ıvel, com um extremo fixo na origem e uma part´ıcula de massa m > 0, no outro extremo. As posi¸cões da part´ıcula estão ao longo de uma circunferência centrada na origem e de raio l. Descrevendo a posi¸cão da part´ıcula em coordenadas polares r e θ, temos então (x1, x2) = (r(t) cos(θ), r(t) sin(θ)) ∈

R2. Observamos que r(t) = l e, assim, temos um problema unidimensional na variável θ. Levando em conta, além da a¸cão da gravidade, também alguma for¸ca de atrito, propor-cional à velocidade e em sentido contrário ao movimento, −kl ˙θ, a segunda lei de Newton garante que o sistema mecânico dado por esse pêndulo é descrito pela equa¸cão

ml2θ = −k l¨ 2θ − m g l sin θ.˙ Tomando l = m = 1, obtemos

¨

(11)

Desprezando o atrito, n´os chegamos a equa¸c˜ao ¨ θ = −g sin θ. Reescalonando o tempo, x = θ√t g

, obtemos ¨x = − sin x. Fazendo ˙x = y, chegamos ao sistema

˙

x = y ˙

y = − sin x

Figura 1.1: O pˆendulo matem´atico.

Fonte: [10].

Logo, F (x) = − sin x e U (x) = cos x.

Figura 1.2: A energia potencial de um pˆendulo.

Fonte: O autor.

Para oscila¸cões infinitesimais, a equa¸cão do pêndulo torna-se ¨x = −x, pois o ângulo θ é tão pequeno que sin(x) ≈ x. E da´ı, chegamos a F (x) = −x e U (x) = x

2

2 , ver figura 1.3. Para pequenas oscila¸c˜oes do pˆendulo invertido, temos que ¨x = x. E da´ı, F (x) = x e U (x) = −x

2

(12)

Figura 1.3: A energia potencial de um pêndulo próxima à posi¸cão de equil´ıbrio m´ınima.

Fonte: O autor.

Figura 1.4: A energia potencial de um pêndulo próxima à posi¸cão de equil´ıbrio máxima.

Fonte: O autor.

Teorema 1.4. (Lei da Converva¸cão de Energia) A energia total dos pontos que se movem de acordo com a equa¸cão (1.1) é conservada.

Demonstra¸c˜ao.

d

dt(T + U ) = y ˙y + dU

dx y = y( ˙y − F (x)) = 0.

Esse teorema mostra-nos que é poss´ıvel estudar e resolver equa¸cões do tipo 1.1 expli-citamente, através de quadraturas, ou seja, por integra¸cão, como a equa¸cão do pêndulo, por exemplo. É um dos poucos casos em que isto é poss´ıvel. A seguir, vamos estudar as curvas fase do sistema 1.2. Novamente, pelo teorema da conserva¸cão de energia, vemos que cada uma das curvas fases estão contidas em conjuntos de n´ıvel de energia, que, no caso de um grau de liberdade, são denominados linhas de n´ıvel de energia.

Os pontos (x, y) tais que F (x) = 0 e y = 0, são denominados de pontos estacionários, ou as posi¸cões de equil´ıbrio do sistema 1.2 ou os pontos singulares do campo vetorial velocidade fase ~v(x, y) = (F (x), y) ou os pontos cr´ıticos da energia total E. E mais, os pontos x tais que F (x) = 0 são os pontos cr´ıticos da energia potencial U .

(13)

Teorema 1.5. Dado h ∈ R, o conjunto de n´ıvel de energia h, isto ´e, E−1(h) =n(x, y) : y 2 2 + U (x) = E o ,

´e uma curva suave (ou seja, uma fun¸c˜ao de classe C∞) numa vizinhan¸ca de cada um de seus pontos, exceto em pontos de equil´ıbrio, ou seja, nos pontos (x, y) tais que F (x) = 0 e y = 0.

Demonstra¸c˜ao. Observemos que o gradiente de E tem por coordenadas ∂E

∂x = −F (x) e

∂E ∂y = y.

Se o gradiente de E não se anula em (a, b), com E(a, b) = h, digamos F (a) 6= 0, pelo teo-rema das fun¸cões impl´ıcitas, a equa¸cão E(x, y) = h é o gráfico de uma fun¸cão diferenciável x = x(y) numa vizinhan¸ca do ponto (a, x(a) = b), como quer´ıamos demonstrar.

Fixe o valor da energia total E. Observamos que a energia cinética é não-negativa. Sendo assim, pela lei de conserva¸cão de energia, a energia potencial não pode exceder o valor da energia total, E. Portanto, uma linha de n´ıvel de energia E projeta o espa¸co de configura¸cões, o x-eixo, no conjunto de valores da energia potencial, não excedendo o n´ıvel E, isto é, a bola não sobe acima do n´ıvel E no po¸co de potencial.

Para desenhar as linhas de n´ıvel de energia ´e ´util imaginar uma bola rolando em um “po¸co de potencial” de U .

Al´em disso, quanto menor a energia potencial, maior ´e a velocidade, |y| =p2(E − U (x)). Quando a bola rola dentro do po¸co, na descida ela ganha velocidade, anula-se no ponto em que U (x) = E, e na subida, perde velocidade.

Do fato de que a energia é uma fun¸cão par de y, segue-se que a linha de n´ıvel é simétrica com respeito ao x-eixo, ou seja, a bola passa por cada ponto com a mesma velocidade nas duas dire¸cões. Essas considera¸cões são suficientes para esbo¸car as linhas de n´ıvel de energia de sistemas com vários potenciais U .

Esbo¸

co das linhas de n´ıvel de energia

Come¸camos com o caso mais simples, em que o po¸co de potencial tem apenas um centro de atra¸c˜ao α, com F = F (x) mon´otona decrescente, F (α) = 0 e I = R, ver figura 1.5.

Se o valor da energia total E1 ´e menor que o m´ınimo do potencial, digamos E2, ent˜ao

o conjunto de n´ıvel E = E1 é vazio, isto é, o movimento da bola é fisicamente imposs´ıvel.

O conjunto de n´ıvel E2 consiste de apenas um ponto (α, 0), isto ´e, a bola permanece no

fundo do po¸co. Se o valor E3da energia total ´e maior que o valor cr´ıtico E2 = U (α), ent˜ao

o conjunto de n´ıvel E3 é uma curva simétrica e fechada ao redor da posi¸cão de equil´ıbrio

(14)

no ponto cr´ıtico, sobe pelo outro lado at´e atingir a altura E3, e retorna, perfazendo o

caminho de volta, e assim por diante. Aqui, estamos supondo que não há resistência ao movimento da bola.

Figura 1.5: A bola no po¸co de potencial e a curva fase.

Fonte: O autor.

No estudo de casos mais complicados, procedemos de forma similar, sucessicamente aumentando o valor da energia total E, e parando em valores de E iguais aos valores cr´ıticos da energia potencial U (α), isto é, U0(α) = 0, a cada momento examinando as curvas com valores convenientemente maiores ou menores do que os valores cr´ıticos. Exemplo 1.6. Consideremos a figura 1.6, na qual a energia potencial U tem três pontos cr´ıticos α1, α2 e α3. Observemos que α1 é um ponto de m´ınimo, α2 um ponto de máximo

local e α3 um ponto de m´ınimo local.

Agora, consideremos o pêndulo ¨x = − sin x. As solu¸cões de equil´ıbrio do pêndulo são xk(t) = (kπ, 0), para cada k ∈ Z. De fato, se → v(x, y) = (0, 0), então y = 0 e

sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.

A energia total ´e dada por E(x, y) = y

2

2 − cos(x). Na figura 1.7, esbo¸camos as curvas referentes aos n´ıveis E1 e E0.

Pelos teoremas de existência e unicidade de solu¸cões e de dependência diferenciável nas condi¸cões iniciais de um sistema tal como (1.2), obtemos uma fam´ılia de difeomorfis-mos, que são bije¸cões diferenciáveis com inversas diferenciáveis, a um parâmetro do plano fase, cujos membros, para cada t ∈ R, são denotados por gt : R2 −→ R2_{, tal que esta}

fam´ılia com a opera¸cão de composi¸cão de aplica¸cões, gt_{◦ g}s _{= g}t+s_{, ´}_{e um grupo (para a}

(15)

Figura 1.6: As linhas de n´ıvel de energia.

Fonte: O autor.

Figura 1.7: Esbo¸co das curvas integrais do pˆendulo.

Fonte: [1].

diferenciável. Esse grupo é dito grupo a um parâmetro de difeomorfismos ou fluxo fase ou sistema dinâmico.

Exemplo 1.7. O fluxo fase do sistema ¨x = −x ´e o grupo de rota¸c˜oes do plano fase de ˆ

angulo t ao redor da origem. De fato, gt(a, b) = (a cos t + b sin t, −a sin t + b cos t).

Finalizando, devemos observar que todas as defini¸cões apresentadas podem ser esten-dida naturalmente a várias dimensões. Isto será assumido adiante, sem necessidade de men¸cão expl´ıcita.

(16)

Cap´ıtulo 2

Sistemas com dois graus de

liberdade

Neste cap´ıtulo, nós estudaremos campos centrais, que são sistemas mecânicos com dois graus de liberdade que podem ser resolvidos explicitamente, conforme veremos no próximo cap´ıtulo. Mostraremos que tais campos vetoriais são exemplos de campos conservativos. Estas notas baseiam-se nos livros [2, 4].

Defini¸cão 2.1. Um sistema com dois graus de liberdade é um sistema definido pela equa¸cão diferencial

¨

x = F (x), x ∈ R2, (2.1) onde F é um campo vetorial no plano (um campo vetorial é uma fun¸cão F : X → Rn_{; X ⊂}

Rm).

Defini¸cão 2.2. Um sistema é dito conservativo se, existe uma fun¸cão U : R2 → R diferenciável tal que F = −∂U

∂x.

A classe de diferenciabilidade de F é tão ampla quanto seja necessário. Na defini¸cão 2.2, U é a energia potencial do sistema. É comum refere-se a U como um potencial de F . Observemos que o potencial não é único, pois, dado um potencial de um campo, somando-se a ele uma constante obtém-se um outro.

A equa¸c˜ao de movimento de um sistema conservativo tem a forma

¨

x = −∂U ∂x. Em coordenadas no plano R2_{, temos ¨}_{x = −}∂U

∂x e ¨y = − ∂U

∂y.

Observa¸c˜ao 2.3. Para sistemas com um grau de liberdade, ´e sempre poss´ıvel introduzir a energia potencial U (x) = −

Z x

x0

f (α)dα, o que, em geral, n˜ao se observa para sistemas com dois graus liberdade, ver se¸c˜ao 2.1.

(17)

Proposi¸cão 2.4. Uma condi¸cão necessária para que um campo vetorial F = (F1, F2) seja

conservativo ´e que seja v´alido o Teorema de Schwarz, ou seja, ∂F1

∂y = ∂F2

∂x .

Demonstra¸c˜ao. Seja U : R2→ R diferenci´avel tal que F = −∂U

∂x. Sendo assim, ∂F1 ∂y = − ∂2_U ∂y∂x = − ∂2_U ∂x∂y = ∂F2 ∂x .

Como veremos na página 19, a condi¸cão na proposi¸cão 2.4 é necessária, mas não é suficiente para um campo ser conservativo. Segue-se da proposi¸cão 2.4 que o campo vetorial F : R2 −→ R2 _{dado por F (x, y) = (y, −x) n˜}_{ao ´}_{e conservativo, j´}_{a que}

∂F1

∂y = 1 6= −1 = ∂F2

∂x , ver figura 2.1.

Figura 2.1: Um campo n˜ao conservativo.

Fonte: [2]

Observemos que para sistemas conservativos com dois graus de liberdade a energia total ´e conservada.

Teorema 2.5. (Lei da conserva¸c˜ao de Energia) A energia total de um sistema conserva-tivo ´e conservada, ou seja, dE

dt = 0, onde E = ˙x2

2 + U (x); x˙

2_{= h ˙}_{x, ˙}_xi.

Demonstra¸c˜ao. De fato,

dE dt = h ˙x, ¨xi + dU dt = h ˙x, ¨xi + h∂U ∂x, ˙xi = h¨x +∂U ∂x, ˙xi = 0.

(18)

Corolário 2.6. Se no momento inicial a energia total é igual a E, então todas as tra-jetórias estão dentro da região dada por U (x) ≤ E, isto é, um ponto permanece dentro do po¸co de potencial U (x, y) ≤ E em todo o tempo.

A equa¸c˜ao do movimento (2.1) pode ser escrita como um sistema ˙ x1 = y1 ˙ x2 = y2 ˙ y1 = − ∂U ∂x1 ˙ y2 = − ∂U ∂x2

Sendo assim, o espa¸co fase de um sistema com dois graus de liberdade ´e um espa¸co quadridimensional, nas coordenadas x1, x2, y1 e y2. O campo vetorial velocidade fase do

sistema acima ´e definido por

~v(x1, x2, y1, y2) = y1, y2, − ∂U ∂x1 , −∂U ∂x2 .

As curvas fase do sistema são subconjuntos do espa¸co fase quadridimensional, e todo o espa¸co é particionado em curvas fase. Projetando as curvas fases do quadriespa¸co para o (x1, x2)-plano, obtemos as trajetórias do ponto móvel no (x1, x2)-plano. Estas trajetórias

são, também, chamadas de órbitas. As órbitas podem intersecionar-se, mesmo que as curvas fase não se intersectam.

Desta forma, para cada valor regular E0 de E, a equa¸c˜ao da lei de conserva¸c˜ao de

energia E(x, y) = y 2 2 + U (x) = y2 1 + y22 2 + U (x1, x2)

define uma hiperf´ıcie tridimensional no quadriespa¸co: E(x1, x2, y1, y2) = E0. Esta

su-perf´ıcie, ΠE0, mantêm-se invariante sob o fluxo fase, isto é, gπE0 = πE0. Nós podemos

dizer que o fluxo fase flui ao longo das hiperf´ıcies de n´ıvel de energia. Como o gradiente de E é ortogonal ao campo vetorial velocidade fase, conclu´ımos que o campo vetorial ve-locidade fase é tangente a todo ponto de ΠE0. Consequentemente, ΠE0 é inteiramente

(19)

Figura 2.2: O quadriespa¸co particionado em curvas fase

Fonte: O autor.

Exemplo 2.7. (O Pˆendulo Esf´erico) Seja U (x1, x2) =

x12+ x22

2 , figura 2.3. Então, os conjuntos de n´ıvel da energia potencial no (x1, x2)-plano são c´ırculos concêntricos, figura

2.4.

Figura 2.3: O Pˆendulo esf´erico.

Fonte: [11].

Figura 2.4: Curvas de n´ıvel de energia potencial do Pˆendulo Esf´erico.

(20)

A equa¸c˜ao de movimento ¨x = −x ´e equivalente ao sistema ˙

x1= y1 x˙2= y2

˙

y1= −x1 y˙2 = −x2

Esse sistema decomp˜oe-se em dois sistemas independentes, isto ´e, cada uma das coorde-nadas x1 e x2 varia com o tempo da mesma maneira que um sistema com um grau de

liberdade. Uma solu¸c˜ao ´e da forma

x1 = c1cos t + c2sin t

y1 = −c1sin t + c2cos t

x2 = c3cos t + c4sin t

y2 = −c3sin t + c4cos t,

onde c1, c2, c3 e c4 s˜ao constantes reais.

Da lei de conserva¸c˜ao de energia, segue-se que

E = y 2 1+ y22 2 + x2₁+ x2₂ 2 = E0.

Ou seja, para cada E0 > 0, a superf´ıcie de n´ıvel πE0 ´e uma esfera no quadriespa¸co.

Exemplo 2.8. (Figuras de Lissajous) Observemos mais um exemplo de movimento planar, agora com

¨

x1 = −x1 x¨2 = −ω2x2.

Sendo assim, a energia potencial ´e dada por

U (x1, x2) =

x2₂+ ω2x2₂ 2 .

Da Lei de Conserva¸c˜ao de Energia, seque-se que: se num determinado instante a energia total ´e

x0₁2+ x0₂2

2 + U (x1, x2) = E,

ent˜ao todos os movimentos estar˜ao dentro da elipse U (x1, x2) ≤ E.

Como antes, este sistema consiste de dois sistemas unidimensionais independentes. Consequentemente, a lei de conserva¸cão de energia é satisfeita para cada uma separada-mente, isto é, as seguintes quantidades são preservadas:

E1 = ˙ x2₁+ x2₁ 2 E2= ˙ x2₂+ ω2x2₂ 2 (E = E1+ E2).

Sendo assim, a variável x1 está limitada pela região |x1| ≤ A1, onde A1 =p2E1(0),

e x2 varia dentro da regi˜ao |x2| ≤ A2, onde A2 =

p2 E2(0)

ω . A interse¸cão destas duas regiões define um retângulo que contém as órbitas, conforme a figura 2.5.

(21)

Figura 2.5: As regi˜oes U ≤ E, U1≤ E e U2 ≤ E.

Fonte: [2]

A solu¸cão geral das nossas equa¸cões é

x1 = A1sin(t + ϕ1) x2 = A2sin(ωt + ϕ2).

Desta forma, um ponto móvel, independentemente, executa uma oscila¸cão com frequência 1 e amplitude A1ao longo da horizontal e uma oscila¸cão com frequência ω e amplitude A2

ao longo da vertical.

Considere o seguinte m´etodo para descrever uma ´orbita ao longo do (x1, x2)-plano:

olhamos para um cilindro de base 2A1 e uma faixa de largura 2A2. N´os desenhamos

sobre a faixa uma onda senoidal de per´ıodo 2πA1

ω e amplitude A2 e enrolamos a faixa no cilindro.

A proje¸c˜ao ortogonal da sen´oide ao redor do cilindro no (x1, x2)-plano, conforme a

figura 2.6, dá-nos a órbita desejada, denominada uma figura de Lissajous. Figuras de Lissajous podem ser vistas num osciloscópio que exibe oscila¸cões harmônicas indepenentes nos eixos horizontal e vertical.

Figura 2.6: A constru¸c˜ao de uma figura de Lissajous.

Fonte: [2]

A forma da figura de Lissajous depende fortemente da frequência ω. Por exemplo, para ω = 1, que é o caso do pêndulo esférico, a curva no cilindro é uma elipse. A proje¸cão

(22)

dessa elipse no (x1, x2)-plano depende da diferen¸ca ϕ2− ϕ1 entre as fases. Considerando

o parˆametro θ = ϕ2− ϕ1, temos que

x2=

A2

A1

cos θ x1+ A2 sin θ cos(t + ϕ1).

Para θ = 0, temos que x1 A1

= x2 A2

, que contém a diagonal do retângulo. Para θ pequeno, obtemos uma elipse próxima à diagonal e inscrita no retângulo. Para θ = π

2, obtemos uma elipse com eixos x1 e x2. Para

π

2 < θ → π, a elipse degenera-se na segunda diagonal. Para θ = 3π

2 , reobtemos a elipse do caso θ = π 2. Para

3π

2 < θ → 2π, a elipse degenera-se na diagonal. E continuando θ a crescer, o processo repete-se, ver figura 2.7.

Figura 2.7: S´erie de Figuras de Lissajous com ω = 1.

Fonte: [2]

Agora, digamos que a frequência é aproximadamente 1, ou seja, ω ≈ 1. Sendo assim, o segmento da curva correspondente a 0 ≤ t ≤ 2π é bem próximo a uma elipse. A próxima volta também lembra uma elipse, mas aqui a mudan¸ca de fase ϕ2− ϕ1 é maior que na

original por 2π(ω − 1). Logo, a curva de Lissajous com ω ≈ 1 ´e uma elipse distorcida, que lentamente passa da que se degenera numa diagonal para a outra que se degenera na outra diagonal, conforme a figura 2.8.

Figura 2.8: Figura de Lissajous com ω ≈ 1.

(23)

Se uma frequência é o dobro da outra (ω = 2), então para alguma mudan¸ca de fase a figura de Lissajous torna-se um arco duplamente percorrido.

Em geral, se uma frequência é n vezes maior que a outra (ω = n), então dentre os gráficos das figuras de Lissajous correspondentes existe o gráfico de um polinômio de grau n, chamado polinômio de Chebyshev.

2.1 Rela¸

c˜

ao entre trabalho e energia potencial

Nesta se¸cão, estudaremos a rela¸cão entre trabalho e energia potencial. Os detalhes omi-tidos nas demonstra¸cões podem ser encontrados em [7], no cap´ıtulo sobre integrais cur-vil´ıneas. Para tanto, definimos

Defini¸c˜ao 2.9. O trabalho realizado por uma for¸ca F ao longo de um caminho λ : [a, b] −→ R2, denotado por

Z λ F · dS, ´e dado por Z λ F · dS = Z b a hF (λ(t)), ˙λ(t)i dt.

Observa¸cão 2.10. A motiva¸cão para a defini¸cão 2.9, vem do fato de que, dado um campo vetorial F e uma curva λ de comprimento finito, aproximamos a curva λ por uma poligonal com componentes ∆Si, e denotamos por Fi o valor da for¸ca em algum ponto particular de

∆Si, figura 2.9, ent˜ao o trabalho do campo vetorial F ao longo do caminho λ ´e definido

por

A = lim

|∆Si|→0

X

hF_i, ∆Sii.

Prova-se que se o campo é cont´ınuo e o caminho é retificável, então o limite existe. São sob estas hipóteses que estamos trabalhando.

Figura 2.9: O Trabalho de um campo for¸ca F ao longo do caminho l.

(24)

No próximo teorema, exibiremos uma condi¸cão necessária e suficiente para um campo ser conservativo.

Teorema 2.11. Um campo vetorial F ´e conservativo se, e somente se, seu trabalho ao longo de qualquer caminho λ depende somente dos extremos do caminho, n˜ao dependendo da forma do caminho.

Demonstra¸c˜ao. Inicialmente, suponhamos que o trabalho de um campo n˜ao depende do caminho. Dados os pontos M0 e M em R2, considere um caminho λ : [a, b] −→ R2 que

liga o ponto M0 ao ponto M . Ent˜ao, a fun¸c˜ao

U (M ) = − Z M

M0

F · dS

est´a bem definida. E verifica-se que F = −∂U

∂x, isto é, U é um potencial de F . Recipro-camente, suponhamos que o campo F é conservativo e que U é um dos seus potenciais. Então, Z M M0 hF, dSi = Z b a hF (λ(t)), ˙λ(t)idt = − Z b a D∂U ∂x, ˙λ(t) E dt = − Z b a d dt[U (λ(t))]dt = −U (M ) + U (M0),

onde λ : [a, b] −→ R2 ´e um caminho tal que λ(a) = M0 e λ(b) = M . Logo, o trabalho n˜ao

depende da forma do caminho que liga M0 a M .

Corolário 2.12. Um campo é conservativo se, e somente se, seu trabalho ao longo de qualquer curva fechada é nulo.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que F ´e conservativo. Sendo assim, pelo teorema 2.11, dado um caminho qualquer ligando os pontos M0 e M , temos que

Z M

M0

F · dS = −U (M ) + U (M0).

Se um tal caminho ´e fechado, isto ´e, M = M0, tem-se que

Z M

M0

F · dS = −U (M ) + U (M0) = 0.

Reciprocamente, dados dois caminhos λ e γ ligando os pontos M0 e M , podemos obter

um caminho fechado σ tal que Z σ F · dS = Z λ F · dS − Z γ F · dS. Logo, pelo teorema 2.11, F ´e conservativo.

(25)

O próximo exemplo, mostra-nos que a condi¸cão na proposi¸cão 2.4 não é suficiente para um campo ser conservativo.

Exemplo 2.13. Seja o campo definido por F (x, y) = − y x2_{+ y}2, x x2_{+ y}2 . Para este campo vale a condi¸c˜ao na proposi¸c˜ao 2.4. Agora, considerando o caminho fechado

λ : [0, 2π] −→ R2

definido por λ(t) = (cos t, sin t), temos que Z λ F · dS = Z 2π 0 hF (λ(t)), ˙λ(t)idt = Z 2π 0

h(− sin t, cos t), (− sin t, cos t)idt = 2π 6= 0.

Logo, F n˜ao ´e conservativo.

2.2 Campos centrais

Nesta se¸c˜ao, daremos um exemplo importante de campos conservativos.

Defini¸cão 2.14. Um campo vertorial em R2 é dito um campo central com centro em 0 se, ele é invariante com rela¸cão ao grupo de movimentos, que fixa 0, que são rota¸cões e reflexões.

Na defini¸cão, o ponto 0 é dito o centro do movimento. Observemos que o campo não precisa estar definido no centro do movimento. Isto pode ser visto nas aplica¸cões.

A defini¸cão mostra-nos que se todo vetor de um campo vetorial está sobre uma reta que passa pelo centro do movimento, então este campo é central. Sendo assim, a intensidade em cada ponto depende somente da distância do ponto ao centro do movimento. A próxima proposi¸cão mostra-nos que a rec´ıproca é verdadeira.

Proposi¸cão 2.15. Todos os vetores de um campo central estão sobre uma reta que passa pelo centro do movimento, e a intensidade do campo vetorial em cada ponto, em que está definido, depende somente da distância entre o ponto e o centro do movimento.

Demonstra¸cão. Seja F um campo central em R2. Sendo assim, dado um ponto X no dom´ınio de F , como F é invariante por rota¸cões, temos que F (X) e r =−→0X são colineares. Além disso, pela invariância por reflexões, podemos supor que F (X) aponta para o centro do movimento. Desta forma, existe um escalar real φ = φ(|X|) tal que F (X) = φ er, onde

er ´e o versor da reta que passa pelos pontos X e 0. Logo, a intensidade de F (X) depende

(26)

Das considera¸cões acima, segue-se que um campo vetorial F é central se, existe uma fun¸cão real de variável real φ : R\{0} −→ R de mesma classe de diferenciabilidade de F , tal que F (r) = φ(r)er.

Exemplo 2.16. ´E imediato que o campo newtoniano F (r) = −kr

r3 ´e central, onde r = |r|.

Mas, o campo dado por F (x, y) = (−y, x) n˜ao ´e central, pois se fosse, ter´ıamos y = −φ(px2_{+ y}2_)x

x = φ(px2_{+ y}2_)y.

Logo,

y {1 + [φ(px2_{+ y}2_)]2_{} = 0.}

E assim, y = 0. Portanto, x = y = 0.

A seguir, temos um critério indireto para mostrar que um determinado campo não é central, basta que não seja conservativo.

Teorema 2.17. Todo campo central é conservativo, e sua energia potencial depende so-mente da distância ao centro do campo, isto é, U = U (r).

Demonstra¸c˜ao. Seja F um campo central em R2. Sendo assim, existe φ tal que F (r) = φ(r)er. Agora, dados M0e M1pontos no dom´ınio de F , considere λ : [a, b] −→ R2caminho

ligando M0 a M1. Sendo assim,

Z M1 M0 F · dS = Z b a hF (r), ˙ridt = Z b a φ(r)hr r, ˙ridt = Z b a φ(r)dr dtdt = Z r(M1) r(M0) φ(r)dr.

Como a última integral independe do caminho, pelo teorema 2.11, segue-se que F é con-servativo. Além disso, definindo U (r) = −Φ(r), onde Φ é uma primitiva de rφ(r), temos que U é um potencial de F . De fato,

∂U ∂x = −r φ(r) ∂r ∂x = −r φ(r) x r = −φ(r) x. Analogamente, ∂U

∂y = −φ(r)y. Logo, F = − ∂U

∂r.

Exemplo 2.18. O teorema 2.17 mostra-nos que U (r) = −rk r2 = −

k

r ´e um potencial do campo newtoniano.

(27)

Observa¸cão 2.19. As defini¸cões e resultados desta se¸cão podem ser naturalmente esten-didas a um espa¸co euclidiano n-dimensional, para n > 2. Por exemplo, um campo vetorial F em R3 _´_{e central se, existe uma fun¸}_c˜_{ao real de vari´}_{avel real φ : R\{0} −→ R de mesma}

classe de diferenciabilidade de F , tal que F (r) = φ(r)er, onde er=

r r.

2.3 Momento angular

Nesta se¸cão, mostraremos que a invariância de uma equa¸cão de um problema mecânico com respeito a algum grupo de transforma¸cões implica uma lei de conserva¸cão. Um campo central é invariante com respeito ao grupo de rota¸cões. A primeira integral correspondente é chamada de momento angular.

Defini¸cão 2.20. O movimento de um ponto material de massa unitária num campo central no plano é definido pela equa¸cão

¨

r = Φ(r) er.

Assumamos que o nosso plano est´a contido num espa¸co euclidiano tridimensional ori-entado. A defini¸c˜ao abaixo, de momento angular, pode ser considerada diretamente no espa¸co tridimensional.

Defini¸cão 2.21. O momento angular de um ponto material de massa unitária em rela¸cão ao ponto 0 é o produto vetorial M = r × ˙r.

Primeiramente, observamos que a defini¸c˜ao faz sentido, pois assumimos que o plano do movimento ´e um subespa¸co bidimensional em R3. Considerando e1 e e2 um sistema

referencial orientado no plano, por defini¸cão temos que M é perpendicular ao plano do movimento, e é dado por um número M tal que M = M (e1× e2), conforme a figura

abaixo.

Figura 2.10: Momento angular.

(28)

Observa¸cão 2.22. Em geral, o momento de um vetor aplicado a aplicado num ponto r relativo a 0 é dado por r × a. Em particular, temos que o momento angular é o momento do vetor velocidade de um ponto material de massa unitária aplicado ao vetor posi¸cão. Um outro exemplo é o momento de uma for¸ca.

A seguir, mostraremos que o momento angular relativo ao centro de movimento de um campo central ´e conservado.

Teorema 2.23. (A lei de conserva¸c˜ao do momento angular) Num campo central, o mo-mento angular M relativo ao centro do movimo-mento n˜ao varia com o tempo.

Demonstra¸c˜ao. Por defini¸c˜ao, M = r × ˙r. Sendo o produto vetorial uma forma bilinear, temos que

˙

M = ˙r × ˙r + ˙r × ¨r.

Agora, como o produto vetorial é uma forma alternada e o vetor acelera¸cão é colinear com o vetor posi¸cão, já que o campo é central, temos que M = 0, como quer´ıamos˙ demonstrar.

Utilizando a observa¸c˜ao 2.19, obtemos o seguinte

Corolário 2.24. Para movimento num campo central tridimensional, toda órbita é planar. Demonstra¸cão. Observando que hM, r × ˙ri = 0, temos que r(t) é ortogonal a M. Desde que M é constante, todas as órbitas estão no plano perpendicular a M.

Devido ao corolário 2.24, o estudo de órbitas em campo central no espa¸co tridimensional reduz-se ao caso planar. Sendo assim, escrevendo o vetor posi¸cão de um ponto como r(t) = x(t)e1+ y(t)e2, temos que M = x ˙y − ˙xy. Desta forma, considerando M constante,

temos que

˙

M = ˙x ˙y + x¨y − ¨xy − ˙x ˙y = x¨y − ¨xy = 0.

Isto significa que no sistema ¨r = F (r) o campo F é colinear ao vetor posi¸cão r. Logo, F é central. Portanto, obtemos o seguinte resultado

Proposi¸cão 2.25. Seja um ponto material de massa unitária que se move sob a a¸cão de um campo de for¸cas. Se o momento angular M é constante, o campo é central.

2.4 A segunda lei de Kepler

O primeiro a descobrir a lei de conserva¸c˜ao do momento angular foi Kepler, observando o movimento de Marte. Kepler formulou a lei de uma forma ligeiramente diferente da que encontramos no teorema 2.23.

(29)

Consideremos no plano de movimento as coordenadas polares r e ϕ de um ponto r, cujo polo est´a no centro do movimento. Isto significa que r = (r cos ϕ, r sin ϕ). Sendo assim,

˙r = ( ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ, ˙r sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ) = ˙r(cos ϕ, sin ϕ) + r ˙ϕ(− sin ϕ, cos ϕ) = ˙r er+ r ˙ϕ eϕ,

onde er =

r

r = (cos ϕ, sin ϕ) e eϕ = ˙er. Observemos que er e eϕ são vetores unitários ortogonais, e assim, constituem uma base do plano de movimento, conforme a figura 2.11. E mais, o vetor eϕ é perpendicular ao vetor er na dire¸cão de crescimento de ϕ.

Figura 2.11: Decomposi¸c˜ao do vetor ˙r em termos da base er, eφ

Fonte: [2] Consequentemente, o momento angular ´e

M = r × ˙r = r × ˙r er+ r × r ˙ϕeϕ = r ˙ϕ(r × eϕ) = r2ϕ(e˙ r× eϕ).

E assim, a quantidade M = r2ϕ ´˙ e preservada.

Do ponto de vista geom´etrico, a quantidade M = r2_{ϕ tem uma intepreta¸}_˙ _c˜_ao

interes-sante. Observemos que se M = 0, temos que ϕ é constante. E então, o ponto descreve uma reta que passa pelo centro do movimento. Se M 6= 0, temos que ˙ϕ 6= 0. Pela continuidade de ˙ϕ, segue-se ˙ϕ = ˙ϕ(t) tem um sinal bem definido, digamos ˙ϕ > 0. Logo, ϕ = ϕ(t) é uma fun¸cão estritamente crescente ao longo da trajetória. Desde que a área varrida pelo raio vetor r = r(t) entre os instantes t0 e t é dada por

S(t) = Z ϕ(t) ϕ(t0) 1 2r 2_{dϕ =} Z t t0 1 2r 2_{ϕ(t) dt,}_˙

temos que a taxa de varia¸c˜ao de S(t), denominada por Kepler de velocidade sectorial, e denotada por C, ´e

C = dS dt = r

2_ϕ,_˙

que ´e constante. Estes argumentos mostram que

Proposi¸cão 2.26. (Segunda Lei de Kepler) Se o campo é central, então o raio vetor varre ´

(30)

Cap´ıtulo 3

Investiga¸

c˜

ao do movimento em um

campo central

A lei de conserva¸c˜ao do momento angular permite-nos reduzir problemas sobre movimen-tos num campo central a problemas com um grau de liberdade. ´E devido a isso que o movimento num campo central pode ser completamente determinado.

3.1 Redu¸

c˜

ao a um problema unidimensional

Pelo teorema 2.17, sabemos que o movimento de um ponto material de massa unit´aria num campo central sobre o plano pode ser descrito pelo sistema

¨

r = −∂U ∂r, onde U = U (r).

Pela lei de conserva¸cão do momento angular, já sabemos que a quantidade M = r2(t) ˙ϕ(t) é constante, independente de t.

Teorema 3.1. Para o movimento de um ponto material de massa unit´aria num campo central, a distˆancia do ponto ao centro do movimento varia da mesma maneira como r varia no problema unidimensional com energia potencial

V (r) = U (r) + M

2

2 r2.

Demonstra¸c˜ao. Diferenciando a rela¸c˜ao ˙r = ˙rer+ r ˙ϕeϕ, obtemos

¨

r = (¨r − r ˙ϕ2)er+ (2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ)eϕ.

Como o campo ´e central e U ´e um potencial do campo, o teorema 2.17, mostra-nos que ∂U

∂r = (−φ(r)r cos ϕ, −φ(r)r sin ϕ) = −rφ(r)e_r

= ∂U ∂rer.

(31)

Sendo assim, a equa¸c˜ao de movimento em coordenadas polares ´e da forma ¨ r − r ˙ϕ2 = −∂U ∂r 2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ = 0. Observando que 1 r d dt(r 2_{ϕ) = 2 ˙r ˙}_˙ _{ϕ + r ¨}_{ϕ = 0,}

conclu´ımos que a segunda equa¸cão acima é equivalente ao fato de que r2ϕ ´˙ e constante. Já sabemos que tal constante é M . Segue-se que ˙ϕ = M

r2. Logo, ¨ r = −∂U ∂r + r M2 r4 ou r = −¨ ∂V ∂r, onde V = U +M 2

2r2, que ´e a energia potencial efetiva.

Observemos que a energia total no problema unidimensional derivado E1 =

˙r2

2 + V (r) ´e a mesma que a energia total no problema original

E = ˙r 2 2 + U (r), pois ˙r 2 = 1 2h ˙r, ˙ri = 1

2h ˙rer+ r ˙ϕeϕ, ˙rer+ r ˙ϕeϕi = ˙r 2 2 + r2ϕ˙2 2 = ˙r 2 2 + M2 2r2.

3.2 Integra¸

c˜

ao de uma equa¸

c˜

ao de movimento

A energia total no problema derivado unidimensional ´e conservada, j´a que dE1 dt = ˙r¨r + ∂V ∂r ˙r = ˙r ¨ r + ∂V ∂r = 0.

Suponhamos que M 6= 0. Sendo assim, como j´a vimos, ϕ ´e um difeomorfismo crescente sobre a imagem. Consideremos t = t(ϕ) sua inversa.

Como ˙r =p2(E − V (r)), temos que dϕ dr = ˙ϕ dt dr = M r2_{p2(E − V (r))}.

Desta forma, a equa¸cão da órbita em coordenadas polares é encontrada pela quadratura ϕ =

Z

M

(32)

3.3 Investiga¸

c˜

ao das ´

orbitas

Fixemos o valor do momento angular em M . A varia¸cão de r com o tempo é fácil de visualizar, basta desenhar o gráfico da energia potencial efetiva V (r), figura 3.1.

Figura 3.1: A energia potencial efetiva.

Fonte: [2]

Seja E o valor da energia total. Todas as órbitas correspondentes a E e M estão na região V (r) ≤ E. Sobre a fronteira da região, isto é, V = E, temos que ˙r = 0. Observemos que a velocidade do ponto móvel, em geral, não é igual a 0, desde que ˙ϕ 6= 0, para M 6= 0.

A desigualdade V (r) ≤ E dá-nos uma ou várias regiões anulares no plano: 0 ≤ rmin ≤ r ≤ rmax≤ ∞.

Como estamos interessados em movimentos cujas ´orbitas s˜ao limitadas, passamos a con-siderar o caso em que 0 ≤ rmin ≤ rmax< ∞. Sendo assim, o movimento acontece dentro

da regi˜ao compreendida entre os c´ırculos de raios rmin e rmax. Observemos que as ´orbitas

tangenciam estes c´ırculos e a forma da ´orbita ´e vista na figura 3.2.

Figura 3.2: A ´orbita de um ponto em um campo central

Fonte: [2]

O ˆangulo ϕ varia monoticamente, enquanto r oscila periodicamente entre rmin e rmax.

(33)

apocentros. Particularmente, se o centro do movimento é o centro da terra, chamamos de perigeu e apogeu. Se for o sol, periélio e afélio. No caso da lua, perilua e afelua.

Cada raio que parte do centro ao pericentro ou apocentro ´e um eixo de simetria da ´

orbita. Em geral, a órbita não é fechada: o ângulo entre um pericentro e um apocentro consecutivos é dado pela integral

Φ = Z rmax

rmin

M

r2_{p2(E − V (r))}dr.

Observemos que o ângulo entre dois pericentros sucessivos é duas vezes maior. A órbita é fechada se o ângulo Φ é comensurável com 2π, isto é, se Φ = 2πm

n, onde m, n ∈ Z. É poss´ıvel mostrar que se Φ é incomensurável com 2π, então a órbita é densa no anel, conforme a figura 3.3.

Figura 3.3: ´Orbita densa em um anel

Fonte: [2]

Se rmin = rmax, isto ´e, E = V no ponto m´ınimo, isto significa que ˙r = 0, ent˜ao o anel

degenera-se num c´ırculo, que ´e uma ´orbita.

Para valores de E um pouco maiores que o m´ınimo de V o anel rmin ≤ r ≤ rmax

torna-se muito estreito, e a órbita será aproximadamente circular. Em correspondência a um problema unidimensional, r terá pequenas oscila¸cões próximo ao ponto m´ınimo de V .

3.4 O problema de Kepler

Este problema consiste no movimento num campo central com potencial U = −k

r, deno-minado de potencial newtoniano. Sendo assim, a energia potencial efetiva ´e

V (r) = −k r +

M2 2r2.

(34)

Figura 3.4: Potencial efetivo do problema de Kepler

Fonte: [2]

Calculando a ´orbita obtemos ϕ = Z _M r2 q 2(E +k_r − M2 2 r2) dr = Z 1 r 1 −( M r − k M)2 2 E+k2 M 2 M r2q_{2 E +} k2 M2 dr = arccos M r − k M q 2 E + _Mk22 + constante

Assumiremos que a constante é nula. Isto equivale a escolher uma origem de referência para o ângulo ϕ no pericentro. Considerando

M2 k = p e r 1 +2EM 2 k2 = e, obtemos ϕ = arccos p r − 1 e , isto ´e, r = p 1 + e cos ϕ.

Esta é a equa¸cão focal de uma cônica. Observemos que se E < 0, o movimento é limitado. Sendo assim, e < 1 , isto é, a cônica é uma elipse. O número p é chamado o parâmetro da elipse, e e é a excentricidade. A primeira lei de Kepler, que foi descoberta observando o movimento de Marte, consiste do fato de que os planetas descrevem elipses, com o sol num dos focos. Originalmente, devido ao fato das excentricidades dos planetas serem muito pequenas, Kepler enunciou sua primeira lei como segue: os planetas movem-se ao redor do sol em c´ırculos, mas o sol não está no centro.

O afélio e o periélio são obtidos tomando ϕ = π e ϕ = 0, respectivamente. Sendo assim, as distâncias do sol ao afélio e ao periélio são, respectivamente, p

1 − e e p 1 + e. Desta forma, o parâmetro e a excentricidade são relacionam-se com o semi-eixo maior a pela fórmula a = 1 2 p 1 − e+ p 1 + e = 1 2 2p 1 − e2 = p 1 − e2.

(35)

Figura 3.5: Elipse Kepleriana Fonte: [2] E tamb´em, e = c a = √ a2_{− b}2

a , onde c = ae ´e a distˆancia do centro ao foco, conforme a figura 3.5. No caso do semi-eixo menor, b, temos que

b2 = a2− c2= a2(1 − e2) = a p.

A terceira lei de Kepler diz-nos que a razão entre o quadrado do per´ıodo de revolu¸cão de um planeta e o cubo do semi-eixo maior de sua órbita é a mesma para todos os planetas. De fato, denotemos por T o per´ıodo de revolu¸cão e por S a área varrida pelo raio vetor no tempo T . Sendo assim, 2 S = M T , já que a velocidade sectorial é M₂ . Como a área da elipse, S, é igual a πab, então T = 2πab

M . Observando que a = p 1 − e2 = M2 k 2|E|M_k22 = k 2|E| e que b =√a p = s k 2 |E|· M2 k = M p2|E|, temos que T = 2π · k (p2|E|)3 = 2πa 3 2k− 1 2. Logo, T2 a3 = 4π k .

Notamos que a energia total E depende somente do semi-eixo maior, a, da órbita, e é o mesmo para todo conjunto de órbitas el´ıpticas, do c´ırculo de raio a até o segmento de reta de comprimento 2a.

Acima, nós mostramos que a lei de Newton da gravita¸cão implica as leis de Kepler. Na próxima se¸cão, mostraremos que as leis de Kepler implicam a lei de Newton da gravita¸cao.

3.5 As leis de Kepler e a lei de Newton da gravita¸

c˜

ao

Pela segunda lei de Kepler, o momento angular é conservado. Sendo assim, pela proposi¸cão 2.25 e pela primeira lei de Kepler, o campo é central, e o seu centro do movimento, o sol,

(36)

est´a num dos focos da elipse r = p 1 + e cos ϕ. Desta forma, ¨r = −∂V ∂r, que equivale a ¨ r = −∂U ∂rer = −k r r3, onde k = 4πa 3

T2 ´e a mesma para todos os planetas, de acordo com a terceira lei de Kepler,

(37)

Cap´ıtulo 4

Conclus˜

ao

Neste trabalho, vimos o comportamento geral de sistemas com um e dois graus de Li-berdade através de exemplos simples, como o pêndulo. Analisamos os movimentos em campos centrais. Para tais movimentos, mostramos que o momento angular é preservado. Isto possibilita-nos reduzir o grau do sistema, tratando o problema como unidimensional, devido ao fato de que movimentos em campos centrais são planares. Infelizmente, esta técnica não pode ser empregada para sistemas gerais. Por exemplo, demonstra-se que não se pode obter um número suficiente de integrais primeiras que possibilite resolver completamente o problema dos n-corpos, para maiores detalhes consultem [3, 12, 6].

Ao final, chegamos à formula¸cão das Leis de Kepler. E mostramos, a equivalência entre as leis de Kepler e a lei de Newton da gravita¸cão.

Nossa inten¸cão era escrever um texto de fácil acesso e que mostrasse a importância da Mecânica Clássica Newtoniana como ponto de partida para o estudo da Mecânica Clássica em geral. Ressaltamos que a Mecânica Newtoniana trabalha muito bem na escala com a qual convivemos diariamente, porém em escala infinitesimal ou já em proximidades da velocidade da luz, suas formula¸cões não são suficientes para uma adequada abordagem da realidade. E, portanto, são substitu´ıdas pelas formula¸cões da Mecânica Quântica e da Teoria da Relatividade de Einstein. Ainda assim, seu estudo foi fundamental para o desenvolvimento da F´ısica e da Matemática. O estabelecimento das leis de Newton e Kepler tornaram-se pontos cruciais para uma melhor compreensão do universo, mesmo com as suas limita¸cões naturais.

(38)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

[1] ARNOLD, Vladimir.I.. Ordinary Differential Equations. Third Edition. Springer-Verlag, New York, 1992.

[2] ARNOLD, Vladimir.I.. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer-Verlag, New York, 1989.

[3] BURNS, H., Uber die integrale des vielkorper-problems, Acta Mathematica 11 (1887) 25-96.

[4] FIGUEREDO, Djairo G. e NEVES, Aloisio F.. Equa¸c˜oes Diferenciais Aplicadas. CMU. IMPA, Rio de Janeiro, 2001.

[5] GONÇ ALVES, Adilson. Introdu¸cão a álgebra. Impa, Rio de Janeiro, 2008. [6] HAGIHARA, Y.. Celestial Mechanics I. MIT Press, Cambridge, MA, 1970.

[7] LIMA, Elon L.. Curso de An´alise. Volume 2. Projeto Euclides. IMPA, Rio de Janeiro, 2014.

[8] LOPES, Artur; DOERING, Claus Ivo. Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias. IMPA, Rio de Janeiro, 2016.

[9] LOPES, Artur. Introdu¸c˜ao a Mecanica Cl´assica. IMPA, Rio de Janeiro, 1998. [10] Pendulum’s motion is simple harmonic motion. Dispon´ıvel

em: <https://physics.stackexchange.com/questions/212583/ pendulums-motion-is-simple-harmonic-motion>. Acesso em: 02 fev. 2018. [11] P´endulo esf´erico. Dispon´ıvel em: <https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%

A9ndulo_esf%C3%A9rico>. Acesso em: 30 jan. 2018.

[12] WINTNER, A.. The Analytical Foundations of Celestial Mechanics. Princeton Math. Series 5, Princeton University Press, Princeton, New Jersey (1941).