1/8 Transformador monofásico com fator de potência constante na carga. Modelo em Simulink
Introdução
A tensão no secundário do transformador depende do valor de corrente e do fator de potência (fdp) da carga, variando de valor mesmo que a tensão no lado do primário seja mantida constante.
Se se considerar uma situação típica de um transformador a ligar duas entidades distintas, com um fornecedor de energia elétrica a ligar a rede de abastecimento ao primário e um cliente com a instalação de utilização ligada ao secundário, percebe-se que esta característica do transformador constitui um ponto a merecer especial atenção das duas entidades.
O cliente necessita de um valor de tensão adequado ás características dos equipamentos instalados, mas é ele que provoca a variação da tensão ao ligar e desligar equipamentos, por outro lado, o fornecedor, que só pode agir a partir do lado do primário, não sabe antecipadamente que equipamentos serão ligados pelo cliente nem o fdp daí resultante e assume muitas vezes compromisso contratual de manter o valor da tensão no cliente controlado, apesar das variações de carga criadas por este.
A curva teórica de variação da tensão no secundário em função da corrente e do fdp da carga, carateriza o funcionamento do transformador e constitui uma boa ferramenta de análise desta situação.
Como a tensão depende de duas variáveis, corrente e fdp, é usual, para simulação, fixar um valor para uma delas, por exemplo o fdp enquanto se faz variar a corrente desde zero até ao valor nominal. A curva assim obtida apresenta a variação da tensão relativamente à corrente, mas apenas para aquele fdp.
Repetindo o procedimento para outros valores de fdp, obtêm-se outras tantas curvas, uma para cada fdp.
Problema
Calcular a tensão no secundário, mantendo constante um valor predefinido para o fdp do secundário.
Um cálculo da tensão no secundário, baseada no circuito equivalente do transformador, com restrição de manter constantes a tensão e fdp no primário, pode realizar-se pela aplicação simples das Leis de Ohm e Kirchhoff. Contudo o valor do fdp que resulta para o secundário (carga) varia com a corrente, não permanece constante como se pretende.
A manutenção de um valor constante para o fdp da carga durante o cálculo, obriga a ajustar o modelo, para além da simples aplicação das Leis enunciadas.
Apresentam-se dois exemplos, em que se mantêm constantes a tensão e o fdp no primário e se calculam a tensão e o fdp no secundário em dois pontos de funcionamento distintos. Comparem-se no final os valores do fdp resultantes para o secundário.
Vai ser usado nos exemplos um transformador mono-fásico com as seguintes características:
𝑆 = 750 𝑉𝐴; 𝑉1= 150 𝑉 ; 𝑉2= 300 𝑉 ; 𝑅𝑒𝑞 = 1,88 𝛺 ; 𝑋𝑒𝑞= 13,19 𝛺
O modelo de transformador (fig. 1), é o circuito equiva-lente aproximado reduzido ao primário (circuito de Steinmetz), numa versão simplificada (fig. 2) que não influencia as conclusões.
fig. 1 - Circuito equivalente aproximado do transformador reduzido ao primário
A simplificação consiste em desprezar o ramo paralelo com a resistência de perdas no ferro e a reatância de magnetização, 𝑅𝑝 𝑒 𝑗𝑋𝑚, representados a cinzento na fig. 1.
2/8 fig. 2 - Circuito equivalente simplificado como vai ser
considerado nos exemplos
fig. 3 - Diagrama vetorial geral de correntes e tensões correspondente ao circuito da fig. 2.
𝑉2′
̅̅̅ e 𝐼̅ representam a tensão e a corrente do secundário e mantêm a desfasagem observada entre 𝑉2′ ̅̅̅ e 𝐼2 ̅ . 2 A tensão e o fdp do lado do primário são mantidos
constantes nos dois exemplos.
𝑉̅ = 150 ∠0º 1
cos 𝜑1= 0,8𝑖 (𝜑1= −36,87º) Exemplo 1: Cálculo da tensão e fdp no secundário para uma corrente de 2 A.
𝐼̅ = 2 ∠ − 36,87º 𝐴 1 Aplicando a lei de Kirchhoff na malha do circuito equivalente,
𝑉2′
̅̅̅ = 𝑉̅ − (𝑅1 𝑒𝑞+ 𝑗𝑋𝑒𝑞)×𝐼̅ 1 𝑉2′
̅̅̅ = 150 ∠0 − (1,88 + 𝑗13,19)×2 ∠ − 36,87 = 132,51 ∠ − 8,18º 𝑉 Como 𝐼̅ = 𝐼2′ ̅, a desfasagem entre a corrente e a tensão no secundário é 1
𝜑2= 𝜑(𝐼2′)− 𝜑(𝑉2′) = −36,87 − (−8,18) = −28,69 º
No ponto de funcionamento deste exemplo, o fdp resultante para o secundário é:
cos 𝜑2= 0,88𝑖 𝜑2= −28,69 º Como pode ser observado na fig. 4.
fig. 4 - Diagrama vetorial de correntes e tensões correspondente ao exemplo 1.
Exemplo 2: Cálculo da tensão e fdp no secundário para uma corrente de 5 A. 𝐼1̅ = 5 ∠ − 36,87 𝐴
𝑉2′
̅̅̅ = 150 ∠0 − (1,88 + 𝑗13,19)×5 ∠ − 36,87 = 113,18 ∠ − 24,60 𝑉 Desfasagem entre a corrente e a tensão no secundário
𝜑2= 𝜑(𝐼2′)− 𝜑(𝑉2′) = −36,87 − (−24,60) = −12,27 º
O fdp resultante para o secundário neste exemplo é: cos 𝜑2= 0,98𝑖
𝜑2= −12,27 º
Como pode ser observado na fig. 5.
fig. 5 - Diagrama vetorial de correntes e tensões correspondente ao exemplo 2.
Conclusão: do primeiro para o segundo exemplo o objetivo de manter constante o valor do fdp do secundário
3/8 A variação da corrente de 2 para 5 A, teve como consequência a passagem do fdp de 0,88 para 0,98 com a correspondente variação na desfasagem entre a tensão e a corrente no secundário de -28,69º para -12,27º. Pode ver-se na fig. 6 e na fig. 7, a variação do valor do fdp e do angulo quando a simulação é alargada a todos os valores de corrente no secundário entre 0 e 5 A (𝐼̅̅̅̅). 2𝑛′
fig. 6 - Variação do angulo de desfasagem entre tensão e corrente no secundário em função da corrente no
secundário
fig. 7 - Variação do fdp do secundário em função da corrente no secundário
solução
A solução para manter o fdp constante no secundário tem de respeitar a restrição de manter constante a tensão no primário.
Se a questão se resumisse ao cálculo num ponto de funcionamento único, a solução estaria facilitada, com o desenvolvimento de um método de cálculo iterativo e as leis de Ohm e Kirschhoff seriam suficientes.
Como se pretende desenhar uma curva e esta é obtida com os resultados da aplicação repetida do cálculo a uma elevada quantidade de pontos de funcionamento, o processo já requere uma abordagem diferente da aplicação simples das leis enunciadas.
Propõe-se uma solução que tem por base algum desenvolvimento matemático envolvendo grandezas do diagrama vetorial de tensões e correntes como o da fig. 5, trigonometria, teorema de Pitágoras e equações de grau superior a 1. Ao tornar desnecessário o cálculo iterativo, fica facilitada a implementação da solução num programa de simulação tipo Simulink, em que o modelo é repetidas vezes aplicado para se obter a curva pretendida.
Como resultado obter-se-ão algumas expressões matemáticas que constituirão o modelo de simulação, apesar de cada uma delas não representar em particular qualquer lei ou expressão do domínio da eletrotecnia. Para maior clareza, revejam-se as variáveis e a sua localização antes de se passar ao desenvolvimento.
fig. 8 - Diagrama vetorial correspondente ao circuito equivalente
fig. 9 - Grandezas a manter constantes durante a simulação: 𝑉̅ = 150 ∠0º e 𝑐𝑜𝑠 𝜑1 2= 0,8𝑖
4/8 fig. 10 - Grandeza a calcular fig. 11 - Grandeza a variar entre os limites 0A e 5A
fig. 12 - Grandezas a variar de forma dependente 𝑉̅̅̅̅̅̅; 𝑍𝑒𝑞
𝑉𝑅𝑒𝑞
̅̅̅̅̅̅; 𝑉̅̅̅̅̅̅ e 𝜑𝑋𝑒𝑞 1 fig. 13 – Triangulo de tensões
Passe-se à análise e observe-se em particular do triangulo de tensões formado pelos vetores [𝑉̅ , 𝑉1 ̅̅̅, 𝑉2′ ̅̅̅̅̅̅] e os 𝑍𝑒𝑞 ângulos 𝜑2 e 𝜃 da fig. 13.
𝜑2 = angulo correspondente ao fdp pretendido 𝜃 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 (𝑋𝑒𝑞 𝑅
𝑒𝑞 ⁄ )
São ambos independentes do ponto de funcionamento, têm por isso valores constantes durante a simulação (Nota: neste exemplo considera-se uma carga indutiva, logo o angulo 𝜑2 de desfasagem entre a tensão e corrente no secundário é negativo e o angulo 𝜃 correspondente à impedância equivalente é positivo.)
Observem-se agora os ângulos 𝛼 e 𝛽.
𝛽 = 180º + 𝜑2 [1]
𝛼 = 360º − 𝛽 − 𝜃 [2]
Os ângulos 𝛼 e 𝛽, em consequência também mantêm valores constantes durante a simulação. Considere-se o angulo 𝛼 dividido em dois ângulos, 𝑎1 e
𝑎2 e as variáveis assinaladas na fig. 14. Desenvolvendo o seno do angulo α.
b c d a1a2 1 V ' 2 V Zeq V
fig. 14 – Diagrama com as variáveis a considerar no cálculo. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝑎1+ 𝑎2) = 𝑠𝑒𝑛 𝑎1𝑐𝑜𝑠 𝑎2+ 𝑠𝑒𝑛 𝑎2𝑐𝑜𝑠 𝑎1 [3] Como 𝑠𝑒𝑛 𝑎1= 𝑏 𝑉2′ 𝑐𝑜𝑠 𝑎1= 𝑑 𝑉2′ 𝑠𝑒𝑛 𝑎2 = 𝑐 𝑉𝑍𝑒𝑞 𝑐𝑜𝑠 𝑎2 = 𝑑 𝑉𝑍𝑒𝑞 Substituindo na eq. [3]. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑏 𝑉2′ 𝑑 𝑉𝑍𝑒𝑞 + 𝑐 𝑉𝑍𝑒𝑞 𝑑 𝑉2′= 𝑑(𝑏 + 𝑐) 𝑉2′𝑉𝑍𝑒𝑞 Como. 𝑉1= 𝑏 + 𝑐 [4]
5/8 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑉1𝑑 𝑉2′𝑉𝑍𝑒𝑞 𝑑 =𝑉2 ′𝑉𝑍𝑒𝑞𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑉1 [5] Aplicando agora o teorema de Pitágoras aos triângulos [𝑉2′, b, d] e [𝑉𝑍𝑒𝑞, d, c].
{ 𝑉2 ′2= 𝑏2+ 𝑑2 𝑉𝑍𝑒𝑞2= 𝑑2+ 𝑐2 {𝑉2′2−𝑉𝑍𝑒𝑞2= (𝑏2+ 𝑑2) − (𝑑2+ 𝑐2) … {𝑉 2′2−𝑉𝑍𝑒𝑞2= 𝑏2− 𝑐2 …
Substituindo 𝑏 = 𝑉1− 𝑐, retirado da eq. [4]. {𝑉2′2−𝑉𝑍𝑒𝑞2= (𝑉1− 𝑐)2+ 𝑐2 … {𝑉2 ′2−𝑉 𝑍𝑒𝑞2= 𝑉12+ 𝑐2− 2𝑉1𝑐 + 𝑐2 … {𝑉2 ′2−𝑉 𝑍𝑒𝑞2= 𝑉12− 2𝑉1𝑐 … Explicitando 𝑐. 𝑐 =𝑉1 2− 𝑉 2′2+𝑉𝑍𝑒𝑞2 2 𝑉1 [6] Aplicando o teorema de Pitágoras ao triangulo [𝑉𝑍𝑒𝑞, d, c]
𝑉𝑍𝑒𝑞2= 𝑑2+ 𝑐2 [7]
Substituindo d e c das equações [5] e [6].
𝑉𝑍𝑒𝑞2= ( 𝑉2′𝑉𝑍𝑒𝑞𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑉1 ) 2 + (𝑉1 2− 𝑉 2′2+𝑉𝑍𝑒𝑞2 2 𝑉1 ) 2 Desenvolvendo. 𝑉𝑍𝑒𝑞2 = 𝑉2′2𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 𝑉12 + (4 𝑉12) (4) (𝑉12− 𝑉2′2+𝑉𝑍𝑒𝑞2) 2 4 𝑉12 (1) 4 𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞2= 4𝑉2′2𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + (𝑉12− 𝑉2′2+𝑉𝑍𝑒𝑞2) 2 [8] Considerando temporariamente uma variável intermédia ℎ2.
ℎ2= 𝑉
𝑍𝑒𝑞2− 𝑉2′2 [9]
e substituindo 𝑉𝑍𝑒𝑞2− 𝑉2′2 por ℎ2 na eq. [8].
4 𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞2= 4𝑉2′2𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + (𝑉12+ ℎ2) 2 4 𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞2= 4𝑉2′2𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + (𝑉12) 2 + (ℎ2)2+ 2𝑉 12ℎ2 Voltando a substituir a variável temporária ℎ2 pela eq. [9].
4 𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞2= 4𝑉2′2𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑉14+ (𝑉𝑍𝑒𝑞2− 𝑉2′2) 2 + 2𝑉12(𝑉𝑍𝑒𝑞2− 𝑉2′2) 4 𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞2= 4𝑉2′2𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑉14+ ((𝑉𝑍𝑒𝑞2) 2 + (𝑉2′2) 2 − 2𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑉2′2) + 2𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞2− 2𝑉12𝑉2′2 4 𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞2= 4𝑉2′2𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑉14+ 𝑉𝑍𝑒𝑞4+ 𝑉2′4− 2𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑉2′2+ 2𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞2− 2𝑉12𝑉2′2 Reordenando as parcelas para melhor clareza do passo seguinte.
𝑉2′4+ 4𝑉2′2𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 − 2𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑉2′2− 2𝑉12𝑉2′2+ 𝑉14+ 𝑉𝑍𝑒𝑞4+ 2𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞2− 4 𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞2= 0 𝑉2′4+ 4𝑉2′2𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 − 2𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑉2′2− 2𝑉12𝑉2′2+ 𝑉14+ 𝑉𝑍𝑒𝑞4− 2𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞2= 0 [10]
6/8 𝑉2′4+ 𝑉2′2(4𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 − 2𝑉𝑍𝑒𝑞2− 2𝑉12) + 𝑉14+ 𝑉𝑍𝑒𝑞4− 2𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞2= 0 [11]
Considerando temporariamente uma variável intermédia z.
𝑧 = 𝑉2′2 [12] E duas constantes w e k. 𝑤 = 4𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 − 2𝑉𝑍𝑒𝑞2− 2𝑉12 𝒌 = 𝑽𝟏𝟒+ 𝑽𝒁𝒆𝒒𝟒− 𝟐𝑽𝟏𝟐𝑽𝒁𝒆𝒒𝟐 [13] [14] Pode reescrever-se a eq. [11].
𝑧2+ 𝑤𝑧 + 𝑘 = 0 [15]
Como equação do segundo grau tem as seguintes soluções para z: 𝑧 =−𝑤 + √𝑤 2− 4𝑘 2 [16] 𝑧 =−𝑤 − √𝑤 2− 4𝑘 2 [17]
Substituindo agora nas equações [16] e [17] 𝒛 por 𝑉2′2 da eq. [12]. 𝑉2′2= −𝑤 + √𝑤2− 4𝑘 2 𝑉2′2= −𝑤 − √𝑤2− 4𝑘 2
Têm-se finalmente as soluções para a equação [11] que é do grau 4.
𝑉2′ = +√ −𝑤 + √𝑤2− 4𝑘 2 [18] 𝑉2′ = −√ −𝑤 + √𝑤2− 4𝑘 2 [19] 𝑉2′ = +√ −𝑤 − √𝑤2− 4𝑘 2 [20] 𝑉2′ = −√ −𝑤 − √𝑤2− 4𝑘 2 [21]
As quatro expressões acima constituem as raízes da equação [11] numa conceção puramente matemática, contudo, numa análise ao circuito equivalente, rapidamente se encontrarão as que não fazem sentido nesse contexto, ficando apenas naturalmente a que constitui a solução procurada.
Tome-se como exemplo um ponto de funcionamento correspondente aos seguintes dados do exemplo 1: Elementos do circuito equivalente : 𝑅𝑒𝑞= 1,88 𝛺; 𝑋𝑒𝑞= 13,19 𝛺;
Tensão constante no primário : 𝑉1= 150 𝑉;
Fator de potência pretendido para o secundário : cos 𝜑2 = 0,8𝑖 (𝜑2= −36,87º); Corrente no ponto de funcionamento do exemplo : 𝐼1̅ = 2 ∠ − 36,87º 𝐴.
Desenvolvimento do cálculo.
7/8 𝜃 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 (𝑋𝑒𝑞⁄𝑅𝑒𝑞) = (13,19 1,88⁄ ) = 81,89º 𝛼 = 360º − 𝛽 − 𝜃 = 360 − 143,13 − 81,89 = 134,98º 𝑍𝑒𝑞= √𝑅𝑒𝑞2+ 𝑋𝑒𝑞2 = √1,882+ 13,192= 13,32 𝛺 𝑉𝑍𝑒𝑞= 𝑍𝑒𝑞𝐼1 = 13,32×2 = 26,65 𝑉 𝑤 = 4𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 − 2𝑉𝑍𝑒𝑞2− 2𝑉12 𝑤 = 4(26,65)2𝑠𝑒𝑛2(134,98) −2(26,65)2− 2(150)2= −44999,10 𝑘 = 𝑉14+ 𝑉𝑍𝑒𝑞4− 2𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞2 𝑘 = (150)4+ (26,65)4− 2(150)2(26,65)2= 474802269,64 Calculando as raízes 𝑉2′= +√ −(−44999,10) + √(−44999,10)2− 4×474802269,64 2 = 167,65 𝑉 𝑉2′= −√ −(−44999,10) + √(−44999,10)2− 4×474802269,64 2 = −167,65 𝑉 𝑉2′= +√ −(−44999,10) − √(−44999,10)2− 4×474802269,64 2 = 129,98 𝑉 𝑉2′= −√ −(−44999,10) − √(−44999,10)2− 4×474802269,64 2 = −129,98 𝑉
Confrontando estes valores com o circuito equivalente, verifica-se a existência de duas raízes negativas que podem ser excluídas por não fazerem sentido no contexto. Restam os valores positivos.
Como se pode observar na fig. 15, o vetor 𝑉2′ desloca-se sobre a linha ponteada que representa o lugar geométrico da ponta do vetor 𝑉2′, quando a corrente do secundário varia da situação de vazio (𝐼1= 0 𝐴 ; 𝑉2′= 150 𝑉 ) até à situação de curto-circuito ( 𝑉2′= 0 𝑉 ), sendo por isso sempre inferior ao valor de 𝑉1= 150 𝑉, por esse motivo pode desprezar-se o valor 167,65 V.
1 V ' 2 V Zeq V
fig. 15 – Lugar geométrico da ponta do vetor 𝑉2′. O valor procurado é 129,98 V e correspondente à equação [20] que é a que se deve usar na simulação.
Implementação em Simulink.
O modelo consiste apenas na implementação das equações [1], [2], [13], [14] e [20], todavia, no modelo da fig. 16, também foram implementadas as equações [18], [19] e [21] para se poderem observar as outras raízes.
O Clock representa o módulo de 𝐼2′. Os valores mínimo e máximo para a simulação são 0 e 2 como pode ver-se na fig. 17 com janela da opção:
8/8 Para facilitar a compreensão do modelo, os
cálculos estão divididos em dois subsistemas: “CÁLCULO DAS CONSTANTES W; K” e “CÁLCULO DE V'2”. Apresentam-se a seguir e crê-se que sejam suficientemente claros para dispensarem explicações adicionais.
fig. 17 – Atribuição de limites à variável 𝐼2′.
fig. 18 – Interior do subsistema ““CÁLCULO DAS CONSTANTES W; K”” da fig. 16.
fig. 19 – Interior do subsistema “CÁLCULO DE V'2” da fig. 16. Observe-se que na fig. 16, para 𝐼2′ = 2 𝐴 , constam os
quatro valores calculados teoricamente para 𝑉2′, dos quais apenas interessa o correspondente à eq. [20], 𝑉2′= 129,98 𝑉.
Alterando os limites da corrente 𝐼2′ (fig. 17) para 0 e 5, obtém-se a curva para todos os valores de corrente. Podem comparar-se na fig. 20 a curva de 𝑉2′ obtida com a solução proposta para fdp constante no secundário (linha contínua), com a que se obtém com um modelo de fdp constante no primário (linha ponteada).
Para a corrente nominal, observa-se uma redução aproximada de 19,5% no valor da tensão 𝑉2′ calculada com a solução proposta.
fig. 20 –Tensão 𝑉2′ com fdp constante no secundário e fdp constante no primário.
Considera-se que este valor percentual (19,5%) possa ter alguma variação consoante o transformador, contudo o valor encontrado não é negligenciável e justifica a adoção de uma metodologia mais rigorosa com a da solução proposta.
