Respostas dos Exercícios

(1)

Respostas dos Exercícios

CAPÍTULO 1

EXERCÍCIOS 1.1

a)

1 _{(2 3 )}2 9 54 + x +C

b)

1/2 1/2 2(x+3) −2arctg(x+3) +C C

c)

ln( t 4)

d)

e + + 1sen(5 2) 5 x− +C

e)

2₍₁ ₎7/2 4₍₁ ₎5/2 2₍₁ ₎3/2 7 +x −5 +x +3 +x + C

f)

5/2 3/2 2 2 ( 1) ( 1) 5 x+ −3 x+ +C

g)

2₍ ₄₎5/2 8₍ ₄₎3/2 5 t− +3 t− + C

h)

2 1 ln sec 2 x +C

i)

3 14/3 ₁₈ 1/6 ₆ 2/3 14x − x + x + C

j)

2 2/3 2 3 ( 4) ( 6) 10 x + x − +C

k)

₂ _x₋₃3_x ₊₆6 _x₋_6ln(6 _x_{+ + C}₁₎

_l)

3₍ ₉₎7/3 27₍ ₉₎4/3 7 x+ − 4 x+ +C

m)

5 ₍₃ ₂₎9/5 5 ₍₃ ₂₎4/5 81 x+ −18 x+ + C

n)

2 2 arctg 3 3 x C − ₊

o)

2₍₁ ₎7/2 4₍₁ ₎5/2 2₍₁ ₎3/2 7 5 3 x x x e e e + − + + + + C

EXERCÍCIOS 1.2

1. a)

x(lnx− + C1)

b)

1 (sen cos ) 2 x e x− x +C

c)

−xcosx+sen x+ C

d)

3 ₁ ln 3 3 x x C ⎛ ₋ ⎞₊ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

e)

1

(

cossec cotg ln cossec cotg

)

2 − x x+ x− x +C

f)

2 1 arctg ln(1 ) 2 x x− +x +C

g)

₍₂ 2_)cos _{2 sen} x x x x C − + +

h)

2 1 2 2 x e x C − − ⎛ ₊ ⎞₊ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

i)

2 3/2_(3ln ₂₎ 9x x− +C

j)

cos (1 ln(cos ))x − x +C

k)

xsecx−ln secx+tgx +C

l)

−e−x⎡_⎣x3+3x2+2x+ +1⎤_⎦ C

m)

sen5 cos5 125 x x x+C

n)

(

)

3 2 9 6 2 27 x e x − x+ +C

o)

₍_x2₋_{2) sen}_x₊_{2 cos}_x _x₊_C

(2)

2.

( ) 2 1 1 2 2 t e p t t − − ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ 4+

EXERCÍCIOS 1.3

1. a)

sen5 5 x C +

b)

1 1 _{sen 4} 1 _{sen 2}3 16x−64 x+48 x+C

c)

cossec7 cossec5 7 5 x x C −

+ +

d)

1_cos3 2_cos5 1_cos7

3 x 5 x 7 x − C + − +

e)

cos4 4 x C − +

f)

tg5 tg3 tg 5 3 x x x x C − + − +

g)

2 _cos7 2 _cos3 7 x−3 x+C

h)

9 7 5 1 2 1 tg tg tg 9 x+7 x+5 x+C

i)

tg4 4 x C +

j)

tgx−cotgx+C

k)

_sen 1_sen3 3 x− x+C

l)

1_{cossec cotg}3 1_{cossec cotg} 1_{ln cossec} _cotg

4 x x 8 x x 8 x x − + − − +C EXERCÍCIOS 1.4

1. a)

1arctg 2 2 x C +

b)

1ln 2 3 3 3 x C x x + ₋ ₊

c)

ln 2 16 4 4 x x C − + +

d)

9_arcsen ₉ 2 2 3 2 x x x C + − +

e)

625_arcsen ₂₅ 2_{(25 2 )}2 8 5 8 x x x x C + − − +

f)

_ln_x _x2 ₁ x2 1 _C x − + − − + EXERCÍCIOS 1.5

a)

5 6ln | 2 | 2 x C x+ + + +

b)

3 ln | 1| 5ln 2 x x C x − − + + −

c)

3ln x −lnx+ +3 2ln x− + C1

d)

x2−2x+2lnx+ +1 C

e)

_ln( 2 _{1) arctg 2ln}1 ₁ 1 x x x C x + + − − − + −

f)

2 1 9 ln( 1) 12arctg ln | | 2 x− x + − x+ x +C

g)

2 3 5ln | 3 3 | x x x + − + + + C

h)

3 2 1 ln | 2 | ln 5 x+ +5 x− +2 C

(3)

EXERCÍCIOS EXTRAS

1. 1)

7ln 1 10 1 x x C x + − − + −

2)

2arcsen x C+

3)

_3t3 2 t − + C

4)

1ln 2 9 3 3 x C x x + _{− +}

5)

1 1 tgx C − + +

6)

tg x C+

7)

1 1 1 4 x 1 x 1 C ⎡ ₋ ₊ ⎢ + − ⎣ ⎦ ⎤ ⎥

8)

ln _{2 sen}1 C x ⎛ ⎞ + ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠

9)

1arctg 4 4 x C +

10)

1tg5 5 x− +x C

11)

2arctg 3 t+C

12)

3arcsen x C+

13)

1 _{(2 )}3 ₂ 3 y − y+ C

14)

1 x e C − +

15)

_4ln _ln( 2 ₄₎ 1_arctg 2 2 x x+ x + x + − + C

16)

2 2 3 (3 2 ) 3 27 x x C x + − +

17)

1 sen 23 sen 25 2 3 5 C θ θ ⎡ − ⎢ ⎣ ⎦ ⎤ + ⎥

18)

2 2 1 ln( 1) arctg 4 4 x x x x C + − + + +

19)

2 1 1_sen( 2 _{1) cos(} 2 ₁₎ 4 4 x x x e e e − ₊ ₋ ₋ C +

20)

x xe− C − +

21)

1_cotg5 2_cotg3 _cotg

5 x 3 x x − − − +C

22)

5ln 1 1 3ln 5 1 x x C x + − − − + +

23)

2 6 1 1 cos 3 x e C x x − − +

24)

₄ 2 _ln ₄ 2 x x x C − + + − +

25)

1 ₂ 2(16−x )+C

26)

2 sen 2cos 5 2 2 x x x e ⎡_⎢ + ⎤_⎥+C ⎣ ⎦

27)

2 4 ₂ 1 4 x x e ⎡_⎢ −x + +⎤_⎥ ⎣ ⎦ C

28)

2 1 tg 2 x C+

29)

₂ 2 2arctg 1 2( 2 3) 4 2 x x C x x − − ₋ ⎛ + ⎞₊ ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠

30)

(x−1) tgx+ln cosx +C

2. a) ≈ 13,18 b) ≈ 7,4

c) ≈ 41,85

3. 5/2

4.

_{( )} 1_cos3 1_cos ₁₀ 9 3 p t = t− t+ t 2 9 +

5. ≈ 0,082

(4)

CAPÍTULO 2

EXERCÍCIOS 2.1

5. a)

1₍ 3 3₎ 3 y+ y −x + = 0C

b)

y=2ex

c)

2 ₂ 3 ₂ 2 ₂ ₃

d)

y − y−x − x − x− = 0 y= − 2ln(1+x2) 4+

e)

_ln 2 _sen _{1 0} y+y − x− =

f)

2ln 1 3 3 y= ± +x +C

g)

1₍ 2 2₎ 2 y x y −x +e −e− + = 0C

h)

y ₂2 x C = −

i)

y 1 x C − = +

j)

2 4 2 x e y= ± +C

k)

2 y= ± x + C

l)

(

)

2 2 ln 0 2 x y − + =C

6. a)

y=tg(x−1)

b)

x= 2 (e tt − +1) 3

7. k = -3 ou k = 3.

8.

₂ 2 4 2 y x x − = + −

9. Considerando

0≤ <y 4

temos

2 0 2 0 3 4 4 ( ) , onde 1 t y y t C y Ce− − = = +

.

a)

t→ +∞ ⇒ y t( )→4.

b)

T ≈3,3

unidades de tempo.

10.

_{( )} 1₍₁ 2 _); _{( )} 1_quando _. 8 8 x y x = −e− y x → x→ ∞ EXERCÍCIOS 2.3

1.

( ) (1 k t)

C t =C −e−

, onde k é a constante de proporcionalidade.

2.

C t( ) 100= e−0,0282804 t

t = 24 dias e meio

3. a) aproximadamente 13 anos;

b) 29,58 mg

4. Aproximadamente 13.334 anos

5.

0 0 ( ) , 1 p t p p x x t C − x Ce− α = = + 0 0 1 1 ( ) , 1 t x x t C x Ce−β − = = +

6.

(5)

7. Q(0) = 160 bactérias

8. 29,3 gramas;

x→60 quando t→ +∞

; 0 grama de A e 30 gramas de B.

(10) 1834; ( ) 2000 quando C = C t → t→ +∞

9.

EXERCÍCIOS 2.4

1. a)

( ) 1(3 2 1) 2 x y x = e −

b)

y x( ) sen ₂x x = 3 2

( )

(

3

x

y x

e

c)

1 1 2 3 ( ) 3 3 x x e− Ce− + + y x = ⎛_⎜x− ⎞_⎟ ⎝ ⎠

d)

=

+

C

)

e)

( ) 3 sen(2 ) cos( 2 2 x y x x x ⎡ ⎤ = _⎢ + _⎥ ⎣ ⎦ 2 ) C +

f)

_{( ) 2}

2x

₍

₁₎

3

x

e

+

y x

=

e

x

−

g)

3 2

( )

5 x

C

y x

x

=

+

h)

_{( )} 1 2 ₍ 2 ₁₎ 2 x y x = e− x −

2. a)

0,04 t

b)

→

e

−

ndo t

+∞

t

100

( ) 0,3(1

t

),

( )

0,3 quando

.

e

−

i t

t

=

−

→

→ ∞

( ) 500 400

C t

=

−

C t

( )

500 gr qua

3. ≈

7h, 42min

4. Levará aproximadamente 82 seg para atingir 90ºC e 146 seg para atingir 98ºC.

5. Aproximadamente 25ºC.

6. i t

7. _{( ) 0,01(1}

50t

_),

_{( ) 0,5}

50t

.

q t

=

−

e

−

i t

=

e

− EXERCÍCIOS EXTRAS

1. a) a = 0 ou a = 2;

b) a = 0 ou a = -1/3

2. a)

( ) 1 5 2 2 2 x x x y x = − e− + e −

b)

( ) 1(1 2 1/2) 2 x = + y x

c)

( ) t t3 t3

d)

y t =e− +e− ( ) 15(2 )2 16 y x = +x +1

e)

( ) 3 3 2 t t y t =e− − e−t3

f)

5 5 4 5 5 1 4 ( ) 5 5 x x y x = e + e−

g)

2 15 ( ) 9 y x x = +

h)

1 ( ) y x x x = −

3.

1 x5. e− ⎞ ⎟ 0 1 ( ) 5 5 y x = +⎛_⎜y − ⎝ ⎠

(6)

a) A solução é decrescente para y

0

> 1/5 e crescente para y

0

< 1/5.

b)

y(x)

→ 1/5 quando x →¶ e independe do valor de y

0

.

4.

0 2 4 ( ) . 9 y y x x = −

a)

x > 3 para

y₀≠0

e -¶ < x < ¶ para y

0

= 0.

b)

y(x)

→ 0 quando x →¶ e independe do valor de y

0

.

6. A solução do PVI é dada implicitamente por

3 ₃ 2

y − y−x − =x 0.

A solução tem um extremo local

onde

dy 0 dx=

, ou seja, em x = -1/2.

7. ≈ 50.200 anos.

8. 30/4 gramas.

9. a)

1 2 100 ( ) t( 100) Q t e t − = +

b)

1 10 (10) 2

C = e−

gramas por litro.

10. y

0

= 64

11. t ≈ 2,71 h

12. t ≈ 0,5 h

13. 760

14. 11 horas

15. T(1) = 31,67°F; Aproximadamente 0,06 min.

17.

/10 2 /10 60(1 ), 0 20 ( ) 60( 1) , 20 t t e t i t e e t − − ⎧ − ≤ ⎪ = ⎨ − > ⎪⎩ ≤

18.

( 1)/ 0 ( ) t t RC E t =E e− −

19.

sen 0 ( ) k t P t =P e

20. 276 estudantes infectados

(7)

CAPÍTULO 3

EXERCÍCIOS 3.2 (a) d = 5 (b) d= 86 9,27≈ EXERCÍCIOS 3.4 1. a) b) ; ; ;

(

1,2

)

1 f − = − f b x

( )

, =3b+x c) f x

(

x y,

)

f x y

( )

, 3 d) x + Δ − = Δ

(

,

)

( )

, 1 f x y y f x y y + Δ − = Δ 2. a) D=

{

( )

x y, ∈\2:x2+y2≤4

}

b) D=

{

(

x y,

)

∈\2:y≥x2

}

c) D=

{

( )

x y, ∈\2:y≠ ±x

}

d) D=

{

( )

x y, ∈\2:x> −4 2y

}

3. a) f

( )

2,1 =5 b) f

(

3 ,a a

)

=9a3+1 c) f ab a b

(

, −

)

=a b2 2

(

a b− +

)

1 4. a)

(

( ) ( )

,

)

2 310 b) f x t y t = +t t f x

(

( ) ( )

0 ,y 0

)

=0 5. D=

{

( )

x y, ∈\2:x≠y2

}

6. a)

( )

, 2: 3 2 x D=⎧⎨ x y ∈ y≠− ⎫⎬ ⎩ \ ⎭

( )

7 2,1 8 f = f

(

6, 4− =

)

0 b) D=

{

( )

x y, ∈\2:y≥ ±x

}

f

( )

4,5 =3 ; f

(

−1, 2

)

= 3

CAPÍTULO 4

EXERCÍCIOS 4.1 2. a) z_x =5 ; y3 z_y =15xy2 b) 12₂ ; 3 ln 2

(

2 1

)

2 1 y y x y xe z z c) d) e x x = = − − x ; x y z =ycosx z =sen 7 2xy

(

1 2

)

; 7 2xy

(

1 2

)

x = e + xy zy = xe + xy z y

(8)

e) f)

(

)

2 3 2 6 8 ; 1 4 _{1 4} x y x x z z y y = = − ₋ 3 3 ; x y z z x y − = =

g) z_x =2 cosx⎡_⎣ x2−ysen x y

( )

2 ⎤_⎦ ; z_y = −x sen x y2

( )

2 +9y2 h) xy 1

(

ln

)

; xy

(

ln

)

1 x y z e y x y z e x x y y ⎡ ⎤ = ⎡ +_⎣ − ⎤_⎦ = _⎢ − − _⎥ ⎣ ⎦ i)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 ; x y x xy y x x z z x y x + − − = = + + y j)

(

)

(

)

(

)

2 3 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 1 1 3 2 - + ; - + ; + 2 2 x y z z y x yz z y x xz z y x zy x xy f f f

x y x z xyz x y x z xyz x z xyz

− − = = = + + + + + k) 2 3 3 3 3 2 3 3 2 ₃ 2 2 w 2 2 3 2 3 ; 6 - - ; 3 ; 32 32 32 w y x z w z w z xyz y z w z xy z f f xy f y f y y w w y = = = − = − 4. m ; m ₂ P T V R V RT T P P P ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ _∂ ⎟ = ⎛⎜ _∂ ⎞⎟ = − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5. f_x

( )

3,2 ≈12,2 f_x

(

3;2,2

)

≈16,8 EXERCÍCIOS 4.2 1. dT V dP P dV dt =R dt +R dt 2. 2 4 2 ( ) dT dP abV aV dV R V b P dt dt V dt ⎡ ⎛ − ⎞ ⎤ = _⎢ − +_⎜ + _⎟ _⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 3. a) dV 0,88 / mincm3 b) dt = π 2 0,46 / min dA cm dt = π 4. dS 0,07626 /cm2 ano dt = 5. a) A produção de trigo diminui a medida que a temperatura aumenta. A produção de trigo aumenta a medida que a chuva aumenta. b) dW 1,1 (Nestas condições, a produção de trigo diminuirá cerca de 1,1 unidades por ano.) dt = −

(9)

6. dI 3,1 10 /5 A s dt − = − × 7. dV 0,27 dt = − 8. dw(t 0) dt = = 4 10. 21 6 − 11. a) b)

(

)

2 6 3 dz yt x dt x y − − = dz ₉

(

₆

)

2 _{1 18}2 x y t dt = + ⎡⎣ + ⎤⎦ 12. a) b)

( )

2 ' 2 t y x f f cos te t x y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ =_⎜ _⎟ _{+ ⎜ ⎟} ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ G t ' 0

( )

( ) ( )

1,0 1,0

( ) ( )

1,0 1,0 5 y x f dx f dy G x dt y dt ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = +_⎜ _⎟ = ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ EXERCÍCIOS 4.3 1. a) z=3x−4 _b)2 5 z= −y 2. z= −x 4 3. 2 5 3 3 z= x+ 5 4 3 3 z= y+ 4. f_x

( )

1,2 = −8 (coeficiente angular da reta tangente à curva de nível gerada, no plano yz, quando se fixa x = 1) f_y

( )

1, 2 = −4 (coeficiente angular da reta tangente à curva de nível gerada, no plano xz, quando se fixa y = 2) 5. (a) 0 e ₃4 (b) 9 x= x= x=0 e x=1

(10)

6. (a partir do ponto (2,3) do plano xT, para cada uma unidade que você anda (aumenta), na direção do eixo x, o valor de z diminui de 2,4 unidades)

( )

2,3 2, 4 y T x ∂ ⎛ ⎞ _{= −} ⎜ _∂ ⎟ ⎝ ⎠ (a partir do ponto (2,3) do plano yT, para cada uma unidade que você anda (aumenta), na direção do eixo y, o valor de z diminui de 9 unidades)

( )

2,3 9 x T y ⎛∂ ⎞ = − ⎜ _∂ ⎟ ⎝ ⎠ 7. (a) axa de variação da temperatura aparente em relação a temperatura do ar, mantendo a umidade relativa do ar como constante). 0,885 1,2 h I h t ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ (t ; ; = + ∂ ⎝ ⎠ (taxa de variação da temperatura aparente em relação a umidade relativa do ar, mantendo a temperatura do ar como constante). 22,4 1,2 t I t h ∂ ⎛ _{⎞ = −} ₊ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ (b) e 0,8 1,845 h I t = ∂ ⎛ ⎞ ₌ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ 32 16 o t I h ₌ ∂ ⎛ ⎞ ₌ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ D EXERCÍCIOS 4.4 1. a) D=

{

(

V T,

)

∈\2:V >0, V ≠b

}

b) 3. 4. a) Não satisfaz o teorema b) Satisfaz o teorema 6. a) b) c) d)

(

)

2 3 2 T P RT a V V b V ∂ = − + ∂ ⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟

₍

₎

V P R T V ∂ ⎛ ⎞ b ⎜_∂ ⎟ ₋ ⎝ ⎠ =

(

)

2 3 2 4 2 6 T P RT V V b V ⎛∂ ⎞ ₌ ₊ ⎜_∂ ⎟ − ⎝ ⎠ a 2 2 2 m m V R V P T P T P ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ = − = ⎜_{∂ ∂} ⎟ ⎜_{∂ ∂} ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

fxy≠ fyx

)

(

fxy= fyx

)

2 2 2 8 ; 16 ; 16 ; 18 8 xx xy yx yy f = + y f = xy f = xy f = − y+ x 2 2 1 1 ; 0 ; 0 ; xx xy yx yy f f f f x y = − = = = − 2_{e ;}xy xy_+xy xy_; xy xy_; 2 xx xy yx yy xy f = y f =e e f =e +xye f = ex

)

(

)(

(

)

2 2 2 2 4 2 2 4 3 yx x x y x y f x y + − + = +

(11)

e)

(

)

2 2 3 2 2 _{2 2} 1 1 zz x y f x y z + − = − − −

(

)

3 2 2 _{2 2} = 1 yx xy f x y z − − − − EXERCÍCIOS 4.5 1. a) (0,0,0) é um ponto de mínimo relativo c) (0,0,5) é um ponto de sela e) não existem pontos de máximo, mínimo ou sela 2. a) Máximo absoluto em 1,1 b) Máximo absoluto em (3,‐2) 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3. (0,0,0) é um ponto de sela (‐1,1,1) é um ponto de máximo relativo 4. Os números são: x = y = z = 8 9. A antena deve ser instalada no ponto 5, 1 4 4 ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ EXERCÍCIOS 4.7 3. a) b) Quando α = 0 e β = 0, tem‐se que V = cte (que significa que se trata de um fluido (líquido) incompressível. c) d) dV dT dP V =α −β -1 24 bar C⋅D 3 2 1,267 cm V = 4. EXERCÍCIOS 4.9 2. Considere F P T V

(

, ,

)

P a₂

(

V b

)

RT 0 utilize derivação implícita. e TV ⎛ ⎞ =_⎜ + _⎟ − − = ⎝ ⎠

(12)

(

)

(

)

2 2 2 3 2 P a V b R V _{V T} T _a a V b P TV TV − + ⎛∂ ⎞ ₌ ⎜_∂ ⎟ ₋ ⎝ ⎠ ₊ ₋ EXERCÍCIOS EXTRAS 1. a) 4

(

)

y z xy sen x y x ∂ ⎛ _{⎞ =} ₋ ₊ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ ;

(

)

2 2 x z x sen x y y ⎛∂ ⎞ = − + ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ b) x y cos

(

)

(

)

y z e x y sen x x − ∂ ⎛ ⎞ ₌ _⎡ ₊ ₊ _⎤ ⎜_∂ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ +y ; cos

(

)

(

)

x y x z e x y sen x y − ⎛∂ ⎞ y ⎡ ⎤ = + − ⎜_∂ ⎟ ⎣ + ⎦ ⎝ ⎠ 2. a) 20 3 3 6 2 7 y f x y x y x ∂ ⎛ _{⎞ =} ₊ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ − ; 4 2 3 15 2 x f x y x y ⎛∂ ⎞ = + ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ b) 1₂ ' y z x f x y y ⎛ ⎞ ∂ ⎛ _{⎞ =} ⎜ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; 2 3 1 ' x z x x f f y y y y ⎛∂ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − − ⎜_∂ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x y c) 1 ' cos y z x x f sen x y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ⎛ _{⎞ = −} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; x 2 ' cos z x x x f sen y y y ⎛∂ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜_∂ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠y d)

(

)

2 2 2 y z x xy x _x _y ∂ + ⎛ _{⎞ =} ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ + y − ;

(

)

2 2 x z x x y _x _y ⎛∂ ⎞ ₌ − ⎜_∂ ⎟ + ⎝ ⎠ e)

(

)

4 2 2 2 2 3 ln 2 2 y z x x x y x x y ∂ ⎛ _{⎞ =} ₋ ₋ ₋ ⎜_∂ ⎟ ₋ ₋ ⎝ ⎠ ; 3 2 2 y z x x x y ∂ ⎛ _{⎞ = −} ⎜_∂ ⎟ ₋ ₋ ⎝ ⎠ f) 3 2xy

[

1 2

]

y z ye xy x ∂ ⎛ _{⎞ =} ₊ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ ;

[

]

2 3 xy 1 2 x z xe x y ⎛∂ ⎞ = + ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ y g) 3 1 y z x sen x y y ∂ ⎛ _{⎞ = −} ₊ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ x ; 2 3 1 x z x x sen y y y ⎛∂ ⎞ ₌ ₋ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ y h) 7 xln y w y y x ∂ ⎛ _{⎞ =} ⎜ _∂ ⎟ ⎝ ⎠ ; 1 7 x x w xy y − ⎛∂ ⎞ ₌ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ 3.

( )

1,1 17 y w x ∂ ⎛ ⎞ ₌ ⎜ _∂ ⎟ ⎝ ⎠ 4.

(

,

)

4 2 7 1ln 2 1 2 f x y =x y − xy+ y + +K

(13)

5. a) 6 6 x y f y f x = = b) 6 2 x y f x f = = c) 2 6 3 y x y y f xe f x e = = d) 3 2 2 xy x xy y f ye f xe = + = e) ₂ 2 2 x y x f y x f y = = − f)

(

)

2 1 1 1 x y y y y h e xe h e = + = − + g)

(

)

(

)

6 3 4 2 3 4 x y f x y f x y = − + = − − + h)

(

)

(

)

1 ln ln xy x x xy xy y y f e y x ye x f e y x xe = − + − = + − i)

(

)

3 3 1 x y y y y f e x y f e = − = j) 2 c cos x y y y f xsen y os x x y f x x = − = 6. a) 3 2 V R C = b)

(

)

5 3 2 2 3 ln 2 RT P e S R mkT Lh π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = _⎜ ⋅ _⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ c) 2 5 3 2 2 TR R R P ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d) 5 1 3 P V C RT C = P + 7. , , e 0 P n T n V V nR T P ∂ ∂ ⎛ ⎞ ₌ ⎛ ⎞ ₌ ⎜_∂ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 8. 2 4,18 I H RI t ∂ ⎛ _{⎞ =} ⎜ _∂ ⎟ ⎝ ⎠ calorias/s 9. 760 0 e 760₂0 1 273 273 P T T T P P P ρ ρ ρ ρ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ₌ ⎛ ⎞ _{= −} ⎛ ⎜_∂ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ + _⎟ ⎠ 10. a) 21 58 r A h π ∂ ⎛ _{⎞ =} ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ b) 9 58 h A r π ∂ ⎛ _{⎞ =} ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ 11. 1 1 1 _T T P B V V V V P β ∂ ⎛ ⎞ = = − _{= − ⎜} _⎟ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ 2 T T m m V V V V V m V μ μ μ= ⇒ _⎜⎛∂ ⎞_⎟ =⎡_⎢ ∂ ⎛ ⎞_{⎜ ⎟}⎤_⎥ = − = − ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦ T T V V V μ _μ μ μ ⎛∂ ⎞ = − _{= − ⎜} _⎟ ∂ ∂ ⎛ ⎞ _⎝ _⎠ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ T T T T V P V P B V V μ μ T P μ μ μ μ ⎡ _⎛_∂ _⎞ ⎤ _⎛_∂ _⎞ _⎛_∂ _⎞ _⎛_∂ _⎞ _⎛_∂ _⎞ = − −_⎢ _⎜ _⎟ _⎥⋅_⎜ _⎟ = _⎜ _⎟ _⎜ _⎟ = _⎜ _⎟ ∂ ⎝∂ ⎠ ∂ ⎝∂ ⎠ ∂ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⇒

(14)

12. ⇒ H é função crescente da temperatura e que H é linear. Portanto, a

isóbara é uma reta com coeficiente angular positivo e igual a . Somente com a informação dada não é possível saber se a reta passa pela origem ou não.

é uma constante positiva P H T ∂ ⎛ ⎞ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ 5 2R 19. 0,3% 22. Escreva a diferencial total para U e divida a equação obtida por dV, com P constante. 23. (a) T S n V T ∂ ₌ R ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ (b) Como n, R e V são grandezas positivas, segue que ⇒ as isotermas são curvas monótonas crescentes. Calculando a derivada segunda de S em relação a V, concluímos que e, portanto, a curva será côncava para baixo. 0 T S V ∂ ⎛ _{⎞ >} ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 0 T S V ⎛∂ ⎞ < ⎜ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ 26. ∴ Como segue que

CAPÍTULO 5

EXERCÍCIOS 5.1 1. 43,2 2. 3. 4. 1 T U V U V T V T U ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛_⋅ ⎞ ⎛_⋅ ⎞ ₌ ⎜_∂ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − 1 1 1 T U U V U V U T V T V T V V T U T U ∂ − ∂ ⎛ ⎞ ₌ _{= −} _⋅ _{= −}⎛ ⎞ ⎛_⋅ ⎞ ⎜_∂ ⎟ _⎛_∂ _{⎞ ⎛}_∂ _⎞ _⎛_∂ _⎞ _⎛_∂ _⎞ ⎜_∂ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ _⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜_∂ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ V U T ∂ ∂ U V T U U V T V ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛_⋅ ⎞ _{= −}⎛ ⎞ ⎜_∂ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠T J V U V T U C V T μ ⋅ =⎛_⎜∂ ⎞ ⎛_{⎟ ⎜}⋅ ∂ ⎞_⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ J V μ ⋅ = T U C V ∂ ⎛ ⎞ −⎜_⎝_∂ ⎟_⎠

(

)

2 ab a+b 1 2 1 2

(15)

5. 2 3 a EXERCÍCIOS 5.2 1. 0,1 2. 448 3. a) 1 1

( )

b) 0 yf x y dxdy,

∫ ∫

2

( )

1 1 1 x f x y dydx, −

∫ ∫

4. a) Para uma função contínua, a afirmação é falsa. b) Verdadeira, pois 5 6 6 5 3 2xdydx=32= 2 3xdxdy

∫ ∫

5. a) ‐0,072 b) ‐0,359 c) -8 d) ≈ 0,382 7 6. a) 15,37 b) 1,27 c) 0,535 d) 0,57 e) 159,15 f) 2,25 g) 1,08 h) 0,125 i) 0,8 j) 2,66 k) 1,097 7. a) _e2 ₂ π − b) 4 3 c) 4 3 d) 18 EXERCÍCIOS 5.3 EXERCÍCIOS 5.4 EXERCÍCIOS 5.5 3. a) VM = 16 b) VM = 9 c) VM = 0 d) VM = 2 2 ₃ e 4 − EXERCÍCIOS 5.7 4. a) R={ ,

( )

r θ : 0≤ ≤ +r 1 cos , 0θ ≤ ≤θ 2 }π b) { ,

( )

: 0 2cos , - } 2 2 R= r θ ≤ ≤r θ π ≤θ≤π 5. A=

π

(16)

EXERCÍCIOS EXTRAS 2. (a) 2 2 2

(

4

)

(b) (c) 0 0 1 1 4 y y e dxdy= e −

∫ ∫

01 y ₂ 1 e e e ydxdy= +

∫ ∫

2 4

( )

2 0 0 cos 0,38 y y xy dxdy=

∫ ∫

(a) (b) 4. (a) 21,3 (b) 39,06 d) 1 cos64 3 − e) 0,54 f) 0,035 g) 1 5. (a) 64 (b) 5 π 5 2 π 6. (a)

(

)

(b) 3,46 3 ₁₀ 3 e − 7. (a) (b) 1,35 (c) 0,54 8 3

(17)

8. a) ( ) 0 2y , 2 4 f x y dxdy

∫ ∫

b) 1 3y ( ) 0 y f x y dxdy,

∫ ∫

c) ( ) ( ) 0 1 , e lny , 2 2 2 e 2 f x y dxdy+ f x y dxdy

∫ ∫

9. 9 4 10. V =4π 11. 15. 16 32 3

V = π − 16. e ‐1 17. Área= 27,87 18.

(

1 cos8

3 −

)

1 19. 24 20. ‐25,5 21. 2 2 3 3 R e− − 23. kA 24. Falsa.

( )

2 . y dxdy 1 1 ₂ ₂ 0 0 8 y 1 V =

∫ ∫

− −x − 25. 8 3

CAPÍTULO 6

EXERCÍCIOS 6.5 1. a) vG 1 = 2,3 e aG

( )

1 = 2,6 2. a) 0,87 6,93 e 0,5 8 6 6 vG⎛ ⎞_{⎜ ⎟}= i − j aG⎛ ⎞_{⎜ ⎟}= − i − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ j π G G π G G 4. a) G

( )

2 1G 1G e G

( )

2 1G 2Gj 2 3 2 9 v = − i − j a = i + b) vG

( )

0 =2iG− Gj e aG

( )

0 =4iG+ Gj vG

( )

2 = 6 0, vG

( )

0 =2,24 5. a)

( )

(

) (

3 2 4 2 3 3 2 1 3 t r tG =_⎜⎜⎛ + ⎞⎟_⎟iG+ t + −t Gj+ t +

)

kG ⎝ ⎠ b)

( )

(

) (

)

2 3 4 7 2 1 2 t r tG = + +t t iG+ t−t Gj+_⎜⎜⎛ + −3t k⎞⎟_⎟G ⎝ ⎠ 6. b) r tG'

( )

=2iG+2tjG 7. 2 4 4 8 12 x t y t z t = + = + = +

(18)

EXERCÍCIOS 6.7 5. b) −12,92 EXERCÍCIOS 6.9 a) e−1 b) 1 c) 3 −24π EXERCÍCIOS 7.0 1) 1 12 − EXERCÍCIOS EXTRAS 49. 2ka2