Modelagem Matemática: Algumas Possibilidades para o Ensino de Cálculo I Rodolfo Eduardo Vertuan1, Drª Lourdes Maria Werle de Almeida2
1. INTRODUÇÃO
Pesquisas diversas têm sido desenvolvidas no âmbito da Educação Matemática procurando diagnosticar e investigar como diferentes práticas metodológicas influenciam os processos de ensino e aprendizagem. Neste trabalho apresentamos algumas considerações sobre a Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem na disciplina de Cálculo I em cursos de Licenciatura em Matemática.
O mini-curso propõe-se a apresentar e discutir atividades de Modelagem Matemática que contemplam alguns conteúdos abordados na disciplina de Cálculo I. Os temas são “Impostos pagos ao governo” e “Probabilidade de um homem e de uma mulher se casarem de acordo com a idade”. Alguns dos conteúdos matemáticos abordados são: função quadrática, função polinomial do 3º grau, função exponencial, continuidade de uma função, limites e derivadas laterais, derivabilidade e ponto de máximo de uma função.
2. AMODELAGEM MATEMÁTICA NO ÂMBITO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
No âmbito da Educação Matemática a Modelagem Matemática surge como uma estratégia de ensino e aprendizagem que pode contribuir para a construção do conhecimento dos alunos, uma vez que “[...] consiste, essencialmente, na arte de transformar problemas da realidade em
problemas matemáticos” (Bassanezi 2002, p.24).
Ao discutir situações da realidade e verificar a aplicabilidade da matemática em diferentes contextos, os alunos podem entender melhor a realidade que os cerca, procurando meios para agir sobre ela e transformá-la.
Para Almeida e Dias (2004) a Modelagem pode
“Proporcionar aos alunos oportunidades de identificar e estudar situações-problema de sua realidade, despertando maior interesse e desenvolvendo um conhecimento mais crítico e reflexivo em relação aos conteúdos matemáticos” (Almeida e Dias, 2004, p. 25).
Barbosa (2003), ao abordar este conhecimento mais crítico e reflexivo, defende a idéia de que “devemos reconhecer a necessidade de as pessoas se sentirem capazes de intervir em debates baseados em matemática” (Barbosa, 2003, p.6).
Neste contexto, a Modelagem Matemática pode contribuir para o que Bassanezi (2002) chama de um “novo modelo de educação menos alienado e mais comprometido com as realidades dos
indivíduos e sociedades”.
Compreender e agir sobre a realidade viabiliza ao aluno a possibilidade de atribuir sentido e construir significados para os conceitos matemáticos com que se defronta nas aulas de matemática (Almeida e Brito, 2005) e, deste modo, contribui para sua aprendizagem.
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Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Londrina, mestrando em Educação Matemática, rodolfovertuan@yahoo.com.br
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Neste mini-curso, estamos interessados em ilustrar como a Modelagem Matemática possibilita a integração entre conteúdos curriculares da disciplina de Cálculo I e algumas situações reais que podem ser investigadas e analisadas pelos alunos.
3. AS SITUAÇÕES EM ESTUDO
Os temas que abordamos aqui dizem respeito à carga tributária (os impostos pagos ao governo por cada brasileiro) e à probabilidade tanto do homem como da mulher se casar diante da idade. Com a perspectiva de despertar reflexões, a partir da resolução de um problema matemático sobre estas problemáticas, é que seguem as discussões.
3.1 ATIVIDADE 1:DINÂMICA DE NUPCIALIDADE
A nupcialidade se transformou em uma das componentes demográficas de maior importância na atualidade, dado que ela esta associada diretamente com os padrões de formação e dissolução de famílias.
Possivelmente, a dinâmica dos estados da nupcialidade no Brasil (solteira(o), casada(o), separada(o) judicialmente, divorciada(o), viúva(o)), até os anos 60 do século passado, em geral, era regida por normas e valores de uma sociedade ainda tradicional, onde a transição do estado de solteiro para casado era produto de arranjos familiares, ao passo que as uniões consensuais e o trânsito para o estado de divórcio quase não existi am. Dados oficiais do IBGE, relativos à distribuição percentual da população brasileira de 15 anos e mais, por sexo, segundo estado conjugal, mostram que a proporção de pessoas casadas foi diminuindo de forma considerável nas últimas quatro décadas, ao passo que, a proporção de pessoas solteiras, divorciadas, viúvas e em união consensual foi aumentando.
Utilizando dados do Censo Demográfico do ano de 2000, a Figura 1 a seguir apresenta a probabilidade de uma pessoa se casar pela primeira vez de acordo com a idade, no Brasil, dado seu sexo.
Figura 1: Probabilidade do 1º casamento por sexo e grupo de idade
Utilizando os dados da figura 1 podemos obter alguns valores aproximados da probabilidade de uma pessoa se casar, dados seu sexo e idade conforme descreve a tabela 1.
A representação dos dados da tabela em um plano cartesiano é apresentada na figura 2 e na figura 3.
X Axis (units) Y Axis (units) 0.0 14.7 29.3 44.0 58.7 73.3 88.0 0.00 0.04 0.07 0.11 0.15 0.18 0.22 X Axis (units) Y Axis (units) 14.0 26.0 38.0 50.0 62.0 74.0 86.0 0.00 0.07 0.15 0.22 0.29 0.37 0.44
Tabela 1: Valores estimados da probabilidade do 1º casamento por sexo e grupo de idade
Figura 2: Probabilidade do 1º casamento Figura 3: Probabilidade do 1º casamento sexo Masculino sexo Feminino
Para encontra um modelo matemático que descreve esta situação, uma possibilidade é ajustar tanto para a probabilidade do 1º casamento para o sexo masculino quanto para o sexo feminino, uma função definida por partes: uma parte pela função quadrática e outra por exponencial. Descrevemos aqui a construção do modelo para o sexo masculino.
Consideramos a idade (em anos) da pessoa como a variável independente i, e a probabilidade do 1º casamento para o sexo masculino como a variável dependente M.
Consideramos também a hipótese de que no intervalo [20,40] a função que melhor se ajusta aos dados é a quadrática e no intervalo ]40,80] é uma função exponencial, obtemos:
∈ ∈ − + − = − ] 80 , 40 ] 10 . 5 , 0 ] 40 , 20 [ 36 , 1 . 10225 , 0 . 001675 , 0 ) ( 0,025. 2 i se i se i i i M i
Figura 4: Gráfico de M(i)
Uma vez encontrada esta função, outras questões podem ser investigadas:
1.A função é contínua no intervalo [20,40], ou seja, em todo o domínio?
2.Qual a idade em que a probabilidade do homem se casar pela primeira vez é maior? Como calcular isso?
3.A função é derivável em todo o domínio?
4.Continuidade implica derivabilidade? Derivabilidade implica continuidade?
Todas estas questões serão resolvidas durante o mini-curso, viabilizando estudar conceitos de continuidade, derivabilidade e relações entre estes conceitos, além da idéia de máximo e mínimo de uma função.
3.2 ATIVIDADE 2:OS IMPOSTOS PAGOS PELOS BRASILEIROS AO GOVERNO
Esta atividade inicia-se com a apresentação de alguns trechos da matéria da revista Época com o título “O Rolo Tributário”, do dia 21 de abril de 2003:
Quando alguém pergunta ao ex -ministro Alcides Tápias, o “guerrilheiro da reforma tributária” do governo FHC, por que é tão difícil mexer no caótico sistema brasileiro de impostos, ele recorre à imagem de um caminhão atolado e cercado por gente com a missão de empurrá-lo. “Todo mundo finge que está fazendo força, mas não ajuda. Faz apenas barulho para parecer que está empurrando.”
No Brasil poucos contribuintes pagam muito impostos, muitos dos que podem e deveriam contribuir acabam escapando do Leão, o que faz com
que os pobres sejam tão taxados como os ricos no supermercado. “É um sistema Frankenstein, com uma confusão de tributos incidindo sobre as mesmas coisas”, define Antoninho Marmo Trevisan, consultor de empresas, integrante do Conselho de Desenvolvimento Econômico e Social e um velho conselheiro de Lula nessa matéria. Foi o consenso de que é necessário transformar esse panorama de injustiça tributária que tornou o tema um mantra entoado por empresários, políticos e economistas nos últimos dez anos.
A figura a seguir, retirada da mesma reportagem, apresenta “quanto o governo tirou, em média, com impostos de cada brasileiro – em R$” em alguns anos (Figura 5):
Figura 5: Quanto o governo tirou, em média, com impostos de cada brasileiro.
A partir destas informações e de discussões acerca delas, a questão que se pretende estudar, diz respeito ao valor dos impostos pago pelo contribuinte em 2006, dado que o crescimento se mantém conforme informações da figura 5. Dessa forma, é adequado construir um modelo matemático que relacione o tempo (em anos) com o valor médio pago de impostos pelos contribuintes brasileiros ao governo.
Assim a partir dos dados do figura 5 e considerando o tempo (em anos) como a variável independente t e o valor médio pago (em reais) por brasileiro, referente aos impostos, como a variável dependente P e, considerando o ano de 1993 como sendo t = 0, 1994 como t = 1 e assim por diante, obtemos a seguinte tabela 2.
Ano t P(t)
1993 0 700
1994 1 870
1995 2 1175
1997 4 1467 1998 5 1615 1999 6 1815 2000 7 2127 2001 8 2361 2002 9 2723
Tabela 2: Valor médio pago por ano, em R$, por cada brasileiro, referente aos impostos.
Ao plotar os pontos da tabela em um plano cartesiano (figura 6) para visualizar a tendência dos dados (neste caso, utilizando o software Curve Expert), podemos verificar que uma curva que pode ajustar bem estes pontos é do tipo y = a.x3 + b.x2 + c.x + d, ou seja, uma função polinomial do 3º grau.
Figura 6: : Pontos plotados num plano cartesiano
O modelo encontrado é dado por:
P(t) = 3,19. t 3 – 34,85. t 2 + 280,12. t + 700
A tabela 3 apresenta uma comparação entre os dados observados pelo modelo e os dados observados.
t (anos) P (valor pago em R$) P (valor pago em R$) - modelado
0 700 700 1 870 948,46 2 1175 1146,36 X Axis (units) Y Axis (units) 0.0 1.6 3.3 4 . 9 6.6 8.3 9.9 497.70 902.30 1306.90 1711.50 2116.10 2520.70 2925.30
3 1320 1312,84 4 1467 1467,04 5 1615 1628,1 6 1815 1815,16 7 2127 2047,36 8 2361 2343,84 9 2723 2723,74 Tabela 6: Validação de P(t)
Por meio do modelo encontrado podemos responder o problema inicial e estimar o quanto cada brasileiro pagará, em média, de impostos ao governo no final deste ano. Como o ano de 2006 é representado por t = 13, fazemos:
P(t) = 3,19. t 3 – 34,85. t 2 + 280,12. t + 700 P(t) = 3,19. 13 3 – 34,85. 13 2 + 280,12. 13 + 700 P(t) = 5460,08 reais.
Tal estudo pode promover reflexões acerca de uma das funções da matemática no contexto social atual: a de interpretar situações da realidade – como o valor pago de impostos por cada brasileiro ao governo. Com isso, os alunos têm a oportunidade de discutir temas sociais enquanto aprende matemática.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A perspectiva com que apresentamos a Modelagem Matemática neste mini-curso diz respeito à possibilidade de promover situações de ensino e de aprendizagem, nas quais o trabalho dos alunos na apropriação do conhecimento e a orientação do professor para o acesso ao saber sejam pontos essenciais.
O que se pode observar é que, ao envolver os estudantes com o estudo de situações que lhes dizem respeito mesmo fora do âmbito da sala de aula, é possível ensinar e aprender conteúdos essências de uma disciplina como, por exemplo, o Cálculo I.
REFERÊNCIAS:
ALMEIDA, L. M. W; e BRITO, D. O conceito de função em situações de Modelagem Matemática. Revista: Zetetikê ,v.12, n.23 jan/jun , 42-61, 2005
ALMEIDA, L. M. W; DIAS, M. R. Um estudo sobre a modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem. BOLEMA, ano 12, nº22, pp 19-36, 2004.
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática e a Perspectiva Sócio-crítica. In: II Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, 2003. Anais eletrônicos do II SIPEM. Santos, 2003 a. p. 1-13. 1 CD.
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
SKOVSMOSE, O. Educação Matemática Crítica: a questão da Democracia. Tradução Abgail Lins e Jussara L. Araújo, Campinas: Papirus, 2004.
THOMAS, George B. Cálculo. Tradução Paulo Boschcov, São Paulo: Addison Wesley, 2002, 10ª edição.
