UFCG – Universidade Federal de Campina Grande CEEI – Centro de Engenharia El´etrica e Inform´atica DEE – Departamento de Engenharia El´etrica
Disciplina: Princ´ıpios de Comunica¸c˜oes Professor: Wamberto Jos´e Lira de Queiroz
Segunda Lista de Exerc´ıcios 2018.2
1. Para cada um dos seguintes sinais em banda base: (i) m(t) = cos(1000t); (ii) m(t) = 2 cos(1000t)+ cos(2000t); (iii) m(t) = cos(1000t) cos(3000t):
(a) Esquematize o espectro de m(t)
(b) Esquematize o espectro do sinal modulado em DSB-SC m(t) cos(10000t) (c) Identifique os componentes USB e LSB do espectro
2. Repita o problema anterior para os sinais: (i) m(t) = Sa(100t) e (ii) m(t) = e−|t|.
3. Um sinal DSB-SC ´e dado por m(t) cos(2π106t). A frequˆencia da portadora desse sinal, 1MHz,
deve ser alterada para 400 kHz. Os ´unicos equipamentos dispon´ıveis s˜ao um modulador em anel (com uma ponte de diodos), um filtro para faixa centrado na frequˆencia 400 kHz e um gerador de ondas senoidal cuja frequˆencia pode ser variada de 150 kHz a 210 kHz. Mostre como vocˆe pode obter o sinal cm(t) cos(2π400103t) a partir de m(t) cos(2π106t). Determine o valor de c.
4. A Figura 1 exibe o diagrama de circuitos de um modulador de lei quadr´atica. O sinal aplicado ao dispositivo n˜ao-linear ´e relativamente fraco, de forma que ele pode ser representado por uma lei quadr´atica:
v2(t) = a1v1(t) + a2v21(t),
em que a1 e a2 s˜ao constantes, v1(t) ´e a tens˜ao de entrada e v2(t) a tens˜ao de sa´ıda. A tens˜ao
de entrada ´e definida por
v1(t) = Accos(ωct) + m(t),
em que m(t) ´e um sinal mensagem e Accos(ωct) a onda portadora.
(a) Avalie a tens˜ao de sa´ıda v2(t)
(b) Especifique a resposta em frequˆencia a que o circuito sintonizado da Figura 1 deve satisfazer para gerar um sinal AM com ωc como frequˆencia de portadora
(c) Qual o ´ındice de modula¸c˜ao desse sinal AM ?
5. Considere que vocˆe recebe um dispositivo n˜ao linear cuja rela¸c˜ao entre entrada e sa´ıda ´e descrita por
i0(t) = a1vi(t) + a2v2i(t),
em que a1 e a2 s˜ao constantes, vi(t) ´e a tens˜ao de entrada e i0(t) ´e a corrente de sa´ıda. Admita
que
vi(t) = Accos(ωct) + Amcos(ωmt),
em que o primeiro termo representa uma portadora senoidal e o segundo termo representa um sinal modulador senoidal.
(a) Calcule o espectro do sinal i0(t)
(b) A corrente de sa´ıda i0(t) cont´em um sinal AM produzido pelos dois componentes de vi(t).
Descreva a especifica¸c˜ao de um filtro para extrair esse sinal AM de i0(t).
6. Considere que o dispositivo n˜ao linear da quest˜ao anterior seja utilizado na gera¸c˜ao de um sinal modulado em amplitude
sAM(t) = Ac[1 + µm(t)] cos(ωct)
Aplique o sinal
vi(t) = A cos(ωct) + m(t)
`
a entrada desse dispositivo n˜ao linear, considere o uso de filtros apropriados e forne¸ca a express˜ao do sinal modulado na sa´ıda do filtro. Forne¸ca ent˜ao os parˆametros Ac e µ em termos dos
parˆametros a1 e a2 do dispositivo n˜ao linear.
7. Um sinal modulado DSB-SC ´e demodulado por meio de um detector coerente. Avalie o efeito de um erro de frequˆencia ∆ω na frequˆencia de portadora local do detector, medido com respeito `
a frequˆencia de portadora do sinal DSB-SC recebido. 8. Considerando o sinal mensagem
m(t) = 1 1 + t2
determine e esboce os espectros do sinal modulado para os seguintes m´etodos de modula¸c˜ao (a) Modula¸c˜ao em amplitude com ´ındice de modula¸c˜ao 0.5
(b) Modula¸c˜ao AM-DSB-SC (faixa lateral dupla e portadora suprimida) (c) Modula¸c˜ao AM-SSB-USB
(d) Modula¸c˜ao AM-SSB-LSB
Dica: Use a propriedade da simetria da transformada de Fourier para encontrar a transformada de m(t) e o fato que
e−α|t| F−→ 2α α2+ ω2.
9. Calcule a transformada de Hilbert do sinal
s(t) = 2α α2+ t2
em forne¸ca a express˜ao no tempo do sinal AM-SSB.
10. Em um processo de modula¸c˜ao em amplitude AM ´e poss´ıvel obter o sinal modulado sAM(t) por
meio de uma opera¸c˜ao de chaveamento da portadora somada ao sinal modulante, ou seja, pelo chaveamento do sinal
v(t) = Accos(ωct) + m(t).
Esse processo de chaveamento do sinal v(t) pode ser representado matematicamente pela multi-plica¸c˜ao do sinal v(t) por um trem de pulsos peri´odico de per´ıodo T0 com s´erie de Fourier
gT0(t) = 1 2 + 2 π ∞ X n=1 (−1)n−1 2n − 1 cos [2πfct(2n − 1)] .
(a) Encontre a componente de onda AM contida no sinal vo(t) na sa´ıda do chaveador
(b) Especifique as componentes indesej´aveis em vo(t) que precisam ser removidas por um filtro
passa faixa apropriado.
11. Vocˆe ´e solicitado a projetar um modulador AM-DSB-SC para gerar um sinal modulado km(t) cos(ωct)
com frequˆencia da portadora fc=300 kHz. O seguinte equipamento est´a dispon´ıvel no
almoxa-rifado: (i) Um oscilador senoidal de 100 kHz, (ii) um modulador em anel, (iii) um filtro passa faixa sintonizado em 300 kHz.
(a) Mostre como vocˆe pode gerar o sinal desejado
(b) Se a sa´ıda do modulador ´e km(t) cos(ωct), encontre k.
12. Vocˆe ´e solicitado a projetar um modulador DSB-SC para gerar um sinal modulado km(t) cos(ωct),
em que m(t) ´e um sinal limitado em faixa a B Hz. A Figura 2 mostra um modulador DSB-SC dispon´ıvel no almoxarifado. O gerador dispon´ıvel para gerar a portadora gera n˜ao cos(ωct), mas
cos3(ωct). Explique se ´e poss´ıvel gerar o sinal desejado usando somente esse equipamento. Vocˆe
pode usar qualquer tipo de filtro que vocˆe queira. (a) Qual o tipo de filtro necess´ario nesse projeto?
(b) Determine (calcule) o espectro nos pontos b e c e indique as faixas de frequˆencia ocupadas por esses espectros.
(c) Qual o valor m´ınimo apropriado para ωc?
(d) Esse esquema funcionaria se o gerador da portadora fornecesse cos2(ωct)? Explique.
(e) Esse esquema funcionaria se a sa´ıda do gerador fosse cosn(ω
ct) para qualquer inteiro n ≥ 2?
Figura 2: Diagrama da quest˜ao 12.
13. Em um sinal AM, o sinal modulante pode ser escrito como m(t) = cos(ωMt+ ϕ), enquanto o
sinal modulado, sAM(t), pode ser escrito como
sAM(t) = [1 + ∆AMm(t)] cos(ωct+ φ),
em que ϕ e φ s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes e uniformemente distribu´ıdas no intervalo [0, 2π].
(a) Esboce uma fun¸c˜ao amostra do processo sinal modulado para ∆AM = 0, 1 e 2.
(b) Calcule e esboce a Densidade Espectral de Potˆencia - DEP de sAM(t).
14. Mostre que ´e poss´ıvel modular em amplitude um sinal m(t) usando um circuito de amostragem com fun¸c˜ao de amostragem dada por
δT(t) = ∞
X
n=−∞
δ(t − nT ).
Dado que o sinal m(t) tenha frequˆencia m´axima ωM e que a frequˆencia da portadora ´e ωc = 10ωo
(ωo ´e a frequˆencia de amostragem), determine a frequˆencia ´otima da portadora e a taxa de
15. Para o sinal AM s(t) = cos(ωct+ φ) + 1 4sen[(ωc+ ωM)t + φ + θ] − 1 4sen[(ωc− ωM)t + φ − θ],
determine o ´ındice de modula¸c˜ao e forne¸ca a express˜ao da DEP. Considere que θ e φ s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes e uniformemente distribu´ıdas em [0, 2π].
16. Um sinal AM-SC s(t) = m(t) cos(ωct+ φ) ´e transmitido atrav´es de um canal de comunica¸c˜ao
produzindo em sua sa´ıda o sinal recebido r(t) = αs(t)− βs(t − σ). O espectro do sinal modulante ´e representado por SM(ω) = SMrect
ω 2ωM
. Determine a DEP do sinal recebido em fun¸c˜ao da DEP do sinal modulante. Calcule as frequˆencias para as quais o sinal recebido alcance um pico, encontre uma rela¸c˜ao entre ωc e σ assumindo que a largura de faixa do sinal modulante ´e mais
estreita que a largura de faixa do canal. Projete um demodulador para o sinal transmitido empregando um filtro equalizador.
17. O sinal modulante de ´unico tom, m(t) = Amcos(ωmt), ´e utilizado para gerar o sinal VSB
s(t) = 1
2aAmAccos((ωc+ ωm)t) + 1
2AmAc(1 − a) cos((ωc− ωm)t),
em que a ´e uma constante, inferior `a unidade, que representa a atenua¸c˜ao da frequˆencia lateral superior.
(a) Encontre o componente em quadratura do sinal VSB s(t)
(b) O sinal VSB mais a portadora Accos(ωct) ´e passado por um detector de envolt´oria.
Deter-mine a distor¸c˜ao causada pelo componente em quadratura.
(c) Qual o valor da constante a para que essa distor¸c˜ao atinja sua pior condi¸c˜ao poss´ıvel? 18. Para o sinal QAM a seguir determine sua autocorrela¸c˜ao considerando Rb(τ ) = cos(ωMτ) e
Rd(τ ) = cos(ωNτ). Qual a potˆencia da portadora modulada?
sQAM(t) = b(t) cos(ωct+ φ) + d(t)sen(ωct+ φ).
Considere que a fase φ ´e uniformemente distribu´ıda no intervalo [0, 2π] e independente dos processos aleat´orios b(t) e d(t).
19. Um sinal modulado em ˆangulo com frequˆencia da portadora ωc = 2π × 106 ´e descrito pela
express˜ao
ϕEM(t) = 10 cos(ωct+ 10sen(2π1000t)sen(2π2000t)).
(a) Encontre a potˆencia do sinal modulado (b) Encontre o desvio em frequˆencia ∆f
(c) Encontre o desvio de fase ∆φ
(d) Estime a largura de faixa de ϕEM(t)
20. Dado o sinal mensagem m(t) = sen(2000πt), kf = 200000π e kp = 10
(a) Estime a largura de faixa dos sinais sF M(t) e sP M(t)
(b) Repita a parte 20a se a amplitude do sinal mensagem ´e duplicada (c) Repita a parte 20a se a frequˆencia do sinal mensagem ´e duplicada
21. Uma onda portadora ´e modulada em frequˆencia usando um sinal senoidal de frequˆencia fm e
amplitude Am.
(a) Por meio de uma tabela, determine os valores do ´ındice de modula¸c˜ao β para os quais a componente portadora do sinal modulado em FM se reduz a zero.
(b) Em uma experiˆencia realizada com fm = 1000Hz e Am crescente (iniciando em 0 volts),
descobre-se que a componente portadora do sinal FM se reduz a zero pela primeira vez quando Am = 2 volts. Qual a sensibilidade `a frequˆencia kf do modulador? Qual o valor de
Am para o qual as componentes de portadora se reduzem a zero pela segunda vez?
22. Um sinal FM com ´ındice de modula¸c˜ao β = 2 ´e transmitido atrav´es de um filtro passa-faixa ideal centrado em em fc e largura de faixa 7fm, em que fc representa a frequˆencia da portadora e fm
a frequˆencia do sinal modulante. Calcule e esboce o espectro de amplitude na sa´ıda do filtro. 23. Considere um sinal FM faixa estreita definido aproximadamente por
s(t) ≈ Accos(ωct) − βAcsen(ωct)sen(ωmt).
(a) Determine a envolt´oria do sinal modulado. Qual a rela¸c˜ao dos valores m´aximo e m´ınimo dessa envolt´oria? Esboce essa rela¸c˜ao versus β supondo que β se restrinja ao intervalo 0 ≤ β ≤ 0.3.
(b) Determine a potˆencia m´edia do sinal FM de faixa estreita, expresso como uma porcentagem da potˆencia m´edia da onda portadora n˜ao modulada. Esboce esse resultado versus β, supondo β restrito ao intervalo 0 ≤ β ≤ 0.3.
(c) Expanda o ˆangulo θ(t) do sinal FM de faixa estreita s(t) na forma de uma s´erie de potˆencias, considerando 0 ≤ β ≤ 0.3 e mostre que
θ(t) ≈ ωct+ βsen(ωmt) −
β3 3 sen
3(ω mt).
24. Sobre um intervalo |t| ≤ 1, um sinal modulado em ˆangulo pode ser escrito como ϕEM(t) = 10 cos(2π13000t).
Sabe-se que a frequˆencia da portadora ωc = 2π10000.
(a) Se esse sinal fosse um sinal modulado em fase com kp = 1000π, qual seria m(t) no intervalo
|t| ≤ 1
(b) Se esse sinal fosse um sinal modulado em frequˆencia com kf = 1000π, qual seria m(t) no
intervalo |t| ≤ 1 25. A onda modulante senoidal
m(t) = Amcos(2πfmt)
´e aplicada ao modulador de fase com sensibilidade `a fase kp. A onda portadora n˜ao-modulada
tem frequˆencia fc e amplitude Ac.
(a) Determine o espectro do sinal modulado em fase resultante, supondo que o desvio m´aximo de fase βp = kpAm n˜ao ultrapasse 0.5 radianos. Dica: Analise a obten¸c˜ao do espectro do
sinal modulado em frequˆencia por meio expans˜ao em s´erie de Fourier do sinal sP M(t) e use
o fato que o ´ındice n da n-´esima raia do espectro deve obedecer a rela¸c˜ao n ≤ β + 1. Para este problema considere a expans˜ao de Jacobi-Anger
ejzcos(θ) =
∞
X
n=−∞
jnJn(z)ejnθ.
26. Suponha que o sinal modulado da quest˜ao 25 tenha um valor arbitr´ario para o desvio m´aximo de fase βp. Esse sinal modulado ´e aplicado a um filtro passa-faixa ideal com frequˆencia central
fc e faixa de passagem de fc− 1.5fm a fc+ 1.5fm. Determine a envolt´oria, a fase e a frequˆencia
27. Uma onda portadora de frequˆencia igual a 100 MHz ´e modulada em frequˆencia por uma onda senoidal de amplitude igual a 20 volts e frequˆencia 100 kHz. A sensibilidade `a frequˆencia do modulador ´e 25 kHz por volt.
(a) Determine a largura de faixa aproximada do sinal FM por meio da regra de Carson (b) Determine a largura de faixa considerando somente as frequˆencias laterais cujas amplitudes
ultrapassem 1% da amplitude da portadora n˜ao-modulada.
(c) Refa¸ca seu c´alculo supondo que a amplitude do sinal modulador seja duplicada. (d) Refa¸ca seu c´alculo supondo que a frequˆencia de modula¸c˜ao seja duplicada.
28. Analise matematicamente o efeito de captura do sinal FM, que ocorre quando dois sinais FM de amplitudes diferentes e mesma frequˆencia de portadora chegam `a antena receptora e o sinal FM de maior amplitude ´e o que prevalece. Considere que o sinal recebido seja escrito como
s(t) = A1cos(ωc1t+ a1(t)) + A2cos(ωc2t+ a2(t)),
em que a1(t) = kf1
Rt
−∞m1(τ )dτ e a2(t) = kf2
Rt
−∞m2(τ )dτ . Em seguida escreva s(t) em termos
de sua envolt´oria e phase e analise o que ocorre quando, por exemplo, A1 ´e considerado muito
