Sumário. Matemática. Frente 1. Frente 2. Capítulo 3: Noção intuitiva de funções 4. Capítulo 3: Circunferências 18

Matemática

Frente 1

Capítulo 3: Noção intuitiva de funções

4

Frente 2

Capítulo 3: Circunferências 18

Capítulo 4: Ângulos na circunferência

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MATEMÁTICA

frente 1

Noção intuitiva de funções

Capítulo 3

1. Noção intuitiva de funções – Relacionando grandezas por meio de expressões matemáticas

Em nosso dia a dia nos deparamos constantemente com situações que repre-sentam relações entre duas grandezas, ou seja, dois conjuntos de elementos quais-quer, seja por meio de tabelas, gráfi cos, expressões matemáticas, diagramas de fl e-chas etc. Algumas dessas relações tratam de situações muito importantes para a Álgebra. Elas serão chamadas de função.

Os exemplos a seguir têm por objetivo dar uma ideia intuitiva acerca desse con-ceito, de modo que possamos compreendê-la enquanto uma relação entre duas grandezas dada por uma expressão matemática.

Exemplo 1 – O salário de um vendedor é composto por um valor fi xo mais uma

comissão, em que a parte fi xa é de R$ 1500,00, e a comissão é de 3% sobre o valor vendido. Sendo assim, conseguimos determinar qual é a expressão matemática que representa esta situação:

y = 1.500 + 0,03 x

em que y representa o salário do vendedor e x é o valor total das vendas feitas por ele.

A seguir temos uma representação que visa a mostrar a relação de cada salário com o respectivo valor vendido:

Valor vendido (x) R$ 0,00 R$ 2.000,00 R$ 10.000,00 R$ 60.000,00 R$ 1.500,00 R$ 1.560,00 R$ 1.800,00 R$ 3.300,00 Salário (y)

Exemplo 02 – Em uma viagem de São Paulo (km 0) até Ribeirão Preto (km 300),

iniciada às 8:00 h de um certo dia, foram anotadas as posições (km) de cada ins-tante da viagem, de acordo com a tabela abaixo:

Hora do dia Espaço (km)

8:00 h 0

9:00 h 100

10:00 h 200

11:00 h 300

A partir da tabela, podemos determinar a função que descreve a posição (y), em quilômetros, em função do instante de tempo (x), em horas, que, nesse caso, é dada por:

y = 100 x – 800

Assim, pode-se saber, por exemplo, em que cidade se estará em determinado instante da viagem.

1.1. Considerações importantes – A importância dos termos “para cada” e “um único”

Depois dos exemplos trabalhados, devemos analisar alguns aspectos que serão fundamentais para o estudo de funções. Vamos observar esses aspectos através dos exemplos que foram mostra-dos anteriormente.

Análise do exemplo 1 – Neste exemplo temos uma

infi nidade de situações, ou seja, o vendedor pode fazer vendas de valores variados, o que faz com que esta situação apresente infi nitos valores para a variá-vel x e, consequentemente, infi nitos valores para a variável y. Por esse motivo, a representação por meio de um diagrama de fl echas, como fi zemos no exem-plo, não é satisfatória, pois não é possível listar todos os elementos. Sendo assim, uma boa maneira para representar a situação acima seria através de gráfi cos (que serão trabalhados posteriormente).

Análise do exemplo 02 – Em cada instante de

tempo, o carro está em uma determinada posição. Não existe a possibilidade de o carro ocupar duas posições distintas em um mesmo instante de tempo.

As duas considerações mostradas nos exemplos acima podem ser resumidas na defi nição de função:

“Sejam dois conjuntos, A e B, não vazios, dize-mos que uma relação de A em B é uma função se, e somente se, para cada elemento de A houver

corres-pondência com um único elemento de B.”

2. Observando a variação de uma função – Como se comporta uma função?

Analisando os gráfi cos de funções – Algumas

situações, cujo objetivo é a análise do comporta-mento ou da variação de uma grandeza com relação à outra, são representadas grafi camente. Vamos ana-lisar alguns exemplos de gráfi cos que representam funções entre duas grandezas:

Exemplo 1 – Em Química e Física, são estudados

os estados da matéria. O gráfi co a seguir representa a temperatura, em ºC, em função do tempo, em minu-tos, de aquecimento da água a – 20 ºC até a tempera-tura de 120 ºC: C B A Sólido – 20 o_C 120 o_C T(o_C) 5 10 15 20 23 t (min) 100 o_C D E F Sólido + Líquido Líquido + Gasoso

Patamar sólido + líquido – Quando a

tempe-ratura chega a 0 °C, temos água no estado sólido e no estado líquido, pois, nessa temperatura, o gelo começa a derreter. Temos um determinado intervalo de tempo em que é possível encontrar a água em ambos os estados, que nesse exemplo é de 5 minutos. Ao final deste intervalo, a tempera-tura volta a subir e temos então apenas água no estado líquido.

Patamar líquido + gasoso – Quando a

tempera-tura chega a 100 °C, temos água no estado líquido e no estado gasoso, pois, nessa temperatura, a água começa a evaporar. Temos um determinado intervalo de tempo em que é possível encontrar a água em ambos os estados, que nesse exemplo é de 5 minutos. Ao final deste intervalo, a tempera-tura volta a subir e temos então apenas água no estado gasoso.

Agora, veja a seguir o que cada ponto vermelho (ordenados de A a F) representa no gráfi co:

Ponto A – Marca o início da medição de

tem-peratura, por isso dizemos que o tempo nesse ponto é igual a 0 minuto. A temperatura nesse ponto é igual a –20 ºC. Se considerarmos este par de valores, onde a temperatura depende do tempo que a substância está sendo aquecida, podemos representá-lo por um par de números organizados ordenadamente A (0; –20).

Ponto B – Neste ponto temos apenas água

no estado sólido e ele representa um momento entre 0 e 5 minutos com uma temperatura entre –20 ºC e 0 ºC.

Ponto C – Neste ponto temos água no estado

líquido e ele representa um momento entre 10 e 15 minutos com uma temperatura entre 0 ºC e 100 ºC.

Ponto D – Neste ponto temos o início do

estágio em que encontramos água nos estados líquido e gasoso. Ele é representado pelo tempo de 15 minutos e pela temperatura de 100 ºC, assim temos o ponto D (15; 100).

Ponto E – Neste ponto temos água no estado

gasoso e ele representa um momento entre 20 e 23 minutos com uma temperatura entre 100 ºC e 120 ºC.

Ponto F – Neste ponto temos água no estado

gasoso e ele representa o momento de 23 minu-tos em que a temperatura da água é de 120 ºC; assim, temos o ponto F (23; 120).

Exemplo 2 – Para desencorajar o consumo

exces-sivo de água, o Departamento de Água de certo muni-cípio aumentou o preço do consumo. O valor mensal pago em reais por uma residência, em relação à quan-tidade de metros cúbicos consumidos, é apresentado no gráfi co a seguir: A (0; 4,70) B (10; 4,70) C (20; 11,70) D (25; 16,70) E (30; 34,70) 10 20 34,70 16,70 11,70 4,70 R$ 30 m3 25

Esse gráfico mostra vários segmentos de reta que representam a variação do valor cobrado na conta de água. O primeiro segmento é horizontal, pois todas as casas que consomem entre 0 m³ e 10 m³ de água por mês pagam a quantia de R$ 4,70, sem variação. Já o segundo segmento é crescente e representa os consumos que ficam entre 10 m³ e 25 m³, em que o valor cobrado varia de acordo com o consumo de água, de modo que, para cada volume consumido, existe um único valor cobrado, e este varia de R$ 4,70 a R$ 11,70. Por fim, temos um seg-mento com inclinação maior que o anterior, o que evidencia que o valor cobrado por metro cúbico de água é maior que o cobrado na faixa anterior e com-preende os consumos que estão entre 25 m³ e 30 m³ – para essas quantidades, a pessoa paga um valor que fica entre R$ 16,70 e R$ 34,70.

3. Reconhecimento de função 3.1. Conceitos importantes

Sejam dois conjuntos, não vazios, A e B. Uma rela-ção entre A e B é dada por um conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y) tais que x ∈ A e y ∈ B. Em geral, esta relação é dada por meio de uma sen-tença matemática que determina os valores de y a partir dos valores de x. Observe as relações abaixo, apresentadas por meio de representações distintas:

Expressão algébrica – Sejam os conjuntos

A ={0; 1; 2; 3; 4} e B ={–7; –5; –3; –2; -1; 0; 1; 2} e as relações: R₁: y = – 2x + 1

R₂: y = – x + 2

As relações são dadas pelos seguintes elementos:

R₁ x = 0 y = – 2 . 0 + 1 = 1 x = 1 y = – 2 . 1 + 1 = – 1 x = 2 y = – 2 . 2 + 1 = – 3 x = 3 y = – 2 . 3 + 1 = – 5 x = 4 y = – 2 . 4 + 1 = – 7 R₂ x = 0 y = – 1 . 0 + 2 = 2 x = 1 y = – 1 . 1 + 2 = 1 x = 2 y = – 1 . 2 + 2 = 0 x = 3 y = – 1 . 3 + 2 = – 1 x = 4 y = – 1 . 4 + 2 = – 2

As relações também podem ser representadas pelos seguintes conjuntos:

R₁ = {(0; 1); (1; –1); (2; –3); (3; –5); (4; –7)} R₂ = {(0; 2); (1; 1); (2; 0); (3; –1); (4; –2)}

Diagrama de fl echas – As relações podem ser

representadas por diagramas de Euler-Venn, cujos pares são relacionados por fl echas. Assim, para as relações R₁ e R₂, temos:

B

– 7

– 5

– 3

– 1

0

1

A

0

1

2

3

4

R

B

– 7

– 5

– 3

– 1

0

1

A

0

1

2

3

4

R

Representação gráfi ca – Podemos representar os pares ordenados (x, y) com

pontos em um plano. Assim, para os pares correspondentes às relações R₁ e R₂, temos: 0 0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 1 (0; 1) (1; – 1) (2; – 3) (3; 5) (4; – 7) 2 R₁ 1 2 3 4 0 0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 1 (0; 2) (1; 1) (2; 0) (3; – 1) (4; – 2) 2 R₂ 1 2 3 4

3.2. Discutindo algumas relações – Quando elas são funções?

Após termos discutido e representado uma relação de diversas formas, vamos discutir sobre a adequação de algumas relações ao conceito de função.

Exemplo 1

Expressão algébrica: Sejam os conjuntos

A={1; 2; 3; 4} e B={–3; –2; –1; 0; 1; 2; 3} e a relação: R = {(x; y) sendo x ∈ A e y ∈ B / y = – 2x + 5} As relações são dadas pelos seguintes elementos:

R

x = 1 y = – 2 . 1 + 5 = 3 ∈ B

x = 2 y = – 2 . 2 + 5 = 1 ∈ B

x = 3 y = – 2 . 3 + 5 = – 1 ∈ B x = 4 y = – 2 . 4 + 5 = – 3 ∈ B

A relação também é representada pelo seguinte conjunto: R = {(1; 3); (2; 1); (3; –1); (4; –3)}.

Diagrama de fl echas – Representando a relação R por meio de diagrama

de fl echas: B – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 A 1 2 3 4

Enquadrando no conceito de função – Como

todos os elementos de A possuem uma única cor-respondência em B, ou seja, como cada elemento de A possui um único elemento relacionado a ele em B, então R é uma função de A em B.

Exemplo 2

Expressão algébrica: Sejam os conjuntos

A ={1; 2; 3; 4} e B ={– 2; –1; 0; 1; 2; 3; 4} e a relação: R = {(x; y) sendo x ∈A e y ∈B/y = – 2x + 5}

R

x = 1 y = – 2 . 1 + 5 = 3 ∈ B

x = 2 y = – 2 . 2 + 5 = 1 ∈ B

x = 3 y = – 2 . 3 + 5 = – 1 ∈ B x = 4 y = – 2 . 4 + 5 = – 3 ∉ B

A relação é dada pelo seguinte conjunto: R = {(1; 3); (2; 1); (3; – 1)}

Diagrama de fl echas – Representando a relação

por meio de diagramas de fl echas:

B – 2 – 1 0 1 2 3 4 A 1 2 3 4

Enquadrando no conceito de função – Como o

ele-mento 4 não possui uma correspondência em B, então essa relação não é uma função.

Exemplo 3

Expressão algébrica: Sejam os conjuntos

A ={1; 4; 9} e B ={– 2; – 1; 0; 1; 2; 3; 4} e a relação: R = {(x; y) sendo x ∈ A e y ∈Β / x = y2_}.

As relações são dadas pelos seguintes elementos:

R

x = 1 y2 _{= 1 → y = ± 1 ∈ B}

x = 4 y2 _{= 4 → y = ± 2 ∈ B}

x = 9 y2 _{= 9 → y = 3 ∈ B ou y = – 3 ∉ B} A relação também é dada pelo seguinte conjunto:

R = {(1;1); (1; – 1); (4; 2); (4; – 2); (9; 3)}

Diagrama de fl echas: Representando a relação R

por meio de diagramas de fl echas:

B – 2 – 1 0 1 2 3 4 A 1 4 9

Enquadrando no conceito de função: A relação R

não é uma função, pois os elementos 1 e 4 não

suem correspondência única, pois cada um deles pos-sui duas correspondências com o conjunto B.

3.3. Representações gráfi cas de relações – Quando elas são funções?

Podemos ainda verifi car se uma relação é ou não uma função por meio de gráfi cos. Analise os exem-plos abaixo.

Exemplo 1

Representação gráfi ca: Considere o gráfi co a

seguir que representa uma relação R de A = (1; 2; 3) em B = (5; 6; 7; 8).

A

B

Análise da relação: A relação R acima não é uma

função, pois o elemento 2 ∈ A possui duas

Exemplo 2

Representação gráfica – Considere o gráfico da

relação de R₁ de A em B:

x

B

A

Análise da relação: O gráfico acima não

repre-senta uma função de A em B, pois existem vários

ele-mentos de A que possuem duas ou mais correspon-dências em B. Tomando como exemplo o elemento x₀ ∈ A, podemos notar que ele possui três correspon-dências em B.

Exemplo 3

Representação gráfica – Considere o gráfico da

relação de R₂ de A em B:

x

x

x

A

B

Análise da relação: O gráfico acima representa

uma função de A em B, pois todos os elementos

de A possuem uma correspondência única em B. Tomando como exemplo x₀, x₁ e x₂ ∈ A, podemos notar que cada um deles possui uma única corres-pondência em B.

Exemplo 4

Representação gráfica – Considere o gráfico da

relação de R₃ de A em B:

x

A

B

Análise da relação: O gráfico acima não

repre-senta uma função de A em B, pois nem todos os

elementos de A possuem uma correspondên-cia em B. Tomando como exemplo o elemento x₀∈ A, podemos notar que não há correspondên-cias deste em B.

4. Os elementos de uma função – Domínio, contradomínio, conjunto imagem e raízes

Para uma função de A em B, precisamos definir os seguintes elementos, fundamentais para o estudo das funções.

Domínio: O conjunto A é chamado de domínio da

função e será denotado por D (f), ou apenas D.

Contradomínio: O conjunto B é chamado de

con-tradomínio da função e será denotado por CD (f), ou apenas CD.

Imagem – Seja x um elemento do domínio. O

ele-mento do contradomínio correspondente a x é cha-mado de imagem de x. O conjunto forcha-mado por todas as imagens é chamado de conjunto imagem, e sua notação é dada por Im (f), ou apenas Im.

Raízes: A raiz ou zero de uma função é o elemento

do domínio cuja imagem é zero, ou seja, é o valor de x tal que sua imagem é o número zero.

Veja um exemplo:

A função R é dada pelo conjunto abaixo: R = {(1; – 1); (2; 0); (3; 1); (4; 2)}

A representação dessa função no diagrama de Venn é mostrada abaixo:

B

– 1

0

1

2

3

A

1

2

3

4

R

Também podemos identifi car que:

• O conjunto A = {1; 2; 3; 4} é o domínio da função R;

• O conjunto B = {–1; 0; 1; 2; 3} é o contradomínio da função R; • O conjunto imagem da função é Im (R) = {– 1; 0; 1; 2};

• A imagem de 1 é –1, a imagem de 2 é 0, a imagem de 3 é 1 e a imagem de 4 é 2; • A raiz da função é x = 2, pois sua imagem é igual a 0.

Notação de função: A função que relaciona os conjuntos A e B pode ser

repre-sentada pela seguinte notação: A → B.

Se a função é dada por x – y = 2, podemos representá-la por y = x – 2, e com isso dizemos que y é uma grandeza que depende de x. Por esse motivo, introduziremos uma notação que evidencia tal característica de y, que está apresentada abaixo:

y = f(x)

Assim, passaremos a representar a equação y = x – 2, chamada de lei de forma-ção da funforma-ção por f(x)=x – 2. Sendo assim, diremos que para cada x existe um único y da seguinte forma:

Se x = 1 → y = 1 – 2 → y = – 1

Na notação de função, dizemos que:

f(1) = 1 – 2 → f(1) = – 1 f(2) = 2 – 2 → f(2) = 0 f(3) = 3 – 2 → f(3) = 1 f(4) = 4 – 2 → f(4) = 2

Assim, dizemos que f : (1; 2; 3; 4) → (– 1; 0; 1; 2) onde f (x) = x – 2.

5. Gráfi co de funções

Quando estudamos funções, trabalhamos com um elemento visual que nos ajuda a compreender seu comportamento. Esse é um dos propósitos de analisar o gráfi co de uma função. Para tanto, devemos compreender o que implica estrutu-rar esse gráfi co.

Definição – Seja f(x) uma função de variáveis reais. Chamamos de gráfico

da função f(x) o conjunto de todos os pontos (x; y) do plano cartesiano tal que y = f(x).

Exemplo – Função y = x2

Veja abaixo o gráfico dessa função:

(5; 10) (3; 9)

(0; 0) (– 2; 4)

(– 1; – 1)

Podemos notar que:

• Se x = 0 → y = f(0) = 02 _{→ y = 0.} Assim, (0, 0) ∈ f(x) • Se x = 3 → y = f(3) = 32 _{→ y = 9.} Assim, (3, 9) ∈ f(x) • Se x = – 2 → y = f(– 2)= f(– 2)2 _{→ y = 4.} Assim, (– 2, 4) ∈ f(x) • Se x = 5 → y = f(5)= 52 _{→ y = 25 ≠ 10.} Assim, (5, 10) ∉ f(x) • Se x = – 1 → y = f(– 1)= (– 1)2 _{→ y = 1 ≠ – 1.} Assim, (– 1, 1) ∉ f(x)

Exercício resolvido

Represente graficamente a função f : (– 1; 0; 1; 2; 3) → R tal que f(x) = 2x + 1.

Resolução

Como o enunciado fornece o domínio e o contra-domínio, iniciemos a resolução do exemplo encon-trando o conjunto imagem e os pontos que determi-nam o gráfico: Para x = – 1: f(– 1) = 2 ∙ (– 1) + 1 = – 1 ∴ temos o ponto (– 1, – 1) Para x = 0: f(0) = 2 ∙ (0) + 1 = 1 ∴ temos o ponto (0, 1) Para x = 1: f(1) = 2 ∙ (1) + 1 = 3 ∴ temos o ponto (1, 3) Para x = 2: f(2) = 2 . (2) + 1 = 5 ∴ temos o ponto (2, 5) Para x = 3: f(3) = 2 ∙ (3) + 1 = 7 ∴ temos o ponto (3, 7) Assim, vemos que o conjunto imagem é dado por Im (f) = (– 1; 1; 3; 5; 7). Com os pontos obtidos, podemos representar a função graficamente:

7 (3, 7) (2, 5) (1, 3) (0, 1) (– 1, – 1) 6 5 4 3 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 2 1 0

Note que, por conta do domínio, os pontos não podem ser interligados. Perceba também que a cons-trução do gráfico de uma função é feita a partir do cál-culo da imagem y = f(x) de todos os valores do domí-nio x, possibilitando assim a formação de pontos (x, y) que devem ser marcados no plano cartesiano.

6. Análise de gráfi cos de funções 6.1. Domínio e imagem da função

A análise de gráfi cos de uma função tem por objetivo identifi car várias de suas características e de seus ele-mentos, como, por exemplo, seu domínio e sua imagem. Quando o domínio não for apresentado, ele será dado pelos possíveis valores da variável, por isso dizemos que ele é constituído pelas abscissas de todos os pontos do gráfi co. Já o conjunto imagem da função é formado pelas ordenadas y dos pontos do gráfi co. A partir do grá-fi co abaixo, veja o seu domínio e a sua imagem:

y d c a 0 _{b x} imag em domínio Domínio da função: Dom (f) = [a; b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} Imagem da função: Im (f) = [c; d] = {y ∈ R / c ≤ y ≤ d} 6.2. Raízes da função

Lembremos que as raízes de uma função são os valores de x tais que f(x)=0 ou y = 0, ou seja, os pontos em que as imagens são nulas. Podemos ver as raízes como pontos (em vermelho) no gráfi co abaixo:

x y

0

Raízes ⇒ y = f(x) = 0

6.3. Sinal da Função

Positiva: A função é dita positiva para os valores de x tais que f(x) > 0, ou seja, quando suas imagens são

positivas.

No plano cartesiano, este intervalo é identifi cado pela parte do gráfi co que se encon-tra acima do eixo 0x:

x 0

y _{f(x) > 0}

Negativa: A função é dita negativa para os valores de x tais que f(x) < 0, ou seja, quando suas imagens são

negativas.

No plano cartesiano, esse intervalo é identifi cado pela parte do gráfi co que se

encon-tra abaixo do eixo 0x: ₀

f(x) < 0 y

7. Todos os valores de x pertencem ao domínio de uma função? Introdução ao estudo do domínio de uma função real

Se estudarmos uma função real em que seu domínio não é fornecido, devemos determiná-lo, lembrando da seguinte defi nição de domínio:

• Domínio

Em uma função real, o domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais f(x) é real, ou seja, todos os valores de x cujas imagens existam nos reais.

Lembremo-nos ainda de que não pertencem ao domínio valores de x que não possuem imagens.

Sendo assim, vamos trabalhar aqui com algumas estruturas matemáticas que não estão defi nidas para qualquer número real, analisando e defi nindo estratégias para encontrar os domínios de funções dadas por tais estruturas. São elas:

• Frações

As frações são os elementos do conjunto dos números racionais que são defi ni-dos da seguinte forma:

Q = {x é racional se x = a_b / a, b ∈ Z e b ≠ 0}

Desse modo, as frações estão defi nidas somente para os casos em que o valor do denominador é diferente de zero. Assim sendo, se f(x) = 1

x, então seu domínio

é dado por:

Dom (f)= {x ∈ R / x ≠ 0}

• Raízes Quadradas

As raízes quadradas são defi nidas a partir dos resultados de potências de expoente dois, ou seja,

Se a = x ⟹ x2 _{= a}

Como x² ≥ 0 ⟹ a ≥ 0, as raízes quadradas estão defi nidas somente para núme-ros reais não negativos. Logo, se f(x) = x, temos seu domínio dado por:

Dom (f) = {x ∈ R / x ≥ 0}

• Outras raízes com índices pares

Para as demais raízes de índices pares, temos restrições de mesma natureza que as apresentadas para as raízes quadradas. Assim sendo, se f(x) = 2nx_{, então:}

Dom (f) = {x ∈ R / x ≥ 0}

8. Exemplifi cando a determinação do domínio de algumas funções

Seguem alguns exemplos que mostram como encontrar o domínio de certos tipos de funções. Outras funções defi nidas por estruturas ainda não estudadas terão seus domínios determinados no momento oportuno.

• Exemplo 1

f(x) = 3x – 5

O domínio da função é dado por Dom(f) = R, pois para todo valor de x podemos encontrar uma imagem a partir da função f(x) = 3x – 5.

Restrições

Outras funções comumente traba-lhadas não apre-sentam restrições acerca de seus domí-nios. São elas:

Funções polino-miais, tais como:

f(x) = x2 _{– 5x + 4} g (x) = 2x – 6 h(x) = x3 _{– 4x}2 _{+ 3x – 1}

Funções defi ni-das por raízes de índices ímpares: f(x) x g(x) x 1 h(x) x 3 3 5 2 7 = = − = − Nesses casos, dizemos que o domí-nio da função é dado pelo conjunto dos números reais, ou seja, Dom (f) = R.

• Exemplo 2

f(x) = 3x 5 x 4

− −

O domínio da função é dado por Dom (f) = {x ∈ R / x ≠ 4}, pois para x = 4 o deno-minador é igual a zero, o que impossibilita o cálculo de f(4).

• Exemplo 3

g(x) = x 2+

O domínio da função é dado por Dom(g) = {x ∈ R / x ≥ – 2}, pois o valor de den-tro da raiz quadrada, ou seja, o valor do radicando, dado por x + 2, deve ser maior ou igual a zero. Assim, temos:

x + 2 ≥ 0 → x ≥ – 2 • Exemplo 4 h(x) = 3x 5 12 3x − −

O domínio da função é dado por Dom (h) = {x ∈ R / x < 4}, pois o valor de dentro da raiz quadrada, ou seja, o valor do radicando, dado por 12 – 3x, deve ser positivo, contudo não pode ser igual a zero, pois a raiz quadrada se encontra no denomina-dor. Assim, temos:

12 – 3x > 0 → – 3x > – 12 → x < 4

• Exemplo 5

r(x) = 32x 4₋

O domínio da função é dado por Dom(f) = R, pois podemos calcular a raiz cúbica de qualquer número real.

9. Aplicações de Funções

Quando estudamos funções, devemos ter um olhar que mostre as diferentes aplicações deste conceito matemático nas mais diversas situações, sejam elas do cotidiano, sejam aplicadas a outras áreas do conhecimento.

Aqui trabalharemos algumas situações que são representadas, modeladas, por funções matemáticas, ou seja, situações cujo comportamento e variação podem ser descritos por uma equação matemática.

9.1. Aplicações na Economia: o cálculo do custo de um produto

Em muitas situações nos deparamos com problemas em que o custo da produ-ção de certo produto é dado por custo fixo (C_f) e por um custo variável (C_v), ou seja, o custo por unidade do produto. Logo, se chamarmos de C(x) o custo da produção de x unidades de determinado produto, ele será representado pela função abaixo:

Função do custo: C (x) = C_f + C_v . x

Sendo assim, se uma fábrica possui um custo fixo de R$ 5,00 e um custo variá-vel de R$3,00 por unidade produzida, podemos representar o custo de produção de algumas quantidades de peças de acordo com a tabela abaixo:

Quantidade (x) Custo (C)

x = 0 C = 5 + 3 . 0 = R$ 5,00

x = 1 C = 5 + 3 . 1 = R$ 8,00

x = 5 C = 5 + 3 . 5 = R$ 20,00

9.1.1. Representação Gráfica

Analisando a situação descrita, podemos dizer que ela é representada pela seguinte função:

C (x) = 5 + 3x, em que x é a quantidade de unidades produzidas.

Abaixo seguem algumas quantidades produzidas associadas a cada um desses custos de produção: x 0 C 14 11 8 5 1 2 3 C(x) = 5 + 3x

O gráfico dessa função é dado apenas por pontos, pois as quantidades produzidas são representadas por números naturais, isto é, o domínio dessa função é dado por Dom(f) = N. Sendo assim, seu gráfico é dado por pontos “isolados”.

Além disso, o gráfico tem início sobre o eixo 0y, sendo o ponto sobre esse eixo dado pelo ponto (0; C_f).

9.2. Uma aplicação na Química: a fissão nuclear

A história da humanidade presenciou momentos de tensão e de muito sofrimento causados por guerras que ficaram marcadas pelo uso de bomba atômica, cujo princípio de funcionamento está baseado no processo de fissão (ou cisão) nuclear, que também pode ser encontrado em reatores nucleares, liberando uma grande quantidade de ener-gia. Veja abaixo algumas imagens relacionadas ao processo de fissão nuclear:

Usina de energia nuclear Nuvem em forma de cogumelo da

bomba atômica que atingiu Nagasaki, no Japão, em 9 de agosto de 1945, durante a Segunda Guerra Mundial.

© MERYLL | DREAMSTIME.COM © CHARLES LE VY | WIKIC OMMON S

Vamos entender o mecanismo da fi ssão nuclear utilizando como exemplo a fi ssão do urânio:

235

_U

• 1ª etapa: Um nêutron se choca contra o núcleo

de um átomo de urânio.

236

_U

• 2ª etapa: O átomo se torna instável.

92

_Kr

141

_Ba

• 3ª etapa: Ocorre assim a divisão deste átomo

em dois novos átomos, um de kriptônio e outro de bário, liberando muita energia e três nêutrons.

Assim, inicia-se uma reação em cadeia, em que cada um dos três nêutrons choca-se novamente com

outros três núcleos de urânio, que, ao se desintegra-rem, emitem outros três nêutrons.

Observe a imagem abaixo:

1

_choque

2

_choque

Observe a tabela abaixo para analisar os números dessa reação em cadeia:

Choques (x) Número de nêutrons

emitidos após cada choque (y) 1o _{choque 3}1 _{= 3} 2o _{choque 3}2 _{= 9} 3o _{choque 3}3 _{= 27} ... ... 15o _{choque 3}15 _{= 14348907} ... ... 20o _{choque 3}20 _{= 3486784401}

De acordo com a tabela, podemos determinar a função que representa o número de nêutrons emi-tidos após cada choque durante o processo de fi s-são nuclear: