Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Mirandela Instituto Politécnico de Bragança. Licenciatura em Marketing. Unidade Curricular: Matemática

Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Mirandela Instituto Politécnico de Bragança

Licenciatura em Marketing

Unidade Curricular:

Matemática

2

∈ ∉

Definir um conjunto

Diz-se que um conjunto A é dado ou definido num universo quando se conhece uma definição que

permita sempre, a respeito de qualquer elemento c, saber se c A ou se c A;

Exemplos (?):

Conjunto das cidades portuguesas;

Conjunto dos países que utilizam como língua oficial a Língua Portuguesa.

Grande parte dos conjuntos de que falamos no dia -a - dia, não estão definidos, mas imperfeitamente

delimitados (conjunto dos pobres, conjunto dos ricos).

Conjuntos finitos e conjuntos infinitos

Se um conjunto pode ser definido pela indicação dos seus elementos diz-se finito.

Exemplos (?)

Números naturais inferiores a cinco;

Alunos da ESTGM da Licenciatura em Marketing.

Diz-se que um conjunto A é infinito quando é impossível indicar todos os seus elementos.

Exemplos (?)

4

Conjuntos Numéricos

Números Naturais

N = { 1 , 2 , 3 , ... } Números Inteiros

N₀ = { 0 , 1 , 2, ... }

Números Inteiros Relativos Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

Conjuntos Numéricos

Números Racionais

Q = { a/b, a e b são inteiros e b diferente de 0}

- São aqueles que podem ser representados na forma a/b, onde a e b são inteiros e b diferente de 0.

Exemplos: 3/5, –1/2 , 1 , 2,5 , ...

- Números decimais exactos são racionais

6

Conjuntos Numéricos

Números Irracionais

- São números que não podem ser representados na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.

- São formados por dízimas infinitas não periódicas.

Exemplos: ; ;

π

Conjuntos Numéricos Números Reais

- O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é constituído por todos os números racionais e por

todos os números irracionais.

R = {x | x é racional ou x é irracional}

- Todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R.

8

Números Reais Intervalos

Sejam a e b IR, designam-se por intervalos de números reais os conjuntos:

Intervalos limitados

[a, b] - intervalo fechado de extremos a e b, constituído por x IR que satisfaz a condição: a x b;

]a, b[ - intervalo aberto de extremos a e b, constituído por x IR que satisfaz a condição: a < x < b;

[a, b[ - intervalo semi-aberto (ou semi-fechado) de extremos a e b, constituído por x IR que satisfaz a condição: a x < b;

]a, b] - intervalo semi-aberto (ou semi-fechado) de extremos a e b, constituído por x IR que satisfazem a condição: a < x b;

∈

∈

∈

≤

∈

≤ ≤

≤

∈

Números Reais

Intervalos ilimitados

[a, + [ - intervalo de origem a, fechado, ilimitado à direita, constituído por x IR que satisfazem a condição: x a;

]a, + [ - intervalo de origem a, aberto, ilimitado à direita, constituído por x IR que satisfazem a condição: x > a;

]- , b] - intervalo de extremidade b, fechado, ilimitado à esquerda, constituído por x IR que satisfazem a condição: x b;

∈

∈

∞

∞

∞

∈

≤

≥

∞

10

Operações com números reais Propriedades da Adição

A1: a+(b+c) = (a+b)+c, quaisquer que sejam a, b e c (propriedade associativa para a adição)

A2: 0 é o elemento neutro da adição. a+0=0+a = a, qualquer que seja a (existência de elemento neutro para a adição)

A3: Para todo o número a existe um número (-a) tal que a+(-a)=0 (existência de simétrico para a adição) A4: a+b = b+a, quaisquer que sejam a e b

(propriedade comutativa para a adição)

A5: A adição é uma operação fechada no conjunto dos números positivos. (Se a e b são positivos então a+b também é um número positivo).

Operações com números reais Propriedades da Multiplicação

M1: a.(b.c) = (a.b).c, quaisquer que sejam a, b e c (associativa);

M2: 1 é o elemento neutro da multiplicação a.1=1.a=a, qualquer que seja a;

M3: Para todo o número a existe um número tal que a. = .a = 1 (existência de inverso);

M4: a.b = b.a, quaisquer que sejam a e b

a 1

a 1

a

1

12

Operações com números reais

Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição a.(b+c) = a.b+a.c, quaisquer que sejam a e b

Exemplo de aplicação Calcular:

a) 10x987698077 +4x 987698077- 13x 987698077;

b) 333999x2– 8x333999 +6x333999;

c) 123456x3 + 123456x5 + 123456x8 – 123456x17;

d) 9999999999x99 – 9999999999x100.

Operações com Fracções

O que é uma fracção? É uma parte de um todo. No sentido matemático é uma forma de representar uma divisão;

Diz-se que duas fracções são equivalentes quando "se

passa" de uma para a outra multiplicando ou dividindo pela mesma quantidade o numerador e o denominador;

Verificar se duas fracções são equivalentes:

. 6 5

10 3

...

...

6

3 = porque × = ×

14

Operações com Fracções

ador Deno

Numerador Fracção

min 5

... 3

←

←

Operações com Fracções

Adição de fracções com o mesmo denominador

A adição de duas fracções com o mesmo denominador é uma fracção, ainda com o mesmo denominador e cujo numerador é igual à soma dos numeradores.

5 7 5

4 5

3 + =

16

Operações com Fracções

Adição de fracções com denominadores diferentes

A adição de duas fracções com denominadores diferentes é igual à adição de duas fracções equivalentes às dadas,

transformadas em fracções com o mesmo denominador.

Se a adição não se referir à mesma unidade, então temos de procurar fracções equivalentes às dadas, mas com o mesmo denominador.

10 23 10

8 15

10 8 10

15 5

4 2

3 + =

= +

=

+

Operações com Fracções Multiplicação de fracções

O produto de duas fracções é uma fracção, cujo numerador é igual ao produto dos numeradores e, o denominador é igual ao produto dos denominadores.

10 12 5

2

4 3

5 4 2

3 =

×

= ×

×

18

Operações com Fracções Divisão de fracções

O quociente de duas fracções é uma fracção, cujo

numerador é igual ao produto do dividendo pelo inverso do divisor.

8 15 4

2

5 3

4 5 2

3 5

4 2

3 =

×

= ×

×

=

÷

Potências Regras

m n

m

n a a

a × = ^{+ n m}

m n

a a

a ₋

=

n n

n b a b

a × = ( × ) ⁿ

n a

a = ( )

20

Polinómios Polinómios

Operações com polinómios;

Divisão euclidiana;

Regra de Ruffini;

Teorema do resto;

Resolução de equações polinomiais de 1º grau;

Resolução de equações polinomiais de 2º grau;

Factorização de polinómios;

Equações polinomiais;

Inequações polinomiais.

Polinómios Polinómios

Definição: Chama-se polinómio na variável x a toda a expressão do tipo a ₀ x ⁿ + a ₁ x ^{n -1} + ... + a _n-1 x + a _n

em que n IN₀ e a _1, a _{2 , ...,} a _n-1, a _{n IR}.

a ₀ x ⁿ, a ₁ x ^n-1, ..., a _n-1 x , a _n Termos do Polinómio a ₀, a _{1, ...,} a _n-1 Coeficientes

a _n Termo independente

∈ ∈

22

Polinómios

Grau de um polinómio é o maior dos expoentes da variável x com coeficiente não nulo.

Dois polinómios dizem-se idênticos se e só se são iguais todos os coeficientes dos termos do mesmo grau.

Chamam-se termos semelhantes os termos do mesmo grau.

Um polinómio diz-se completo quando existe o termo

independente e todos os coeficientes da variável x, desde o

termo independente até ao termo de maior grau, são diferentes de zero.

Ex.1) 0 x ⁴ + 3 x ² + x + 1 Tem grau 2 e é completo;

Ex.2) 3 x ⁴ + 2 x ² + 3 x +1 Tem grau 4, é incompleto porque tem nulo o coeficiente do termo em x ³;

Polinómios Polinómios

0 x ⁿ + 3 x ^n-1 + … +0x + 0 Polinómio nulo

O polinómio nulo tem grau indeterminado

Quando o polinómio é constituído por dois termos chama-se binómio;

Exemplo: 2x + 10

Quando o polinómio é constituído por três termos chama-se trinómio.

24

Operações com polinómios ADIÇÃO

Para adicionar dois polinómios aplicam-se as propriedades comutativa e associativa da adição e reduzem-se os termos semelhantes.

Ex. (3x² + 2x + 1) + (5x² + 3) =

= 3x² + 2x + 1 + 5x² + 3

= 3x² + 5x² + 2x + 1 + 3

= 8x² + 2x + 4

Operações com polinómios SUBTRACÇÃO

Para subtrair dois polinómios adiciona-se, ao aditivo, o simétrico do subtractivo.

Ex. (3x² + 10x + 1) - ( 5x² + 3x) =

= 3x² + 10x +1 - 5x² - 3x

= 3x²- 5x² + 10x -3x +1

= -2x² - 7x +1

26

Operações com polinómios MULTIPLICAÇÃO

Para calcular o produto de dois polinómios aplica-se a

propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição e, em seguida, adicionam-se os termos semelhantes.

Ex. (5x² + 3) . (3x² + x + 1) =

= 15x⁴ + 5x³ + 5x² + 9x² + 3x + 3

= 15x⁴ + 5x³ + 14x² + 3x + 3

Casos notáveis da multiplicação de polinómios

A multiplicação de dois polinómios pode processar-se sempre do mesmo modo.

No entanto, há produtos de polinómios que aparecem com muita frequência e em diversas situações em Matemática:

Quadrado da soma;

Quadrado da diferença;

Diferença de quadrados.

Estes casos são conhecidos como casos notáveis de multiplicação de polinómios.

28

Casos notáveis da multiplicação de polinómios Quadrado da soma

O quadrado da soma de dois monómios obtém-se

adicionando o quadrado do primeiro com o quadrado do

segundo e com o dobro do produto do primeiro pelo segundo monómio.

(a + b)² = a² + b² + 2ab Quadrado da diferença

O quadrado da diferença de dois monómios obtém-se adicionando o quadrado do primeiro com o quadrado do

segundo e subtraindo o dobro do produto do primeiro monómio pelo segundo.

(a - b)² = a² + b² - 2ab

Casos notáveis da multiplicação de polinómios

Diferença de quadrados

A diferença dos quadrados de dois monómios é igual ao produto da sua soma pela sua diferença.

a² - b² = (a + b) (a - b)

30

Divisão de polinómios DIVISÃO INTEIRA

No conjunto dos números naturais, IN, efectuar a divisão inteira de um número D (dividendo) por um número d (divisor) é encontrar um número natural q (quociente) e um número natural r (resto), tais que:

D = d . q + r

Ex. D = 20, d = 5, q = 4, r = 0 20 = 5 x 4,

20 é divisível por 5 ou 20 é múltiplo de 5 ou 5 é divisor de 20.

Divisão de polinómios DIVISÃO INTEIRA

Quando o resto de uma divisão inteira de polinómios é diferente do polinómio nulo, então, tal como na divisão em IN, D(x) = d(x) . q(x) + r(x), em que

D(x) polinómio dividendo d(x) polinómio divisor

q(x) polinómio quociente

r(x) polinómio de grau inferior ao grau do polinómio divisor

32

Divisão de polinómios DIVISÃO INTEIRA

EXEMPLO

(-6x³+3x²+2) : (2x²+1)

Divisão de polinómios Regra de Ruffini

Divisão de polinómios em que o divisor é um polinómio do tipo x - α .

A regra de Ruffini é um processo prático para determinação do quociente e do resto da divisão inteira de polinómios em que o divisor é do tipo x - α .

Actividade

Seja D(x) = x⁴ - x³ + 2x² - 3x - 30 e d(x) = x -2

Determinar o quociente e o resto da divisão de D(x) por d(x).

34

Equações polinomiais Equações polinomiais

Equações polinomiais são equações da forma:

a_n x ⁿ + a_n-1 x ^{n -1} + ... + a₁ x + a₀ = 0 , com a_n 0,

Sendo, x a incógnita, n o grau da equação e a_n, a_n-1 ,…, a₁ os coeficientes.

Resolver a equação consiste em encontrar os elementos que tornam a equação uma proposição verdadeira. Este elementos são chamados soluções (ou raízes) da equação polinomial.

Exemplos:

a) 2x + 10 = 0;

b) x² + 3x + 2 = 0;

c) 4 x ⁴ + 2 x ² + 3 x = 0.

≠

Equações polinomiais Equações polinomiais de 1º grau

1) Resolva cada uma das equações em IR:

a) 3x+7x = 22- 4x;

b) 2(x+5)-3(x+4) = 23;

c) 3x+4x = 8x-x+2;

d) x+x+x+x = x-x-x-x;

e) 3x+3x+3x = 9x;

f) 3+ (5x+8) = (x+2)+1;^{3 4}

36

Equações polinomiais Equações polinomiais de 2º grau

Equações de 2º grau são equações da forma

ax²+bx+c=0, sendo a, b e c números reais e a é diferente de zero,

c é o termo independente de x;

b é o coeficiente de x;

a é o coeficiente de x² .

As equações de 2.º grau, em que b e c são diferentes de zero chamam-se equações completas, são da forma:

ax²+bx+c=0;

Quando temos uma equação deste tipo, o processo mais usual de resolução é o recurso à fórmula resolvente.

Equações polinomiais Equações completas de 2º grau

Fórmula resolvente

ax²+bx+c=0

Quando temos uma equação deste tipo, o processo mais usual de resolução é a utilização da Fórmula Resolvente:

38

Equações polinomiais Equações polinomiais de 2º grau

1) Resolva cada uma das equações, utilizando a fórmula resolvente:

a) 3x²+2x-1= 0;

b) 2(x²+2)-3(x+4) = 0;

c) 3x+4x = x-x²+2;

d) x+x²+x+x = x-x-x-x;

e) 3x²+3x+3x = 9x;

f) 3+ (2x+8) = (x²+2)+1;

g ) 5(3x+3x+3x) = 3 (3+2x^{5 2}).

4 2

3

Raiz ou zero de um polinómio

Raiz (ou zero) de um polinómio p(x) é um número c, tal que p(c)=0.

Actividade

Determinar, caso existam os zeros dos seguintes polinómios

a) 3x²+2x-1;

b) 2x²+2-3x+4;

c) 3x+4x+ x-x²+2;

40

Decomposição de um polinómio em factores

Decomposição em factores

Se α₁, …, α_k são as raízes reais de um polinómio não nulo A, então existem números únicos e um único polinómio Q sem raízes reais, tais que:

A(x) = Q(x)(x - α₁)ⁿ¹… (x - α_k)^nk

Ao número n_i chama-se multiplicidade algébrica da raiz α_i. Por exemplo: Se n_i = 1 diz-se que α_i é uma raiz simples de A, se n_i = 2 diz-se que α_i é uma raiz dupla de A, se n_i = 3 diz-se que α_i é uma raiz tripla de A.

Exemplo:

3x³-6x²+x-2 = (3x²+1)(x-2);

2 é uma raiz simples do polinómio 3x³-6x²+x-2.

Factorização de polinómios Processos para factorizar polinómios

Factorizar um polinómio consiste em transformar o polinómio (soma de monómios) num produto.

Existem várias formas para factorizar polinómios, entre as quais:

Factorização simples (ou pôr em evidência);

Por agrupamento de expressões comuns;

42

Factorização de polinómios Factorização simples (ou pôr em evidência).

Exemplo

ax + ay + az = a (x + y + z);

Por agrupamento.

Exemplo

ax + by + bx + ay =

= ax + ay + bx + by =

= a (x + y) + b (x + y) =

= (x + y) • (a + b)

Factorização de polinómios Utilizando os casos notáveis

Exemplos

x² - 4 = (x+2)(x-2);

x² -2xy+y² = (x-y)(x-y);

x² +2xy+y² = (x+y)(x+y).

Utilizando equações de 2.º grau ax² + bx + c .

44

Inequações polinomiais Inequações polinomiais

A equação é caracterizada pelo sinal da igualdade (=).

A inequação é caracterizada pelos sinais de maior (>), menor (<), maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤).

Dada a função f(x) = 2x – 1 → função de 1º grau.

Se dissermos que f(x) = 3 e desejarmos determinar os valores de x que satisfazem a igualdade vem : 2x – 1 = 3

→ equação do 1º grau, calculando o valor de x, temos:

2x = 3 + 1, 2x = 4, x = 4 : 2, x = 2 → x deverá ter o valor 2 para que a igualdade se verifique.

Dada a função f(x) = 2x – 1. Se dissermos que f(x) > 3, escrevemos: 2x – 1 > 3 → inequação de 1º grau,

calculando os valores de x, temos: 2x>3+1, 2x>4, x > 2.

Será sempre assim?

Inequações polinomiais Inequações polinomiais de 2º grau

Dada a função f(x) = x²+2x – 1 → função de 2º grau.

Se dissermos que f(x) ≥ -1 e desejarmos determinar os valores de x que satisfazem a desigualdade como

poderemos fazer?

46

Expressões racionais Expressões racionais

Domínio;

Simplificação;

Operações;

Equações racionais;

Inequações racionais.

Expressões racionais Expressões racionais

Expressão racional é uma expressão da forma:

, sendo P e Q polinómios e Q diferente de zero.

Exemplo

, P = 2xy − y², Q = 2x² 1

Q P

2 xy − y

48

Expressões racionais Domínio

Domínio de uma expressão racional é o conjunto dos valores para os quais a expressão tem significado, no contexto onde está a ser estudada.

Exemplo: D = {x IR: Q(x) ≠ 0}.

Exemplo:

, Domínio da expressão em IR é IR\{-1,1}

) (

) (

x Q

x P

2 2

2

2

2

−

− x

y xy

∈

Expressões Irracionais Expressões irracionais

Expressão irracional é toda a expressão da forma , sendo A (radicando) uma expressão algébrica e n (índice do

radical) um número natural.

Para n par o radicando tem de ser um número não

negativo, para n ímpar o radicando pode assumir qualquer valor real para o qual a expressão tenha significado.

n

A

50

Expressões Irracionais Domínio de expressões irracionais (em IR)

Se n é par D = {x IR: A(x) ≥0}, Se n é ímpar D = {x: A(x) IR}.

Exemplos

Domínio D de ; D = {x IR: x+3≥0} = [-3, +∞[

Domínio D de D = {x IR: 2+3x IR} = IR n

A ( x )

∈

∈

4

x + 3 ∈

7

2 + 3 x ∈ ∈

Expressões Irracionais Racionalizar dos termos de uma fracção

Por racionalização dos termos de uma fracção entende-se o processo que conduz à substituição de uma expressão

envolvendo radicais por outra sem radicais.

Exemplo:

é o mesmo que

3 + x _{3 5 + x 5}

52

Condições que envolvem valor absoluto Equações que envolvem valor absoluto (?).

1) Resolva, em IR, as equações:

a) |3x-4|=5;

b) |5x+3|=|8x-2|.

Inequações que envolvem valores absolutos (?) 2) Resolva, em IR, as inequações:

a) |3x-4|>5;

b) |2x-8|<6;

c) |5x+3|≤8.

Conteúdos da Unidade Curricular Introdução ao cálculo diferencial

Estudo das funções reais de variável real;

Limites de funções;

Continuidade;

Função derivada e suas aplicações.

54

Conteúdos da Unidade Curricular Funções

As correspondências podem ser ou unívocas ou não unívocas;

Chama-se função f de A em B a toda a correspondência unívoca de A para B, e representa-se por f: A → B;

Uma função é uma colecção de pares de números tais que:

se (a, b) e (a, c) pertencem ambos à colecção então b = c;

Intuitivamente pode interpretar-se uma função f definida num certo conjunto D e com valores num conjunto E, como uma regra que faz corresponder a cada elemento x de D um único elemento f(x) de E. O conjunto D é chamado domínio de f e o subconjunto C de E formado por todos os elementos f(x), com x D é o contradomínio de f

(Ferreira, 1985).

∈

Conteúdos da Unidade Curricular Funções

Sejam f: D →E

Diz-se que f é uma função real se todos os valores que assume são números reais, qualquer que seja o conjunto D;

Diz-se que f é uma função de variável real se D IR;

Uma função diz-se real de variável real quando o domínio e o contradomínio são subconjuntos do conjunto dos números reais;

Fixado num plano um referencial cartesiano (que suporemos sempre

⊂

56

Conteúdos da Unidade Curricular Exemplos de gráficos de funções

O gráfico da função identicamente nula (com o valor 0 em qualquer ponto x IR) é o eixo das abcissas;

O gráfico da função identidade I(x) = x para qualquer ponto x IR é a bissectriz dos quadrantes ímpares;

O gráfico da função f: IR→ IR, tal que f(x) = -x, qualquer que seja x IR) é a bissectriz dos quadrantes pares;

O gráfico da função f: IR→IR, tal que f(x) = x², é uma parábola que com a concavidade virada para cima e que passa pela origem do referencial.

∈

∈

∈

Conteúdos da Unidade Curricular

Domínio, conjunto de chegada e contradomínio de uma função Seja f: A →B, então:

Domínio de f, D_f = {a A: f(a) = b, b B};

Conjunto de chegada de f, Cch_f = B;

Contradomínio de f, Cd_f = {y B: x A: f(x) = y}

Caracterizar uma função f, significa conhecer:

Domínio de f;

∈

∈ ∈

∈

58

Conteúdos da Unidade Curricular Zeros de uma função

Designa-se por zero de uma função f todo o valor da variável independente x que tem por imagem o valor zero.

Se c é um zero da função f então f(c) = 0.

Sinal de uma função

Estudar o sinal de uma função f equivale a determinar:

Os pontos do domínio de f onde a função assume valores positivos;

Os pontos do domínio de f onde a função assume o valor zero;

Os pontos do domínio de f onde a função assume valores negativos.

Conteúdos da Unidade Curricular

Monotonia

Seja f uma função real com domínio D e seja A um subconjunto qualquer de D:

Diz-se que f é crescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x₁, x₂ A, se tiver f(x₁) f(x₂) sempre que seja x₁<x₂. Quando se disser apenas que f é crescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é crescente em todo o seu domínio;

Diz-se que f é estritamente crescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x₁, x₂ A, se tiver f(x₁) < f(x₂) sempre que seja x₁<x₂.

∈ ≤

∈

60

Conteúdos da Unidade Curricular

Monotonia

Diz-se que f é decrescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x₁, x₂ A, se tiver f(x₁) f(x₂) sempre que seja x₁>x₂. Quando se disser apenas que f é decrescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é decrescente em todo o seu domínio;

Diz-se que f é estritamente decrescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x₁, x₂ A, se tiver f(x₁) < f(x₂) sempre que seja x₁ > x₂. Quando se disser apenas que f é estritamente decrescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é estritamente decrescente em todo o seu domínio;

Diz-se que f é monótona em A sse f for crescente ou decrescente nesse conjunto e que f é estritamente monótona em A sse for

estritamente crescente ou estritamente decrescente em A .

∈ ≤

∈

Conteúdos da Unidade Curricular Extremos absolutos de uma função

Ponto máximo e valor máximo

Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.

x A diz-se ponto máximo de f em A se f(x) f(y), y A;

o valor f(x) chama-se valor máximo de f em A . Ponto mínimo e valor mínimo

Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.

∈ ≥ _∈

∈ ∈

∀

62

Conteúdos da Unidade Curricular

Extremos relativos de uma função Ponto máximo local

Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.

x A diz-se ponto máximo local de f em A, se existe algum

>0, tal que x é ponto máximo em A ]x- , x+ [.

Ponto mínimo local

Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.

z A diz-se ponto mínimo local de f em A, se existe algum

>0, tal que x é ponto mínimo em A ^] z- , z + [.

∈

∈

∂

∂

∂ ∂

∂

∩ ∂

∩

Conteúdos da Unidade Curricular

Injectividade e sobrejectividade Seja f: A →B:

f é injectiva f(x) = f(y) x = y , x, y D_f f é sobrejectiva y B, x A: f (x) = y;

f é bijectiva f é injectiva e f é sobrejectiva.

∈

⇔ ∈

⇔

⇔

∀ ∃

⇒

^∀ ∈

64

Conteúdos da Unidade Curricular Função afim

Toda a função f, real de variável real, definida por f(x) = ax + b, em que a e b são constantes reais, diz-se

uma função afim. O gráfico da função afim é uma recta. O coeficiente a chama-se declive e b chama-se ordenada na origem.

Conteúdos da Unidade Curricular Função quadrática

Chama-se função quadrática, ou função polinomial de 2º grau, a qualquer função f de IR em IR, dada por uma

expressão da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠0.

O gráfico de uma função quadrática (polinomial de 2º grau), f(x) = ax² + bx + c, com a≠ 0, é uma curva chamada parábola.

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Conteúdos da Unidade Curricular Função módulo

A função módulo pode ser definida como a função que a

cada número real x associa o módulo de x, ou seja, a distância de x à origem.

O gráfico da função módulo, isto é da função ψ: IR→ IR, tal que ψ(x) = |x|, qualquer que seja x IR é a reunião das

bissectrizes do 1º e do 2º quadrantes.

∈

Conteúdos da Unidade Curricular Operações com funções

• Sejam f e g funções reais de variável real,

• Soma de f e g, representa-se por f+g, e caracteriza-se:

• D _f+g=D_f ∩ D_g;

• (f+g)(x)=f(x)+g(x), ∀x∈ D f+g;

• Cch _f+g=IR.

• Diferença de f e g, representa-se por f-g, e caracteriza-se:

68

Conteúdos da Unidade Curricular

• Produto de f e g, representa-se por f.g, e caracteriza-se:

• D _f.g=D_f ∩ D_g;

• (f.g)(x)=f(x) . g(x), ∀ x∈ D _f.g;

• Cch f.g=IR.

• Quociente de f e g, representa-se por g

f , e caracteriza-se:

• D

g

f =(D_f ∩ D_g)\{x ∈ D_g: g(x)=0};

• ( g

f )(x)=

) (

) (

x g

x

f , ∀x∈ D

g f ;

• Cch _f/g=IR.

Conteúdos da Unidade Curricular

• Composição de f e g, representa-se por fog, e caracteriza-se:

D _fog={x: x D_g g(x) D_f};

(f^og)(x) = f [g(x)], x D _fog; Cch _fog = IR.

∈

∈

∈

∧

70

Conteúdos da Unidade Curricular Função inversa

Seja f uma função real de variável real, tal que: f: D → IR é injectiva:

A função inversa de f é por definição, a aplicação g: f(D) → IR, tal que g (f(x)) = x, para cada x pertencente a D;

Toda a função injectiva tem inversa;

O domínio da função inversa é o contradomínio da função dada.

Conteúdos da Unidade Curricular Função Exponencial (de base e)

A função exponencial (de base ) é a função real de variável real que a cada x faz corresponder e^x

Propriedades:

Domínio: IR

Zeros: não tem zeros Sinal: é sempre positiva

Extremos: não tem nem mínimos nem máximos Monotonia: é crescente

72

Conteúdos da Unidade Curricular Função Exponencial

Função exponencial (de base e) Gráfico:

Concavidade: voltada para cima

Conteúdos da Unidade Curricular Função Logarítmica

A função f: IR⁺ → IR, definida por f(x)=log_ax, com a≠1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a.

O domínio da função logarítmica é o conjunto IR⁺ (reais

positivos, maiores do que zero) e o contradomínio é IR (reais).

Vamos considerar duas situações:

0<a<1;

a>1.

74

Conteúdos da Unidade Curricular Função Logarítmica (0<a<1).

Exemplo: y=log_(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico seguintes:

-2 -1

0 1

2 y

4 2

1 1/2

1/4 x

Conteúdos da Unidade Curricular Função Logarítmica (a>1)

Exemplo: y=log₍₂₎x (nesse caso, a=2, logo a>1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico seguintes:

2 1

0 -1

-2 y

4 2

1 1/2

1/4 x

76

Limites de Funções (13-05-2008)

Limite de uma função num ponto

1. Seja f uma função real definida num conjunto D⊂IR, a∈IR um ponto aderente a D e b um número real. Diz-se que f(x) tende para b quando x tende para a (ou que b é o limite de f no ponto a) e escreve-se

x→a

limf(x)=b ou

limf(x)=b sse, qualquer que seja a

o número positivo ε existir δ >0 tal que, qualquer que seja x∈ D verificando a condição |x-a|<δ , se tenha |f(x)-b|<ε . Simbolicamente:

x→a

limf(x)=b ⇔ ∀

ε

Nota: a é aderente a X sse, qualquer que seja

ε

Limites de Funções

Se f: D ^_______> IR e g: E ^_______> IR têm limite no ponto a, e se este ponto é aderente a D∩E, então, têm limite nesse ponto as funções:

i) f+g, verificando-se a igualdade:

x→a

lim (f+g)=

x→a

lim f+

a x→

limg;

ii) f-g, verificando-se a igualdade:

x→a

lim (f-g)=

x→a

lim f-

a x→

limg;

iii) f.g, verificando-se a igualdade:

x→a

lim (f.g) =

x→a

lim f .

x→a

lim g;

f f f

a x→

lim

78

Limites de funções

Seja f uma função real definida num conjunto D⊂IR, a∈IR um ponto aderente a D.

i) Ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D∩]a, +∞[

(quando existe) chama-se limite de f no ponto a à direita ou limite de f(x) quando x tende para a por valores superiores a a, representa-se por

→a+

x

limf(x);

ii) Ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D∩]-∞, a[

(quando existe) chama-se limite de f no ponto a à esquerda ou limite de f(x) quando x tende para a por valores inferiores a a, representa-se por

→a−

xlimf(x);

i) O limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D\{a} (quando existe) chama-se limite de f no ponto a por valores distintos de a,

representa-se por

x→a

lim

a x

x f

≠

) ( .

Continuidade de funções

Seja f uma função real definida num conjunto D⊂IR e seja a um ponto de D. Diz-se que f é uma função continua em a sse, qualquer que seja o número positivo ε

existir δ >0, tal que sempre que x seja um ponto de D e verifique a condição |x-a|<δ , se tenha |f(x)-f(a)|<ε . Simbolicamente:

f é contínua no ponto a ⇔ ∀ε >0, ∃δ >0, ∀x (x ∈D ∧|x-a|<δ ^⇒|f(x)-f(a)|<ε . Conclui-se que f é contínua em a se lim f(x)=f(a).

80

Continuidade de funções

Seja f uma função real definida num conjunto D ⊂ IR, a ∈ D.

i) f é contínua à direita no ponto a sse a restrição de f ao conjunto D ∩ ]a, + ∞ [ for contínua em a;

ii) f é contínua à esquerda no ponto a sse a restrição de f ao conjunto D ∩ ]- ∞ , a[ for contínua em a;

i) f é contínua no ponto a sse f for contínua à direita e à esquerda no ponto

a.

Continuidade de funções

Diz-se que f é continua no intervalo aberto ]a, b[ se f é contínua em todos os pontos desse intervalo.

Uma função f é continua num intervalo fechado [a, b] se:

i) f é continua no intervalo aberto ]a, b[;

ii) f é contínua à direita no ponto a;

iii) f é contínua à esquerda no ponto b.

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Continuidade de funções Teorema Bolzano

Se é uma função contínua num intervalo fechado , e k um número real compreendido entre e , então existe pelo menos um valor real c, pertencente ao intervalo

aberto tal que = k.

Assimptotas de uma função

Assimptotas verticais: são da forma x=a (a é ponto de acumulação do domínio de f e, se f está definida em a então f é descontínua em a).

Se

a x→

lim f(x)=+∞ ou

x→a

lim f(x)=-∞, então x=a é uma assimptota vertical.

Assimptotas não verticais: são da forma y=mx+b (só pode haver assimptotas não verticais, se existirem pontos do domínio de f em qualquer vizinhança de +∞ ou de -∞, ou seja, se x→+∞ existem pontos do domínio de f em ]a, +∞[, se x→-∞ existem pontos do domínio de f em ]-∞, a[)

Sendo y=mx+b, x

f ( ) f (x)

84

Derivadas (20-05-08)

• Razão incremental

Seja f uma função definida num conjunto D⊂IR e seja a um ponto interior a D.

Chama-se razão incremental da função f no ponto a, à função

ρ

ρ

a x

a f x

f

−

− ( ) )

( .

Derivada de uma função num ponto

Chama-se derivada da função f no ponto a ao limite (quando existe) da função ρ (x) quando x tende para a. A derivada da função f no ponto a representa-se por

f ’(a),

f ’(a)=

x→a

lim x a

a f x

f

−

− ( ) )

( .

Pondo x=a+h, obtém-se a fórmula, a f h

a

f( + ) − ( )

86

Tangente a um gráfico num ponto

• Tangente a um gráfico num ponto

Se f ’(a) existe e é finita, chama-se tangente ao gráfico de f no ponto P(a, f (a)), à

recta que passa por este ponto e tem declive igual a f ’(a).

Regras de derivação

• Regras de derivação

S e k é uma constante, u=ϕ (x) e v=ψ (x) são funções para as quais existem derivadas, então:

a) (k)’= 0;

b) (x)’= 1;

c) (u+v)’= (u)’+(v)’;

d) (u-v)’= (u)’-(v)’;

e) (uv)’= u’v+uv’;

u u'v -uv'

88

Aplicação das derivadas

• Ponto singular

Chama-se ponto singular de uma função f, a todo o ponto x, tal que f ’(x)=0.

• Ponto de inflexão

Chama-se ponto de inflexão de uma função f, a todo o ponto x, tal que f ’’(x)=0.

Aplicação das derivadas

• Pontos candidatos a máximos ou mínimos

Para determinar os pontos máximos ou mínimos de uma função f no intervalo [a, b], devem-se considerar três classes de pontos:

1) pontos singulares em ]a, b[;

2) extremos a e b;

3) pontos x∈]a, b[ tais que f não é derivável em x.

• Aplicação

90

Aplicação das derivadas

• Teoremas

Sejam I um intervalo, I ⊂ D_f, f uma função.

1. Se f ’(x) = 0, ∀x∈I, então f é constante em I;

2. Se f ’(x) > 0, ∀x∈I, então f é crescente em I;

3. Se f ’(x) < 0, ∀x∈I, então f é decrescente em I;

4. Se f ’’(x) > 0, ∀x∈I, então a concavidade de f é voltada para cima;

5. Se f ’’(x) < 0, ∀x∈I, então a concavidade de f é voltada para baixo;

6. Se f ’’(x) = 0, então o gráfico de f muda o sentido da concavidade;

7. Se f ’(x) = 0 e f ’’(x)>0, então f tem um mínimo local em x;

8. Se f ’(x) = 0 e f ’’(x) < 0, então f tem um máximo local em x.

Aplicação das derivadas

• Teorema

Se f está definida em ]a, b[, tem um máximo ou mínimo local em x∈]a, b[ e f é derivável em x, então f ’(x)=0.

• Teorema

Se f é derivável em x, então f é contínua em x.

• Teorema

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Aplicação das derivadas

• Esboço do gráfico de uma função f

Para esboçar o gráfico de uma função f devem ser considerados, sempre que possível, os seguintes aspectos:

- O domínio de f;

- Os zeros de f;

- Os pontos singulares de f e valores de f nesses pontos;

- Sinal da 1ª derivada de f;

- Pontos de inflexão de f e valores de f nos pontos de inflexão;

- Sinal da 2ª derivada de f;

- Comportamento de f nos pontos onde não é continua e na vizinhança dos pontos aderentes ao domínio de f nos quais a função não está definida;

- xlim f(x) e →+∞

−∞

→

xlim f(x).

Aplicação das derivadas

Esboçar o gráfico de cada uma das funções reais de variável real:

1. f(x) =

1 2

2

2

− +

− x

x

x ;

2. f(x) = x

-x

; 3. f(x) = x

;

4. f(x) = 3x

-8x

+6x

.