Transformações Geométricas no Plano: e seu ensino no 1° ciclo

Índice

1 Introdução 3

2 Breves considerações histórico-filosóficas 5

2.1 Contexto histórico de "Geometria das transformações" . . . . 5

2.2 Programa Erlanger e as transformações geométricas . . . 6

2.3 Algumas considerações epistemológicas sobre as transformações geométricas . . . 8

3 As transformações geométricas: fundamentos 11 3.1 Transformação geométrica no plano . . . 12

3.1.1 Isometrias Planas . . . 13

3.1.2 Classificação das Isometrias . . . 40

3.2 Abordagem através da Teoria dos Grupos . . . 45

3.3 Simetrias . . . 47

4 O ensino das Transformações Geométricas. 53 4.1 Introdução . . . 53

4.2 Referencial Teórico Elementar . . . 56

4.2.1 Reflexão . . . 56 4.2.2 Vectores . . . 59 4.2.3 Translação . . . 60 4.2.4 Rotação . . . 61 4.2.5 Simetria Central . . . 63 4.2.6 Reflexão deslizante . . . 64

4.3 Composição de isometrias no plano . . . 66

4.3.1 Composição de duas simetrias axiais de eixos paralelos 66 4.3.2 Composição de duas reflexões de eixos concorrentes . . 67

4.3.3 Composição de duas rotações. . . 69 1

4.3.4 Composição de uma rotação com uma translação

(vice-versa) . . . 70

4.3.5 Composição de uma translação com uma reflexão . . . 70

4.4 Aplicações . . . 71

4.4.1 Motivos e Padrões . . . 71

4.4.2 Frisos . . . 72

4.4.3 Pavimentações . . . 74

4.4.4 Rosáceas . . . 78

5 Algumas noções de didáctica da matemática e das transfor-mações geométricas. 79 5.1 Introdução . . . 79

5.2 A teoria das situações didácticas segundo Brousseau . . . 80

5.2.1 A noção de obstáculo . . . 84

5.3 Exemplo de aplicação a uma actividade . . . 88

6 Análise do Programa e Sugestões Metodológicas. 91 6.1 Análise de Programa do 1◦_{Ciclo (Unidade 7 “Isometrias”) . . 91}

6.2 Proposta de sugestões metodológicas . . . 93

7 Conclusão e Recomendações 95 8 Referências Bibliográficas 99 9 Glossário de termos utilizados: 101 10 Anexo 103 10.1 Exercícios Resolvidos: . . . 103

CAPÍTULO 1

Introdução

Como já é sabido, as ideias geométricas são úteis na representação e na resolução de problemas de outras áreas de matemática e de situações reais. A construção e a manipulação mentais de objectos a duas e três dimensões são um aspecto importante do pensamento geométrico. A geometria é mais do que definições; deve contemplar a descrição de relações e de raciocínio, a construção de justificações e de demonstrações.

O presente trabalho "Transformações geométricas no plano: e seu ensino no 1◦_{ciclo" insere-se na linha de pesquisa " Uma abordagem proposta para o}

ensino das transformações geométricas no ensino secundário" que pensamos vir a desenvolver no âmbito Profissional.

Um dos objectivos é contribuir para uma reflexão sobre o processo en-sino/aprendizagem da geometria no ensino secundário em particular, e na disciplina de matemática, em geral.

Ao longo da nossa experiência como docente, observamos uma certa ausência do ensino da geometria nas escolas, com reflexos nocivos no conhec-imento dos docentes em exercício e não só, bem como nos discentes; embora essa matéria conste aos programas. Há fortes indícios que os conteúdos de geometria que não foram apreendidos pelos docentes e por essa razão, tam-bém não são ensinados, dando origem a um ciclo vicioso, que acaba afectando gerações de alunos, que ficam sem aprender geometria.

Os que leccionam alguma geometria acabam por adoptar uma abordagem mais tradicional, com nomenclatura, classificações e propriedade deduzida em figuras estáticas, em posições estandardizadas. Exceptuam-se algumas tentativas de inovações, com o uso de tangrans, geoplanos e outros matérias, mas o trabalho, com transformações geométricas, que vem sendo indicado

como de grande interessante e rico eixo orientador de estudos em geometria, é pouco conhecido e pouco utilizado no nosso desenvolvimento curricular.

Sendo assim a opção pelo tema "Transformação geométricas: e seu ensino no 1◦ _{ciclo" deve-se à nossa vontade de realizar um trabalho com carácter}

científico-pedagógico, com o fim de facultar tanto aos alunos como aos pro-fessores de Matemática e Educação Visual e Tecnológica, material de apoio, tão importante nessa área.

Assim no segundo capítulo, apresentamos uma análise histórica e episte-mológica das transformações geométricas destacando as vertentes geométrica e algébrica das transformações geométricas. Daí, optamos, por uma descrição sucinta de alguns aspectos da construção histórica da geometria das transfor-mações, destacando o Programa Erlanger de Felix Klein e o desenvolvimento epistemológico das transformações geométricas.

No terceiro capítulo, analisamos investigações e pesquisas sobre as trans-formações geométricas que incidem sobre as concepções e fundamentações teóricas do tema, de modo a permitir aos leitores uma certa clareza sobre eventuais obstáculos à apreensão dos principais conceitos, teoremas, pro-priedades etc.

No quarto capítulo, fazemos uma análise do tema como é proposto em currículos oficiais com intuito de nos permitir avaliar as mudanças no pro-cesso ensino/aprendizagem e algumas perspectivas de abordagens do assunto. A análise de alguns materiais didácticos mais recentes também nos indica al-gumas perspectivas de abordagens do tema.

No quinto e ultimo capítulo, sugerimos uma opção metodológica, segundo a qual, num trabalho em que o professor se deve apropriar dos principais conceitos e procedimentos relativos à geometria no plano, ao mesmo tempo, possa discutir situações que orientem os estudantes na sala de aula no sen-tido da aprendizagem das transformações geométricas, recorrendo ao uso do programa Cabri Geometre II.

Durante a execução do presente trabalho utilizamos, sempre que possível o programa Cabri -Geometri II na investigação e confecção das figuras ge-ométricas estudadas, afim de ilustrar conceitos ou apresentar exemplos.

CAPÍTULO 2

Breves considerações

histórico-filosóficas

No presente capítulo descrevemos sucintamente alguns aspectos da construção histórica da geometria das transformações, destacando o Programa de Er-langer de Felix Klein e o desenvolvimento epistemológico do conceito das transformações geométricas tendo em conta as suas dimensões geométrica e algébrica.

2.1 Contexto histórico de "Geometria das

trans-formações"

A geometria é um dos ramos mais antigos da matemática. Não é conhecida a data exacta em que ela começou a ser estudada. Já na arte pré-histórica se encontravam círculos, rectângulos, triângulos, varias formas que surgem na natureza, como em inúmeros cristais, tão geometricamente perfeitos.

A geometria, que serviu para que os homens fizessem desenhos e objectos de arte primitiva, foi denominada "geometria subconsciente" por Eves [15]. Derivou de simples observações de como reconhecer configurações, comparar formas e tamanhos de objectos.

Através de um estudo mais aturado sobre objectos concretos e particu-lares, o homem passou a conceber propriedades e relações mais gerais, em que noções primitivas foram conscientemente organizadas num conjunto de regras gerais. Assim, a geometria passou a ser, segundo Eves [15], uma "geometria científica".

Foram os gregos quem deram à geometria o carácter de ciência, insistindo que os conhecimentos geométricos, herdados de civilizações anteriores, deve-riam ser apresentados sobre uma base racional (lógica) e não por procedimen-tos empíricos. Desenvolveram a noção de discurso lógico como um conjunto hierarquizado de proposições obtidas através do raciocínio dedutivo a partir de afirmações iniciais, chamadas axiomas ou postulados.

A geometria dedutiva começou a surgir com as proposições apresentadas em cadeias, em que umas eram derivadas de outras anteriores.

A transformação operada pela geometria grega provavelmente começou com o trabalho de Thales de Mileto (624 a.c.-548 a.C.). O primeiro pro-cedimento lógico surgiu com os resultados desse geómetra, que apesar de elementares, representaram o primeiro pensamento dedutivo em matemática. Também a obra de Euclides, sem dúvida, foi a contribuição mais impor-tante da Antiguidade para a metodologia das ciências e influenciou durante vários séculos a Matemática. Até o século XVIII, a geometria dominante foi a euclidiana, dita clássica. Somente no século XIX ocorreu uma grande mudança no significado atribuído à geometria, que veremos na subsecção seguinte.

O procedimento usado por Euclides foi questionado posteriormente pelos matemáticos. Além disso, algumas definições sofreram objecções, justamente por Euclides ter tentado definir todos os conceitos sem admitir conceitos primitivos, o que é impossível de se fazer. Nesse aspecto, a concepção grega difere da concepção moderna de método axiomático, pois, "para os gregos, a geometria não era exactamente um estudo abstracto, mas uma tentativa de análise lógica do espaço físico idealizado" (Eves [15]).

2.2 Programa Erlanger e as transformações

geométricas

O percursor do estudo da geometria baseado em grupos de transformações, foi Félix Klein (1849-1925) matemático alemão, quem apresentou e impressionou a comunidade matemática com as possibilidades unificadoras do conceito do grupo. Dedicou-se a desenvolver, aplicar e popularizar essa noção divida a Galois. Numa aula inaugural em 1872, quando se tornou professor na Universidade de Erlanger, Klein mostrou como o conceito de grupo podia ser aplicado para caracterizar as diferentes geometrias elaboradas até o século

XIX, na conferência que ficou conhecido como Programa Erlanger. Pois, a classificação dos grupos de transformações simplifica e coordena o estudo das propriedades geométricas de figuras, clarifica ligações entre vários campos da geometria e constitui um método fecundo de pesquisa.

Segundo Collette [12] o aparecimento das geometrias não-euclidianas, con-stitui uma etapa importante na génese do Programa Erlanger. Julga-se ser Klein quem destacou a natureza projectiva das geometrias não-euclideanas, estabelecendo que as três geometrias, a euclidiana, a hiperbólica de Gauss, Bolyai e Lobachevsky e a Riemann, eram casos particulares da geometria projectiva é independente da teoria das paralelas.

Piaget e Garcia (1987) [12], consideram que as transformações utilizadas até então tinham origem intuitiva, e para cada caso particular era aplicado um tipo de transformação, carecendo-se de meios para identificar e exprimir a estrutura do seu conjunto, o que é feito com a teoria dos grupos. O grande mérito de Klein foi ter concebido a relação entre uma geometria e seu grupo, tendo destacado o papel do grupo e os diversos espaços onde actua.

De acordo com Félix Klein:

"Há transformações do espaço que não alteram em nada as propriedades geométricas das figuras. Em contrapartida, estas propriedades são, com efeito, independentes da situação ocupada no espaço pela figura considerada, da sua grandeza absoluta, e finalmente também do sentido em que estão dispostas as suas partes. Os deslocamentos do espaço, as suas transformações por semelhança e por simetria não alteram, por isso, as propriedades das figuras, ou não alteram mais do que as transformações compostas pelas precedentes. Designaremos por grupo principal de transformação do espaço o conjunto de todas estas transformações; as propriedades geométricas não são alteradas pelas transformações do grupo principal. A recíproca é igualmente verdadeira: as propriedades geométricas são caracterizadas pela sua invariancia relativa-mente as transformações do grupo principal. Com efeito, se considerar um instante o espaço como uma multiplicidade fixa, cada figura possui uma indi-vidualidade própria propriedade que ela possui como individuo, apenas aque-las que as transformações do grupo principal não alteram, são propriamente geométricas (Piaget & Garcia, p.106)".

Klein juntamente com o norueguês Sophus Lie (1842-1899), tornou-se responsável pela concepção moderna da geometria.

O geómetra grego, Euclides já tinha estabelecido a igualdade de fig-uras por sobreposição, o que significa que as figfig-uras permanecem invariantes quando deslocadas no plano. Isso equivale a considerar as transformações

chamadas rígidas, obtidas a partir de translações, rotações, simetrias e de suas composições, como constituindo um grupo de transformações.

Podemos constatar que, o programa de Erlanger induz os matemáticos a um grande interesse pelos diferentes conjuntos de transformações, particu-larmente pelo das isometrias, por ser próprio da geometria euclidiana.

2.3 Algumas considerações epistemológicas

so-bre as transformações geométricas

Num estudo epistemológico das transformações geométricas, Piaget e Gar-cia [12] investigaram as ideias subjacentes às transformações geométricas, e porque durante um certo período não se desenvolveram, permanecendo em estado latente durante séculos. Segundo eles, embora as primeiras ideias de transformação sejam encontradas entre os gregos, foram necessários mais de 2.000 anos para que fossem incorporadas à geometria. Eles supuseram que, tal demora foi devido ao fraco desenvolvimento dos outros conceitos ou méto-dos. Ainda sublinham que "a noção de transformação só aparece claramente com álgebra e a analise, e que estas disciplinas apenas se desenvolveram a partir do século XVI e XVII" (Piaget & Garcia, p.104).

Ambos consideram que a origem da noção de transformação geométrica se encontra, indiscutivelmente, na geometria analítica e cálculo infinitesimal. Foi necessário esperar os avanços da álgebra, do cálculo e da própria geometria para que se pudesse progredir nos conceitos iniciados por Monge e sistematizado por Poncelet e Chasles.

Piaget e Garcia relatam que só no século XVIII, Euler (1707-1783) mostra como os movimentos e as simetrias das figuras estão ligados ao problema da mudança dos eixos de coordenadas, e como a simetria pode ser traduzida analiticamente. Euler demonstra que um deslocamento plano é uma rotação ou uma translação seguida de uma reflexão. Assim, a interacção dos três campos vai proporcionar o grande avanço da Matemática do século XIX.

Destacam, ainda que o lapso de mais de 2000 anos, necessário para que o conceito de transformações geométricas adquirisse a importância que hoje, é dada no estudo das geometrias, reflecte a necessidade de uma "maturação", proporcionada por novas aquisições e métodos, para que haja pleno cresci-mento de uma noção.

inicia-se uma etapa na Matemática em que fica evidente o domínio da teoria dos grupos e a interacção dos conceitos originais da álgebra, da geometria e da analise, tendências presentes actualmente nas matemáticas.

Podemos constatar, que a evolução dos conceitos geométricos não signifi-cou apenas acréscimo de conhecimentos, mas uma reinterpretação total dos fundamentos conceptuais, indicando que o desenvolvimento cognitivo nunca é linear e exige uma reconstrução e uma reorganização de conhecimentos por outro ponto de vista, proporcionado por novas aquisições.

Do mesmo modo, o ensino das transformações geométricas não significa apenas mais conteúdos matemáticas mas fundamentalmente a reinterpre-tação da geometria e a aquisição de capacidade de relacionar e estruturar.

CAPÍTULO 3

As transformações geométricas:

fundamentos

Este capítulo revisita a geometria euclidiana no plano, usando para isso os conceitos ligados às transformações geométricas, mais precisamente as isome-trias. As transformações proporcionam uma visão moderna1_{, menos estática}

e também mais integrada da geometria. Proporcionam ainda o aparecimento de novos conceitos, hoje considerados muito importantes, como os de sime-tria, ou a utilização da noção de grupo.

Neste capítulo seguimos de perto os clássicos sobre a matéria, como [7], por exemplo, com o intuito de, manter a notação standard e ao mesmo tempo poupar os leitores a dispersão por obras nem sempre fáceis de adquirir.

Iniciamos a fundamentação teórica do tema em estudo, detendo-nos um pouco sobre o termo "transformação". Uma vez que se encontra intimamente ligada a quase todas as "questões" matemáticas, a palavra "transformação" significa transformar, isto é, passar de uma forma para outra, de um objecto para outro. Tem-se a

Definição 3.1 Uma transformação T de um conjunto A é uma aplicação bijectiva de A em A.

Exemplo 3.1 A = {1, 2, 3, 4} , T é uma permutação de A. EntãoT é uma transformação de A.

Exemplo 3.2 A é o conjunto dos pontos do triangulo  [WXY ] do plano α. T é uma translação de  [W XY ]. Então T é uma transformação.

1_{No sentido da Matemática Moderna.}

3.1 Transformação geométrica no plano

Como sabemos os objectos materiais podem mover-se. O estudo dos seus movimentos chama-se cinemática (do grego kinema, "movimento"), mas as figuras geométricas não se movem: existe um estado inicial (o objecto) e o estado final (a imagem). O que interessa nas figuras, quando há duas ou mais simultaneamente em presença, é o modo como elas se correspondem. No ensino básico e no secundário estudamos as correspondências ponto por ponto, ou transformações pontuais, que de seguida vamos aprofundar, mas há outras que vamos abordar mais à frente "grupos de transformações". Definição 3.2 Transformação geométrica ou pontual T é uma apli-cação de um conjunto de pontos ξ noutro conjunto de pontos ε. Por ser uma correspondência unívoca

∀P ∈ ξ∃1P _{∈ ε : P} = T (P )

Definição 3.3 Transformação geométrica no plano é uma aplicação bijectiva do conjunto de pontos do plano em si mesmo.

Como exemplos de transformações no plano euclidiano temos as reflexões em rectas (simetrias axiais), translações, rotações, reflexões centrais (sime-trias centrais) e homotetias. Mas o nosso estudo centraliza-se sobre as isome-trias no plano R2_.

Para estudar o conjunto das transformações no plano e sua estrutura, define-se:

Definição 3.4 Transformação identidade Um transformação IdR2 : R2 −→ R2

é dita identidade se:

∀x ∈ R2_{, Id}

R2(x) = x.

Definição 3.5 Sendo T : R2 _{−→ R}2 _{uma transformação de R}2_{, a inversa}

de T é a função T−1 _{tal que}

T ◦ T−1 _{= Id} R2

3.1.1 Isometrias Planas

Nesta subsecção vamos definir as isometrias planas. Foram introduzidas nos livros escolares pela reforma dita "da matemática moderna". Na sequência do movimento estruturalista denominado N. Bourbaki que surgiu em França nos anos 30 do século passado, deduziu-se que toda a matemática deveria ser reformada passando a dar ênfase não aos objectos mas às relações, isto é, as estruturas. A introdução da nova estruturação da matemática, seguida da nova fundamentação (baseada na teoria dos conjuntos e nas estruturas) denominou-se matemática moderna que a Portugal ( e Cabo Verde) só chegaria nos princípios dos anos 70 do século passado. Veremos que são: as reflexões, as translações, as rotações, e as reflexões com deslizamentos, elas permitem-nos estabelecer uma correspondência entre duas figuras com as mesmas medidas, e um dos nossos objectivos é classifica-las.

Definição 3.6 Sendo ξ um conjunto não vazio, dizemos que ξ é um espaço métrico se, e somente se, existe uma função d : ξ × ξ −→ R tal que para quaisquer X, Y, Z ∈ ξ, se tem:

(d1) d (X, Y ) ≥ 0 ( não negativa);

(d2) d (X, Y ) = 0 sse X = Y (propriedade de anulamento);

(d3) d (X, Y ) = d (Y, X) (simetria);

(d4) d (X, Y ) + d (Y, Z) ≥ d (X, Z) (desigualdade triangular); a função d

é uma distância em ξ. Notaremos tal espaço por (ξ, d), e será chamado um espaço métrico.

Definição 3.7 Uma isometria2 _{num espaço métrico é uma transformação}

que preserva a distância entre pontos quaisquer de ξ, ou seja, Γ : ξ → ξ é uma isometria se, e somente se, dados P e Q arbitrários em ξ , se tem:

d (P, Q) = d (ΓP, ΓQ) .

O plano euclidiano notado por ξ2 _{é o plano R}2_{, com a distância}

(euclidi-ana) d dada por:

d (X, Y ) =

(y₁₋x1)2+ (y2− x2)2,

onde X = (x1, x2) e Y = (y1, y2) .

Definição 3.8 Isometria ou movimento rígido é uma aplicação Γ do conjunto dos pontos no conjunto dos pontos que conserva e as distâncias entre pontos ou seja, a distância entre dois pontos é igual a distância entre seus pontos imagens pela transformação.

Isto é, tal que para quaisquer pontos P, Q ∈ R2 _{se tem}

Γ : R2 _{−→ R}2 X → Γ (X) tal que

d (P, Q) = d (ΓP, ΓQ) , ∀P, Q ∈ X ⊂ R2

Figura 3.1:

Vejamos a seguir algumas proposições (propriedades) importantes das isometrias planas acompanhadas das suas respectivas demonstrações e algu-mas definições necessárias:

Definição 3.9 Três pontos A, B, C dizem-se colineares se existem uma recta r tal que A, B, C ∈ r.

Definição 3.10 (Relação estar entre), dados três pontos A, B, C perten-centes à recta r e sendo  um sistema de coordenada3 para r , diz-se que B está entre A e C se (A) < (B) < (C). Nesse caso escreve-se A − B − C .

Definição 3.11 Duas rectas r e s dizem-se paralelas ( rs) sse r ∩ s = ∅; Propriedades básicas:

Seja Γ : R2 _{−→ R}2 _{uma isometria. Então valem as proposições:}

Proposição 3.1 Γ é injectiva; Demonstração:

Sejam os pontos X, Y ∈ R2_{tais que Γ (X) = Γ (Y ), então d(Γ (X) , Γ (Y )) =}

0, mas como Γ é uma isometria, temos:

d(Γ (X) , Γ (Y )) = 0 = d(X, Y ), donde X = Y por 3.6(d2) .

Logo, Γ é injectiva.

Proposição 3.2 Γ preserva a colinearidade de pontos; Demonstração:

Sejam A, B, C três pontos distintos em R2_;

Se A −B −C , então AB +BC = AC, donde resulta A_B_{+ B}_C _{= A}_C_;

como A, B e C são distintos, também A_{, B} _{e C} _{são distintos por 3.1, e por}

3.6(d4), são colineares, logo A − B − C. Analogamente, se A − B − C,

então A − B − C. A segunda parte resulta da primeira, se nos lembrarmos que, de três pontos sobre uma linha recta, um e um só deles esta entre os outros dois, pela definição 3.10.

Proposição 3.3 Γ transforma rectas em rectas; Demonstração:

De 3.1 foi provado que Γ é injectiva, então temos de mostrar que Γ é sobrejectiva:

Seja Y ∈ R2 _{devemos mostrar que existe X ∈ R}2 _{tal que Γ(X) = X} _{= Y}

;

3_{recorde-se que um sistema de coordenadas para a recta r é uma bijecçao F : R → r =}

←→

De facto, seja Y ∈ R2 _{e sejam A, B ∈ R}2 _{tais que Γ(A), Γ(B) e Y não são}

colineares, considere C ∈ R2 _{tal que d(A, C) = d(Γ(A), Y ), A, B e C não são}

colineares e d(B, C_{) = d(Γ(B), Y ).}

Como A, B e C são não colineares, então as intersecções do circulo de centro A e raio AC com o circulo de centro B e raio BC são exactamente os pontos C e C_{, ou seja, C(A, AC) ∩C(B, BC) = {C, C}_{}. Temos}

também que d(A, C_{) = d(A, C) e d(B, C}_{) = d(B, C).}

Analogamente,

C(Γ(A), Γ(A)Y ) ∩ C(Γ(B), Γ(B)Y ) = {Y, Y} onde

d(Γ(A), Y ) = d(Γ(A), Y₎

d(Γ(B), Y ) = d(Γ(B), Y₎

Portanto,

d(Γ(A), Y ) = d(A, C) = d(Γ(A), Γ(C)) = d(Γ(A), Γ(C)) d(Γ(B), Y ) = d(B, C) = d(Γ(B), Γ(C)) = d(Γ(B), Γ(C)) Logo, Y = Γ(C) ou Y = Γ(C_{), o que prova a sobrejectividade.}

Proposição 3.4 Γ Preserva os triângulos, quer dizer, quaisquer três pontos são não colineares sse as suas imagens são não colineares;

Demonstração:

Existe o triangulo A B C sse existe o triangulo A_{, B} _C_{, pelas}

demon-stração 3.1 e 3.2.

Proposição 3.5 Γ preserva ângulos; Demonstração:

Γ preserva d, por definição; dado ABC, com A, B, C não colineares, existem os triângulos.

Demonstração:

Seja Γ : R2 _{→ R}2 _{uma isometria, sejam as rectas r e s paralelas em R}2

e ainda Γ(r) = r _{e Γ(s) = s}_{. De facto r} _{e s} _{devem ser paralelas, pois se}

existisse um ponto A _{tal que r} _{∩ s} _{= A}_{, teríamos A} _{= Γ(A), com A ∈ r e}

A _{= Γ (B), com B ∈ s.}

Como Γ é uma função injectiva, A = B, então as rectas r e s teriam um ponto em comum A = B. Contradição, pois r e s são paralelas por hipótese.

Portanto, r _{e s} _{são paralelas.}

Proposição 3.7 Γ é uma bijeção; Demonstração:

Queremos mostrar que se r é uma recta então Γ(r) = {Γ(P); P ∈ r} é uma recta onde Γ é uma isometria. Para isso, dividiremos a demonstração em duas partes:

Primeira parte: Γ (r) ⊂ r _{onde r} _{é a recta definida abaixo.}

Sejam A, B pontos distintos da recta r.

Figura 3.2:

Sejam Γ(A) = A_{, Γ(B) = B} _{e a recta r} _{⊂ R}2_{, tal que A}_{, B} _pertencem

Toma-se P ∈ r, daí A, B, P são colineares, logo um dos três pontos está entre os outros dois. Sem perda de generalidade, suponhamos P ∈ AB.

Daí d(A, P ) + d(P, B) = d(A, B).

Então sendo P _{= Γ(P ) temos que d(A}_{, P}_{) +d(P}_{, B}_{) = d(A}_{, B}_{), assim}

os pontos A_{, B}_{, P} _{são colineares e como A} _{e B} _{∈ r} _{então P} _{∈ r}_.

Logo Γ(r) ⊂ r_.(1)

Segunda parte:

Suponhamos agora que P _{é um ponto de r} _{e que A} _{esteja entre P}_{e B}_,

isto é, A _{∈ P}_B_.

Daí, d(P_{, A}_{) + d(A}_{, B}_{) = d(P}_{, B}_);

Seja P um ponto pertencente à recta r situado à esquerda do segmento AB e tal que d(P, B) = d(P_{, B}_).

Então Γ(P ) é o ponto r _{à esquerda de A}_B _{e tal que d(Γ(P ), B}_{) =}

d(P_{, B}_);

Daí Γ(P ) = P_{, P} _{∈ Γ(r).}

Logo r _{⊂ Γ(r).(2)}

Portanto, por (1) e (2), Γ(r) = r_.

Proposição 3.8 Γ admite inversa; Demonstração:

Vimos que Γ é injectiva em 3.1. Portanto, a aplicação inversa Γ−1 _existe

e também é uma isometria, uma vez que só as funções injectivas admitem inversas:

d(Γ−1_{(X), Γ}−1_{(Y )) = d(ΓΓ}−1_{(X), ΓΓ}−1_{(Y )) = d(X, Y ).}

Proposição 3.9 Composição de duas isometrias é uma isometria; Demonstração:

Se Γ e Ψ são isometrias do plano R2 _{então a composta Γ ◦ Ψ : R}2 _{→ R}2

é também uma isometria.

Dados os pontos A, B arbitrários pertencentes a R2_{, seja Γ ◦ Ψ : R}2 _{→ R}2

definida por (Γ ◦ Ψ)(A) = Γ(Ψ(A))

d((Γ ◦ Ψ)(A), Γ ◦ Ψ)(B)) = d(Γ(Ψ(A)), Γ(Ψ(B))) = d(Γ(A), Γ(B)) = d(A, B).

As propriedades acima nos indicam que o conjunto de todas as isometrias é um grupo de isometrias de R2_{, e é denotado por Υ(R}2_{); tem se portanto o}

Teorema 3.1 O conjunto das isometrias forma um grupo em relação à op-eração de composição.

Demonstração: Pelas proposições 3.7, 3.8, 3.9;

Proposição 3.10 Se Γ : R2 _{→ R}2 _{é uma isometria que fixa dois pontos}

distintos de uma recta r, então Γ fixa todos os pontos de r. Demonstração:

Seja Γ uma isometria que fixa dois pontos distintos, A e B, de uma recta r, ou seja, Γ(A) = A e Γ(B) = B.

Se existisse um ponto C ∈ r : C _{= Γ(C) = C então, pelo facto de}

d(A, C) = d(Γ(A), Γ(C)) = d(A, C_{), temos que A é o ponto médio do}

seg-mento CC_.

Da mesma forma, teríamos que B seria o ponto médio de CC_{, logo}

A = B, o que é uma contradição.

Portanto, temos que Γ fixa qualquer ponto da recta r.

Proposição 3.11 Se Γ : R2 _{→ R}2 _{é uma isometria que fixa três pontos não}

colineares, então Γ é a identidade. Demonstração:

Seja Γ uma isometria que fixa três pontos não alinhados P, Q e R, e seja X um ponto qualquer de R2_.

Pela proposição anterior segue que rectas P Q, P R e QR são fixadas pon-tualmente por Γ .

Agora tracemos por X uma recta r que intercepte o triângulo P QR em pelo menos dois pontos distintos. Como este dois pontos são fixos por Γ , então r também é fixa pontualmente por Γ.

Logo Γ(X) = X para todo X ∈ R2_{, portanto Γ é a identidade.}

Corolário 3.1 Se duas isometrias coincidem em três pontos não colineares, então elas coincidem.

Demonstração:

Sejam Γ1e Γ2duas isometrias que coincidem em três pontos não colineares

Temos que: Γ1(P ) = Γ2(P ) = P Γ1(Q) = Γ2(Q) = Q Γ1(R) = Γ2(R) = R Logo, se tomarmos: Γ−1 1 ◦ Γ2(P ) = Γ−11 (P) = P Γ−11 ◦ Γ2(Q) = Γ−11 (Q) = Q Γ−1 1 ◦ Γ2(R) = Γ−11 (R) = R

Portanto, segue da proposição anterior 3.8 que: Γ−1

1 ◦ Γ2 = Id

Daí obtemos que Γ1 = Γ2.

Definição 3.12 Seja Γ uma transformação de A em A. X ∈ A diz-se um ponto fixo de Γ se Γ(X) = X.

Definição 3.13 Seja Γ uma transformação de A em A. r ⊂ A é uma recta fixa de Γ se Γ(l) = l.

Observação3.1: Nem sempre uma recta fixa tem pontos fixos.

Definição 3.14 (Feixe de Perpendicularidade) é a totalidade das rectas dum plano que são perpendiculares a uma dada recta.

A noção de isometria permite generalizar o conceito de congruência, a princípio referida para segmentos, ângulos e triângulos, ampliando-o para quaisquer subconjunto não vazios de pontos do plano chamado figuras ge-ométricas.

Reflexões

De seguida vamos descrever como podemos obter a reflexão de um ponto X ∈ R por uma recta r. Primeiro traçamos a perpendicular a r passando por X, esta intersecta r em um ponto F .

A reflexão de X por r é o ponto X _{na perpendicular de modo que F é o}

ponto médio do seguimento XX_.

Figura 3.3: Analiticamente temos que:

1

2 (X + X) = F, onde F é o pé da perpendicular de r passando por X ,

assim F = X − ((X − P).n)n, onde P ∈ r e n é o vector unitário normal à r. Logo,

X + X _{= 2 X − 2 ((X − P ) .−}→_{n ) −}→_n

consequentemente,

X _{= X − 2 ((X − P ) .−}→_{n ) −}→_n

Agora podemos estabelecer a seguinte definição algébrica:

de r é a aplicação;

Ωr : R2 → R2

X → Ωr(X) = X − 2 ((X − P ) .−→n ) −→n

onde P ∈ r e −→n é um vector unitário normal à r.

Proposição 3.12 Qualquer reflexão tem uma inversa, que é ela própria. Demonstração:

E fácil ver a partir da figura (3.3) que o ponto X por uma reflexão Ωr(X)

forma o ponto X_{, que é a imagem de X pela reflexão Ω}

r(X) . E é fácil de ver

também que X é a imagem de X _{por essa mesma reflexão. Então partindo}

da definição 3.15 da reflexão vem, Ωr(X) = X − 2 ((X − P ) .−→n ) −→n , fazendo

k = ((X − P ).−→n )

Donde vem pela substituição: Ωr(X) = X − 2k−→n

Logo, vem: Ωr◦ Ωr(X) = Ωr(X − 2k−→n ) = X − 2k−→n − 2((X − 2k−→n − P ).−→n )−→n = X − 2k−→n − 2((X − P )−→n )−→n + 4k(−→n .−→n )−→n = X − 2k−→n − 2k−→n + 4k−→n = X
Observação 3.2:

No entanto, a transformação identidade não é uma reflexão, o que faz com que nenhum conjunto de reflexões por si só possa ser um grupo, já que a composta de duas reflexões, pelo menos para já, não é necessariamente uma reflexão. Na verdade, como veremos mais adiante pelo teorema 3.5, a composta de duas reflexões nunca é uma reflexão, mas isto era desde de logo suficiente para que não fosse grupo.

Veremos agora algumas propriedades ou teoremas sobre as reflexões. Dada uma recta r em R2_{, temos que:}

Teorema 3.2 Uma reflexão é uma bijecção do plano nele mesmo, isto é, uma reflexão é uma transformação do plano.

Demonstração:

Ωr é injectiva : se Ωr(X) = Ωr(Y ), então,ΩrΩr(X) = ΩrΩr(Y ), donde

3.12; Ωr é sobrejectiva: Seja dado Y ∈ R2, com vista a mostrar que

existe X tal que Ωr(X) = Y ; ora, pondo X = Ωr(Y ), tem-se Ωr(X) =

ΩrΩr(Y ) = Y pelo teorema 3.12.

Teorema 3.3 Toda a simetria axial (reflexão) é uma isometria. Demonstração:

Seja d(X, Y ) = d(Ωr(X), Ωr(Y )), ∀X, Y ∈ R2, onde, se nota que:

Ωr(X) − Ωr(Y ) = X − Y − 2((X − Y ).−→n ).−→n

Assim,

| Ωr(X) − Ωr(Y )|2 =

= |X − Y |2− 4((X − y).−→n )2_{+ 4((X − Y ).−}→_{n )}2₍₋→_{n .−}→_{n ) = |X − Y |}2

Logo, d(X, Y ) = d(Ωr(X), Ωr(Y )), ∀X, Y ∈ R2.

Teorema 3.4 Uma simetria axial transforma um ângulo orientado de am-plitude positiva, num ângulo orientado de amam-plitude negativa (vice-versa).

Demonstração:

Pelo teorema 3.3,  [ABC] =  [A_B_C_{] por terem os 3 lados lados}

respectivamente iguais. Logo também os ângulos dos dois triângulos são iguais, pelo que BAC = B_A_C

Mas, orientando o ângulo de C para B, vemos que a imagem de (A◦_{C, A}◦_B)

é (A◦_C_{, A}◦_B_{) , com sentidos contrários, e portanto de amplitudes}

con-trários, isto é, BAC = −B_A_C_.

Definição 3.16 Uma Transformação diz-se involutiva sse toda a reflexão é inversa a si próprio.

Teorema 3.5 Uma simetria axial é uma transformação involutiva. Demonstração:

A demonstração é análoga ao da proposição 3.12.

Partindo da definição da reflexão vem, Ωr(X) = X − 2 ((X − P ) .−→n ) −→n ,

fazendo k = ((X − P ).−→n ) Então Ωr(X) = X − 2k−→n Logo, vem: Ωr◦ Ωr(X) = Ωr(X − 2k−→n ) = X − 2k−→n − 2((X − 2k−→n − P ).−→n )−→n = X − 2k−→n − 2((X − P )−→n )−→n + 4k(−→n .−→n )−→n = X − 2k−→n − 2k−→n + 4k−→n = X

Teorema 3.6 Seja r uma recta passando por um ponto P, n um vector nor-mal a r. Então, para qualquer ponto X, tem-se Ωr(X) = X sse X ∈ r

Demonstração: Pois Ωr(X) = X ⇔ X − 2 ((X − P ) .−→n ) −→n = X ⇔ 2 ((X − P ) .−→n ) −→n = 0 ⇔ ((X − P ) .−→n ) −→n = 0 ⇔ (X − P ) .−→n = 0 ⇔ −→n ⊥ (X − P ) . Mas, se (X − P ) ⊥ −→n , então (X − P ) é o vector da recta r. E como P ∈ r, temos que X ∈ r.

Observação 3.3:

Uma reflexão tem uma recta de pontos fixos, o eixo de reflexão. Além disso, uma reflexão Ωr tem a recta r e seu feixe de perpendiculares comuns

Translação

Demos uma certa relevância à reflexão na recta ou simetria axial neste tra-balho, uma vez, que, ela é considerada o exemplo mais importante da isome-tria plana. Pois, qualquer outra isomeisome-tria pode ser representada como re-sultado da composição de um número finito de reflexões em recta; como demonstraremos mais adiante.

E para darmos continuidade à nossa investigação em torno das isometrias, iremos averiguar primeiro qual a composta de duas reflexões. Para isto, teremos de analisar dois casos, primeiro de duas rectas paralelas e segundo o de duas rectas concorrentes (vamos ver mais à frente). O caso particular da composta de duas reflexões de eixos coincidentes ou o que é o mesmo, de uma reflexão com ela própria, já foi analisado antes, tendo sido obtida a transformação identidade 3.5.

Agora vamos obter a isometria dada pela composição de duas reflexões obtidas por duas rectas paralelas, veja a figura.

Figura 3.5:

Teorema 3.7 A composta de duas reflexões de eixos paralelos é uma trans-formação, que chama translação.

Demonstração:

Dada uma recta l ∈ R, consideremos r, s rectas paralelas, perpendiculares a l, P um ponto qualquer de r, Q o pé da perpendicularidade a s passando por P, −→n um vector unitário normal a r ( e, portanto normal a s). Tem-se, então, para qualquer ponto X pelo teorema 3.6.

ΩrΩs(X) = Ωr[Ωs(X)] = Ωs(X) − 2((Ωs(X) − P ).−→n )−→n = X − 2 ((X − Q) .−→n ) −→_{n −2((X − 2 ((X − P ) .−}→n ) −→_{n − P )−}→n )−→n = X − 2 ((X − Q) .−→n ) −→_{n − 2((X − P )−}→n )−→_{n + 4((X − Q)−}→n )(−→n .−→n )−→n = X − 2((X − P )−→n )−→_{n + 2((X − Q)−}→n )−→n = X + 2((P − Q).−→n )−→n = X + 2(P − Q).

Assim através do exposto teorema 3.7 podemos estabelecer a seguinte definição de translação:

Definição 3.17 Seja t uma recta qualquer em R2 _{e sejam r e s rectas}

per-pendiculares a t em R2_{, a transformação τ dada por:}

τ = Ωr◦ Ωs : R2 → R2

X → τ (X) = X + 2 (P − Q)

Onde P ∈ r e Q ∈ s, é chamada translação ao longo de t.

Se r = s , a translação diz-se não trivial, caso contrário τ diz-se trivial, então Ωr◦ Ωs = Id (identidade).

Observações 3.4:

1. Seja t = P + −→v recta em R2_{, que passam por P com vector}

di-rector unitário −→v , as translações ao longo de t podem ser caracterizadas por um numero real k, que em valor absoluto, é o comprimento do vector deslocamento −−−−−→τ (X) X, notando uma translação ao longo de t por τk, onde

τk(X) = X + k−→v , temos que

τk1 ◦ τk2(X) = X + (k1+ k2) −→v = τk1+k2(X) , para todo X ∈ R

2_.

2. Uma translação T qualquer ao longo de uma recta t podem ser carac-terizada por um vector −→v , director de t, ou seja, se denotamos T = τv, onde

τv(X) = X + −→v , esta translação é única e temos que τv ◦ τw.

3. Seja τ uma translação ao longo de t se t _{é uma recta qualquer paralela}

a t, então τ também é uma translação ao longo de t_{, pois, basta observarmos}

que cada translação ao longo de t tem o efeito de adicionar um vector director de t a cada vector no plano.

Definição 3.18 O conjunto de todas as rectas perpendiculares a uma dada recta t em R2 _{é chamado de feixe de rectas paralelas. A recta t é uma}

recta perpendicular comum a este feixe.

Figura 3.6: Feixe de rectas paralelas, perpendiculares a t.

Seja  um feixe de rectas perpendiculares a recta t. Denotamos por REF (P ), o grupo gerado por todas as reflexões da forma Ωm, onde m ∈ .

Veremos agora algumas propriedades importantes. Propriedades das translações:

Proposição 3.13 Sejam τk1 e τk2 translações ao longo de uma recta t em

R2_{, então:}

(i) τk1 = Id sse k1 = 0

(ii) τk1 ◦ τk2 = τk1 + τk2 também é uma translação de t

(iii) τk1 é inversivel e sua inversa (τk1)

−1 _{= τ}

−k1 também é uma translação

Demonstrações:

(i) Podemos notar que: τk1(X) = X

para todo X ∈ R2 _{⇔ X + −}→_{n k} 1 = X

⇔ −→n k1 = 0,como para todo X ∈ R2

⇔ k1 = 0,pois −→n = 0

(ii) Podemos observar que: τk1 ◦ τk2(X)

= τk1(X + k2) = (X + k2) + k1

= X + (k2+ k1) = τk1+k2(X) ,

que é uma translação do ponto X ∈ t ao longo da recta t.

(iii) τ é uma isometria, logo pela proposição 3.13 (i) e (ii) . A partir daí, podemos associar um grupo ao conjunto T RANS(l) de todas as translações ao longo de t com a operação composição, vamos ter a oportunidade de aprofunda-lo no secção (3.2).

Corolário 3.2 Toda a translação pode decompor-se, de infinitas maneiras, em duas simetria axiais de eixos paralelos.

Teorema 3.8 (Teorema das Três Reflexões em Rectas Paralelas). O produto de três reflexões em rectas de feixe paralelo é uma reflexão numa única recta do mesmo feixe.

Demonstração:

Sejam r, s e t três rectas de um feixe F , correspondendo aos números reais a, b e c respectivamente, então:

Ωr◦ Ωs◦ Ωt(X) = Ωr◦ τ2(b−c); pelo teorema 3.7 Ωs◦ Ωt(X) = τ_2(b−c); = ΩrX + 2 (b − c) −→n = Ωr(X + µ−→n ) , onde µ = 2 (b − c) = X + µ−→_{n − 2 ((X + µ−}→_{n − P − a−}→n ) −→n ) −→n = X + µ−→_{n − 2 ((X − P ) −}→n ) −→_{n − 2 (µ − a) −}→n = X − 2 (X − (P + (a − b + c) −→n ) −→n ) −→n

que é a reflexão pela recta u ∈ P passando pelo ponto P + d −→n onde d = a − b + c.

Logo, o produto de três reflexões de rectas em um feixe é a reflexão de uma quarta recta do mesmo feixe.

Teorema 3.9 (Teorema da Representação das Translações)

Seja τ = Ωr◦ Ωs uma translação ao longo de uma recta t. Então

quais-quer rectas m, n do feixe F = Ft existem e são únicas rectas m, n tais

que

τ = Ωm◦ Ωm
= Ω_n
◦ Ω_n

Demonstração:

Aplicando o teorema 3.8 as rectas m, r e s temos uma única recta m

tal que Ωr◦ Ωs◦ Ωm = Ωm
. Daí, multiplicando ambos os membros por Ω_m,

obtemos Ωr◦ Ωs = Ωm
. Analogamente se obtêm n.

Teorema 3.10 O conjunto τ(R2_{) de todas as translações, é um subgrupo}

abeliano do conjuntos de todas as isometrias do plano,Υ(R2_).

Demonstração: Segue-se de proposição 3.13.
Observação 3.5:

Quanto a pontos fixos e rectas fixas temos que uma translação não trivial ao longo de uma recta r não tem pontos fixos e as únicas rectas fixas são as rectas do feixe de rectas paralelas a r. Com efeito, suponhamos que temos um ponto fixo X. Então por definição de ponto fixo tem-se Ωr(X) = X. Mas

por definição de Ωr(l) = l tem -se, então que a translação é trivial ao longo

da recta r.

Rotação

Nesta secção, vamos ter a oportunidade de estudar uma isometria dada pela composição de duas reflexões de rectas concorrentes em um ponto P . Vejamos a figura a baixo:

Figura 3.7:

Seja l = P + v a recta que passa por P com vector director unitário −→v , a translação ao longo de l de deslocamento P , dada por τP (X) = X + P,

temos que τ(−P )= (τP)−1.

Podemos observar que: Ωl(X) = X − 2 ((X − P ) .−→n ) −→n ou seja,

Ωl(X) − P = X − P − 2 ((X − P ) .−→n ) −→n = Ωlo(X − P ) , onde Ωloé

reflexão pela recta lo = 0 + v.

Portanto, Ωl(X) = Ωlo(X − P ) + P, para todo X ∈ R

2_.

Por outras palavras temos que, Ωl = τP ◦ Ωlo◦ τ(−P ).

Sendo −→v um vector director unitário de l, podemos escrevê-lo como v = (cosθ, senθ), de modo que um vector normal unitário à recta l é −→v⊥_{= −}→_{n =}

(−senθ, cos θ) , onde θ ∈ [O, 2π] , e assim temos que X = (x1,x2) , −→n = (−senθ, cos θ) como acima,

Ωlo= X − 2 ((X) .−→n ) −→n

= (x1,x2) − 2 ((x1,x2) (−senθ, cos θ)) (−senθ, cos θ)

= (x1,x2) + 2 (x1senθ − x2cos θ) (−senθ, cos θ)

= (x1− 2x1sen2θ + 2x2cos θsenθ, x2+ 2x1cos θsenθ − 2x2cos2θ)

= (x1cos 2θ + x2sen2θ, x1sen2θ − x2cos 2θ)

=  cos 2θ sen2θ sen2θ - cos 2θ   x1 x2  Vê-se assim, que a reflexão ΩlO : R

2 × 2 logo é uma transformação linear. A matriz que representa a reflexão Ωlo na recta l0 que passa pela origem, denota-se Sθ:

Sθ =



cos 2θ sen2θ

sen2θ - cos 2θ 

Sendo m = 0 + w e n = 0 + k rectas que passam pela origem com vectores directores −→w = (cos ψ, senψ) e −→k = (cos φ, senφ) temos que Sψ ◦ Sφ =  cos θ -senθ senθ cos θ  = Θθ onde θ = 2 (ψ − φ) .

Uma matriz Θθ como acima define uma transformação linear de R2 em

R2 que aplica os vectores e_{1 = (1, 0), e2 = (0, 1) da base canónica de R}2 nos vectores v = (cosθ, senθ) e −→n = (−senθ, cosθ), respectivamente, isto é,

(Θθ) e1 = −→v , (Θθ) e1 = −→n

como facilmente se verifica, sendo por isso natural encarar Θθcomo definindo

uma rotação.

Se α e β sao rectas concorrentes em P , então Ωα◦ Ωβ = τP ◦ Θθ◦ τ_{(−P )}.

Assim temos a seguinte definição:

Definição 3.19 Se α e β sao rectas passando pelo ponto P , a isometria Ωα◦ Ωβ : R2 → R2

X → Ωα ◦ Ωβ(X) = τP ◦ Θθ ◦ τ_{(−P )}(X) = ΘP,θ. é

chamada rotação em torno de P por um ângulo θ no sentido anti-horário, que denotaremos simplesmente por Θ(P,θ), onde P é chamado centro de rotação

( ver afigura acima 3.7).

No caso em que α = β, a rotação em torno de P é trivial, ou identidade; Se α = β a rotação em torno de P é não trivial;

Se α⊥β a rotação em torno de P é uma meia volta (em torno de P) e denta-se ηP.

Observações 3.6:

1. Uma meia-volta em torno de um ponto P pode ser representada como uma reflexão em torno de P .

2. A composição de duas meias -volta é uma translação e, reciprocamente uma translação sempre pode ser escrita como a composição de duas meia -volta.

Lema 3.1 Para quaisquer números reais θ, φ tem-se (i) Sθ◦ Θφ= S(_{θ −}φ 2) (ii) Θφ◦ Sθ = S(_θ+φ 2) (iii) Sθ◦ Sψ ◦ Sφ= S(θ − ψ + φ) Demonstração: (i) Sabemos que: Sθ =

 cos 2θ sen2θ sen2θ - cos 2θ  e que Θφ =  cos φ -senφ senφ cos φ  Daí, Sθ◦ Θφ será,  cos 2θ sen2θ sen2θ - cos 2θ  .  cos θ -senθ senθ cos θ  =  cos (2θ − φ) sen (2θ − φ) sen (2θ − φ) - cos (2θ − φ)  = S(θ −φ2).

(ii) De maneira análoga, obteremos Θφ◦ Sθ = S(_θ+φ 2)

(iii) Note-se que: Sψ◦ Sφ=

 cos 2ψ sen2ψ sen2ψ - cos 2ψ  .  cos 2φ sen2φ sen2φ - cos 2φ  = Θ_{2(ψ− φ)}

E, pelo item (i) temos que Sθ◦ Θ_{2(ψ− φ)} = S_{(θ − ψ + φ)}.

Propriedades das rotações:

Sejam Θθ, Θφ rotações em torno de um ponto P e Sψ reflexão em torno

de uma recta que passa por P , então:

Proposição 3.14 Θθ = Id se, e somente se, θ = 0.

Proposição 3.15 Θθ é inversivel e sua inversa (Θθ)−1 = Θ_{(− θ)} é a rotação

de ângulo −θ de centro P.

Proposição 3.16 Θθ◦ Θφ= Θ(θ + φ) é a rotação de ângulo θ + φ em torno

de P .

Proposição 3.17 Θθ◦ Sψ = S(θ

2 + ψ) é a reflexão pela recta que passa por

Demonstrações:

As demonstrações das proposições 3.14 e 3.15 são triviais, já para provar-mos 3.16 e 3.17, basta observarprovar-mos a tabela abaixo:

◦ SΨ Θβ

Sθ Θ2(θ −Ψ) S(_{θ −}β 2)

Θα S(_{Ψ +}α

2) Θ(α +β)

Isto mostra que o conjunto constituído pelas rotações em torno da origem e as reflexões em rectas passando pela origem é fechado para a operação com-posição ou produto, e é mesmo um grupo (não comutativo) para esta oper-ação, cujo elemento neutro é a identidade, em que a inversa multiplicativa de cada tal reflexão é ela própria, pois

SθSθ = Θ_{(θ − θ)} = Θo = Id

e a inversa de cada tal rotação Θθ é Θ− θ . Este grupo chama-se o grupo

ortogonal de R2_{e denota-se O(2).Os membros deste grupo são precisamente}

as aplicações ortogonais do plano em si mesmo.

O grupo SO(2) é um subgrupo abeliano deste grupo.

Teorema 3.11 (Das três reflexões em rectas concorrentes )

Sejam α, β e γ tres rectas passando por um ponto P . Então existe uma única recta l passando por P tal que

Ωα◦ Ωβ◦ Ωγ = Ωl

Demonstração:

Sejam Ωα , Ωβ , Ωγ reflexões ao longo das rectas α, β e γ que passam

por P , com vectores directores Ωα , Ωβ , Ωγ respectivamente, então podemos

escrever:

Ωα = τP ◦ Θθ◦ τ_{(−P )}, Ωβ = τP ◦ Θφ◦ τ_{(−P )} e Ωγ = τP ◦ Θψ◦ τ_{(−P )}

Logo, escolhemos l como sendo a recta passando por P com vector director (cos (θ − φ + ψ) , sen (θ − φ + ψ))

temos então que

Teorema 3.12 (Representações das Rotações).

Seja Θ = Ωα ◦ Ωβ ∈ ROT (P ) é o conjunto de rotações em torno de P ,

e l uma recta qualquer passando por P . Então existem únicas rectas r e s passando por P tais que

Θ = Ωl◦ Ωr= Ωs◦ Ωl

Demonstração:

Aplicando o teorema 3.8 para as rectas l, α e β, sabemos que existe uma única quarta recta r, tal que

Ωl◦ Ωα◦ Ωβ = Ωr

Daí, multiplicando ambos os lados por Ωl, obtemos que Ωα◦Ωβ = Ωl◦Ωr,

Logo Θ = Ωl◦ Ωr

Aplicando raciocínio análogo para as rectas l, α e β, veremos que existe uma única recta s talque Θ = Ωs◦ Ωl

Portanto, chegamos a Θ = Ωs◦ Ωl = Ωl◦ Ωr.

Teorema 3.13 ( Teorema das Adição de Ângulos)

Sejam Θ(A,θ) e Θ(B,α) as rotações de ângulos θ e α, respectivamente.

Se θ + α = 0◦_{, temos que Θ}

(A,θ)◦ Θ(B,α) é uma translação, caso contrário

, Θ(A,θ)◦ Θ(B,α) é a Θ(c,θ + α), a rotação de centro C e ângulo θ + α, onde C

é um ponto conveniente. Demonstração:

Sejam Θ(A,θ) e Θ(B,α) as rotações dos centros A e B, e ângulos θ e α,

respectivamente e r a recta que passa por A e B.

Seja s a recta que passa por A e forma um ângulo de θ

2 com r, e seja

t a recta que passa por B formando um ângulo θ

2, ambas com a mesma

orientação, logo

Θ(A,θ) = Ωr◦ Ωs e Θ(B,α)= Ωt◦ Ωr,

Se θ + α = 0◦_{, então s e r são paralelas e Θ}

(B,α)◦ Θ(A,θ) = Ωt◦ Ωs é uma

translação.

Se θ + α = 0◦_{, então s e r se intersectam em C com ângulo π−} θ 2 +

α 2

 , considerando a orientação positiva temos que

Θ(B,α)◦ Θ(A,θ) = Θ(c,θ + α),

Como a distância entre dois pontos do plano é definida pelo produto interno o conceito de isometria esta intimamente ligado ao conceito de trans-formação ortogonal de R2_.

Definição 3.20 Uma transformação ortogonal Γ : R2 _{→ R}2 _{é uma}

transfor-mação (linear) que mantém o produto interno, isto é, que satisfaz a condição:

∀x, y ∈ R2 : Γ (x) | Γ (y) = x | y

Uma transformação ortogonal do plano, por ser linear, é uma isometria que mantém fixa a origem. As isometrias que mantêm fixa a origem têm que ser transformações ortogonais e daí deduzirmos a seguinte proposição: Proposição 3.18 Qualquer isometria Γ se escreve de maneira única como composição de uma translação τ−→_u com uma transformação ortogonal Γ⊥ :

Γ = τ−→_u ◦ Γ⊥, onde −→u = Γ (0) . A transformação ortogonal Γ⊥ chama-se

transformação ortognal associada a Γ.

O lema seguinte permite identificar geometricamente as transformações ortogonais no plano.

Lema 3.2 Uma transformação ortogonal do plano é uma rotação de centro na origem ou uma reflexão numa recta que passa pela origem.

Demonstração:

Uma transformação ortogonal, por ser uma aplicação linear, é dada por uma expressao da forma

Γ⊥_{(x, y) = (ax + by, cx + dy) =}

 a b c d   x y  , com a, b, c, d ∈ R. Em particular Γ⊥_{(1, 0) = (a, c) e Γ}⊥_{(0, 1) = (b, d) . Como Γ}⊥ _{satisfaz a condição}

3.20, a, b, c, d tem que verificar as seguintes igualdades Γ⊥_{(1, 0) | Γ}⊥_{(1, 0) =}

a2_{+ c}2 _{= 1, Γ}⊥_{(1, 0) | Γ}⊥_{(0, 1) = ab + cd = 0}

Γ⊥_{(0, 1) | Γ}⊥_{(0, 1) = b}2 _{+ d}2 _{= 1. Não é difícil concluirmos destas três}

igualdades que existe sempre θ ∈ [0, 2π[ tal que Γ⊥ _{tem uma expressão da}

Figura 3.8: Partindo da figura acima temos: Γ⊥_{(x, y) =}

 cos θ _{− senθ} senθ cos θ   x y  = (x cos θ − ysenθ, xsenθ + y cos θ) .

Podermos notar que a partir da figura 3.8 que Γ⊥ _{é uma rotação em torno}

da origem, Γ⊥ _{roda qualquer vector de um ângulo θ em torno da origem.}

ou Figura 3.9: e partindo da figura (3.9) Γ⊥_{(x, y) =}  cos θ senθ senθ _{− cos θ}   x y  = = (x cos θ + ysenθ, xsenθ − y cos θ) .

corre-sponder a cada vector −→OP o vector −−→OP _{onde P} _{é o ponto do plano tal que}

a mediatriz do segmento de recta P P _{é a recta r que passa pela origem e}

faz um ângulo de θ

2 com o eixo dos XXs.

Neste último caso Γ⊥ _{é a reflexão ao longo da recta r.}

Teorema 3.14 Sejam os grupos O(2) = {M ∈ Mn(R2); M × Mt= Id}

or-togonal de ordem 2, e SO(2) = {M ∈ O(2); det (A) = 1} , oror-togonal especial de ordem 2, então REF (O) é isomorfo a O(2) e ROT (O) é isomorfo o SO_{(2), onde O é a origem de R}2_.

Demonstração:

Para verificar os isomorfismos indicados basta considerar a aplicação Ψ : REP (O) → O(2)

Pelo lema 3.1 temos que Ψ é um homomorfismo de grupos, além disso Ψ é injectiva, pois as matrizes de reflexões e rotações são invertíveis.

Dado M ∈ O(2), temos que M = 

a b c d



, pelo lema 3.2 temos ou por

M × Mt _{= I} d ⇔    a2_{+ c}2 _{= 1} b2_{+ d}2 _{= 1} ab + cd = 0 ⇔    ∃θ ∈ R, a = cos θ e b = senθ ∃φ ∈ R, c = cos φ e d = senφ cos (θ − φ) = 0 logo temos que θ = φ + π

2 + kπ, k ∈ Z, de onde concluímos que

M =  cos 2Φ sen2Φ sen2Φ − cos 2Φ  ou M =  cos 2Φ −sen2Φ sen2Φ cos 2Φ 

Ainda, temos o outro isomorfismo o facto de que na matriz M temos ainda a relação ad-bc=1, logo a única possibilidade é M =



cos 2Φ −sen2Φ

sen2Φ cos 2Φ



Reflexões com deslizamento

Agora vamos analisar as isometrias obtidas por uma reflexão seguida de uma translação, que ilustramos na figura abaixo.

Figura 3.10:

Figura com sua imagem por uma reflexão seguida de uma translação. A isometria acima chama-se reflexão com deslizamento, e é definida do seguinte modo

Definição 3.21 Seja l uma recta que passa pelo ponto P e sejam Ωl a

re-flexão por l e τv a translação ao longo de l, então Ωl◦ τl = ∆ é a aplicação

Ωl◦ τl : R2 → R2

X → Ωl◦ τl = X + −→v − (2 (X − P ) −→n ) −→n

onde −→n é um vector unitário normal à l e perpendicular à −→v .

Se v = 0, neste caso a translação é trivial e a translação deslizante reduz-se à reflexão Ωl, dizendo-se neste caso que a reflexão deslizante è trivial.

Definição 3.22 Uma reflexão deslizante trivial é, pois, uma reflexão. Caso contrário diz-se não trivial.

1. τ−→_v ◦ Ωl= Ωl◦ τ−→v, pois v | n = 0

2. (τ−→_v ◦ Ωl)2 = (τ−→v)2 = τ2−→v

3. (τ−→_v ◦ Ωl)−1= τ₋₋→v ◦ Ωl

Teorema 3.15 Sejam r, s, t três rectas distintas, nem todas concorrentes e nem todas paralelas. Então Ωr◦ Ωs◦ Ωt, é uma reflexão com deslizamentos

não trivial.

Demonstração:

Suponhamos que r e s cruzam em P , consideremos l como sendo a recta que passa por P e é perpendicular a t.

Seja H o ponto de intersecção de l e t. Usando o teorema da representação das rotações 3.12, sabemos que existe uma recta m passando por P tal que

Ωr◦ Ωs= Ωm◦ Ωl e Ωr◦ Ωs◦ Ωt= Ωm◦ Ωl◦ Ωt

Seja n a recta passando por H perpendicular a m, e seja n _{a recta}

pas-sando por H perpendicular a n.

Assim, temos que Ωl◦ Ωt = Ωn
◦ Ωn = MH é a meia volta de centro F.

Como consequência, temos

Ωr◦ Ωs◦ Ωt= Ωm◦ Ωn
◦ Ωn

Notemos que Ωm◦ Ωn
é uma translação ao de n, já pelo facto de que F

não está em m, temos que n _{e m são distintas.}

Logo Ωr◦ Ωs◦ Ωt é uma reflexão com deslizamento não trivial.

Se r não intersecta s mas s intersecta t, basta aplicar o mesmo argumento a

Ωr◦ Ωs◦ Ωt = (Ωr◦ Ωs◦ Ωt)−1

Do facto de que Ωr◦ Ωs◦ Ωt= τv ◦ Ωl , segue que

Ωr ◦ Ωs ◦ Ωt = (τv◦ Ωl)−1 = τ−v ◦ Ωl também é uma reflexão com

deslizamento.

Teorema 3.16 Sejam ∆ uma reflexão com deslizamento e Ωl uma reflexão

qualquer, então Ωl◦ ∆ é uma translação ou uma rotação.

Demonstração:

Seja r o eixo da reflexão deslizamento ∆, daí existem dois casos a serem considerados.

Caso1: r intersecta l. Seja P o ponto de intersecção. Pelo teorema da representação das translações 3.9 podemos escrever ∆ = ΩrΩaΩb onde a

passa por P , a e b são perpendiculares a r; Então, Ωl◦ ∆ = ΩlΩrΩaΩb

Mas agora l, r, e a todas passam por P . Pelo teorema das três reflexões existe uma recta e passando por P tal que

Ωl◦ ∆ = Ωe◦ Ωb

Logo, Ωl◦ ∆ é uma translação ou uma rotação.

Caso2: r é paralela a l, então Ωl◦ ∆ = ΩlΩrΩaΩb = ΩlΩaΩrΩb

Note que b ⊥ r e a ⊥ l, assim ΩlΩaΩrΩb são meias-voltas distintas. Assim,

Ωl◦ ∆ é uma translação ou uma rotação.

Observações 3.8:

Uma reflexão com deslizamento não trivial não tem ponto fixo, e tem exactamente uma recta fixa, a saber, o seu eixo.

3.1.2

Classificação das Isometrias

Do estudo feito nas secções anteriores, já nesta secção pretendemos classificar as isometrias planas quanto aos pontos fixos e rectas fixas, resumirmo-los nos seguintes teoremas:

Teorema 3.17 ( Classificação das Isometrias Planas em termos de Pontos Fixos)

(i) Uma translação não trivial não possui pontos fixos;

(ii) Uma rotação não trivial tem exactamente um ponto fixo, o seu centro; (iii) Os pontos fixos de uma reflexão são os pontos do seu eixo;

(iv) Uma reflexão deslizante não trivial não possui pontos fixos; (v) Todos os pontos do plano são pontos fixos da identidade;

Teorema 3.18 (Classificação das Isometrias Planas em termos de Rectas Fixas)

(i) Uma translação não trivial ao longo de uma recta r tem como rectas fixas todas as rectas paralelas a r;

(ii) Uma meia volta centrada num ponto C tem como rectas fixas todas as rectas passando por C. Uma rotação não trivial que não seja uma meia -volta não possui rectas fixas;

(iii) Uma reflexão em relação a uma recta r tem como rectas fixas a recta r e todas as rectas perpendiculares a r;

(iv) Um deslocamento não trivial tem uma única recta fixa – o seu eixo. (v) A identidade deixa fixas todas as rectas;

Definição 3.23 Um movimento Plano é uma transformação de R2 _em

R2 dada pela composição de um n◦_{finito de reflexões.}

Teorema 3.19 Um movimento plano é a composição de no máximo três reflexões.

Teorema 3.20 Toda isometria plana é um movimento plano. Agora vamos demonstrar o teorema das três reflexões: Teorema 3.21 (Teorema das Três Reflexões)

Sejam α, β e γ são rectas em R2_{, temos que:}

(i) Se α, β e γ são duas a duas paralelas, então Ωα ◦ Ωβ ◦ Ωγ é uma

translação.

(ii) Se α ∩ β ∩ γ = {P } , então Ωα◦ Ωβ◦ Ωγ é uma rotação.

(iii) Se α, β e γ não são concorrentes, nem duas a duas paralelas, então Ωα◦ Ωβ◦ Ωγ é uma reflexão com deslizamento.

Demonstração:

Os itens 3.21(i) e (ii) seguem dos teoremas 3.8 e 3.11.

(iii) Suponhamos que α e β se interceptam no ponto P e seja l a recta que passa por P e é perpendicular a γ.

Consideremos H o ponto de intersecção das rectas l e γ, usando o teorema da representação para rotações, sabemos que existe uma recta m passando por P tal que Ωα◦ Ωβ = Ωm◦ Ωl e Ωα◦ Ωβ ◦ Ωγ= Ωm◦ Ωl◦ Ωγ.

Seja n a recta que passa por H perpendicular a m e seja n _{a recta que}

passa por H perpendicular a n, então temos. Ωl◦ Ωγ = Ωn
◦ Ω_n= Ω_H

pois l ⊥ γ e l ∩ γ = {H} e n ⊥ n _{e n ∩ n = {H} .}

Além disso, por construção como n ⊥ n _{e n ⊥ m segue que m e n} _são

paralelas.

Assim temos Ωα◦ Ωβ ◦ Ωγ = Ωm◦ Ωn
◦ Ωn= τ ◦ Ωn é uma rotação com

deslizamento.

Se α não intersecta β, então deve intersecta γ e a demonstração é análoga a anterior.

Teorema 3.22 (Teorema de Classificação das Isometrias Planas ) Toda a isometria plana é a composição de no máximo três reflexões.

Demonstrações:

Seja Γ : R2 _{→ R}2 _{uma isometria e sejam ABC um triângulo e}

A_B_C _{o triângulo obtido de ABC por Γ.}

Caso1 : A = A, B = B e C = C. Logo Γ = Id, que é o quadrado de

qualquer reflexão Ωl. Caso2 : A = A, B = B e C = C d (A, C) = d (A_{, C}_{) = d (A, C}₎ d (B, C) = d (B_{, C}_{) = d (B, C}₎ Note que C A, −→AC  ∩ C B, −−→BC  = {C, C_{} e o segmento AB ⊥}

CC_{, pois C e C} _{são equidistantes de A e B.}

Seja l a recta que contem o segmento AB, logo l ⊥ CC_{. (ver a figura}

abaixo) Figura 3.11: Notemos que, Ωl(A) = A = A Ωl(B) = B = B Ωl(C) = C

Portanto Γ = Ωl, onde l é a recta que contém o segmento AB.

Seja l a recta perpendicular ao segmento BB _{passando pelo ponto A,}

então

Ωl(A) = A

Ωl(B) = B

Ωl(C) = D

Consideremos agora, a recta n que contém o seguimento AB_{, que por}

sua vez é perpendicular ao segmento DC_{, conforme a figura abaixo, uma}

vez que D e C _{são equidistantes de A e B}_{, daí,}

Ωr(A) = A Ωr(B) = B Ωr(D) = C Figura 3.12: Logo Ωr◦ Ωl(A) = Ωr(A) = A Ωr◦ Ωl(B) = Ωr(B) = B Ωr◦ Ωl(C) = Ωr(D) = C

Portanto, Γ = Ωr◦ Ωl

Caso4 : A = A, B = B, C = C.

Seja l a mediatriz do segmento AA_{, logo}

Ωl(A) = A

Ωl(B) = D

Ωl(C) = Q

Figura 3.13:

Daí, voltamos ao caso anterior, ou seja, tomemos r como sendo a recta que é perpendicular ao seguimento P B _{passando pelo ponto A}_{, então}

Ωr(A) = A

Ωr(D) = B

Considere agora, a recta t que contem o segmento A_B_{, que por sua vez}

é perpendicular ao segmento RC_{, uma vez R e C} _{são equidistantes de A e}

B_{, donde,} Ωt(A) = A Ωt(B) = B Ωt(R) = C Logo, Ωt ◦ Ωr◦ Ωl(A) = Ωt ◦ Ωr(A) = Ωt(A) = A Ωt◦ Ωr◦ Ωl(B) = Ωt ◦ Ωr(D) = Ωt(B) = B Ωt◦ Ωr◦ Ωl(C) = Ωt ◦ Ωr(Q) = Ωt(R) = C Portanto, Γ = Ωt ◦ Ωr◦ Ωl.

Corolário 3.3 (Corolário do Teorema de Classificação das Isome-trias Planas)

As isometrias planas são a identidade, as reflexões, as translações, as rotações e as reflexões com deslizamentos.

Definição 3.24 Uma isometria é par (ou própria) se é dada pela com-posição de um número par de reflexões, caso contrário a isometria é impar (ou imprópria)

Teorema 3.23 As isometrias planas pares são a identidade, as translações e as rotações, e as isometrias planas impares são as reflexões e as reflexões deslizantes.

Observações 3.9:

O conjunto ΥP (R2_{) de todas as isometrias planas pares, munido da}

com-posição, é um grupo (segue-se do teorema anterior) que também é subgrupo de Υ(R2_).

3.2 Abordagem através da Teoria dos Grupos

Nesta secção, vamos ter a oportunidade de fazer uma abordagem mais ob-jectiva e laboral da teoria dos grupos aplicada à geometria.

Como, relatamos no capítulo anterior, que a classificação dos grupos de transformações simplifica e coordena o estudo das propriedades geométricas de figuras, clarifica ligações entre vários campos da geometria e constitui um método fecundo de pesquisa.

Segundo Klein, a geometria do grupo G é o estudo das propriedades invariantes para a transformações de G.

Para clarificar, simplificar o estudo de algumas relações geométricas. Um grupo G de transformações bijectivas de conjunto ξ de pontos, sobre ξ, pode ser algebrizado com a operação ◦ (composição de funções).

Definição 3.25 Um grupo é um conjunto G no qual se define uma operação binária (adição, multiplicação, composição etc.)

Critério:

(G, ◦) tera estrutura de grupo sse: a) ∀T1,T2 ∈ G, T1 ◦ T2 ∈ G

b) ∀T ∈ G, ⊂ T−1 _{∈ G.}

c) ∃T0 ∈ G : ∀T ∈ G, T ◦ T0 = T0◦ T = T

Com efeito estas duas condições garantem que a identidade Id pertence a

G, logo (G, ◦) é grupoide com elemento neutro. Por outro lado a composição de funções é sempre associativa, portanto temos um semigrupo com elemento neutro em que todo o elemento tem inverso, ou seja, um grupo.

Teorema 3.24 T RANS(l), o conjunto de todas as translações ao longo de l, é um grupo abeliano isomorfo ao grupo aditivo dos números reais.

Demonstração:

a) ∀λ, µ ∈ R e ∀P ∈ R2_,tem-se:

τλ ◦ τµ(P ) = τλ(P + µ−→n ) = P + µ−→n + λ−→n =

P + (µ + λ) −→n = τµ+λ(P )

Da mesma forma, temos que τµ◦ τλ(P ),para todo

P ∈ R2

Notemos que µ+λ = λ+µ, logo τλ◦τµ = τµ◦τλ , temos

que as translações ao longo de l comutam. A associatividade é imediata, pois a composição de aplicações é associativa.

b)∀λ ∈ R, −λ ∈ R, tem-se: (τλ)−1 = τ−λ, onde τ−λ é

o elemento inverso de τλ

Portanto, TRANS(l) é um subgrupo de ISO (R2_{) .}

Considerando em R a estrutura de grupo aditivo (R, +, 0) , vê-se que a aplicação Ψ : R → TRANS(l) é um isomorfismo de grupos (é bijectiva), pois basta observar que para quaisquer números reais λ, µ tem-se τλ◦ τµ = τµ+λ,e

τ0 = Id.

Teorema 3.25 ROT (O), o conjunto de todas as rotações em torno da origem O, é um grupo abeliano

Demonstração:

a) ∀α, β ∈ R e ∀P ∈ R2_,tem-se:

Θ(o, α)◦ Θ(o,β) = Θ(o, α+β)(P )

b)∀α ∈ R, −α ∈ R, tem-se:

Θ(o, α)◦ Θ(o,− α)= Θ(o, o)= Id; pois

 Θ(o, α)

−1

= Θ_{(o,− α)} O que mostra que o conjunto de todas as rotações em torno da origem é fechado para a composição e é um grupo comutativo para essa operação.

Observação 3.10:

Quanto à reflexão podemos constatar pelo teorema 3.6 que não é um grupo.

3.3 Simetrias

Devido à sua grande importância hoje em dia, na matemática como nas outras áreas da ciência, pretendemos focalizar nesta secção, ainda que de uma forma muito resumida, sobre as simetrias.

Pois, a partir do século XIX desenvolveu-se um sentido especial voca-cionado para as simetrias abstractas que só podem ser percebidas pela mente. Este sentido recebemo-lo através da teoria dos grupos, que pode ser carac-terizada como o estudo matemático da simetria.

A teoria dos grupos ajuda a reconhecer e a desenvolver a simetria dos objectos, físicos ou matemáticos.

Um uso típico da teoria dos grupos nesta secção é o de caracterizar uma figura através das suas simetrias, isto é, dos movimentos da figura que as deixam aparentemente invariante.

Recorde-se que uma figura do plano f é um conjunto não vazio de pontos de R2_.

Definição 3.26 Seja f ⊂ R2 _{uma figura plana e Γ uma isometria que deixa}

invariante a figura. Dizemos que Γ é uma simetria de f, isto é Γ (f ) = f. Observação 3.11:

O conjunto de todas as simetrias de f é denotado por S(f ), e que (S(f ), ◦) é um subgrupo de (Υ(R2_{), ◦).}

Estudaremos já de seguida as simetrias das configurações simétricas finitas, e poderemos ver como as simetrias de tais figuras podem ser organi-zadas para formar um grupo. Em geral, tratam-se de grupo finitos, mas apresentaremos um exemplo de figura plana que tem um grupo de simetria infinita. Na secção 4.3.3 alargaremos a nossa visão sobre as simetrias de con-figurações infinitas ou grupo de frisos de uma forma elementar. Trataremos de seguida questão:

"Como descrever o grupo de simetria de uma configuração geométrica que se estende ao infinito?"

Pode-se por exemplo dizer dum triângulo equilátero que o seu grupo diedral é D3 (figura 2.11); ou dum pentágono regular que o seu grupo diedral

é D5, mas como fazer com o grupo de simetrias da ciclóide (secção 4.3.3

figura 4.18) que se prolonga ao infinito numa direcção? qual é o grupo das simetrias da quadricula de um papel milimétrico normal que se estendendo-se ao infinito em duas direcções?

São as questões que trataremos a seguir. Comecemos com a

Definição 3.27 Grupo Cíclico é um grupo monogerado (gerado por um único elemento) e finito.

Definição 3.28 Grupo Diedral é um grupo de um polígono regular finito, gerado por uma reflexão e uma rotação.

Teorema 3.26 (Classificação dos Grupos Finitos) — Seja f uma configu-ração plana de R2_{. Os grupos finitos, S (f ) (subgrupos de Υ(R}2_{)) são de}

dois tipos: — Cn =  Θ(P;2π n) 

,o grupo cíclico de ordem n, gerado por uma rotação de ângulo 2π n. — Dn =  Θ(P;2π_n),Ωl 

, o grupo diedral de ordem n (que tem 2n elementos ), gerado por uma rotação Θ(P;2π

n), e pela reflexão numa recta que contém