Teste Intermédio de Matemática A Matemática A Versão 1 10.º Ano de Escolaridade

Teste Intermédio de Matemática A

Versão 1

Teste Intermédio

Matemática A

Versão 1

Duração do Teste: 90 minutos | 06.05.2009

10.º Ano de Escolaridade

Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março

Na sua folha de respostas, indique claramente a versão do teste.

A ausência dessa indicação implica a classificação das respostas

aos itens de escolha múltipla com zero pontos.

GRUPO I

• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla.

• Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. • Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra

correspondente à alternativa que seleccionar para responder a esse item. • .Não apresente cálculos, nem justificações

• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1.

Na figura 1 está representada, em referencial o.n.

BSC

, uma circunferência de centro no ponto

T Ð#ß
"Ñ

Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?

Figura 1

(A) ÐB
#Ñ  ÐC  "Ñ Ÿ % • B   !

# #

(B) ÐB
#Ñ  ÐC  "Ñ Ÿ % • C   !

# #

(C) ÐB  #Ñ  ÐC
"Ñ Ÿ % • C   !

# #

(D) ÐB  #Ñ  ÐC
"Ñ Ÿ % • B   !

# #

2.

Na figura 2 está o gráfico de uma função, de

domínio , definida por

‘

0ÐBÑ œ lB
+l  ,

, em que e designam dois números reais.

+ ,

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

3.

Considere a função , de domínio , definida por

1

‘

1ÐBÑ œ l B l  (

Qual das equações seguintes tem duas soluções distintas?

(A) (B) (C) (D)

1ÐBÑ œ $

1ÐBÑ œ &

1ÐBÑ œ (

1ÐBÑ œ *

4.

Na figura 3 estão representadas, em referencial o.n.

BSC

, duas parábolas geometricamente iguais, que são os gráficos de duas funções quadráticas, e .

0

1

Os vértices das duas parábolas têm a mesma abcissa.

A ordenada de um dos vértices é igual a e a

$

ordenada do outro vértice é igual a .

%

Qual das expressões seguintes define a função ?

1

Figura 3

(A) (B) (C) (D)

0ÐBÑ  (

0ÐBÑ  "

0ÐBÑ  "

Ò

Ó

0ÐBÑ  (

Ò

Ó

5.

Uma empresa de telecomunicações anuncia o seguinte plano de preços para as chamadas telefónicas feitas a partir de um telefone registado nessa empresa:

• 12 cêntimos pelo primeiro minuto de conversação (se a chamada durar menos de um minuto, o preço a pagar também é 12 cêntimos);

• 0,1 cêntimos por segundo, a partir do primeiro minuto.

Por exemplo, se uma chamada durar um minuto e meio, o preço a pagar é 15 cêntimos (12 cêntimos pelo primeiro minuto, mais 0,1 cêntimos por cada um dos trinta segundos seguintes). Qual das expressões seguintes dá o preço a pagar, em cêntimos, por uma chamada feita a partir de um telefone registado nessa empresa, em função do tempo de duração da

>

chamada, medido em segundos?

(A) (B)

_œ

"# >

_{"#  ! " Ð>
'!Ñ =/ >  '!}

_,

=/ > Ÿ '!

_œ

"# >

_{"#  ! " > =/ >  '!}

_,

=/ > Ÿ '!

GRUPO II

Nas respostas a itens deste grupo apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto.

1.

Na figura 4 está representado, em referencial o.n.

SBCD

, o prisma triangular não regular

ÒEFGHIJ Ó

Sabe-se que:

• as bases são triângulos isósceles (

EF œ EG

e

HI œ HJ

) • a base

ÒEFGÓ

está contida no plano

BSC

• as arestas laterais do prisma são perpendiculares às bases

• o ponto tem coordenadas

E

Ð%ß !ß !Ñ

• o ponto

I

tem coordenadas

Ð!ß $ß )Ñ

• o ponto

J

é o simétrico do ponto

I

,

relativamente ao plano

BSD

Figura 4

1.1.

Determine uma equação vectorial da recta

HJ

2.

Na figura 5 está representada uma circunferência de centro

S

e que contém os pontos

V

,

W

e .

X

Figura 5

Um ponto

T

desloca-se ao longo do trajecto que a figura sugere:

T

inicia o percurso em

V

e termina-o em , percorrendo, sucessivamente e sem parar, a corda

X

ÒVWÓ

e o arco

WX

. Para cada posição do ponto

T

, seja o tempo decorrido desde o início do percurso e seja

>

.

a distância do ponto

T

ao ponto

S

.

Apenas um dos gráficos a seguir representados pode relacionar correctamente as variáveis

>

e

.

(A) (B)

(C) (D)

Numa pequena composição, indique o gráfico que pode relacionar correctamente as variáveis

>

e

.

e apresente, para cada um dos gráficos rejeitados, uma razão pela qual o considerou incorrecto.

3.

Na figura 6 está representado um rectângulo

ÒEFGHÓ

Figura 6

Este rectângulo é o esboço de uma placa decorativa de

"% -7

de comprimento por

"! -7

de largura e que será constituída por uma parte em metal (representada a cinzento) e por uma parte em madeira (representada a branco).

A parte em metal é formada por dois triângulos iguais e por quatro quadrados também iguais. Cada triângulo tem um vértice no centro do rectângulo

ÒEFGHÓ

Seja o lado de cada quadrado, medido em

B

-7 B − Ó !ß &Ò

ˆ ‰

, resolva os três itens seguintes. Sem recorrer à calculadora

3.1.

Mostre que a área, em

-7

#, da parte em metal da placa decorativa é dada, em função de , por

B

EÐBÑ œ 'B
#%B  (!

#

3.2.

Determine o valor de para o qual a área da parte em metal é mínima e calcule essa

B

área.

3.3.

Determine o valor de para o qual a área da parte em metal é igual à área da parte

B

em madeira.

4.

Seja a função, de domínio , definida por

0

‘

0ÐBÑ œ B
$B
'B  )

$ #

4.1.

Sem recorrer à calculadora, resolva a inequação

0ÐBÑ  !

, sabendo que um dos zeros de é .

0

%

Apresente o conjunto solução utilizando a notação de intervalos de números reais.

4.2.

Sejam e

E

F

os pontos do gráfico de cujas abcissas são

0

$

e ,

!

respectivamente.

A recta

EF

intersecta o gráfico de em mais um ponto. Designemos esse

0

ponto por

G

.

Determine as coordenadas do ponto

G

, percorrendo as etapas indicadas a seguir: • determine a equação reduzida da recta

EF

• recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, visualize o gráfico de e a

0

recta

EF

, escolhendo uma janela que lhe permita visualizar também o ponto

G

• reproduza, na sua folha de prova, o que visualiza na calculadora, assinalando

também os pontos ,

E F

e

G

• recorrendo à ferramenta adequada da calculadora, determine as coordenadas do ponto

G

e indique-as no gráfico que desenhou (as coordenadas do ponto

G

são números inteiros).

COTAÇÕES

Grupo I ... (5

‚

10 pontos) ...50 pontos

Grupo II ...150 pontos

1. ... 40 pontos 1.1. ...20 pontos 1.2. ...20 pontos 2. ... 20 pontos 3. ... 50 pontos 3.1. ...20 pontos 3.2. ...15 pontos 3.3. ...15 pontos 4. ... 40 pontos 4.1. ...20 pontos 4.2. ...20 pontos

TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A - 10º ANO

RESOLUÇÃO - VERSÃO 1

______________________________________________

GRUPO I

1.

A região sombreada é a intersecção de duas regiões:

• o círculo de centro no ponto

Ð#ß
"Ñ

e raio , que é definido pela condição

#

ÐB
#Ñ  ÐC  "Ñ Ÿ %

# #

•

o semiplano definido pela condição

C   !

Resposta B

2.

O gráfico da função é o transformado do gráfico da função definida por

0

C œ lBl

, pela translação associada ao vector de coordenadas

Ð+ß ,Ñ

.

Por observação do gráfico, verificamos que

+  ! • ,  !

Resposta B

3.

Tem-se:

Equação

1ÐBÑ œ $ Í l B l  ( œ $ Í l B l œ
%

impossível Equação

1ÐBÑ œ & Í l B l  ( œ & Í l B l œ
#

impossível

1ÐBÑ œ ( Í l B l  ( œ ( Í l B l œ ! Í B œ !

Resposta

1ÐBÑ œ * Í l B l  ( œ * Í l B l œ # Í B œ
# ” B œ #

D

4.

Sendo o gráfico de uma parábola com a concavidade voltada para baixo e

0

cujo vértice tem ordenada igual a , o gráfico de

$

0

é uma parábola com a concavidade voltada para cima e cujo vértice tem ordenada igual a

$

.

Portanto, o gráfico de é o transformado do gráfico de

1

0

, pela translação associada ao vector de coordenadas

Ð!ß (Ñ

.

Assim,

1ÐBÑ œ
0ÐBÑ  (

Resposta A

5.

Se a chamada durar um minuto, ou menos, o preço a pagar é de 12 cêntimos. Portanto, se

> Ÿ '!

, o preço a pagar é de 12 cêntimos.

Se a chamada durar mais do que um minuto, o total a pagar é a soma das duas parcelas seguintes:

• 12 cêntimos (preço do primeiro minuto);

• quantia que resulta de multiplicar o número de segundos de conversação que decorrem para além do primeiro minuto

>
'!

 pelo preço de cada segundo (0,1 cêntimos).

GRUPO II

1.1.

Tem-se:

HÐ%ß !ß )Ñ

J Ð!ß
$ß )Ñ

Portanto,



J H œ H
J œ Ð%ß $ß !Ñ

Assim, uma equação vectorial da recta

HJ

é

ÐBß Cß DÑ œ Ð%ß !ß )Ñ  5Ð%ß $ß !Ñß 5 −

‘

1.2.

Tem-se

EF œ ES  SF œ %  $ œ #&

# # # # # Portanto,

EF œ &

A área da face

ÒEFIHÓ

é, então,

EF ‚ FI œ & ‚ ) œ %!

A face

ÒEGJ HÓ

é igual à face

ÒEFIHÓ

, pelo que a sua área também é igual a

%!

A área da face

ÒFGJ IÓ

é

GF ‚ FI œ ' ‚ ) œ %)

Portanto, a área lateral do prisma é

%!  %!  %) œ "#)

2.

No percurso de

V

até , a distância do ponto

W

T

ao ponto

S

não é constante, enquanto que, no percurso de até , a distância do ponto

W

X

T

ao ponto

S

é constante. Portanto, a opção A está incorrecta.

A distância do ponto

T

ao ponto

S

nunca é igual a zero, pelo que a opção B também está incorrecta.

O ponto

T

inicia o percurso em

V

e termina-o em . Como os pontos

X

V

e estão

X

igualmente distanciados do ponto

S

, o valor de correspondente ao instante inicial tem

.

de ser igual ao valor de correspondente ao instante final. Assim, a opção D também está

.

incorrecta.

Portanto, a opção correcta é a opção C.

3.1.

Área de cada quadrado:

B

#

Área de cada triângulo: Ð"%
#BÑ Ð&
BÑ_#

œ Ð(
BÑÐ&
BÑ œ $&
"#B  B

#

EÐBÑ œ %B  # $&
"#B  B œ 'B
#%B  (!

#

_

#

_

#

3.2.

Tem-se:

'B
#%B  (! œ 'ÐB
%BÑ  (! œ 'ÐB
%B  %Ñ
#%  (! œ

# # #

3.3.

Se a área da parte em metal é igual à área da parte em madeira, então a área da parte em metal é metade da área da placa.

Sendo a área da placa

"%! -7

#, metade é

(! -7

#. Trata-se, assim, de resolver a equação

EÐBÑ œ (!

Tem-se:

'B
#%B  (! œ (! Í 'B
#%B œ ! Í ' B ÐB
%Ñ œ !

# #

Como

B  !

, tem de ser

B œ %

4.1.

Uma vez que é um zero do polinómio

%

B
$B
'B  )

$ # , podemos garantir que este polinómio é divisível por

B
%

. Façamos a divisão, pela Regra de Ruffini:

"

$

'

)

%

%

%

)

"

"

#

!

O quociente da divisão é

B  B
#

#

Portanto,

B
$B
'B  ) œ ÐB
%Ñ ÐB  B
#Ñ

$ # # Determinemos agora os zeros do polinómio

B  B
#

#

B  B
# œ ! Í B œ

#
" „ "
%‚"‚Ð
#Ñ

Í B œ

Í

#
" „ $#

È

Í B œ
# ” B œ "

Tem-se, então, o seguinte quadro:

B

∞

#

"

%

 ∞

B
%

!



B  B
#



!

!







0ÐBÑ

!



!

!



# Portanto,

0ÐBÑ  ! Í B − Ó
∞ß
# Ò ∪ Ó "ß % Ò

4.2.

De acordo com o enunciado, comecemos por determinar a equação reduzida da recta

EF

Como

0Ð
$Ñ œ
#)

, o ponto tem coordenadas

E

Ð
$ß
#)Ñ

Como

0Ð!Ñ œ )

, o ponto

F

tem coordenadas

Ð!ß )Ñ

Tem-se, então, que: 

EF œ F
E œ Ð!ß )Ñ
Ð
$ß
#)Ñ œ Ð$ß $'Ñ

O declive da recta

EF

é igual a $'_$ , ou seja, é igual a

"#

Como o ponto

F

tem coordenadas

Ð!ß )Ñ

, a ordenada na origem da recta

EF

é igual a

)

A equação reduzida da recta

EF

é, portanto,

C œ "# B  )

Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, podemos visualizar o gráfico de e a

0

recta

EF

.

Escolheu-se a janela

Ò
"!ß "!Ó ‚ Ò
&!ß "!!Ó

, a qual permite visualizar o ponto

G

, cujas coordenadas se podem obter utilizando a ferramenta de intersecção da calculadora.