7. A teoria quântica do átomo de Hidrogênio

7. A teoria quântica do átomo de

Hidrogênio

Sumário

●

A equação de Schrödinger para o átomo de

hidrogênio

●

Autovalores de energia

Números quânticos

●

Momento de dipolo magnético

Autofunções de energia

A equação de Schrödinger em uma

dimensão

energia tem qualquer valor

● V(x) + condições de

contorno: energia é

quantizada (autovalores de energia são discretos)

A equação de Schrödinger em três

dimensões

autofunção de energia

ψ(r) = ψ(x,y,z)

Laplaciano em

coordenadas cartesianas

(x,y,z)

energia potencial

V(x,y,z)

V = 0: partícula livre

Energia potencial eletrostática

e o núcleo (carga = +e) separados por uma

distância radial r

● potencial criado pelo núcleo Φ(r) = K e / r ● K = 9 x 109 N.m2/C2 ● energia potencial do

elétron: V(r) = (-e) Φ(r) ● V(r) = - K e2 / r

Coordenadas esféricas

Equação de Schrödinger para o átomo

de hidrogênio

Laplaciano em coordenadas esféricas

Autovalores de energia

● E

n = -me4/8ε02h2n2

● n: número quântico total ● n=1: E 1 = - 13,6 eV: estado fundamental do átomo ● E n = E1/n2 (n=2,3,4,...) ● n=∞: E = 0: elétron deixa de

estar ligado ao núcleo: ionização do átomo

Números quânticos

lφ

● m

l: número quântico magnético

● unicidade (quando φ aumenta de 2π radianos): m

l deve ser

um inteiro positivo ou negativo

● A equação de Schrödinger só tem solução se os valores de m_l forem menores ou iguais a um inteiro l (número quântico orbital) m_l=-l,-l+1,...,-1,0,+1,...l-1,+l, e se l = 0, 1, 2, ...(n-1) ● n=1,2,3.... (número quântico total)

● l = 0, 1, 2, ... (n-1) (número quântico orbital) ● m

Momento angular do elétron

● Modelo de Bohr: as órbitas do elétron são circulares: L = r p

● órbitas correspondem a ondas de matéria que satisfazem

2πr = nλ (n = 1, 2, 3, ...) ● De Broglie: 2πr = nh/p ● L = p r = nh/2π

● o momentum angular é quantizado (postulado)

Existe uma trajetória do elétron?

●

Devido ao princípio de

incerteza, não podemos

precisar a trajetória do

elétron

●

se isso fosse possível, a

incerteza na posição

seria nula

●

pelo princípio de

incerteza, a incerteza no

momento seria infinita!

Momento angular na mecânica quântica

momento angular é quantizado ● L = √l(l+1) (h/2π) ● l = 0, 1, 2, ...(n-1): número quântico orbital ● l=0: estado s ● l=1: estado p ● l=2: estado d ● l=3: estado f SUBNÍVEIS DE ENERGIA

Problema proposto

Se um sistema tem um

momento angular

caracterizado pelo

número quântico ℓ = 2,

quais são os valores

possíveis de L

, qual é o

módulo de L e qual é o

menor ângulo possível

entre L e o eixo z.

Dipolo magnético

Sul)

● Norte: de onde parecem

sair as linhas de força

● Sul: de onde elas parecem

entrar

● as linhas de força são

fechadas, na verdade!

● não existem monopolos

Espira de corrente

equivale a um dipolo

magnético

●

face Norte da espira:

linhas que saem

●

face Sul da espira:

Momento de dipolo magnético

magnético de uma espira de corrente: vetor ● módulo: μ = I S ● I: intensidade de corrente ● S: área da espira ● direção: perpendicular ao plano da espira

Dipolo num campo magnético externo

● B: campo magnético externo ● binário de forças magnéticas ● torque do binário (μ x B)

N = μ B sen θ

● energia potencial (μ • B)

V_m = - μ B cos θ

● quando μ e B são paralelos (θ=0),

V_m = - μ B (mínimo)

● um dipolo tende a alinhar-se com

Momento magnético do elétron

micro-espira de corrente (área: S=πr2)

● ν: número de revoluções por

segundo (frequência)

● corrente elétrica: I = (-e) ν

● momento magnético: μ = -eνπr2 ● velocidade: v = (2πr)ν

● momento angular: L = mvr =

2πmrν

Átomo num campo magnético externo

● energia potencial:

V_m=-μB cosθ =(e/2m) LB cos θ

● momento angular é quantizado:

L = √l(l+1) (h/2π) ● a direção de L também é quantizada em relação a um campo externo. Se B = B e_z L_z = m_l (h/2π) ● como m l = -l, -l+1, ..., l-1, l, há 2l+1 possíveis orientações de L em relação ao campo B

Magneton de Bohr

● Da figura, temos

cos θ = m_l/√l(l+1)

● Como L = √l(l+1) (h/2π) então

V_m= m_l (eh/4πm) B

● a quantidade eh/4πm é chamada

magneton de Bohr, seu valor é 9,27 x 10-24 J.m2/Wb

● a energia de um átomo num campo

magnético depende tanto de n como de m_l.

Autofunções de energia

ψ(r,θ,φ) = R(r) Θ(θ) Φ(φ)

Densidade de probabilidade radial

●

dP = P(r) dr = probabilidade

de achar o elétron numa

camada esférica de raios

entre r e r + dr

●

volume da camada esférica:

dV = 4πr

dr

●

R(r) parte radial da

autofunção

Estado 1s (n=1, l=0, m

=0)

densidade de

probabilidade radial

posição radial mais provável para o elétron: máximo de dP

Problema resolvido

● Num átomo de hidrogênio

no estado fundamental, achar a probabilidade de se encontrar o elétron no

intervalo ∆r = 0,02 a₀,

onde a₀ é o raio de Bohr,

em r = a₀

● Problema proposto: idem

Estado 2s (n=2, l=0, m

=0)

● dois valores mais prováveis para a posição radial do

elétron

● Problema proposto:

determinar as duas posições mais prováveis a partir da autofunção

● Orbital: região onde é mais provável encontrar o

elétron

Estado 2p (n=2,l=1,m

=-1,0,1)

provável

● Orbitais do tipo p:

formato de halteres (dois lóbulos)

● orientação dos orbitais depende do valor de m_l ● a origem tem

probabilidade zero de encontrar o elétron

Estado 3d (n=3, l=2, m

=-2,-1,0,1,2)

Orbitais do tipo d têm