Parametrizações de Jonquières

(1)

Universidade Federal de Sergipe

Pr´

o-Reitoria de P´

os-Gradua¸

c˜

ao e Pesquisa

Programa de P´

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Mestrado Acadˆ

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Disserta¸c˜ao de Mestrado

Parametriza¸

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eres

por

Pˆ

edra Daricl´

ea Santos Andrade

Mestrado Acadˆemico em Matem´atica

Orientador: Prof. Dr. Andr´

e Vinicius Santos D´

oria

São Cristóvão-SE 2015

(2)

Universidade Federal de Sergipe

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edra Daricl´

ea Santos Andrade

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal de Sergipe como parte dos

requisitos necessários para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Andr´e Vinicius Santos D´oria

São Cristóvão-SE 2015

(3)

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

A553p

Andrade, Pêdra Daricléa Santos

Parametrização de Jonquières / Pêdra Daricléia Santos Andrade ; orientador André Vinicius Santos Dória. – São Cristóvão, 2015.

50 f.

Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal de Sergipe, 2015.

1. Parâmetros (Matemática). 2. Equações. 3. Cremona. 4. Álgebra de Rees. l. Dória, André Vinicius Santos, orient. lI. Título.

(4)

(5)

Dedicat´

oria

A meu professor-orientador André Vinicius Santos Dória por me incentivar e orientar os meus passos, na execu¸cão deste trabalho, me apoiou imensamente com muita paciência e compreensão para que eu pudesse chegar até aqui. A minha amada` fam´ılia, por edificar meu ser e me fazer crescer a cada amanhecer.

(6)

Agradecimentos

Primeiramente, a Deus por me amparar nos momentos dif´ıceis, me dar for¸ca interior para superar as dificuldades, mostrar os caminhos nas horas incertas e me suprir em todas as minhas necessidades.

A meus queridos pais Raimunda e Edson, pelo amor incondicional, pessoas únicas, que vou amar e admirar por toda vida, eles são mais que bons pais, são os meus super-heróis. Muito obrigada mamãe e papai por sempre acreditarem em meus sonhos.

A meu querido esposo, Makson, por ser tão importante na minha vida. Sempre ao meu lado, me pondo para cima e me fazendo acreditar que posso mais que imagino. Devido a seu companheirismo, amizade, paciência, compreensão, apoio, alegria e amor, este trabalho pôde ser concretizado. Obrigada por ter feito do meu sonho o nosso sonho! Amo você!

A meus irmãos Dariene e João Marcos por sempre estarem ao meu lado e a meu padrasto Antônio, meu segundo pai, por me amar como filha e está presente em todos os momentos da minha vida. Vocês são essenciais em minha vida.

A meus avôs Armando (in memoriam), José, Marizete (in memoriam) e Maura por todo o carinho e cuidados que tiveram comigo a vida toda. Agrade¸co também a meus tios, tias, primos e primas, especialmente a tia Aline, tia Fátima, tia Vilma e tia Maria por todos os conselhos e por me apoiarem sempre.

Agrade¸co tamb´em a minha cunhada Aryinnis, a minha sogra Dezuita, a meu sogro Ariolando e a Vera pelo incentivo e apoio. Muito obrigada pelo carinho.

A meus amigos do mestrado, pelo conv´ıvio maravilhoso e pelos incentivos, espe-cialmente a Makson, Regivan e a Robson, os levarei para sempre em meu cora¸c˜ao.

A meus amigos Aline, Almir, Amanda, Andreza, Antônia, Banaélita, C´ıcera, Dani-ele, Débora, Deise, Ivanete, Joseane, Néia, Maeli, Marilucia, Messias, Monize Noemi, Renata, Rosa, Vanécia e Welma por sempre estarem comigo nos bons e nos momentos dif´ıceis da minha vida. Vocês são indispensáveis para mim.

`

A Coordena¸cão de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (CAPES) pela concessão da bolsa de mestrado e pelo apoio financeiro para a realiza¸cão desta pes-quisa.

Aos professores da Pós-gradua¸cão em Matemática (PROMAT-UFS), especial-mente meu orientador André Vinicius Santos Dória, meu professor amigo, agrade¸co pelos ensinamentos cient´ıficos, confian¸ca e tempo dedicado a esse trabalho, serei eter-namente grata, ao professor Zaqueu Alves Ramos pela motiva¸cão constante transmi-tida através das suas bel´ıssimas aulas e ao professor Fábio dos Santos por incentivar

(7)

a busca pelo conhecimento matem´atico.

Agrade¸co e ao mesmo tempo pe¸co perd˜ao a tantos outros que contribu´ıram nesta caminhada, mas que n˜ao foram citados.

Pˆedra Daricl´ea Santos Andrade 10 Agosto de 2015

(8)

Resumo

Nesta disserta¸cão apresentaremos uma classe de parametriza¸cões projetivas que se assemelham aos mapas clássicos de Jonquières. Teremos como objetivo mostrar as principais propriedades do seu ideal base, tais como a estrutura das siz´ıgias e a apre-senta¸cão livre desse ideal. Nesse sentido, obteremos a equa¸cão impl´ıcita que define a sua imagem, bem como explicitaremos a fórmula do grau dessa equa¸cão. Por fim, determinaremos as equa¸cões da álgebra de Rees associada ao ideal base da parame-triza¸cão, com o uso de métodos computacionais. Tal parameparame-triza¸cão, denominada

parametriza¸cão de Jonquières, é constru´ıda a partir de uma Cremona e define um

mapa birracional de Pn _{em uma hipersuperf´ıcie W de P}n+1_.

Palavras-chave: Cremona, Parametriza¸cão de Jonquières, Equa¸cão Impl´ıcita, ´ Al-gebra de Rees

(9)

Abstract

In this dissertation, we will present a projective parameterization class that resemble the classic maps of Jonqui`eres. We will have the aim to show how the main properties of your ideal base, such as the structure of siz´ıgias and the free presentation of this ideal. In this sense, we obtain the implicit equation that defines the your image and we explicit the formula the degree of the equation. Finally, we will determine Rees algebra equations associated with the base ideal of the parameterization, using computational methods. This parameterization, called parameterization of Jonqui`eres, is constructed from a Cremona and defines a birational map Pn _{in a hypersurface W of P}n+1_.

Keywords: Cremona, Jonqui`eres Parametrizations, Implicit Equation, Rees Alge-bra

(10)

Sum´

ario

Resumo iv

1 Preliminares 4

1.1 Variedades Projetivas . . . 4

1.2 Aplica¸c˜oes Racionais . . . 7

1.2.1 Algebra de Rees Associada a Aplica¸c˜ao Racional . . . .´ 10

1.2.2 Matriz Jacobiana Fraca . . . 12

1.3 Crit´erios de Birracionalidade . . . 14

1.3.1 Birracionalidade e o Posto Jacobiano Dual . . . 14

1.4 Extens˜oes Birracionais . . . 14

1.5 Mapping Cone . . . 15

2 Implicitiza¸cão das Parametriza¸cões de Jonquières 17 2.1 Parametriza¸cões de Jonquières . . . 17

2.2 No¸c˜oes sobre Siz´ıgias . . . 19

2.2.1 Mapping Cone . . . 20

2.3 A Equa¸c˜ao Impl´ıcita . . . 22

2.3.1 Monóides e Polinômios Sizigéticos . . . 22

2.3.2 O Grau da Equa¸c˜ao Impl´ıcita . . . 24

2.4 O Caso Inclus˜ao . . . 26

2.5 O Caso N˜ao Divisor de Zero . . . 27

3 A Procura das Equa¸cões de Álgebra de Rees 29 3.1 O Método de Rebaixamento Birracional . . . 29

3.2 O Método da Parametriza¸cão do Monóide Associado . . . 32

(11)

Nota¸

c˜

ao

k corpo algebricamente fechado.

k[x] anel de polinômios em n + 1-variáveis sobre um corpo k. k(x) corpo de fra¸cões de k[x]

I, J ideais em k[x]

An n-ésimo espa¸co afim sobre k. Pn n-ésimo espa¸co projetivo sobre k. Ri grupo abeliano na i-ésima posi¸cão.

Z(S) conjuntos de zeros de S.

V (S) variedade algébrica projetiva com respeito ao conjunto S de polinômios homogêneo. V (I) variedade projetiva com respeito ao ideal I.

I(Y ) ideal homogˆeneo de Y . Y fecho de Y .

√

I radical de I.

I(V ) ideal de defini¸cão homogêneo da variedade V. R anel de coordenadas homogêneas de V. νd mapa de Veronese de grau d.

F aplica¸c˜ao racional.

f representante de uma aplica¸c˜ao racional F. It(M ) ideal gerado pelos menores t× t da matriz M.

k[f ] k- sub´algebra.

F_{◦ G} composi¸cão de F com G. D fator de inversão de chegada. C fator de inversão de sa´ıda. RR(F ) álgebra de Rees da filtra¸cão F .

Jf ideal de defini¸c˜ao daRR(f ).

(p, q) bigrau de uma forma, onde p e q representam o grau de x e de y respectivamente. (F, ϕ) m´odulos diferenciais.

Fi, Gi m´odulos.

M (α) mapping cone de α. DH(Q) H-rebaixamento.

(12)

Introdu¸

c˜

ao

Este trabalho tem como objetivo expor com detalhes o artigo de Simis e Hassanzadeh [8], que procurou desenvolver uma classe de parametriza¸cões projetivas conhecida em nossa literatura como parametriza¸cão de Jonquières, cujo interesse inicial foi deter-minar a equa¸cão impl´ıcita dessa parametriza¸cão. Tal parametriza¸cão é constru´ıda da seguinte maneira: seja k um corpo infinito, suporemos k algebricamente fechado para fins geométricos. Consideremos G = (g0 : . . . : gn) : Pn 99K Pn uma Cremona de

grau d e sejam f, g ∈ R formas de graus d ≥ 1 e d + d, respectivamente, com f e g relativamente primos. A parametriza¸cão de Jonquières é uma aplica¸cão birracional definida por

F= (g0f : . . . : gnf : g) : Pn 99KPn+1.

´

E importante destacar que a teoria de implicitiza¸cão permitiu descrever a equa¸cão impl´ıcita tanto de maneira paramétrica, como também as equa¸cões que a definem. Esse problema acarretou em uma situa¸cão particular das aplica¸cões racionais, conhe-cida como elimina¸cão, uma vez que, a imagem de F é uma hipersuperf´ıcie definida por uma forma irredut´ıvel _{F ∈ k[y]. Chamaremos F equa¸cão impl´ıcita da} parame-triza¸cão de Jonquières. A teoria de elimina¸cão, nesta formula¸cão, é o problema de determinar a equa¸cão impl´ıcita ou pelo menos suas propriedades tais como o seu grau. Com esse intuito, foram estudadas as principais propriedades do ideal gerado pelas formas que definem a parametriza¸cão, sendo denominado ideal base.

Inicialmente, buscaram entender a estrutura das siz´ıgias e exibir uma apresenta¸cão livre para esse ideal. Em seguida, verificaram que dadas algumas condi¸cões a equa¸cão impl´ıcita pode ser escrita como um monóide e explicitou o grau dessa equa¸cão. Por fim, buscaram determinar as equa¸cões da álgebra de Rees associada ao ideal base. Essas equa¸cões tem sido estudadas por muitos autores, por exemplo [8] e [1].

Vale ressaltar que o termo Jonquières usado ao longo desse trabalho, não se refere aos mapas clássicos Jonquières, pois não faz uso da teoria de multiplicidades.

A seguir, descrevemos brevemente o conte´udo de cada cap´ıtulo.

No primeiro cap´ıtulo, introduziremos, conceitos primordiais para o desenvolvi-mento da teoria em questão. Faremos isso de modo bastante construtivo, explicitando defini¸cões básicas às mais complexas e suas respectivas propriedades, as quais pode-mos citar: a rela¸cão bijetiva entre os objetos algébricos e geométricos, as aplica¸cões racionais, a álgebra de Rees de um ideal, os critérios de birracionalidade e o mapping cone. É importante destacar, que usaremos fortemente ao longo desse trabalho, o

(13)

Teorema 1.26, que relaciona a álgebra de Rees associada ao ideal que define a para-metriza¸cão com o ideal que define sua inversa. Vale ressaltar que o leitor que já esteja familiarizado com esses conceitos, pode come¸car a leitura do próximo cap´ıtulo.

O cap´ıtulo seguinte, consiste em estabelecer as principais propriedades do ideal base da parametriza¸cão, tais como a estrutura das siz´ıgias e a apresenta¸cão livre desse ideal. Em seguida, estudaremos a imagem dessa parametriza¸cão, conhecida como equa¸cão impl´ıcita. Para isso, introduziremos polinômios denominados como polinômios sizigéticos, os quais serão fortes candidatos a equa¸cão impl´ıcita. Essas constru¸cões nos permitirá explicitar o grau da equa¸cão aqui em questão. Para finalizar esse cap´ıtulo, exploramos as propriedades de dois principais casos da parametriza¸cão de Jonquières, a saber, o caso inclusão e o caso não divisor de zero. Vale destacar que o primeiro desses dois casos se assemelha a um caso muito especial de uma parametriza¸cão de monóide em [1].

No último cap´ıtulo, determinaremos as equa¸cões da álgebra de Rees associada ao ideal base da parametriza¸cão, ou seja, buscaremos obter um conjunto minimal de ge-radores para o ideal de defini¸cão associado a esse ideal. Com esse intuito, utilizaremos métodos computacionais, a saber, o método de rebaixamento que produzirá um con-junto de equa¸cões da álgebra de Rees. Essas equa¸cões serão candidatas a um concon-junto minimal de geradores, gerando um ideal denominado ideal de rebaixamento de Rees, o qual veremos que está intimamente relacionado ao ideal base da parametriza¸cão. Por fim, usaremos outro método para obter as equa¸cões das álgebra de Rees. Para isso, apresentaremos uma outra parametriza¸cão, chamada de parametriza¸cão canônica. Essa parametriza¸cão está profundamente relacionada com a parametriza¸cão de Jon-quières. Esta rela¸cão nos permitirá explicitar o ideal de defini¸cão da álgebra de Rees da parametriza¸cão estudada.

(14)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Nossa proposta, neste cap´ıtulo, é apresentar algumas ferramentas necessárias aos principais resultados do nosso trabalho. Os conceitos aqui explorados serão muito importantes, pois construirá o alicerce para o desenvolvimento da teoria das parame-triza¸cões de Jonquières.

Para isso, apresentaremos algumas defini¸cões relacionadas as variedades projeti-vas e álgebra de Rees. Em seguida, introduziremos resultados referentes as aplica¸cões racionais, dentre eles, podemos citar: a matriz jacobiana fraca, os critérios de birra-cionalidade e as extensões birracionais.

1.1 Variedades Projetivas

Seja k um corpo. Definimos o n-´esimo espa¸co projetivo sobre k, denotado por Pn_{, o}

conjunto das classes de equivalˆencia das (n + 1)_{−uplas (a}0, . . . , an) de elementos de k,

não todos nulos, sobre a rela¸cão de equivalência dada por (a0, . . . , an)∼ (a′₀, . . . , a′n)

quando existe α_{∈ k − {0} tal que a}i = αa′i, para todo i∈ {0, . . . , n}. Outra maneira

de dizer isso, é que Pn _{é o quociente do conjunto A}n+1_{− {(0, . . . , 0)} sobre a rela¸cão}

de equivalˆencia que identifica os pontos pertencentes a mesma reta passando pela origem.

Seja k[x] o anel de polinômios em n + 1 variáveis sobre k. Queremos aprofundar a estrutura de k[x], assim definiremos brevemente a no¸cão de anel graduado.

Defini¸cão 1.1. Um anel graduado é um anel R com uma decomposi¸cão em soma direta

R = R0⊕ R1⊕ R2⊕ . . .

de grupos abelianos, tais que RiRj ⊂ Ri+j para i, j ≥ 0. Os elementos de Ri s˜ao

chamados elementos homogˆeneos de grau i.

Temos que qualquer elemento de R pode ser escrito unicamente como uma soma de elementos homogêneos. Um ideal r ⊂ R é um ideal homogêneo se é gerado por elementos homogêneos.

(15)

Um exemplo básico de um anel graduado é o anel de polinômios R = k[x], onde Rd

é o conjunto dos polinômios homogêneos de grau d. Se f é um polinômio arbitrário e p = (a0 : . . . : an)∈ Pn, f (p) não pode ser definido, pois f (αa0, αa1, . . . , αan) resulta

diferentes valores para diferentes valores de α_{∈ k − {0}. Contudo, se f é homogêneo} de grau d, então

f (αa0, αa1, . . . , αan) = αdf (a0, a1, . . . , an),

Logo, podemos calcular se f (p) = 0 ou não. Posteriormente, veremos que isto é suficiente para definirmos variedades algébricas projetivas.

Portanto, podemos falar a respeito dos zeros de um polinˆomio homogˆeneo, a sa-ber Z(f ) = _{{p ∈ P}n

| f(p) = 0}. Se S ´e um subconjunto qualquer de elementos homogˆeneos de k[x], definimos o conjunto de zeros de S, a saber

Z(S) ={p ∈ Pn

| f(p) = 0 para todo f ∈ S}.

Se r é um ideal homogêneo de k[x] gerado por S, definimos Z(r) = Z(S), onde S é o conjunto de todos elementos homogêneos em r. Além disso, como k[x] é Noetheriano, qualquer ideal r tem um conjunto finito de geradores f1, . . . , fs, sem

perda de generalidade podemos supor f1, . . . , fs homogˆeneos. Assim Z(S) pode ser

expressado como zeros comuns dos polinˆomios homogˆeneos f1, . . . , fs.

Defini¸cão 1.2. Uma variedade algébrica projetiva V (S) ⊂ Pn _{é definida como o}

conjunto de zeros de uma cole¸cão S de polinômios homogêneos, assim Z(S) =_{{p ∈ P}n

|f(p) = 0, para todo f ∈ S} ´e igual a V (S).

Em virtude ao que foi dito anteriormente, verifica-se que a defini¸c˜ao acima pode ser generalizada ao caso em que S ´e um ideal, ou seja,

V (I) =_{{p ∈ P}n

|f(p) = 0, para todo f ∈ I homogˆeneo}.

Temos que, V (I) = V (S), onde I é o ideal gerado por S. Logo, toda variedade está associada a um ideal. Contudo, este ideal não é único. Dentre os ideais que definem uma variedade V (I) fixada existe um ideal especial, denominado ideal de defini¸cão de V (I), o qual falaremos a seguir.

Neste trabalho, usaremos apenas V para representar uma variedade projetiva, sempre que poss´ıvel.

Exemplo 1.3. Dentre as variedades cl´assicas, temos a superf´ıcie de Veronese, que ´e dada pelos menores 2× 2 da matriz abaixo:



 yy03 yy31 yy45

y4 y5 y2

  .

(16)

i) V √I= V (I);

ii) V (I∩ J) = V (I) ∪ V (J);

iii) V (I _{∪ J) = V (I) ∩ V (J).}

Logo, a união e interse¸cão finita de variedades é uma variedade. ´

E importante destacar a correspondência bijetiva que existe entre as variedades projetivas, que são objetos geométricos e os ideais radicais em um anel de polinômios que são objetos algébricos. Para isso, precisaremos explorar as rela¸cões entre os subconjuntos de Pn _{e os ideais de k[x] mais profundamente. Assim, consideremos um}

subconjunto qualquer Y ⊆ Pn _{e definamos o ideal homogˆeneo de Y em k[x] por}

I(Y ) =_{{f ∈ k[x] homogˆeneo |f(p) = 0 para todo p ∈ Y }.}

Temos uma fun¸cão Z que mapeia subconjuntos de k[x] para conjuntos algébricos e a fun¸cão I que mapeia subconjuntos de Pn _{para ideais homogêneos. Suas propriedades}

podem ser resumidas nos seguintes resultados:

Teorema 1.5. ([10]) Seja k um corpo algebricamente fechado, se r é um ideal ho-mogêneo em k[x] e se f _{∈ k[x] é um polinômio homogêneo com deg f > 0 tal que f} anula todos os pontos de Z(r) em Pn_{. Então f}q_{∈ r para algum q > 0.}

O Teorema 1.5 ´e um caso especial do Teorema de Hilbert Nullstellensatz.

De modo geral, o próximo resultado é bastante útil, pois permite-nos caracterizar os zeros de I(Y ) como o fecho de um subconjunto Y em Pn_{, conhecido formalmente}

como a interse¸c˜ao de todos os subconjuntos fechados de Pn _{contendo Y e denotado}

por Y . Além disso, sob algumas condi¸cões a respeito Z(r), temos uma caracteriza¸cão especial para o ideal do Z(r), onde r é um ideal homogêneo de k[x].

Proposi¸cão 1.6. ([10]) Se Z(T1) e Z(T2) são conjuntos algébricos em Pn e I(Y1) e

I(Y2) ideais homogˆeneos em k[x], segue as seguintes propriedades:

(i) Se T1 ⊆ T2 s˜ao subconjuntos de k[x], ent˜ao Z(T1)⊇ Z(T2);

(ii) Se Y1 ⊆ Y2 s˜ao subconjuntos de Pn, ent˜ao I(Y1)⊇ I(Y2);

(iii) Para quaisquer subconjuntos Y1, Y2 de Pn, temos I(Y1∪ Y2) = I(Y1)∩ I(Y2);

(iv) Se r _{⊆ k[x] ´e um ideal homogˆeneo com Z(r) 6= ∅, I(Z(r)) =}√r, o ideal radical

de r;

(v) Para quaisquer subconjunto Y ⊆ Pn_{, Z(I(Y )) = Y , o fecho de Y .}

Corolário 1.7. Existe uma correspondência bijetiva entre os conjuntos algébricos em

(17)

Essa correspondência pode ser vista com mais clareza no diagrama abaixo. Conjuntos algébricos de Pn I(−) −→ Z(−) ←− Ideais homogêneos e radicais de k[x]

Observa¸cão 1.8. A discussão acima só faz sentido, se o radical de um ideal ho-mogêneo é hoho-mogêneo, e isso de fato ocorre. Para vermos isso, suponhamos I é um ideal homogêneo em k[x] e se f ∈ k[x], então f decompõe-se de forma única como f = fd+ fd+1+ . . . + fe, onde cada fc é uma forma homogênea de grau c. Assim, se

f ∈ √I, verificaremos que cada fc est´a

√

I. Notemos fn

∈ I, então as componentes homogêneas de fn _{também estão em I, pois I é homogêneo. A componente de menor}

grau ´e fn

d. Portanto fd ∈

√

I. Subtraindo fd de f e repetindo o mesmo argumento,

temos que cada componente homogênea de f está no √I, logo√I é homogêneo. Com isso, podemos introduzir um conceito muito importante no estudo de varieda-des, conhecido como ideal de defini¸cão de V, denotado por I(V ). Neste caso, diremos que I(V ) é ideal de defini¸cão, se for o ideal gerado pelos polinômios homogêneos k[x] que anulam todos os pontos de V.

Observa¸c˜ao 1.9. _{Seja V ⊆ P}n _{uma variedade tal que V = Z(I) com I um ideal}

homogˆeneo radical em k[x]. Temos que,

I = \ P´e primo e I⊆P P = \ P´e primo m´ınimo de I e I⊆P P = P1∩ . . . ∩ Pn. Assim, Z(I) = Z(P1∩ . . . ∩ Pn) = Z(P1) ∪ . . . ∪ Z(Pn).

Desse modo, conclu´ımos que toda variedade projetiva é escrita como a união finita de variedades, onde os respectivos ideais de defini¸cão são primos.

Defini¸c˜ao 1.10. _{Seja V ⊂ P}n _{uma variedade projetiva. Diremos que V ´e irredut´ıvel}

quando I(V) for um ideal primo.

Dada V ⊂ Pn _{uma variedade irredut´ıvel, podemos definir o anel R = k[x]/I(V )}

conhecido como o anel de coordenadas homogˆeneas de V.

1.2 Aplica¸

c˜

oes Racionais

Neste momento, enunciaremos alguns conceitos a respeito das aplica¸cões racionais. Vale destacar que existe outra maneira de se conceber as aplica¸cões racionais sob o ponto de vista da Geometria Algébrica, no entanto, neste trabalho faremos uma constru¸cão voltada para Álgebra Comutativa.

Defini¸cão 1.11. Uma aplica¸cão racional F : V 99K Pm _{é um conjunto ordenado}

f _{= {f}0, . . . , fm} ⊂ R de formas de mesmo grau, com algum fi 6= 0, onde R ´e o anel

(18)

´

E importante destacar que dada uma aplica¸cão racional F podemos escrevê-lá em fun¸cão do representante f = {f0, . . . , fm} ⊂ R, isto é, F = (f0 : . . . : fm).

Fixada uma aplica¸c˜ao racional F : V 99K Pm _{n˜ao existe um ´}_{unico representante}

para F. Contudo, tais conjuntos de formas est˜ao assim relacionados: dados f , f′ _{⊂ R,} temos que f e f′ representam a mesma aplica¸c˜ao racional F se, e somente se,

I2

f0 . . . fm

f₀′ . . . f_m′ !

= 0,

no anel de coordenadas de V , onde It(M ) denota o ideal de R gerado pelos menores

t × t da matriz M. Em outras palavras, f e f′ representam a mesma F, quando o posto da matriz acima for 1.

Neste momento, gostar´ıamos de falar a respeito do grau de uma aplica¸c˜ao racional F : Pn _99K _Pm _{tal que F = (f}

0 : . . . : fm). Consideremos t = mdc(f0, . . . , fm) e

definamos gi = fi/t com i ∈ {0, . . . , m}. Desse modo, obtemos mdc(g0, . . . , gm) = 1.

Seja M uma matriz definida por

f0 . . . fm

g0 . . . gm

! .

Fazendo os devidos c´alculos, temos posto (M ) = 1, isto significa que ambas repre-sentam F. Dessa forma, sempre podemos supor que mdc(f0, . . . , fm) = 1, isto ´e, o

sistema linear gerado por f n˜ao tem nenhuma parte fixada.

Nessas condi¸c˜oes, dados dois representantes f e g de F com mdc(f0, . . . , fm) =

mdc(g0, . . . , gm) = 1 tais que deg(fi) = d e deg(gi) = d′, desejamos verificar que

o grau dessas formas é um invariante numérico. Temos que f e g representam a mesma aplica¸cão racional, sob a luz da álgebra linear, podemos escrever (f0, . . . , fm) =

α(g0, . . . , gm), onde α ∈ k(x), isto ´e, α = p/q com p, q ∈ k(x) e mdc(p, q) = 1. Da´ı,

q(f0, . . . , fm) = p(g0, . . . , gm), assim q|pgi, donde segue que q|gi para i ∈ {1, . . . , m}

e portanto q|1. De modo análogo, temos que p|1, assim p, q ∈ k, isso resulta que, assim deg(fi) = deg(gi) para todo i. Logo, o grau é único. Com isso, podemos fazer

a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 1.12. Seja F : Pn _99K _Pm _{uma aplica¸c˜ao racional. Escolha um}

represen-tante f = {f0, . . . , fm} tal que mdc(f0, . . . , fm) = 1. Definimos o grau de F como

sendo o grau comum dos fi com i ∈ {0, . . . , m}.

Defini¸cão 1.13. A imagem de uma aplica¸cão racional F : V 99K Pm_{é uma variedade}

projetiva W cujo anel de coordenadas homogêneas de W é isomorfo ao conjunto k[f ]. Exemplo 1.14. (Mapa quadrático de Veronese) Seja ν2 : P2 → P5 uma aplica¸cão

racional definida por

ν2(x0 : x1 : x2) = (x20 : x21 : x22 : x0x1: x0x2 : x1x2)

(19)

Defini¸c˜ao 1.15. Sejam F : V 99K Pm _{e G : W 99K P}n _{aplica¸c˜oes racionais com}

representantes f = {f0, . . . , fm} e g = {g0, . . . , gn}, respectivamente. Definimos a

composi¸c˜ao de F com G (F ◦ G) por (f0(g ) : . . . : fm(g )), desde que a imagem de G

esteja contida em V.

Defini¸c˜ao 1.16. Seja F : V 99K Pm

uma aplica¸c˜ao racional com imagem W ⊂ Pm_.

Dizemos que F é uma aplica¸cão birracional quando existir uma aplica¸cão racional G: W 99K Pn

tal que a imagem de G é V e as aplica¸cões F ◦ G e G ◦ F são aplica¸cões identidades de W e V , respectivamente.

Defini¸cão 1.17. Seja G : Pn _99K_Pn _{uma aplica¸cão racional. Dizemos que G é uma}

aplica¸c˜ao Cremona, quando G for birracional.

Defini¸c˜ao 1.18. Seja G : Pn _99K _Pn _{uma aplica¸c˜ao Cremona dada por (g}

0, . . . , gn). Se G−1 _{= (g}′ 0: . . . : g′n), temos que: (g0(g′0, . . . , g ′ n) : . . . : gn(g₀′, . . . , gn′)) = (y0 : . . . : yn). (1.1) Por simetria, (g′ 0(g0, . . . , gn) : . . . : g′n(g0, . . . , gn)) = (x0 : . . . : xn). (1.2)

Assim, definimos o fator de invers˜ao de chegada e o fator de invers˜ao de sa´ıda de G como sendo D ∈ k[y] tal que gi(g′0, . . . , g′n) = yiD e C ∈ k[x] tal que g′i(g0, . . . , gn) =

xiC para todo i ∈ {1, . . . , n}, respectivamente.

Exemplo 1.19. _{Consideremos os menores maximais da seguinte matriz 4 × 3 sobre} R = k[x0, x1, x2, x3] _    0 0 _−x1 −x0 x0− x1 x1 x0 0 0 x2 −x3 x3     Essas 3-formas g0, g1, g2, g3 dadas respectivamente por

x02x1− x0x12, x0x1x2− x12x2− x0x1x3, x0x1x3,−x02x3

define uma aplica¸c˜ao Cremona de P3 _{com inversa dada pelas 2-formas}

−y0y3, y0y2,−y1y3− y2y3,−y22− y2y3.

Com isso, temos que o fator de invers˜ao de chegada e de sa´ıda D = y2

0y2y3(y3+ y2) e

C = x2

0x1x3(x0− x1) respectivamente.

Nem sempre é poss´ıvel verificar se dada uma aplica¸cão racional, é birracional, a partir da defini¸cão. Por isso, buscou-se outras maneiras de checar essa propriedade, o que ocasionou no surgimento dos critérios de birracionalidade. Os quais serão mencionados posteriormente e contribuirão significativamente na constru¸cão desse trabalho.

(20)

1.2.1 Algebra de Rees Associada a Aplica¸

´

c˜

ao Racional

A álgebra de Rees de ideais desempenha um papel importante em várias partes da álgebra comutativa e da geometria algébrica. Mostraremos, nesta subse¸cão que dada algumas condi¸cões teremos a álgebra de Rees associada a aplica¸cão racional. Por fim, listaremos algumas das suas propriedades.

Defini¸cão 1.20. Uma filtra¸cão de um anel R Noetheriano, comutativo e com unidade é uma fam´ılia F = {In}n∈N de ideais de R que satisfaz:

i) I0 = R;

ii) . . . ⊃ I2 ⊃ I1 ⊃ I0;

iii) Ii· Ij ⊂ Ii+j para todo i, j ∈ N.

Exemplo 1.21. A fam´ılia das potências ordinárias de um ideal I é uma filtra¸cão, denominada filtra¸cão I-ádica.

Defini¸cão 1.22. _{Seja F = {I}n} uma filtra¸cão do anel R. Definimos a álgebra de Rees

da filtra¸c˜ao F por: RR(F ) =

M

n∈N

Intn = R ⊕ I1t ⊕ I2t2⊕ . . . , onde t ´e uma vari´avel.

Convencionaremos a gradua¸cão de R como sendo a gradua¸cão induzida pela gra-dua¸cão natural de k[x]. Em nosso trabalho nos restringiremos apenas a filtra¸cão I-ádica, onde I = (f0, . . . , fm) é o ideal gerado por um representante da aplica¸cão

racional e denotaremos por RR(f ) a ´algebra de Rees. Com essas condi¸c˜oes, podemos

ver a ´algebra de Rees de f , do modo abaixo:

RR(f ) = R[It] = R[f0t, . . . , fmt].

Com o prop´osito de melhorar nossa interpreta¸c˜ao com respeito a RR(f ), fa¸camos

a seguinte constru¸c˜ao:

Seja f um representante de F e RR(f ) a ´algebra de Rees de f . Defina o seguinte

homomorfismo sobrejetivo, que preserva R:

R[y] → RR(f )

yj 7→ fjt ,

onde y = y0, . . . , ym s˜ao indeterminadas. Assim, pelo teorema dos homomorfismos

RR(f ) ≃

R[y] Jf

.

O ideal Jf é chamado ideal de apresenta¸cão ou defini¸cão da RR(f). Sempre que

poss´ıvel, usaremos J ao inv´es de Jf.

(21)

Defini¸cão 1.23. Um anel bigraduado canônico é um anel R que admite uma repre-senta¸cão em soma direta, R =L_i,j=0Rij, com as seguintes propriedades:

i) Os Rij s˜ao subgrupos aditivos de R;

ii) RijRkl ⊂ Ri+k,j+l;

iii) R ´e uma R00-´algebra finitamente gerada pelos elementos R10 e R01.

Vale destacar que se (f ) = (f0, . . . , fn) ´e um ideal de R gerado por polinˆomios

homogêneos de mesmo grau, então RR(f ) é uma k-álgebra bigraduada canônica. Isto

segue do fato, de Jf ser um ideal bihomogˆeneo e R[y] = k[x, y] ser um anel bigraduado

canˆonico.

Proposi¸cão 1.24. _{([7], Proposi¸cão 1. 21) Temos que a álgebra de Rees R}R(f )

in-depende da escolha do representante de F.

Fixando a nota¸c˜ao utilizada nesta se¸c˜ao. Observaremos os seguintes isomorfismos:

RR(f ) ≃ R[y] Jf = k[x][y] Jf = k[x] I(V )[y] Jf ≃ k[x, y] (f_Jf, I(V )) (1.3) k[f ] ≃ _{I(W )}k[y] (1.4)

ondeeindica a imagem inversa em k[x, y]. Observa¸c˜ao 1.25. _{I(W ) ⊂ (f}_Jf, I(V )).

O próximo resultado é muito útil do ponto de vista teórico, porém falha por sua falta de praticidade, devido à dificuldade em determinar a álgebra de Rees do ideal gerado pelo representante de uma aplica¸cão racional.

Teorema 1.26. _{([11], Proposi¸cão 2.1) Sejam V ⊂ P}n _{e W ⊂ P}m variedades ir-redut´ıveis de dimensões positivas. Dadas aplica¸cões racionais F : V 99K Pm _e

G : W 99K Pn _{tais que as imagens s˜ao W e V , respectivamente. Consideremos}

R = k[x]/I(V ) e S = k[y]/I(W ) os respectivos an´eis de coordenadas de V e W .

Fixemos representantes f = {f0, . . . , fm} de F e g = {g0, . . . , gn} de G. As seguintes

afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

i) F e G s˜ao inversas uma da outra;

ii) A aplica¸c˜ao identidade de k[x, y]/(I(W ), I(V )) induz um isomorfismo bigradua-do RR(f) ≃ RS(g).

(22)

1.2.2 Matriz Jacobiana Fraca

Nesta se¸cão, apresentaremos o conceito de matriz jacobiana fraca da aplica¸cão racional F e veremos que seu posto é um invariante numérico. Posteriormente, tal invariante nos permitirá a constru¸cão de um critério de birracionalidade.

Temos que o ideal J ´e bihomogˆeneo. Assim, podemos escrever J do seguinte modo:

J = M

(p,q) ∈ N2

J(p,q),

onde J(p,q) denota o k-espa¸co vetorial gerado pelas formas de bigrau (p,q).

Continuando o racioc´ınio, podemos definir o ideal J(0,∗) de k[y] gerado pelas formas

de bigrau (0, q), para todo q ≥ 1. Tendo em vista, que os geradores desse ideal não dependem da variável x, podemos considerá-los como elementos de k[y]. Além disso, se considerarmos W a imagem da aplica¸cão racional F temos que o anel de coordenadas homogêneas de W é:

k[f ] ≃ k[y] J(0,∗)k[y] = k[y] I(W ). Denotaremos _J k[y] (0,∗)k[y] por S.

Seja o k-espa¸co vetorial J(1,∗) :=LJ(1,q), gerado pelas biformas de bigrau (1, q),

com q ∈ N. Fixado um conjunto de geradores homogˆeneos do ideal (J(1,∗)), podemos

obter a matriz jacobiana fraca, definida a partir da seguinte constru¸c˜ao: Uma forma de bigrau (1, ∗) em J(1,∗), pode ser escrita como

Pn

i=1Qi(y)xi, para

certos polinˆomios homogˆeneos Qi(y) ∈ k[y] ⊂ R[y] de mesmo grau.

Sejam {P1, . . . , Ps} ∈ k[x, y] tais que suas classes representem as biformas fixadas

e {l1, . . . , lr} ∈ k[x] uma k-base do espa¸co vetorial a1, o espa¸co das formas de grau 1

em I(V ).

Com a nota¸c˜ao acima estabelecida, podemos fazer a seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸cão 1.27. A matriz jacobiana ψ sobre S formada pelas derivadas dos po-linômios {l1, . . . , lr, P1, . . . , Ps} com respeito a variável x é chamada de matriz

jaco-biana fraca.

Observe que a matriz jacobiana fraca possui entradas em k[y] = _{I(W )}k[y]. Al´em disso, o leitor pode minimizar os c´alculos para encontrar o posto, basta tomar um conjunto minimal de geradores de (J(1,∗)), como definido em [4].

Lema 1.28. ([4], Lema 1.7) Sejam F : V 99K Pm_{, onde V ⊂ P}n _{´e uma variedade}

projetiva. Temos que

postoSψ = postoSψ′

se ψ, ψ′ _{s˜ao matrizes jacobianas fracas de F, onde S ´e o anel de coordenadas}

(23)

O posto de ψ é conhecido como posto jacobiano dual e denotado por jdrk(F). Em outras palavras, podemos dizer que o posto da matriz ψ independe da escolha dos geradores bihomogêneo de J(1,∗), isto é, o posto jacobiano dual é um invariante

num´erico de F.

Observa¸c˜ao 1.29. Seja F : V 99K Pm _{uma aplica¸c˜ao birracional sobre a imagem W ,}

onde o representante de F ´e f = {f0, . . . , fm} e I(V ) n˜ao possui formas lineares. Pelo

Teorema 1.26 obtemos, RR(F) ≃ RR(F−1). Assim, (J(1,∗)) ⊆ J_f′ com f ′ = {f′ 0, . . . , f ′ m} representante de F −1_{. Tomando a}

apresenta¸c˜ao livre graduada do ideal homogˆeneo gerado por f′, temos: Rt _{−→ R}Ψ n+1 _{−→ (f}′₎ _{−→ 0}

Isso resulta que produto das colunas de Ψ por f′ ´e zero, para todo i _{∈ {0, . . . , m}.} Sabemos que posto ((f′)) = 1 obtemos ent˜ao que n + 1 = posto (f′) + posto (Ψ), donde segue que posto (Ψ) = n.

Exemplo 1.30. No Exemplo 1.14 e com uso do software Singular, determinamos as equa¸c˜oes da ´algebra de Rees, as quais listamos abaixo.

r1 = y3y4− y0y5, r2 = y1y4− y3y5, r3 = x1y4− x0y5,

r4 = y2y3− y4y5, r5 = x2y3− x0y5, r6 = y1y2− y25,

r7 = y0y2− y24, r8 = x1y2− x2y5, r9 = x0y2− x2y4,

r10 = y0y1− y32, r11 = x2y1− x1y5, r12 = x0y1− x1y3,

r13 = x2y0− x0y4, r14 = x1y0− x0y3.

Dentre elas, podemos destacar as formas r1, r2, r4, r6, r7, r10como sendo as equa¸c˜oes da

imagem de ν2e o conjunto gerador de (J1,∗) ´e formado pelas formas r3, r5, r8, r9, r11, r12, r13, r14.

Com isso, podemos obter a matriz jacobiana fraca ψ.

ψ =             −y5 y4 0 −y5 0 y3 0 y2 −y5 y2 0 −y4 0 _−y5 y1 y1 −y3 0 −y4 0 y0 −y3 y0 0            

Ao calcular o posto (ψ), encontramos menores 3× 3 não nulos no anel de po-linômios, no entanto no anel de coordenadas da imagem estes são nulos e como existem menores 2_{× 2 não nulos no anel de coordenadas da imagem, segue que jdrk(ψ) = 2.}

(24)

1.3 Crit´

erios de Birracionalidade

Toda constru¸cão feita até então, foi necessária para que pudéssemos falar a res-peito dos critérios que aqui abordaremos, pois estes nos fornecem resultados im-portant´ıssimos para teoria aqui apresentada, relacionando diretamente os conceitos introduzidos anteriormente.

1.3.1 Birracionalidade e o Posto Jacobiano Dual

Lema 1.31. ([4], Lema 1.12) Sejam F : V 99K Pm _{uma aplica¸c˜ao racional, onde}

V ⊂ Pn _{´e uma variedade projetiva de dimens˜ao positiva e W a imagem de F. Se}

existe uma aplica¸cão racional G : W 99K Pn _{tal que G ◦ F é a aplica¸cão inclusão de}

V em Pn_{, ent˜ao:}

i) A imagem de G ´e V ; ii) F ◦ G = idW.

Consequentemente, essas condi¸cões dizem F é birracional sobre sua imagem e que G é a inversa de F.

Teorema 1.32. ([4], Teorema 1.13) Sejam R = k[x]/I(V ) um dom´ınio de dimensão positiva e f ⊂ R um representante de uma aplica¸cão racional F definida de V . As seguintes condi¸cões são equivalentes:

i) F ´e birracional sobre sua imagem; ii) jdrk(F) ≥ n.

Pelo Teorema 1.32, temos que o mapa de Veronese ν2 : P2 → P5 do Exemplo 1.30

´e uma aplica¸c˜ao birracional sobre a imagem, pois jdrk(ν2) = 2.

1.4 Extens˜

oes Birracionais

Nesta se¸cão trabalharemos com as extensões birracionais. Para isso, consideremos k um corpo arbitrário e k[x] = k[x1, . . . , xn]. Observemos que xα = xa1. . . xan, onde

α = (a1, . . . , an) ∈ Nn. Denotaremos F = xv1, . . . , xvq ⊂ k[x] o conjunto finito de

monômios distintos de mesmo grau d ≥ 0 sem fator comum. Defini¸cão 1.33. Uma extensão F′

⊂ F de dom´ınios ´e dita birracional quando pos-suem o mesmo corpo de fra¸c˜oes.

Lema 1.34. Sejam F, F′

⊂ k[x] conjuntos finitos de monˆomios de mesmo grau d ≥ 2.

Ent˜ao: (i) Se F′

⊂ F ent˜ao k(F′

(25)

(ii) Se F′

⊂ F e F ⊂ k(F′

) ent˜ao k(F ) ⊂ k(F′_{), ou seja, k(F ) = k(F}′_).

Corol´ario 1.35. _{Se F ⊂ F}′

⊂ F′′

e F ⊂ F′′ _{é uma extensão birracional então}

F′

⊂ F′′ _{´e birracional.}

Teorema 1.36. Seja F : V 99K Pm _{uma aplica¸c˜ao racional definida por formas de}

grau d e considere f = {f0, . . . , fn} um representante de F, onde V ∈ Pn ´e uma

varie-dade projetiva de dimensão positiva. Então as seguintes condi¸cões são equivalentes: (i) F é birracional sobre a imagem;

(ii) k[f] ⊂ k[x]d é uma extensão birracional, onde k[x]d ∈ R denota a subálgebra de

Veronese de grau d em R, ou seja, ´e o conjunto de todas as formas de grau d em R.

Exemplo 1.37. Considere ν2 : P2 → P5 o mapa quadr´atico de Veronese descrito no

Exemplo 1.14, tal que

(x2₀, x2₁, x2₂, x0x1, x0x2, x1x2) = (f ).

´

E conhecido que o número de monômios de grau d em n + 1 variáveis é dado pelo coeficiente binomial "n+d_d . Então k[f ] = k[x]2, ou seja, é uma extensão birracional.

Portanto, pelo Teorema 1.36, temos que ν2 ´e birracional sobre a imagem.

1.5 Mapping Cone

Nesse momento, definiremos um complexo, chamado mapping cone. Em seguida, apresentaremos a representa¸cão matricial dos seus diferencias. Tal conceito, ajudará a compreender e a demonstrar o Teorema 2.7. Gostar´ıamos de alertar ao leitor que ao longo do texto utilizaremos homomorfismos de módulos livres para representar matrizes e vice-versa.

Defini¸cão 1.38. Sejam (F, ϕ) e (G, ψ) complexos, então um mapa de complexos é um mapa de módulos α : F → G tal que αϕ = ψα. Explicitamente, se

F : . . . _{−→ F}i+1 ϕi+1 −→ Fi ϕi −→ Fi−1 −→ . . . e G : . . . −→ Gi+1 ψi+1 −→ Gi ψi −→ Gi−1 −→ . . .

são complexos de módulos, então α : F _{→ G é uma cole¸cão de mapas α}i : Fi → Gi de

m´odulos, tais que os diagramas abaixo sejam comutativos, isto ´e, αi−1◦ ϕi = ψi◦ αi.

. . . −→ Fi ϕi −→ Fi−1 −→ . . . αi↓ αi−1↓ . . . _{−→ G}i ψi −→ Gi−1 −→ . . .

(26)

Defini¸cão 1.39. _{Se α : F → G é um mapa de complexos então o mapping cone} M (α) de α é o complexo tal que M (α)i = Fi−1⊕ Gi, com diferencial

Fi ϕi −→ Fi−1 ⊕ ցαi ⊕ Gi+1 ψi+1 −→ Gi .

Isto é, em Gi+1o mapa é a diferencial de G, mas no Fi o mapa é a soma da diferencial

de F e do mapa α de complexos. Em coordenadas, temos o seguinte: (ϕi(f ), αi(f ) +

ψi+1(g)), onde (f, g)∈ Fi⊕ Gi+1.

Um fato muito importante é a representa¸cão matricial dos diferenciais do mapping cone, a qual será enunciada a seguir.

Proposi¸c˜ao 1.40. Se α : F _{→ G ´e um mapa de complexos e M(α) mapping cone de}

α, temos que a representa¸c˜ao matricial dos diferenciais de M (α) ´e dada por: Ψ = ϕi 0 αi ψi+1 .

Demonstra¸c˜ao. Sejam f e g elementos dos m´odulos F e G respectivamente. Pela

defini¸c˜ao 1.39 temos Ψ(f, g) = (ϕi(f ), αi(f ) + ψi+1(g)) = (ϕi(f ), 0) + (0, αi(f )) + (0, ψi+1(g)) = ϕi 0 0 0 ◦ f g + 0 0 αi 0 ◦ f g + 0 0 0 ψi ◦ f g = ϕi 0 αi ψi ◦ f g . Com isso, temos o desejado.

Proposi¸cão 1.41. ([5], A3.30) Seja R é um anel graduado tal que R0 é um corpo, I

é um ideal de R e J é um R-módulo. Suponha que

F : . . . −→ Fs −→ . . . −→ F1 −→ R

e

G : . . . −→ Gs −→ . . . −→ G1 −→ G0

são resolu¸cões livres de R/I e J, respectivamente. Considere um homomorfismo injetivo a : J _{→ R/I, identificando J como um ideal em R/I, seja J}′ a preimagem de a(J) em R. Dado também mapas αi : Gi → Fi formando um mapa de complexos

α : F → G levantando o mapa a, temos que mapping cone de α M (α) : . . . −→ Fs⊕ Gs−1 −→ . . . −→ F1⊕ Go

(27)

Cap´ıtulo 2

Implicitiza¸

c˜

ao das Parametriza¸

c˜

oes

de Jonqui`

eres

Na literatura existem vários métodos de construir novas aplica¸cões racionais, a partir de outras. Uma pergunta natural a ser feita é: quais são as propriedades herdadas ou não da aplica¸cão inicial. Neste cap´ıtulo, faremos uma dessas constru¸cões e veremos que várias de suas propriedades estão relacionadas.

2.1 Parametriza¸

c˜

oes de Jonqui`

eres

Usaremos como aplica¸cão base uma Cremona, como veremos na seguinte defini¸cão. Defini¸cão 2.1. Sejam G = (g0 : . . . : gn) : Pn 99KPn a aplica¸cão de Cremona de grau

d e f, g ∈ R formas de graus d ≥ 1 e d + d, respectivamente, com f e g relativamente primos. Definimos uma aplica¸c˜ao racional F = (g0f : . . . : gnf : g) : Pn 99K Pn+1

como sendo a parametriza¸c˜ao de Jonqui`eres.

Exemplo 2.2. Seja G uma aplica¸c˜ao Cremona de grau 2 tal que G = (x1x2 :

x0x2 : x0x1), pois G = G−1, a qual explicitaremos por G−1 = (y1y2 : y0y2 : y0y1).

Consideremos g = x2

0 e f = 1, assim a parametriza¸cão de Jonquières obtida é

F = (x1x2 : x0x2 : x0x1 : x20) ´e birracional sobre a imagem, de fato: aplicando o

teorema 1.36, obtemos k[x1x2, x0x2, x0x1] ⊆ k[x]2 ´e uma extens˜ao birracional. Da´ı,

temos as seguintes inclus˜oes:

k[x1x2, x0x2, x0x1] ⊆ k[x1x2, x0x2, x0x1, x20] ⊆ k[x]2.

Pelo Corol´ario 1.35 podemos concluir o desejado.

Notemos que P (y) = y1y2− y0y3 pertence as equa¸c˜oes da ´algebra de Rees.

Lem-bremos que k[h]≃ k[y]/I(W ), onde h ´e o representante de F e W denota a imagem de F. Assim, dim k[h] = dim k[y]/I(W ), segue que alt I(W ) = dim k[y] − dim k[h]. Como dim k[y] = 4 e dim k[h] = 3, logo_{I(W ) ´e principal e portanto I(W ) = (P (y)).}

(28)

A proposi¸cão a seguir nos diz que as propriedades destacadas no Exemplo 2.2 é uma caracter´ıstica das parametriza¸cões de Jonquières.

Proposi¸cão 2.3. Se F é uma parametriza¸cão de Jonquières, então as seguintes condi¸cões são satisfeitas:

(i) F ´e uma aplica¸c˜ao birracional sobre sua imagem;

(ii) O ideal de defini¸cão da imagem de F é principal, denotado por (F); (iii) Se G−₁ = (g′ 0 : . . . : g ′ n), com g ′ i ∈ k[y], então (g ′ 0 : . . . : gn′) é um representante

de F−1_{, onde a barra denota sua classe m´odulo F.}

Demonstra¸c˜ao. i) Seja G = (g0 : . . . : gn) : Pn 99K Pn uma Cremona de grau

d, pelo Teorema 1.36, temos que k[g0, . . . , gn] ⊆ k[x]d ´e uma extens˜ao birracional.

Considere f, g ∈ R formas de graus d ≥ 1 e d + d, respectivamente. A partir de G podemos construir a seguinte Cremona G′ _{= (f g}

0 : . . . : f gn) de grau d + d e pelas

mesmas razões acima, segue que k[f g0, . . . , f gn] ⊆ k[x]d+dé uma extensão birracional.

Notemos que,

k[f g0, . . . , f gn] ⊆ k[fg0, . . . , f gn, g] ⊆ k[x]d+d.

Pelo Corolário 1.35, temos k[f g0, . . . , f gn, g] ⊆ k[x]d+d é uma extensão birracional e

portanto pelo Teorema 1.36, conclu´ımos que F ´e birracional sobre a imagem.

ii) Consideremos F : Pn _99K _Pn+1 _{uma aplica¸c˜ao racional e seu representante f ,}

onde W = Im(F) e k[y][yn+1] = k[y0, . . . , yn+1]. Temos que k[f ] ≃ k[y][yn+1]/I(W ).

Assim, dim k[f ] = dim k[y][yn+1]/I(W ), donde segue que

alt I(W ) = dim k[y][yn+1]− dim k[f ].

Por hipótese, dim k[f ] = dim R = n + 1. Logo, alt_{I(W ) = 1 e portanto a dimensão} da imagem é igual a 1, ou seja, _{I(W ) é principal.}

iii) Seja G−1 _{= (g}′ 0 : . . . : g ′ n), com g ′ i ∈ k[y][yn+1] e deg g′i = d ′_{. Verificaremos} que B = (g′

0 : . . . : g′n) ´e a inversa de F, onde a barra denota sua classe m´odulo F.

Notemos que B◦ F = B(g0f : . . . : gnf : g) = (g′ 0(g0f, . . . , gnf ) : . . . : gn′(g0f, . . . , gnf )) = (fd′ (g′ 0(g0, . . . , gn) : . . . : fd ′ (g′ n(g0, . . . , gn)) = (fd′ (Dx0 : . . . : Dxn)) = fd′ D(x0 : . . . : xn) = (x0 : . . . : xn).

(29)

2.2 No¸

c˜

oes sobre Siz´ıgias

Em geometria algébrica sobre um corpo k, estudamos a geometria das variedades através de propriedades do anel de polinômios A = k[x0, . . . , xr] e seus ideais.

Acon-tece que para estudar os ideais efetivamente também precisamos estudar os módulos graduados mais gerais sobre este anel. Notemos que a maneira mais simples para descrever um módulo é por geradores e rela¸cões. Dessa forma, podemos pensar em um conjunto S ⊂ M de geradores para um A-módulo M como um mapa a partir de um A-módulo livre F = AS _{em M , enviando o elemento da base de F ao gerador}

correspondente m ∈ S.

Defini¸cão 2.4. Se M1é o kernel do mapa F → M, então dizemos que M1é o módulo

de siz´ıgias de M correspondendo a escolha de geradores de M , e uma siz´ıgia de M ´e

um elemento de M1.

Vale destacar que existe uma rela¸cão linear, com coeficientes em A, na escolha dos geradores para o módulo de siz´ıgias de M . Agora, fa¸camos o seguinte racioc´ınio: Se r = 0, então estamos trabalhando sobre o anel de polinômios em uma única variável, e consequentemente o módulo de siz´ıgias é por si só um módulo livre. Mas quando r > 0, ele pode ser o caso que qualquer conjunto de geradores do módulo de siz´ıgias tem rela¸cões. Para entendê-los, procedemos como antes: escolhemos um conjunto de geradores de siz´ıgias e usamos este para definir um mapa de um novo módulo livre, digamos F1 em M1, equivalentemente, constru´ımos o mapa ψ1 : F1 → F

cuja a imagem ´e M1. Continuando desta maneira, obtemos uma resolu¸c˜ao livre de

M , isto ´e, uma sequˆencia de mapas . . .−→ F2

ψ2

−→ F1 ψ1

−→ F −→ M −→ 0,

onde todos os módulos Fi são livres e cada mapa é uma sugestão para o kernel do

seguinte mapa. A imagem Mi de ψi é chamado o i-ésimo módulo das siz´ıgias de M .

Proposi¸cão 2.5. Se R é uma resolu¸cão livre de R/I, então é também uma resolu¸cão livre de R/If , com f _{∈ R.}

Demonstra¸c˜ao. Considere R

R: . . . −→ Rm _{−→ R}n+1 _{−→ R/I}

uma resolu¸c˜ao livre de R/I, onde I = (g0, . . . , gn). Assim,

Rm _{−→ R}n+1 _{−→ I −→ 0}

é uma sequência exata. Seja v = (v0, . . . , vn) pertencente ao módulo de siz´ıgias de I,

ou seja, v0g0+ . . . + vngn = 0, segue que v tamb´em pertence ao m´odulo de siz´ıgias de

If , pois v0(f g0) + . . . + vn(f gn) = 0. De modo an´alogo, todo w pertencente ao m´odulo

de siz´ıgias de If , também pertence ao módulo de siz´ıgias de I. Portanto, temos I e If possuem os mesmos módulos de siz´ıgias e portanto a definem a mesma resolu¸cão.

(30)

2.2.1 Mapping Cone

Neste momento, estabelecemos as rela¸c˜oes b´asicas de grau 1 das formas g0f, . . . , gnf, g

que definem uma aplica¸c˜ao racional. Nos pr´oximos resultados, (g0 : . . . : gn) define

qualquer mapa racional, n˜ao necessariamente Cremona.

Nesta parte, enunciaremos um resultado geral sobre mapping cone que associare-mos com os presentes dados. A constru¸cão é completamente geral e não requer uma situa¸cão graduada.

O lema a seguir será muito útil na demonstra¸cão do teorema 2.7, o qual tem como objetivo determinar a apresenta¸cão livre do ideal (If, g), e consequentemente a sua respectiva matriz de siz´ıgias.

Lema 2.6. _{Sejam I ⊂ R := k[x] um ideal arbitr´ario e f, g ∈ R. Se o mdc(f, g) = 1,}

ent˜ao:

(i) If : (g) = (I : (g))f ;

(ii) A multiplica¸c˜ao por g induz um isomorfismo R/(I : (g))f ≃ (If, g)/If de

R-m´odulos.

Demonstra¸c˜ao. _{(i) Inicialmente, mostraremos que (I : (g))f ⊂ If : (g). Para isso,}

consideremos a ∈ (I : (g))f, assim a = bf, onde bg ∈ I, segue que (bf)g ∈ If. Portanto bf ∈ If : (g), logo a ∈ If : (g). Reciprocamente, seja b ∈ R tal que bg ∈ If, assim bg = if, segue que f divide bg e como o mdc(f, g) = 1 temos que f divide b. Com isso, podemos escrever b = af com a ∈ R. Ent˜ao (ag)f ∈ If, portanto ag ∈ I, isto ´e, a ∈ I : (g). Portanto b ∈ (I : (g))f.

(ii) Para demonstrarmos que g induz um isomorfismo R/(I : (g))f ≃ (If, g)/If de R-módulos. Considere o homomorfismo inclusão g → (If, g)/If tal que é sobrejetivo e o kernel (g) ∩ If. Desse modo, obtemos (If, g)/If ≃ (g)/(g) ∩ If.

Vejamos que (g)/(g) ∩ If = (g)/(If : (g))g, ou seja, (g) ∩ If = (If : (g))g. Para verificarmos isto, basta tomar a ∈ (g) ∩ If, isto significa que a = gl e a = if, obtendo assim gl = if . Além disso o mdc(f, g) = 1, logo l é um múltiplo de f , consequentemente gl = (bf )g ∈ If, donde segue que bf ∈ If : (g) e portanto a ∈ (If : (g))g. Por outro lado, se a ∈ (If : (g))g então a = bg′

onde b ∈ If e g′

∈ (g), segue que a ∈ If e a ∈ (g). Portanto a ∈ (g) ∩ If.

Para finalizar, mostraremos que (g)/(If : (g))g ≃ R/If : (g). Para isso, basta considerar o homomorfismo sobrejetivo de R-m´odulos

ϕ : R → _{(If : (g))g}(g)

a 7→ ag.

Temos que o Ker(ϕ) = If : (g), de fato: seja b ∈ If : (g). Observemos que b ∈ Ker(ϕ) se, e somente se, bg ∈ (If : (g))g, assim bg ∈ (If : (g))g segue que bg = 0, donde obtemos ϕ(b) = 0 logo b ∈ Ker(ϕ). Reciprocamente, seja b ∈ Ker(ϕ),

(31)

logo ϕ(b) = 0, assim bg = 0 donde obtemos bg ∈ (If : g)g segue que bg = sg, onde s ∈ If : g, logo (b − s)g = 0 temos que b = s e portanto b ∈ If : g.

Com isso, podemos aplicar o item (a) e obtemos o desejado. ´

E geral que um homomorfismo de R-m´odulos sobrejetivos π : Rq_։ _{I : (g) induz}

uma aplica¸c˜ao c(g) : Rq

→ Rn+1_{. Em coordenadas expl´ıcitas: sejam} _{v

1, . . . , vq} a

base canˆonica de Rq _{e I : (g) = (c}

1, . . . , cq), temos π(vj) = cj. Agora, consideremos

o ideal I = (g0, . . . , gp) e denotemos {e0, . . . , ep} a base canˆonica de Rp+1. Como

cjg ∈ I e I ´e gerado pelos gi com i ∈ {0, . . . , p}, temos cjg = Pp_i=0hijgi com

hij ∈ R, donde segue, P p

i=0hijgi− cjg = 0, fazendo a multiplica¸c˜ao por f , obtemos

Pp

i=0hij(f gi)− (fcj)g = 0, ou seja, (h0j, . . . , hpj,−cjf ).(f g0, . . . , f gp, g) = 0. Esse

procedimento, nos permitiu encontrar a matriz associada a aplica¸c˜ao c(g):      h0j ... hpj −cif      para j _{∈ {1, . . . , q}.}

A partir dessa constru¸c˜ao, podemos descrever c(g)(vj) = Pp_i=0hijei para j ∈

{1, . . . , q}.

Esta constru¸c˜ao ser´a utilizada no seguinte resultado:

Teorema 2.7. Sejam R e S resolu¸cões livres finitas de R/I e R/(I : (g))f , respec-tivamente. Então a multiplica¸cão por g faz o levantamento para um mapa S _{→ R} cujo mapping cone associado é uma resolu¸cão livre de R/(If, g). Em particular, a matriz de siz´ıgias dos geradores de (If, g) tem a forma

Ψ =

ϕ c(g) 0 −fπ,

onde ϕ denota a matriz de siz´ıgias de um dado conjunto de geradores de I.

Demonstra¸cão. Inicialmente, verificaremos que o mapping cone em questão é uma

resolu¸cão livre de R/(If, g). Observemos que R é resolu¸cão livre de R/If pela Proposi¸cão 2.5. Pelo Lema 2.6 (b), temos que a multiplica¸cão por g induz a um homomorfismo injetivo de R-módulos R/(I : (g))f ֒→ R/If com imagem (If, g)/If. Consequentemente, esse homomorfismo pode ser levantado para um mapa de com-plexos.

R: . . . _{−→ R}m1 _−→ϕ _Rp+1 _−→f g _R _−→ _R/If _{−→ 0}

↑ c(g) ↑ .g ↑ .g ↑

(32)

onde g = (g0, . . . , gp) e c(g) a matriz induzida pela aplica¸c˜ao π. Isto, segue

direta-mente do Lema 4.3, o qual nos permite construir um mapa de complexos α : S → R, ou seja, uma cole¸c˜ao de mapas αi : Ri → Rj de R-m´odulos tais que tornam os

diagramas comutativos. Notemos que

Rm1 −→ Rϕ p+1

⊕ c(g)ր ⊕ Rq _−→f π _R

Pela Proposi¸c˜ao 1.41 temos que o mapping cone

M (α) : . . . _{−→ R}m1 _{⊕ R}q _{−→ R}Ψ p+1_{⊕ R −→ R −→ (R/(If))/((If, g)/If)}

é uma resolu¸cão livre de (R/(If ))/((If, g)/If ) _{≃ R/(If, g). Portanto a matriz de} siz´ıgias dos geradores de (If, g) é representada por:

Ψ = ϕ c(g) 0 _−fπ .

2.3 A Equa¸

c˜

ao Impl´ıcita

Nesta se¸cão, adotaremos a mesma nota¸cão das se¸cões anteriores e faremos um estudo detalhado a respeito da imagem da parametriza¸cão de Jonquières. Para isso, definire-mos um polinômio, denominado polinômio siz´ıgetico, o qual será um forte candidato a equa¸cão impl´ıcita.

2.3.1 Mon´

oides e Polinˆ

omios Sizig´

eticos

Defini¸cão 2.8. Uma formaF ∈ k[y0, . . . , yn, yn+1] = k[y][yn+1] é chamada de monóide

se F pode ser escrito da seguinte maneira: F = G + Hyn+1, onde G, H s˜ao formas

em k[y0, . . . , yn].

A defini¸cão acima nos permite caracterizar os monóides como sendo um simples polinômios de grau 1 no anel de polinômios B[yn+1], com coeficientes homogêneos em

B = k[y0, . . . , yn]. Vale destacar que boa parte dos resultados abordados neste

tra-balho envolvem mon´oides. Geralmente chamaremos de yn+1-mon´oide para enfatizar

a vari´avel.

Lema 2.9. _{Seja F um y}n+1-mon´oide, dado por F = G + Hyn+1, onde G, H s˜ao

formas em k[y0, . . . , yn]. Dizemos que F ´e uma forma irredut´ıvel, se, e somente se,

(33)

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que mdc(G, H) 6= 1, assim consideremos que P = mdc(G, H),

com P /∈ k. Segue que P|G e P|H, logo existem G′

, H′

∈ k[y0, . . . , yn] tais que

H = PH′

e G = PG′

. Desse modo, podemos reescrever F da seguinte forma F = PG′

+ PH′

yn+1 = P(G′+ H′yn+1).

Logo, F n˜ao ´e irredut´ıvel.

Reciprocamente suponhamos que F não é irredut´ıvel, então F = F1F2, com

deg(F) > deg(Fi) > 0 para todo i. Como degyn+1(F) = 1, temos degyn+1(F1) = 1 e

deg_y_n+1_(F2) = 0 ou degyn+1(F1) = 0 ou degyn+1(F2) = 0. Da´ı, F1 = F3+ F4yn+1 e

F2 = F2, para algumas formas F2, F3, F4 ∈ k[y0, . . . , yn]. Assim,

G + Hyn+1= F2F3+ F2F4yn+1.

Implica que G = F2F3 e H = F2F3 e portanto o mdc(G, H) 6= 1.

Considere uma siz´ıgia da matriz de geradores de J = (If, g) de modo que, as ´

ultimas coordenadas sejam não nulas como no Teorema 2.7. Sua versão polinomial é uma 1-forma em R[y0, . . . , yn, yn+1]

n

X

i=0

hijyi− fcjyn+1, (2.1)

onde cj ∈ I : (g) e cjg =Pn_i=0hijgi.

Defini¸c˜ao 2.10. Suponha que (g0 : . . . : gn) define uma aplica¸c˜ao Cremona e

consi-dere (g′

0: . . . : g ′

n) sua aplica¸cão inversa. O j-ésimo polinômio sizigético é a forma n

X

i=0

hij(g₀′, . . . , g′n)yi− f(g₀′, . . . , gn′)cj(g′₀, . . . , gn′)yn+1∈ k[y] := k[y0, . . . , yn, yn+1]

(2.2) obtida de (2.1) avaliando xi 7→ gi′ para i = 0, . . . , n.

A principal propriedade de tais formas ´e a seguinte.

Lema 2.11. O j-ésimo polinômio sizigético introduzido na Defini¸cão 2.10 pertence ao ideal de defini¸cão da álgebra de Rees do ideal (If, g). Em particular, ele é um múltiplo da equa¸cão impl´ıcita da parametriza¸cão dada por _{{If, g}.}

Demonstra¸cão. Lembremos que a aplica¸cão racional definida por (f g0, . . . , f gn, g) é

birracional sobre a imagem. Pelo Teorema 1.26, temos um isomorfismo de k-´algebras RR((If, g))≃ RS(I

′

), (2.3)

onde I′ _{= (g}′

0, . . . , g′n) e S = k[y]/(F). Este isomorfismo ´e induzido pela aplica¸c˜ao

(34)

J e K sobre k[x, y], temos a igualdade J = K. Portanto, por defini¸cão de K, o polinômio sizigético P = P (y) := n X i=0 hij(g ′ 0, . . . , g ′ n)yi− f(g ′ 0, . . . , g ′ n)cj(g ′ 0, . . . , g ′ n)yn+1

pertence a J. Mas, como o polinômio sizigético depende somente de y, implica que, ele necessariamente pertence a (F) ⊂ k[y], ou seja, P (y) é um múltiplo da equa¸cão impl´ıcita.

Isto sugere que um polinômio sizigético é um forte candidato a equa¸cão impl´ıcita F. O polinômio sizigético coincide com F, a menos de um elemento não-nulo do corpo, quando for irredut´ıvel.

2.3.2 O Grau da Equa¸

c˜

ao Impl´ıcita

Proposi¸c˜ao 2.12. Suponha que G = (g0 : . . . : gn) : Pn 99KPn define uma aplica¸c˜ao

Cremona de grau d cuja a aplica¸c˜ao inversa G−1 _{= (g}′

0 : . . . : g ′

n) e D ⊂ k[y0, . . . , yn]

o fator de invers˜ao de chegada de G. Sejam f, g ∈ R = k[x0, . . . , xn] formas, com

deg(g) = d+deg(f ) tais que f (g′_{) e g(g}′_{) s˜ao elementos n˜ao nulos de k[y}

0, . . . , yn]. Se

F ⊂ k[y0, . . . , yn, yn+1] denota a equa¸cão impl´ıcita da parametriza¸cão de Jonquières

(f g0 : . . . : f gn : g) : Pn 99KPn+1, ent˜ao:

(i) F ´e o yn+1-mon´oide

g(g′

) − yn+1f (g′)D

mdc(g(g′_{), f (g}′_)D); (2.4)

(ii)

deg(F) = deg(g) deg(G−1_{) − deg(mdc(g(g}′_{), f (g}′_)D))

= deg(f ) deg(G−1_{) + deg(D) + 1 − deg(mdc(g(g}′_{), f (g}′_)D)).

Em particular, deg(F) ≤ deg(g) deg(G−1_).

Demonstra¸c˜ao. (i) Seja S := k[y0, . . . , yn, yn+1]/(F) o anel de coordenadas

ho-mogêneas da imagem de F. Como a parametriza¸cão de Jonquières definida pelos geradores de (If, g) é birracional, logo os menores 2 × 2 de

(f g0)(g′) . . . (f gn)(g′) g(g′)

y0 . . . yn yn+1

se anulam, módulo (F). Em particular, fixando a última coluna, cada um dos me-nores Pi := yig(g′) − yn+1f (g′)gi(g′) são múltiplos de F. Por outro lado, a aplica¸cão

Cremona G garante que gi(g′) = yiD para i = 1, . . . , n. Como yi n˜ao ´e um fator de

(35)

não é um fator do mdc(g(g′_{), f (g}′_{)D), pois mdc(g(g}′_{), f (g}′_{)D) está em k[y}

0, . . . , yn]

enquanto F envolve efetivamente a vari´avel yn+1.

Agora

g(g′₎

− yn+1f (g′)D

mdc(g(g′_{), f (g}′_)D)

é um yn+1-monóide com componentes relativamente prima, assim é irredut´ıvel pelo

Lema 2.9. Portanto, o yn+1-mon´oide deve coincidir com F, a menos de um elemento

n˜ao-nulo em k.

(ii) Para obtermos a primeira igualdade, basta analisar a seguinte parte g(g′₎

mdc(g(g′_{), f (g}′_)D)

de F. Assim,

deg(g) deg(G−1_{) = deg(f ) deg(G}−1_{) + deg(D) + 1.}

Por hip´otese, deg(g) = d + deg(f ) assim

deg(g) deg(G−1_{) = (d + deg(f )) deg(G}−1₎

= d deg(G−1_{) + deg(f ) deg(G}−1₎

= deg(D) + 1 + deg(f ) deg(G−1_),

pois por defini¸c˜ao de fator de invers˜ao gi(g′) = yiD. Com isso, segue o desejado.

Observa¸c˜ao 2.13. Notemos que _JI (JJ. De fato, seja p(x, y)∈ JI um polinˆomio

bihomogˆeneo. Para um β adequado, temos

p(x, f g0, . . . , f gn) = fβp(x, g0, . . . , gn).

Logo, _JI = JJ ∩ k[x, y]. Portanto JI está contido em JJ, porém essa inclusão

é estrita, pois a equa¸cão impl´ıcita _{F ∈ J}J e não está em JI, devido o fato de F

depender da vari´avel yn+1.

Corol´ario 2.14. Se mdc(g(g′_{), f (g}′_{)) = 1 ent˜ao}

deg(_{F) = deg(g) deg(G}−1₎

− deg(mdc(g(g′

), D)).

Em particular, deg(f ) deg(G−₁

) + 1≤ deg(F) < deg(g) deg(G−₁

).

Demonstra¸cão. A igualdade exibida segue imediatamente da fórmula na Proposi¸cão

2.12, assim mostraremos as desigualdades. Para isso, considere deg(g) = deg(f ) + deg(G) segue que

deg(_{F) = (deg(f) + deg(G)) deg(G}−1₎_{− deg(mdc(g(g}′_{), D))}

(36)

Mas deg(G) deg(G−1_{) = deg(D) + 1 e deg(mdc(g(g}′

), D)) ≤ deg(D), assim deg(F) ≥ deg(f) deg(G−1_{) + deg(D) + 1}_{− deg(D)}

≥ deg(f) deg(G−1_{) + 1.}

Por outro lado,

deg(_{F) = deg(g) deg(G}−1₎_{− deg(mdc(g(g}′_{), D))}

≤ deg(g) deg(G−₁₎

< deg(g) deg(G−₁

). Desse modo, conclu´ımos que deg(f ) deg(G−₁

) + 1≤ deg(F) < deg(g) deg(G−₁

).

2.4 O Caso Inclus˜

ao

Nesta se¸cão, exploraremos o caso em que g ∈ I, em outras palavras, I : (g) = R que segundo a nota¸cão da Subse¸cão 2.2.1 que diz que π : R→ R pode ser tomada como a aplica¸cão identidade e o mapa c(g) : R _{→ R}n+1 _{terá apenas uma siz´ıgia adicional.}

Neste caso, a matriz de siz´ıgias dos geradores de (If, g) ´e da forma Ψ = ϕ c(g) 0 _−f , (2.5)

onde ϕ denota uma matriz de siz´ıgias dos geradores de I. Assim, existe um único polinômio sizigético P := Pni=0hi(g′)yi − f(g′)yn+1. Fixando as hipóteses da

Pro-posi¸c˜ao 2.12, estabelecemos o seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 2.15. Suponhamos que mdc(f (g′_{), g(g}′_{)) = 1. Se}

P ∈ k[y0, . . . , yn, yn+1]

é um polinômio sizigético, as seguintes condi¸cões são equivalentes: (i) g∈ I;

(ii) deg(F) = deg(f) deg(G−₁

) + 1 e (F) = (P).

Demonstra¸cão. (i) _{⇒ (ii) Se g ∈ I, existe um único polinômio sizigético P em} k[y0, . . . , yn, yn+1] tal que P := Pn_i=0hi(g′)yi − f(g′)yn+1. Assim, o deg(P) é igual

a deg(f ) deg(G−1_{) + 1. Temos, pelo Corol´ario 2.14 deg(}_{F) ≥ deg(f) deg(G}−1_{) + 1.}

Como_{P é múltiplo da equa¸cão impl´ıcita F, segue que deg P ≥ deg F. Desse modo,} conclu´ımos que deg(_{F) = deg(f) deg(G}−1_{) + 1 e portanto (}_{F) = (P).}

(ii)⇒ (i) Por hip´otese, deg(F) = deg(f) deg(G−₁

) + 1 e (F) = (P). Isso resulta que deg(P) = deg(f) deg(G−₁

) + 1. Comparando-a com a forma geral de P dada na Defini¸c˜ao 2.10, temos que deg(cj(g0′, . . . , g

′

n)) = 0 para algum gerador cj do condutor

I : g. Assim, deg(cj). deg(G−1) = 0. Como deg(G−1) 6= 0, temos que deg(cj) = 0,

logo cj é um polinômio constante não-nulo de k[x], segue que cj é um elemento de

k−{0}, logo cj ´e invert´ıvel. Com isso, se cjg ∈ I, ent˜ao cj−1.cjg∈ I e portanto g ∈ I,

(37)

Corolário 2.16. Se G é o mapa identidade de Pn _{e mdc(f, g) = 1, então}

F = g(y0, . . . , yn)− f(y0, . . . , yn)yn+1. (2.6)

Em particular, deg(_{F) = deg(f) + 1.}

Demonstra¸cão. Por hipótese G é o mapa identidade de Pn_{, então G}−1 _{também o é,}

assim o mdc(f (g′_{), g(g}′_{)) = mdc(f (y), g(y)) = 1. Por outro lado, o fator de invers˜ao}

´e igual a 1, assim pela Equa¸c˜ao 2.4, temos que _{F = g(y}0, . . . , yn)− f(y0, . . . , yn)yn+1

e portanto o deg(F) = deg(f) + 1.

Exemplo 2.17. Consideremos o Exemplo 1.19, se tomarmos g = x3

0x3 = x0(−g3)

um elemento de I = (g0, g1, g2, g3) e f = x0+ x2 temos o mdc(f, g) = 1. Assim,

P = −y3[y0y3+ y4(y0+ y1+ y2)]

e como

F = −y3[y0y3+ y4(y0+ y1+ y2)].

Portanto, _{P = −y}3F.

2.5 O Caso N˜

ao Divisor de Zero

Suponhamos que g é um não divisor de zero em R/I. Nesta situa¸cão, I : (g) = I, assim o mapa π no Teorema 2.7 resume-se à estrutural sobreje¸cão π : Rn+1 _{→ I.}

Portanto, o mapa c(g) reduzi-se para g vezes o mapa identidade de Rn+1_{. Desse}

modo, a matriz de siz´ıgias de J = (If, g) tem a forma Ψ = ϕ g.In+1 0 _−fg , onde ϕ ´e uma matriz de siz´ıgias de I e g = (g0, . . . , gn).

Proposi¸c˜ao 2.18. Seja G = (g0 : . . . : gn) : Pn 99K Pn uma aplica¸c˜ao Cremona

de grau d com ideal base I = (g0, . . . , gn) e sejam f, g ∈ R tais que satisfazem as

mesmas condi¸cões anteriores. Suponhamos que g é um não divisor de zero R/I. Então a equa¸cão impl´ıcita F é um fator de

P := g(g′ 0, . . . , g ′ n)− f(g ′ 0, . . . , g ′ n)Dyn+1, onde g′ 0, . . . , g ′

n ⊂ k[y0, . . . , yn] define a inversa G−1 de G e D ´e fator de invers˜ao.

Em particular, deg(_{F) ≤ deg(f) deg(G}−1_{) + deg(D) + 1. Al´em disso, as seguintes}

condi¸c˜oes s˜ao equivalentes: (i) (P) = (F);