sociado
Nesta se¸c˜ao, pretendemos apresentar o ideal IF de modo expl´ıcito. Para isso, fare-
mos uma constru¸c˜ao baseada na parametriza¸c˜ao de Jonqui`eres abordada ao longo do texto, denominada parametriza¸c˜ao canˆonica. Em seguida, verificaremos que esta nova parametriza¸c˜ao herda as propriedades da parametriza¸c˜ao inicial.
Consideremos o ideal de defini¸c˜ao da ´algebra de Rees J = (If, g) ⊂ k[x] que define uma parametriza¸c˜ao de Jonqui`eres F : Pn 99K Pn+1, onde I = (g
0, . . . , gn) ⊂ k[x] ´e
o ideal base da Cremona G : Pn 99K Pn e G−1 ´e aplica¸c˜ao inversa definida por
g′
0, . . . , gn′ ∈ k[y] = k[y0, . . . , yn].
Pela Proposi¸c˜ao 2.12 (i), F ´e um yn+1-mon´oide, digamos que, F = Fδ−yn+1Fδ−1,
onde δ = deg(F), Fδ,Fδ−1 ∈ k[y] s˜ao formas de graus δ, δ − 1 respectivamente, tais
que mdc(Fδ,Fδ−1) = 1.
Defini¸c˜ao 3.7. Sejam hδ := Fδ(x) e hδ−1 := Fδ−1(x) formas de graus δ, δ− 1 res-
pectivamente em k[x]. Definimos a parametriza¸c˜ao canˆonica do mon´oide da Im(F), definidas por hδ, hδ−1, a saber:
M:= (hδ−1x0 : . . . : hδ−1xn : hδ) : Pn 99KPn+1. (3.2)
Escreveremos K := (hδ−1x0, . . . , hδ−1xn, hδ)⊂ k[x] para o ideal base de M.
Por constru¸c˜ao, temos que a parametriza¸c˜ao canˆonica M ´e tamb´em uma para- metriza¸c˜ao de Jonqui`eres, onde a Cremona base ´e a aplica¸c˜ao identidade. Logo M satisfaz todas as propriedades descritas acima.
Teorema 3.8. Usando a nota¸c˜ao acima, temos: (i) F e M tem a mesma equa¸c˜ao impl´ıcita; (ii) F = G◦ M;
(iii) Sejam
R(J) ≃ k[x, y, yn+1]/IF e R(K) ≃ k[x, y, yn+1]/IM
s˜ao ideias de defini¸c˜ao das duas ´algebras de Rees baseada nos geradores dados. Ent˜ao IF = IM(G) : C∞ e IM = IF(G−1) : D∞, com IM(G) := {h(g0, . . . , gn; y, yn+1)|h(x; y, yn+1) ∈ IM} e IF(G−1) := {h(g0′(x), . . . , gn′(x); y, yn+1)|h(x; y, yn+1) ∈ IF},
onde C ∈ k[x] e D ∈ k[y] s˜ao respectivamente fator de invers˜ao de sa´ıda e de chegada de G.
Demonstra¸c˜ao. (i) Sejam F e F′ as equa¸c˜oes impl´ıcitas de F e M, respectivamente.
Mostraremos que F = F′. Para isso, observemos que a Cremona que define M ´e a
identidade, logo mdc(g(g′), f (g′)) = 1 e o fator de invers˜ao de chegada D ´e igual a 1.
Pelo Corol´ario 2.16 obtemos F′ = h
δ(y0, . . . , yn)− hδ−1(y0, . . . , yn)yn+1
= Fδ(y0, . . . , yn)− Fδ−1(y0, . . . , yn)yn+1
= F.
(ii) Verificaremos que M−1◦ F = G. Como M−1 = (y
0 : . . . : yn), segue que M−1◦ F = M−1(g 0f : . . . : gnf : g) = (g0f : . . . : gnf ) = f (g0 : . . . : gn) = G.
(iii) Primeiramente mostraremos as inclus˜oes IF(G−1) ⊂ IM e IM(G) ⊂ IF.
Para a primeira inclus˜ao, seja h(x; y, yn+1) ∈ IF um elemento homogˆeneo, segue
por defini¸c˜ao que, h(x; f g0, . . . , f gn, g) = 0. Verificaremos que
h(g′
(x); hδ−1x0, . . . , hδ−1xn, hδ) = 0.
Para isso, seja D o fator de invers˜ao de chegada de G. Relembremos que hδ = g(g ′(x)) m
e hδ−1 = f(g
′(x))D(x)
m , onde m = mdc(g(g
′(x)), f (g′(x))D(x)). Como h ´e bihomogˆeneo,
podemos eliminar m, portanto a afirma¸c˜ao ´e equivalente a mostrar h(g′
(x); f (g′
Por defini¸c˜ao, D(x)xi = gi(g′(x)), para todo i. Portanto a Equa¸c˜ao 3.3 ´e equivalente a seguinte h(g′(x); f (g′(x))g 0(g′(x)), . . . , f (g′(x))gn(g′(x)), g(g′(x))) = h(x; f g0, . . . , f gn, g) ◦ (g′(x)) = 0 ◦ (g′(x)) = 0.
Para discutirmos a segunda inclus˜ao acima, seja h(x; y, yn+1) ∈ IM tamb´em um
elemento bihomogˆeneo. Por defini¸c˜ao, h(x; hδ−1x0, . . . , hδ−1xn, hδ) = 0. Queremos
mostrar que
H := h(g0(x), . . . , gn(x); f (x)g0(x), . . . , f (x)gn(x), g(x)) = 0.
Para isso, primeiro provaremos que substituindo x por g′(x) em H ´e zero, a saber, de
modo an´alogo, usamos a propriedade caracter´ıstica de fator de invers˜ao de chegada dada por D(x)xi = gi(g′(x)), para todo i. Da´ı, existem inteiros adequados r, s tal
que: H(g′(x)) = h(g 0(g′(x)), . . . , gn(g′(x)); f (g′(x))g0(g′(x)), . . . , f (g′(x))gn(g′(x)), g(g′(x))) = h(D(x)x0, . . . , D(x)xn; f (g′(x))D(x)x0, . . . , f (g′(x))D(x)xn, g(g′(x))) = mrDshx;f(g′(x)) m x, g(g′(x)) m = mrDsh(x; h δ−1x, hδ) = 0.
Considere agora o fator de invers˜ao de sa´ıda C ∈ k[x], cuja a propriedade carac- ter´ıstica ´e g′
i(g) = Cxi, para todo i. Ent˜ao, para um adequado expoente t, temos
CtH = Cth(g 0(x), . . . , gn(x); f (x)g0(x), . . . , f (x)gn(x), g(x)) = (h(g0(x), . . . , gn(x); f (x)g0(x), . . . , f (x)gn(x), g(x))) ◦ (g′0(g(x)), . . . , g ′ n(g(x))) = (h(g(x); f (x)g(x), g(x)) ◦ (g′ (x)) ◦ (g(x)) = H(g′ (x)) ◦ (g(x)) = 0 ◦ (g(x)) = 0
o que prova a afirma¸c˜ao.
Para completar a demonstra¸c˜ao, mostraremos a igualdade IF = IM(G) : C∞,
a outra igualdade sendo provada de modo an´alogo. Seja a ∈ IM(G) : C∞, isto ´e,
a ∈ IM(G) : Ci para algum i. Assim aCi ∈ IM(G) ⊂ IF. Como IF ´e primo e C /∈ IF,
podemos concluir que IM(G) : C∞ ⊂ IF.
Reciprocamente, seja h(x, y, yn+1) ∈ IF. J´a foi provado que h(g′(x); y, yn+1) ∈ IM
e portanto h(g′(g(x)); y, y
n+1) ∈ IM(G). Novamente, g′(g(x)) = Cx e h(x; y) ´e
bihomogˆeneo. Portanto, para um expoente adequado u, podemos concluir que Cuh(x; y, y n+1) = h(g′(g(x)); y, yn+1) ∈ IM(G), logo h(x; y, yn+1) ∈ IM(G) : Cu⊂ IM(G) : C ∞ . Isso prova a outra inclus˜ao.
Por fim, podemos destacar que o resultado da Proposi¸c˜ao 3.5 e o Teorema 3.8 (iii) nos d˜ao diferentes cen´arios para descrever o ideal de defini¸c˜ao IF de modo expl´ıcito.
O primeiro nos permite fabricar de maneira mecˆanica o ideal de rebaixamento de Rees, mas, infelizmente D n˜ao ´e igual a IF. O segundo temos a vantagem de come¸car
com o ideal mais simples IM, mas necessita saber a equa¸c˜ao impl´ıcita e os fatores de
Cap´ıtulo 4
Apˆendice
Neste cap´ıtulo, enunciaremos resultados um tanto desconexos com a teoria abordada, mas que por sua vez s˜ao necess´arios para solidificar alguns resultados, para ver mais detalhes, ver [5] e [2].
Defini¸c˜ao 4.1. Um R-m´odulo P ´e projetivo se para todo homomorfismo sobrejetivo de R-m´odulos α : M ։ N e todo homomorfismo β : P → N, existe um homomorfismo γ : P → M tal que β = α ◦ γ.
Outra maneira de definirmos um R-m´odulo P projetivo, ´e equivalente a dizer que ele ´e somando direto de algum R-m´odulo livre. Em particular, todo R-m´odulo livre ´e projetivo, j´a que um somando direto de si mesmo.
Defini¸c˜ao 4.2. Sejam
F : . . . −→ Fi+1 −→ Fi −→ Fi−1 −→ . . .
e
F : . . . −→ Gi+1 −→ Gi −→ Gi−1 −→ . . .
dois complexos. Dizemos que dois homomorfismos eϕ e ϕ s˜ao homot´opicos se existe uma cole¸c˜ao de homomorfismos si : Fi → Gi+1 tais que se escrevermos di: Fi → Fi−1
e δ : Gi → Gi−1 para os diferenciais dos complexos F e G, respectivamente, ent˜ao
ϕ− eϕ = δi+1si+ si−1di : Fi → Gi.
Lema 4.3. Sejam
F : . . . −→ Fn −→ . . . −→ F0 −→ M −→ 0
um complexo de m´odulos com cada Fi projetivo, e seja
G : . . . −→ Gn −→ . . . G0 −→ N −→ 0
uma resolu¸c˜ao livre de N . Se ϕ : M → N ´e um mapa, ent˜ao existe uma extens˜ao de ϕ para um mapa de complexos
ϕ : F → G, induzido por ϕ : M → N.
Proposi¸c˜ao 4.4. Seja R um anel Noetheriano e M um R-m´odulo com uma apre- senta¸c˜ao livre finita F1
ϕ
−→ F0 −→ M −→ 0. Ent˜ao as seguintes afirma¸c˜oes
s˜ao equivalentes: (i) M tem posto s;
(ii) posto (ϕ) = posto (F0) − s.
Proposi¸c˜ao 4.5. Seja R um anel Noetheriano e I 6= 0 um ideal com uma resolu¸c˜ao
Referˆencias Bibliogr´aficas
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[9] J. Harris, Algebraic Geometry a first course, Springer, 1992. [10] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1997.
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[12] D. Cox, J. Little e D. O’Shea, Ideals, varieties and algorithms An Introdution to