Classificação dos grupos de Lie reais conexos de dimensão 3

(1)

(':ONEXOS I)E DIHENSÃO < 3.

(2)

.

. ., n ·LcJ. ,.1 :u.; ;

(3)

INTRODU_Ç.A.O ••••••••••••••••••••••••• , , •• , •••• , ••• , •• , , • • • • • 01

CAPÍTULO I

GRUPOS TOPOLÓGICOS

l .1 - Grupo TopolÓgico . . . • . . . . • . . . • . . . . • . . . • • . ·O 3 1.2 - Subgrupo TopolÓgico , • • • • • • o • • • • • • • • • • • • • • • o • • • 07

1. 3 - A Componente Conexa o • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • • 09

1. 4- - SubErupn Loc,··L~- e Grupo de Lie .•.. , • • • • • • . • • • • • 12 l. 5 - A Exponencial . , .••••.• , •.••••. , • • . . . • . 17 l. 6 - Grupo Sirnpl:-~Slf~ente Conexo • • • • • • o • • o • • • • • • o • • • • '20

CAPÍTULO II

2 .1 - Car::ünhos Difcr'O!n\~ L3.'veis

....

' ,

... .

2. 2

...

.lo

2. 3 de .iLLt_;c~bra de Li c .•.• , , · ••.••..

Li e ..• -· . . . , • J7

2.5 - Crupo dv T.,ic: , ••

CAPÍTULO III CU\S:)IT' JC.:\Çi\0 DIHE;lJSi\C < 3

3

.

1 - i\lr:cbr<:l d''C I ,;i_~~ l:''" ,:_; • > d ( ) d lr:1.::-~ íl :~ --\u L

. . .

,,

2

--3

.

2 - Algebra dE.~ L '. (?. ·r•C,'ll ·k~ (~ ,_nit~'t,;cco

-

?

. . .

.

l~ 2 3

.

3

-

Í1lí~ebra de L-L.2 r'0al cli~ d im<õn~;~u

_'

,,

3

(4)

CAPÍTULO

IV

os

GRUPOS

DE

LIE

1\.EAIS CONEXOS

DE

DIHENSAO

_<

3

!~. 1

-

Os

Grupos de

Li

e reals conexos de

dimensão

< 2 59

lf • 2

-

Os

Grupos (b

·-

_Li

_{e reals conexos} _de _{dimen::::;ão} ₃

...

₅₁

APÊNDICE • • • • • • • . • • • . • • • • • • • . . • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • . • • • • • 7 8

(5)

. . - l

O estudo dos gx•upos de L1e llnearcs data do secu o passado, pr•incipalmente com os trabalhos de Sophus Lie (1878). No início do século, Cartan (1908), Heyl (l:J25) e outros, continuaram este tra-balho, dando um caráter mais geral

à

teoria. Dos r;r·upos de Li e o mais simples

é

o grupo aditivo dos nÚmeros :-oeais lR. • O grupo das

transformações .lineares inversíveis de um espaço veto:C'ial real r!e

dimensão finita constitui um grupo de Lie,este

é

o gru)!OGJ(n,IR )das matrizes quadradas das inversÍveis de ordem nxn sobre o corpo dos nl·, ... ,ros real· c. _,_ _ A sslm~ · a prLme.~_·ca · · e apa t d c um es· uc o t J d e grupos de Lie

é

o estnclo de Gl (n, JR ) e seus subgrupos.

A cada grupo de L:i.e podo-se a_:~soc:im• um 31r~(~hra de Ll_e e reciprocamc:nte. No c a.:-:; o acima, ,;l_ssociamos G1 (n, 1R)

à

âlr;s)y['a da::> rna·trizes nxn reais t'!(n,JR). Assim, classificando todas clf.>

subáJ.-de L.-l.c da alge.ora

-

.

M(n, ::R)

elos os subgt'upos de tic (fecha·los) rl.o grupo de LJ..e G1(n,JI\ ). Para grupos <:.: .... pcu.:;:tvel ,. fa;:~er 1'·-

-ma classific2ç~o completa d~ ~ndos os ssus subgrupos. Nosso objet! vo ~ classificar.os grupo de Li2 J~ dimc~s~o 1, 2 e 3. Nos2a

rafe-l

G

J ,

I . . • l

. lllClc1mOG O Cdp:l.t;u O

pa.J.S

(6)

as álgebras de Lie.

Para cada

álgebl~a

de Lie

p;

é

possível construir um grupo

de Lie G simplesmen·te conexo cuja álgebra de Lie

é

g. Se Z(G) e

-o cen-tr-o de G e

N

um subgrupo discreto de Z(G) então G/N e

.•

também um grupo de Lie de álgebra g e todo grupo dG Lie. com álg~ bra g pode ser obtido por este processo.

No cap:L tulo III, baseado em Jacobson - [ 4

J ,

fazemos a:

classificação ·de todas as illgebras de Lie de dimensão 1, 2 e 3. Fi nalmente, no ~ap{tu~-o IV, associamos a cada uma dessas álgeb:;.."as de Lie um zrupo de I.ie G~ calculamos seu centro Z(G) e subgr'upos discretos N de Z(G) e descrevendo os gi'upos G/N obtemos a completa classificação.

(7)

CAPÍTULO I

GRUPOS TOPOLÓGICOS

Neste trabalho admitimos conhecido a noção de grupo bem c~

mo a noção de espaço topolÓgico e suas propriedades. Neste capÍtu-lo vamos recordar algumas propriedades de grupo topolÓgíco,subgru-po totopolÓgíco,subgru-polÓgico, subgrutopolÓgíco,subgru-po invariante, grutopolÓgíco,subgru-po local e gr~upo siJUplesme!!.. te conexo.

l.l - GRUPO TOPOLÓGICO

Vamos introduzir· a noção de continuidade em um grupo, obt~ mos os grupos topolÓgicos e estudaremos algumas principais propri~ dades.

L l . l - Definição : Um espaço- t?polÓgico G, com uma estru-·tura de grupo

é

um gt'upo topolÔp;i.co se a aplicação ~: G x G - > G definida por

(Hx,

y) ::: xy .... 1 for contínua.

Vemos· que a continuido.de. ela aplicação $ equivale

à

conti-nu idade das aplicações ~~ : G x c:; - > G e n: G - > G definidas por

ljJ ( x, y)

=

xy e ~(x) = x

-l

, rcspecl:lvdmente.

.

1.1.2 ~· Definição. ; Chci!J.!<':n·emos de tr'anslaçâo

Zi

direita

(à

es querda) pelo elemento a c G

à

função R,.:;. C La) dé.finida por

R a : G - > G

x -··-> xa

1.1.3 - Proposição : Demons ·traç_ã.o para Lu. e similar.

(La : G --> (~ )

X - > dX

A t:t'anslação

é

uma

cont:i'nua.

Basta a.na.lisar a fu;;çã.o Ra. A prova __

(8)

Consideremos as aplicações ~ G-·>GxG x -> (x, a) e

w

G X G - > G (x, a) - > xa

-

-Vemos que · Ra e a composta que consequentemente e

contÍnua.

_D

1.1~4 - Definição : Um homomorfismo entre grupos topolÓgi-cos G e G L

é

uma aplicação contínua f : G --. -> G! tal que

f(xyl

=

f(x)f(y), para todo x e y ern G •.

1.1.5 Definição : Um isomorfismo entre grupos topolÓgicos

e um homomorfismo bijetor.

1.1.6 - P~aposicão As translações S.J.O homE::omo-r'fismos de G

em

G.

Mostremos inicialmente que Ra-1 De fato,

Analogamente mos·tramos que

do bl]eçao contlnua, o mesm:J acontece com

. .

-

~ Ra-.l ? o que con-clui a nossa demonstração. Com raciocÍnio semelharrte mm:;·tra.mos que

La

ê

um homeomorfismo.

_[]

Desta proposição r;egue-se que as vizinhanças a c G sao -. da forma aU ondL:! ((

ê

uma vizinhança da origem.

(9)

1.1.7 -Proposição grupos topolÓgicos então

Se f : G - > G'

é

homomor•fismo entre

f e contlnua se e somente se

-

f f'or con tínua em e E. G.

Demonstração : Basta mostrar que se f

é

contínua em e E G então f

é

contÍnua em todo ponto a de G.

Seja f(al.U' uma vizinhança de f(a) em

G'

onde

'

u '

e

-uma vizinhança de e' . Como f e 2ontlnua em

-

e o G e f(e) =.e' existe uma vizinhança U de e em G tal que f (LI)

c::

U 1 _; _por·tanto

áU

é

vizinhanÇa de a e f(aU) C: f(a).f(U) C:: f(a).U', portanto f

é

contínua em a.

o

1~1.8-

Proposição

Seja V uma vizinhança do elemento neu tro e de G. Então

v-l

= {

x-

1 o

G;

X

c

v }

i) e uma vizinhança de

-

e.

ii) Existe uma vizinhança U de e ·tal que

u-

1:::U e U c:-: V.

iii) Existe uma vfzinlv.1nça VJ de e tal que

W2 : WW ::: {

xy ; X E

W~

y E

W } C V.

Demons·traç~o i ) Seja Q : G -> G

Como V

é

aberto (considcra:remoG Genrpre neste trab<.üho vizinhan-ças abertas), $- 1Cy)

=

{x s G; $(x) E V } = { x E G; x-l E V } =

:: { (x-l)-l E G, x-l E V } - V-l

ê

abex>to c ta.mb;~Jrt. 'l:i_;d.nhunça de

e, pois $(e)

=

e.

ii) Tomando

u

=

v n v··

1 temos que

u

c

v

e U -l

( - 1 G V fl V-l } .. ( x-1 , · G·, (x-l)-l, V fl V-l }

(10)

= {

x e G; x-l e V n V- }

=

{x e G;x e V- n V}

=

U.

Para demonstrar (iii) consideremos a aplicação 1~ : G x G --> G de

f in ida por tp (x, y) ::: xy. Sendo V aberto, ljJ - l (V)

é

aberto em

G

X

G

na

topologia produto, então

w-

1 (V)

::> ul X u2 '

onde Ule

u2

são vizinhanças

de

e em G. Tomemos W

=

u

1 fl

u

2 fl V. Assim, se a e b estão em W então (a, b)

e

U

1 ou seja ab ·E V, portanto WW c V.

-1 •

x

u

2

c: 'V

(V) e dal ljl(a,b)e V

o

1.1.9 - Proposixão Sejam F um subconjunto fechado, U um a berto e P um subconjunto qualquer de um grupo topolÓgico G e at:G. Então Fa )ar e F-l são fechados enquanto que

UP, PU

e U-l são a bertos.

Demonstração

Basta observar que as operaçoes em

-

G sao

contínuas, translações sao hojJ.eomorfis:rnos e que

UP ;;; {

up;

udl,

pt:P}

=

=\)

{Up} e peP

PU =

U

{pU).

psP

1.1.10 ·· Proposição : Uu grupo ·topolÓgico G (Hausdorff) se e someni:e se { e }

é

fechado.

[]

-e s-eparado

Demonstr2çâo : Dados do.is pontos a~ b c. G~ a fim de provar o -teorema podemos sempre supo:C' que b ~ e, poi-S ·translação

é

conti

nua.

a) Se G

é

separado en1:ão 11 sem; pont.os11 _sao

-

_conjLlntos fe-r.::hados e em particular { e }

é

fec.hac1o.

b) Seja agora { e } fcchddo. Dado a em nJ sendo a ~ e,

temos fechado pois e hcmeowor:fismo.

-

Logo

(11)

uma vizinhança W de

e, tal que e WW

c

G - {

a }

o Des

ta forma

e vizinhança de a e

-

W 0 a Vl ::: @ , pülS caso contrário existiria b E: YJ, tal que b E aW ou seja b=ac para algum

-1 ... -1 2

c E W = W • Dal, bc

=

a com o que temos a E: W CG-{a} contradi

ção. As vizinhanças

W e aW são disjuntas, consequentemcn·te G e

-separado.

o

1o2 - SUBGRUPO TOPOLÓGICO

Estudaremos aqui algumas condiçÕes para que um subconjunto de um grupo topolÓgico seja um g1~upo topolÓgico.

1~ 2.1 - Definicão : Um subgrupo H de um gx•upo topolÓgi-co G

é

wn subgrupo topolÓgico se J- com a topologia induzida,· a

a-plicação

~ : H x H --> H

(x,

y) - - > _"f.Y-1 for contínua.

Se H

é

um subgrupo topolÓgico aber to de G então H

ê

fech~do em G.

Demons·trac:ão : Se H e aber•to então G-H 2 fechado e H

---

-e vizinhança d-e e. Logo existe uma vizinhança ~1 de e ·tal que e 112

c:

H. Assim, dado um elemento qualquer a de G·~Ilj aíd

é

vizinhança ele a e aVJ

n

H

=

íJ ,

senão existü,ia c - ab s H, com

b E: \<!; logo _cb-1

=

_a _{e clal. · a e H, o que}'

é

corrtre_di(~êí.o. _Port..:mto

G-H

é

aberto ou seja H

é

fechado.

o

1.2.3 - Proposição Se H

é

um subgrupo tni;olÓgico de G, então a aderência H

ê

um subgr'upo topolÓgico de G.

(12)

Demonstração: Dado h E H, temos Hh=H

c::

H

ou seja H C::

Hh -

1 .

Sendo

- -1 Hh

fechado, temos

flc::lih-1

_e

_daí

flh

c::

fi .

Como

vale

para

todo h

em

H,

ternos

ITH

_c:

IT.

Assim

se X €

IT

temos xH c

IT

ou

seja

H

c::

x -1-

H,

sendo X -1-H fechado terr.os

IT

c::

X -1H

e

daÍ X

IT

c

H.

Como vale para todo

x,

segue-se que

fi

c

H.

Por

outro lado, H-1 = H

c

H,

de modo que H

c

---1 H

c

H. Con

cluimos assim

que H e Stibgrupo

-

de

G. Para

ser subgrupo topolégi

co

basta. obserVar que a aplicacão ~ : G X G --""> G, dada

por

-1- - - •

!p(x, y)

=

xy e CO!"Jtlnua, portan·to

<P/HxH

ta.ml.lém o

é.

o

1. 2. 4 - Definição : Um subgrupo H de G, diz~se subgru-po invariante, se para todo t s H e para todo s E: G

-1

sts E H.

tivermos

Se h

é

um homomorfismo entre doü:;- grupos topolÓgicos G e G', ent~o Kerh ~ { x E G; h(x)

=

e 1 } e um subgl.,upo invariante ele

-G, onde e' e o elemento neutro de

-

G'.

~.2.5 - Dc~ini:5.ão ; O centro de um grupo topolÓgico G e' o conjunto Z(G) = { t c G; sts -1

=

i:, para ·todo

s

t: G }.

É fácil verificar que Z(G)

é

um subgrupo topolÓgico lnva-riante de G.

1. 2. 6 - Propos~ç:...~~ : Seja G grupo ·topolÓgico conexo. E!2_

tii.o todo subgrupo topolÓgico di:;;cre·to e inva:ei2.JYte de esta con

-tido no centro de G.

Dernonstra_são : Suponhamos que H SeJa. um subg:r:>upo topo.lÓ-.r, i co discre·to e invariante. Seja _~t : G --> G a aplicação dada por ~t(s) = s·ts -1

,

para ·t fixado

em

H. Com H _{inva:t':Í.õln·te e ~t}

(13)

contínua temos $t(G)

c

H. Sendo H discreto e G conexo

temos

~t

constante. Corno

~t(e)

=

t

temos

sts-

1 =

t

para todo s

em

G, portanto Hc: Z(G).

o

l. 3 A COHPONENTE CONEXA

Um subgrupo muito Útil no estudo de grupos topolÓgicos

ê

o subgrupo co1isti tuÍdo pela componente conexa do elemento neutro e de G.

1.3.1- Definição : A componente conexa neutra C

0 ·de um

grupo topolÓgico G

é

a componente conexa que contém a identidade e de G.

1. 3. 2 - Proposição : A componente cone~o:a neu·tra C₀ de um grupo topolÓgico G

é.

um subgrnpo topolÓgico invariante de G.

DemonstraçãO a) Sejam s e t elemen-tos de C₀ • Então

s t € são conexos contendo s. Seja a~~Or'a S _' E C _ü

-(que e conexo); como a aplicdçi!o ~(s) ~ s -1

-1 - " -1

s C

0 e conexo e contem e; dai s C0

c:

conexo contendo a identidade. Assim s-l concluímos que C 0 b)

A

função

-

.

e contJ.nua.

-e um suberupo.

n· c

_. _o x

c) Como em (a)~ ~cemos

tanto C

0

é

invariante.

c

_o

-

-e. contJ.nua ~ t<;:rno s que

-e o maior

po:etanto

dada. por

D

1. 3. 3 - Teorema : Se G

é

um grupo i;opo1Õgico conexo, en tão G

é

gerado por uma. vi :.ünhança ar'bÍ tr:íria U dêl. j d:3ntidade .

(14)

da forma un, n

=

1,2,3, .•. , isto

é,

todo elemento de G pode ser

escrito como um produto finito de elementos de

U.

Demonstração : Seja

U

umu vizinhança qualquer da identi dade e façamos V =

U

Un, portanto aberto. Se a E V, como aU-l

é

11"?i

-vizinhança de a temos aU-l I1 V

#.

rJ, Logo existe b

e:

aU-l O V, Como b

e:

V, existe um inteiro positivo m, tal que b

e:

um,

isto

-e, b

=

outro lado

u

₂

o••·o um'

onde Uj_ EU,

para

1

=

1, 2, .•. ,

m.

-1

-b

e:

a.LI , isto e, b pode ser escrito na forma b =

Por

-1 au •

1,

m-,·

onde _{um+ 1} E U. Logo, a

=

u1 o u 2 • ••• ., um. um+ 1 , onde uj E U pa

ra j

=

1, 2, ... ,

m, m+l; portanto a e: um+l C: V, o que nos permi:_ te conclu-ir que

v

e fechado.

-Como V e aberto, fechado e nao vazio em

-

G conexo,

te-mos

G

=

V. o

1. 3 .1~ - Definição : Scj a M um espaço ·topolÓgico (de Haus

dorff) e

G um grupo topolÓ?,ico.

a) Temos uma ação de G em M quando existir Luna função ( sobr'ej etor•a)

GxM-->M

(g, t ) - - > gt,

tal

que

e. t ~ t, para todo g₁ e g₂ em G e ·todo t ern !"1.

De modo análogo, podGrÍamos dGfinir

M X G - - > H

(15)

b) Diz-se que G atua transitivamente em M, se para todo

t

1

e

t 2

em

M,

existir

g 8 G tal que gt 1 = t 2 .

c) Diz-se que G atua continuamente em M, se a aplicação acima definida for contínua. Neste caso G

é

chamado grupo topol.§ gico de transformação em M. (observe que a aplicação H - - > H

t - - > g-t

-e homeomorfismo para cada g 8 G).

d) G

é

efetivo se, sempl''e que at = t, para todo t em M,

então a

=

e.

e) Seja t Um elemento fixo de M. Então G(t) ={ geG;gt=

=

t }

é

um subgrupo de G, chamado subgrupo de isotropia de G em ·t ou subgrupo que deixa fixo o ponto t.

f) O conjunto G(t) = { gt E M; g E G }

é

chamado a

G-Ór'-bita de t.

Se H e subgrupo de G, podemos obter o espaço quociente

G/H, d8finido por

G/H

= {

gH; g E G ),

l . 3. 5

-

Propo:? ir~ão : Se H e

-

um subgr1.tpo

normal

abe·rto

-de

um grupo

topolÓgico _G' ent~ão G/H e

-

discreto.

P~E.::2~' s traç_ ão : Se li c

-

normal e::rrt:J.o G/H po~;sul cs·Cr1l"tu

ra de grupo. Sendo H aberto, a ti também o é~ part3_ todo a E: G.

Como a projeção canônica 1T e aberta, temos

-

rr (ali) a[-! _{aberto em}

G/H, portanto { aH }

é

aberto em G/H ou scji'!_ Gí!J

é

ctic.:;creto.[]

1. 3. 6 - Pro:eos :is~o

grupo ·topolÔgico de G. Se H e G/H sao con~~xos, entclo G c cone-

-xo.

(16)

Demonstra~ Suponhamos que G pode ser decomposto na

forma

G

=

A

U B,

com

A

e

B

abertos não vazios. Como

1r

é

uma

a-plicação aberta, temos TI(A)

=

AH e n(B)

=

BH abertos em G/H. A lém disso, sendo 1T sobrejetora, segue-se que rr(AUB)

=

(AUB)H =

=

AH

U

BH

=

G/H, que por ser conexo admite nm elemento gH em

AH

n

BH, wna vez que AH f. 0" e BH f. 0. Assim, para todo h E: H ,

podemos escrever = gh 2 onde h 2 = temos gH íl B f- ~. gh

=

ah₁, com a s A hh - l e

H~,

Por-tanto 1 e h 1 E H; lego a

=

gh

hll

=

gH DA ~ 0. De modo análogo

Por outro lado, H conexo implica que gH ·também o e e gH=

= gH íl G = gH íl (AUB)

=

(gE[lA)

U

(gHíJB), onde gH íl A e gH íl B abertos em gH. Logo (gH D A) !l (gH

n

B) f. 0, por conseguinte A

n

B

f.

0, o que conclui a deraonstr'ação.

1. 4 - SUBGRUPO LOCAL E GRUPO DE LIE

-sao

D

Neste parágrafo abordaremos a noçã.o de grupo local e estu-daremos as condiçÕes para que doi::.l grupos topolÓgicos sejam local-mentA isomorfos.

1.4.1- Definição _~-- Dois grupos topolÓgicos G e G 1 _d.izerw·

se localmen·te isomorfos, se exis·t.irem vizinhanças U e U1 das ide.n tidades e de· G e~~ de G' e UB homeomorfismo

U

em

U'

tal que

i) Se x, y e xy est5o em

U,

ent~o f(xy) • f(x). f(y) ii) Se x~ y' e x'y' estiJ.o em

U ,

'

entao

(17)

-1.4.2 - Definição

Dizemos que I! e um subgrupo local de

-G se

i)

e E

H

=

H- 1

ii) H está contido em algum aberto U

=

u-l tal que HI-IOU::H. H diz-se subgrupo local fechado de G, se for fechado em

LI.

1.4-.3 - Proposição : Um subgrupo H de G e um subgrupo lo

-cal fechado de G se e somente se e

e:

H

=

H-l e H

é

aberto no

fecho

HH

de HH.

Demonstração a) Seja H aberto em

HH.

Então

U:::G-(TIH-H)

é

aberto. Assim e' E U e como temos U =

u-

1

'

pol'o•

_''"'

.

x; x

ii)

(AUBJ- 1

= {

x; x-

1

E

AUB }

= {

x;

x-l E A

=A-lU B-l,

(análogo u(:i.i) ) ,

i v) Se

A

c:

B então

A-1

'• ""

B

-1

v) Se F e

-

fechado então F -1 tumbém o e.

-vi) p;-1 ₌ { _x; X - l c

..

_A

)

=

{ x; X -1 c f'• _{l '}'J• 1- •

=

(A-f),

-1

OU X - E B};:;

Fi fechado~

(18)

(HI-I !1 (HH)0 )

V

(HH !1 H)

=

HH !1 H

=

H. Portanto, li e subgrupo lo

-cal fechado.

b) Se e aberto, com

-

e

e:

H ::: H -1 , H fechado em U e HH

n

U

=

H, fazendo A

=

G - U, temos HH

=

HU(HH fl A) lportanto HH

=

HU(HH !1 A)

= CliVf!H

n Ãl e <HV<HH !1 A))= <HVO!!!!lA))e H U A. Logo HH

nu

e(HUA)

nu=

(H

n

ul\JCMUl = (HilUlV ~ =

ii

nu=

H fl U

=

H, po1s H

é

fechado e está con·Cido em U • Assim HF-1 fl U

c:

c::

H e como H

c:

HH

n

LI, temos H

=

HH

fl U ou seja H

é

aberto em

HH.

o

Estenderemos um subgrupo local H de G a um. grupo topo-lÓgico

H,

de um modo natural e Único. Como grupo, H sel"a o A ' subgr~

po de G geru.do por H sera dada por:

-i) Todo aberto em H

é

a.beFto em

ii)

Todo aberto em int:ercepta H em ura conjunto aberto. Dado um subgrupo local H de u:m r:rupo t~)polÔgico G, o snb grupo

H

gerado por> H com a Única ·topologia que ::ostende o. de H, tem es·trutura de grupo topolÓgico. Se H e

-

conex~J

A

H tamb2m o

é .

Ainda mais, s·e

G

é

erur)Q topol6gico Sdtj_sfazent.lo o segu.nd:.1 a.xioma da enumerabilidade, H

é

um su.l.:.~;::J'UPO locaj_ fechado de

c ('.

~ H e o sub

-g:cupo r;erado por I-I, então dddo 11m ;-Jubconjunto A c',e II,

localmen.-te conexo na. -topologia de G, temos que C\S topol,.:>g:i ,"1'~ ).nduzid,J.S em

.

A por G e por H coincidem.

1. ~~. Lf - Definição: Dizemos qne. M

é

uma. var>iedade -topuJ..Ógi

(19)

i)

M

e

-

um espaço topolÓgico

de Hausdorff.

i

i)

A

topologia de

M

tem base enumerável,

iii)

Para cada X E

M, existe

uma

vizinhança

v

de

X

e

um

homeomoz'fismo f :

v

-->

u

,

onde

u

e um

-

abe:r•to

de

IRn.

As

aplicações f

sao

chamadas cartas locais

de

M.

1.4.5 - Definição: Uma estrutura diferenciável de classe Cr numa variedade topológica M, de dimensão n,

é

uma coleção

JO,

de cartas locais

<)e

M tal

que:

i)

Os

domíniOs das

car-tas

de

J0

cobrem

M,

ii)

Se

_h"

e

hs

sao

dois elementos

de

JO,

então a composta

h

=

_hs

_h

-1 _a

e

-

diferenciável

de

classe

cr,

· Ba

o

iii)

J[) _e

-

_maximal

_com

_relação

_a

_(ii).

A coleção

{(Ua' h")}"

é

chamada atlas de M.

1.4.6 - Definição: Uma variedade diferenciável de classe cr e dimensão n

é

uma variedade topolÓgica de dimensão n,

jun-tamente com uma es·trutura diferenciável.

Se M e N são variedadeS diferenciáveis de classe Cr e dimensão rn e n respec·tivamente, com atlas { (U , h ) } e { (U .. L', hl.) }l.

a o, a

respectivamente, então o produ·to H x N com a topologia produto e

-uma variedade dif'er·enc:i.ável de dimensão m + n, c11jo atlas e

-{(U

_a

xU.,h'xh.)}(

.,

~

a

~ a,~J onde h o. X h. l e

-dada por

(20)

com dimensão me n respectivamente, e f uma aplicação de M em

N. Dado

X E

M, tomemos

ha : V

a---> Ua' carta local de

M e ha

1 :

v•.--->

U', ,

carta local de N, tais que f(x) e V' e

a a ct 1

c:

V~ 1 • Dizemos que h' _a'

.f.

f

é

diferenciável de classe

c ,

s s <

r,

u

a ---> U'

_a'

for diferenciável de

se a classe aplicação

c5 , onde ua e u~, são abertos de IRm e 1Rn respectivamente.

1. 4. 7. - Definição:- Um grupo topolÓgico G

é

chamado Grupo de Lie, se for uma variedade diferenciável e a aplicação~ ;"GxG -->

-·-> G dada ~(x, y)

=

xy -1

for diferenciável.

NÓs não precisamos aqui, a noção de diferenciabilidade po!:

que em virtude do teorem_a de Gleason-Hontgomery-Zippin (que dá uma respos·ta positiva para o quinto problema de Hilbert) cadà grupo de Lie de classe C0 admite uma estrufura diferenciável de qualquer

•

ordem, compatlvel com sua estrutura de grupo.

1.4.8 - Lema: Se f

é

um homomorfismo local entre grupos de Lie G e G 1 _{com G cpnexo, então existe n.o máximo um homomorfis}

rr..o f : G - - > G t que coincide com f em uma vizi.nhança de e.

Demonstração: A demonstração ser;ue da definição ( 1. !.t. 7) , do teorema (1.-3. 3) e do fato de um homomorfismo ser determinado p~

la imagem de um conjunto de geradores pura o grupo.

_o

a) O grupo aditivo dos números reais, com a estrutur•a de variedade diferenciável usual

é

um grupo de Lie de dimensão um.

b) Se G

1 e G2 são grupos de Lie de dimensão m e n :r.espe.s:, tivamente, então o produto direto G

(21)

e G

2 }, com a operaçao usual (a1, a2) . Cb1, b2)

=

Ca1b1, a2b2) ~ um grupo de Lie de dimensão m + n. Assim pn

é

um grupo de Lie de dimensão n.

c) O grupo s1, dos números complexos de norma igual a 1, com a multiplicação,

é

um grupo de Lie dimensão um.

d) O grupo G1(n,JR) das matrizes reais inversÍveis de or dcm n x n, com a operação multiplicação de matrizes

é

um

grupo

de Lie. Em particular, para n

=

1, temos o grupo m.ultipli!=!ativo

,,

J R = J R - ( 0 } .

e)

O

grupo real afim A(n), atuando em

mn,

é

o conjunto de todas as transformaçÕes de :u:zn em :Rn da forma v·---> Av + !,

onde A E: Gl(n, JR e

,e

E: JRn Denotaremos uma tal transformação por

< A, t >. O ~rupo

afim

pode ser considerado como um subgrupo de

Gl(n+l,JR)

se colocarmos

.t

como um vetor coluna e

identificar-mos

<A,

i:> com a matriz

(A

l)

,Desta forma, temos

o

1 .

i)

<A,

l

>.< B, k

> = ₍AB O· - <

AB,

Ak. +

.t

> e .. -1 -1 -1 lJ.) < A, l > ::::< A , A (-f..) >. l . 5 - A EXPONENCIAL

Seja V u_rn espaço vetorial normaclo, de dimensão n, sobre um corpo k, de caracterÍstica ze:t'O (]{ ou C). O conjunto :t::nd(V) das

(22)

aplicações lineares de

V em V

é

uma álgebra,se definirmos as

op~

raçÕes de adição,·multiplicação por escalar e a multiplicação de o

peradores por

mado.

i) (A

+

B)x

=

Ax

+

Bx,

ii) (ÀA)x = À(Ax),

iii)

(AB)x

=

A(Bx), Vx,

y

c V, VÀ e: K, respectivamente.

Definindo

IAI

=

sup

IAxl

obtemos um espaço vetorial

nor-lxl .9

1. 5.1 - Definição:: Dados an, a e: V, dizemos que lim· an ··

n->ro

=

a

se lim

lan - aj

= O n->oo

que

1. 5. 2 - Definição: Dados

An, A ope-radores em

V, dizemos

lim n->oo De se lim n->oo ·

I

A

I . I

X

I

Anx

=

Ax, para todo x de V.

segue-se que todo operador linear e

-contÍnuo. Sabemos tambéffi que se K

é

completo, então End(V)

é

completo. Dado As End(V), tem sentido considerarmos polinômios em A e séries de po·tências, sendo A0

=

I, desde que estas

conEstudaremos condição para convergência de série de potên -cias.

1.5.3- Propos~~·~: Dada a sé!'Íe de potências

00 E

n=O

a zn em

n

C, com raio de convergência p e A

e:

End(V) tal que suas raÍzes caracterÍs:ticas rk satisfazem

!

rk] <p, então a série de

(23)

potên-w

cías E a

An

n=O

n

converge em End(V). Em particular converge a

sé-w

_An

E

n=O

n!

ri e chamada exponencial de A e sera

-

denotada poro exp A ou eA

Demonstração: Escolhemos uma base de V de modo que a ma-triz A tem a forma (forma canônica de Jordan).

A1 r 1

o

A

=

,

onde A.

₌

o

r 1

o

O A2.

o

l

o o

r

...

o

.

_-

-'A

_{o o o}

_r p

sendo r ralz característica.

Para K>l, a matriz

_-

AK tem a mesma forma de blocos, por-.

tanto basta considerarmos uma

A soma parcial Sk(Z) nos dá

mat:r.,iz

k

=

E

j oQ

do tipo

a. zJ

=

J A.

acimn.

l 2 a 2 Z + ••• +

~

]. . j-1 aJ. Z , S"(Z)-_k _- k E j Cj-l)a.zJ-. 2 e j=2 J

j=l

assim por diante. Logo, por indução temos k + akA =

"

1

o

1

-o -o

Sk(r)

o

-o

o

-1 S \ ( r ) Sk(r)

o

.+

"

8 k (r)

---2 ! s

₁

~(r)

o

r l O O

o r

1 O

o

o o

sm

_'

( ) .< r -3! 311 _(r) k

...

-2 !

-() s (A):::a I+ a 1A+ •.• + k o

+ •••

+ak ( k k-l r k~ · ••• O

\

~ ~r~.~.. ~.~

=

(24)

Assim, se _{lrl<p , as sequências}

_{SK(r)}

vergem para S(r), S1_{(r), ... , o que significa que}

ge, portanto !: aK AK converge"

K=O

l . 6 - GRUPO SH!PLESHENTE CONEXO

{SK(r)}, ••• ,co~

{SK(A)} conver

o

Neste parágrafo vamos estudar quando a existência de um ho

momorfisrno local entre dois grupos topolÓgicos implica na

existên-cia de um homeomorfismo. Esta

é

a propriedade característica dos espaços simplesmente conexos.

~ado M um espaço topolÓgico, conexo por caminhos e p um de seus pontos, denotamos por P, a totalidade

de

caminhos fecha-dos em M, que começam em p. Dividimos o conjunto P em classes

de equivalência, colocando em cada classe todos os caminhos

homo-tópicos entre si. O ~onjunto dessas c~asses, denotado por '!Tl (1'1_, p) com a operação composição de caminhos tem estrutura de grupo e e

-chamado Grupo Fundamental do espaço M. Se ·tomássemos um outro Po!l to p', em lugar de p, obteríamos um outro grupo isomorfo a n

1(H,p).

1.6.1- Definição: Um espaço topolÓgico M5 conexo por

ar-cos, diz-se simplesmente conexo se seu grupo fun~amental contém s5:: mente a identidade, isto

é,

todo caminho fechado ern H,

é

homotÓp_:h co a zero.

1.6.2- Definicão : Um .espa·ço topolÓgico H~ diz-se local-mente simplesmen·te conexo, se para todo ponto p de M e v.izinhan-ça

U

de p, existir uma vizinhança V

c:

U,

do mesmo ponto p, tal que qualquer caminho fechado começando em p e contido em V for•

(25)

homotópico a zero em U,

1.6.3 - Definição: Um espaço topolÓgico M, diz-se local-mente conexo por caminhos, se para todo ponto p e: l1 e viz~nhança

U

de p, existir uma vizinhança V

c:

U

do mesmo ponto p tal que, para todo x E· V tenhamos um caminho em U ligando x a p.

Consideremos agora, um espaço topolÓgico M, conexo por ca

minhas, localmente conexo por caminhos e localmente

simpleSmente conexo. Dado Üm ponto p de M, denotemos por

Q,

o conjunto de t~ dos os caminhOs fechados começando em p. Dividimos o conjuntO

Q

em classes, cada uma formada pÜr todos os caminhos homotópicos en-tre si; denotando por

s

esse conjunto de classes. Se A e um e-

-lemento de S ·então todos os caminhos que pertencem a A t~-;rmi -narn em um mesmo ponto a. Assim, podemos definir uma aplicação

~: S - > M por ~(A) = a.

Introduzimos Ulíta topologia. em S, definindo uma vizinhança arbi-trária U ·de S, a partir de uma Vizinhança. U do espaço M e um caminho

.te:

Q,

que termina em tl. Dado ull1 caminho x arbitrário

em U, cujo início

é

o término de f.., façamos y ::: .fx c denotemos

-por

Y,

a totalidade de caminhos homotÓpicos a y e -por

U,

o co!!_ junto de todas as classes Y obtidas de ·todas as ~~~colhas

veis de x em U, Vemos que U ind,1pende da escolha elo caminho

.e.

As vizinhanças assim obi:idas for:rnam um sis-tema fur.damental de vizi nhanças para

S. O

espaço topolÓr:;ico S

é

chamado espaço recobri-menta universal para M.

A

aplicação cp

é

uma aplic-:'!.ção aberta e :mais aind<;t, e

-

um homeomorfismo local, o que nos permite concluir que o espaço

(26)

reco-brimento universal

é

conexo por arcos, localmente conexo por arcos

e localmente simplesmente conexo. Temos então o seguinte

1.6.4 - Teorema: O espaço recobrimento universal de um es paço topolÓgico

é

sempre simplesmente conexo.

Demonstração: (Vide - [ lO

J -

Pontrjagin - pg. 224).

D

1.6.5 -Teorema: Se Me N sao espaços topolÓgicos

cone-xos e T

é

o produto desses espaços, então T e conexo e seu

-

gr~

po fundamental

é

isomorfo ao produto direto do" grupo

fundamental

do espaço M com o grupo fundamental do espaço N. Em particular, o produTo-de dois espaços topolÓgicos simplesmente conexos

é

sim-plesmente conexo.

Demonstração: (Vide - [ lO

J -

Pontrj agin - pg. 2 2 4).

O

Já

vimos pela proposição (1.3.2) que a componente

conexa neutra

é

um subgrupo ,topolÓgico ,invariante do grupo topológico G. Assim, basta considerarmos grupos de Lie conexos. Além disso, co-mo os grupos de Lie são localmen·te homeomorfos a abertos de Rn

'

têm as seguintes propriedades i) conexos por caminhos,

(I) i i) localmente conexos por caminhos, iii) localmente simplesmente conexo.

1. 6. 6 - Teorema: Pa:Pa todo gr•upo topolÓgico G, e xis te um erupo topolÓgico G simplesmen:te conexo que

é

localmen·te .Lsomorfo a G e ·tal que G

é

isomorfo ao grupo fator

G!N,

onde N e sub

-grupo normal discreto de G e mais ainda, o gFupo fundamental do espaço G

ê

isomorfo· ao grupo N.

(27)

Esboço da demonstração: Suponhamos G com as condições (I) e

G

o espaço recobrimento universal, onde tomamos a identidade

como ponto fundamental. Assim, o grupo topolÓgico

G

-

tem

também as

propriedades (I). Seja N o nÚcleo da aplicação natural

cp:.

G ->G que

é

contÍnua, aberta e homomorfismo. Como <P

é

também

homeomor-fismo local, existe uma vizinhança

[í

da identidade do grupo G na

qual

<P

é

bijeção; portanto

N

e subgrupo normal discreto de

-

G • Se A

é

um elemento de N, então ~(A)

=

e, isto é~ todos ·os cami ·nhos da classe A sao fechados. Reciprocamente, se todos os

cami-nhos da classe A são fechados, então <fl(A)

=

e, com o que segue que

A

é

um elemento de N, ou seja~ N

é

constituído por todas

-as cl-asses de caminhos fechados, isto e, N consider,;<_do como um conjunto, coincide com o grupo fundamental do espaço topolÓgico

G.

Finalmente, pelo teorema do isomorfismo entre grupos, temos G/N ::: ,;; G.

Pela proposição (1.2.6), N está contido no centro de G; a~ sim podemos concluir que -todo grupo de Lie- G,

é

isomorfo a

G!N ,

onde N

é

subr;rupo discreto contido no centro de G.

O problema de classificação de grupos ·topolÓgicos agora r~ cal na classificação de todos os gru-pos simplesmente conexos e to-dos os seus respectivos subgrupos discretos. Isto consi:itui a par-· te central do nosso trabalho, quando o grupo G -t~em dit.wm;;ã.o me-nor ou igual a 3.

(28)

CAPÍTULO II: A ÁLGEBRA DE LIE

Neste capÍtulo introduziremos o conceito de álgebra de Lie

e estudaremos sua relação com os grupos de Lie. Estudaremos em particular a relação entre a álgebra de Lie das matrizes M(n,lli.) e o grupo de Lie Gl(n,JR ).

2 .1 - CAMINHOS. DIFERENCIÁVEIS

2.1.1- Definição: Um caminho diferenciável em M (n, JR ) e

-uma função

~: lR -> M(n, R) definida por ~(t) = A(t)

=

(a .. ( t ) ) ,

1]

i, j = 1,2, . . . , n, onde classe C00

•

a .. ( t )

1] são funções diferenci~veis

em um ponto t 0-

é

o limite de

lim

-t->o

A derivada de

~(t) ~(t₀+t) _ ~(to)

se existir;

é

um elemento de N(n,IR) e t

-sera denotado por - d~ ( t )

dt o

ou

2.1.2 - Lema: Se A(t) e B(t) sao dois caminhos diferen-ciáveis em HCn,JR )~ então o produto A(t).B(t)

é

diferenciável e a -derivada

é

dada por

d dt (A(t).B(t))

=

sl_!l(i:) .B(t) dt + A(t).-_cLJl(1:) ' dt Demonstração: Se A(t).B('t) = (CiK(t)), onde

!l(i:) = (a .. ('t))

lJ

n C.v('t)

=

E l~' .

]=1

e B(t) " n l: j=l d(aij(t)) ( ) - . .bjK t n +

.r.

dij ( t ) d dt ]=l dt conclui a demonstração. (lJ,. ( t ) ) l ] ' bjK(t).

então

Assim,

o que

D

(29)

2.1.3 - Lema: Se A(t)

é

inversÍvel e diferenciável en-tão A - l (·t)

é

diferenciável e sua derivada

é

dada por

temos d (A-l(t))

= -

A-l(t). dt Demonstração: Como d dt d A(t) ₊ _A(t). dt d A(t) dt (A(t). A-1(t)) = d dt dt (ld)

=o,,

ou seja A(t).

₌

d A(t) .A -1 ( t ) . dt

Portanto d dt

(A-l(t))

= -

A-l(t). d A(t) • A-1(t). ·

0

d·t

2.l.lJ.- Proposisi9.:- Se A t: M(n, IR) então exp(tA)

é

di ferenciável e = A 8

tA

Dernonst_ração: Imediato.

o

2 .1. 5 - Propo~:d.ção: Se A e B sã.o dois elementos de f-í(n, JR )

-tais que AB = BA, então e A+B - e A e B

Demons·tracão: Como e

tA+B

= l (tA·HJ) n

AeB

n::.:O n!

tam, temos d

dt (eti\+B) =A +(-tA+B)

A+--~!

(U\.+B)

2

A+ •••

=

= [ I + (t:A+B)t l ( . B)2 tf\+ + • • • . •

J

A = 8tA+B.A. 2

!

(30)

comu-Assim

d dt

- A e -tA e tA+B + e -tA e (tA+B) .A =

etA+B -- O, 1"sto e-, nao d epen e d d e t •

-Logo, a matriz e -tA e tA+B e constante e como para t

=

O ela va

le eB, segue-se que para t=l,

temos e • A e A+B

-A A+B B

e e

=

e .

Como

(e )

A -l -A

=e ,

o

Seja G um subgrupo topolÓgico do grupo das matrizes reais inversiveis Gl(n, lR). Seja J((G) o conjunto de todos os caminhos

~ : V - - > Gl(n,]l.), contínuamente diferenciáveis, onde

v

e

-

um intervalo uberto de JR contendo a origem, tais que:

i) rp(O) = I

i i ) exis·te uma vizinha.nça H do zero tal que rp (W) C G.

Denotaremos por g o conjunto de todos os ve-tores tangen-·tes a

Jl

(G) em I. Por definição de derivada, g c:.M(n, H) e g :::

{~'(0), ~ eJ\(G)}.

2.1.6 - Pr~osicão: O conjunto g pode ser como um subespaço vetorial real de H(n, [R).

identificado

Demonstração: Primeiramente o E f~, porque se. to;nc:trmos o

arco constante rp(t) :::I, teremos lf>1 _{(0) -O. Mostremos que} _g _{e fe}

-chado para multiplicação por escalar. Sejam À ~~IR e A E g. .Cntão

existe arco continuamente diferenciável (~ : V---> Gl(n, }:R..) tal que

(31)

(HW) C: G. Seja agora o arco .(t)

=

. ( l t ) , para l #O. Assim,. e

-arco continuamente .diferenciável tal que

1jJ(O)

=

.(0)

=

I e

1jJ(H'

I

=

•<_!!_I

=

I li

W'

=

-W e uma vizinhança do zero tal que

=

c; G. Como

~=À

d<P , temos que 1);1₍₀₎

=

_ÀAEg.

dt dt

Provemos agora que g

é

fechado com respeito

à

adição de

matrizes. Sejam A. e B dois elementos de

g.

Existem então, arcos

• e 1jJ em

JlCGI.

e vizinhanças H₁ e H₂ do zero tais que •(0)

=

1jJ(O)

=

I, H

=

H 1 D H2

•<w

₂1

c

G,t'(O) =A • (t:) <J;(t), vemos que e •'(O) = B. fazendo p e arco continuamente

-diferenciâvel tal que p(O) = I , p(H)

=

t(H). ljJ(H)

c

G e - -dp dt

=

-~

•• (t) + t(t) _Qí_

dt dt

Portanto dp

I ::

AI +IB

=

A+B que dt t=O

pertence a g, o que conclui a demomrtração.

o

2.1.7- Proposição: Se A E G en·tão AgA-l C! g.

Demonstração: Seja Y um elemento qualquer de g. Existem

então, um arco

<P

tal que

Y

=

<fl'{O)

e <fl(O) =I e uma vizinhança W

do zero, tal que (jl(H)

c:

G. Consideremos agora o arco T~(t)

=

= Arf>(t) A-1; portanto 1/J

é

derivável e 1/J'(O) e

g~

Como 1/J'(O)

-=

M'(O).A-l AgA-l

c

g.

- l

::: AYA

,

segue-se que AYA -l < g. Cons cqttcntcme ni:e

o

2 . l . 8 Proposit:ão: Se X e .Y sao elementos ·de r;, (~rd:i:io

XY - YX

também

é

um elemento de g.

Demonstração: Dado X s g, existem arco rp e vizinhança ~V

(32)

- l

t ( t ) . Y.t(t) , para t E W; temos que lj!(t} E g, pols ~(t) E G e

Y E

g.

Assim lj!(t)

é

arco derivâve1 em

g

tal que lj!(O)

=

Y, po~ tanto lji'(O) E g. !1as

~

= d<!>(t) .Y.<!>(-t)-l + t(t)Y-d-(<i>(t)- 1)=

dt dt dt

=

dt ( t ) .Y. t ( t ) - l - t(t).Y.~(t) -1 • dt

d<l>(t) .q,(t)-1 dt

e daÍ segue-se que

lJ!'

(O) = XY - YX, portanto XY - YX E g.

2 .1. 9 - .Lema: Se X F.: g então a equação

da (t)

dt

=

a(t).X

,

a(O) = e

tem uma Única solução a(t) E G, -OO< t <+oo.

(l)

Demons-tração: Com estudo semelhante ao que se faz quaçoes diferenciais,

mostra-se

que a equaçao (l) tem uma

local proxlma

-

.

de t=O, definida para

o

< t <

a,

com

memos esta solução de _a

1 ( t ) . Por indução, es·tend0mos ra. todo t > o: a >

o

paPa- e-solução

o .

Cha-A

partir

de a.n(t) definida para an+l(t), definida por

O < t < na, obtemos

O < ·t < na

se na < t <(n+l)a

de modo que an+l(t)

é

uma extensão de an(t).

Ê

fácil ver que a n+l(t) satisfaz (1). Assim construimos uma função sa

(33)

-tisfazendo (1), para t > O

,

O < t <oo e

Finalmente, definimos

a~(t)

=

CL

+

( - t )

-x

,

- 00 < t <

o

e obtemos

+

= d(a ( - t ) )

-x

dt d

= (

-1) ds

= -

CL+ (-t)(-X)

=

-x

de modo que

a~(t)

satisfaz (1) para

-oo < t <

O.

a:(O), encontramos então a.x(t.) para todo t real.

Como

a··co)

X

=

Nostremos agora, a uni,.~idade de a(t). Sejam et

1 ( t ) e o.2Ct) .

duas soluções da equação (1)~ Seja A= { x E. JR a

1( t ) -.=a2Ct)}.C2_ mo a.

1 e a2 sao contínuas e G

é

de Hausdorff, temos que 11.

é

fe chado. A

é

aberto devido a unicidade da solução e A'/. 0, pois OE:A.

-

.

-Como o conjunto dos numeras reals e conexo temos A =

JR

o

A aplicação a(t) = exp(tX)

é

sOlução (Única) de (1). Te-mos então

e o seguinte

d

- (exp tX)

·=

(exp tX).X

ct·t

2.1.10 - Teorema: Para X fixo, a aplicação t - - > exp(tX)

(34)

e

Demonstr2"!_ção: Seja s₀ fixo e cons.i.del','mos a aplicação

h(t) Ternos então dh(t) dt

=

(exp - l r

-=

(exp s₀ X) • exp Ls₀ H)X

J.

h(O)

=

e exp[ (s₀+t)X

J

X

=

h(t)X,

portanto h(t) satisfaz a equação (1). Logo h(t) :::: exp(tX),

con-sequenternente

·exp(tX.J = (exp exp [ s₀ +t)X

J,

o que con

-clui a demonstração.

Cl

2.1.11- Corolário: exp(tX) e exp(sX) comutam.

Demonstração: Trivial.

_D

2.1.12 - Corolário: Se n

é

um número inteiro, - exp(n X). Em partic'ular, (exp X)-l

·=

exp(-X).

Demonstra~~: Imediato.

o

2.1.13 - Corol~rio: (exp X)X

=

X(exp X)

Demonstração: Imediato.

o

2.2 - A A(GEBRA DE LIE

Vamos definir a.gora a álgebrd de~ Lie k~Ir. geY.'al e estudare .. mos algumas de suas propriedades.

2. ~l._- Definirão: Seja V um espaço vetorial sobre um cor•po K. Dizemos que 'I · e" um. a • CC ~J -o "ebra ' se estiver munido de uma

(35)

multiplicação, tal que:

i) (Àx)y = À(xy) = x(Ày) ,

ii)

(x+y)z ; xz + yz e

. z(x+y)

=

zx

+

zy ,

Y

x, y, z

E

V

e

Y

À

E K.

Se a multi_plicação for associativa, a álgebra diz-se asso-cia·tiva. Uma subálgebra de V

é

um subespaço vetor ia

i

de V, que e fechado para a mul t:i_plicação.

O _conjun·to M, de todas as transformações lineares de V em V, com a operação co;nposição

é

uma álgebra associativa; chamada ál gebra das transformações lineares.

Dada uma álgebra A e a E

A,

a apliCação L

a A--> A definida por La x ~ ax

é

uma transformação linear. É fácil ver que a.L _a

=

L _aa e que se A e associativa, vale

-M

é

o conjunto dos operadores lineares em A,

é

um homomorfismo

ent:r.,e álgebras. Se <jl(a) ::: 1/J(b), então I _{·'a -}- T _'--'b' isto é,ax

=

bx p_a ra todo x E A. Se A possui identidade 1, temos a = b, pOI'ta.nto

t/>

é

injetora. Com isso, <P

ê

um isomorfismo entre . 1\ e uma subál-gebra ele M. Conscquentemente a ,~lgebra. A pode ser' representada por uma subálgebra de End, (A)

=

M.

K

2.2.2 - Definigão: Seja· A uma álgebra as.sociativa. Chama remos de produto de Lie em A

à

aplicação

[, 1:

A - - > A, clefini-da por

(36)

O produto de Lie tem as seguintes propriedades:

i)

[

_xl

+ x2'

y

1

=

[

xl,

y

l

+

[

x2' y

J

,

ii) [ X

,

_yl

+

y J

₌

[

x, yl

J

+

[

x, y .

l

,

2 2 iii)

À[_

X,

y

J

=

[Àx, y

J

_-

[

x, Ày

1 ,

iv) [ x, x ] = O ,

v) [x, [y,zJ]

+

[y, [z,xJ]

+

[z, [x,yJ]=o,

A -propriedade (v)

é

chamada identidade de J acobi.

A álgebra munida de um produto de Lie

é

chamada li.LGEBHA DE

LIE da álgebra associativa. O espaço vetorial M(n, R) das matri zes reais nxn~ com o produto usual

é

uma álgeb-ra de Lie.

No caso geral definimos

2. 2. 3 ·- Definição: Um espaço ve·torial V, sobre um corpo. K, de caracterÍstica zero'·

é

uma álgebra .de Li e, se exis·tir em V, u-ma operaçao [,] , tal que

i) [,]

é

bilinear

ii)

_{[ X'} X

l

=

o

'

vx

o

v

iii)

[

_{X, [Y,}

z

] l

+

_{[ y' [}

Z,

X )

l

1

[z,[x,YJ]

=

o

_'

vx,

y' z

_{" v.}

2.2.4- Definição: Uma subálgebra de Li~ de uma álgebra de Li e A

é

um subespaço vetorial B de A ·tal que [ X, Y

J

E: B,

(37)

A partir da álgebra M, descri·ta em ( 2. 2 .1) , obtemos a ál-gebra de Lie ML ; mostra-se que toda álgebra de Lie

é

isomorfa a uma subálgebra de Lie da álgebra de Lie ML.

2.2.5 -Proposição: Com a operaçao [X, Y

J :::

XY- YX , o conjunto g descrito em (2.1.6)

é

uma álgebra de Lie.

Demonstração:

i ) bilinear (imediato).

ii) _{[X, X}

J

=

XX - XX =

o

,

V X o g.

i i i ) [ X,

[

Y,

z

J]

+ [

y' [ z,

_X

J]

+

_{[ z,}

[ X,

y

l]

₌

=

[ X, YZ - ZY

J

+

[ y, zx - xz

J

+

[

Z,

XY - YX

J

₌

= X(YZ - ZY) - (YZ - ZY)X + Y(ZX • XZ) - (ZX - XZ)Y +

+ Z(XY - YX) - (XY - YX)Z =

=

XYZ - XZY - YZX + ZYX + YZX - YXZ - ZXY + XZY

+ ZXY - ZYX - XYZ + YXZ ~ O

_D

2.3 - ALGUNS EXEMPLOS DE ÁLGEBRA DE LIE

a.)

O

exemplo mais simples de álgebra de Lie

é

o conjunto dos números reais com as oper>ações usuais.

b) O grupo de Lie Gl(n, JR), das ma:b:izes reais nxn :i.nver síveis tem por álgebra ct'e Lie, o conjunto IHn, TI\) das matrizes reais nxn, com as operações usuais.

c) Se G

1 e G2 são grupos de Lie com álgebras de Lie g1 c

r;

(38)

álgebra de Lie g

1 x g2. Assim,

JF!l

é

ále-ebra de Li e de dimensão n. Sejam {

x

₁,

x

₂, ..• , Xn} base de uma álgebra de Lie g abeliana

-(isto e, [X, Y]::: O VX, Y e g ) e { e

1, e2, ••• , en} base ca

-nÔnica do IRll • A aplicação dada por $(X o) = e. e um

l l

é

um isomorfismo entre espaços vetoriais e também isomorfismo en-tre álgebras de Li e, pois ~ [ X o , X o

J

=

~ (O)

=

O

=

t

e o , e o

l

=

l J l J

-::: [tPCXi)' tf>·(Xj)]. Portanto, .toda álgebra de Lie abeliana de

di--

_isomorfa R n o

mensao n e a

d) A álgebra de

Li

e do grupo real afim A(n), descrito em (l.4o9) e

-

o conjunto das matrizes da forma ( A

_{o o}

R- ₎

_'

onde _A e

-

u-ma u-matriz real

nxn arbitrária e . i E R • Denotando por n < A

I

l > um elemento genérico dessa álgebra, temos

i) < A

I

R- > o < B

li<

>

=

< AB

I

Ak > e

i i ) [ < A

I

R- > ; < B

I

k > ] ·= < A

I

f_ > < B

I

k > . - < B

I

k > o

<AI f_> = < ABIAk > - <

B!I.IB.f.

>= <[ A,B

J

IAk-B.t >o

Consideraremos agora~ alguns casos especiais de subálge-br'as de Lie da álgebra de Lic ML' onde M

é

a álgebra

associati-va· das transformações lineares em um espaço vetorial V de dimen-são finita sobre um corpo k.

Seja V um espaço vetorial munido de uma forma

bilinear

simétrica não degenerada < x, y > • Toda transformução linear A em V admite uma transformação adjunta

A

1

·~,

relativa a < x, y > ,

(39)

:': <

Ax,

y > = <

x, A

y > Vx, y e V.

aplicação

1~

-

álgebra

A

-->

A

e um anti-automorfismo

na

M,

pois ~·: 1~

*

i)

(A+B)

=

A

+ B i i )

( ÀA)

1 '

₌

ÀA

:': ~·~ ;': :':

iii)

(AS)

₌B

A

,

v

A,

B E

M,

'i

À

E

k.

Seja H

= {

A < M ; A*

=

-A }. Vemos que H e

-

subespaço

~

de M e que se

A

e B sao

dois

elementos de H então

[

A,

B

J'"=

=

(AB -

BA)

:';

=

(AB)

*

-

(BA)

:~ = B

,,

A

*

-

A

;, B 1: =

BA

-

AB

=

-[

A, B

]

,

isto

é,

[A, B]

E

H;

portanto

H

é

subálgebra de

M

1

•

Se K

é

o corpo dos nÚmeros reais, então a álgebra de Lie H

é

a álgebra de Lie do grupo ortogonal de- V, relativa a< x,y >. Este

é

o grupo das ·tranaformações lineares O em V, que são orto gonals no seguinte sentido.

< Ox,

Oy

>

=

< x,y >

,

2. 3. 2 - Álgebra de L.~~-S.imP-_lé-tica

Seja < x,y >uma forma altei'nada na.o degGnerad"-1, isto e, _.

<

x,

X > =

o;

temos que

dim

v

Séja

;';

- 2n. A d

forma

adjunta de

A

relativa

a·<

x,

y > •

Então

o conj urY!:o H = { A E

N; A

~~ =

-A

} o

-uma subálgebra de ML. Es'ta ~lgebr>a

é

chamada álgebra d(::. Lie simplf tica

H, da forma

alternada <

x,

y >.

2. 3. 3 - Álgebra das deriv.'lçÕe~

(40)

der·iva-çao D em A

é

uma transformação linear de A em A tal que

D(xy)

=

(Dx)y + x(Dy) ,

Vx,

y o A.

Denotaremos por PCA), o conjunto das derivaçÕes em A. As-sim, se D

1 e D2 são dois elementos de

fJ

(A), então

+

(D

2xly

+

x(D2y)

=

(D1x + D2xly + x(D1y) + D2y)

=

= [

<D

1 + D2lx

J

y

+

x [ (D1

+

D2 )y

J ,

o que significa que

D

1

+

D2 o J!)(A).

Analogamente, se D

1 E: JO(A) e À E: K, então ÀDl E.f!J(A). Além disso, com

n

1 e

n

2 s

J.?

(A), temos

(D

1D2)(xy)

=

D1 (D2 xy)

=

D1

[<D

2x)y + x(D2y)

J

=

n

1 [ (D2x)y

J

+

+ D

1 [ x(D2y ) ]

=

(D1D2x)y

+

(D2x)(D1y)

+

(D1x)(D2y)

+

x(D1D2y).

Trocando

n

1 por D2 , vem

(D

2xl(D1yl + x(D2D1y). Logo, [ D1, D2 ] (xy) = (D1D2 - D2D1l<xy)=

=

(Dl D

2) (xy) - (D2D1) (xy) c (Dl D2x)y ··· (D2D1x)y + x(D1 D2yl -- x (D

2Diy)

=

<n1n2x - o2n1xly

+

x(D1D2y - D2D1yl

= [

<D1D2

-Assim, [ D

1, D2

J

EJD(A);. r;ortanto fOCA)

ê

uma subálgebra de Lie de ML. A álgebra de Lie assim obtida

é

chamada álgebra das deriva-ções de A e

é

a álgebra de Lie do grupo dos at.rtomorfismos em A, se A for uma álgebra de dimensão fini·ta sobre o corpo dos

nume-

-ros reais.

(41)

Seja A uma álgebra associativa e sejam Lae Ra transla-ções

à

esquerda e

à

direi·ta respectivamente, determinadas pelo el!:. mento a. Fazendo Da = Ra-La' temos Da(xy)

=

(xy)a - a(xy) =xay--xay + xya - axy

=

(xa-ax)y + x(ya-ay) =(Dax)y + x(Day), portanto Da

é

uma derivação na álgebra A, chamada derivação interna deter minada por a.

Para cada elemento fixo a de uma álgebra de Lie L, consl-deremos a aplicaç~o linear

ada L - - > L

X - - >

[

x,a

J.

Como

[

x,y

J,a]

+ [ [

_y,aJ,x]+[[

a,x ]

,y]

= O, se-gue-se que

[ x,y

J

= [ [

x,y J,a]

=-[ [

y,a

J

,x]

-- [ [ a,x ] ,y

J

= [

x,

[ y,a

J ]

+ [ [

x,a ] ,y]

= [

x, ad y

l

+

a -t [ adax, y

.J ,

o que .nos permite concluir, que ad _a

5

uma deriVa-çao, que também

é

chamada derivação interna determinada pelo ele-menta a

c

L.

Hostraremos neste pa.r•ágrafo, que se A e

-

ur11a

completa e

um

ideal em uma álgebra de

Li

e L, ent:J.o. L decomposta na soma direta L

₌

A @ _B, _onde _B _e

-

um :ideal

2.1+.1- Definição : Um subconjunto não vaz:t.o B álp,/;bra não associativa A diz-·se um ideal em A se

subálgebra· pode ser

em L.

(42)

i) _Be u.rn

-

subespaço do espaço vetorial A e

i i ) p _{ara todo a} _E _{A e todo} _b _E _~' _tem-se _{ab, ba E B.} O subconjunto L'

= {[

a,b] E L; a,b E L} de uma

álge-bra de Lie L

é

um ideal. Hais ainda, um subespaço B óe L e

-

um ideal se e somente se [ a,b

J

E B, para todo a E L e todo b E B.

Também o centro "GCL) = { a o L; [ a,x ]=O, Vx o L } de L e um

-ideal e vemos que· L

e abeliana se

-

L= ~(L), o que equivale a L' = {0}.

O conjunto das derivações internas de uma áleebra A e um

-subespaço· de A; além disso, de D

é

uma derivação em A, temos

D(ax)

=

(Da)x + a(Dx),

daÍ D(ax) - a(Dx) = (Da)x,

ou seja, D(Lax) - L _a

Dx

= _LDax'

portanto

_{[ D'}

L

J

_='Lna AJ1alogamente

[

D,

R

J

=

_{R Da}

Assim

a

[ D, Da

J

[

D,

L

-

_{R a}

J

=

[

D,

La

J

-

[

D,

R

a]

o

1 Da

-

R Da

= DD .

a

, a

Des·ta forma., se I

é

derivação interna e D

é

uma deriva

-çao qualquer, temos [ D, I

J

= [

D, L

a - R a· ]

também der•ivação interna. Podemos assim concluip que o conjunto das derivações internas de A

é

um ideal em JD(A).

Dizemos que uma álgebra de Lic

é

compleota se seu centro e {O} e todas as suas derivações são internas.

2.4.2 - Pr?~osição: ideal em uma álgebra de Lie soma dire·ta L ::: AffiB, onde

Se

L, B A e

-então

-e um

uma

su b -, a.teeb:r.'a completa L pode ser decomposta ideal em

L.

e

um

na