Previsão de radiação solar direta sob a abordagem singular spectrum analysis

(1)

Wilson da Mota Martins de Almeida

Previs˜

ao de Radia¸

c˜

ao Solar Direta sob a

Abordagem Singular Spectrum Analysis

Niter´oi - RJ, Brasil 18 de Dezembro de 2019

(2)

Universidade Federal Fluminense

Wilson da Mota Martins de Almeida

Previs˜

ao de Radia¸

c˜

ao Solar Direta

sob a Abordagem Singular Spectrum

Analysis

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Mois´es Lima de Menezes

Niter´oi - RJ, Brasil

(3)

Ficha catalográfica automática - SDC/BIME Gerada com informações fornecidas pelo autor

Bibliotecário responsável: Ana Nogueira Braga - CRB7/4776

A447p Almeida, Wilson da Mota Martins de

Previsão de radiação solar direta sob a abordagem

singular spectrum analysis / Wilson da Mota Martins de Almeida ; Moisés Lima de Menezes, orientador. Niterói, 2019.

46 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em

Estatística)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Matemática e Estatística, Niterói, 2019.

1. Singular spectrum analysis. 2. Modelagem. 3. Energia solar. 4. Análise de séries temporais. 5. Produção intelectual. I. Menezes, Moisés Lima de, orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Matemática e Estatística. III. Título.

(4)

(5)

-Resumo

A gera¸cão de energia fotovoltaica vem sendo cada vez mais difundida no contexto das matrizes energéticas no mundo e o Brasil desponta com um grande potencial para tal fim, dado que é um dos maiores receptores de radia¸cão solar no planeta. Com isso, faz-se necessário o desenvolvimento de técnicas capazes de aumentar a capacidade preditiva de incidência de radia¸cão solar, ou da quantidade de tempo de exposi¸cão ao sol de determi-nados locais a fim de auxiliar pesquisas para instala¸cões de usinas geradoras de energia fotovoltaica, bem como qualquer outro estudo que demanda previsões de incidência de ra-dia¸cão solar. Este projeto propõe o uso de Singular Spectrum Analysis (SSA) via análise gráfica de autovetores para filtrar uma série de incidência de exposi¸cão completa ao sol, eliminando a componente ruidosa, e então, gerando uma nova série suavizada que foi modelada por Holt-Winters e Box-Jenkins. A série temporal também foi modelada em sua forma original para fins comparativos com o intuito de testar a capacidade preditiva do modelo sobre a série filtrada via SSA. Neste caso, o software FPW (Forecast Pro for Windows) foi utilizado para gerar os modelos e analisar as estat´ısticas de aderência, o GRETL foi utilizado para analisar fun¸cões de autocorrela¸cões e autocorrela¸cões parciais das séries temporais e o R foi utilizado para importar dados referente a res´ıduos e gerar seus gráficos. As estat´ısticas de aderência consideradas foram a Raiz Quadrada do Erro Quadrático Médio (RMSE), o Erro Médio Percentual Absoluto (MAPE), o Desvio Médio Absoluto (MAD) e o Critério Bayesiano de Informa¸cão (BIC). Os resultados mostram que o filtro Singular Spectrum Analysis melhora a capacidade preditiva dos modelos (tanto o de Holt-Winters quanto o de Box-Jenkins), e que, após a filtragem da série, o modelo de Box-Jenkins foi a melhor escolha para gerar previsões dos dados solarimétricos estudados.

Palavras-chaves: Energia fotovoltaica; Singular Spectrum Analysis; Autovetores; Holt-Winters; Box-Jenkins; Modelagem; Previs˜ao

(6)

Dedicat´

oria

Dedico esta conquista a meus pais, Sonia Maria da Mota Martins de almeida e Wilson Gon¸calves de Almeida, por todo o esfor¸co que fizeram para me criar e para que eu pudesse chegar at´e aqui, e `a Deus, porque nada seria poss´ıvel sem Ele.

(7)

Agradecimentos

Gostaria de agradecer aos meus pais, por tudo o que me proporcionaram para que eu conseguisse concluir este trabalho, bem como toda a minha gradua¸c˜ao.

A minha namorada Pˆamela, pelo apoio indondicional, por todo o amor, carinho e companheirismo, que se depender de mim, estar˜ao comigo por toda a minha vida.

Aos amigos que conquistei durante a gradua¸cão, Mar´ılia e Tuany, que estiveram co-migo durante um bom tempo me apoiando e ajudando em todas as dificuldades que a gradua¸cão proporciona, Débora, que torceu por mim e me apoiou durante boa parte do curso, e em especial, Bruna que permaneceu ao meu lado durante a gradua¸cão inteira, aturando-me durante os momentos mais dif´ıceis da minha vida.

Ao meu orientador Moisés, com quem eu obtive um aprendizado gigante, não só sobre o conteúdo deste trabalho, mas sobre diversas áreas da vida acadêmica, e por ter compreendido todas as minhas dificuldades, me ajudado a superá-las com maestria.

`

A professora Keila, que n˜ao hesitou em me ajudar nas disciplinas mais complexas, inclusive, me emprestando materiais de estudos.

Aos professores Marco Sanfins e Wilson Calmon, que aceitaram ser membros da banca deste trabalho.

E à UFF e todos os seus docentes. O conhecimento que se pode conquistar através deles é astronômico e fico extremamente grato por ter tido a chance de absorver um pouco deste conhecimento.

(8)

Sum´

ario

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

1 Introdu¸c˜ao p. 11

1.1 Contextualiza¸c˜ao . . . p. 11

1.2 A importˆancia das previs˜oes de agentes geradores de energia . . . p. 12

1.3 Revis˜ao Bibliogr´afica . . . p. 13

1.4 Proposta do Projeto . . . p. 14

1.5 Objetivos . . . p. 14

1.6 Estrutura do Trabalho . . . p. 15

2 Materiais e M´etodos p. 16

2.1 Base de Dados . . . p. 16

2.2 An´alise de S´eries Temporais . . . p. 17

2.3 Componentes de uma S´erie Temporal . . . p. 17

2.4 Estacionariedade . . . p. 18 2.5 Teste de Dickey-Fuller Aumentado . . . p. 19

2.6 Teste de Kolmogorov-Smirnov . . . p. 19

2.7 Modelos de Holt-Winters . . . p. 19

2.8 Modelos de Box-Jenkins . . . p. 20

2.8.1 Processo auto-regressivo (AR) . . . p. 21

(9)

2.8.3 Processo Auto-Regressivo e de Médias Móveis (ARMA) . . . p. 22 2.8.4 Processo Auto-regressivo, Integrado e de Médias Móveis ARIMA(p,

d, q) . . . p. 22

2.8.5 Processos com Sazonalidade - SARIM A(p, d, q) × (P, D, Q)s . . p. 22

2.8.6 Fun¸cão de Autocorrela¸cão (F AC) e Fun¸cão de Autocorrela¸cão

Parcial (F ACP ) . . . p. 23

2.9 Singular Spectrum Analysis . . . p. 25 2.9.1 Decomposi¸c˜ao . . . p. 25

2.9.2 Reconstru¸c˜ao . . . p. 26

2.10 Estat´ısticas de Aderˆencia . . . p. 28

2.11 Resumo da Metodologia . . . p. 29

3 An´alise de Resultados p. 30

3.1 Modelagem sobre a s´erie original . . . p. 30

3.2 O melhor modelo para a s´erie original . . . p. 34

3.3 Abordagem SSA com an´alise gr´afica dos autovetores . . . p. 35

3.4 Modelos de Holt-Winters e Box-Jenkins sobre a s´erie filtrada via SSA . p. 37

3.5 O melhor modelo como um todo para a s´erie estudada . . . p. 41

3.6 Análise da capacidade preditiva com dados coletados após a última

ob-serva¸c˜ao da s´erie estudada . . . p. 42

4 Conclus˜ao p. 43

(10)

Lista de Figuras

1 S´erie temporal de insola¸c˜ao . . . p. 16

2 Fluxograma da proposta do projeto . . . p. 29

3 Série Original vs. Série Ajustada por Holt-Winters . . . p. 31 4 Comportamento das F AC e F ACP da série original . . . p. 32

5 Comportamento das F AC e F ACP da s´erie original com uma diferen¸ca

sazonal . . . p. 33

6 S´erie Original vs S´erie Ajustada por SARIM A(1, 1, 1) × (1, 1, 1)12 . . . p. 34

7 Res´ıduos do SARIM A(1, 1, 1) × (1, 1, 1)12 . . . p. 35

8 Componente de tendˆencia . . . p. 36

9 Componente harmˆonica . . . p. 36

10 Componente ruidosa . . . p. 36

11 S´erie filtrada via SSA . . . p. 37

12 Comportamento gr´afico da s´erie modelada por Holt-Winters . . . p. 38

13 Correlogramas da s´erie filtrada com uma diferen¸ca . . . p. 39

14 Correlogramas da série filtrada com uma diferen¸ca sazonal . . . p. 40 15 Comportamento gráfico da série ajustada via modelos de Box-Jenkins . p. 41

(11)

Lista de Tabelas

1 Dados de Localiza¸cão da Esta¸cão Solarimétrica . . . p. 17

2 Estat´ısticas Descritivas da S´erie . . . p. 17

3 Equa¸c˜oes dos modelos de Holt-Winters . . . p. 20 4 Comportamento da F AC e da F ACP para modelos AR, M A e ARM A p. 24

5 Estat´ısticas de Aderˆencia dos modelos de Holt-Winters . . . p. 30

6 Modelo de Holt-Winters com tendˆencia linear e sazonalidade aditiva . . p. 31

7 Componentes Sazonais . . . p. 31

8 Estat´ısticas de Aderˆencia dos modelos de Box-Jenkins . . . p. 33

11 Modelo de Holt-Winters com tendˆencia linear e sazonalidade

multiplica-tiva para a s´erie filtrada . . . p. 38

12 Componentes Sazonais do modelo para a s´erie filtrada . . . p. 38

13 Estat´ısticas de Aderˆencia dos modelos de Box-Jenkins p´os-SSA . . . p. 40

14 Estat´ısticas de Aderência dos modelos de Box-Jenkins pós-SSA . . . p. 41 15 Análise da capacidade preditiva dos modelos . . . p. 42

(12)

11

1 Introdu¸

c˜

ao

1.1 Contextualiza¸

c˜

ao

O panorama da produ¸cão energética mundial está mudando rapidamente, principal-mente devido a questões ambientais e econômicas (VICHI et al., 2009) [1]. A aten¸cão de pesquisadores tem se voltado cada vez mais a fontes de energia renováveis. Dentre elas, a fotovoltaica, obtida através da conversão de energia radiométrica em energia elétrica.

De acordo com o Pereira et al. (2006) [2], o Brasil tem incidências de irradia¸cão solar muito maiores do que pa´ıses que fazem uso de energia solar em grande escala. O número de horas de brilho do Sol pode passar de 3000 horas por ano. Em contrapartida, não passa nem perto de tirar bom proveito dessa situa¸cão. O menor n´ıvel de irradia¸cão solar no Brasil é 40% superior ao maior n´ıvel de irradia¸cão na Alemanha, que é o pa´ıs com o maior aproveitamento de energia solar do mundo, o maior mercado, e tudo isso com território equivalente ao do estado de São Paulo (ESPOSITO & FUCHS et al., 2014) [3].

A energia hidroelétrica (ou hidráulica) ainda é a principal fonte geradora de ener-gia elétrica para mais de 30 pa´ıses e no Brasil corresponde a 64% de toda a demanda nacional, seguido das usinas termoelétricas. Sabe-se que ambas são causadoras de im-pactos ambientas indesejados, principalmente as termoelétricas, que emitem em demasia gases causadores do efeito estufa, que acaba por agravar o mesmo. Além disso, os custos de gera¸cão de energia elétrica têm se tornado pouco atrativos, principalmente quando há a necessidade de acionamento das usinas termoelétricas que funcionam a partir de combust´ıvel fósseis.

A Usina Hidroelétrica de Itaipu é a maior do pa´ıs, mas tem metade da sua energia compartilhada com o Paraguai devido à posi¸cão geográfica da usina, localizada na fronteira entre os dois pa´ıses. De acordo com Esposito & Fuchs (2014) [3], se fossem instalados sistemas fotovoltaicos sobre o lago da Usina Hidrelétrica de Itaipu (área de 1.350 km2_{), a}

(13)

1.2 A importˆancia das previs˜oes de agentes geradores de energia 12

´e um perfeito atrativo para investimento em pain´eis solares a fim de gerar e distribuir de energia fotovoltaica no Brasil.

Energias eólica e hidroelétrica são duas formas de energia que, para obter melhor planejamento e dimensionamento estrutural e econômico, são necessárias previsões de incidência de ventos e de vazão de afluentes, respectivamente. Para isso, faz-se necessesário o uso de técnicas estat´ısticas de análise de uma série de dados coletados conforme o tempo (séries temporais). De forma intuitiva e dada a importância da análise de séries temporais, é incontestável pensar que as mesmas técnicas devem ser aplicadas com a mesma finalidade para prever a incidência de radia¸cão solar, fenômeno que pode variar conforme o tempo, o clima, a esta¸cão do ano, o local etc.

1.2 A importˆ

ancia das previs˜

oes de agentes geradores

de energia

Certas matrizes energéticas, como a que será abordada neste projeto, são acompa-nhadas de técnicas estat´ısticas para previsão da incidência direta seus agentes geradores. Menezes et al. (2014) [4] já alerta que a popula¸cão e a demanda por energia crescem de forma proporcional. Com a diminui¸cão do uso de fontes fósseis de energia e o aumento do uso da eletricidade, cresce cada vez mais a procura por fontes energéticas renováveis, limpas e de menor custo. É poss´ıvel enxergar isso nos automóveis, que gradativamente deixam de ser movidos à combustão e passam ao uso de baterias elétricas para funcionar.

Com o crescimento da demanda por energia e considerando que a gera¸cão fotovol-taica é uma das formas de gera¸cão mais eficientes, com capacidade de produ¸cão de longo prazo, impacto ambiental quase nulo e custo mais acess´ıvel, a análise de séries temporais para previsão de radia¸cão solar tende a ser cada vez mais empregada para viabilizar cons-tru¸cões usinas, com previsões periodicamente atualizadas a fim de promover um melhor planejamento econômico para o setor.

Existem ferramentas que podem ser empregadas para se obter uma melhor previsão, com impacto direto na modelagem dos dados. Dentre elas, SSA (Singular Spectrum Analysis) é uma técnica capaz de remover a componente ruidosa de uma série temporal, sendo a ferramenta principal que será trabalhada neste projeto, e então usar modelos de Holt-Winters e de Box-Jenkins para prever a incidência de insola¸cão.

(14)

1.3 Revis˜ao Bibliogr´afica 13

1.3 Revis˜

ao Bibliogr´

afica

Miranda & Silva (2016) [5] utilizaram modelagem de séries temporais para previsão de radia¸cão solar a partir de dados coletados do portal da NASA Langley Research Center Atmospheric Science Data Center Surface Meteorological and Solar Energy (SSE), con-cluindo que modelos de Holt-Winters seriam mais indicados para previsões de curto prazo, e que o modelo SARIM A (Box-Jenkins) seria capaz de obter melhor previsão para longo prazo pela capacidade de captar melhor o comportamento sazonal da série.

Couto et al., (2016) [6] fizeram medi¸cões de radia¸cão solar através de um piranômetro (instrumento para medir a irradia¸cão solar sobre uma superf´ıcie plana. Em outras pala-vras, é um sensor desenhado para medir a densidade do fluxo de radia¸cão solar em W/m2 num campo de 180 graus), nas dependências do Departamento de Engenharia Elétrica (DEE), da Universidade Federal do Ceará (UFC), campus Fortaleza. Nesta mesma pes-quisa foram utilizados os modelos de médias móveis simples e o de amortecimento expo-nencial simples, concluindo que este último modelo seria melhor para previsão da série estudada, bem como constataram o grande potencial do Ceará e de toda a região Nordeste para gera¸cão de energia solar.

Cavalcante (2016) [7] propõe o uso de SSA na filtragem de uma série temporal de consumo de energia elétrica usando a Clusteriza¸cão Hierárquica na fase de agrupamento. Os resultados obtidos mostram que a utiliza¸cão da filtragem SSA proporciona um ganho preditivo à modelagem e que ao utilizar a clusteriza¸cão hierárquica, a utiliza¸cão de três clusters obtém o melhor desempenho e que, neste contexto, a escolha do modelo de Box-Jenkins detém o melhor desempenho na modelagem e previsão de consumo de energia elétrica. Tais resultados corroboram para a utiliza¸cãao destes modelos no aux´ılio do planejamento energético do pa´ıs.

Pessanha (2017) [8] propôs um estudo sobre velocidades do vento em diferentes regiões do Brasil, tendo como objetivo a análise de viabilidade de instala¸cão de usinas eólicas para produ¸cão de energia elétrica. Diferentes séries de velocidade do vento foram estudadas, utilizando análises e previsões com modelagens de Holt-Winters e de Box-Jenkins.

(15)

1.4 Proposta do Projeto 14

1.4 Proposta do Projeto

Este trabalho tem como proposta a análise de uma série temporal sob a abordagem SSA para previsão de incidência de insola¸cão (radia¸cão solar direta). A série será mode-lada via métodos de amortecimento exponencial de Holt-Winters sob diversos aspectos e via modelos ARIMA de Box & Jenkins de acordo com os resultados dos testes de nor-malidade, testes de raiz unitária e análises de correlogramas. Em seguida, esta série será filtrada via SSA de acordo com os resultados obtidos na análise de autovetores na fase de agrupamento. A série filtrada via SSA também será modelada via Holt-Winters e Box & Jenkins nos mesmos moldes aos quais a série original foi submetida.

Após obter os modelos, serão feitas análises dos res´ıduos para averiguar a adequa¸cão do modelo. Os modelos considerados adequados passarão por um critério de escolha de acordo com a sua capacidade preditiva baseado nas estat´ısticas de aderência. Será considerado o modelo ideal aquele que minimizar as estat´ısticas de aderência e os critérios utilizados. Serão usados, para fim de avalia¸cão, os critérios e estat´ısticas de aderência: Critério de Informa¸cão de Akaike (AIC), Critério Bayesiano de Informa¸cão (BIC), Erro Quadrático Médio (RM SE), Erro Percentual Médio Absoluto (M AP E) e Desvio Médio Absoluto (M AD).

Neste projeto alguns softwares serão aplicados para facilitar as análises: FPW para modelagens de Holt-Winters e Box & Jenkins, calcular as estat´ısticas de aderência e fazer análise de res´ıduos; Excel e R para gráficos de autovetores, série original bem como filtrada e modelada, scaterplots e estat´ısticas descritivas; GRETL e R para testes de ra´ız unitária, testes de normalidade, análise de correlogramas e análise de res´ıduos; Caterpillar para filtragem SSA.

1.5 Objetivos

O objetivo deste projeto é avaliar a capacidade preditiva do modelo após filtrar a série usando o método SSA e comparar com a modelagem feita sem o filtro. Tendo como motiva¸cão o crescimento do uso de energia fotovoltaica, este trabalho também se destina a auxiliar pesquisas para instala¸cões de usinas de energia solar e outros estudos que precisem de previsões de incidência de radia¸cão solar, bem como obter modelos de previsão adequados.

(16)

1.6 Estrutura do Trabalho 15

1.6 Estrutura do Trabalho

O projeto se divide em 5 cap´ıtulos. No primeiro, consta a introdu¸cão, que descreve contextaliza¸cões e motiva¸cões, a importância de se fazer previsões de dados solarimétricos, revisão bibliográfica e proposta do projeto. O cap´ıtulo 2 contém os objetivos. O terceiro é composto por materiais e métodos. O cap´ıtulo 4 concentra a análise de resultados e as conclusões ficam no cap´ıtulo 5.

(17)

16

2 Materiais e M´

etodos

2.1 Base de Dados

Considerou-se uma base de dados com 252 observa¸cões sobre ´ındices de radia¸cão solar captados por área e por tempo, medidas mensalmente entre Janeiro de 1998 e Dezembro de 2018 por uma esta¸cão situada em Petrolina, no estado de Pernambuco. A mesma foi fornecida pelo Instituto Nacional de Meteorologia (INMET). As medidas estão descritas como o total de horas de exposi¸cão ao sol no mês, representando momentos onde há forte indicência de radia¸cão solar. A figura 1 representa o comportamento da série conforme os meses, bem como uma linha de tendência.

Figura 1: S´erie temporal de insola¸c˜ao

As tabelas 1 e 2 representam, respectivamente, dados de localiza¸cão da esta¸cão sola-rimétrica utilizada no projeto e estat´ısticas descritivas da série temporal.

(18)

2.2 An´alise de S´eries Temporais 17

Tabela 1: Dados de Localiza¸cão da Esta¸cão Solarimétrica Latitude (graus) Longitude (graus) Altitude (metros)

−9.38 −40.48 370.46

Tabela 2: Estat´ısticas Descritivas da S´erie

M´ınimo 1o Quartil Mediana Média 3o Quartil Máximo Desvio Padrão 123.9 235.0 259.6 257.6 285.1 336.1 34.7

2.2 An´

alise de S´

eries Temporais

Uma série temporal é uma cole¸cão de observa¸cões feitas sequencialmente ao longo do tempo. A caracter´ıstica mais importante deste tipo de dados é que as observa¸cões vizinhas são dependentes e o interesse está em analisar e modelar esta dependência (EHLERS et al., 2007) [9]. É poss´ıvel enumerar vários exemplos de séries temporais: temperaturas máximas e m´ınimas diárias em uma cidade, vendas mensais de uma empresa, valores mensais do IPC-A, valores de fechamento diários do IBOVESPA, resultado de um ele-troencefalograma, gráfico de controle de um processo produtivo, bem como o processo abordado por este projeto: incidência de radia¸cão direta.

Segundo Chaftfield (2000) [10], grande parte das séries temporais são realiza¸cões de processos estocásticos, com valores futuros sendo parcialmente dependentes de valores observados no passado. Um processo estocástico pode ser descrito como uma fam´ılia de variáveis aleatórias {Z1, Z2, Z3, ..., Zt} indexadas no tempo (XAVIER et al., 2016) [11].

Na maioria dos casos, objetivo de se analisar uma série temporal é conseguir, com o uso de técnicas de modelagem espec´ıficas, determinar uma equa¸cão que descreva e calcule previsões futuras da forma mais precisa poss´ıvel.

2.3 Componentes de uma S´

erie Temporal

Segundo o modelo clássico, todas as séries temporais são compostas de quatro padrões:

• Tendência (T ), que é o comportamento de longo prazo da série. Este tipo de va-ria¸cão está presente quando uma série exibe constantes crescimentos ou decl´ınios, em sucessivos per´ıodos de tempo.

• Ciclos (C), que descrevem flutua¸cões periódicas nos valores da variável estudada. Com o passar dos anos, tais flutua¸cões acontecem com certa frequência. No caso de estudo de dados meteorológicos, geralmente são resultados de fenômenos climáticos.

(19)

2.4 Estacionariedade 18

• Sazonalidade (S), que também descreve flutua¸cões no valor das variáveis, mas di-ferente dos ciclos, ocorrem sempre num determinado per´ıodo de tempo inferior a um ano. Geralmente ao se coletar dados de consumo mensais por alguns anos, nota-se um crescimento do mesmo em épocas festivas. O mesmo pode ocorrer em dados meteorológicos em detrimento das esta¸cões do ano, onde há épocas com maior incidência de radia¸cão solar e outras com menos.

• Varia¸cões Irregulares (I), que são mudan¸cas inexplicáveis no comportamento da série num intervalo de tempo. Podem ser ocasionadas por qualquer acontecimento ines-perado. Embora seja dif´ıcil de ocorrer em processos meteorológicos, uma catástrofe natural poderia provocar flutua¸cões desses dados.

2.4 Estacionariedade

Diz-se de um processo estocástico que ele é estacionário se mantém as suas propri-edades estat´ısticas independente do intervalo de tempo. Pode-se definir três tipos de estacionariedade:

1. Estacionariedade Estrita: quando a estrutura probabilistica n˜ao varia com o tempo, ou seja, p(Zt1, Zt2, ...Ztn) = p(Zt1+k, Zt2+k, ..., Ztn+k)

2. Estacionariedade Ampla: quando os momentos E(Z_t(i)), i = 1, 2, ..., n n˜ao variam no tempo;

3. Estacionaridade de 2a ordem: quando a estacionariedade ampla está restrita a n = 2, ou seja, média constante, variância constante e a fun¸cão de autocovariância só depende da diferen¸ca dos tempos.

Para os estudos referentes aos modelos a serem usados neste trabalho, ser´a tratada a estacionariedade de 2a ordem.

(20)

2.5 Teste de Dickey-Fuller Aumentado 19

2.5 Teste de Dickey-Fuller Aumentado

O teste de Dickey-Fuller é um teste de raiz unitária. Necessariamente, quando uma série temporal possui raiz unitária, ela não é estacionária. As hipóteses do teste podem ser vistas de forma simples.

H0 : A s´erie possui raiz unit´aria

H1 : A série não possui raiz unitária

2.6 Teste de Kolmogorov-Smirnov

O teste de Kolmogorov-Smirnov é um teste de aderência, geralmente utilizado para verificar se os dados seguem distribui¸cão normal. Este teste compara a máxima diferen¸ca absoluta entre a fun¸cão de distribui¸cão acumulada assumida para os dados, no caso a normal, e a fun¸cão de distribui¸cão emp´ırica dos dados. O teste pode ser usado para avaliar as seguintes hipóteses:

H0 : Os dados seguem uma distribui¸c˜ao normal

H1 : Os dados n˜ao seguem uma distribui¸c˜ao normal

Neste caso, ao rejeitar a hipótese nula, não há evidências para crer que os dados seguem uma distribui¸cão normal. Caso contrário, assume-se distribui¸cão normal para os dados observados.

2.7 Modelos de Holt-Winters

O método de Holt-Winters foi sugerido por Holt (1957) [12] e Winters (1960) [13], que trabalharam no School of Industrial Administration e em Carnegie Institute of Te-chnology. O método usa médias móveis ponderadas exponencialmente para atualizar as estimativas da média ajustada sazonalmente (chamada de n´ıvel), inclina¸cão (tendência) e sazonalidade.

(21)

2.8 Modelos de Box-Jenkins 20

al. (2010) [14] sugerem que o melhor critério de escolha entre os fatores multiplicativos ou aditivos é calcular medidas de precisão, assim a op¸cão recai naquela que apresentar o(s) menor(es) erro(s). Outra poss´ıvel forma de indicar o modelo aditivo, é se a série apresentar oscila¸cões aproximadamente constantes. Entretando, se as oscila¸cões sazonais forem pro-porcionais ao n´ıvel da série, o modelo multiplicativo é mais indicado (VASCONCELOS; COSTA, 2008) [15].

A tabela 3 apresenta as equa¸cões de atualiza¸cão dos parâmetros dos modelos de Holt-Winters tanto com sazonalidade aditiva quanto com sazonalidade multiplicativa:

Tabela 3: Equa¸cões dos modelos de Holt-Winters Modelo Aditivo N´ıvel Lt= α(Zt− St−s) + (1 − α)(Lt−1+ Tt−1) Tendência Tt= β(Lt− Lt−1) + (1 − β)Tt−1 Sazonalidade St = γ(Zt− Lt) + (1 − γ)St−s Previsão Zt+h= (Lt+ h × Tt) + St−s+h Modelo Multiplicativo N´ıvel Lt = α_SZ_t−st + (1 − α)(Lt−1+ Tt−1) Tendência Tt= β(Lt− Lt−1) + (1 − β)Tt−1 Sazonalidade St= γZ_Lt_t + (1 − γ)St−s Previsão Zt+h= (Lt+ h × Tt)St−s+h Onde:

• S ´e o comprimento da Sazonalidade;

• Lt ´e o N´ıvel da s´erie;

• Tté a Tendência da série;

• St ´e a Componente Sazonal;

• Zt+h é a previsão h passos à frente;

• Zt ´e o Valor Observado;

• α, β, γ s˜ao constantes de amortecimento de n´ıvel, tendˆencia e sazonalidade, respec-tivamente;

2.8 Modelos de Box-Jenkins

Os modelos de Box-Jenkins, também conhecidos como Modelos Autoregressivos Inte-grados e de Médias Móveis, ou simplesmente ARIM A (Autoregressive Integrated Moving

(22)

Average), foram propostos por George Box e Gwilym Jenkins no in´ıcio dos anos 70 (BOX & JENKINS, 1970) [16].

Os modelos de Box-Jenkins partem da idéia de que os valores de uma série temporal são altamente dependentes, ou seja, cada valor pode ser explicado por valores prévios da série. Os modelos ARIMA representam a classe mais geral de modelos para a análise de séries temporais (PELLEGRINI et al., 2000) [17].

Segundo Fava (2000) [18], os modelos ARIMA resultam da combina¸cão de três compo-nentes denominados “filtros”: o componente auto-regressivo (AR), o filtro de integra¸cão (I ) e o componente de médias móveis (MA). Uma série pode ser modelada pelos três filtros ou apenas um subconjunto deles.

2.8.1 Processo auto-regressivo (AR)

Uma variável aleatória Zt, t ∈ R, é um processo auto-regressivo de ordem p e pode-se

denotar Zt∼ AR(p). A equa¸c˜ao do modelo pode ser escrita da seguinte forma:

Zt= φ1Zt−1+ φ2Zt−2+ ... + φpZt−p+ at

Onde φ1, φ2, ..., φp são parâmetros reais e até um ru´ıdo branco, independente,

identi-camente distribu´ıdo e at∼ N (0, σ2).

2.8.2 Processo de M´

edias M´

oveis (MA)

Os modelos de médias móveis geralmente representam a observa¸cão Zt subtra´ıda da

média, depende linearmente de um número finito q de valores prévios do ru´ıdo aleatório at, isto é, são formados por combina¸cões lineares com o ru´ıdo branco.

No processo de m´edias m´oveis, pode-se escrever Zt ∼ M A(q) e tem-se a seguinte

equa¸c˜ao do modelo:

Zt= at− θ1at−1− θ2at−2− ... − θqat−q

Onde θ1, θ2, ..., θq são parâmetros reais e até ru´ıdo branco, com valores independentes

(23)

2.8.3 Processo Auto-Regressivo e de M´

edias M´

oveis (ARMA)

Em certas ocasiões, modelar uma série temporal apenas com equa¸cões de processos auto-regressivos ou de médias-móveis não produz boas previsões. É poss´ıvel que se uti-lize um modelo misto para resolver problemas desse tipo, incluindo termos de ambos os modelos. O resultado pode ser chamado de modelo ARMA(p, q) e sua equa¸cão pode ser escrita da seguinte forma:

Zt= φ1Zt−1+ φ2Zt−2+ ... + φpZt−p+ at− θ1at−1− θ2at−2− ... − θqat−q

Onde φ1, φ2, ..., φp s˜ao parˆametros reais da parte auto-regressiva, θ1, θ2, ..., θq

perten-cem à parte de médias móveis e até o ru´ıdo branco, com média zero e variância σ2.

2.8.4 Processo Auto-regressivo, Integrado e de M´

edias M´

oveis

ARIMA(p, d, q)

´

E a forma generalizada dos modelos de Box-Jenkins. Trivialmente, para se usar mo-delos da classe ARIMA sem nenhuma transforma¸cão nos dados (casos vistos nos modelos auto-regressivos e de médias móveis), uma série deve ser naturalmente estacionária. Caso os dados não se distribuam de forma estacionária ao longo do tempo, transforma¸cões devem ser feitas até que se consiga uma série estacionária. Geralmente aplica-se quan-tas diferencia¸cões forem necessárias entre as observa¸cões da série até que a mesma se torne estacionária. O número de diferen¸cas aplicadas para tornar a série estacionária é denominado de ordem de integra¸cão (d). O modelo ARIMA(p, d, q) tem forma:

φ(B)∇dZt= θ(B)at

Onde B ´e operador de defasagem tal que Bk_Z

t = Zt−k, ∇ = (1 − B) ´e o operador

das diferen¸cas tal que ∇Zt = Zt− Zt−1, φ(B) ´e o polinˆomio da parte auto-regressiva de

ordem p, φ(B) = 1 − φ1B − φ2B2 − ... − φpBp, θ(B) é o polinômio da parte de médias

m´oveis de ordem q, sendo θ(B) = 1 − θ1B − θ2B2− ... − θqBq.

2.8.5 Processos com Sazonalidade - SARIM A(p, d, q)×(P, D, Q)

s

De acordo com Montgomery et al. (1990) [19], grande parte das séries temporais apresentam varia¸cões sazonais. Isto ocorre quando se percebe alguma varia¸cão periódica que ocorre a cada s intervalos de tempo. Exemplo de varia¸cões sazonais podem ser vistas

(24)

em acontecimentos climáticos, pois as esta¸cões mudam no mesmo momento em cada ano. Tais varia¸cões são chamadas de sazonalidade anual e geralmente, s = 12, representando os doze meses do ano.

Segundo Morettin & Toloi (2006) [20], SARIM A ´e um dos modelos mais utilizados para fazer previs˜oes. Ele tem a seguinte forma:

φ(B)Φ(Bs)∇d∇D

s Zt= θ(B)Θ(Bs)at

Em que:

• φ(B) componente auto-regressivo de ordem p;

• Φ(Bs_{) componente auto-regressiva sazonal de ordem P ;}

• θ(B) componente de m´edias-m´oveis de ordem q;

• Θ(Bs_{) componente de m´}_edias-m´_{oveis sazonal de ordem Q;}

• ∇d _{operador de diferen¸cas de ordem d;}

• ∇D

s operador de diferen¸cas sazonal de ordem D;

• at ru´ıdo branco

2.8.6 Fun¸

c˜

ao de Autocorrela¸

c˜

ao (F AC) e Fun¸

c˜

ao de

Autocor-rela¸

c˜

ao Parcial (F ACP )

A fun¸cão de autocorrela¸cão mede o grau de correla¸cão de uma variável, em um dado instante, consigo mesma, em um instante de tempo posterior. Ela permite que se analise o grau de irregularidade de um sinal.

A análise da F AC e da F ACP é de fundamental importância para o procedimento de previsâo de séries temporais, pois é com ela que se identifica as ordens p e q de um modelo ARM A. Pode ser definida como a razão entre a autocovariância (γ) e a variância

(25)

(σ2) para um conjunto de dados:

γk = N −k X t=1 1 N − k(Zt− ¯Z)(Zt+k − ¯Z) ¯ Z = N X t=1 Zt N ρk = γk γ0

A fun¸cão de autocorrela¸cão parcial (F ACP ) é uma medida que corresponde à

cor-rela¸cão entre as observa¸cões Zte Zt−k, removendo o efeito das observa¸cões de Zt−1, Zt−2, ..., Zt−k+1

e pode-se denotar por φkk. Matematicamente, tem-se:

φkk = Cor(Zt, Zt−1/Zt−1, Zt−2, ..., Zt−k+1)

As Equa¸cões de Yule-Wlaker são um método geral para se obter a F ACP de um processo estacionário. Elas podem ser representadas na forma matricial:

          1 ρ1 ρ2 · · · ρp−1 ρ1 1 ρ1 · · · ρp−2 ρ2 ρ1 1 · · · ρp−3 .. . ... ... . .. ... ρp1 ρp−2 ρp−3 · · · 1                     φ1p φ2p φ3p .. . φpp           =           ρ1 ρ2 ρ3 .. . ρp          

Com isto, tem-se propriedades das fun¸cões de autocorrela¸cão e autocorrela¸cão par-cial para alguns procesos estacionários que auxiliam na identifica¸cão do modelo, melhor apresentado na tabela 4:

Tabela 4: Comportamento da F AC e da F ACP para modelos AR, M A e ARM A

Processo F AC F ACP

Ru´ıdo Branco 0 0

AR Decaimento Exponencial Corte brusco na defasagem p M A Corte brusco na defasagem q Decaimento exponencial ARM A Decaimento exponencial na Decaimento exponencial na

(26)

2.9 Singular Spectrum Analysis 25

2.9 Singular Spectrum Analysis

Singular Spectrum Analysis (SSA), é uma técnica não paramétrica que permite de-compor uma série temporal em sinal e ru´ıdo. É uma técnica útil para filtrar dados de séries temporais. Menezes et al. (2014) [4] utilizaram três metodologias na abordagem SSA: Análise de componentes principais (ACP), ACP associado com Análise de Cluster e Análise Gráfica dos Vetores Singulares. Em seu artigo é mostrado que o melhor método em SSA é a Análise Gráfica dos vetores singulares, que será usado neste projeto. SSA é um método recente e poderoso em séries temporais que incorpora elementos de análise clássica de séries temporais, estat´ıstica multivariada, geometria multivariada, sistemas dinâmicos e processamentos de sinais (Elsner & Tsonis, 1996) [21]. SSA tem sido apli-cada com sucesso em diversas áreas: na matemática e f´ısica a economia e matemática financeira, na meteorologia e oceanografia a ciências sociais (GOLYANDINA et al., 2001) [22].

O método SSA é um procedimento que pode ser utilizado, dentre outras aplica¸cões, na remo¸cão de ru´ıdo e de séries temporais (GOLYANDINA et al., 2001; HASSANI et al., 2012) [22], [24]. A versão básica do método SSA pode ser dividida em duas etapas: decomposi¸cão e reconstru¸cão.

2.9.1 Decomposi¸

c˜

ao

Segundo Golyandina et al. (2001) [22], a etapa de decomposi¸cão pode ser subdividida em duas partes: Incorpora¸cão e decomposi¸cão em valores singulares (SVD – Singular Value Decomposition).

Seja Zt = [z1, . . . zT]1×T uma s´erie temporal (HAMILTON, 1994) [23] e considere L

tal que 2 ≤ L ≤ T de modo que L é um parâmetro a ser estimado e é chamado de comprimento da janela. Entende-se por Incorpora¸cão o procedimento no qual uma série temporal ZT é levada a uma matriz X = [z1, . . . , zk]L×T, para todo k ∈ [1, . . . , K], onde

K = T − L + 1. A matriz X, conhecida como matriz trajetória é uma matriz Hankel, ou seja, os elementos de xi,j tal que i + j = constante são iguais.

Considere S = XX0. Os autovalores de S dispostos em ordem de significância λ1 ≥ · · · ≥ λL ≥ 0 são obtidos e os respectivos autovetores U1, . . . , UL são encontrados.

Considere V = (X0UL)/

√

(27)

pode ser expressa pela decomposi¸c˜ao em valores singulares (SVD) apresentada em (2.1):

X = E1+ E2+ · · · + EL, (2.1)

onde El =

√

λUlVl0, para todo l = 1, . . . , L. A cole¸c˜ao (

√

λl, Ul, Vl) ´e conhecida como

autotripla da expansão SVD de X. Os elementos da autotripla são definidos respectiva-mente por: valor singular, vetor singular à esquerda e vetor singular à direita de X [4]. A contribui¸cão de cada componente em (2.1) pode ser mensurada pela razão de autovalores λl/PL_l=1λl.

2.9.2 Reconstru¸

c˜

ao

Segundo Golyandina et al. (2001) [22], a etapa de reconstru¸cão está subdividida em duas partes: agrupamento e média diagonal. A etapa de agrupamento consiste no procedimento de agrupar algumas sequências de matrizes elementares resultantes da de-composi¸cão SVD em grupos disjuntos e, após isso, somá-las, gerando novas matrizes elementares.

Considere a sequencia PL

l=1El de matrizes elementares da expans˜ao de SVD. Agrupe

as mesmas em m grupos disjuntos utilizando algum método, por exemplo, por meio de análise de componentes principais, análise gráfica de vetores singulares ou agrupamento hierárquico e assumir que o conjunto de ´ındices gerado é dado por {I1, . . . , Im}, de modo

que a expans˜ao (2.1) pode ser reescrita como em (2.2), sendo XIi arbitr´aria tal queXIi = Ppi j=1XIij. X = L X l=1 El = m X i=1 XIi (2.2)

O objetivo do agrupamento é diminuir o número de componentes na expansão da matriz trajetória X. A contribui¸cão de cada componente é mensurada pela razão (2.3).

Ppi

j=1λI_ij

PL

l=1λl

. (2.3)

Considere a matriz trajet´oria X e assuma que L∗ = min(L, K) e K∗ = max(L, K). Considere x(i)_l,k um elemento na linha l e coluna k na matriz XIi. O elemento z

(i)

t da

componente hz(i)_t i

1×T

(28)

da matriz elementar XIi definida em (2.4), a partir da matriz elementar XIi.

z(i)_t =                  t P l=1 x(i)_l,t−l+1 t , se 1 ≤ t < L ∗ L∗ P l=1 x(i)_l,t−l+1 L∗ , se L ∗ _{≤ t < K}∗ T −K∗+1 P l=t−K∗+1 x(i)_l,t−l+1 T −K∗₊₁ , se K ∗ _{≤ t ≤ T} (2.4)

Cada componente hz_t(i)i

1×T

concentra parte da energia da s´erie temporal original

[zt]1×T que pode ser mensurada pela raz˜ao de autovalores pi P j=1 λIij/ d P l=1 λl. De acordo com

Hassani et al. (2012)[24], podemos classificar as componentes SSAhz_t(i)i

1×T

de uma série temporal arbitrária [zt]_1×T em três categorais: tendência, componentes harmônicas (ciclo

e sazonalidade) e ru´ıdo (GOLYANDINA et al., 2001) [22].

De acordo com Hassani et al. (2012) [24], um dos principais conceitos estudados em SSA é a propriedade de separabilidade. Tal propriedade caracteriza quão bem separados estão as diferentes, componentes, umas das outras. Uma boa medida de separabilidade é a Correla¸cão Ponderada. Por correla¸cão ponderada weighted correlation ou w-correla¸cão, podemos entender como uma fun¸cão que quantifica a dependência linear entre duas com-ponentes SSA Z_T(1) e Z_T(2) definida em (2.5).

ρ(w)_ij = Z_T(i), Z_T(j) w ||Z_T(i)||w||Z (j) T ||w . (2.5) onde ||Z_T(i)||w = r Z_T(i), Z_T(i) w ; ||Z_T(j)||w = r Z_T(j), Z_T(j) w ;Z_T(i), Z_T(j) w = T P k=1 wkz (i) k z (j) k e wk= min{k, L, T − k}.

Através da separabilidade, pode-se verificar estatisticamente se duas componentes SSA estão bem separadas, em termos de dependência linear. Se o valor absoluto da w-correla¸cão é pequeno, então as componentes SSA correspondentes são classificadas como w-ortogonais (ou quase w-ortogonais); caso contrário, são ditas mal separadas. Salienta-se que comumente utiliza-se a correla¸cão ponderada na fase de agrupamento SSA (GOLYAN-DINA et al., 2001) [22].

(29)

2.10 Estat´ısticas de Aderˆencia 28

2.10 Estat´ısticas de Aderˆ

encia

A escolha do melhor método de previsão estimado depende da análise de algumas medidas de erro com o objetivo de apontar o modelo que tenha uma precisão maior na hora de prever os dados. Neste caso, considera-se algumas estat´ısticas de aderência: RMSE (Root Mean Squared Error) ou a Raiz quadrada da Erro Quadrático Médio; MAPE (Mean Absolute Percentage Error) ou Erro Médio Percentual Absoluto; MAD (Mean Absolute Deviation) ou Desvio Médio Absoluto, cujas equa¸cões são apresentadas abaixo, respectivamente: RM SE = v u u t N X t=1 (Zt− bZt)2 N (2.6) M AP E = N X t=1 Zt− bZt Zt N (2.7) M AD = N X t=1 Zt− bZt N (2.8)

Sendo N o n´umero de observa¸c˜oes, Zte bZto valor observado e o estimado pelo modelo

no instante t, respectivamente.

Também é importante observar os critérios AIC (Critério de Informa¸cão de Akaike e BIC (Critério Bayesiano de Informa¸cão), que são estat´ısticas que penalizam o número elevado de parâmetros do modelo:

AIC(p, q) = −2 ln(σ_p,q2 ) + 2(p + q + 2) (2.9)

BIC(p, q) = −2 ln(σ_p,q2 ) + (p + q)ln(N )

N (2.10)

Onde N é o número de observa¸cões e σ2

p,q ´e a variˆancia estimada pelo modelo com

ordens p e q.

O melhor modelo em termos de capacidade preditiva é aquele que minimiza as es-tat´ısticas de aderência, isto é, quanto menor os valores de tais estat´ısticas, mais acurado é o modelo, e que apresenta valores mais baixos nos critérios AIC e BIC.

(30)

2.11 Resumo da Metodologia 29

2.11 Resumo da Metodologia

O cap´ıtulo 2 expôs os objetivos deste estudo. A série de dados original, primeiramente, será modelada através de modelos de Holt-Winters e Box-Jenkins antes de ser filtrada via SSA. Os modelos serão analisados com base em suas estat´ısticas de aderência e será escolhido um que tenha melhor capacidade preditiva.

E então a série original passará pelo filtro SSA, e a série gerada será, novamente, modelada por Holt-Winters e Box-Jenkins. Os modelos gerados (com e sem a abordagem Singular Spectrum Analysis) serão avaliados quanto as suas estat´ısticas de aderência e capacidade de prever melhor os futuros ´ındices de radia¸cão direta.

A figura 2 apresenta o fluxograma que descreve os passos que ser˜ao executados neste projeto:

(31)

30

3 An´

alise de Resultados

3.1 Modelagem sobre a s´

erie original

Inicialmente a série original foi modelada a via Amortecimento Exponencial de Holt-Winters utilizando o software FPW. Apesar de existir a op¸cão de modelagem automática cujo programa julga ser o modelo mais adequado, foram utilizadas todas as varia¸cões de modelos de amortecimento exponencial, isto é, com e sem tendência linear, bem como sazonalidade aditiva e multiplicativa. A tabela 5 contém as estat´ısticas de aderência dos modelos.

Tabela 5: Estat´ısticas de Aderˆencia dos modelos de Holt-Winters

Modelos M AP E RM SE M AD BIC

SEM tendência linear e SEM sazonalidade 0.11260 34.12 27.64 34.50 SEM tendência linear e COM saz. ADITIVA 0.08783 28.22 21.38 28.85 SEM tendência linear e COM saz. MULTIPLICATIVA 0.08801 28.28 21.44 28.90 COM tendência linear e SEM sazonalidade 0.11560 35.14 28.04 35.92 COM tendência linear e COM saz. ADITIVA 0.08803 28.13 21.25 29.07 COM tendência linear e COM saz. MULTIPLICATIVA 0.08871 28.20 21.32 29.15

O melhor modelo é aquele que minimiza as estat´ısticas de aderência. Há 2 modelos que poderiam ser escolhidos, pois cada um possui duas das menores medidas de qualidade de ajuste. Ambos possuem sazonalidade aditiva e a diferen¸ca fica a cargo de um possuir tendência linear e o outro, não. Devido ao modelo com tendência linear ter um R2_ajustado

de 0.3342 e a mesma medida do modelo sem tendência linear ser de 0.3327, o modelo com tendência linear será escolhido como a melhor modelagem de Holt-Winters para a série original. Os parâmetros do escolhido encontram-se nas tabelas 6 e 7. Neste caso, o R2 é uma estat´ıstica que explica, em porcentagem, a variabilidade do modelo, 0 ≤ R2 _{≤ 1 e}

quanto maior, melhor.

A figura 3 apresenta o comportamento da série original e a série ajustada através do modelo escolhido.

(32)

3.1 Modelagem sobre a s´erie original 31

Tabela 6: Modelo de Holt-Winters com tendˆencia linear e sazonalidade aditiva Parˆametros

N´ıvel Lt= 0.01284

Tendˆencia Tt = 0.01702

Sazonalidade St= 0.06560

Tabela 7: Componentes Sazonais Jan -3.1507 Jul -5.8589 Fev -30.630 Ago 21.801 Mar -3.0490 Set 21.379 Abr -10.364 Out 32.844 Mai -18.113 Nov 14.893 Jun -23.462 Dez 3.7092

Figura 3: S´erie Original vs. S´erie Ajustada por Holt-Winters

Nota-se que o modelo ajustado consegue perceber boa parte das varia¸cões dos dados originais, exceto os picos. Mesmo em casos de fenômenos naturais, há anomalias que são dif´ıceis de se prever.

Para os modelos da classe ARIM A de Box-Jenkins, o software GRETL foi utilizado para análise das fun¸cões de autocorrela¸cão e autocorrela¸cão parcial (F AC e F ACP ), bem como para fazer testes de estacionariedade e normalidade da série temporal. O teste de Dickey-Fuller aumentado não rejeitou a hipótese de a série possuir raiz unitária, então a série não é naturalmente estacionária. Uma diferen¸ca foi aplicada nos valores e foi suficiente para que se alcan¸casse a estacionariedade, um pré-requisito para modelos de Box-Jenkins. Pelo teste de Kolmogorov-Smirnov, há evidências de que os dados estudados seguem distribui¸cão normal. Para todos os testes, um n´ıvel de signifcância de 5% foi

(33)

considerado.

Na figura 4 tem-se os gráficos da F AC e F ACP da série após a diferen¸ca.

Figura 4: Comportamento das F AC e F ACP da s´erie original

Observa-se um corte brusco com um valor muito alto na primeira defasagem do gráfico da F AC, bem como um decaimento exponencial no comportamento das autocorrela¸cões parciais. A partir da análise do correlograma, o modelo mais adequado ficaria a cargo de um processo de médias móveis de ordem 1 com uma diferen¸ca aplicada na série, que pode ser expresso por ARIM A(0, 1, 1). Embora essa seja a conclusão natural, alguns testes foram realizados para verificar outros modelos, tendo o processo ARIM A(1, 1, 1) obtendo medidas de qualidade de ajuste melhores, como visto na tabela 8.

Aplicou-se uma diferen¸ca nos valores da parte sazonal da série já diferenciada a fim de se obter a sazonalidade e obteve-se os gráficos de autocorrela¸cões vistos na figura 5.

(34)

Figura 5: Comportamento das F AC e F ACP da s´erie original com uma diferen¸ca sazonal

A defasagem 12 do gráfico da F AC apresenta um alto valor, mantendo as outras autocorrela¸cões muito baixas e abaixo do corte. Nas autocorrela¸cões parciais, um de-caimento exponencial ocorre novamente a partir da defasagem 12, indicando um pro-cesso de médias móveis de ordem 1 na parte sazonal da série e gerando um modelo SARIM A(0, 1, 1) × (0, 1, 1). Alternativamente, o comportamento das F AC e F ACP podem levar ao modelo SARIM A(1, 1, 1) × (1, 1, 1)12.

Tabela 8: Estat´ısticas de Aderˆencia dos modelos de Box-Jenkins Modelos M AP E RM SE M AD BIC SARIM A(0, 1, 1) × (1, 0, 1)12 0.08788 28.34 21.49 29.29 SARIM A(1, 1, 2) × (0, 1, 1)12 0.08368 27.76 20.42 27.76 SARIM A(0, 1, 1) × (0, 1, 1)12 0.08482 28.10 20.74 28.73 SARIM A(1, 1, 1) × (0, 1, 1)12 0.08358 27.74 20.40 28.67 SARIM A(1, 1, 1) × (1, 1, 1)12 0.08095 27.11 19.52 28.32

Após diversos modelos testados, conforme visto na tabela 8, o modelo que apresentou menores estat´ısticas de aderência foi o SARIM A(1, 1, 1) × (1, 1, 1), cujos parâmetros estimados são: φ1 = 0.0267 e Φ1 = 0.0683 como coeficientes das partes autorregressivas e

(35)

3.2 O melhor modelo para a s´erie original 34

θ1 = 0.9421 e Θ1 = 0.8852 como coeficientes dos processos de m´edias m´oveis. Tem-se a

seguinte equa¸c˜ao do modelo:

Zt = 0.0267Zt−1+ Zt−12− 0.0683Zt−13+ at− 0.9996at−1− at−12− 0.92102at−13

Pode ser visto na tabela 8 que o modelo SARIM A(1, 1, 1) × (1, 1, 1) minimiza as estat´ısticas de aderˆencia e, portanto, foi o modelo escolhido. A s´erie ajustada via modelos de Box-Jenkins tem seu comportamento apresentado na figura 6.

Figura 6: S´erie Original vs S´erie Ajustada por SARIM A(1, 1, 1) × (1, 1, 1)12

Bem como os modelos de Holt-Winters, os modelos de Box-Jenkins também percebem a maior parte das varia¸cões não muito acentuadas dos dados, sendo os picos considerados como uma varia¸cão incomum decorrente de anomalias naturais.

3.2 O melhor modelo para a s´

erie original

A se¸cão 3.1 mostrou todo o processo de modelagem da série original. Obteve-se o modelo sem tendência linear e com sazonalidade aditiva como o melhor pelo método de amortecimento exponencial de Holt-Winters e um processo SARIM A(1, 1, 1) × (1, 1, 1)12

como o mais adequado pelo m´etodo de Box-Jenkins. A tabela 9 compara as estat´ısticas de aderˆencia dos dois modelos.

O modelo SARIM A se saiu melhor com base nas medidas de qualidade dos ajustes vistas, sendo escolhido como o melhor modelo de s´erie temporal para os dados originais.

(36)

3.3 Abordagem SSA com an´alise gr´afica dos autovetores 35

Tabela 9: Estat´ısticas de Aderˆencia dos modelos de Holt-Winters Modelos M AP E RM SE M AD BIC Modelo de Holt-Winters 0.08783 28.22 21.38 28.85 SARIM A(1, 1, 1) × (1, 1, 1)12 0.08095 27.11 19.52 28.32

Os res´ıduos, como mostram a figura 7, tiveram um comportamento adequado, com baix´ıssimas correla¸c˜oes entre os erros e dispers˜ao normalmente distrubu´ıda em torno de zero.

Figura 7: Res´ıduos do SARIM A(1, 1, 1) × (1, 1, 1)12

3.3 Abordagem SSA com an´

alise gr´

afica dos

autove-tores

Para este caso, lan¸cou-se mão do software CaterpillarSSA. De acordo com Golyandina et al. (2001) [22], o valor ótimo para o comprimento de janela em SSA é L = T /2. Com isso, a série original com 252 observa¸cões foi decomposta usando um comprimento de janela L = 126. Após análise gráfica dos autovalores, três componentes foram geradas: tendência, harmônica e ru´ıdo. A disposi¸cão gráfica de cada componente está nas figuras 8, 9 e 10.

A componente ruidosa é exclu´ıda e as duas primeiras, de tendência e harmônica, são usadas para reconstruir uma nova série, sendo esta uma série filtrada via SSA usando análise gráfica dos vetores. A figura 11 apresenta a nova série filtrada.

(37)

3.3 Abordagem SSA com an´alise gr´afica dos autovetores 36

Figura 8: Componente de tendˆencia

Figura 9: Componente harmˆonica

(38)

3.4 Modelos de Holt-Winters e Box-Jenkins sobre a s´erie filtrada via SSA 37

Figura 11: S´erie filtrada via SSA

3.4 Modelos de Holt-Winters e Box-Jenkins sobre a

s´

erie filtrada via SSA

Seguindo-se o mesmo roteiro usado na série original, primeiramente a série filtrada foi modelada via amortecimento exponencial de Holt-Winters utilizando o software FPW para calcular os parâmetros estimados pelos modelos e as estat´ısticas de aderência. A tabela 5 mostra as estat´ısticas de aderência de cada modelo.

Tabela 10: Estat´ısticas de Aderˆencia dos modelos de Holt-Winters

Modelos M AP E M AD BIC RM SE

SEM tendência linear e SEM sazonalidade 0.03456 8.969 10.720 10.600 SEM tendência linear e COM saz. ADITIVA 0.01000 2.529 3.830 3.747 SEM tendência linear e COM saz. MULTIPLICATIVA 0.01002 2.535 3.834 3.751 COM tendência linear e SEM sazonalidade 0.03473 9.012 10.890 10.650 COM tendência linear e COM saz. ADITIVA 0.00957 2.430 3.714 3.594 COM tendência linear e COM saz. MULTIPLICATIVA 0.00965 2.458 3.701 3.582

Tem-se novamente dois modelos com as menores estat´ısticas de aderência. Os dois modelos possuem tendência linear, sendo que um possui sazonalidade aditiva e o outro, multiplicativa. O modelo com sazonalidade multiplicativa teve um R2 ajustado de 0.9718, um pouco maior que os 0.9716 obtidos pelo modelo com sazonalidade aditiva. Como o modelo com sazonalidade multiplicativa teve mais medidas de qualidade de ajuste entre as melhores, optou-se pelo mesmo como modelo de Holt-Winters para a série filtrada.

(39)

Com as medidas de qualidade de ajuste apresentadas, o modelo escolhido foi o mo-delo com tendência linear e sazonalidade multiplicativa, cujo comportamento gráfico é apresentado na figura 12, e os parâmetros do modelo estão dispostos nas tabelas 11 e 12.

Figura 12: Comportamento gr´afico da s´erie modelada por Holt-Winters

Tabela 11: Modelo de Holt-Winters com tendˆencia linear e sazonalidade multiplicativa para a s´erie filtrada

Parˆametros N´ıvel Lt= 0.01029

Tendˆencia Tt = 0.99419

Sazonalidade St= 0.99987

Tabela 12: Componentes Sazonais do modelo para a s´erie filtrada Jan 0.96791 Jul 1.03205 Fev 0.94667 Ago 1.09440 Mar 0.93780 Set 1.12911 Abr 0.92817 Out 1.09897 Mai 0.93746 Nov 1.03890 Jun 0.96925 Dez 0.94770

Para modelar a série por Box-Jenkins, uma diferen¸ca foi a aplicada na série, pois a mesma não rejeita a hipótese nula do teste de Dickey-Fuller aumentado, sendo uma série não estacionária. Com uma diferen¸ca aplicada já foi poss´ıvel tornar a série estacionária. A hipótese nula do teste de Kolmogorov-Smirnov para normalidade também não é rejeitada neste caso. Um n´ıvel de significância de 5% foi assumido para todos os testes. Após isso, obteve-se os gráficos das F AC e F ACP , como mostra a figura 13.

(40)

Figura 13: Correlogramas da s´erie filtrada com uma diferen¸ca

Com 2 valores extremos no gráfico das autocorrela¸cões parciais, um decaimento ex-ponencial no gráfico da F AC e a diferen¸ca que foi aplicada na série, tem-se tudo para crer que o modelo mais adequado seria um processo autorregressivo de ordem 2 com uma diferen¸ca, configurando um ARIM A(2, 1, 0).

Para modelar a parte sazonal da série, uma diferen¸ca sazonal foi aplicada e observou-se o gráfico das autocorrela¸cões dispostos na figura 14.

Independente da magnitude das correla¸cões, tanto as autocorrela¸cões quanto as auto-correla¸cões parciais tem um decaimento exponencial a partir da defasagem 12. Conside-rando a diferen¸ca sazonal que foi aplicada, o modelo completo de Box-Jenkins, conside-rando o comportamento dos gráficos da F AC e da F ACP , seria um SARIM A(2, 1, 0) × (1, 1, 1)12, podendo variar a ordem dos processos da parte sazonal devido ao fato da clara

dificuldade de identificar as ordens olhando apenas a parte gráfica. Parte-se, então, para a análise das estat´ısticas de aderência para identificar qual o melhor modelo, dispostas na tabela 13.

(41)

Figura 14: Correlogramas da s´erie filtrada com uma diferen¸ca sazonal

Tabela 13: Estat´ısticas de Aderˆencia dos modelos de Box-Jenkins p´os-SSA Modelos M AP E M AD BIC RM SE SARIM A(2, 1, 0) × (1, 1, 1)12 0.003236 0.8258 1.3190 1.2620 SARIM A(2, 1, 0) × (1, 1, 2)12 0.002871 0.7358 1.2010 1.1370 SARIM A(2, 1, 0) × (2, 1, 1)12 0.003028 0.7753 1.2670 1.1990 SARIM A(2, 1, 0) × (2, 1, 2)12 0.003021 0.7738 1.2700 1.1890 SARIM A(2, 1, 1) × (1, 1, 2)12 0.002629 0.6701 1.1100 1.0390 SARIM A(2, 1, 2) × (1, 1, 2)12 0.002539 0.6473 1.0350 0.9584 SARIM A(2, 1, 3) × (1, 1, 2)12 0.002177 0.5561 0.9302 0.8520 SARIM A(2, 1, 3) × (1, 1, 3)12 0.002129 0.5448 0.8892 0.8056

Conforme a tabela 13, o modelo SARIM A(2, 1, 3) × (1, 1, 3)12 ´e tido como o que

melhor se ajusta à série temporal, cujos parâmetros são: φ1 = 1.5009, φ2 = −0.9466 e

Φ1 = −0.3017 como coeficientes das partes autorregressivas e θ1 = 0.5058, Θ1 = −0.3487,

Θ2 = −0.6025 e Θ3 = 0.2528 como coeficientes dos processos de m´edias m´oveis. O

(42)

3.5 O melhor modelo como um todo para a s´erie estudada 41

Figura 15: Comportamento gr´afico da s´erie ajustada via modelos de Box-Jenkins

Percebe-se que, após a filtragem da série, tanto os modelos de Holt-Winters quanto os de Box-Jenkins conseguem acompanhar o comportamento gráfico da série. Comparando-se a figura 12, onde apreComparando-senta-Comparando-se o gráfico do modelo de Holt-Winters, com a figura 15, é poss´ıvel notar que o modelo de Box-Jenkins é visivelmente superior ao modelo de Holt-Winters no contexto dos dados estudados. As concavidades e os picos do gráfico ficaram melhor acompanhadas pelo modelo de Box-Jenkins, que se sobrepõe quase perfeitamente ao gráfico da série.

3.5 O melhor modelo como um todo para a s´

erie

es-tudada

A compara¸cão das estat´ısticas de aderência de todos os modelos que foram feitos até aqui levam a crer que o modelo SARIM A(2, 1, 3) × (1, 1, 3)12, que foi feito com base na

série filtrada via SSA, é o melhor modelo para a série temporal estudada, conforme visto na tabela 14.

Tabela 14: Estat´ısticas de Aderência dos modelos de Box-Jenkins pós-SSA Modelos M AP E M AD BIC RM SE Holt-Winters via série original 0.08803 28.1300 21.2500 29,0700 Box-Jenkins via série original 0.08095 27.1100 19.5200 28.3200 Holt-Winters pós-SSA 0.00965 2.4580 3.7010 3.5820 Box-Jenkins pós-SSA 0.002129 0.5448 0.8892 0.8056

(43)

3.6 Análise da capacidade preditiva com dados coletados após a última observa¸cão da série estudada42

Além de possuir as menores estat´ısticas de aderência, o modelo de Box-Jenkins feito sobre a série filtrada possui um coeficiente de determina¸cão (R2) de 0, 9985, um valor alto, indicando que 99, 85% da variabilidade dos dados conseguem ser explicadas pelo modelo ajustado.

3.6 An´

alise da capacidade preditiva com dados

cole-tados ap´

os a ´

ultima observa¸

c˜

ao da s´

erie estudada

Para completar o estudo, dados observados após o último termo da série estudada foram coletados, novamente, do Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) para testar a melhora na capacidade preditiva do modelo feito sobre a série filtrada via SSA em rela¸cão ao melhor modelo feito sobre a série original.

Coletou-se dados de cinco observa¸cões posteriores à última observa¸cão da série original e lan¸cou-se mão das estat´ısticas de aderência RM SE, M AP E, M AD e R2 _{conforme visto}

na tabela 15.

Tabela 15: An´alise da capacidade preditiva dos modelos

Modelo RM SE M AD M AP E R2 Box-Jenkins via s´erie original 19.4034 15.3894 0.0633 0.3632 Box-Jenkins p´os-SSA 15.8346 12.8170 0.0502 0.3825

Os modelos de Box-Jenkins mostraram-se melhores para previsões de dados sola-rimétricos e, como era de se esperar, o filtro SSA por meio de análise gráfica de autovetores aumentou a capacidade preditiva do modelo, conforme a tabela 15, onde o modelo feito sobre a série filtrada apresentou um maior coeficiente de determina¸cão (R2) e menores estat´ısticas RM SE, M AD e M AP E.

(44)

43

4 Conclus˜

ao

Este estudo observou que os ´ındices de irradia¸cão solar não têm comportamento uni-forme durante o ano. A produ¸cão de energia solar fotovoltaica precisa da exposi¸cão total ao sol. Desta forma, impõe-se que a gera¸cão de energia solar aconte¸ca conforme as horas em que a usina produtora está exposta ao sol e os per´ıodos em que isto não ocorre são praticamente improdutivos. A insola¸cão é um fenômeno natural que depende de vários outros fatores climáticos e está sujeita a varia¸cões conforme o tempo, assim como a ener-gia natural afluente usada para produzir enerener-gia hidroelétrica. Por isso é importante que haja um planejamento prévio para suprir as demandas de gera¸cão energética a fim de evitar desperd´ıcios e erros de cálculos de qualquer dimensão em usinas de grande porte.

Os modelos de previsões de séries temporais tem grande valia no planejamento de gera¸cão de energia e é muito importante que se utilize técnicas estat´ısticas que levam a melhores modelos, com melhores previsões. Este estudo teve como objetivo mostrar a capacidade que o filtro SSA tem para melhorar o cálculo de previsões dos modelos de séries temporais.

A série analisada, cujos dados foram coletados pela esta¸cão solarimétrica de Petrolina, em Pernambuco, e obtidos através do Instituto Nacional de Meteorologia (INMET), foi inicialmente modelada por modelos de Holt-Winters e Box-Jenkins. Após isso, o filtro SSA via análise gráfica de autovetores foi aplicado na série original, gerando uma nova série sem componente ruidosa. Novamente os modelos de Holt-Winters e Box-Jenkins foram aplicados na série filtrada, e então, comparados via estat´ısticas de aderência. Os resultados mostraram que o modelo de Box-Jenkins feito sobre a série filtrada por SSA obteve melhores estat´ısticas de aderência, sendo o melhor modelo para se obter previsões de tempo de exposi¸cão completa ao sol no mês.

Com isso, pode-se concluir que a abordagem Singular Spectrum Analysis proporciona ganhos de previsão. Dentre a escolha de modelar a série original e a série suavizada via SSA, o desempenho preditivo da série suavizada tem melhora significativa em rela¸cão ao

(45)

4 Conclus˜ao 44

trabalho feito em cima da série original, sendo o modelo de Box-Jenkins o que se mostrou mais adequado para a finalidade de modelar e prever ´ındices de horas de exposi¸cão solar no mês.

(46)

45

Referˆ

encias

[1] VICHI, F. M., Mansor, M. T. C., Energia, Meio Ambiente e Economia: O Brasil no Contexto Mundial. Quim. Nova, Vol. 32, No. 3, pp. 757 - 767, 2009

[2] PEREIRA, E. B., Martins, F. R., Abreu, S. L., R¨uther, R. Mapas Solarim´etricos. Atlas Brasileiro de Energia Solar, 1a _Edi¸c˜_{ao, pp (33-43), 2006.}

[3] ESPOSITO, A. S., Fuchs, P. G. Desenvolvimento tecnol´ogico e inser¸c˜ao da energia solar no Brasil. Revista do BNDES, Rio de Janeiro, n. 40, pp. 85-113, 2013

[4] MENEZES, M. L, Cassiano, K. M., Souza, R. M., Junior, L. A. T., Pessanha, J. F. M. e Souza, R. C. Modelagem e previs˜ao de demanda de energia com filtragem SSA. Revista da Estat´ıstica UFOP, 3 (2), 2014.

[5] MIRANDA, M. C., Silva, G. N., Análise de Séries Temporais de Radia¸cão Solar para Previsão de Energia Incidente Dispon´ıvel. Décima Jornada Cient´ıfica da Assoscia¸cão Brasileira de Estudos em Energia, 2016

[6] COUTO, H. J. B., Oliveira, R. A. E., Braga, P. F. A., Previsão de Radia¸cão Solar Incidente no Estado do Ceará - Brasil. HOLOS, Ano 32, Vol. 7, 2016

[7] CAVALCANTE, I. P., Uso de Clusteriza¸cão Hierárquica na Abordagem Singular Spec-trum Analysis para Modelagem e Previsão de Séries Temporais de Consumo de Energia Elétrica. Trabalho de Conclusão de Curso (Bacharelado em Estat´ıstica). Monografia apresentada para obten¸cão do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Fe-deral Fluminense, pp. 27-46, Niterói, 2016

[8] PESSANHA, T. F., Análise e Previsão de Séries Temporais de Dados Anemométricos para Gera¸cão de Energia Eólica. Trabalho de Conclusão de Curso (Bacharelado em Estat´ıstica). Monografia apresentada para obten¸cão do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense, pp. 25-57 , Niterói, 2017

[9] EHLERS, R. S., Análise de Séries Temporais. Laboratório de Estat´ıstica e Geoin-forma¸cão, Universidade Federal do Paraná, 2003-2007

[10] CHAFTFIELD, C. Time Series Forecasting. University of Bath, UK, 2000

[11] XAVIER, J. M. N., Análise e Previsão de Séries Temporais com Modelos Arima e Análise Espectarl Singular. Universidade Aberta, Portugal, 2016

[12] HOLT, C. C. Forecasting Trends and Seasonal by Exponentially Weighted Averages. Office of Naval Research Memorandum. 52. 1957. Reprinted in Holt, Charles C. (Ja-nuary – March). Forecasting Trends and Seasonal by Exponentially Weighted Averages. International Journal of Forecasting. 20 (1): 5–10. 2004

(47)

Referˆencias 46

[13] WINTERS, P. R. Forecasting Sales by Exponentially Weighted Moving Averages. Management Science. 6 (3): 324–342. doi:10.1287/mnsc.6.3.324. 1960.

[14] L ÚCIO, P. S., Um modelo estocástico combinado de previsão sazonal para a preci-pita¸cão no Brasil. Revista Brasileira de Meteorologia, 25(1) pp.70-87, 2010

[15] VASCONCELOS, A. S; Costa, J. H. F. Análise de modelos de séries temporárias para a previsão mensal do ICMS do Estado do Maranhão. São Lu´ıs: IMESC, 2008 [16] BOX, G.; Jenkins, G. Time Series Analysis: Forecasting and Control. San Francisco:

Holden-Day, 1970.

[17] PELEGRINI, F. R., Metodologia para Implementa¸cão de Sistemas de Previsão de Demanda. Disserta¸cão (Mestrado em Engenharia de Produ¸cão) - Programa de P´ os-gradua¸cão em Engenharia de Produ¸cão, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre, p. 146. 2000.

[18] FAVA, V. L. Manual de econometria. S˜ao Paulo: Editora Atlas, 2000

[19] MONTGOMERY, D. c., Johnson, L. A. & Gardiner, J. S. Forecasting and time se´aes analysis, 2a ed., McGraw-Hill, Inc., New York, 1990.

[20] MORETTIN, P. A., Toloi, C. M. C. An´alise de S´eries Temporais, 2a _Edi¸c˜_{ao, Revista}

e Ampliada, Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica, Universidade de S˜ao Paulo, 2006. [21] ELSNER, J. B., Tsonis, A. A. Singular Spectrum Analysis. A New Tool in Time

Series Analysis. Plenum Press, 1996.

[22] GOLYANDINA, N., Nekrutkin, V., and Zhihgljavsky, A. Analysis of time series structure: SSA and reletade techniques. Chapman&Hall/CRC, New York, USA, 2001. [23] HAMILTON, J. Time Series Analysis. Princeton University Press, 1994.

[24] HASSANI, H., Heravi, S., Zhigljavsky, A. Forecasting UK Industrial Production with Multivariate Singular Spectrum Analysis, presented at the 2012 Intrernational Confe-rence on the Singular Spectrum Analysis and its Applications, Beijing, China, 2012.