Avaliação de métodos de estimação do VAR

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FUNDAC¸ ˜AO GETULIO VARGAS

ESCOLA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM ECONOMIA

MESTRADO EM FINANC¸ AS E ECONOMIA EMPRESARIAL

Saulo de Barros Bruno

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Saulo de Barros Bruno

Avalia¸

c˜

ao de M´

etodos de Estima¸

c˜

ao do VaR

Disserta¸cão apresentada à Escola de P´ os-Gradua¸cão em Economia da Funda¸cão Getúlio Vargas como exigência parcial à obten¸cão do grau de Mestre em Finan¸cas e Economia Empresarial

Orientador: Daniela Kubudi Glasman

Rio de Janeiro 2018

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Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Mario Henrique Simonsen/FGV

Bruno, Saulo de Barros

Avaliação de métodos de estimação do VaR / Saulo de Barros Bruno. – 2018. 31 f.

Dissertação (mestrado) - Fundação Getulio Vargas, Escola de Pós- Graduação em Economia.

Orientador: Daniela Kubudi Glasman. Inclui bibliografia.

1. Risco (Economia). 2. Administração de risco. 3. Mercados financeiros futuros. I. Glasman, Daniela Kubudi. II. Fundação Getulio Vargas. Escola de Pós-Graduação em Economia. III. Título.

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Resumo

O objetivo deste trabalho é examinar métodos de estima¸cão do VaR (Va-lue At Risk) avaliando a performance de cada um em carteiras formadas por ativos expostos à fatores de risco comumente encontrados em portfólios de institui¸cões financeiras brasileiras. Com isso é poss´ıvel constatar sob quais circunstâncias é prefer´ıvel a utiliza¸cão de certo método em detrimento dos demais.

Para isso foram criados diversos portfólios aleatoriamente e calculado o VaR de 1 dia utilizando os principais métodos de estima¸cão dispon´ıveis na li-teratura. A performance de cada VaR estimado foi avaliada em todas as amostras. Os resultados indicam que o VaR histórico com ajuste de volatili-dade estimada por GARCH tem melhor desempenho para n´ıveis de confian¸ca usuais e se é dispon´ıvel um grande histórico de pre¸cos.

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Abstract

The purpose of this paper is to examine VaR (Value At Risk) estimation methods by evaluating the performance of each method in portfolios compo-sed by assets expocompo-sed to risk factors commonly found in Brazilian financial institutions. With this it is possible to verify under which circumstances it is preferable to use one method to the detriment of others.

For this, several portfolios were randomly created and the 1-day VaR cal-culated using the main estimation methods available in the literature. The performance of each estimated VaR was evaluated in all samples. The results indicate that the historical VaR with volatility adjustment estimated with a GARCH model performs better at the usual confidence levels and if a large price history is available.

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Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 6

2 Medidas de risco e suas propriedades 8

2.1 Coerˆencia . . . 8

2.2 Convexidade . . . 9

3 Value At Risk 10 3.1 Modelos Param´etricos . . . 12

3.1.1 Modelo B´asico . . . 12

3.1.2 Fatores de Risco e Retorno Esperado . . . 13

3.1.3 Extens˜ao: Distribui¸c˜ao t de Student . . . 13

3.2 Modelos de Simula¸c˜ao Hist´orica . . . 14

3.2.1 Modelo B´asico . . . 15

3.2.2 Ajuste de Pesos de probabilidade . . . 15

3.2.3 Ajuste de Volatilidade . . . 15

3.2.4 Simula¸c˜ao Hist´orica Filtrada . . . 16

3.2.5 Kernel Fitting . . . 17

3.2.6 Distribui¸c˜oes de Valores Extremos . . . 17

3.2.7 Aproxima¸c˜ao de Cornish-Fisher . . . 17

3.2.8 Distribui¸c˜oes tipo Johnson . . . 18

3.3 Modelos de estima¸c˜ao por Monte Carlo . . . 19

3.4 M´etodos de Backtesting . . . 19

3.4.1 Cobertura Incondicional . . . 19

3.4.2 Independˆencia de Viola¸c˜oes . . . 19

3.4.3 Cobertura Condicional . . . 20

3.4.4 DQ Test . . . 20

3.4.5 Risk Map . . . 20

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1 Introdu¸

c˜

ao

Agentes de mercado constantamente tomam decisões envolvendo retorno po-tencial e risco. Crises financeiras demonstram a necessidade do adequado gerenciamento de risco, que sempre toma o foco em eventos que geram ins-tabilidade. O gerenciamento irresponsável e subestima¸cão do risco podem levar a catástrofes financeiras (Kabir 2005), estas que poderiam ser evitadas ou terem seus efeitos minimizados. Por outro lado, a superestima¸cão do risco também é prejudicial ao sistema financeiro por levar os agentes a reterem seu capital, o qual poderia ser utilizado em investimentos lucrativos. Técnicas de mensura¸cão de risco são partes centrais do processo de gestão de risco. O primeiro grande marco na mensura¸cão de risco foi introduzido por Mar-kowitz (MarMar-kowitz 1952) com a teoria do portfólio e fronteira eficiente que foi o primeiro a introduzir um modelo formal de mensura¸cão do risco e diver-sifica¸cão. O segundo grande marco veio na década de 1990 introduzido pela JPMorgan com a defini¸cão do VaR(Value at Risk) que surgiu da necessidade de reportar o risco em eventos cr´ıticos representando a perda máxima que a carteira pode sofrer para um determinado per´ıodo e certo n´ıvel de confian¸ca (Duffie, Pan 1997). Após o VaR ser adotado pelo comitê de Basiléia para fins de defini¸cão de capital regulatório em risco de mercado tornou-se então o padrão de mercado. O terceiro grande marco foi apresentado no trabalho de Artzner et al. (Artzner et al. 1999) que surgiu de uma linha de pes-quisa que pretendia determinar propriedades desejáveis em medidas de risco, dando origem a defini¸cão de medidas de risco coerentes, as quais obedecem aos axiomas propostos em seu trabalho. Apesar de sua popularidade o VaR sofre cr´ıticas, entre elas está o fato de que não é uma medida coerente, ou seja, não cumpre os axiomas propostos por Artzner et al, e também ao fato de que não é sens´ıvel ao peso do risco nas extremidades da cauda posterior ao n´ıvel de confian¸ca. Semelhantemente à classe de medidas de risco coe-rentes, outras classes de medidas são apresentadas e.g.: medidas convexas (Follmer, Schied 2002) e (Frittelli, Gianin 2002), medidas espectrais (Acerbi 2002) assim como outras medidas de risco derivadas do VaR e.g.: ES (Ex-pected Shortfall) (Acerbi, Tache 2002) ou CVaR(Conditional Value at Risk) (Rockafellar, Uryasev 2002) sempre no sentido de apresentar alguma vanta-gem em rela¸cão ao VaR tradicional. Apesar dos problemas evidenciados o VaR é uma medida muito popular, principalmente por sua fácil interpreta¸cão e é pouco provável que perca seu posto num horizonte curto de tempo. Este trabalho revisa e avalia a performance de métodos de estima¸cão do VaR em

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portfólios comumente encontrados em institui¸cões financeiras brasileiras para que se possa constatar sob quais circunstâncias é prefer´ıvel a utiliza¸cão de certo método em detrimento dos demais. São abordados métodos populares dispon´ıveis na literatura, evita-se a utiliza¸cão de métodos especializados para determinado tipo de risco e evita-se a introdu¸cão de premissas nos métodos ou nos portfólios a serem avaliados.

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2 Medidas de risco e suas propriedades

Uma medida de risco avalia a incerteza do retorno futuro, tem como propósito resumir essa informa¸cão numa estat´ıstica concisa. Risco de mercado pode ser definido pela distribui¸cão de probabilidade de retorno de um portfólio, no en-tanto medidas de risco como VaR mapeiam toda a informa¸cão da distribui¸cão em somente um número que possa ser interpretado como um montante de perda de capital máxima em determinado horizonte de tempo. Neste processo existe perda de informa¸cão, o que faz a medida não ter comportamento ideal ou contra econômico em determinadas circunstâncias e por isso é importante definir quais são as propriedades desejadas em uma medida de risco.

2.1 Coerˆ

encia

Uma contribui¸cão importante foi realizada por Artzner et al quando foi pro-posto pela primeira vez um conjunto de axiomas para medidas de risco. As medidas que obedecem à esses axiomas são chamadas de medidas coerentes, sejam X e Y perdas futuras de dois portfólios:

1. Monotonicidade: se X 6 Y ent˜ao ρ(X) 6 ρ(Y ) 2. Homogeneidade: ρ(λX) = λρ(X) ∀ λ > 0

3. Invariˆancia de Transla¸c˜ao: ρ(X + R) = ρ(X) − R, ondeR ≡ ativo livre de risco

4. Subaditividade: ρ(X + Y ) 6 ρ(X) + ρ(Y )

O axioma da monotonicidade garante que a medida de risco com maior valor est´a associada `a maior perda.

O axioma da homogeneidade garante que o risco não é proprocionalmente alterado ao aumentar ou diminuir a exposi¸cão à uma carteira sem alterar sua composi¸cão. Também garante que se aumentarmos proporcionalmente a exposi¸cão, aumentamos o risco, intuitivamente, se dobramos a aposta, do-bramos o risco.

O axioma de invariância de transla¸cão implica no fato de que investir em um ativo livre de risco não deve gerar risco adicional ao agente, o sinal da contribui¸cão do ativo livre de risco é negativo porque o risco mensurado como perda é padronizado como positivo.

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O axioma da subaditividade garante o benef´ıcio da diversifica¸cão de portfólio, isto é, investir simultâneamente nos portfólios X e Y resulta em risco menor ou igual que o risco total dos portfólios separadamente. Sem essa propriedade não haveria incentivo em formar carteiras diversificadas.

2.2 Convexidade

O trabalho em medidas coerentes desenvolvido por Artzner et al foi ampla-mente aceito e tornou-se discussão necessária ao abordar diferentes medidas de risco. No mesmo sentido de introduzir propriedades desejáveis em medi-das de risco que reflitam corretamente as condi¸cões de mercado, Föllmer e Schied (2002) definem medidas de risco convexas. Seus axiomas são:

1. Monotonicidade: se X 6 Y ent˜ao ρ(X) 6 ρ(Y )

2. Invariˆancia de Transla¸c˜ao: ρ(X + R) = ρ(X) − R, ondeR ≡ ativo livre de risco

3. Convexidade: ρ(λX + (1 − λ)Y ) 6 λρ(X) + (1 − λ)ρ(Y ), com λ ∈ [0, 1]. Em seu trabalho, Föllmer e Schied argumentam que o axioma da homoge-neidade de Artzner et al ignora o risco de liquidez de mercado, por exemplo: se um agente dobrar sua posi¸cão em um ativo pouco l´ıquido, tudo mais constante, seu risco deveria ser superior ao dobro do risco da posi¸cão ante-rior. Assim, uma medida coerente é o caso especial de uma medida convexa quando o risco de liquidez é zero. Com λ = 1/2 a convexidade resulta em:

ρ(1/2(X + Y )) 6 (1/2)(ρ(X) + ρ(Y ))

Quando o risco de liquidez ´e zero, temos homogeneidade, ent˜ao ρ(1/2(X + Y )) = (1/2)ρ((X + Y ), logo:

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3 Value At Risk

VaR (Value at Risk) é a perda máxima que um portfolio pode sofrer em um determinado per´ıodo de tempo com um determinado n´ıvel de confian¸ca. Assim, define-se dois parâmetros básicos.

1. Signifiˆancia: α 2. Per´ıodo: T

A significância define o n´ıvel de confianca, isto é, 1 − α . Quanto maior o n´ıvel de confiância mais conservador é o resultado, com um valor absoluto do VaR maior. É comum nas institui¸cões a determina¸cão do VaR para di-ferentes n´ıveis de confian¸ca, muitas vezes o regulador exige a estima¸cão em determinado n´ıvel, agências de risco sugerem outro, esses que também podem divergir do que a institui¸cão considera mais adequado para o gerenciamento interno. É notável o fato que alguns modelos tem melhor/pior desempenho para diferentes parâmetros, fato esse que será abordado mais adiante.

Para a determina¸cão do VaR, uma distribui¸cão do retorno do portfólio ´

e estimada para o horizonte de interesse T . A partir dessa distribui¸cão determina-se pelo quantil inferior α a perda máxima. Na Figura 1, a curva T=1 representa a distribui¸cão do portfólio para um horizonte de 1 dia, já a curva T=7 tem a mesma distribui¸cão porém para um horizonte de 7 dias. Os respectivos quantis para α = 5% foram encontrados conforme as linhas verticais.

Resumidamente, estimar o VaR para um horizonte de T dias, significa estimar a distribui¸cão de retornos do portfólio para esse horizonte. Todos os modelos de estima¸cão do VaR se baseiam nesse princ´ıpio e, em algum momento farão alguma suposi¸cão sobre o comportamento do retorno da car-teira.

Atualmente os principais modelos se enquadram na seguinte classifica¸cão: 1. Modelos Paramétricos: baseados em distribui¸cões de retorno de fatores

de risco multivariada, a qual assume-se ter comportamento normal. 2. Modelos de Simula¸cão Histórica: baseado em dados históricos da

car-teira, assume que a distribui¸cão futura pode ser estimada pelo passado. 3. Modelos de estima¸cão por Monte Carlo: na sua forma básica assume o mesmo comportamento dos modelos paramétricos, isto é, a distribui¸cão tem comportamento normal

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A seguir serão descritos mais detalhadamente os modelos que serão abor-dados. É importante salientar que existe uma grande quantidade de modelos e altera¸cões que podem ser feitas visando a melhoria da estima¸cão. Muitas institui¸cões possuem modelos proprietários por exemplo. Por uma questão de defini¸cão de escopo, serão abordados os modelos mais usuais da literatura.

3.1 Modelos Param´

etricos

Um elemento central para essa classe de modelos é a matriz de covariância dos fatores de risco, por isso, modelos dessa classe são também popularmente conhecidos como Variance-Covariance VaR. Alguns autores usam a nomen-clatura de Delta-Normal VaR. Porém, esta não é a única classe a usar uma matriz de covariancia, além disso, os fatores de risco podem assumir outras distribui¸cões que não a normal. Um ponto negativo é que sua utiliza¸cão é restrita a portfolios lineares, ou seja, se o portfólio for constitu´ıdo por exem-plo de uma op¸cão binária onde a curva de retorno não é linear, então não será poss´ıvel sua utiliza¸cão. Resumidamente, os fatores de risco serão todos os fatores que implicam na varia¸cão do valor de uma posi¸cão.

3.1.1 Modelo B´asico

Assumimos que o retorno do portfólio segue uma distribui¸cão i.i.d. normal XT ,t ∼ N (µT,t, σ2T,t). Ao interpretar a equa¸cão é importante notar que XT ,t ´

e a proje¸c˜ao da distribui¸c˜ao no instante t para um horizonte T , o mesmo se aplica para as demais variaveis.

O ponto de partida é a análise dos fatores de risco. Todos os diferentes tipos de posi¸cão devem ser analisados individualmente para que os fatores possam ser mapeados, e.g.: se o patrimônio é fixado em reais e há uma quantia de dólares em carteira então existe uma exposi¸cão à varia¸cão cambial, logo o pre¸co da moeda dólar é um fator de risco desse portfólio. Esse é o ponto mais trabalhoso do processo pois em uma carteira diversificada existem diferentes tipos de ativos, cada um com fatores de risco distintos e ainda a possibilidade de um ativo ter exposi¸cão a mais de um fator de risco. Em posse de todos os fatores de risco é calculada uma matriz de covariância dos fatores. No momento em que os fatores são analisados é interessante realizar também o mapeamento das exposi¸cões dos ativos em rela¸cão aos fatores de risco, isto é, montar a matriz de exposi¸cão aos fatores de risco. Apesar desse processo ser trabalhoso ao final será poss´ıvel ter um detalhamento dos

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riscos que não é poss´ıvel ser verificado em outros modelos, a matriz completa dos fatores de risco será usada para o calculo do VaR total, porém pode ser facilmente derivado o VaR de cada fator de risco isoladamente ou na combina¸cão de fatores desejada, abertura essa que tem grande valor para o processo de gestão de risco. Além disso, é prático construir cenários para determinados fatores de risco e verificar seu impacto no VaR, o que também ´

e um ótimo instrumento para a gestão de risco. Para o calculo do VaR, a seguinte solu¸cão pode ser derivada (Jorion 2006):

V aRT ,α= Φ−1(1 − α) p

Θ0_Ω TΘ

Onde Φ−1(1 − α) é a normal padrão, equivalente a −Φ−1(α), Θ é a matriz de exposi¸cão aos fatores de risco e ΩT é a matriz de covariância estimada para os fatores de risco.

3.1.2 Fatores de Risco e Retorno Esperado

A matriz de covariância fatores de risco pode ser estimada a partir do histórico dos fatores de risco ou a partir de premissas de movimentos econômicos, serão reproduzidos os casos mais comuns que são a partir do histórico com a uti-liza¸cão de MA e EWMA(.94).

´

E poss´ıvel ajustar a proje¸cão da distribui¸cão do portfólio para uma proje¸cão de retorno esperado positivo para no horizonte analisado, porém não faremos esse tipo de premissa porque além de não ser realista para as carteiras que serão analisadas, para um horizonte pequeno (T = 1) o qual será reproduzido esse efeito não é significativo.

3.1.3 Extens˜ao: Distribui¸c˜ao t de Student

O modelo pode ser extendido para o caso onde a distribui¸cão do retorno do portfólio e dos fatores de risco seja assumida t de Student. Essa extensão

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V aRT,α = t−1ν p

ν−1_{(ν − 2)(1 − α)}p_Θ0_Ω TΘ

O grau de liberdade será estimado por fit da distribui¸cão, os métodos uti-lizados serão MLE (Maximum Likelihood Estimation) e MM(Moment Mat-ching).

3.2 Modelos de Simula¸

c˜

ao Hist´

orica

Essa classe de modelos introduzida por (Boudoukh et al. 1988) e (Barone-Adesi et al. 1988-1999) também tem a nomenclatura de non-parametric VaR. Tem por premissa que as varia¸cões futuras do portfólio já foram observadas, e que a distribui¸cão histórica dos retornos é a mesma que será observada para um horizonte T. Por outro lado além de não ser limitada a portfolios linea-res, uma vantagem dessa classe de modelos é o fato de não precisar assumir que os retornos assumam uma pré determinada distribui¸cão, talvez por esse motivo seja o método mais popular entre as institui¸cões financeiras. Modelos de simula¸cão histórica funcionam bem para horizontes curtos, idealmente de 1 dia, e a cada per´ıodo (dia) o modelo é reestimado considerando os dados do per´ıodo (dia) anterior. Para horizontes mais longos percebe-se uma queda de performance quando comparados a outros modelos, o que é intuitivamente compat´ıvel dado a grande dependência do modelo com o histórico recente de retornos do portfólio avaliado. Assim, um requisito para simula¸cões históricas ´

e a disponibilidade de uma base com um longo histórico até o dia mais re-cente. Quando calculamos o VaR histórico para um horizonte T estamos calculando a perda que o portfólio analisado pode ter nesse horizonte, isto é, consideramos um portfólio estático para esse horizonte. Com isso, os retornos desse determinado portfólio é avaliado num grande horizonte de tempo para que se possa estimar o VaR do próximo per´ıodo. Da´ı surge umas das princi-pais cr´ıticas do modelo, isto é, pode ser não razoável assumir que o portfólio que é ótimo no per´ıodo atual seria o portfólio escolhido num passado distante sujeito a diferentes condi¸cões de mercado, quando usamos dados desse pas-sado distante estar´ıamos contaminando o modelo com uma distribui¸cão de retornos que não representa bem o portfólio no per´ıodo atual. Apesar disso a vantagem de não ser necessária a premissa dos fatores de risco assumirem determinada distribui¸cão é predominante a esse poss´ıvel problema.

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3.2.1 Modelo B´asico

Dado o portfólio de interesse, reconstruimos um longo per´ıodo histórico para o valor desse portfólio considerando a varia¸cão de pre¸cos dos ativos que o constituem, normalmente esse per´ıodo está entre 3 e 5 anos. Com o valor do portólio em cada dia (no caso horizonte T=1) constru´ımos o retorno em cada dia, definindo uma série de P&L (Profit and Loss). Se desejarmos ho-rizontes diferentes de T=1 devemos construir o P&L verificando o valor do portfólio entre os per´ıodos desejados. Essa série é então utilizada para repre-sentar a distribui¸cão dos retornos. O VaR histórico é obtido diretamente da distribui¸cão dos retornos ao avaliar o valor do quantil α inferior. O motivo dessa classe de modelos necessitar de um grande histórico de retornos fica claro nesse momento, como obtemos o VaR diretamente da distribui¸cão de retornos com poucas amostras poder´ıamos ignorar o comportamento da dis-tribui¸cão de retorno na região de interesse definida pelo n´ıvel de significância. 3.2.2 Ajuste de Pesos de probabilidade

Um efeito significante decorrente da escolha da janela de amostras é a in-clusão ou exclusão de determinados eventos extremos. Se, por exemplo, estamos trabalhando com uma janela de 3 anos e exatamente a 3 anos uma perda significativa foi observada ainda hoje estamos levando esse evento em considera¸cão para o VaR histórico, evento esse que pode ser pouco represen-tativo na distribui¸cão atual de retornos. Além disso, no dia seguinte, quando passarmos a desprezar esse evento pois agora encontra-se fora da janela de amostras, veremos um significativo decremento no VaR sem que nenhuma mudan¸ca tenha sido observada nas condi¸cões de mercado. Para mitigar esse problema empregaremos EWMA nos retornos observados, onde (1 − λ) é o peso do retorno mais recente, λ(1 − λ) do segundo retorno mais recente e λn−1(1 − λ) do último retorno considerado na janela. Serão testados MA e EWMA(.94).

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atuais. Primeiramente deve ser obtida uma s´erie de volatilidades para cada dia (ou o per´ıodo de interesse). Para estimar a volatilidade de cada per´ıodo ´

e utilizado um modelo GARCH. A corre¸cão dos retornos da série é um fator multiplicador σT/σt , onde σT é a volatilidade do per´ıodo atual, i.e. o mais recente, e σté a volatilidade dos per´ıodos passados (t = 2, 3, ..., N ).

3.2.4 Simula¸c˜ao Hist´orica Filtrada

Uma abordagem diferente para o ajuste de volatilidade foi sugerida por (Barone-Adesi et al. 1999). A ideia ´e utilizar um modelo de retornos de volatilidade para simular o retorno para o pr´oximo per´ıodo. Para isso, defi-nimos:

ε = rt/ ˆσt

Onde rté retorno do horizonte e ˆσté a volatilidade estimada por GARCH do horizonte t. A volatilidade de partida é definida por:

ˆ

σ_t2 = ˆω + ˆαˆr2₀+ ˆβ ˆσ2₀

Onde ˆr0 e ˆσ02 são o retorno e a variância mais atual do portfólio, ˆω, ˆα e ˆβ são obtidos pelo GARCH.

Assim, é definido o retorno do primeiro dia projetado, dado por ˆr1 = ε1σˆ1. Onde ˆσ1 é o desvio padrão mais atual do portfólio e ε1 é uma amostra aleatória dos retornos de volatilidade da série histórica. Esse modelo é parti-cularmente interessante para horizontes de mais de um dia, nesses casos será realizado um bootstrap para definir os novos retornos e variâncias de partida, assim, para os dias subsequentes será utilizado:

ˆ

σ_t+12 = ˆω + ˆαˆr2_t + ˆβ ˆσ2_t

Onde ˆrt = εtσˆt. Ao projetar o último dia será então definido o retorno projetado para o horizonte: ˆr = ˆr1+ ... + ˆrT Todo o processo anterior deverá ser repetido algumas milhares de vezes, lembrando que a amostra aleatória irá sempre variar, e guardar o retorno projetado ˆr. Em posse de diversos cenários para o retorno projetado é definida a distribui¸cão de retornos do portfólio e a partir da´ı é poss´ıvel extrair o VaR, sujeito ao quantil α de interesse.

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3.2.5 Kernel Fitting

Como já mencionado o VaR histórico tem a necessidade de possuir um grande horizonte de dados para não nos depararmos com problemas de amostras in-sufiscientes próximos ao quantil de interesse. No entanto, quanto menor o α, isto é, quanto mais extremo é o quantil de interesse, maior é o efeito de distor¸cão causado pela falta de amostras. A solu¸cão é então fazer um fit da cauda em uma distribui¸cão cont´ınua sem que seja necessário fazer alguma suposi¸cão sobre o comportamento paramétrico da cauda. Para superar esse problema alguns autores como (Butler, Schachter 1998), utilizam kernel fit-ting para suavizar a curva no intervalo de interesse. Nesse trabalho será utilizado kernel fitting para suavizar a distribui¸cão de retorno com ajuste de volatilidade, utilizando as fun¸cões normal e Epanechnikov, por serem as mais usualmente aplicadas.

3.2.6 Distribui¸c˜oes de Valores Extremos

Um poss´ıvel problema ao utilizar kernel fitting seria que poss´ıvelmente a amostra utilizada não ter a cauda tão pesada quando a cauda da popula¸cão ´

e pesada, devido a poucas amostras presentes. Uma alternativa é utilizar uma distribui¸cão que conhecidamente tenha a cauda pesada para fazer o fit da cauda. Será utilizada a Distribui¸cão Generalizada de Pareto também a partir da distribui¸cão de retorno com ajuste de volatilidade com um treshold de 5%.

3.2.7 Aproxima¸c˜ao de Cornish-Fisher

No contexto de VaR a aproxima¸cão de Cornish-Fisher (Cornish, Fisher 1937) pode ser utilizada para estimar quantis extremos a partir dos primeiros qua-tro momentos da distribui¸cão de retornos. A aproxima¸cão de quarta ordem para uma distribui¸cão com média 0 e variância 1 é dada por

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3.2.8 Distribui¸c˜oes tipo Johnson

Um poss´ıvel problema da aproxima¸cão de Cornish-Fisher acontece quando a distribui¸cão tem alta assimetria ou curtose, nota-se que ela passa a su-bestimar o VaR nesses casos. As distribui¸cões da fam´ılia Johnson (Johnson 1949) são bastante flex´ıveis e podem solucionar esse problema. Uma variável aleatória X tem uma distribui¸cão Johnson se

(X − ξ)/λ = sinh(Z − γ)/δ

onde Z é variável padrão normalizada, ξ determina a localiza¸cão da dis-tribui¸cão, λ determina a escala, γ determina a assimetria e δ a curtose. No contexto do VaR, o quantil α de X pode ser definido por

xα = λsinh(zα− γ)/δ + ξ

Para estimar os quatro momentos (Tuenter 2001) prop˜oe o seguinte al-gor´ıtimo: 1. Defina ω = exp(δ−2) 2. Defina m = 4 + 2[ω2₋ κ+6ˆ ω2_+2ω+3] 1/2 − 2 , onde ˆ_{κ ´}e a curtose 3. Defina o limite superior de ω: ωsup = (−1 + (2( ˆκ + 2))1/2)1/2

4. Defina o limite inferior de ω: ωinf = max(ω1, ω2), onde ω1 é a única solu¸cão positiva de ω4_{+ 2ω}3_{+ 3ω}2_{− ˆ}

κ − 6 = 0, e ω2 é a única solu¸cão positiva de (ω − 1)(ω + 2)2 _{= ˆ}_τ2_{, onde ˆ}_{τ ´}_{e a assimetria.}

5. Encontre ω tal que ωinf < ω < ωinf e que (ω−1−m)(ω+2+m/2)2 = ˆτ2 6. Defina os momentos:

ˆ

σ = (lnω)(_{− 1/2),} ˆ

γ = θˆσ, onde θ = −sign(ˆτ sinh−1[(ω+1)(ω−1−m)_2ωm 1/2] ˆ

λ = (_{(ω−1)(ωcosh2θ+1)}2ˆδ2 )1/2 ˆ

ξ = ˆµ − sign(ˆτ )δ(ω−m−1)ˆ _ω−1 1/2), onde ˆµ e ˆδ são a média e desvio padrão da distribui¸cão de retornos.

Após estimar os momentos é poss´ıvel então estimar o VaR histórico, espera-se que essa aproxima¸cão tenha melhor desempenho do que a aproxima¸cão de Cornish-Fisher para distribui¸cões com a cauda mais pesada.

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3.3 Modelos de estima¸

c˜

ao por Monte Carlo

Na sua forma mais básica essa classe de modelos é semelhante aos modelos paramétricos. Assume que a matriz de covariância dos fatores de risco mapeia por completo a dependência entre os retornos dos fatores de risco e que esses tem distribui¸cão normal. Porém essa classe de modelos é bastante flex´ıvel e permite que muitas dessas premissas possam ser alteradas. Um ponto negativo é estar sujeito a erro de amostragem, o que é mitigado somente ao realizar muitas simula¸cões. Isso leva a outro problema que é o esfor¸co computacional despendido para rodar o modelo. Essa classe de modelos não será implementada, sua grande vantagem está no fato da facilidade de introduzir certos tipos de premissas nos métodos de estima¸cão, como por exemplo atribuir uma distribui¸cão normal para um fator de risco e uma distribui¸cão t-stutent para outro fator. Este trabalho evita a utiliza¸cão de premissas para as amostras geradas no intuito de evitar viés para determinado modelo ao comparar os resultados.

3.4 M´

etodos de Backtesting

Para avaliar a performance de cada modelo s˜ao aplicados aos resultados os principais m´etodos de backtest dispon´ıveis na literatura.

3.4.1 Cobertura Incondicional

Em seu trabalho Kupiec (1995) apresenta o teste de cobertura incondici-onal (LR UC), também conhecido como POF (proportion of failures) que mede se a quantidade de erros do modelo é consistente com o n´ıvel de con-fian¸ca, onde é considerado erro quando a perda é superior ao VaR estimado (rt< −V aR(α)). A intui¸cão deste teste é verificar que quando a quantidade de erros é superior ao esperado o modelo está subestimando o VaR, e quanto a quantidade de erros é inferior ao esperado então o modelo está superes-timando o VaR. Campbell (2005) mostra que esse teste é estatisticamente

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prever as viola¸cões. Christoffersen (1998) propõe o teste de independência de viola¸cões (LR IND), além do comportamento de independência é poss´ıvel verificar se o modelo captura bem varia¸cões de mercado pelo fato de rejeitar modelos com aglomera¸cões de erros.

3.4.3 Cobertura Condicional

O teste de cobertura condicional (LR CC) avalia conjuntamente a cobertura incondicional e independência de vioala¸cões, o que não é um substituto direto para ambos os testes isoladamente (Christoffersen (2012)).

3.4.4 DQ Test

Engle e Manganelli (2004) sugerem um teste baseado em uma regress˜ao li-near, conhecido como DQ Test (dynamic conditional quantile), associando erros atuais aos erros passados. Define-se Hi(α) = It(α) − α, onde:

It(α) =

1, para r_t< −V aRt|t−1(α) 0, para rt> −V aRt|t−1(α) Utiliza-se a seguinte regress˜ao:

DQOOS = (Hit0tXt[Xt0Xt]−1Xt0Hitt)/(α(1 − α))

Onde Xt= [c, V aR(α), Zt] e onde Zt é Hitt atrasado/deslocado. A hipótese nula do teste é a independência entre Hitte Xt, isto é, a independência entre os erros e um conjunto de variaveis explicativas, são elas, uma constante, a própria distribui¸cão do VaR e a distribui¸cão de erros deslocada em n per´ıodos. Intuitivamente, assim como Christoffersen, procura-se a independência dos erros em rela¸cão às demais informa¸cões dispon´ıveis.

3.4.5 Risk Map

Até agora todos os backtests baseiam-se em ocorrências ou não de erro, ig-norando o tamanho do erro. Colletaz, Hurlin e Perignon (2013) apresentam o conceito de super-exception. Definimos anteriormente um erro (exception) quando rt< −V aR(α). Uma super-exception ocorre quando rt < −V aR(α0), com α0 < α, ou seja, o erro continua ocorrendo mesmo ao utilizar um n´ıvel de significância mais conservador. O Risk Map utiliza a quantidade de erros e super-exceptions que testam conjuntamente o quantidade e magnitude dos

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erros. Usualmente é utilizado α0 = α/5. Nota-se que este teste é pouco aplicável para altos n´ıveis de significância (e.g. α = 0, 1%) pois mesmo com amostras muito grandes as ocorrências de super-exceptions são poucas, o que torna o teste impreciso.

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4 Resultados

Esta parte do trabalho é dedicata a explicar a metodologia empregada para o calculo do VaR, defini¸cão das carteiras, testes realizados e avalia¸cão dos resultados obtidos.

Foram geradas aleatoriamente 10.000 carteiras, cada uma contendo posi¸cões em bolsa (Brasil e EUA) e fluxos de caixa. Dessa forma gera-se a exposi¸cão ao pre¸cos das a¸cões, varia¸cão cambial e curva de juros. As a¸cões e a posi¸cão das a¸cões na carteira são definidas aleatoriamente, assim como as posi¸cões e prazos dos fluxos de caixa.

Os pre¸cos das a¸cões, câmbio e curva de juros foram extra´ıdos do servi¸co de dados da Bloomberg no per´ıodo de janeiro de 2012 até maio de 2018.

Para o calculo da VaR foi empregada uma janela histórica de 900 dias úteis para alimenta¸cão dos modelos, o VaR de 1 dia referente ao per´ıodo subse-quente da janela é computado para todos os modelos. No per´ıodo seguinte, a janela histórica é deslocada para desprezar o último dia da janela e incluir o próximo dia, com isso, os modelos são refatorados o novamente calcula-se o VaR de 1 dia para o per´ıodo subsequente. Este processo é repetido até que se esgotem os dados da amostra, conforme ilustrado na figura 2.

Figura 2: Exemplo VaR

Para cada modelo foi gerado o VaR para α = (10%, 5%, 1%, 0, 1%). A figura 3 contém um exemplo do vetor de P&L comparado ao VaR(5%) de uma carteira aleatória utilizando os métodos Paramétrico Normal e Paramétrico Normal ajustado por EWMA.

A partir das séries de P&L e os resultados obtidos, foram aplicados os métodos de backtesting mencionados para cada método/alpha/portfolio.

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Figura 3: Exemplo P&L, Param. Normal e Param. Normal com ajuste EWMA

Verifica-se se o modelo passou ou não em cada método de backtesting apli-cado. Os resultados expressos em percentual de vezes que o método passou em cada backtest podem ser observados nas tabelas 1, 2, 3 e 4.

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LR T est DQ T est Risk Map LR UC LR IND LR CC DQ UC DQ IND DQ CC LR MUC Hist´ orico Regular 77,2% 63,4% 61,2% 78,9% 58,1% 58,5% 73,3% Hist´ orico Ajuste Retorno 66,7% 87,6% 71,1% 64,9% 84,5% 69,6% 69,2% Hist´ orico Ajuste V ol EWMA 57,6% 59,5% 42,0% 59,9% 54,8% 40,3% 56,1% Hist´ orico Ajuste V ol Garc h 86,4% 65,2% 70,1% 88,7% 62,0% 67,5% 73,1% Hist´ orico Filtra do 18,0% 49,1% 17,0% 17,4% 41,8% 16,9% 18,0% P arametrico Normal 34,3% 68,6% 27,7% 36,6% 77,4% 27,5% 32,4% P arametrico Normal EWMA 61,1% 73,7% 56,1% 65,1% 73,2% 56,7% 47,2% P arametrico T-Studen t 40,6% 65,7% 32,9% 41,9% 74,9% 32,0% 37,7% P arametrico T-Studen t EW MA 58,5% 72,7% 53,3% 59,0% 66,3% 50,8% 56,3% T ab ela 1: Resultados para α = 10%

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LR T est DQ T est Risk Map LR UC LR IND LR CC DQ UC DQ IND DQ CC LR MUC 76,1% 77,3% 66,8% 75,5% 65,3% 59,7% 76,0% Retorno 64,0% 90,2% 69,8% 58,6% 87,6% 65,1% 70,5% V ol EWMA 59,6% 74,9% 52,6% 59,4% 62,5% 46,5% 61,1% V ol Garc h 89,8% 79,7% 80,2% 89,8% 69,5% 73,2% 87,5% do 17,5% 56,5% 18,7% 16,7% 42,6% 17,5% 18,2% 46,3% 83,0% 39,8% 47,3% 78,5% 38,2% 45,7% EWMA 91,6% 85,4% 85,1% 92,5% 78,1% 81,5% 87,1% t 41,4% 81,6% 37,0% 41,6% 76,7% 35,4% 42,1% t EW MA 73,4% 84,5% 71,4% 72,2% 75,1% 65,2% 72,5% T ab ela 2: Resultados para α = 5%

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LR T est DQ T est Risk Map LR UC LR IND LR CC DQ UC DQ IND DQ CC LR MUC Hist´ orico Regular 80,1% 96,0% 82,9% 77,7% 76,6% 61,9% 83,8% Hist´ orico Aj. Retorno 5,3% 95,8% 9,9% 3,3% 73,1% 3,8% 7,7% Hist´ orico Aj. V ol EWMA 44,5% 94,9% 47,0% 42,1% 71,2% 32,9% 46,3% Hist´ orico Aj. V ol Garc h 91,2% 97,5% 91,7% 90,5% 80,6% 75,5% 93,0% Hist´ orico Cornish Fisher 83,6% 98,2% 95,0% 95,4% 87,6% 86,0% 96,1% Hist´ orico Filtra do 19,3% 85,2% 21,3% 17,4% 49,0% 18,7% 20,6% Hist´ orico Gen P areto 92,9% 97,5% 93,1% 92,5% 81,1% 78,9% 94,3% Hist´ orico Johnson F am 55,0% 85,0% 56,2% 55,3% 57,6% 45,4% 56,5% Hist´ orico Kernel Epanec h 93,2% 97,6% 93,6% 92,7% 80,4% 78,0% 94,5% Hist´ orico Kernel Normal 93,3% 97,6% 93,8% 92,9% 80,7% 78,2% 94,6% P arametrico Normal 53,1% 95,8% 74,3% 70,5% 81,8% 60,2% 76,0% P arametrico Normal EWMA 81,5% 97,9% 84,9% 78,0% 84,7% 69,8% 84,9% P arametrico T-Studen t 69,7% 96,3% 89,6% 86,4% 84,8% 76,3% 90,3% P arametrico T-Stt EWMA 94,2% 98,6% 94,3% 93,7% 85,3% 83,3% 94,8% T ab ela 3: Resultados para α = 1%

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LR T est DQ T est Risk Map LR UC LR IND LR CC DQ UC DQ IND DQ CC LR MUC 89,5% 100,0% 94,3% 79,6% 98,2% 78,7% 92,9% Retorno 0,1% 99,1% 0,6% 0,0% 65,4% 0,0% 0,4% V ol EWMA 35,5% 99,4% 48,1% 21,5% 80,1% 19,6% 45,3% V ol Garc h 99,0% 100,0% 99,6% 96,1% 99,8% 96,0% 99,5% Fisher 96,7% 99,8% 97,1% 94,7% 99,2% 94,6% 97,0% do 35,2% 100,0% 39,6% 30,2% 62,5% 30,1% 37,8% P areto 97,8% 100,0% 99,2% 93,9% 99,4% 93,6% 98,8% F am 45,6% 90,8% 50,3% 38,6% 59,0% 37,7% 47,7% Epanec h 99,4% 100,0% 99,7% 97,0% 99,8% 96,9% 99,6% Normal 99,4% 100,0% 99,7% 96,9% 99,8% 96,8% 99,6% 57,8% 99,5% 68,1% 44,7% 88,1% 42,5% 64,9% EWMA 63,6% 100,0% 77,4% 43,3% 92,5% 42,7% 74,2% t 93,6% 100,0% 97,4% 86,2% 99,8% 86,2% 94,9% EWMA 96,0% 100,0% 97,6% 92,8% 98,1% 92,1% 97,9% T ab ela 4: Resultados para α = 0 ,1%

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Nos resultados obtidos para α = 10% é poss´ıvel verificar que os modelos que possuem algum tipo de corre¸cão do histórico de dados, e.g. EWMA, tem resultados significativamente melhores do que aqueles que não fazem ajustes, dentre eles destaca-se o Histórico com ajuste de volatilidade por GARCH. Nos resultados obtidos para α = 5% continua-se a observar a vantagem dos modelos que fazem ajuste, novamente com destaque Histórico com ajuste de volatilidade por GARCH e também pelo Paramétrico Normal com ajuste EWMA.

Para os resultados de α = 1%, são inclu´ıdos os métodos de aproxima¸cão ba-seados no P&L gerado pelo histórico com ajuste de volatilidade por GARCH. Verifica-se um bom fit pela Distribui¸cão Generalizada de Pareto (GPD), Cor-nish Fisher e em ambos os Kernels. O Paramétrico T-Student EWMA passa a se sobressair em rela¸cão ao Normal EWMA.

Para os resultados de α = 0, 1%, são inclu´ıdos os métodos de aproxima¸cão ba-seados no P&L gerado pelo histórico com ajuste de volatilidade por GARCH. Apesar do alto n´ıvel de confian¸ca o VaR histórico com ajuste de volatilidade por GARCH continua com um bom desempenho, o que pode ser explicado pela janela grande utilizada. GDP e ambos os Kernels continuam com bons resultados. Paramétrico T-Student EWMA continua melhor que o Normal EWMA.

Apesar do VaR histórico com ajuste de volatilidade por GARCH ter apre-sentado bons indicadores para um alpha muito pequeno, foi observado recor-rentemente um claro overshoot quando comparado a outros modelos. Esse comportamento pode ser observado em uma amostra representada na figura 8. O mesmo comportamento, em menor escala, foi observado para o VaR histórico com suaviza¸cão por Kernel Normal e Epanechnikov, assim, para quantis extremos conclui-se que o VaR histórico é melhor ajustado pela Dis-tribui¸cão Generalizada de Pareto.

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Figura 4: P&L e VaR para α = 0, 1%

5 Conclus˜

ao

Foram avaliados os principais métodos de estima¸cão do VaR dispon´ıveis na literatura. Os resultados mostraram que quando há disponibilidade de um grande histórico de pre¸cos a performance do VaR histórico com ajuste de vo-latilidade por GARCH para quantis entre 1% − 10% é a melhor alternativa, porém, para quantis extremos onde a cauda da distribui¸cão perde precisão a melhor alternativa é fazer o fit da cauda pela Distribui¸cão Generalizada de Pareto.

Caso não esteja dispon´ıvel um grande histórico de pre¸cos, para quantis entre 5% − 10% indica-se a utliza¸cão do VaR Paramétrico Normal ajustado por EWMA. Já para faixa de 1% ou menor, a distribui¸cão T-Student que tem a cauda mais pesada que a normal nessa faixa mostrou-se a melhor alternativa. Os resultados contudo não afirmam que esses são os melhores modelos poss´ıveis para qualquer portfolio pois existem métodos para realizar ajustes nos mo-delos uma vez que é conhecido algum comportamento sobre portfolio de

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