FACULDADE DE TECNOLOGIA SENAI CIMATEC

(1)

Prof. Valter de Senna, PhD

vsenna@terra.com.br

1

CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL II

FACULDADE DE TECNOLOGIA

SENAI CIMATEC

CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM

(2)

2

Tópicos do Curso

(sem stress)

• Seqüências e séries

• Series de Taylor

• Séries de Fourier

• Conceito de equações diferenciais a variáveis separáveis

• Equações diferenciais lineares a coeficientes constantes

• Equação de Bernoulli

• Funções multivariáveis

• Derivadas parciais

• Derivada direcional e gradiente

• Integrais múltiplas

• O que ocorrer

(3)

3

Uma sucessão infinita de números reais é uma

função cujo domínio são os naturais.

Representação:

Sucessões (seqüências) infinitas

{

a a

₁

,

₂

,

K

,

a a

_n

,

_n₊₁

,

K

}

{ }

n

a

{ }

1 n

_n

(4)

4

Exemplos

1 n

a

n

(5)

5

Exemplos

( )

{

1

n

}

₁

n≥

(6)

6

(7)

7

(8)

8

(9)

9

Exemplos

(10)

Prof. Valter de Senna, PhD vsenna@terra.com.br 10

Exemplos

(

)

lim

1 n

→∞

n

+ −

n

0 1 2 3 4 5

(11)

11

Resultado

(12)

12

(13)

13

(14)

14

(15)

15

(16)

16

(17)

17

(18)

18

Exemplo

(19)

19

(20)

20

(21)

21

(22)

22

(23)

23

(24)

24

(25)

25

Teorema

Uma seqüência converge se e só

(26)

26

(27)

27

(28)

28

Exemplos

(29)

29

Exemplos

Determine, se existir, o limite das seqüências abaixo:

a) 3/5

b) +∞

(30)

30

(31)

31

(32)

32

(33)

33

(34)

34

(35)

35

(36)

36

(37)

37

(38)

38

(39)

39

(40)

40

Ordem e Grau de uma Equação Diferencial

(41)

41

(42)

42

(43)

43

Sistema massa - mola

(44)

44

Pêndulo

(45)

45

Campos de direção

(46)

46

Outro exemplo

(47)

47

Outro exemplo: circuito RLC

L = 4H, R = 12Ω e E(t) = 60V

( )

dI

L

RI

E t

dt

+

=

15 3

dI

I

(48)

48

Circuito RLC

(49)

49

Método de Euler

Usando a mesma ideia básica dos campos de

direção, podemos obter aproximações numéricas

para as soluções de equações diferenciais.

(50)

50

(51)

51

(52)

52

(53)

53

(54)

54

Método de Euler

(55)

55

Exemplo: crescimento exponencial

(56)

56

(57)

57

(58)

58

(59)

59

(60)

60

Equações diferenciais separáveis

Uma

equação separável

é aquela na qual a expressão

dy/dx

pode ser fatorada como uma função de

x

vezes

uma função de

y

.

( ) ( )

dy

g x f y

dx

=

Em outras palavras,

Ou, se f(y) ≠ 0,

( )

, onde ( ) 1/ ( )

( )

dy

g x

h y

f y

(61)

61

Equações diferenciais separáveis

Temos assim,

∫

h y dy

( )

=

∫

g x dx

( )

Exemplo:

2 2

dy

x

dx

=

y

com condição inicial y(0) = 2

(62)

62

Exemplo (continuação)

ode2(eq,y,x);

(63)

63

Gráfico da solução

(64)

64

Exemplo

ode2('diff(y,x)=6(x^2)/(2y+cos(y)),y,x);

2

6

2 cos( )

dy

x

(65)

65

Exemplo

y’= x

2

_y

ode2('diff(y,x)=(x^2)y,y,x);*

(66)

66

Circuito RLC

L = 4H, R = 12Ω e E(t) = 60V

( )

dI

L

RI

E t

dt

+

=

15 3

dI

I

(67)

67

Solução

ode2('diff(I,t)=15-3*I,I,t);

(68)

68

(69)

69

Equações lineares de primeira ordem

( )

dy

P x y

Q x

dx

+

=

_{em um dado intervalo.}

onde P e Q são funções contínuas

Fator integrante,

I(x)

(70)

70

Equações lineares de primeira ordem

Se

I(x)

existe, então a equação diferencial fica:

(I(x)y)’=I(x)Q(x)

Portanto,

_{I x y}

_{( )}

=

∫

_{I x Q x dx C}

_{( ) ( )}

+

e temos,

( )

1 ( ) ( )

( )

y x

I x Q x dx C

I x





(71)

71

Equações lineares de primeira ordem

Agora,

I(x)(y’ + P(x)y) = (I(x)y)’

implica

I(x)y’ + I(x)P(x)y =I’(x)y + I(x)y’

isto é:

I(x)P(x) = I’(x)

e assim

dI

P x dx

( )

I

=

∫

Portanto,

( )

P x dx

I x

=

Ce

∫

(72)

72

Receita

Para resolver a equação diferencial linear

y’ + P(x)y = Q(x),

multiplique ambos os lados

pelo

fator integrante

I x

( )

=

e

∫

P x dx

( )

(73)

Exemplo

2 2

3

6 dy

x y

x

dx

+

=

2

3

( )

x dx x

I x

=

e

∫

=

e

3 3 3 3

2

6

2

2 x

x

(74)

74

Exemplo

y’ + 2xy=1

2

2 xdx

_x

e

∫

=

e

Resp:

2 2 2

x

(75)

75

Equação diferencial de Bernoulli

É da forma:

dy

P x y

( )

Q x y

( )

n

dx

+

=

Observe que se n = 0 ou 1 a equação de

Bernoulli é uma equação linear.

Fazendo a substituição

u

=

y

1−n

a equação se torna

(1

) ( )

(1

) ( )

du

(76)

76

Equação diferencial de Bernoulli

(1 ) ( )

(1

) ( )

( )

n P x dx

e

n Q x dx C

u x

e

− −

∫

₋

₊

=

∫

Daí,

com

1 (1

n

)

(77)

(78)

Continuação

1 1 2 1 4

(1 3)

2 e ( )

( )

5 y x

u x

x

Cx

− −

−