Universidade Federal da Bahia

(1)

Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´atica

Curso de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

Ergodic Closing Lemma

Tiago Estrela de Oliveira

Salvador-Bahia

(2)

Ergodic Closing Lemma

Tiago Estrela de Oliveira

Disserta¸cão apresentada ao cole-giado do curso de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Matemática.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Augusto Armando de Castro J´unior (Orientador).

Prof. Dr.

(3)

Tiago Estrela Oliveira

“Ergodic Closing Lemma ”/ Salvador-BA, 2008.

Orientador: Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Júnior (UFBA). Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao curso de Pós-Gradua¸cão em

Matem´atica da UFBA, 46 p´aginas.

(4)

(5)

“Só existem dois dias no ano que nada pode ser feito. Um se chama ontem e o outro se chama amanhã, portanto hoje é o dia certo para amar, acreditar, fazer e principalmente viver..”

(6)

Agradecimentos

(7)

Resumo

Neste trabalho caracterizaremos M(f), que ´e o conjuntos das probabilidades f

-invariantes. O estudo desenvolvido foi baseado no artigo de R. Ma˜n´e intitulado An Ergodic

Closing Lemma, publicado na revista Annals of Mathematics em 1982.

Seja Dif f(M) o espa¸co dos difeomorfsmos sobre a variedade M com a topologia

C1_{. Ent˜ao existe um conjunto residual}_R _∈ _M_(f_{) tal que para toda} _f _∈ _R _{vale que} _M_(f₎

é igual ao fecho convexo das probabilidades invariantes suportadas em órbitas periódicas,

como poderemos ver no cap´ıtulo ﬁnal da disserta¸c˜ao.

(8)

Sum´

ario

Agradecimentos i

Resumo ii

Introdu¸c˜ao 1

1 Vers˜ao Forte do Closing Lemma 3

2 Teorema A 13

3 Vers˜ao Residual do Ergodic Closing Lemma 23

4 Apˆendices 28

4.1 Apˆendice A . . . 28

4.2 Apˆendice B . . . 31

Referˆencias Bibliogr´aficas 32

(9)

Introdu¸

c˜

ao

Um tópico clássico na teoria Sistemas Dinâmicos que tem destacado interesse é a

cria¸cão de órbitas através de perturba¸cão como feito no closing lemma de Pugh. Além

de melhorar esse resultado geom´etrico tamb´em obteremos um resultado do ponto de vista

estat´ıstico.

Vamos deﬁnir alguns objetos importantes para a compreens˜ao global do problema.Por

todo nosso trabalho M ser´a uma variedade compacta sem bordo e Dif f(f) o espa¸co dos

difeomorﬁsmos de classe C1 _{munido da topologia} _C1_.

Definição 0.1. Sejam x ∈ M e f ∈ Dif f(f). Dizemos que x é ponto periódico de f se existe m ∈Z _{tal que} _fm_{(x) =}_x

Definição 0.2. Sejam x∈M e f ∈Dif f(f). Dizemos que x é recorrente se

lim inf

n→+∞d(f

n_{(x), x) = 0}

Definição 0.3. Sejam x ∈ M e f ∈ Dif f(f). Dizemos que x é um ponto não-errante de

f se para toda vizinhan¸ca U de x existe n "= 0 tal que

fn(U)!U "=∅.

Definição 0.4. Sejam f, g ∈Dif f(M). Dizemos que g é g-próxima de f se g ∈ U, onde U é uma vizinhan¸ca de f em Dif f(M)

Definição 0.5. Sejam y, z ∈ M e f, g ∈ Dif f(f). Dizemos que y é !-sombreado por um ponto z m-periódico para g-próxima se

d(fi_{(y), g}i_(z))_{< !}

para i∈ {1, . . . , m}.

A primeira parte do nosso trabalho ser´a melhor´a o trabalho de Pugh, [Pugh1],

mostraremos fortalecimento da Closing Lemma desenvolvido por Pugh, isto ´e, provaremos

(10)

que todo ponto n˜ao-errantex∈M tem um iteradofm(x)_{(x) =}_y _{tal que} _y_∈_M _{´e sombreado}

por z ∈M, onde z é um ponto periódico para g-próxima de f. Formalmente falando:

Proposi¸c˜ao 0.6. Dadaf ∈Dif f(M), p∈M, ! >0e uma vizinhan¸ca Ude f, existe r >0,

ρ >1tal que se x∈Br(p) com0< r ≤0e fm(x)∈Br(p)para algumm >0ent˜ao existe0≤

m1 < m2 ≤m e g ∈U tal que fm1(x)∈Bρr(p),fm2(x)∈Bρr(p), gm2−m1(fm2(x)) = fm2(x),

g(w) =f(w) para w /∈B"(f, p) e d(gi(fm2(x)), fj(fm1(x)))≤! para 0≤j ≤m2−m1. Definic¸˜ao 0.7. Denotamos por B"(f, x)conjunto dos pontos y∈M tal que d(fn(x), y)≤! para algum n∈Z

Definic¸˜ao 0.8. Denotamos por "(U, !) o conjunto dos pontos x∈M tal que existe g ∈U,

y ∈ M e z ∈ Z+ _{tal que} _y _{´e um ponto} _m_-peri´_{odico para} _g_, _g ₌ _f _sobre _M ₋_B_"_{(f, x)} _e

d(fj_{(x), g}j_(y))_≤_! _{para todo} ₀_≤_j _≤ _m

Definição 0.9. Denotamos por "(f) o conjunto dos pontos x ∈ M tal que para toda vizinhan¸ca U de fe todo ! >0 existe g ∈U e y∈ M tal que y é um ponto m-periódico para

g, g =f sobre M −B"(f, x) e d(fj(x), gj(y))≤! para todo 0≤j ≤m

Definição 0.10. Uma medida de probabilidadeµé ergódica se para qualquerA ⊂M temos

µ(A) = 0 ou µ(Ac_{) = 0} _.

Perceba que o resultado acima é geométrico e uma questão natural seria tirar

in-forma¸cões estat´ısticas sobre o conjunto dos pontos que satisfaz a proposi¸cão acima.Isto será

o tema central do segundo cap´ıtulo, ou seja,

Proposi¸c˜ao 0.11. Para toda f ∈ Dif f(M), toda vizinhan¸ca U de f e todo ! > 0 temos

µ("(U, !)) = 1 para toda medida erg´odica µ∈M(f).

Definição 0.12. Seja X _{um esta¸co topol´}_{ogico. Dizemos que} _R_⊂X _{é um conjunto residual} de X _{se ele puder ser escrito como interse¸cão enumer´}_{avel de abertos densos em} X_.

Finalmente no terceiro cap´ıtulo usaremos o resultado acima para provar

(11)

Cap´ıtulo 1

Vers˜

ao Forte do Closing Lemma

Mostraremos nesse cap´ıtulo o fortalecimento da Closing Lemma desenvolvido por

Pugh, isto ´e, provaremos que todo ponto n˜ao-errante x ∈ M tem um iterado fm(x)_{(x) =}_y

tal que y ∈ M é sombreado por z ∈ M, onde z é um ponto periódico para g-próxima de f.Formalmente falando:

Proposi¸c˜ao 1.1. Vers˜ao Forte

Dada f ∈ Dif f(M), p ∈ M, ! > 0 e uma vizinhan¸ca U de f, existe r > 0, ρ > 1

tal que se x ∈ Br(p) com 0 < r ≤ 0 e fm(x) ∈ Br(p) para algum m > 0 ent˜ao existe 0 ≤

m1 < m2 ≤m e g ∈U tal que fm1(x)∈Bρr(p),fm2(x)∈Bρr(p), gm2−m1(fm2(x)) = fm2(x),

g(w) =f(w) para w /∈B"(f, p) e d(gi(fm2(x)), fj(fm1(x)))≤! para 0≤j ≤m2−m1.

Para provar a proposi¸c˜ao acima precisaremos de dois lemas:

Lema 1.2. Sejam f ∈ Dif f(M) e p ∈ M. Suponha que exista uma vizinhan¸ca compacta de p que é identificada pela aplica¸cão exponencial com a bola BR = {x ∈ TpM;' x '≤

R}.Ent˜ao existe uma decomposi¸c˜ao TpM =E1#...#Eltal que dada uma vizinhan¸ca U de f e constante C > 1, 2 > δ > 1 existe N > 0, 0 < r1 < r0 < R com r0 arbitrariamente pequeno e λi, i= 1, ..., l, satisfazendo as seguintes propriedades:

I Se πi : TpM → Ei, i = 1, ..., l denota a proje¸c˜ao associada com a decomposi¸c˜ao TpM =

E1#...#El ent˜ao {x; supiλi 'πi(x−u)'≤2r1} ⊂Br0 se 'u'≤r1.

II Se 'y'≤r1, 'z '≤r1 e 1≤µi ≤C, i= 1, ..., l ent˜ao existe g ∈U tal que

• gN_{(y) =} _fN_(z)

• g(w) =f(w) quando w /∈$_j=0N−1fi₍_B% δr(q))

(12)

onde q = 2−1_(y₊_z)_, _r _{= 2}−1 _'_y₋_z _'_,_B_%

δr(q) ={x; supiµiλi 'πi(x−q)'≤δr}

A demonstra¸cão desse lema está feita no artigoC. Pugh, The Closing Lemma,Amer. J.Math.,89,(1967),956-1009. Porém tiraremos algumas consequências pertinentes ao nosso propósito.

• Suponha! >0 dado pela proposi¸c˜ao 1.1 ent˜ao pela continuidade def podemos escolher r0 tal que sup0≤j_≤Ndiamfi(Br0)≤!

• B%δr(q)⊂Br0

Seja x∈B%δr(q) ent˜ao supiµiλi 'πi(x−q)'≤δr mas como cada µi ≥1 temos que

µiλi ' πi(x−q) '≥ λi ' πi(x−q) ' para todo i ∈ {1, ..., l} logo λi ' πi(x−q) '≤ δr mas

como r < r1 e 2 > δ >1 obtemos assim δr < 2r1. Portanto supiλi ' πi(x−q) '≤2r1 logo

pela propriedade I do lema obtemos que x∈Br0.

• g(w) =f(w) para w /∈B"(f, p).

Sew /∈B"(f, p) então pela defini¸cão desse conjunto temos qued(fn(p), w)> !∀n ∈ N_{.Em particular,} _d(fj_{(p), w)}_{> !,}_∀_j _{∈ {}_0,_{1, ..., N}₋₁_}_{logo como sup}

0≤j_≤N diamfj(Br0)≤!

obtemos que w /∈ fj_(B

r0) ∀j ∈ {0,1, ..., N −1} mas B%δr(q) ⊂ Br0 logo w /∈ f

j₍_B% δr(q))

∀j ∈ {0,1, ..., N − 1}. Consequentemente, w /∈ $N_j=0−1fi₍_B_%

δr(q)) logo por II temos que

f(w)=g(w).

• Se p não éf-periódico podemos escolher pela continuidade e compacidade da variedade M r0 tão pequeno que fj1(Br0)

&

fj2(B

r0) =∅ para todo 0≤j1 ≤j2 ≤N.

Sejam y, z ∈B%δr(q). Suponha que para algum m temosy=fm(z) e fi(z)∈/ B%δr(q)

para todo 0 < j < m.Ou seja, os iterados de z saindo de B%δr(q) e s´o retornam no m-´esimo

iterado quando y=fm_{(z).Ent˜ao podemos inferir o seguinte:}

• m ≥N

Se m < N ent˜ao Br0 &

fm_(B

r0)⊃ {y=f

m_(z)_} _com _{m < N} _{contrariando a escolha}

de r0 de modo quefj1(Br0) &

fj2(B

r0) = ∅para todo 0 ≤j1 ≤j2 ≤N.

(13)

Sejam > N poisgN_{(y) =} _fN_{(y) =} _y_ent˜ao_m₌_kN_+r_{com 0} _≤_{r < N} _e_k _∈_Z_.Com

isso temos

gm_{(y) =}_gkN+r_{(y) =}_gr_(gkN_{(y)) =}

(II) gr(fkN(z)).

Mas

fkN_(z)_∈_/ N_'−1

j=0

fi₍_B_% δr(q)).

De fato, se

fkN_(z)_∈ N_'−1

j=0

fj₍_B_% δr(q))

ent˜ao existe j0 ∈ {0,1, ..., N−1} tal que

fkN_(z)_∈_fj0₍_B%

δr(q))

logo

fkN−j0

(z)∈B%δr(q)

com kN−j0 variando entre kN e (k−1)N + 1 mas isso contraria a hip´otese de que

fi_(z)_∈_/_B_% δr(q)

para todo 0 < j < m.Consequentemente,

fkN(z)∈/

N_'₋1

j=0

fi(B%δr(q))

implicando por (II) que

g(fkN(z)) = f(fkN(z)) = fkN+1(z)

logo

gr_(fkN_{(z)) =}_gr₋1_(g(fkN_{(z))) =}_gr₋1_(fkN+1_(z)).

Procedendo da mesma forma anterior obtemos que

g(fkN+1(z)) =fkN+2(z)

logo

gr−1(fkN+1(z)) = gr−2(g(fkN+1(z))) =gr−2(fkN+2(z)))

Repetindo o processo temos

gr−2_(fkN+2_{(z))) =}_...₌_fkN+r_{(z) =}_fm_{(z) =}_y.

(14)

• d(gi_{(y), f}i_(z))_≤_!

O item acima est´a ´e provado no trabalho do Pugh na hora em quele constroi a

perturba¸c˜ao com essa propriedade. Agora vamos enunciar e provar o segundo lema.

Lema 1.3. Dado l ∈ Z+ _existem _C ₌ _C(l) _> ₁_, _A ₌ _A(l) _> ₁ _e ₂ _{> δ} ₌ _δ(l) _> ₁ tal que se E = E1#...#El ´e um espa¸co vetorial e |.|i uma norma em Ei proveniente do produto interno ent˜ao para qualquer conjunto x0, ..., xn de pontos distintos de E existem

0 ≤ j1 < j2 ≤ n e 1 ≤ µi ≤ C com i = 1, ..., m tal que deﬁnindo ' . '1 em E por

' v '1= supiµi|πi(v)|i, onde πi : E →Ei são as proje¸cões associadas com as decomposi¸cões de Ei, satisfazendo as seguintes propriedades:

• 'xji−x0 '1≤A'xn−x0 '1 , i= 1,2

• 'xj −p'1>2−1δ 'xj1 −xj2 '1, j1 < j < j2, ondep= 2−

1_(x

j1 +xj2).

Prova 1. Para provar esse lema necessitaremos de algumas afirma¸cões. Afirma¸cão 1.1. Se 1 < δ0 <

√

5

2 , C > 1 e 1 < δ < δ0 tal que C

2 _> _4m(δ2

0 −1)−1 e

2δ2 _{< δ}2

0+ 1 ent˜aoδ(

"l

i=1max{βi2, C−2})

1 2 ≤δ

0(

"l i=1βi2)

1

2 para todo0≤β_i ≤1, i= 1, ..., l,

com β1 = 1.

Prova 2. Vamos provar essa afirma¸cão por indu¸cão em l. Pois veja que essa desigualdade depende da quantidade de subespa¸cos que vamos decompor TpM. Seja m = 1. Temos que

β1 = 1 logo

δ(max{βi2, C−2})

1

2 =δ(max{1, C−2}) 1

2 =δ≤δ

0 =δ0(β12)

1 2.

Suponha por hip´otese de indu¸c˜ao que

δ(

m₍−1

i=1

max{βi2, C−2})

1 2 ≤δ

0( m₍−1

i=1

βi2)

1 2.

Para completar a provar da aﬁrma¸c˜ao provaremos que

δ2(

m

(

i=1

max{β_i2, C−2})≤δ₀2(

m

(

i=1

β_i2).

De fato,

δ2₍ m

(

i=1

max{β2

i, C−2})≤δ2( m₍−1

i=1

max{β2

i, C−2}) +δ2(max{βm2, C−2})

≤δ₀2(

m₍₋1

i=1

(15)

• max{β2

m, C−2}=βm2 ent˜ao

δ2₍"m

i=1max{βi2, C−2})≤δ2(

"m₋1

i=1 βi2) +δ2(max{βm2, C−2})

≤δ2₍"m−1

i=1 βi2) +δ2βm2 ≤δ02(

"m−1

i=1 βi2) +δ02βm2 =δ02(

"m i=1βi2)

• max{β2

m, C−2}=C−2 ent˜ao

δ2₍"m

i=1max{βi2, C−2})≤δ2(

"m−1

i=1 βi2) +δ2(max{βm2, C−2})≤δ2(

"m−1

i=1 βi2) +δ2C−2. Resta mostrar que δ2_C−2 _≤ _δ

0βm2.Mas isso segue direto do fato que βm2 ≤ C−2 pois

δ2_C−2 _≤_δ

0βm2 ↔ δ2

δ2 0 ≤1 !

Deﬁna A = 4Cm12. Seja |.| a norma em E dada por |v| = ("

i|πiv|2i)

1

2 e se µ =

(µ1, ..., µm) com C ≥ µi ≥ 1 para todo 1 ≤ i ≤ m deﬁna a norma ' . 'µ por ' v 'µ=

supiµi|πiv|i.Para todo v ∈E n´os temos C−1 'v 'µ≤'v '≤m

1

2 ' v '_µ

Afirma¸c˜ao 1.2. Aﬁrmamos que existe j1, j2(0≤j1 < j2 ≤n) tal que

• |xji−x0| ≤4|xn−x0|, i= 1,2

• |xj −p|> δ02−1|xj1 −xj2| , j1 < j < j2

Prova 3. Escolha por indu¸c˜ao um conjunto 0 =i0 ≤i1 ≤...≤is < ls ≤ls−1 ≤...≤ l0 =n tal que vale

 



xik+1 =xik ou

xlk+1 =xlk

e

|xlk+1−xik+1| ≤2

−1_{(1 +}_δ2 0)

1 2|x_i

k −xlk|

para todo 0 ≤ k < s. Suponha que o conjunto de ´ındices constru´ıdo seja maximal. Ent˜ao mostraremos que se

p= 2−1(xis +xls)

temos |xj −p| > δ02−1|xis −xls| para todo is < j < ls.Caso contr´ario,

|xj−p| ≤δ02−1|xis −xls|

para algum is< j < ls usando identidade do paralelogramos obter´ıamos:

|xj−xis|

2₊_|_x

j −xls|

2 _{= 2}_|_x

j−p|2+

1

2|xis −xls|

2 _≤₂−1_{(1 +}_δ2

0)|xis −xls|

(16)

mas como temos dois farores somados sendo menores ou iguais a

2−1(1 +δ₀2)|xis −xls|

2

ent˜ao pelo menos um ´e menor ou igual a

4−1(1 +δ₀2)|xis −xls|

2

e sem perda de generalidade podemos supor que

|xj−xls|

2 _≤₄−1_{(1 +}_δ2

0)|xis −xls|

2

.Então com fazendo is+1 =j, ls+1 =ls temos um novo ´ındice satisfazendo as três condi¸cões iniciais e com isso ampliariamos o conjunto maximal de ´ındices constru´ıdos. Além disso obtemos de

|xlk+1−xik+1| ≤2

−1_{(1 +}_δ2 0)

1 2|x

ik −xlk|

implica

|xik −xlk| ≤(2

−1

(1 +δ02)

1 2)k|x

o−xn|. De fato,

|xik −xlk| ≤(2

−1_{(1 +}_δ2 0)

1 2)|x

ik−1 −xlk−1| ≤(2

−1_{(1 +}_δ2 0)

1 2)2|x

ik−2 −xlk−2| ≤

(2−1(1 +δ₀2)12)3|x

ik−3 −xlk−3| ≤. . .≤(2

−1_{(1 +}_δ2 0)

1 2)k|x

o−xn|. Usando essa desigualdade provada agora e o fato que

  

xik+1 =xik ou

xlk+1 =xlk

para todo 0≤k < s obtemos que

|xis−x0| ≤|xo−xn|

∞

(

k=0

(1 2(1 +δ

2 0)

1 2)k ≤

|xo−xn|

∞

(

k=0

(3 4)

k _{= 4}_|_x

o−xn|.

De maneira similar provamos a desigualdade para xls no lugar de xis.

!

Munido da aﬁrma¸c˜ao temos que para qualquer escolha de µ temos

'xji−x0 'µ≤C|xji−x0| ≤4l

1 2 'x

(17)

para i= 1,2. Para completar a prova do lema basta encontrar µtal que

'x−p'µ≤δ2−1 'xj1 −xj2 'µ

implica

|x−p| ≤δ02−1|xj1 −xj2|.

Suponha para simplicar a nota¸c˜ao suponha que

|π1(xj1 −xj2)|1= sup

i

|πi(xj1−xj2)|i.

Deﬁna

µi =

  

C se |πi(xj1 −xj2)|i = 0

min{C,|π1(xj1 −xj2)|1|πi(xj1 −xj2)|

−1

i } se |πi(xj1 −xj2)|i "= 0

Ent˜ao

|x−p|= ((

i

|πi(x−p)|2i)

1 2 ≤(

(

i

µ−i 2)

1

2 'x−p'

µ≤

((

i

µ−i 2)

1

2δ2−1 'x

j1 −xj2 'µ= ( (

i

µ−i 2)

1

2δ2−1|π

1(xj1 −xj2)|1.

A segunda desigualdade segue da hip´otese veriﬁcaremos a primeira. Denote

µmax= sup i

µi

ent˜ao

((

i

µ−_i 2)'x−p'2_µ≥n(µmax)−2 'x−p'2µ≥nsup i

(µmax)−2µ2i 'πi(x−p)'2i≥

(

i

|πi(x−p)|2i. Usando a defini¸cão do µi e a primeira afirma¸cão feita no nesse lema temos que

((

i

µ−_i 2)12δ < δ

0[

(

i

|πi(xj1 −xj2)|

2 i

|π1(xj1 −xj2)|

2 1

]12.

Portanto

|x−p| ≤δ02−1(

(

i

|πi(xj1 −xj2)|

2 i)

1 2 =δ

02−1|xj1 −xj2|. !

Após finalizar a prova dos dois lemas estamos em condi¸cões de atacar o resultado

(18)

principal e dos lemas. Se p é um ponto periódico então o resulado é imediato , caso contrário

suponhamos que p seja um ponto não periódico e também que r0 tão pequeno tal que

sup

0≤j≤N

diamfi_(B

r0)≤!

e

fj1_(B

r0) !

fj2_(B

r0) =∅

para j1, j2 ∈ {1, . . . , N}comj1 "=j2 sejam satisfeitos. SejaS = [1, C]×. . .l ×[1, C].Seµ∈S

deﬁna a norma '.'µ sobreTpM por

'v 'µ:=supiµiλi|πiv|i

e fa¸ca 0 < k < K,0< b < B tal que

kd(x, y)≤'x−y'≤Kd(x, y) para todo x∈BR, onde d(.,.) denota a m´etrica de M, e

b'x'µ≤'x'≤B 'x'µ

para todo x∈TpM, µ ∈S. Fa¸ca r >0 e ρ >1 satisfazendo

• (2ABb−1_{+ 1)Kr} _≤_r 1

• (2ABb−1_{)(1 +}_Bδ_b₋1_)Kr _≤_r 0

• ρ= (2ABb−1 _{+ 1)Kk}−1

Suponha agora que x ∈ M, m > 0 e 0 < r¯≤ r satisfazendo x ∈ Br¯(p) e fm(x) ∈

B¯r(p). Sejam 0 = k1 < ... < km inteiros em [0, m] tais que fki(x)∈ Br0. Se f

kj_{(x) =}_fki_(x)

para alguma i "= j então não há nada a se provar;portanto podemos supor que os fki(x)

s˜ao distintos. Aplicando o segundo lema para os pontos x0 = x, xj = fkj(x),1 ≤ j ≤ n,

a decomposi¸c˜ao TpM = E1

#

...#El , e normas |v|i = λi ' v ' sobre Ei, encontraremos

0≤m1 =kj1 < kj2 =m2 ≤m eµ∈S tal que deﬁnindo '.'1='.'µ

temos pelo segundo lema que

• 'fmi(x)−x'

1≤A'fm(x)−x'1, i=1,2

• fkj_(x)∈_/ _B˜

(19)

onde q = fm1_(x)+fm2_(x)

2 , r2 =

&fm1_(x)₋_fm2_(x)_&₁

2 e

%

Bδr2(q) ={x; sup

i

µiλi 'πi(x−q)'≤δr2}.

Ent˜ao para i=1,2

'fmi_(x)−_x'≤_AB '_fm_(x)−_x'

1≤ABb−1('fm(x)'+'x')≤2ABb−1Kr.¯

Aﬁrmamos que

fj(x)∈/ B˜δr2(q)

para todo m1 < j < m2. Se

fj(x)∈B˜δr2(q)

ent˜ao

'fj_(x)₋_q_' 1≤δr2

implicando temos

'fj_(x)_'≤'_fj_(x)₋_q _'₊_'_q₋_x_' ₊_'_x_'

≤B 'fj(x)−q '1 +

1 2 'f

m1_(x)−_x'₊1

2 'f

m2_(x)−_x'₊'_x'

≤Bδ1 2 'f

m1_(x)₋_fm2_(x)_'

1 +2ABb−1Kr¯+Kd(x, p)

(pois existe uma identiﬁca¸c˜ao entre p e 0 com isso 'x'='x−p'≤Kd(x, p))

≤Bδ1 2b

−1 _'_fm1_(x)₋_fm2_(x)_'_+2ABb−1_K_r_¯₊_{Kd(x, p)}

≤Bδ1 2b

−1₍_'_fm1_(x)₋_x_'₊_'_fm2_(x)₋_x_'_{) + 2ABb}−1_K_¯_r₊_K_r_¯

≤Bδb−12ABb−1Kr¯+ 2ABb−1Kr¯+Kr¯

≤(2ABb−1(1 +Bδb−1) + 1)Kr¯≤r0

Ent˜ao fj_(x) _∈ _B

r0 logo podemos ter j "= ki para algum j1 < i < j2 mas isso contradiz a

maximalidade do conjunto de tempos que

fki _∈_B

r0

por outro na lado se j =ki contradiz a hip´otese

fkj_(x)_∈_/ _B˜

δr2(q)

para todo

(20)

Al´em disso para 1=1,2

'fmi_(x)_'≤_2ABb−1_K_r+_¯ _'_x_'

≤2ABb−1K¯r+Kd(x, p)≤(2ABb−1 + 1)Kr¯≤r1

.

Ent˜ao aplicando o primeiro lema para

y=fm2_{(x), z}₌_fm1_(x)

obtemos uma aplica¸c˜ao g ∈Usatisfazendo

gN_{(y) =} _fN_(z)

,

g(w) = f(w)

quando w /∈$N_j=0−1fi₍_B%

δr(q)) e

fi(z)∈/B%δr(q)

para todo 0 < j < mmas escolhemos r0 t˜ao pequeno que

sup

0≤j_≤N

diamfi_(B

r0)≤!

e

fj1_(B

r0) !

fj2_(B

r0) =∅

para todo 0 ≤ j1 ≤ j2 ≤ N ent˜ao como foi observado ap´os o primeiro lema temos que

o difeomorﬁsmo g satisfaz g(w) = f(w) para w /∈ B"(f, p), gm2−m1(fm2(x)) = fm2(x) e

d(gj_(fm2_{(x)), g}j_(fm1_(x)))≤_! _{para 0}≤_j ≤_m

2−m1.Finalmente por

ρ= (2ABb−1 + 1)Kk−1

e

'fmi_(x)₋_x_'

, para i=1,2

d(fmi_{(x), p)}_≤_k−1 _'_fmi_(x)_'≤_(2ABb−1_{+ 1)Kk}−1_r_¯₌_ρ¯_r

(21)

Cap´ıtulo 2

Teorema A

Definic¸˜ao 2.1. Denotamos porB"(f, x)conjunto dos pontos y∈M tal que d(fn(x), y)≤! para algum n∈Z

Definic¸˜ao 2.2. Denotamos por "(U, !) o conjunto dos pontos x∈M tal que existe g ∈U,

y ∈ M e z ∈ Z+ _{tal que} _y _{´e um ponto} _m_-peri´_{odico para} _g_, _g ₌ _f _sobre _M ₋_B_"_{(f, x)} _e

d(fj_{(x), g}j_(y))_≤_! _{para todo} ₀_≤_j _≤ _m

Definição 2.3. Denotamos por "(f) o conjunto dos pontos x ∈ M tal que para toda vizinhan¸ca U de fe todo ! >0 existe g ∈U e y∈ M tal que y é um ponto m-periódico para

g, g =f sobre M −B"(f, x) e d(fj(x), gj(y))≤! para todo 0≤j ≤m

Definição 2.4. Uma medida de probabilidadeµ é ergódica se para qualquer A ⊂M temos

µ(A) = 0 ou µ(Ac_{) = 0} _.

Vamos usar a vers˜ao forte do Closing Lemma para provar o Teorema A. Inicialmente

teremos que analisar o conjunto "(f) para simpliﬁcar a prova de A. Observe que se Un e

!n >0 s˜ao base de vizinhan¸ca de f e uma sequencia convergindo a 0 respectivamente ent˜ao

(

(f) = !

n≥0

(

(Un, !n).

Com efeito, x ∈ "(f) ent˜ao para toda vizinhan¸ca U de f e todo ! > 0 existe g ∈ U, y ∈ M e m ∈ Z+ _satisfazendo _gm_{(y) =} _{y, g=f em} _M _\_B

"(f, x) e d(fn(x), gn(x)) ≤ !

para todo 0 ≤ n ≤ m logo x ∈ "(Un, !n) em particular x ∈ &_n_≥₀"(Un, !n) basta tomar U =Un e ! =!n logo x ∈

&

n_≥0

"

(Un, !n). Reciprocamente se x ∈

"

(Un, !n) ∀n ∈ N ent˜ao

podemos escolher n suﬁcientemente grande de modo que !n < ! e Un ⊃ U pois {Un} uma

base de vizinha¸ca deUe sem perda de generalidade podemos assumir!n ↓0 logox∈

"

(f).

(22)

Com esse argumento percebemos que a prova do teorema A resume-se a prova da seguinte

proposi¸c˜ao

Proposi¸c˜ao 2.5. Para toda f ∈ Dif f(M), toda vizinhan¸ca U de f e todo ! > 0 temos

µ("(U, !)) = 1 para toda medida erg´odica µ∈M(f).

Boa parte do trabalho de prova dessa proposi¸c˜ao foi feita no capitulo anterior, isto ´e

mostramos que todo ponto nao errantextem um iteradofm(x)_{(x) =}_y_{tal que}_y_´e_!-sombreado

por z, onde z é ponto periódico para g próxima de f.Por z sombrear y,entendemos que a

órbita de z !-acompanha a órbita de y durante um número de iterados pelo menos igual

ao per´ıodo de z.Agora mostraremos que o conjunto Y dos pontos y com tal propriedade de

sombreamento tem probabilidade total para toda medida erg´odica.Neste cap´ıtulo tamb´em

usaremos argumentos de Ergodicidade, Teorema de Birkhoff, e alguma gordura de certos

conjuntos que aproximam Y.

Definição 2.6. Defina "(µ, !, r, ρ, m) onde r > 0, ρ > 1 e m ∈ Z+ _{como o conjunto} dos pontos x ∈ M tal que se y ∈ Br1(x) para algum 0 < r1 ≤ r e f

m_(y) _∈ _B

r1(x) existe

0 ≤ m1 < m2 ≤ m, g ∈ U e z ∈ M tal que g = f sobre M −B"(f, x), gm2−m1(z) = z,

d(gn_{(z), f}n_(fm1)≤! para todo 0≤n≤m

2 −m1 e fm1 ∈Bρr1(x)

Observe que nesse caso pela propria deﬁni¸c˜ao de "(U, !) considerando m = m2

temos que fm1_(y) _∈ "₍_U_{, !). ´}_{E f´acil ver que} "_{(µ, !, r, ρ, m) ´e fechado. Com efeito, tome}

uma sequˆencia {xn_} _em "_{(µ, !, r, ρ, m) convergindo para} _x _∈ _{M. Devemos mostrar que}

x ∈ "(µ, !, r, ρ, m).Ent˜ao como x∈ "(µ, !, r, ρ, m) temos que para cadan ∈ N _{tal que: se}

yn _∈ _B rn

1(x) para algum 0 < r

n

1 ≤ r e fm(yn) ∈ Brn

1(x) existe 0 ≤ m

n

1 < mn2 ≤ m, gn ∈ U

e zn _∈ _M _{tal que} _g

n =f sobre M −B"(f, x), gm

n

2−mn1(zn) = zn, d(gj

n(z), fj(fm

n

1) ≤ ! para

todo 0 ≤ j ≤ mn

2 −mn1 e fm

n

1 ∈ B

ρrn

1(x).Perceba que todas as novas sequˆencia formadas,

exceto {gn} que est´a emU, est˜ao em compactos. Logo sem perda de generalidade podemos

supor que elas est˜ao convergindo. Ou seja, yn _→ _y,zn _→ _z, _rn

1 → r1,mn1 → m1, mn2 → m2.

Por outro lado podemos considerar que {gn}que est´a contido num compacto K⊂U. Como

gn=f sobreM−B"(f, x) pela convergencia das sequˆencias temosg =f sobreM−B"(f, x),

gm2−m1_{(z) =} _z, _d(gn_{(z), f}n_(fm1₎ ≤ _! _{para todo 0} ≤ _n ≤ _m

2 −m1 e fm1 ∈ Bρr1(x). Em

outras palavras x∈"(µ, !, r, ρ, m).

Definic¸˜ao 2.7.

(

(µ, !, r, ρ) = '

m≥0

(

(23)

Como "(µ, !, r, ρ, m) ´e fechado logo boreliano temos que "(µ, !, r, ρ) ´e boreliano

pois é a união enumerável de borelianos.

A prova da proposi¸c˜ao requer um tipo de Teorema de Recobrimento de Vitali sobre

certas parti¸cões do toro Ts₌_S1_×_{. . .}s₌_×_S1_{. Necessitando de algumas defini¸cões:} Definição 2.8. Dizemos que A⊂ Ts _{é um cubo se ele puder ser escrito como} _A₌_I

1. . . Is

onde cada Ii s˜ao intervalos de S1.

Definição 2.9. Dizemos que (p1, . . . , ps)é o centro do cubo A se pi é o ponto médio de Ii. Definição 2.10. O comprimento de um intervalo Ii é chamado de lado do cubo.

Definic¸˜ao 2.11. Dizemos que Pk

j ´e uma parti¸c˜ao de Ts com lado de comprimento 2πkj

Como cada lado possui tamanho 2π_kj ser˜ao necess´arios k

j _{´atomos da parti¸c˜ao} _Pk j,

para cobrir Ts

Definic¸˜ao 2.12. Seja k ∈ Z+_{. Ent˜}_{ao dizemos que} _Pk

1 ≤ Pk2 ≤ . . . é uma sequência de parti¸cões sobre Ts

Observe que para cada elementoQdePk

j podemos associar cubos ˆQ,Q˜concentricos

e de lados 2kπ

kj , 6kπ_kj respectivamente. Com esses ´atomos geraremos as seguintes parti¸c˜oes ˆP

k j

e ˜Pk_j para o toroTs_.

Definic¸˜ao 2.13. Seja x∈Ts_{. Dizemos que} _Pk

j(x) ´e o ´atomo de Pkj contendo x

Provaremos alguns lemas importantes para a prova da Proposi¸c˜ao principal do

cap´ıtulo. Mas para isso suponha M isometricamente imerso em Ts

Lema 2.14. Para cada medida de probabilidadeµ sobre os conjuntos borelianos de Ts_{, todo}

δ > 0 e todo inteiro ´ımpar k as seguintes inequa¸c˜oes s˜ao satisfeitas para todo j ≥ 1 : µ({x|µ(Pk

j(x))≥δµ( ˆPkj(x))})≥1−δks e µ({x|µ(Pkj(x))≥δµ( ˜Pkj(x))})≥1−δ3sks Prova 4. Seja {x1, . . . , xl}um conjunto de pontos que cada elemento está está em um único átomo de Pk

j logo l=kj. Seja

ˆ

S ={1≤i≤l|µ(P_jk(xi))< δµ( ˆPkj(xi))}. Ent˜ao

(24)

(

i∈S

µ(Pk_j(xi))< δ

(

i∈S

µ( ˆPk_j(xi))

≤δ

l

(

i=1

µ( ˆPk_j(xi))

=δ

l

(

i=1

ks_µ(_Pk

j(xi)) =δks.

Consequentemente,

1−µ({x|µ(Pk_j(x))< δµ( ˆPk_j(x))})≤1−δks ⇔

µ({x|µ(Pk_j(x))≥δµ( ˆPk_j(x))})≥1−δks_.

Usamos o fato de k ser ´ımpar, pois sendo assim temos que conjuntos Pˆk

j(xi), i = 1, . . . , l, cobre cada ´atomo dePk_j(xi))exatamenteksvezes. Isto prova a primeira desigualdade. Vamos provar a segunda desigualdade. Deﬁna

˜

S ={1≤i≤l|µ(P_jk(xi))< δµ( ˜Pkj(xi))}. Ent˜ao

µ({x|µ(Pk_j(x))< δµ( ˜Pk_j(x))}) =

(

i_∈S

µ(Pk_j(xi))< δ

(

i_∈S

µ( ˜Pk_j(xi))

≤ δ

l

(

i=1

µ(tildePk_j(xi))

=δ

l

(

i=1

3sksµ(Pk_j(xi)) = δks.

Consequentemente,

1−µ({x|µ(Pk_j(x))< δµ( ˜P_jk(x))})≤1−δ3sksks ⇔

µ({x|µ(Pk_j(x))≥δµ( ˜Pk_j(x))})≥1−δ3S_ks_.

(25)

Agora provaremos a proposi¸cão. Seja f ∈ Dif f(M), ! >0, uma vizinhan¸ca Ude f e uma medida ergódica µ∈ M seja dada. Extenda µ para uma medida sobre Ts _definindo

µ(A) = µ(A&M) para todo conjunto boreliano A de Ts_{. Pegue uma sequencia mon´}_otona

rn >0,ρn >1 convergindo para 0 e +∞respectivamente. Para cada par de inteiros n >0,

m > 0 podemos encontrar k = k(n, m) e j(n, m) tal que se j ≥ j(n, m) e x ∈ Ts _existem

0< r ≤rn satisfazendo (a) Pk_j(x)⊂Br(x) (b) Bρmr(r)(x)⊂Pˆ

k j(x)

Agora a nota¸c˜ao Bt(z) denota a bola aberta em Ts com raio t e centro z. N´os deveremos

sempre escolher k=k(n, m) ´ımpar pelo motivo mencionado na prova do lema anterior.

Definição 2.15. Seja δ > 0 denotamos ,0_δ(n, m) como o conjunto dos pontos x ∈ Ts _tal que para k =k(n, m) as inqua¸cões são µ(Pk

j(x))≥δµ( ˆPkj(x)) e µ(Pkj(x))≥δµ( ˜Pkj(x)) são satisfeitas para uma sequência ν(x) de infinitos valores de j

Definição 2.16. Defina ,_δ(n, m) ="(U, !, rn, ρm)

& ,0

δ(n, m).

Lema 2.17. Se x ∈ "(U, !, rn, ρm), j ≥ j(n, m), j ≥ j(n, m) k ≥ k(n, m) e µ(Pkj(x)) ≥

δµ( ˆPk

j(x))}) temos

µ( ˆPk_j(x)! ((U, !))≥δµ(Pk_j(x)).

Prova 5. Fa¸ca0< r ≤rn satisfazendo as propriedades (a) e (b). Queremos mostrar que que para qualquer par de inteiros0≤ii < i2 tal quefi1(y)efi2(y)pertencentes aPkj(x)⊂Br(x), existe i3, i1 ≤i3 ≤i3 tal que

fi3_(y)_∈_B

ρmr(x)

! (

(U, !)⊂Pˆk_j(x)! ((U, !).

Como

x∈((U, !, rn, ρm)

podemos aplica a vers˜ao forte do Closing lema da seguinte maneira: sejam w = fi1_(y) _e

fm_{(w) =} _fi2−i1(fi2(y)) = fi2−i1(w) pertencentes a ∈ _Pk

j(x) ⊂ Br(x) logo existe 0 ≤ m1 <

m2 ≤m e g ∈U tal que

fm1_(w)_∈_B

ρr(p), fm2(w)∈Bρr(p),

(26)

, g(θ) = f(θ) para θ /∈ B"(f, p) e d(gi(fm2(w)), fj(fm1(w))) ≤ ! para 0 ≤ j ≤ m2 −m1. Basta definir i3 = m1 +i1 que teremos também de forma imediata que fi3(y) ∈ "(U, !) e o resto do desejado. Esta propriedade mostrada agora será importante para estimar a cardinalidade dos seguintes conjuntos:

A =♯{1≤i≤l|fi_(y)_∈_Pˆk j(x)

! (

(U, !)}, B =♯{1≤i≤l|fi(y)∈Pk_j(x)}

Se ♯B = 2 isto ´e, B = {i1i2} ent˜ao pela propriedade mostrada existe i3 ∈ A logo

♯A≥♯B−1. Por racioc´ınio an´alogo, podemos aplicar o processo indutivo e obter que:

♯{1≤i≤l|fi_(y)_∈_P_ˆk j(x)

! (

(U, !)} ≥♯{1≤i≤l|fi_(y)_∈_Pk

j(x)} −1.

Antes de realizar a majora¸cão desejada pelo lema perceba que como µé uma medida ergódica então existe y∈M tal que :

lim

l_→∞

1

l♯{1≤i≤l|f

i_(y)_∈_Pˆk j(x)

! (

(U, !)}=µ( ˆPk_j(x)! ((U, !)) lim

l_→∞

1

l♯{1≤i≤l |f

i_(y)_∈_Pk

j(x)}=µ(P k j(x))

Ent˜ao

µ( ˆPk_j(x)! ((U, !)) = lim

l→∞

1

l♯{1≤i≤l|f

i

(y)∈Pˆk_j(x)! ((U, !)} ≥

lim

l→∞

1

l♯{1≤i≤l|f

i

(y)∈Pk_j(x)}=µ(Pk_j(x))≥δµ( ˆPk_j(x)).

Isto completa a prova do lema.

!

Definic¸˜ao 2.18. Denotamos por F a fam´ılia de conjuntosP(k)_j

i (x) com

x∈

-δ

(n, m)! ((U, !)c

(27)

Lema 2.19. Dada uma vizinhan¸ca de U de ,_δ(n, m)& "(U, !)c _{existe uma sequˆencia de}

xi ∈,_δ(n, m)& "(U, !)c, ji ∈ν(xi),i=1,2,3... tal que

• Os conjuntos Pˆ(k)_j

i (xi) ,i=1,2,3... s˜ao disjuntos e est˜ao contidos em U.

• µ(,_δ(n, m)& "(U, !)c₋$ iPˆ

(k)

ji (xi)) = 0

Prova 6. Por argumentos padr˜oes de medida podemos encontrar uma transla¸c˜ao τ : Ts _←₊ tal que

µ(τ('{∂Aˆ|A∈P(k)_j

i (xi), l ≥1, i≥1})) = 0

onde ∂Aˆdenota a fronteira de Aˆ.De fato se para toda transla¸c˜ao τ :Ts_←₊ _temos

i (xi), l ≥1, i≥1}))"= 0

Ent˜ao se consideramos o subconjunto de M dado por

V ='

τ

i (xi), l≥1, i≥1}))

temos que µ(V) = +∞ contrarindo que V ⊂M e µ(M) = 1. Ent˜ao podemos supor sem perda de generalidade, que:

µ('{∂Aˆ|A∈P(k)_j

i (xi), l ≥1, i≥1}) = 0.

Como j e k não são fixos podemos escollher uma sequência Ai ∈F 1. Aî ⊂U para todo 1≤i

2. µ( ˆAi

& _ˆ

Al) = 0 para todo 1≤l < i

3. Para todo l < i temos que diamAi =max{diamA|A∈ F,Aˆ⊂ U, µ( ˆAi&Aˆl) = 0 para todo 1≤l < i}

´

E f´acil ver que essa propriedade implica

lim

j→+∞diamAj = 0

Pois se limj_→+∞diamAj =L"= 0dado ! ent˜ao existiria j0 tal que diamAj > L−! logo podemos escolher j1j2 > j0 de modo queµ(Aj1

&

Aj2)"= 0contrariando a constru¸c˜ao da

fam´ılia.

(

i

µ(Ai) =µ(

'

i

(28)

pois

µ('

i

Ai) =µ((

'

i

Ai)

!

M)≤µ(M) = 1.

Aﬁrmamos que para qualquer N ≥1 temos

-δ

(n, m)! ((U,!)c ₋ N

'

i=1

ˆ Ai ⊂

'

i>N

˜ Ai.

Suponha que

x ∈

-δ

(n, m)! ((U,!)c−

N

'

i=1

ˆ Ai.

Ent˜ao existe A∈F com x∈A e

ˆ A! N ' i=1 ˆ Ai =∅.

fazendo N crescer temos que os cubos Aˆi v˜ao diminuido e exaurindo o subconjunto U de

,

δ(n, m)

& "

(U,!)c _ent˜_{ao existe um determinado momento,}_N

1 > N, em que

ˆ

A!Aˆi =∅ para todo 1≤i < N1 e

ˆ

A!AˆN1 "=∅.

Por outro lado como

ˆ A!(

N

'

i=1

ˆ Ai) =∅ temos

ˆ A⊂(

N

'

i=1

ˆ Ai)c

logo

ˆ

A!AˆN1 ⊂(

N

'

i=1

ˆ Ai)c

! _ˆ

AN1 = ˆAN1

implicando

ˆ

A ⊂AˆN1.

Portanto

diam( ˆA)≤diam( ˆAN1).

Temos tamb´em

x∈A⊂Aˆ⊂AˆN1 ⊂ '

i>N

ˆ Ai ⊂

'

i>N

(29)

completando assim a prova de

-δ

(n, m)! ((U,!)c ₋ N

'

i=1

ˆ Ai ⊂

'

i>N

˜ Ai.

Segue de

µ('{∂Aˆ|A∈P(k)_j

i (xi), l ≥1, i≥1}) = 0

. que

µ((

-δ

(n, m)! ((U,!)c)−

N

'

i=1

ˆ Ai) =

µ((

-δ

(n, m)! ((U,!)c₎₋ N

'

i=1

¯ ˆ_A)_i _≤ µ((

-δ

(n, m)! ((U,!)c₎_≤

µ('

i>N

˜ Ai)≤

(

i>N

µ( ˜Ai)≤δ−1

(

i>N

µ(Ai).

Por

(

i

µ(Ai) =µ(

'

i

Ai)≤1 o lema est´a provado.

!

Pelos dois ´ultimos lemas temos que

µ(U)≥(

i

µ( ˆP(k)_j_i (xi))≥

1 1−δ

(

i

µ( ˆP(k)_j_i (xi)

! (

(U,!)c) =

1 1−δµ(

'

i

ˆ

P(k)_j_i (xi)

! (

(U,!)c)≤ 1

1−δµ(

-δ

(n, m)! ((U,!)c).

A ´ultimas desigualdade segue do fato de que

ˆ

P(k)_j_i (xi)⊂U ⊂

-δ

(n, m)! ((U,!)c

Mas se

µ(

-δ

(n, m)! ((U,!)c)>0

podemos escolher U satisfazendo

µ(U)< 1 1−δµ(

-δ

(30)

contradizendo a ´ultima inequa¸c˜ao. Portanto

µ(

-δ

(n, m)! ((U,!)c) = 0.

Pelo primeiro lema aplicado ao conjunto µ(,0_δ(n, m) temos que µ(,0_δ(n, m))≥1−

δ(ks_{+ 3}s_ks_).

Além disso a partir da defini¸cão de ,_δ(n, m) podemos escrever

+_'∞

r=1

-1

r

(n, m) =

+_'∞

r=1

(((U,!, rn,ρm)

!_-0

1

r

(n, m)) =

(

(U,!, rn,ρm)

! ( +_'∞ r=1 0 -1 r

(n, m)) =((U,!, rn,ρm)mod(0),

onde mod(0) representa a menos de um conjunto de medida nula.Como mostramos acima

µ(((U,!)c!

-δ

(n, m)) = 0

para todo 0 <δ <1 temos que

(

(U,!)⊃

-δ

(n, m))mod(0)

para todo 0 <δ <1 logo

(

(U,!)⊃

1 ' δ=0 -δ (n, m))mod(0). ou seja, (

(U,!)⊃

+_'∞

r=1

-1

r

(n, m)⊃((U,!, rn,ρm)mod(0).

Como a propriedade ser´a satisfeita para todon >0, m >0 mas como

M = '

n≥0

'

m≥0

(

(µ,!, rn,ρm)

obteremos que

µ(((U,!)) = µ(M) = 1

(31)

Cap´ıtulo 3

Vers˜

ao Residual do Ergodic Closing

Lemma

Inicialmente teremos que introduzir uma topologia emM(f) para obter os resultados

desejados do cap´ıtulo.

Definição 3.1. Sejam µ ∈ M(f) um conjunto finito ! > 0 e F = {ϕ1, . . . ,ϕs} ⊂ C0(M) dados. Defina

Vϕ1,...,ϕs;" :={ν ∈M(f);|

.

ϕidνk−

.

ϕidµk |<!,∀i= 1, . . . , s}. Então a topologia fraca-∗ _{é definida estipulando que estes conjuntos} _V

ϕ1,...,ϕs;" para ! > 0 e

{ϕ1, . . . ,ϕs} vari´aveis constituem uma base de vizinhan¸ca de µ

Vamos agora caracterizar a convergˆencia nesse espa¸co.

Lema 3.2. Uma sequˆencia (µn)n_∈N em M(f) converge para uma medida µ em M(f) na topologia fraca-∗ _{se e somente se}

.

ϕdµk→

.

ϕdµ

para toda fun¸c˜ao cont´ınua ϕ :M →R_. Prova 7. (⇒)

Considere qualquer fun¸c˜ao continua ϕ e forme o conjunto F ={ϕ}. Como µn→µ temos que dado !>0 existe n0 tal que

µn∈Vϕ;"

(32)

para todo n > n0 logo

|

.

ϕdµk−

.

ϕdµ|<!

para todo

n > n0. Portanto _.

ϕdµk→

.

ϕdµ

.

(⇐)

Se / ϕdµk→

/

ϕdµ para toda fun¸c˜ao cont´ınua ϕ, ent˜ao dado ! e F ={ϕ1, . . . ,ϕs} temos para cada i∈ {i= 1, . . . , s} existe ni0 tal que

|

.

ϕidµk−

.

ϕidµ|<!

para todo n > ni0. Fazendo n0 =max{n10, . . . ns0} temos µn∈Vϕ1,...,ϕs;".

!

Lema 3.3. Seja f :M →M um difeomorfismo.Se para um x em um conjunto de probabili-dade total S temos que dado !>0 existe um ponto p=p(x) f-periódico que é !-sombreado porxentãoM(f)é o fecho convexo de medidas ergódicas suportadas em órbitasf-periódicas.

Prova 8. Relembramos que um conjunto convexo em M(f) é fechado sse é fechado na topologia fraca-∗_{. Devido ao Teorema da Decomposi¸cão Erg´}_odica _M_(f₎ _{é o fecho convexo}

de probabilidades f-ergódicas. Todo o trabalho será para mostrar que qualquer medida de probabilidade ergódica µ será o limite fraco-∗ _{de medidas suportadas em órbitas peri´}_odicas.

Portanto consideremos uma probabilidade f-ergódica µ. Suponhamos sem perda de general-idade que µ não é suportada numa órbita periódica. Para um ponto x∈M µ-t´ıpico temos:

• Teorema de Recorrência de Poincaré implica x é recorrente

• Pela vers˜ao forte do Ergodic Closing Lemma temos que x possui a propriedade de sombreamento

• Teorema Erg´odico de Birkhoff implica que

1 n

n−1

(

j=0

(33)

Vamos agora construir as medidas suportadas nas órbitas periódicas. Seja (nk) a sequência de tempos de primeiro retorno da órbita de x que voltam para B(x,αk), onde

α1 = 1 e αk+1 := d(f

αk(x),x)

2 para todo k ≥ 1. Portanto nk → +∞ quando k → +∞.Pela Versão Forte do Ergodic Closing Lemma escolha uma sequência de pontos periódicos (pk) de tal modo que cada pk é α₃k a órbita de x.

Em particular, o per´ıodo tk de pké de pelo menos nk (de outro modo a órbita de x retornaria a B(x,αk)ante de nk). Então para tk ≥ nk implica tk → +∞ quando k → +∞ e até termos uma sequência podemos supor que os tk’s são dinstintos. Defina µk como uma probabilidade ergódica suportada na órbita de (pk), ou seja,

µk :=

1 tk

t(k−1

j=0

δfj_(p k).

Mostraremos

µk→f raca₋∗ µ. De

1 n

n₋1

(

j=0

δfj_(x) →_{f raca}₋∗ µ temos que

νk =

1 tk

t(k−1

j=0

δfj_(x) →_{f raca}₋∗ µ

quando k → +∞. Sejam ! > 0 e {ϕ1, . . . ,ϕs} ⊂ C0(M) dados. Tudo o que precisamos veriﬁca ´e se existe k0 ∈N tal que νk pertence a vizinhan¸ca

Vϕ1,...,ϕs;" :={ν ∈M(f);|

.

ϕidνk−

.

ϕidµk |<!,∀i= 1, . . . , s}, para todo k ≥k0.

De fato, fa¸ca α > 0 tal que | ϕi(y)ϕi(z) |< ₂", ∀i = 1, . . . , s, ∀y, z ∈ M tal que

d(y, z)<α. Ent˜ao, fa¸ca k0 tal que αk< α₂, e

|

.

ϕidνk−

.

ϕidµ|<

!

2,

para todo k ≥k0, ∀i= 1, . . . , s. concluimos que

|

.

ϕidµk−

.

ϕidµ|≤|

.

ϕidνk−

.

ϕidµk |+|

.

ϕidνk−

.

(34)

1 tk

t(k−1

j=0

|ϕi(fj(x))−ϕi(fj(pk))|+

!

2 <!,

∀i= 1, . . . , s. A última desigualdade é devida a própria defini¸cão de integral. Com isso obtemos que µk∈Vϕ1,...,ϕs;", para todo k≥ k0. Portanto µk→f raca−∗ µ

!

Definição 3.4. Seja X _{um esta¸co topol´}_{ogico. Dizemos que} _R _⊂X _{é um conjunto residual} de X _{se ele puder ser escrito como interse¸cão enumer´}_{avel de abertos densos em} X_.

Teorema 3.5. Vers˜ao Residual do Ergodic Closing Lemma

Sejam M(f) o espa¸co das probabilidades f-invariantes e Dif f(M) o espa¸co dos difeomorfsmos sobre a variedade M com a topologia C1_{. Ent˜}_{ao existe um conjunto residual} R∈M(f)tal que para toda f ∈Rvale que M(f)é igual ao fecho convexo das probabilidades invariantes suportadas em órbitas periódicas.

Prova 9. Devido ao último lema se para alguma f e qualquer ponto q ∈ M que retorna suficientemente próximo de si mesmo, tem algum interado que é sombreado por um ponto

f-periódico, então para f, nós temos que M(f) é o fecho convexo de medidas ergódicas suportadas em órbitas periódicas. De fato, se isso ocorre, como na prova do teorema da Versão Forte do Closing Lemma segue que para qualquer!>0 o conjunto dos pontosx∈M

que s˜ao !-sombreadas por pontos f-peri´odicos de probabilidade total. Seja !>0 dado e seja

ˆ

B = B( ˆf ,ˆ!) para alguma bola em Dif f(M). Fixe m ∈ N_{. N˜}_{ao há perda de generalidade} generalidade em supor que todos os pontos periódicos def com per´ıodo atémsão hiperbólicos, como tais tipos de endomorfismos formam um subconjunto aberto e denso em Dif f(M). Também pegaremos!ˆsuficientemente pequeno tal que cada ponto periódicopg deg ∈Bˆ é uma continua¸cão anal´ıtica hiperbólica de um ponto periódico pf de f.Fazendo ˆ! suficientemente pequeno , podemos supor que d(fj_{(x), g}j_(x))_< "

3, para todox∈M e f, g∈B, j = 1, . . . , m. Agora pegue qualquer ponto x ∈ M e qualquer f ∈ Bˆ. Pelo lema na primeira parte do teorema A, existe r >0 tal que, sex, f(x)∈B(q, r), ent˜ao existe 0≤m1 ≤m2 ≤m tal que

fm1(x) ´e "

3-sombreado por um pontopg m1−m2-periódico para g-próxima em Bˆ. Devido a nossa escolha de Bˆ, f também tem um ponto pf cuja f-órbita a g-órbita de pg. Portanto, concluimos que fm1(x) é _!-sombreado por p

f. Agora Sm," é a união de todas as bolas Bˆ. Portanto S_{m,"é um aberto e denso de} _{Dif f}_(M₎_{. Seja uma sequência}_!_↓₀_{. ´}_{E claro que}

ˆ

S_:= ! m∈N

(35)

é um conjunto residual que para qualquer ! > 0, qualquer f ∈ , e qualquer q ∈ M que retorna suficientemente próximo de si mesmo, q possui algum iterado que é !-sombreado por algum ponto f-periódico. Isto implica que o conjunto dos pontos x∈M que são sombreados por pontos f-periódicos tem f-probabilidade total. Logo o resultado segue do último lema.

(36)

Cap´ıtulo 4

Apˆ

endices

4.1 Apˆ

endice A

Dissemos no cap´ıtulo 3 que a partir do Teorema Erg´odico de Birkhoff ter´ıamos:

νk=

1

n

n₋1

(

j=0

quando n →+∞.

Para tal precisamos mostrar um lema que garantir´a esse fato imediatamente.

Lema 4.1. As seguintes afirma¸cões são equivalentes: 1. M(f) possui um único elemento

2. existe µ∈M(f) tal que para toda aplica¸c˜ao ϕ:M →R _{cont´ınua e qualquer} _x_∈_M

lim

n_→+∞

1

n

n₋1

(

j=0

ϕ(fi(x)) =

.

ϕdµ

3. Para toda ϕ : M → R _cont´ınua, 1 n

"n−1

j=0 ϕ(fi(x)) converge pontualmente a uma con-stante

4. Para toda ϕ : M → R _cont´ınua, 1 n

"n₋1 j=0ϕ(f

i₍_x₎₎ _{converge uniformemente a uma}

constante

Prova 10. (4)⇒(3)Imediato

(3) ⇒ (2) Seja C0(M) o espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas de M em R_{. Deﬁna} _ξ _:

C0₍_M₎_→_R _por

ξ(ϕ) = lim

n_→+∞

1

n

n₋1

(

j=0

ϕ(fi(x))

(37)

para todox∈M. Afirmamos que essa aplica¸cão é um funcional linear positivo.A linearidade é imediata resta mostra que é positivo. Se ϕ≥0 então

ϕ(fi_(x))_≥₀

para todo i∈N _logo _ξ(ϕ)_≥₀_{. Consequentemente pelo Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz} existe uma ´unica probabilidade invariante µ tal que

.

ϕdµ=ξ(ϕ)

para toda ϕ∈C0(M). Al´em disso a medida µencontrada ´e invariante pois ξ(ϕ◦f) =ξ(ϕ).

(2) ⇒ (1) Suponhamos a exstˆencia de ν ∈ M(f). Sabemos pelo Teorema Erg´odico de Birkhoff que

lim

n→+∞

1 n

n−1

(

j=0

ϕ(fi_(x))

converge para ν-q.t.p para uma fun¸c˜ao ϕˆ tal que

.

ϕdν =

.

ˆ ϕdν.

Mas os fatos das m´edias convergirem pontualmente para a fun¸c˜ao constante igual a / ϕdµ

segue que / ϕdνˆ =/ ϕdµ. Como ν e µ integram fun¸cões cont´ınuas da mesma forma então são idênticas.

(1) ⇒ (4) Lembre-se qie a constante para qual a média de Birkhoff converge tem que ser / ϕdµ, onde µé a única probabilidade invariante de f. Suponha que (4) não valha então. então, existem ψ ∈ C0(M) e ! > 0 tais que para todo n0 ≥ 1 existem n ≥ n0 e xn tais que

| 1

n

n₋1

(

j=0

ψ(fi(xn))−

.

ψdµ|≥!.

Ou seja, exite uma subsequˆencia {nj}j e para cada j um ponto xnj tais que

| 1

nj n₍j−1

j=0

ψ(fi_(x nj))−

.

ψdµ|≥!.

Tomes as medidas µnj dadas por

µnj =

1 nj

nj−1

(

j=0

(38)

Para elas, temos

|

.

ψdµnj−

.

ψdµ|≥!.

Por causa da compacidade de M(f), existe uma uma subsequência de {nj}j (su-poremos que é a mesma, para facilitar a nota¸cão) tal que

µnj →µ∞

, onde µ_∞ =limj_→+∞n1j

"nj−1

j=0 δfi

xnj.Pela desigualdade acima µ"=µ∞. Como µ∞ ´e

invari-ante provamos que M(f)⊃ {µ, µ_∞} contrariando (1).

!

Observaremos que se µé ergódica então toda fun¸cão invariante ψ ∈C0_(M_{) é}

con-stante num concjunto de medida total.Com efeito,considerandoψ ∈C0(M)uma fun¸cão qual-quer invariante temos que a pré-imagem A =ψ−1_{(I) de qualquer intervalo} _{I(R) é um}

con-junto invariante pois

f−1(A) =f−1◦ψ−1(I) = (ψ◦f)−1(I) =ψ−1(I) = A.

Como µ é ergódica temos que temos que essa pré-imagem tem medida zero ou 1. Como o

intervalo I ´e arbitr´ario, isto prova que ψ constante num conjunto de probabilidade totalµ.

Comoµ´e erg´odica e por um argumento simples sabemos que limn→+∞n1

"n₋1

j=0 ϕ(fi(x))

´e invariante ent˜ao sabemos pelo argumento anterior que limn_→+∞n1

"n−1

j=0 ϕ(fi(x)) ´e costante

num conjunto de medida de medida total.Então a condi¸cão (3) do lema é satisfeita para um

conjunto de medida total. Logo

lim

n_→+∞

1 n

n₋1

(

j=0

ϕ(fi(x)) =

.

ϕdµ

para µ−q.t.p x∈M.

Sejam {ϕ1, ldots, ϕs} e ! >0 ent˜ao pela igualdade acima temos que existe ni0 para

todo i∈ {1, . . . , s} tal que

|

.

ϕidνk−

.

ϕidµ|!,

para todo n > ni0 onde

νk :=

1 n

n₋1

(

j=0

(39)

Portanto

νk=

1 n

n−1

(

j=0

quando n →+∞.

(40)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

[Castro] A. Castro, -A criterion of generic hyperbolicity based on periodic points, to appear.

[M] R. Ma˜n´e, -An Ergodic Closing Lemma Ann.of Math. , 116, (1982), 503-540.

[Pugh1] C. Pugh,C. Robinson -The C1 Closing Lemma, including Hamiltonians Ergodic Theory Dynam. Systems 3, (1983),2 61-313.

[Pugh2] C. Pugh, -The Closing Lemma , Amer. J. Math. , 89, (1967), 956-1009