ALDO ZANELLA JUNIOR EXPERIMENTAÇÕES PRÁTICAS E SIMULADAS DE CONTROLE PREDITIVO GENERALIZADO - GPC

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ALDO ZANELLA JUNIOR

EXPERIMENTAÇÕES PRÁTICAS E SIMULADAS DE CONTROLE PREDITIVO GENERALIZADO - GPC

Dissertação apresentada ao

Curso de Mestrado

Acadêmico em Engenharia Elétrica como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica.

Orientador: Dr. Antonio da Silva Silveira

Co-orientador: Dr. Ademir Nied

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Z28e Zanella Júnior, Aldo

Experimentações práticas e simuladas de controle preditivo generalizado – GPC / Aldo Zanella Júnior. – 2015.

119 p. : il. ; 21 cm

Orientador: Antonio da Silva Silveira Coorientador: Ademir Nied

Bibliografia: 91- 95 p.

Dissertação (mestrado) – Universidade do Estado de Santa Catarina, Centro de Ciências Tecnológicas, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Joinville, 2015.

1. Controle digital. 2. Controle preditivo. 3. GPC. 4. Controle estocástico. 5. Controle auto-ajustável . I. Silveira, Antonio da Silva. II. Nied, Ademir. III. Universidade do Estado de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica. IV. Título.

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AGRADECIMENTOS

Agradeço aos meus colegas de trabalho, amigos e demais colaboradores deste trabalho.

Agradeço aos professores da UDESC, em especial aos meus orientadores e professores do Mestrado Acadêmico.

Agradeço aos meus amigos Jussete e Marlon pelo apoio incondicional.

Agradeço especialmente à minha mulher Isabel e minha filha Sara pela dedicação e amor recebidos.

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RESUMO

ZANELLA Junior, Aldo. Experimentações Práticas e Simuladas de Controle Preditivo Generalizado - GPC. 2015. 119 f. Dissertação (Mestrado Acadêmico em Engenharia Elétrica – Área: Controle e Instrumentação) – Universidade do Estado de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Joinville, 2015.

Esta dissertação traz o relato do estudo realizado a fim de avaliar a aplicabilidade do controlador preditivo generalizado (GPC) em plantas diversas. O objetivo principal é analisar o desempenho do GPC em processos com diferentes características, analisando a influência dos seus parâmetros de sintonia. O estudo se justifica pelo fato de que o GPC apresenta-se como uma solução generalizada para diversos tipos de processos, os quais estão se tornando cada vez mais complexos e com maiores exigências para o controlador. A fim de comprovar essa proposta do GPC, realizou-se inúmeros ensaios com plantas com respostas e ordem diferentes, reais e simuladas, variando-se os parâmetros de sintonia do controlador e medindo-se alguns parâmetros de qualidade. Avaliou-se a influência dos parâmetros de sintonia e fez-se um relato das conclusões a que se chegou. Através dos resultados obtidos, mostra-se que o GPC corresponde ao que se propõe para as plantas testadas e apresenta resultados favoráveis.

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ABSTRACT

ZANELLA Junior, Aldo. Practical and Simulated Experimentations of Generalized Predictive Control - GPC. 2015. 119 f. Dissertação (Mestrado Acadêmico em Engenharia Elétrica – Área: Controle e Instrumentação) – Universidade do Estado de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Joinville, 2015.

This work introduces the report of performed studies in order to evaluate the applicability of generalized predictive control (GPC) to several plants. The main goal is to analyze the GPC performance in processes with different features, analyzing the influence of its tuning parameters. The study is justified by the fact that GPC presents itself as a generalized solution for several classes of processes, which are becoming increasingly complex and demanding for traditional controllers to handle. For the purpose to prove this proposal of GPC, it was performed several tests with plants of different orders and response characteristics, real and simulated, varying controller tuning parameters and measuring some quality indices. It was evaluated the influence of tuning parameters and it was made a report of conclusions that was reached. Through obtained results, it is shown that GPC satisfies the proposal and presents favorable results.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Diagrama de um sistema adaptativo ... 16

Figura 2 - Fluxograma do algoritmo desenvolvido ... 42

Figura 3 - Circuito RC de segunda ordem ... 43

Figura 4 - Resposta ao degrau do circuito RC ... 45

Figura 5 - Sinais do circuito RC de segunda ordem com N1 = 1, N2 = 10, NU = 3 e = 5,0 ... 47

Figura 8 - Fluxograma do algoritmo desenvolvido com inclusão do estimador MQR ... 50

Figura 9 - Sinais do circuito RC de segunda ordem com N1 = 1, N2 = 10, NU = 3, = 0,1 e MQR ... 51

Figura 10 - Sinais do circuito RC de segunda ordem com N1 = 1, N2 = 10, NU = 3, = 2,0 e MQR ... 52

Figura 11 - Visão geral da planta Festo® MPS-PA ... 53

Figura 12 - Detalhamento da bomba centrífuga e do sensor de vazão ... 54

Figura 13 - Resposta ao degrau do sistema de vazão .. 55

Figura 14 - Sinais do sistema de vazão com N1 = 1, N2 = 40, NU = 2 e = 1,0 ... 57

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Figura 18 - Detalhamento do sensor de nível ... 61 Figura 19 - Sinais do sistema de nível com N1 = 1, N2 =

100, NU = 10 e = 1,0 ... 65

Figura 20 - Sinais do sistema de nível com N1 = 1, N2 =

50, NU = 10 e = 1,0 ... 66

50, NU = 10 e = 0,1 ... 67

50, NU = 10 e = 5,0 ... 68

Figura 23 - Resposta ao degrau do PAM ... 69 Figura 24 - Sinais do PAM com N1 = 1, N2 = 20, NU = 5 e

= 1,0 ... 70

Figura 25 - Sinais do PAM com N1 = 1, N2 = 40, NU = 5 e

= 1,0 ... 72

Figura 26 - Sinais do PAM com N1 = 1, N2 = 20, NU = 5 e

= 0,1 ... 73

Figura 27 - Sinais da planta de fase não mínima com N1

= 1, N2 = 20, NU = 5 e = 1,0 ... 76

= 1, N2 = 10, NU = 7 e = 1,0 ... 77

= 1, N2 = 60, NU = 7 e = 1,0 ... 78

= 1, N2 = 60, NU = 7 e = 0,1 ... 79

Figura 31 - Resposta ao degrau do CSTR ... 81 Figura 32 - Sinais do CSTR com N1 = 1, N2 = 50, NU = 20

e = 1,0 ... 82

Figura 33 - Sinais do CSTR com N1 = 1, N2 = 20, NU = 10

e = 1,0 ... 82

Figura 34 - Sinais do CSTR com N1 = 1, N2 = 20, NU =

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Resultados do circuito RC de segunda ordem

variando-se NU ... 46

Tabela 2 - Resultados do circuito RC de segunda ordem variando-se N2 ... 47

Tabela 3 - Resultados do circuito RC de segunda ordem variando-se ... 49

Tabela 4 - Resultados do controle de vazão variando-se NU ... 56

Tabela 5 - Resultados do controle de vazão variando-se N2 ... 57

Tabela 6 - Resultados do controle de vazão variando-se ... 59

Tabela 7 - Resultados do controle de nível variando-se NU ... 64

Tabela 8 - Resultados do controle de nível variando-se N2 ... 65

Tabela 9 - Resultados do controle de nível variando-se ... 67

Tabela 10 - Resultados do PAM variando-se NU ... 70

Tabela 11 - Resultados do PAM variando-se N2 ... 71

Tabela 12 - Resultados do PAM variando-se ... 73

Tabela 13 - Resultados do sistema de fase não mínima variando-se NU ... 75

Tabela 14 - Resultados do sistema de fase não mínima variando-se N2 ... 77

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LISTA DE SÍMBOLOS E SIGLAS

MPC Model Predictive Control

GPC Generalized Predictive Control

PID Proporcional Integral Derivativo MQR Mínimos Quadrados Recursivos DMC Dynamic Matrix Control

y Saída da planta

k Instante de tempo discreto i, j Índices numéricos inteiros

Operador de diferença de tempo discreto u Sinal de entrada (controle)

Saída predita

f Vetor de informações conhecidas da planta ym Saída medida da planta

N2 Horizonte máximo de predição do GPC NU Horizonte de controle do GPC

G, G1 Matrizes de controle

gi Coeficientes das matrizes de controle Vetor de saídas preditas

U Vetor de ações de controle J Função custo

w Vetor de referências futuras

Fator de ponderação de sinal de controle MIMO Multiple Inputs Multiple Outputs

GMV Generalized Minimum Variance

CARIMA Controlled Autoregressive Integrated Moving Average

A, B, C Polinômios dos modelos de plantas z-1 Operador de atraso de tempo discreto d Atraso de transporte discreto da planta

Sinal de ruído gaussiano

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E, F Polinômios para resolução da Equação de Diophantine

N1 Horizonte mínimo de predição do GPC Ã Polinômio A estendido

R, S Polinômios E e F atrasados uma amostra R Diferença entre R e E

ri, si, fi Coeficientes dos polinômios R, S e F e Valor ou vetor de erro entre a saída e a

referência

SISO Single Input Single Output

Operador esperança matemática U Vetor de degraus de ações de controle In Matriz identidade de ordem "n"

K Matriz de ganho de realimentação do GPC Varerro Variância média do erro da saída da planta SS Sobressinal

tsubida Tempo de subida nit Número de iterações RC Resistivo-capacitivo PWM Pulse Width Modulation

ZOH Zero-order Hold

s Operador de Laplace V/ t Taxa de subida PAM Pêndulo Amortecido

CSTR ContinuallyStirred Tank Reactor

x1, x2 Estados físicos do CSTR TS Período de amostragem Da Número de Damköhler

Energia de ativação do CSTR BR Calor de reação do CSTR

Coeficiente de transferência de calor do CSTR

LQG Linear Quadratic Gaussian

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ... 14

1.1 JUSTIFICATIVA ... 18

1.2 OBJETIVOS ... 18

1.3 MATERIAIS E MÉTODOS ... 19

1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ... 20

2 CONTROLE PREDITIVO ... 21

3 O CONTROLADOR GPC ... 26

3.1 ESTRUTURA BÁSICA DE UM CONTROLADOR GPC ... 27

3.2 A EQUAÇÃO DE DIOPHANTINE DO GPC ... 29

3.3 A LEI DE CONTROLE PREDITIVA ... 33

3.4 ESCOLHA DOS HORIZONTES ... 38

4 RESULTADOS PRÁTICOS ... 41

4.1 CIRCUITO RC DE SEGUNDA ORDEM ... 43

4.2 CONTROLE DE VAZÃO ... 52

4.3 CONTROLE DE NÍVEL ... 60

4.4 PÊNDULO AMORTECIDO ... 68

4.5 SISTEMA INSTÁVEL DE FASE NÃO MÍNIMA ... 74

4.6 SISTEMA NÃO LINEAR CSTR ... 79

5 RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 84

6 CONCLUSÃO ... 88

REFERÊNCIAS ... 91

APÊNDICE A - ALGORITMO DE CONTROLE DO CIRCUITO RC ... 96

APÊNDICE B - ALGORITMO DE IDENTIFICAÇÃO APLICADO AO CIRCUITO RC ... 100

APÊNDICE C - ALGORITMO DE CONTROLE DO CIRCUITO RC COM IDENTIFICAÇÃO POR MQR ... 101

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1 INTRODUÇÃO

A área de controle de processos teve sua importância ressaltada a partir da década de setenta principalmente com a expansão da industrialização e o advento da eletrônica de baixo custo. Clarke (1988, p. 49) ressalta a importância dos microprocessadores na ampliação de uso de novas técnicas de controle.

A década de 90 e a virada do milênio trouxeram um novo sentido à teoria de controle com a popularização da informática e a disponibilidade de controladores e processadores de alto desempenho, que trouxe o controle digital como foco de projetistas.

Åstrom et al (1977, p. 471) destacam esta inovação para o projeto de controladores na década de 70, mas, como justificam Yamamoto, Inoue e Shah (1999, p. 125), o rápido progresso dos computadores trouxe muitas propostas de controle que permitem operações numéricas consideravelmente grandes, a fim de melhorar o desempenho dos controladores.

Dentre as várias teorias de controle e técnicas de projeto que foram desenvolvidas nas últimas décadas, destaca-se o controle preditivo, que consiste em determinar uma lei de controle baseada nos sinais conhecidos da planta e nos sinais futuros ainda não disponíveis, utilizando métodos de predição.

A chamada família dos controladores preditivos baseados em modelo (MPC, do inglês Model Predictive

Control) engloba um conjunto de técnicas de controle

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papel e celulose, entre outras (Qin; Badgwell, 2003, p. 733).

As técnicas mais comuns de controladores preditivos geralmente são propostas para atender a necessidades específicas, de forma que não podem ser consideradas de aplicação geral.

O controlador preditivo generalizado (GPC, do inglês Generalized Predictive Control) proposto por Clarke, Mohtadi e Tuffs (1987a), traz como principal diferencial a capacidade de ser adaptado para plantas com diferentes características, tais como as plantas não-lineares, instáveis, de fase não-mínima, de ordem elevada e com atraso de transporte.

Os estudos realizados por Clarke (1988, p. 49), Clarke e Mohtadi (1989, p. 873), Ho et al. (1999, pp. 43-44), Huang, Tan e Lee (1999, p. 363) e Neshasteriz, Sedigh e Sadjadian (2010, p. 63) reforçam a grande variedade de plantas com características diferenciadas que podem ser controladas com um GPC.

De uma forma geral, o GPC tem a característica de predizer mudanças futuras nas variáveis controladas usando o conhecimento atual que possui da planta e a resposta a futuras ações ótimas de controle (Clarke, 1988, p. 49). Essas ações futuras de controle são determinadas a partir da minimização de uma função de custo baseada nos erros futuros e entradas de controle passadas (Zhang et al., 2013, p. 321).

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Dentre os controladores tradicionais, o mais conhecido é o Proporcional Integral Derivativo (PID), formado pela combinação dessas ações, as quais são associados parâmetros de sintonia que definem a influência de cada ação. Esta técnica permite que uma planta com modelo matemático linear e invariante no tempo seja controlada com eficácia.

Porém, em processos físicos, é comum que os modelos matemáticos não sejam lineares ou os sejam apenas em uma determinada região de operação. Outrossim, estes modelos podem variar com o tempo, devido a alterações nas características da planta (por desgaste ou alterações de composição), a perturbações ou a variação dos parâmetros. Logo, controladores cuja estrutura é rígida não atenderão mais aos requisitos de desempenho, necessitando ter seus parâmetros de controle reajustados continuamente (Huang; Tan; Lee, 1999, p. 362).

Nestes casos, uma possível solução é utilizar controladores adaptativos, que possuem a característica de ter parâmetros ajustáveis e um mecanismo de ajuste desses parâmetros (Åström; Wittenmark, 2008, p. 1). Na Figura 1 apresenta-se um diagrama de blocos genérico de controladores adaptativos.

Figura 1 - Diagrama de um sistema adaptativo

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Os parâmetros do controlador são ajustados de acordo com uma regra pré-determinada, a partir da leitura dos sinais de entrada e saída da planta. São os chamados controladores self-tuning, que modificam seus parâmetros automaticamente a cada período de amostragem, a fim de compensar as variações ocorridas no processo ou no meio ambiente (Coelho; Coelho, 2004, p. 38).

No entanto, as técnicas de controle self-tuning que se difundiram ao longo das décadas de 1980 e 1990 foram desenvolvidas a fim de atender situações específicas, não podendo ser considerados como uma solução para aplicações gerais (Clarke; Mohtadi; Tuffs, 1987a, p. 137).

Plantas de fase não-mínima, por exemplo, podem ser controladas por um controlador self-tuning

tradicional, porém se a planta apresentar tempo morto desconhecido ou variável, o controlador não atenderá aos requisitos. Da mesma forma, se a planta apresentar polos de malha aberta instáveis, o controlador pode ter dificuldade de levar a saída ao valor desejado.

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Com o passar dos anos, surgiram outras estruturas de controladores que são considerados de aplicação geral, da mesma forma que o GPC.

1.1 JUSTIFICATIVA

Esse estudo justifica-se pelo fato de que os requisitos de desempenho de plantas industriais tornam-se cada vez mais exigentes, mediante a redução dos tempos de processo, novas técnicas de tratamento de materiais, exigências quanto à qualidade dos produtos e aumento da automação nos processos. Frente a essas mudanças, os controladores devem atender a uma gama maior de processos, atendendo aos requisitos de desempenho e tratamento de perturbações.

Mediante esse contexto, propõe-se um levantamento das possibilidades de aplicação do controlador GPC, bem como as informações pertinentes ao projeto do controlador, parâmetros de sintonia e requisitos de desempenho obtidos com testes físicos e simulados.

1.2 OBJETIVOS

Diante do exposto, desenvolveu-se este estudo cujo principal objetivo é observar o comportamento do controlador GPC no controle de plantas diversas, avaliando seu desempenho mediante diferentes características que essas plantas apresentam.

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1.3 MATERIAIS E MÉTODOS

A fim de atingir os objetivos, fez-se uma análise detalhada da estrutura generalizada do controlador GPC, a fim de desenvolver um algoritmo o mais simples possível e que fosse capaz de controlar as plantas em questão. A análise foi baseada no texto original de Clarke, Mohtadi e Tuffs (1987a) e em outros trabalhos desenvolvidos a partir desse.

Para desenvolver o algoritmo, foi utilizado o

software Matlab®, devido este apresentar vastos

recursos computacionais e permitir o interfaceamento com as plantas físicas utilizadas através de dispositivos de aquisição de dados. Depois de desenvolvidas várias versões do algoritmo, com base nas diferentes possibilidades, como o uso de modelos conhecidos de planta ou identificação de modelos a partir de métodos recursivos, como o dos mínimos quadrados recursivos (MQR), realizou-se testes do algoritmo final em plantas reais e simuladas.

Durante os testes foram variados os parâmetros de sintonia do controlador, a fim de verificar o comportamento do sistema em malha fechada e a influência de cada um desses parâmetros separadamente. Inicialmente realizou-se os testes em plantas físicas a fim de avaliar o desempenho do controlador GPC, para depois realizar-se os mesmos testes em plantas simuladas.

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1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

Para demonstrar o desempenho e apresentar os resultados do controlador GPC frente a essas plantas com características diversas, o Capítulo 2 deste trabalho traz uma breve contextualização sobre controladores preditivos. Segue-se então no Capítulo 3 a descrição mais detalhada do controlador estudado, o GPC, com suas equações, características e método de ajuste.

No Capítulo 4 são apresentados os resultados dos testes e simulações feitas, bem como as especificidades de cada planta do ponto de vista prático. São apresentados os valores de parâmetros de teste encontrados para cada ensaio, bem como são apresentados algumas curvas de resposta, com os respectivos comentários.

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2 CONTROLE PREDITIVO

Um dos primeiros controladores preditivos foi desenvolvido no final da década de 70 e é conhecido como controlador de matriz dinâmica (DMC, do inglês

dynamic matrix control), proposto por Cutler e Ramaker

(1979). Até hoje o controlador DMC é utilizado em plantas com grande número de variáveis e com restrições, como na indústria petroquímica.

O DMC deu origem à família de controladores MPC, que buscam controlar o comportamento futuro de um processo a partir de um modelo explícito de planta. A cada período de amostragem é calculada uma sequência de ações de controle a fim de otimizar algum aspecto do comportamento da planta. A primeira ação de controle é aplicada à planta e as demais são recalculadas no próximo período de amostragem (Zhao et al., 2003, p. 41).

Praticamente todos os controladores MPC possuem a mesma sequência de operação: criar um banco de predições das saídas em alguns instantes futuros através de um modelo de planta, calcular uma sequência de controle que minimize a função custo e aplicar o primeiro sinal de controle calculado a cada período de amostragem à planta (Camacho; Bordons, 1999, p. 1). O que os difere é a representação do modelo de predição e a forma como o erro de predição é tratado.

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predição costuma ser a pedra angular do controle preditivo.

Os aspectos que levaram os controladores da família MPC a serem tão utilizados e difundidos nas últimas décadas são: incorporação do modelo de planta na computação do controle, o que permite que o controlador incorpore as características do sistema na determinação das ações de controle; característica preditiva, que considera o comportamento futuro da planta, antecipando possíveis desvios e perturbações; os dados do sistema fazem parte da dinâmica do controlador, o que garante que as restrições de controle sejam tratadas como parte do processo em malha fechada, minimizando o risco de violações (Zhao et al., 2003, p. 41).

O DMC, controlador que deu origem ao GPC, utiliza um modelo de predição não paramétrico baseado nos coeficientes da resposta ao degrau da planta, conforme Equação (1).

(1)

Considerando que as perturbações são constantes, os valores preditos da saída da planta serão dados pela sequência:

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Na Equação (2), f(k+j) representa a resposta livre da planta, que não depende das ações de controle futuras, e é dada por:

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Esta expressão considera que para algum valor finito de N2, os coeficientes gi tendem a uma constante, logo f(k+j) tende ao valor da saída medida ym, ou seja, um processo assintoticamente estável. Se isso não acontecer, f(k+j) não pode ser determinado, inviabilizando o controle. Em suma, o controlador DMC não pode ser aplicado a sistemas instáveis.

Aplicando-se as predições ao longo do horizonte de predição N2, chega-se a um conjunto de predições considerando NU ações de controle, através das quais se obtém a matriz dinâmica de controle:

! ! " !

# #$

! ! " !

$ $ # %

& & & & '

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O conjunto de saídas preditas pode ser descrito na forma matricial:

(25)

O objetivo do DMC é levar a saída tão próxima quanto possível do valor de referência, manipulando as variáveis de entrada de forma a minimizar os erros futuros. Assim, as variáveis manipuladas são selecionadas para minimizar uma função custo conforme descrita pela Equação (6), que busca a minimização dos erros futuros da saída da planta (Camacho; Bordons, 1999, p. 36):

(6)

A lei de controle que minimiza os erros futuros, em sua forma vetorial, é dada por:

!" _! _# $ _!" ₍₇₎

Na verdade, U representa um vetor de ações futuras de controle a partir do instante atual. Assim, apenas o primeiro elemento do vetor é aplicado à planta. No próximo período de amostragem, a saída predita é recalculada, sendo montada nova matriz dinâmica e novo vetor de ações de controle.

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As principais aplicações do DMC estão nos sistemas de múltiplas entradas e múltiplas saídas (MIMO, do inglês Multiple Inputs Multiple Outputs) com restrições nas variáveis manipuladas (Camacho; Bordons, 1999, p. 36). A aplicação do primeiro elemento do vetor U com o descarte dos demais elementos caracteriza o método conhecido como horizonte retrocedente (receding horizon), característica comum aos controladores MPC.

De uma maneira geral, a proposta de um controlador preditivo é estimar o comportamento futuro da planta em resposta a um sinal de referência conhecido, de forma a determinar um conjunto de ações de controle que garanta o rastreamento assintótico da referência.

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3 O CONTROLADOR GPC

O controlador preditivo generalizado, proposto por Clarke, Mohtadi e Tuffs (1987a), é similar aos demais controladores MPC desenvolvidos na época, porém diferenciava-se daqueles por ser um método que pode ser aplicado a diversos tipos de processos, com características diversas. Hoje há outros controladores que possuem a mesma característica generalizada, mesmo assim o DMC original de Cutler e Ramaker (1979) ainda é utilizado, bem como variações deste.

O GPC é baseado no DMC de Cutler e Ramaker (1979), porém traz características do Controlador de Variância Mínima Generalizado (GMV, do inglês

Generalized Minimum Variance) de Clarke e Gawthrop

(1975), como a rejeição ao ruído baseada no conceito de variância mínima.

O GPC agrega a característica do método

receding horizon, que prevê o cálculo da lei de controle

alguns passos à frente, sendo que somente o primeiro passo será aplicado à planta e os demais descartados e recalculados no próximo período de amostragem. Como já visto, o controlador DMC, predecessor do GPC, atua apenas em sistemas estáveis em malha aberta, devido ao fato de seu modelo de predição ser baseado na resposta ao degrau. O GPC, em contrapartida, assim como o GMV, pode ser utilizado em plantas instáveis.

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3.1 ESTRUTURA BÁSICA DE UM CONTROLADOR GPC

A fim de explicar a estrutura do controlador GPC, foi utilizado um modelo de planta auto-regressivo integral controlado de média móvel (CARIMA, do inglês

Controlled Autoregressive Integrated Moving Average)

(Coelho; Coelho, 2004, pp. 57), descrito por:

+ ,$ ,$- . ,$ / ,

$

0 (8)

Na Equação (8), z-1 representa o operador de atraso de tempo discreto, d representa o atraso de transporte discreto da planta, é o operador de diferença no domínio discreto, por definição 1 2$ ,

e os polinômios A(z-1), B(z-1) e C(z-1) são descritos conforme segue:

+ ,$ 1 3 ,$ 3 ,$ 345 ,

$45 (9)

. ,$ 67 6 ,$ 6 ,$ 648 ,

$48 (10)

/ ,$ 1 9 ,$ 9 ,$ 9₄_: ,$4: (11)

(29)

A fim de estruturar o controlador GPC, utiliza-se a Equação de Diophantine, incluindo os polinômios Ej e Fj, que incorporam os elementos de projeto a serem aplicados no cálculo da lei de controle:

% &$ ' &$ &$ ( &$ (12)

Os polinômios Ej tem grau j-1 e os polinômios Fj tem grau na.

Multiplicando-se o modelo de planta pelo termo

)* +$ +*, aplicando-se a identidade da Equação (12) e considerando-se o modelo CARIMA com d = 1, chega-se a Equação (13), que representa a saída da planta j passos à frente (Camacho; Bordons, 1999, p. 53):

( &$ % &$ , &$

% &$ - (13)

Considerando que todos os componentes do ruído encontram-se no futuro (Clarke; Mohtadi; Tuffs, 1987a, p. 139), a equação que descreve a saída predita j passos à frente é dada por:

! &$ ( &$ (14)

onde:

(30)

A identidade dada pela Equação (16), extraída da aplicação da Equação (15) à Equação (12), representa a resposta ao degrau da planta tomando-se os j primeiros termos.

,$ . ,$ ;1 ,$ < ,$ =

+ ,$ (16)

A Equação (16) tem similaridade com a matriz G

do controlador DMC, proposto por Cutler e Ramaker (1979). Clarke, Mohtadi e Tuffs (1987a, pp. 137-138) fazem referência aos métodos utilizados anteriormente, mais especificamente o DMC e o GMV. O GPC é claramente derivado do DMC, pois a estrutura básica é a mesma. Porém, traz do GMV a ideia de filtragem de ruído com o conceito de variância mínima, presente na própria estrutura do controlador.

Assim como no DMC, o GPC estipula um conjunto de predições para cada período de amostragem j, considerando-se um horizonte de predição, desde um instante inicial N1 até um instante máximo N2.

3.2 A EQUAÇÃO DE DIOPHANTINE DO GPC

Para implementar a predição de horizonte estendido, a cada amostra j é criado um conjunto de predições. Assim, determina-se os polinômios Ej e Fj para todo o horizonte de predição, o que pode ser bastante difícil executar em tempo real, devido ao número de operações, acarretando num alto custo computacional.

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método de Clarke, Mohtadi e Tuffs (1987a) e descrito também por Camacho e Bordons (1999). Inicialmente definem-se as seguintes identidades a fim de facilitar a análise:

.

% % (17)

( ( (18)

.

Define-se também o polinômio ' estendido: .

'/ ' (19)

.

Aplicando-se as identidades (17) a (19) na Equação (12), chega-se a seguinte identidade:

% '/ &$ ( (20)

.

Os polinômios Ej+1 e Fj+1, atrasados um período de amostragem no tempo, são dados por:

0 %₁ (21)

2 (₁ (22)

.

Aplicando-se as definições das Equações (19), (21) e (22) na Equação (12), chega-se a outra identidade:

(32)

1 > +? ,$ _@ ₍₂₃₎

Subtraindo a Equação (23) da Equação (20), obtém-se a seguinte identidade:

+? > A ,$ _,$ _{@ <} ₍₂₄₎

O polinômio B C tem grau j, podendo ser dividido em duas partes, um polinômio composto pelos elementos de R e E, além de um termo que é adicionado pelo deslocamento de E um passo à frente, conforme Equação (25):

> A >? D ,$ ₍₂₅₎

Substituindo-se (25) em (24) e ordenando-se os termos, tem-se:

+? >? ,$ _,$ _{@ < +? D} ₍₂₆₎

Para que a identidade da Equação (26) seja verdadeira, é necessário que ambos termos sejam nulos. Como Ã não pode ser nulo, define-se BE , o que implica que os polinômios E e R serão idênticos, apenas diferenciados pelo termo independente de ordem j. Assim, os polinômios Ej podem ser calculados recursivamente com auxílio da equação:

(33)

Igualando-se o segundo termo da Equação (26) a zero e isolando-se o polinômio S,obtém-se:

2 & 3( '/ 4 5 (28)

A fim de que a identidade em (28) seja satisfeita, considerando que Ã é um polinômio mônico, chega-se a seguinte igualdade:

4 6 (29)

.

Com base na igualdade da Equação (28), pode-se calcular os elementos dos polinômios Fj a partir de: .

7 1 891 4 (30)

Os polinômios G, que ponderam os degraus de controle, podem ser calculados também recursivamente a partir da expressão:

.

!1 &$ ! &$ 4 &$ , &$ (31)

Utilizando-se a Equação de Diophantine, Equação (12), para a primeira predição, ou seja, j = 1, tem-se que:

% (32)

(34)

. (34) A partir dos primeiros polinômios E1, F1 e G1, calculam-se os demais até o horizonte máximo N2, recursivamente, utilizando as equações (27), (30) e (31). 3.3 A LEI DE CONTROLE PREDITIVA

A lei de controle preditiva tem o objetivo de levar a saída a ser tão próxima quanto possível do valor dado por uma sequência futura de referência w(k+j), conhecida a priori. O método utilizado para obter essa proximidade é chamado de receding horizon, como visto anteriormente. Basicamente o método consiste em quatro etapas:

• Calcula-se a sequência de referência w(k+j), que pode ser constante ou descrita como uma combinação linear a fim de se obter uma aproximação suave da saída, conforme o algoritmo proposto por Richalet et al. (1978); • Utiliza-se o modelo de predição a fim de

determinar um conjunto de saídas preditas FG H IJH com os correspondentes erros de predição, conforme Equação (35);

K L G J (35)

(35)

como horizonte de controle NU. Mais adiante será descrito como esse horizonte pode ser determinado;

• O primeiro elemento do conjunto de ações futuras

de controle é aplicado na planta, sendo que os demais elementos ficam disponíveis e podem ser recalculados para os próximos passos do controle.

A função quadrática para o caso de única entrada

e única saída (SISO, do inglês Single Input Single

Output) utilizada para determinar as ações de controle é

dada pela Equação (36).

: ; : ; :< = > ?

@

(36)

onde representa o operador esperança matemática. Esse funcional representa a projeção de vários GMVs no presente e no futuro, como uma simulação do

comportamento do sistema j passos a frente,

recalculados a cada período de amostragem. Assim, o controlador é capaz de antever um possível caminho para a saída predita, mesmo que isso não aconteça exatamente como previsto, já que as projeções futuras servem apenas como informação para a ação de controle atual, que será efetivamente aplicada à planta.

O termo (j) representa a sequência de pesos que

(36)

Utilizando a expressão para as saídas futuras e utilizando o atraso unitário, chega-se a:

1 < A 0 1

M 1 < A 0 M

!

N N 1 < A

0 N

(37)

A saída futura y(k+j), onde j varia desde 1 até o

horizonte N2, depende das ações de controle futuras, da

saída atual filtrada pelo polinômio Fj e do sinal de ruído futuro filtrado pelo polinômio Ej. A parcela do ruído pode ser desconsiderada visto que as ações de controle são tratadas como em malha aberta na etapa de predição do erro. Considerando f(k+j) a parte de y(k+j) composta pelos sinais conhecidos até o instante k, tem-se:

1 O ,$

7P <

M , O ,$ _,$ ₇_P

<

!

Q ,$ _,$

$

7

R <

(38)

onde: S

,$ ₇ _,$ ₍₃₉₎

(37)

A saída predita pode ser descrita na forma matricial:

.

AB ! / (40)

.

Onde _CD, _E/ e f são vetores que representam, respectivamente, os conjuntos de saídas preditas, de degraus de ações de controle futuras e dos sinais conhecidos filtrados pelos polinômios Fj. G é a matriz dinâmica do controlador, similar à matriz dinâmica do DMC.

Os primeiros j termos da matriz G, de ordem N2 x

N2, são os parâmetros da resposta ao degrau da planta,

e é dada por:

F G

H6 I J I

H H6 J I

K K L K

HM $ HM $ J H6

N. (41)_.

Se o atraso da planta for maior que 1, as primeiras

d-1 colunas de G serão nulas, o que resulta no aumento

da ordem de G. Porém, se N1 for escolhido igual ao valor

do atraso d, reduz-se a ordem de G visto que a predição

é realizada a partir do horizonte de predição inicial N1. Considerando-se a sequência de referência futura:

O J : " ₍₄₂₎

A minimização da função custo, dada pela Equação (36), para valores positivos de , em relação a

(38)

*? T L (43)

A matriz K na Equação (43) é o ganho de realimentação do GPC e é dado por:

T U _{V W} $ U ₍₄₄₎

O primeiro elemento de _X? é u(k) = u(k) - u(k-1), que é o sinal de controle que deve ser aplicado à planta:

1 YU _L ₍₄₅₎

onde T_{é a primeira linha da matriz}_K_.

Se a referência for constante, ou seja w(k+j) = w,

o integrador presente no controlador garante o perfeito rastreamento de referência em processos do tipo 0.

Segundo o conceito do método receding horizon, os

demais elementos do vetor são desprezados, sendo utilizados apenas para determinação do conjunto de ações futuras com base no comportamento predito da planta.

(39)

Fazendo-se z = 1, é possível fazer a análise do comportamento estático da Equação de Diophantine, dada pela Equação (12), que se torna:

% ' ( (46)

Como (1) = 0, então _P_* . Definindo-se o

polinômio: .

( &$ _{% &}$ _{' &}$ ₍₄₇₎

.

e sabendo-se que _{Q R S} _P_* ₊$ _{T R} é um sinal

cujo valor médio é igual ao do próprio _{T R} , chega-se à

igualdade:

( &$ _{( &}$ ₍₄₈₎

.

Esta igualdade mostra que se y(k) tender a uma constante, então y(k) = 0 e f(k+j) é igual à saída.

.

3.4 ESCOLHA DOS HORIZONTES .

(40)

instabilidade, comportamento indesejado, sobressinal excessivo e outros problemas.

O horizonte mínimo N1 deve ser escolhido igual ao

tempo morto da planta, já que a predição deve acontecer a partir do momento em que a saída reage à excitação do sinal de entrada.

O horizonte máximo, segundo Clarke, Mohtadi e Tuffs (1987a), deve ser escolhido do mesmo valor do tempo de subida da resposta livre da planta, a fim de englobar o comportamento dinâmico da mesma. A escolha de um horizonte maior reduz a variância da saída generalizada, pois aumenta a quantidade de informação que se tem sobre o comportamento futuro da planta. Por outro lado, gera maior esforço computacional,

devido ao aumento da matriz G, que tem dimensão N2 x

N2 quando o horizonte de controle for igual ao de predição.

A escolha de um horizonte de controle menor que o de predição pode ser uma vantagem exatamente no esforço computacional. Como o controlador GPC pode ser do tipo self-tuning, a cada período de amostragem

deve ser realizada a inversão da matriz _Z[ _{Z \ ]} , o

que pode acarretar alto custo computacional, inviabilizando o uso desse controlador em malhas de dinâmica rápida. Além disso, se for escolhido errado o atraso de transporte da planta para N1, GTG torna-se singular e poderia ser necessário utilizar um alto valor de

para efetivar a ação de controle.

Há uma suposição, derivada do DMC, de que para algum NU < N2, o incremento das ações de controle torna-se nulo, pois não produz mais alterações na saída da planta, ou seja:

(41)

Dessa forma, o uso de um horizonte de controle maior não implicará em resultado efetivo, enquanto que o custo computacional é maior. A redução do tempo

computacional ocorre porque tem dimensão NU e a

matriz G na equação do preditor se reduz à dimensão N2

x NU, tal que:

AB ! / (50)

A matriz G1 é dada pela Equação (51):

!

U V V V V

W 6 I₆ J_J I_I

K K J K

K K L ₆

K K J K

$ $ J $ X

Y Y Y Y Z

(51)

Assim, quando G1 for multiplicada pela sua

transposta, a dimensão resultante será NU x NU,

(42)

4 RESULTADOS PRÁTICOS

O principal objetivo deste estudo foi testar as potencialidades do GPC no controle de plantas com características diversas. Assim, para validar o estudo, o controlador foi aplicado a diversas plantas com características diferentes, tanto reais quanto simuladas.

A fim de comparar os resultados, utilizou-se alguns parâmetros de qualidade do sinal de saída, como o tempo de subida, o máximo sobressinal e a variância do erro. Nas tabelas demonstrativas dos resultados, são

utilizados os termos: N1 como horizonte mínimo de

predição, N2 como horizonte máximo de predição, NU como horizonte de controle, como fator de ponderação do sinal de controle, Varerro como a variância do erro do sinal de saída em relação à referência, SS como o máximo sobressinal da saída e tsubida como o tempo de subida do sinal da saída.

Segundo Ogata (1998, p. 126), o tempo de subida pode ser definido como o tempo que um sinal sobreamortecido ou com características de primeira ordem leva para sair de 10 a 90% do seu valor final, enquanto que para sistemas subamortecidos, é o tempo que leva para o sinal atingir o valor de regime pela primeira vez.

Ogata (1998, p. 126) define o máximo sobressinal como o máximo valor percentual que o sinal atinge com base em seu valor final. Já o conceito de variância, dado por Balbinot e Brusamarello (2013, p. 40), diz que a variância é a média quadrática dos erros do sinal a partir do valor esperado, no caso o valor de regime.

O algoritmo de controle foi desenvolvido e

aplicado no software matemático Matlab®, versão

R2009a. O software em questão permite construir

(43)

lógica e de programação, além de possuir diversas

bibliotecas com ferramentas específicas, como

transformadas de Fourier, filtro de Kalman, entre outras. O algoritmo, apresentado no Apêndice A, foi desenvolvido com todas as etapas de projeto de um controlador GPC, montadas e testadas passo a passo conforme descrição de Clarke, Mohtadi e Tuffs (1987a) e Camacho e Bordons (1999). A etapa de controle é realizada através de uma variável interna denominada número de iterações (nit). A Figura 2 apresenta um fluxograma com as principais etapas do algoritmo desenvolvido no Matlab.

Figura 2 - Fluxograma do algoritmo desenvolvido

(44)

A seguir são apresentadas as plantas utilizadas para testar o algoritmo desenvolvido e os respectivos resultados obtidos com os testes.

4.1 CIRCUITO RC DE SEGUNDA ORDEM

O circuito resistivo-capacitivo (RC) de segunda ordem foi construído no intuito de verificar a aplicabilidade em sistemas mais simples, de baixa ordem, boa linearidade e sem características muito diferenciadas.

Na Figura 3 é apresentado o circuito utilizado para testar o algoritmo. Este é um circuito muito simples, podendo ser facilmente implementado.

Figura 3 - Circuito RC de segunda ordem

(45)

Para testar o controle no circuito RC de segunda ordem, foi utilizada uma plataforma de desenvolvimento Arduino Uno, como equipamento de interface e aquisição

de dados. Esta plataforma opera com um

microcontrolador ATMega 328, da Atmel Corporation, de 8 bits e memória flash interna de 32 quilobytes (KB). O Arduino Uno possui catorze pinos de acesso digital (entrada-saída configurável), sendo que seis deles podem ser utilizados como saída de modulação de

largura de pulso (PWM, do inglês Pulse Width

Modulation), e mais seis entradas analógicas. A rotina de

leitura e escrita de dados do módulo Arduino é apresentada no Anexo A e foi desenvolvida pelo professor Dr. Antonio Silveira (Silveira, 2015), orientador deste trabalho, para a unidade curricular Controle Digital.

A função de transferência contínua é dada pela Equação (52). Através do método segurador de ordem

zero (ZOH, do inglês Zero-Order Hold), utilizando-se um

período de amostragem de 100 ms, obtém-se a função de transferência discreta, conforme Equação (53).

A 7

7 7 _;_^_ 7 [\;]^[\;]^ (52)

A &$

&$ I; ^`O I; _[] &

$ _&$

;[O\ &$ _{I;^[\\ &}$ (53)

(46)

Figura 4 - Resposta ao degrau do circuito RC

Fonte: Produção do próprio autor

É possível observar que antes da aplicação do degrau à planta há um valor de aproximadamente 1,1 V na saída, devido a não linearidades impostas pela construção física do circuito, como o uso de fonte não simétrica. A resposta ao degrau do circuito apresenta comportamento sobreamortecido com um tempo de subida de aproximadamente 340 ms e sobressinal de cerca de 12,6%. O período de oscilação do sinal é de aproximadamente 1,0 s e é possível observar um erro de regime, implicando em um ganho em malha aberta não unitário.

Segundo Åstrom e Wittenmark (2011, p. 66), a frequência de amostragem de sistemas discretos deve ser de 4 a 10 vezes maior que a frequência natural da planta. Sendo assim, escolheu-se um período de amostragem de 100 ms, cerca de 10 vezes menor que o período de oscilação do sinal.

(47)

valores de horizonte com base no atraso discreto e no tempo de estabilização da planta, que é cerca de 1,0 s.

Tabela 1 - Resultados do circuito RC de segunda ordem variando-se NU

N1 N2 NU Varerro

(mV2) (%) SS tsubida (ms)

1 10 1 5,0 70,2 32,7 637,4

1 10 2 5,0 61,9 10,7 766,7

1 10 3 5,0 73,6 8,0 797,1

1 10 4 5,0 90,2 8,0 1291

1 10 5 5,0 87,0 9,0 1286

1 10 6 5,0 102,8 8,7 820,0

1 10 7 5,0 87,1 6,7 1378

1 10 8 5,0 77,2 8,3 1322

1 10 9 5,0 70,1 7,0 860,6

1 10 10 5,0 88,3 8,7 1276

A Figura 5 traz os resultados para um dos testes realizados, com o horizonte de controle em um valor aproximado de um terço do tempo de estabilização da planta.

(48)

Figura 5 - Sinais do circuito RC de segunda ordem com

N1 = 1, N2 = 10, NU = 3 e = 5,0

Na sequência manteve-se o horizonte de controle fixo no valor de 3 e variou-se o horizonte de predição. A Tabela 2 traz esses resultados.

Tabela 2 - Resultados do circuito RC de segunda ordem variando-se N2

(mV2) (%) SS tsubida (ms)

1 5 3 5,0 88,5 11,7 800,0

1 10 3 5,0 92,7 11,0 795,3

1 15 3 5,0 78,9 8,0 786,4

1 20 3 5,0 89,0 11,3 738,8

1 25 3 5,0 74,7 12,0 802,8

1 30 3 5,0 99,1 8,7 860,0

1 35 3 5,0 79,1 9,0 774,1

1 40 3 5,0 79,7 12,0 753,1

1 45 3 5,0 75,1 8,0 811,1

1 50 3 5,0 92,9 12,0 785,9

(49)

Observa-se que o aumento do horizonte de predição não trouxe resultados concretos para o controle desta planta, havendo pouca variação nos valores obtidos. A Figura 6 apresenta os sinais para o maior valor de horizonte testado.

N1 = 1, N2 = 50, NU = 3 e = 5,0

É possível observar que a saída chega ao valor de regime mais rapidamente, porém demora mais pra estabilizar devido ao número de oscilações e exige mais do controle, que novamente chega a atingir durante um instante o valor de saturação.

(50)

Tabela 3 - Resultados do circuito RC de segunda ordem variando-se

(mV2) (%) SS tsubida (ms)

1 10 3 0,1 1257 * *

1 10 3 0,5 1160 * *

1 10 3 1,0 620,9 * *

1 10 3 2,0 68,6 16,0 662,2

1 10 3 3,0 72,3 10,0 769,8

1 10 3 4,0 89,5 9,3 1300

1 10 3 5,0 76,3 7,7 1295

Fonte: Produção do próprio autor * Comportamento instável

N1 = 1, N2 = 10, NU = 3 e = 2,0

(51)

assim a instabilidade pela saturação do sinal de controle. Com um valor maior de , o esforço de controle é mais moderado e é possível estabilizar a saída, com um tempo maior de estabilização e menor sobressinal.

Os testes cujos resultados são apresentados na Tabela 3 foram repetidos com a inclusão do estimador de parâmetros MQR para identificação do modelo de planta, conforme algoritmo apresentado no Apêndice C. Todas as etapas de determinação do modelo de predição e montagem de polinômios e matrizes foram incluídas no loop de controle, conforme pode ser observado no fluxograma da Figura 8.

Figura 8 - Fluxograma do algoritmo desenvolvido com inclusão do estimador MQR

(52)

Neste caso, a inclusão do MQR permitiu que, mesmo com valores menores de fosse possível a estabilização do sinal. A Figura 9 apresenta o teste com o menor valor de utilizado.

N1 = 1, N2 = 10, NU = 3, = 0,1 e MQR

Observa-se que inicialmente o controlador tem dificuldade de estabilizar a planta, mas após a convergência dos parâmetros do modelo identificado, cerca de 1,0 s após a aplicação do degrau, a saída tende ao valor de regime. A fim de comparação com o teste

sem uso do MQR, a Figura 10 traz os resultados para =

2,0.

Verifica-se que a planta apresentou

(53)

N1 = 1, N2 = 10, NU = 3, = 2,0 e MQR

4.2 CONTROLE DE VAZÃO

O controle de vazão foi implementado na estação compacta de controle de processos Festo® MPS-PA, que foi desenvolvida como uma estrutura educacional e de treinamento nas áreas de automação e comunicação (Festo Didactic; 2008, p. 2). A Figura 11 traz uma visão geral da planta Festo®.

Com esta estação, é possível realizar o controle de nível, vazão, pressão e temperatura, de forma independente ou simultaneamente.

No processo de vazão da planta Festo®, controla-se a velocidade de uma bomba a fim de controla-se atingir um

setpoint de vazão na alimentação do reservatório

superior.

(54)

Figura 11 - Visão geral da planta Festo® MPS-PA

Fonte: Festo Didactic (2008, p. 1)

A bomba é do tipo centrífuga e possui capacidade máxima de 10 l/min de vazão. A velocidade da bomba é controlada por um sinal normalizado de 0 a 10 VDC,

aplicado ao motor de corrente contínua que compõe a bomba. Quando aplicados 10 V ao motor, a bomba produz um fluxo de aproximadamente 4,17 l/min. O sistema de aquisição de dados utilizado foi o EasyPort, que acompanha a estação didática Festo®.

(55)

Figura 12 - Detalhamento da bomba centrífuga e do sensor de vazão

Ao se fazer o levantamento empírico da função de transferência do sistema de controle de vazão, detectou-se uma zona morta na operação da bomba de aproximadamente 2,5 V. Como as faixas de aplicação da bomba e do sensor de vazão são diferentes, foi necessário compensar essa diferença através de um ganho de 1,80 na leitura do sinal do sensor, obtendo-se a seguinte função de transferência contínua:

A 7

7 7 I;\I\I;]^[ (54)

Visto que a constante de tempo é de aproximadamente 1,2 s, utilizou-se um período de amostragem de 100 ms, cerca de 10 vezes menor, obtendo-se a seguinte função de transferência discreta.

A &$

&$ I;I]Oa & $

(56)

A diferença entre as escalas de tensão da entrada e da saída da planta, considerando o sensor e a curva de resposta do motor da bomba, foram compensadas na leitura do sinal de saída. A curva de resposta ao degrau experimental do processo de vazão é mostrada na Figura 13.

Figura 13 - Resposta ao degrau do sistema de vazão

Esta planta apresenta comportamento de primeira ordem, com tempo de subida de aproximadamente 2,1 s e ganho em regime permanente de 0,9494 V/V.

O algoritmo utilizado para testar as

potencialidades do GPC na planta de vazão é apresentado no Apêndice D. As rotinas de comunicação com o sistema de aquisição de dados foram desenvolvidas pelo professor Dr. Antonio Silveira (Silveira, 2015) para a unidade curricular Controle Digital e são apresentadas nos Anexos B e C.

(57)

Considerando que a planta leva cerca de 4,0 s para estabilizar, escolheu-se um horizonte máximo de predição de 40.

Tabela 4 - Resultados do controle de vazão variando-se

NU

(mV2) (%) SS tsubida (s)

1 40 1 1,0 703,1 * 1,984

1 40 2 1,0 557,6 * 1,630

1 40 5 1,0 569,6 1,5 2,171

1 40 10 1,0 610,7 1,6 2,190

1 40 15 1,0 697,7 1,9 2,336

1 40 20 1,0 727,0 2,0 2,250

1 40 25 1,0 737,5 1,9 2,354

1 40 30 1,0 729,6 2,0 2,233

1 40 35 1,0 736,5 1,9 2,271

1 40 40 1,0 725,7 2,0 2,352

Fonte: Produção do próprio autor * Comportamento sobreamortecido

O que se observa dos resultados da variação do horizonte de controle, é que o horizonte de controle de 2 apresentou menor variância, menor sobressinal e menor tempo de subida, reforçando a premissa que plantas mais simples exigem horizontes de controle menores.

A Figura 14 traz o resultado para um teste com esse valor de NU.

(58)

Figura 14 - Sinais do sistema de vazão com N1 = 1, N2 =

40, NU = 2 e = 1,0

Na sequência manteve-se fixo o valor de NU no valor considerado ideal e variou-se o horizonte máximo de predição. A Tabela 5 traz os resultados obtidos.

N2

(mV2) tsubida (s)

1 10 2 1,0 478,0 1,328

1 20 2 1,0 422,9 1,391

1 30 2 1,0 506,9 1,579

1 40 2 1,0 560,2 1,646

1 50 2 1,0 565,5 1,670

1 60 2 1,0 629,6 1,687

1 70 2 1,0 650,0 1,757

1 80 2 1,0 687,5 1,741

1 90 2 1,0 659,5 1,687

1 100 2 1,0 807,0 1,825

(59)

Neste caso o parâmetro sobressinal foi omitido porque todos os testes resultaram em comportamento sobreamortecido. O que se observa é que o aumento do horizonte de predição trouxe algum resultado positivo até o horizonte de 20 e a partir daí a variância e o tempo de subida aumentaram. A Figura 15 traz os resultados para

N2 = 20.

20, NU = 2 e = 1,0

(60)

(mV2) tsubida (s)

1 20 2 0,1 604,8 1,366

1 20 2 0,5 459,5 1,391

1 20 2 1,0 418,2 1,392

1 20 2 2,0 427,4 1,495

1 20 2 3,0 426,9 1,507

1 20 2 4,0 434,0 1,532

1 20 2 5,0 442,6 1,507

Na Tabela 6 a variância é maior para valores menores de porque ocorre a saturação do sinal de controle, conforme apresentado na Figura 16, fazendo com que a saída chega à referência mais rapidamente, porém com maior variância do erro.

20, NU = 2 e = 0,1

(61)

Analisando-se o sinal de controle apresentado na Figura 17, percebe-se que valores maiores de resultam num controle mais moderado, com tempo de subida maior, porém com menor esforço do sinal de controle.

20, NU = 2 e = 5,0

O fato de utilizar um controle mais efetivo em sistemas como o controle de vazão pode ser indesejável devido ao estresse causado pela variação brusca do atuador, neste caso uma bomba. Essas variações de rotação causam desgaste excessivo dos componentes mecânicos e podem levar à falha do sistema. Assim, é preferível reduzir a exigência relativa a alguns parâmetros como tempo de resposta e variância, mas garantindo a integridade do sistema.

4.3 CONTROLE DE NÍVEL

(62)

reservatório superior pelo controle do fluxo de entrada de água. Neste caso, foi escolhido realizar o controle de nível do reservatório através do controle de velocidade da bomba centrífuga, a mesma utilizada no controle de vazão.

Para realizar o controle de nível, é feita a leitura através de um sensor ultrassônico, que fornece um sinal

de 0 a 10 V, para um range de leitura de 4,8 a 27,0 cm.

A Figura 18 traz um detalhamento do sensor de nível da planta Festo®.

Figura 18 - Detalhamento do sensor de nível

A fim de determinar o modelo da planta, aplica-se a lei de conservação de massa, considerando que o fluido utilizado é incompressível:

gh

(63)

onde V é o volume, Qi é a vazão de entrada e Qo é a vazão de saída do reservatório. Considerando um reservatório de seção constante AR, tem-se que:

bc

bd 'e f fg (57)

onde h é a altura do nível do líquido.

Considerando que a vazão de saída se dá através de uma tubulação de saída na parte inferior do reservatório controlada por um registro, considera-se que a velocidade de escoamento do fluido é dada por:

h iO jc (58)

onde g é a aceleração da gravidade, 9,81 m/s2.

A vazão de saída depende da geometria do orifício de saída e da relação entre a posição do orifício e da altura do fluido. Assim, a vazão de saída pode ser calculada por:

f6 kl h 'm kl iO 'm jc k jc (59)

onde cc é o coeficiente de contração, utilizado 0,6, e AS é

a área útil do orifício de escoamento, neste caso, 1,56 cm2_.

Substituindo-se Qo da Equação (59) à Equação

(57), chega-se à equação diferencial não linear:

bc

(64)

A Equação (60) é não linear, mas pode ser linearizada em torno de um ponto de operação. Assim, a planta foi linearizada em torno de um ponto de equilíbrio

h0, equivalente a uma altura aproximada de 102,5 cm de

líquido. A equação de transferência da planta obtida para esse ponto de operação foi:

k l i l

m_mn 1 $o

l _n1Mp (61)

Aplicando-se o método ZOH com um período de amostragem de 100 ms, obteve-se a função discreta para a planta:

k ,$

i ,$

_ mmmq ,$

1 _qqqm ,$ (62)

O controle foi feito através da malha de controle de vazão utilizada anteriormente, já que a variável manipulada é a tensão da bomba centrífuga da planta. Assim, a planta de vazão entra na malha de controle em cascata com a planta de nível, apenas convertendo-se as unidades. O sistema passa a ser então de segunda ordem, com a dinâmica modelada pela Equação (63).

k l i l

1_M M

l _n1Mp l _q q1 (63)

(65)

taxa de subida V/ t, considerando a dificuldade em iniciar a planta exatamente no mesmo ponto.

Considerando que a constante de tempo da planta é de cerca de 3,4 s, iniciou-se os testes fixando o horizonte de predição em 100 e variando-se o valor de

NU, conforme Tabela 7.

Tabela 7 - Resultados do controle de nível variando-se

NU

(mV2) (ml/s) V/ t

1 100 5 1,0 1,6 5,59

1 100 10 1,0 4,3 21,67

1 100 20 1,0 3,0 10,14

1 100 40 1,0 4,7 19,79

1 100 60 1,0 4,5 15,32

1 100 80 1,0 4,0 26,22

1 100 100 1,0 5,3 16,03

Observa-se que valores maiores de NU, apesar de

maior variância, resulta em uma taxa de subida mais alta. A Figura 19 traz o resultado para o valor de horizonte de controle de 10.

(66)

100, NU = 10 e = 1,0

Em seguida, fixou-se o horizonte de controle em 10 e variou-se o horizonte de predição, conforme apresentado na Tabela 8.

N2

(mV2) (ml/s) V/ t

1 10 10 1,0 3,7 20,65

1 20 10 1,0 3,9 12,24

1 30 10 1,0 3,7 16,89

1 40 10 1,0 2,1 12,12

1 50 10 1,0 2,7 14,09

1 60 10 1,0 3,2 9,25

1 70 10 1,0 1,7 8,48

1 80 10 1,0 3,2 13,33

1 90 10 1,0 3,9 11,47

1 100 10 1,0 1,7 12,33

(67)

Em relação à variância, não há muita diferença entre os testes, porém, para a taxa de subida percebe-se uma queda a partir de 60. A Figura 20 apresenta o resultado do teste para N2 = 50.

50, NU = 10 e = 1,0

Nestes testes verifica-se que a saída estabiliza mais rapidamente que no teste anterior, porém ainda há grande variação no sinal de controle. Fez-se então os testes com os horizontes fixos e variando-se o valor de . Os resultados são apresentados na Tabela 9.

(68)

(mV2) (ml/s) V/ t

1 50 10 0,1 3,0 11,14

1 50 10 0,5 2,8 14,55

1 50 10 1,0 2,9 15,29

1 50 10 2,0 3,4 18,50

1 50 10 3,0 3,3 16,10

1 50 10 4,0 2,3 5,92

1 50 10 5,0 2,8 9,02

50, NU = 10 e = 0,1

(69)

50, NU = 10 e = 5,0

Na Figura 22 a saída oscila em torno da referência antes de convergir, mas há menor oscilação no sinal de controle, o que num sistema como esse é geralmente preferível, considerando a confiabilidade do sistema como um todo.

4.4 PÊNDULO AMORTECIDO

A fim de expandir as potencialidades do algoritmo GPC, fez-se alguns testes com modelos de plantas simuladas, mas não disponíveis para testes reais. Os primeiros testes foram executados num modelo de um pêndulo amortecido (PAM), obtido do trabalho de Silveira (2012, pp. 42-44), cuja função de transferência já discretizada através do método ZOH, com período de amostragem de 100 ms, é dada por:

A &$

&$ InI aa InI a &

$ _&$

(70)

A resposta em malha aberta do PAM é mostrada na Figura 23.

Figura 23 - Resposta ao degrau do PAM

Esta planta apresenta comportamento

subamortecido, com ganho estático de 0,78 V/V, frequência natural de cerca de 2 rad/s e coeficiente de amortecimento de aproximadamente 0,198. O tempo de subida é de 1,1 s e o máximo sobressinal é de cerca de 53,8%.

Seguindo o critério de Åstrom e Wittenmark (2011, p. 66), adotou-se o período de amostragem de 100 ms, considerando que o período do sinal é de aproximadamente 500 ms. O algoritmo utilizado foi o mesmo do circuito RC de segunda ordem, com a saída sendo simulada pelo modelo CARIMA descrito pela Equação (64).

Inicialmente fez-se os testes fixando-se o horizonte N2 em 20, dado o período de oscilação do

sinal, e variando-se NU. Os resultados são apresentados