Assíntotas - Exames Nacionais

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Assíntotas - Exames Nacionais

Perguntas de Exames Nacionais dos últimos 15 anos com resolução e/ou vídeo. Versão de 7 de outubro de 2020.

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1. Seja h a função, de domínio_{] − ∞, 4[, definida por}

h(x) =        1 + xex−1 _{se x}_{≤ 1} √ x_{− 1} sen(x − 1) se1 < x < 4

Mostre que o gráfico da função h tem uma assíntota horizontal e apresente uma equação dessa assíntota.

Resolução, pg. 11 Exame nacional de 2020 -2.a _fase

2. Seja f a função definida em_{] − ∞, 2] por f(x) = x + ln (e}x+ 1).

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4. Seja g a função, de domínio_R_{\ {0}, definida por g(x) =} e −x x + 2x − 1 √ x. Sabe-se que o gráfico da função g tem uma assíntota oblíqua.

Qual é o declive dessa assíntota?

(A)1 (B)2 (C)e (D)e2

5. Seja f a função, de domínio_{R, definida por}

f(x) =          3 + e x 1 − x se x <1 ln (x2_{) + 2} x se x≥ 1.

Estude a função f quanto à existência de assíntotas horizontais do seu gráfico.

6. Considere a função f definida em]0, π[ por f (x) = x sin x.

Qual das equações seguintes define uma assíntota do gráfico da função f ?

(A)x= 0 (B)x= π (C)x= 1 _(D)_x₌ π

2

7. Sejam f e g duas funções de domínio_R+.

Sabe-se que a reta de equação y_{= −x é assíntota oblíqua do gráfico de f e do gráfico de g.} Qual é o valor de lim

x→+∞

f_{(x) × g(x)}

x ?

(A)_+∞ (B)1 (C)₋₁ (D)_−∞

8. Considere a função f , de domínio_R+, definida por f(x) = ln x x .

Estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coor-denados.

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9. Considere a função f , de domínio_{] − ∞, −1[∪]1, +∞[, definida por f(x) = ln} x − 1 x+ 1

. Estude a função f quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.

10. Seja f a função, de domínioi₋π 2,+∞ h definida por f(x) =        2 + sin x cos x se − π 2 < x≤ 0 x_{− ln x} se x >0

Estude a função f quanto à existência de assíntota oblíqua do seu gráfico.

11. Seja f a função, de domínio_{R, definida porf (x) =} (

1 + xex se x_{≤ 3} ln(x − 3) − ln x se x > 3 Estude a função f quanto à existência de assíntotas horizontais do seu gráfico.

12. Seja f a função, de domínio_{R, definida por}

f(x) =      ex −√e 2x − 1 se x < 1 2 (x + 1) ln x se x ≥ 12

Averigue da existência de assíntotas verticais do gráfico da função f .

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14. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função g, de domínio_{] − 3, +∞[.}

A reta de equação y _{= 2x − 4 é assíntota do gráfico de g.} Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) lim x→+∞(g(x) − 2x − 4) = 0 (B)x→+∞lim x g(x) = 2 (C) lim x→+∞(g(x) − 2x + 4) = 0 (D)x→+∞lim (g(x) − 2x) = 0

15. Considere uma função f , de domínio_R_{\ {3}, contínua em todo o seu domínio.} Sabe-se que: • lim x→+∞f(x) = 1; • lim x→3f(x) = −2; • lim x→−∞(f (x) + 2x) = 0.

Em qual das opções seguintes as equações definem duas assíntotas do gráfico de f ? (A)x_{= −2 e y = 1} (B)x_{= 3 e y = −2x}

(C)y_{= −2x e y = 1} (D)y _{= 2x e y = −1}

Resolução, pg. 25 Exame nacional de 2011 - Época especial

16. Considere a função f , de domínio_{]0, +∞[, definida por}

f(x) =      ex_{− 3x} x se0 < x ≤ 2 1 5x− ln x se x > 2 Estude a função f quanto à existência de assíntotas oblíquas.

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17. De uma função h, de domínio_{R, sabe-se que:} • h é uma função par;

• lim

x→+∞(h (x) − 2x) = 0.

Qual é o valor de lim

x→−∞h(x)?

(A)_+∞ (B)₋₂ (C)0 (D)_−∞

18. Considere a função f , de domínio_{] − ∞, 2π], definida por}

f(x) =    ax+ b + ex _{se x} ≤ 0 x_{− sen(2x)} x se0 < x ≤ 2π

Prove que a reta de equação y_{= ax+b, com a 6= 0, é uma assíntota oblíqua do gráfico de f.}

19. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função f , contínua, de domínio_{] − ∞, 1[.}

Tal como a figura sugere, a reta de equação x= 1 é assíntota do gráfico de f . Qual é o valor de lim

x→1−

3x f(x)?

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21. Seja uma função f , de domínio_R+, e seja a reta de equação y = 1 a única assíntota do gráfico de f .

Considere a função g, de domínioR+, definida por g(x) = f (x) + x.

Prove que o gráfico de g tem uma assíntota oblíqua paralela à bissetriz dos quadrantes ím-pares.

Resolução, pg. 31 Exame nacional de 2010 - Época especial

22. Considere a função h, de domínio_{R, definida por}

h(x) =        √ x2_{+ 4} _{se x >}₀ 2 se x= 0 e2x _{− 1} x se x <0

Estude a função h quanto à existência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coor-denados e, caso existam, escreva as suas equações.

23. Na figura, estão representadas parte do gráfico de uma função f , de domínio_{[−3, +∞[, e} parte da reta r, que é a única assíntota do gráfico de f .

Qual é o valor de lim

x→+∞

f(x) x ?

(A)₋₁ (B)0 (C)1 (D)2

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24. Sejam f e g duas funções, ambas de domínio_R+. Sabe-se que:

• lim

x→+∞(f (x) − 2x) = 0;

• a função g é definida por g(x) = f(x) + x2_.

Prove que o gráfico de g não tem assíntotas oblíquas.

25. Seja f a função de domínio_{[−π, +∞[, definida por:}

f(x) =    e−4x+1 _{se x}_{≥ 0} 3sen(x) x2 se − π ≤ x < 0

Estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, paralelas aos eixos co-ordenados, escrevendo as suas equações, caso existam.

Resolução, pg. 35 Exame nacional de 2008 -1.a fase

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27. Na figura está parte da representação gráfica de uma função f , de domínio_R.

Tal como a figura sugere, o eixo Ox e a reta de equação y = 1 são assíntotas do gráfico de f .

Seja g a função, de domínio_{R, definida por g(x) = ln [f (x)].}

Numa das opções seguintes está parte da representação gráfica da função g. Em qual delas?

(A) (B)

(C) (D)

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28. Na figura, está representada parte do gráfico de uma função g, real de variável real.

Tal como a figura sugere, a reta de equação x= 1 é assíntota do gráfico da função g. Seja h_{: R → R a função definida por h(x) = x − 1.}

O valor dolim

x→1

h(x) g(x) é:

(A)_−∞ (B)_+∞ (C)0 (D)1

29. Seja f a função, de domínio_{]1, +∞[, definida por f(x) = x + x ln(x − 1).}

Sem recorrer à calculadora, estude a função quanto à existência de assíntotas do seu gráfico.

30. De uma certa função f , de domínio_{R, sabe-se que:} • é contínua;

• a reta de equação y = x é assíntota do gráfico de f, quer quando x → +∞ quer quando x_{→ −∞.}

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31. Seja f a função, de domínio_R+, definida por

f(x) = ( x

ln x se0 < x < 1 xe2−x se x_{≥ 1}

Sem recorrer à calculadora, estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu grá-fico.

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Resoluções

Resolução da pergunta 1

Voltar ao enunciado da pergunta, pg. 1 Vídeo da resolução: lim x→−∞h(x) = limx→−∞ 1 + xe x−1(0×∞)⋆ = lim y→+∞ 1 − ye −y−1 = 1 − 1_e lim y→+∞ y ey = 1 − 1 e 1 lim y→+∞ ey y = 1 − 1_e × 1 +∞ = 1 − 0 = 1. ⋆Efetuou-se a mudança de variável y _{= −x ⇔ x = −y; x → −∞ ⇒ y → +∞.} Podemos concluir que a reta de equação y= 1 é assíntota horizontal do gráfico de h.

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Voltar ao enunciado da pergunta, pg. 1 Vídeo da resolução:

Como Df =] − ∞, 2] trata-se de uma assíntota quando x → −∞.

lim x→−∞ f(x) x = limx→−∞ x+ ln (ex_{+ 1)} x = limx→−∞ x x + limx→−∞ ln (ex_{+ 1)} x = 1 + ln (e−∞_{+ 1)} −∞ = 1. lim x→−∞(f (x) − x) = limx→−∞(x + ln (e x + 1) − x) = ln e−∞_{+ 1 = 0.}

Podemos concluir que a reta de equação y = x é a assíntota oblíqua do gráfico de f preten-dida.

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As assíntotas paralelas aos eixos coordenados são as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais.

Assíntotas verticais:

Comecemos por notar que Dh = R \ {1}.

Como lim x→1− h(x) = lim x→1− ex x−1 = e 0− = −∞; lim x→1+h(x) = lim_x→1+ ex x−1 = e 0+ = +∞

então x= 1 é uma equação da assíntota vertical do gráfico de h. É a única pois h é contínua em Dh, por ser a divisão de funções contínuas.

Assíntotas horizontais: lim x→+∞h(x) = limx→+∞ ex x_{− 1} (∞ ∞) = lim x→+∞ ex x × x x_{− 1} = lim x→+∞ ex x × limx→+∞ x x_{− 1} = + ∞ × 1 = +∞. lim x→−∞h(x) = limx→−∞ ex x_{− 1} = e−∞ −∞ − 1 = 0 −∞ = 0.

Podemos concluir que a reta de equação y= 0 é a única assíntota horizontal do gráfico de h.

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O declive da assíntota oblíqua é dado por lim x→+∞ h(x) x . Como h_{(x) = g(x) + 2x −} √1_x = e −x x + 2x − 1 √_x, lim x→+∞ h(x) x = limx→+∞ e−x x2 + 2 − 1 x√x = 0 +∞ + 2 − 1 +∞ = 2. Podemos concluir que a opção correta é a(B).

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Comecemos por determinar as assíntotas do gráfico de f quando x_{→ −∞.} lim x→−∞ 3 + e x 1 − x = 3 + 0 1 − (−∞) = 3.

Podemos concluir que a reta de equação y= 3 é assíntota horizontal do gráfico de f . Determinemos agora as assíntotas do gráfico de f quando x_{→ +∞.}

lim x→+∞ ln (x2_{) + 2} x ₍∞ ∞) = lim x→+∞ 2 ln x x + limx→+∞ 2 x = 0 + 0 = 0

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Voltar ao enunciado da pergunta, pg. 2 Vídeo da resolução: lim x→π− x sin x = π 0+ = +∞.

Podemos concluir que a reta de equação x = π é assíntota do gráfico de f e que a opção correta é a(B).

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Voltar ao enunciado da pergunta, pg. 2

Do facto de y _{= −x ser assíntota oblíqua do gráfico de f podemos deduzir que} lim x→+∞ f(x) x = −1 e que lim x→+∞f(x) = −∞. Assim temos: lim x→+∞ f_{(x) × g(x)} x = limx→+∞ f(x) x × limx→+∞g(x) = −1 × (−∞) = +∞. A opção correta é a(A).

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Voltar ao enunciado da pergunta, pg. 2 Assíntotas verticais: lim x→0 ln x x = ln 0+ 0+ = −∞ × 1 0+ = −∞ × (+∞)

Logo, a reta de equação x = 0 é assíntota vertical do gráfico de f . É a única pois f é contínua em_R+por ser o quociente de funções contínuas.

Assíntotas horizontais: lim x→+∞ ln x x (1) = 0

(1)Limite notável: lim

x→+∞

ln x

xp = 0, para p ∈ R +_.

Logo, a reta de equação y= 0 é assíntota horizontal do gráfico de f .

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Como f é a composição das funções definidas por y = ln x e y = x− 1

x+ 1 que são con-tínuas nos seus domínios então f é contínua em Df =] − ∞, −1[∪]1, +∞[.

Deste modo, os únicos pontos que podem originar assíntotas verticais são os pontos de ab-cissas_{−1 e 1.}

Vamos por isso calcular os limites seguintes. lim x→−1− f(x) = lim x→−1−ln x − 1 x+ 1 = ln −2 0− = ln(+∞) = +∞. lim x→1+f(x) = lim_x→1+ln x − 1 x+ 1 = ln 0 + 1 = ln 0+ = −∞.

Podemos concluir que as retas de equações x _{= −1 e x = 1 são assíntotas verticais do} gráfico de f .

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Voltar ao enunciado da pergunta, pg. 3 Como o domínio de f éi₋π

2,+∞ h

então só temos que estudar a existência de assíntota oblíqua quando x_{→ +∞.} • lim x→+∞ f(x) x = limx→+∞ x_{− ln x} x = lim x→+∞ x x − ln x x = 1 − 0 = 1; • lim x→+∞(f (x) − x) = limx→+∞(− ln x) = −∞. Como lim

x→+∞(f (x) − x) não é um número real podemos concluir que o gráfico de f não

admite assíntotas oblíquas.

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De acordo com a definição de assíntota horizontal, o gráfico de f admite a reta de equa-ção y= b como assíntota horizontal se lim

x→+∞f(x) = b ou x→−∞lim f(x) = b.

Comecemos com o estudo da existência de assíntotas horizontais quando x_{→ −∞.} lim

x→−∞f(x) = limx→−∞(1 + xe

x₎(∞×0)_{= ⋆}

Como obtivemos um símbolo de indeterminação, vamos efetuar a mudança de variável y_{= −x ⇔ x = −y e utilizar o limite notável lim}

x→+∞ ex xp = +∞ (p ∈ R). ⋆= 1 + lim y→+∞ −y ey = 1 − 1 lim y→+∞ ey y = 1 − 1 +∞ = 1. Podemos concluir que y = 1 é assíntota horizontal do gráfico de f .

Prosseguimos com o estudo da existência de assíntotas horizontais quando x_{→ +∞.} lim x→+∞f(x) = limx→+∞(ln(x − 3) − ln x) (∞−∞) = = lim x→+∞ lnx− 3 x = ln lim x→+∞ x_{− 3} x = ln 1 = 0. Podemos concluir que y = 0 é assíntota horizontal do gráfico de f . Em suma, y= 0 e y = 1 são as assíntotas horizontais do gráfico de f .

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Voltar ao enunciado da pergunta, pg. 3 Como para x < 1

2 a função f está definida pelo quociente de funções contínuas então é contínua em −∞,1 2 . Para x > 1

2 a função está definida pelo produto de funções contínuas. Consequentemente f é contínua em 1

2,+∞

.

Resta-nos estudar a continuidade no ponto de abcissa 1 2. lim x→1 2 −f(x) = lim x→1 2 − ex −√e 2x − 1 (0 0) = lim x−1 2→0 − e12 ex−12 − 1 2 x − 12 = e 1 2 2 x−lim12→0 − ex−12 − 1 x₋ 1₂ = e12 2 . lim x→12 +f(x) = lim x→21 +((x + 1) ln x) = 1 2+ 1 ln1 2 = 3 2ln 1 2. Deste modo, como lim

x→12 −

f_{(x) 6= lim}

x→12

+f(x) então f não é contínua no ponto

1 2. Como os limites laterais no ponto1₂ são finitos então a reta de equação x= 1

2não é assíntota

vertical do gráfico de f .

Podemos também concluir que, como f é contínua em_R_\ 1 2

, o seu gráfico não admite assíntotas verticais.

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