Dos Conceitos Dinâmicos à Dinâmica dos Conceitos no
Ensino-Aprendizagem da Geometria Dinâmica e o Papel do Professor
do Ensino Superior neste Processo
Elen Andrea Janzen José Carlos Cifuentes
1 Demonstrações e Compreensão em Geometria
Desde minha entrada como docente na Universidade, atuando num curso de Licenciatura em Matemática, tenho trabalhado com demonstrações em geometria. Em minha prática, tenho percebido que os alunos têm uma grande dificuldade em trabalhar com demonstrações. De acordo com a literatura, o termo “demonstração” tem sido usado das mais diversas formas; e as mais variadas funções lhe são atribuídas. Isso mostra a complexidade de sua conceituação e compreensão.
De acordo com de Villiers (2001), os alunos parecem não compreender as funções da prova e o autor afirma que o principal problema em jogo é a motivação que as várias funções da demonstração assumem para os alunos. Tradicionalmente, a função da prova é o de verificação e convicção da veracidade de afirmações matemáticas. No entanto, este ponto de vista como sendo a principal função da demonstração não explora todo o potencial da demonstração na educação, pois a convicção em matemática é muitas vezes obtida por meios que não consistem em seguir uma demonstração lógica. Teoremas são, na maior parte das vezes, descobertos por meio da intuição e de métodos quase-empíricos, antes de serem verificados através de demonstrações (Bell, 1976 – citado por de Villiers, 2001).
Segundo de Villiers (2001), a prova e/ou demonstração tem outras funções importantes dentro da matemática, que, em algumas situações são de maior importância para matemáticos do que simples verificação. Segundo o autor, algumas dessas são: explicação (fornecer insight em por que é verdade); descoberta (a descoberta ou invenção de novos resultados); comunicação (transmissão de conhecimento matemático); desafio intelectual (a auto-realização derivada da construção de uma prova); e sistematização (organizar os vários resultados em um sistema dedutivo de axiomas, conceitos principais e teoremas).
Matemáticos, na sua maioria, compartilham da opinião de que a prova é mais valiosa quando conduz a uma compreensão, ajudando a pensar mais claramente e efetivamente sobre matemática (Hanna, 2000). De acordo com o dicionário HOUAISS da língua portuguesa, compreender significa perceber e apreender o significado de algo. Ou seja, compreender algo é mais forte do que apenas saber algo. É conhecimento dinâmico e não apenas informação. Não é apenas buscar o “o que” ou o “como”, mas também o “por que”. Neste sentido, a compreensão está ligada à explicação, pois, explicar significa elucidar e justificar algo, esclarecer. Se em sala de aula forem feitas simples reproduções de provas matemáticas prontas, o aluno perde a chance de “fazer matemática” e descobrir novas relações. No entanto, se o aluno puder explorar situações e formular suas conjecturas, possivelmente se tornará curioso para explicar e justificar que aquilo que está vendo pode ser sempre verdadeiro. E este o será, somente se for justificado por meio de uma prova. Uma prova que explique a veracidade do que foi descoberto.
Os verbos “explicar”, “provar” e “demonstrar” são freqüentemente usados como sinônimos. Mas, como discutido anteriormente, explicar envolve o significado enquanto a prova e a demonstração, não necessariamente. Balacheff (1987) faz uma diferenciação entre os termos. Para ele, a explicação se situa ao nível do indivíduo. Para este indivíduo, a explicação estabelece e garante a validade de uma proposição, se arraiga no seu conhecimento e no que constitui a sua racionalidade, isto é, as suas próprias regras da decisão da verdade. A explicação não se reduz necessariamente a uma cadeia dedutiva, ela se orienta para o descobrimento de um novo saber. Quando a explicação passa a ser reconhecida e aceita por certa comunidade, num determinado momento, é denominada de prova. Assim, a passagem da explicação para a prova faz referência a um processo social, isto é, quando a explicação que assegura a validade de uma proposição é aceita por certa comunidade, muda de posição. No entanto, esta posição não é definitiva; com o tempo pode evoluir com o avanço dos saberes nos quais se apóia. Por outro lado, uma prova pode ser aceita por uma comunidade e rechaçada por outra. A prova surge subdividida em quatro níveis, sendo a validade dos raciocínios garantida: pela exibição de casos particulares em que a proposição se verifica, no empirismo ingênuo; pela verificação da proposição em questão num caso particular tido como típico, na experiência crucial; pela apresentação de propriedades aplicadas sobre um caso típico, no exemplo genérico; e pela apresentação de deduções lógicas baseadas em propriedades, na experiência mental. Esta última, representando a demonstração, no sentido da dedução lógica, onde a validade dos
raciocínios é garantida pela via dedutiva e é um tipo de prova com forma estritamente codificada e formal. Ou seja, é uma seqüência de afirmações organizada de acordo com regras determinadas: uma afirmação é reconhecida como sendo verdadeira se é deduzida de afirmações que a precedem através de uma regra de dedução tomada num conjunto de regras bem definido.
2 O Pensamento Geométrico e a Dinâmica da Visualização em Geometria
Assumindo a posição dos educadores matemáticos, como Hanna (2000), em que uma prova deve levar, a princípio, a uma melhor compreensão da propriedade em questão, ou seja, de início deve assumir um papel de explicação, fica a tarefa de trabalhar a delicada relação existente entre o conhecimento intuitivo e sua sistematização teórica, isto é, a relação entre o pensamento intuitivo e o pensamento formal (que é um dos pontos desta pesquisa). Trabalhar com esta relação é, em geral, bastante difícil para os alunos, pois estes egressam do Ensino Médio com muitas informações intuitivas e dispersas. Para eles, parece complicado entender que propriedades conhecidas devam ser questionadas e longos argumentos usados para sustentar a sua veracidade, que é “evidente” (MARIOTTI, 2000).
Uma particularidade muito importante das demonstrações geométricas, e que contribui grandemente para torná-las imprescindíveis, é exatamente o fato de que por meio delas se estabelecem propriedades gerais das figuras (que é uma característica do formal); estas figuras construídas usando técnicas de desenho. Fazendo uma demonstração com base em fatos iniciais corretos, isto é, com propriedades gerais e permanentes e não particulares do desenho, fica estabelecida a veracidade do teorema em questão. E aqui reside uma das grandes dificuldades dos alunos: enxergar a figura como uma representante de uma classe de figuras geométricas, que pode ser entendida com um exemplo genérico; isto é, tirar a singularidade da figura e ficar com o aspecto geral.
Atualmente há várias possibilidades de se trabalhar com a geometria. Na utilização do papel e lápis, a repetição de uma construção de modo a procurar as invariâncias e as regularidades da situação pode conduzir à desmotivação. Com a chegada da tecnologia, surgem novas maneiras de se abordar o assunto. Denominada geometria dinâmica, softwares como o Cabri-Géomètre, Sketchpad, Cinderella, entre outros, permitem a manipulação de figuras geométricas baseadas em suas propriedades. No entanto, esta manipulação não é manual, “com as mãos”, é virtual, uma “manipulação
visual”. Neste sentido, está mais ligada a idéia de visualização. No entanto, visualização não é apenas uma percepção visual direta, mas uma apreensão operatória da figura em questão, o que envolve uma dinâmica. Ou seja, a visualização se foca na percepção e compreensão de imagens visuais; e isto exige um “aprender a ver e a ler” estas figuras. Para desenvolver a visualização, a figura desempenha um papel importante exatamente pelo suporte intuitivo que pode dar e por desempenhar uma função heurística (MORETTI, 2006).
Para Duval (1995), as figuras têm papel intuitivo e heurístico na representação geométrica, pois permitem analisar uma situação em conjunto, são um meio mais direto para explorar os diferentes aspectos de um problema. Portanto, as possibilidades heurísticas de uma figura requerem não só uma habilidade visual mas, também, outras competências, ou seja, é preciso dominar conhecimentos matemáticos para uma visão geral que engloba figura e enunciado.
No entanto, normalmente se trabalha com as figuras numa abordagem psicológica da precepção imediata, a qual não dá condições ao aluno para olhar a figura sob outros aspectos, isto é, não possibilitando uma exploração heurística. Não se trata apenas de enxergar o que está posto, mas sim da realização de reconfigurações, as visíveis e as possíveis, ou seja, trata-se da apreensão operatória da figura. Esta exploração heurística permite dar um sentido mais dinâmico às características da figura, permitindo fazer manipulações, físicas ou mentais, sobre o todo ou parte da figura (MORETTI, 2006). Ou seja, a busca por caminhos heurísticos possibilita lidar com as figuras além da função estritamente perceptiva ou seja, com a apreensão operatória. Portanto, trabalhar com esta função heurística da figura possibilita ao aluno desenvolver suas formas de pensar, de olhar e de raciocinar. E os softwares de geometria podem possibilitar a exploração desta função heurística, explicitando a dinâmica envolvida no próprio conceito de figura que surge neste contexto, não uma figura estática que se movimenta, senão uma figura dinâmica.
Assim, as figuras construídas em ambiente dinâmico adquirem um estatuto diferente dos simples desenhos. Passam a ser exemplos genéricos, com a possibilidade da exploração dinâmica das propriedades envolvidas. Como afirmam Hershkowitz (1989) e Capponi (1992), (citados por Junqueira, 1993, p.70), se por um lado o computador coloca limitações que conduzem o aluno à utilização das propriedades geométricas das figuras e à descrição processual da figura em termos de construções elementares sucessivas e não apenas à sua percepção visual, por outro, uma vez construída a figura, esta pode ser
deformada por arrastamento de alguns dos seus objetos de base. Esta manipulação de objetos específicos no monitor do computador faculta aos alunos a possibilidade de considerar a figura representativa de uma classe de objetos, ou de construções, que mantém invariantes as propriedades (LABORDE e LABORDE, 1992).
3 A Geometria Dinâmica e o Acesso Experimental à Geometria
Os ambientes computacionais para criação e exploração geométrica são ferramentas poderosas para levar os alunos a formular e a testar conjecturas, trabalhando também com a função heurística das figuras. Conjecturar significa considerar algo provável, com base em indícios; significa supor, presumir (dicionário HOUAISS). A conjectura pertence ao âmbito da ciência experimental, onde se formula hipóteses e se fazem testes. Assim, as conjecturas permitem aos alunos descobrir e construir "novos" conhecimentos matemáticos, fazendo conexões com o que estão a aprender e as experiências e conhecimentos anteriores.
Segundo Weigand (2002) os softwares de geometria dinâmica abrem a possibilidade de um acesso experimental a proposições e à compreensão de conceitos. É um dos pontos fortes desta ferramenta. Pois, como afirma o autor, o computador apenas nos dá um resultado e não explica o porquê de tal resultado. Sequer dá um indicativo de uma possível razão. Portanto, o uso do computador estimula, primeiramente, a formulação de conjecturas. É, portanto, plausível afirmar que estes ambientes podem provocar modificações nos processos de exploração das situações envolvendo interações do raciocínio intuitivo e dedutivo, como propõem Laborde e Laborde (1992).
Salienta-se, no entanto, que as responsabilidades pelas alterações não podem ser atribuídas à ferramenta computacional, por si só. Em outras palavras, o uso da tecnologia na educação não trará soluções mágicas que irão resolver problemas educacionais. No entanto, estas irão colaborar se usadas adequadamente, para o desenvolvimento cognitivo dos alunos (MASETTO, 2006). Ou seja, é todo um contexto social e cultural da utilização das tecnologias, nomeadamente as atividades propostas e, principalmente, a atuação do professor.
4 O Professor
décadas passadas. E uma das novas competências do professor reside em conhecer e usar das novas tecnologias. Ao trabalhar com uma geração que convive com as tecnologias e que tem interiorizado transformações significativas na maneira de viver, de relacionar e de pensar (PERRENOUD, 2000), e, sobretudo, na maneira de conceber as diversas relações geométricas, e, portanto, de pensar geometricamente, não pode ele, prescindir de conhecê-las.
Trazer as novidades da tecnologia para dentro da sala de aula é o que tem acontecido em muitas escolas e universidades. Neste processo de inserção, o professor é elemento fundamental. É através dele que a tecnologia chega às salas de aula, e é utilizada no processo de ensino e aprendizagem. Neste sentido, pode-se formular a seguinte hipótese: o alcance da tecnologia está relacionado ao domínio por parte do professor; se este estiver preparado para utilizá-la de forma coerente, buscando todo seu potencial para a formação do aluno, aí sim se poderá falar em avanços na educação por meio da tecnologia. Portanto, não se trata de transmitir informações sobre a tecnologia, mas sim usar da tecnologia para a construção do conhecimento e, especificamente no caso da geometria, do pensamento matemático como ingrediente fundamental formativo. Assim, é fazer da tecnologia uma ferramenta significativa pedagogicamente, na medida em que contribui para estabelecer relações entre conhecimentos, e suas diversas formas de representação; para aprender a fazer perguntas, como um primeiro passo de um ensino-aprendizagem mais investigativos; e para oferecer novas possibilidades de trabalhar operativamente; dentre outras coisas (WEIGAND, 2002). Assim, o papel do professor passa a ter um caráter formativo, especialmente na formação do pensamento matemático.
Entretanto, na literatura, pouco se tem a respeito desse novo papel do professor no processo ensino-aprendizagem em um ambiente dinâmico de geometria especificamente. Muitos trabalhos vêm sendo realizados para estudar a interação entre aluno e software (JONES, 2000; MARIOTTI, 2000; OLIVERO, 2002; PURIFICAÇÃO, 2005). A maioria das pesquisas tem como foco a aprendizagem do aluno em um ambiente de geometria dinâmica, isto é, suas dificuldades cognitivas, sua relação com conteúdo teórico, como se dá o seu raciocínio, entre outras coisas. No entanto, em relação ao papel do professor têm-se apenas alguns comentários no decorrer dos trabalhos, como faz Mariotti, que apenas afirma que o papel do professor é fundamental para guiar a discussão e permitir que o aluno desenvolva uma perspectiva teórica da geometria, e Olivero que deixa como sugestão para pesquisas futuras no que se refere à prática do professor. Ou
seja, tais pesquisas buscam compreender como se dá a aprendizagem em um ambiente dinâmico, mas não o que concerne à prática docente.
Experiências com a inserção do computador no ensino de Matemática mostram que o ensino assistido por computador se distingue do ensino tradicional centrado no professor oferecendo a chance de um ensino centrado no aluno. Com isto, novas tarefas recaem sobre o professor. (WEIGAND, 2002)
Em suma, os softwares desenvolvidos na área de geometria permitem que o “aprender” seja mais investigativo, tornando o aluno parte do processo, isto é, pode fazer do aluno um ser ativo em busca do conhecimento sem dispensar o professor em seu papel formativo das formas de pensamento correspondentes.
No que se refere a demonstrações, se torna uma ferramenta poderosa que possibilita o aluno explorar e conjecturar, chegando a uma prova e/ou demonstração. Mas como fica o papel do professor para que isto realmente ocorra? Para que o aluno realmente se torne um ser ativo e construa seu conhecimento? Nas formas do “pensar matematicamente”, uma etapa realmente importante e relevante para a construção do conhecimento matemático refere-se a processos de caráter não dedutivo, envolvendo raciocínios ou argumentações indutivas ou analógicas, etc, mais do lado da intuição matemática que do raciocínio formal. À luz desta discussão, podemos formular também a seguinte hipótese: Nesta etapa, é fundamental, por um lado, a intervenção do professor como catalisador desses processos em seu papel formativo, e por outro, as potencialidades dinâmicas dos softwares utilizados. Segundo Mariotti (2000), o professor tem de elaborar uma nova relação com o conhecimento matemático, se adaptando a esses novos elementos que aparecem com a tecnologia.
5 Formulação das Questões a serem Pesquisadas
Visto a discussão anterior, pretende-se reinterpretar algumas das etapas do processo de ensino-aprendizagem da geometria através de softwares de geometria dinâmica, salientando os aspectos dinâmicos envolvidos e sua relação com o intuitivo e o formal, assim como o papel formativo do professor do ensino superior neste processo.
Os objetivos listados abaixo pretendem esclarecer aspectos epistemológicos, cognitivos e pedagógico-formativos relacionados com o uso de softwares de geometria dinâmica e sua explicitação na interação professor/aluno.
• Estabelecer as diferenças essenciais entre o pensamento intuitivo e o pensamento formal na própria geometria e no processo de ensino-aprendizagem da geometria dinâmica.
• Esclarecer o caráter dinâmico não somente dos processos, mas também dos conceitos envolvidos na geometria dinâmica através dos softwares, notoriamente os de “exemplo genérico” e “figura geométrica”. Essa interpretação dinâmica dos conceitos propiciará outra forma de compreender os fenômenos geométricos, aprimorando as formas de pensamento geométrico que as novas tecnologias nos oferecem.
• Compreender o papel formativo do professor do ensino superior, destacando dentre as suas diversas fases, o tratamento heurístico figural da geometria para auxiliar na passagem da face empírica para a face consolidada pela demonstração nos ambientes dinâmicos.
6 Possibilidades para uma metodologia
Em relação aos primeiros dois objetivos listados acima, por serem de cunho mais teórico, pretende-se fazer um estudo para uma fundamentação teórica, mas também buscar a concepção do professor, por meio de entrevistas, o que este entende a cerca dos elementos envolvidos na pesquisa, tendo, assim, outro subsídio para responder as questões propostas.
Uma maneira de estudar o terceiro objetivo listado anteriormente é através de uma investigação da prática do professor, tendo por referência trabalhos como os de Ponte (2002), Jaworski (1994) e Fainguelernt (1999).
Ponte (2002), que trabalha com a investigação da própria prática, ressalta o fato de que tal investigação tem dois objetivos: o de compreensão e o de mudança, ou seja, compreender a natureza de problemas que afetam a prática assim como alterar algum aspecto da prática.
Jaworski (1994) relata em uma pesquisa feita, um estudo qualitativo do ensino da matemática através de observação bem próxima da prática de um pequeno grupo de professores de matemática. Ela segue especificamente a pergunta: “O que envolve uma abordagem investigativa no ensino da matemática?”. A autora afirma que o ensino investigativo é sobre ‘abrir a matemática’, sobre fazer perguntas mais abertas, sobre
encorajar alunos a perguntar ao invés de ir direto para a aprendizagem de fatos e procedimentos. Neste sentido, ela busca explorar o potencial de uma abordagem investigativa no ensino da matemática em ambas as perspectivas, teoria e prática. Ou seja, ela queria saber o que tal abordagem significava em termos teóricos, mas também como poderia ser implementado na sala de aula e quais as implicações que isto tinha para os professores.
Segundo Jaworski, um trabalho investigativo literalmente investiga as maneiras mais apropriadas pelas quais o professor pode possibilitar o desenvolvimento de conceitos nos alunos. A autora vê uma abordagem investigativa encorajando a exploração matemática, a pesquisa e a descoberta por parte do aluno, mas também explorando o papel do professor – particularmente no que diz respeito a como o conhecimento e a experiência do professor sustenta a aprendizagem do aluno. Assim, seu estudo investiga o ensino da matemática numa perspectiva construtivista. Para tanto, a autora utiliza principalmente a observação e entrevistas para a coleta de dados. Tem, portanto, anotações de campo, vídeo ou áudio além de contar com as entrevistas. Para validação, a pesquisadora usou a triangulação – método de usar múltiplas fontes de evidências de modo a construir validade para os dados.
Fainguelernt (1999) busca o caráter exploratório da geometria trabalhando com o LOGO; traz, assim, novas perspectivas pedagógicas para o processo de ensino aprendizagem da geometria. A autora pretende compreender como se processa a construção do conhecimento geométrico ao serem utilizadas as diferentes representações: oral, escrita, gráfica, etc. Em seu trabalho, ela analisa a contrubuição da utilização do computador em sala de aula de matemática, investiga a atuação e o desenvolvimento dos alunos e dos professores bem como a interferência dos professores no processo de construção realizado pelos alunos.
Sua proprosição inicial comprovada no estudo é: Se o aluno ou qualquer aprendiz compreender a diferença entre a aquisição de um conceito e as suas várias representações, ele tem posibilidade de realizar a passagem do estágio das operações concretas para o das operações abstratas. Para tanto, algumas questões nortearam a investigação, dentre elas: “como os professores constroem determinado conceito?”; “como os professores interferem nas construções dos conceitos realizadas pelos alunos?”; “como trabalhar com os professores para que eles atuem como disparadores do processo de construção do conhecimento do aluno?”. Ela utilizou a metodologia qualitativa,
particularmente o Estudo de Caso. Segundo a autora, o estudo de caso é recomendado na literatura revisada sempre que o objetivo do pesquisador seja estudar questões do “como” e do “porquê”. Para validação, a pesquisadora também usou a triangulação. As principais técnicas de coleta de dados consistiram em entrevistas, encontros semanais, participação em sala de aula e no laboratório e transcrição e análise de fitas de vídeo e áudio. A análise foi sendo realizada ao longo da investigação, fornecendo subsídios para as observações e entrevistas bem como correções de rumo.
Segundo Vianna (2007) a observação é uma das mais importantes fontes de informações em pesquisas em educação. A questão inicial que se coloca é: O que observar? Nem sempre é fácil responder tal questão no início de uma pesquisa, portanto, o conteúdo da observação deve ser delimitado, pois é impossível observar a todos e a tudo, registrando todos os pormenores (SELLTIZ, citado por Vianna, 2007). Logo, como técnica científica, a observação pressupõe a realização de uma pesquisa com objetivos bem formulados, planejamento adequado, registro sistemático dos dados, verificação da validade de todo o desenrolar do seu processo e da confiabilidade dos resultados (Vianna, 2007).
No entanto, o uso da metodologia da observação não exclui o emprego de outros métodos de coleta de dados, igualmente válidos nos trabalhos de pesquisa em educação com a utilização de questionários e entrevistas. Aliás, para garantir a validade e a fidedignidade dos dados e resultados, isto é, das informações, Fraenkel e Wallen (citados por Vianna, 2007) sugerem usar vários instrumentos de coleta de dados, a chamada triangulação.
Quanto à tarefa de análise das observações e dos dados, esta deve inferir uma explicação teórica para os aspectos pesquisados. É interessante para a análise, estabelecer uma relação entre teoria e dados, sem engessar os dados pela teoria. Neste sentido, a observação visa a gerar novos conhecimentos e não a confirmar teorias (Vianna, 2007).
Embora a interação professor/aluno, fundamental no processo de ensino, seja extremamente complexa, espera-se com um aprofundamento teórico e as técnicas de observação, entrevistas e questionários, assim como coleta adicional de dados, ser possível buscar subsídios suficientes para elucidar as questões levantadas nos objetivos específicos mencionados.
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