A EVOLUÇÃO HISTÓRICA DO ENSINO DE ANÁLISE: PRIMEIROS RESULTADOS DO CURSO DE MATEMÁTICA DO IME/USP

(1)

Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Pôster 1

A EVOLUÇÃO HISTÓRICA DO ENSINO DE ANÁLISE: PRIMEIROS RESULTADOS DO CURSO DE MATEMÁTICA DO IME/USP

Sílvio César Otero Garcia Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho" - UNESP

silvioce@gmail.com

Resumo: Essa pesquisa parte de um projeto de mestrado em andamento, traz um panorama

de como a disciplina de Análise do curso de licenciatura em Matemática do IME/USP têm se modificado que diz respeito aos seus objetivos, ementa e bibliografia. A metodologia de coleta de dados adotada, dentro da perspectiva de uma pesquisa qualitativa, é a análise de documentos. O estudo foi realizado através de grades curriculares e programas de disciplinas de Análise e Cálculo.

Palavras-chave: Análise Matemática; Formação de Professores de Matemática; História

da Matemática; História da Educação Matemática.

Introdução

O Conselho Nacional de Educação (CNE) vem promovendo modificações nos cursos de Licenciatura no país. Em especial, o Parecer CNE/CP 28/2001 e as Resoluções CNE/CP 01/2002 e CNE/CP 02/2002, apontam para uma reestruturação dos cursos de formação de professores que rompa com o conhecido esquema “3+1”, três anos de bacharelado e um ano de complementação pedagógica. Esse modelo é chamado por Zeichner (1983) de tradicional ou acadêmico e foi instituído no Brasil na década de trinta. A reformulação das grades curriculares das licenciaturas, com o propósito de se adequar às resoluções aqui citadas, trouxe ao lume a discussão sobre o papel e a importância que determinadas disciplinas têm na formação do futuro professor. Sobre essas questões diversos trabalhos podem ser citados, como os de Kaneko-Marques (2007), Benites, Neto e Hunger (2008), Kasseboehmer e Ferreira (2008) e Silva e Terrazzan (2009). Esse movimento não foi diferente no caso particular da Matemática, sendo que o nosso interesse aqui está na disciplina de Análise.

Vários aspectos referentes à disciplina de Análise foram alvo de pesquisas, destacamos em especial o trabalho de Moreira, Cury e Vianna (2005). Nesse, os pesquisadores perguntaram a trinta e um matemáticos, de quatorze instituições universitárias do Brasil, se para eles uma disciplina de Análise deveria ser obrigatória em todo curso de Licenciatura em Matemática. Embora todos que responderam a essa questão tenham sido favoráveis, as justificativas apresentadas não foram decisivas. Essa posição e o fato da disciplina estar presente na maioria dos cursos de Licenciatura em Matemática no

(2)

país, deixam claro que é quase um consenso que seus conteúdos devem integrar os currículos, entretanto, a maneira como isso deve ocorrer ou as razões de tal inclusão não são suficientemente claras, conforme o estudo citado mostrou. Na realidade, um exame completo sobre a importância e relevância da disciplina de Análise deve responder a diversas questões e abarcar vários estudos, como, por exemplo: a) que conteúdos podem ser caracterizados como componentes da estrutura da disciplina; b) como as licenciaturas a têm trabalhado; c) qual o movimento existente na busca da separação dessa disciplina nos cursos de licenciatura e de bacharelado; d) como a aritmetização da Análise tem sido trabalhada, à luz da história, em cursos de licenciatura. E vários outros.

Dada a amplidão mencionada, acreditamos que um primeiro passo em direção à

resposta da capciosa questão de Moreira, Cury e Vianna (2005) é trazer um panorama de como a disciplina de Análise vem se estruturando, nos cursos de licenciatura em Matemática, no que diz respeito aos seus objetivos, ementa e bibliografia. São os primeiros resultados de uma pesquisa com esse viés que ora apresentamos, onde o curso analisado é o do IME/USP. Realizamos a coleta e análise de grades curriculares e programas de disciplina do período de 1971, primeiro ano de funcionamento do curso no IME, até os dias atuais.

Metodologia e Forma de Análise dos Resultados

O nosso trabalho está inserido dentro da “História da Educação Matemática” (BARONI E NOBRE, 1999). Enquadra-se numa modalidade muito comum em Educação, denominada pesquisa qualitativa (ANDRÉ, 1995). Acreditamos ser essa adequada ao que nos propormos, pois não pretendemos apresentar uma visão única sobre o fato, mas sim levantar questões, trazer resultados, não sem, é claro, tomar um posicionamento pessoal. Existem três grandes grupos de metodologias para a coleta de dados em pesquisas qualitativas: a) a observação; b) o inquérito e c) a análise de documentos (BOGDAN e BYKLEN, 1994), (TUCKMAN, 2002). Adotamos a análise de documentos como o nosso método de pesquisa central, isto é, os documentos são, por si só, o alvo de estudo.

A nossa coleta foi realizada junto aos arquivos da Assistência Acadêmica do

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. A primeira etapa de nossa pesquisa foi entrar em contato com a chefia da sessão que nos instruiu a enviar um ofício à diretoria pedindo o acesso aos arquivos de interesse. Uma vez obtida tal autorização, iniciamos a coleta. Felizmente o IME, que foi criado em 15 de Janeiro de

(3)

1970, pela Reforma Universitária, publica anualmente, desde 1971, um catálogo de graduação que contém informações como: lista de docentes; lista das disciplinas, bem como suas ementas e pré-requisitos; grades curriculares dos cursos do instituto. Nesses catálogos foi possível obter todas as nossas informações de interesse.

Relativamente a análise dos resultados, segundo Miles e Huberman (1994), essa é dividida em três etapas: a) Redução dos dados; b) Apresentação dos dados; c) Conclusões. Seguimos essas etapas em nossa pesquisa. Primeiramente, não encontramos dificuldades no processo de redução, uma vez que nosso estudo documental é bastante dirigido e o foco da pesquisa está nas grades curriculares e nos programas da disciplina de Análise, ou em outros documentos que trouxessem as informações que procuramos. Desse modo, os documentos pesquisados por si só já foram os elementos que nos permitiram estabelecer as relações e obter as conclusões que desejamos. Com relação à apresentação, sabemos que essa, numa pesquisa qualitativa, pode ser feita de diversas formas, mas, como o nosso interesse, nessa etapa, é unicamente descritivo, procedemos apresentando uma análise da informação disponível e fornecendo uma visão de conjunto (FLORES, 1994). As conclusões foram obtidas durante todo processo de obtenção dos dados, redução e apresentação dos mesmos, uma vez que essas tarefas permitem que progressivamente se avance do descritivo para o explicativo e do concreto para o abstrato (FLORES, 1994). Salientamos, outrossim, que essa etapa não foi constituída apenas de uma justaposição das etapas anteriores, na realidade, essas, bem como as conclusões obtidas no decorrer da pesquisa, foram o caminho para as nossas conclusões finais.

Primeiros Resultados

O curso de Licenciatura em Matemática do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo nasceu em 1934 na então Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras, passando a funcionar a partir de 1970, após a reforma universitária, no referido instituto. A nossa análise diz respeito apenas ao período posterior ao da criação do IME. Apresentamos aqui uma breve descrição do movimento que as disciplinas de Cálculo e Análise tiveram nele até o ano de 2009.

No ano de 1971, os futuros licenciandos contavam com três semestres de “Cálculo Diferencial e Integral”, isso é, três disciplinas semestrais consecutivas com esse nome (I,

(4)

II, III). Além dessas, no quarto e sexto semestre, respectivamente, havia as disciplinas “Funções Analíticas” e “Introdução à Análise”.

Cálculo Diferencial e Integral I tratava basicamente de funções de uma variável,

cobrindo conteúdos que iam desde números reais, passando por limites e derivadas, até técnicas de integração. No segundo semestre, a disciplina cobria aplicações da integral, equações diferenciais simples e alguns pontos relacionados a funções de duas variáveis. Já no terceiro semestre, Cálculo Diferencial e Integral III abordava basicamente séries e seqüências numéricas e de funções, bem como funções de várias variáveis. Funções Analíticas por sua vez não diferia muito das disciplinas atuais de funções de variáveis complexas. Finalmente, Introdução à Análise contemplava pontos comuns em disciplinas introdutórias sobre o assunto como continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade, entretanto, a discussão de tópicos como conexidade do intervalo, compacidade e conexidade e espaços métricos e sua topologia sugeria um tratamento mais topológico.

No ano de 1976, a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II passou a contar com tópicos de Análise Vetorial: curvas, triedro de Frenet, campos de vetores. Por outro lado, os pontos de equações diferenciais foram retirados. Nesse mesmo ano, a carga horária de Cálculo Diferencial e Integral III foi ampliada e os seguintes itens incluídos: transformações entre espaços reais, jacobiano; teorema da função inversa e função implícita; máximos e mínimos, multiplicadores de Lagrange.

Em 1983, Introdução à Análise tem sua denominação alterada para Introdução à

Análise Real, porém sem nenhuma alteração em seu programa. Nesse mesmo ano, Funções Analíticas é substituída por Introdução à Análise Complexa. Essa disciplina, cujos objetivos eram o estudo da extensão das funções elementares ao campo complexo e das transformações conformes e geometria, tratava dos seguintes assuntos: números complexos; séries e seqüências de potências; derivação complexa; transformações conformes; funções elementares; integração complexa; séries de Taylor; singularidades.

Entre 1986 e 1988, todas as disciplinas de nosso interesse sofreram consideráveis

alterações em suas ementas. Cálculo Diferencial e Integral I passou a abordar também noções sobre equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem, enquanto que Cálculo Diferencial e Integral III, o cálculo diferencial e integral em várias variáveis e a análise vetorial, sendo os tópicos de séries e seqüências reduzidos apenas ao estudo de séries e seqüências numéricas. Séries e seqüências de funções em R, e também em C, passam a

(5)

compor o programa de Introdução à Análise Complexa. Introdução à Análise Real tem em seus objetivos, pela primeira vez, de algum modo a questão da importância de uma disciplina de Análise para o futuro professor tocada: apresentar ou reapresentar com detalhes tópicos de Cálculo Diferencial e Integral delicados e importantes para o futuro professor secundário. O porquê dessa importância não é esclarecido. Seu programa sofreu considerável alteração, abandonando, aparentemente, o tratamento mais topológico dado outrora e passando a tratar de: números reais; construção do R (por seqüências de Cauchy ou cortes de Dedekind); estrutura algébrica de R; ordem; expansão decimal; alguns números irracionais importantes; cardinalidade; seqüências e séries numéricas; convergência de séries; critérios da razão e da raiz; critério da integral; continuidade e diferenciabilidade; integrabilidade; integral de Riemann; integrabilidade de funções contínuas; Teorema Fundamental do Cálculo.

Em 1992 o curso de Licenciatura em Matemática como um todo é reformulado. Entretanto, no caso particular de nossas disciplinas de interesse, a única alteração foi a união das disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral I e Cálculo Diferencial e Integral II numa única anual, Cálculo Diferencial e Integral, sendo sua carga horária a soma das duas primeiras e seus objetivos e conteúdos, a junção. Em 1994, outra reformulação acontece, mas dessa vez com modificações consideráveis no nosso conjunto de disciplinas analisadas. Cálculo Diferencial e Integral passa a se chamar Cálculo para Funções de Uma Variável Real, também anual, abordando limites, derivadas, integrais, aplicações, Teorema do Valor Médio e Fundamental do Cálculo e seqüências e séries numéricas. Interessante notar que em seus objetivos essa disciplina sugere que a introdução ao estudo dos limites seja feita inicialmente de uma maneira não-formal. A partir desse ano, os licenciandos passam a contar, também, com uma disciplina anual de Cálculo no segundo ano do curso, Cálculo para Funções de Várias Variáveis Reais, onde, essencialmente, são estudadas as funções de duas ou três variáveis. Introdução à Análise Real volta a ser chamada apenas Introdução à Análise e, uma vez retirada da grade Introdução à Análise Complexa, passa a abarcar alguns pontos dessa como, por exemplo, extensão das funções elementares aos complexos, sem grande alterações nos demais conteúdos já descritos para o período de 1986 a 1988.

Com a reformulação do curso em 2001, as disciplinas de Cálculo para Funções de

(6)

em duas, I e II, em cada um dos semestres do primeiro e segundo ano, respectivamente. Em Cálculo para Funções de uma Variável Real I, estudava-se inequações, tipos especiais de funções, função derivada, conceito intuitivo de limite, continuidade e diferenciabilidade, regras de derivação, a integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo. Na segunda, algumas técnicas do cálculo, estudo das aplicações clássicas do Teorema do Valor Médio e Fundamental do Cálculo bem como alguns tópicos de modelagem. Cálculo para Funções de Várias Variáveis I contemplava tópicos de funções de duas e três variáveis: limite, continuidade e diferenciabilidade. Estudo de integrais duplas, triplas, integrais de linha e de superfície eram feitos em Cálculo para Funções de Várias Variáveis II.

Em 2002, Introdução à Análise tem seu programa bastante reduzido com relação ao

do período anterior, tratando apenas de séries e seqüências numéricas e de funções sob a forma de séries de potências, construção de R e demonstrações de alguns teoremas do Cálculo Diferencial e Integral. Seus objetivos – introduzir os conceitos básicos de análise real, apresentar formalmente a noção de completude dos números reais e suas conseqüências – deixam de contemplar a questão da formação do professor.

Esse quadro apresentado para as disciplinas de Cálculo para Funções de uma Variável I e II, Cálculo para Funções de Várias Variáveis I e II e Introdução à Análise, durante o período entre 2001 e 2002 não se alterou até os dias atuais, apesar das reformulações que o curso teve ainda nos anos de 2005 e 2009.

Essa etapa de nossa pesquisa no IME/USP ainda se encontra em fase inicial, por

conta disso, a poucas conclusões podemos chegar, porém, em linhas gerais já foi possível observar que as disciplinas de Cálculo, salvo trocas de pontos de um semestre para outro, pouco se alteraram. O espaço dado às funções de variáveis complexas foi reduzido, assim como os conteúdos que normalmente são ditos específicos de disciplinas de Análise. A questão da formação de professores de matemática é tocada, porém não fica claro de que maneira isso interferiu nos programas ao longo dos anos. Em todo caso, esse ponto deixa de ser observado a partir de 2002.

Conclusões e Considerações Finais

Nesse trabalho procuramos trazer algumas idéias relevantes e resultados preliminares de nossa pesquisa, cuja análise dos dados do ainda é inicial, donde poucos

(7)

resultados importantes a respeito do ensino de Análise no curso considerado foram trazidos à tona. Na realidade, temos aqui, basicamente, dados descritivos e procuramos não tomar nenhum posicionamento crítico até o momento. Julgamos ser essa a posição mais prudente, dado o momento que se encontra a nossa pesquisa. Com o seu prosseguimento, realizaremos a coleta de dados referentes ao período anterior a 1970 e analisaremos de forma mais criteriosa os já obtidos.

Agradecimentos

À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo que financia essa pesquisa.

Referências

BENITES, L.C.; SOUZA NETO, S.; HUNGER, D. O processo de constituição histórico das diretrizes curriculares na formação de professores de Educação Física. Educação e

Pesquisa. vol.34, n.2, pp. 343-360, 2008.

BOGDAN, R.; BIKLEN, S. Investigação Qualitativa em Educação: Uma Introdução à Teoria e aos Métodos. Porto: Porto Editora, 1994.

FLORES, J. Análisis de Datos Cualitativos: Aplicaciones a la Investigación Educativa. Barcelona: PPU, 1994.

KANEKO-MARQUES, S.M. A Estrutura Curricular de um Curso de Formação

Pré-Serviço e o Desenvolvimento das Competências de Professores de Língua Inglesa. In:

ABRAHÃO, Maria Helena Vieira; GIL, Gloria; RAUBER, Andréia Schurt (Orgs.). Anais

do I Congresso Latino-Americano sobre Formação de Professores de Línguas.

Florianópolis, UFSC, 2007.

KASSEBOLHMER, A.C.; FERREIRA, L.H. O processo de reformulação dos cursos de

Licenciatura em Química nas IES públicas paulistas. In: XIV Encontro Nacional de

Ensino de Química, 2008, Curitiba. Anais do XIV Encontro Nacional de Ensino de

Química, 2008.

LÜDKE, M; ANDRÉ, M.E.D.A. Pesquisa em Educação: abordagens qualitativas. São Paulo:EPU, 1986.

MILES, M.; HUBERMAN, M. Qualitative data analysis. An expanded Sourcebook. London: Sage, 1994.

(8)

MOREIRA, P.C.; CURY, H.N.; VIANNA, C.R. Por que análise real na licenciatura?.

Zetetiké, Campinas, p.11-42, jun. 2005.

SILVA, A.A.; TERRAZAN, E.A. Organização dos Estágios Curriculares Pré-Profissionais em Cursos de Licenciatura em Física. In: XVIII Simpósio Nacional de Ensino de Física, Vitória. Anais do XVIII Simpósio Nacional de Ensino de Física, 2009.

TUCKMAN, B. Manual de investigação em educação. Lisboa: Fundação Colouste Gulbenkian, 2002.

ZEICHNER, K. M. Alternative Paradigms of Teacher Education. Journal of Teacher