Distância alcançada pela granada de um obuseiro 155 mm Jonathan Tejeda Quartuccio Grupo de Pesquisas e Ensino de Ciências

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Distância alcançada pela granada de um obuseiro 155 mm

Jonathan Tejeda Quartuccio Grupo de Pesquisas e Ensino de Ciências

Introdução

Quando nos deparamos com exercícios envolvendo o lançamento oblíquo de objetos, fa-cilmente obtemos as equações de alcance e de trajetória por álgebra simples. Entretanto, isso é feito sem levar em consideração a resistência do ar. Em aplicações reais, tanto no meio militar quando civil, não podemos desconsiderar o efeito da força de arrasto sobre os objetos. Sendo assim, devemos olhar para o problema do lançamento oblíquo com um pouco mais de cuidado, buscando soluções que envolvam equações diferenciais. O tratamento, como veremos, não é muito complicado, de modo que deveremos recorrer à algumas expansões em série, necessárias para que possamos ignorar termos cuja contribuição é mínima ao movimento do projétil em questão. Começaremos nossa análise a partir da força de arrasto, construindo, a partir da se-gunda lei de Newton, as equações que descrevem o movimento real do projétil no ar.

1. A força de arrasto

Aqui irei analisar o movimento de um projétil num meio material, de modo que o arrasto deva ser considerado. A força de arrasto depende da velocidade do projétil, de modo que pode-mos escrever:

|𝐹⃗| ∝ 𝑣𝑛 (1.1)

Vemos, por (1.1), que a força pode ser entendida como uma função da velocidade, 𝐹(𝑣), o que permite escrever a lei de Newton como:

𝑚𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑣) → 𝑑𝑣 𝐹(𝑣)= 1 𝑚𝑑𝑡 (1.2) O expoente 𝑛 de (1.1) está relacionado com a viscosidade do meio. Se o meio é muito viscoso, então a velocidade do projétil é menor, o que acarreta uma aproximação de 𝑛 = 1. Se o meio é menos viscoso, então a velocidade do projétil é maior, de modo que podemos usar 𝑛 = 2. Para 𝑛 = 1 dizemos que o regime é viscoso, e para 𝑛 = 2 temos que o regime é

turbu-lento. Consideremos um projétil que é disparado de modo a formar um ângulo 𝜃 com a

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Figura 1.1 – Um projétil é disparado com velocidade 𝑣0 formando um ângulo 𝜃 com a horizontal. Na direita, temos a curva caracte-rística do movimento realizado pelo projétil.

A força de arrasto sobre o projétil é dada por:

𝐹𝑎𝑟𝑟 = −𝑏𝑟̇ (1.3)

em que 𝑏 é um parâmetro de arrasto e 𝑟̇ ≡ 𝑑𝑟/𝑑𝑡 ≡ 𝑣, sendo 𝑟 uma coordenada espacial ge-neralizada. O sinal negativo de (1.3) mostra que a força de arrasto é sempre oposta ao movi-mento. O movimento do projétil pode ser melhor analisado se separarmos o problema em duas partes, em que uma analisa as forças agindo sobre o projétil somente na direção 𝑥, horizontal, e a outra analisa as forças agindo sobre 𝑦, vertical. Temos então:

{_{𝑚𝑦̈ = −𝑚𝑔 − 𝑏𝑦̇}𝑚𝑥̈ = −𝑏𝑥̇ (1.4)

(1.5) Atente que em 𝑦 existem duas forças agindo, sendo que uma é a força peso do projétil (cujo sinal negativo depende do sistema adotado, de modo que aqui estou considerando 𝑦 sendo positivo para “cima” e 𝑥 sendo positivo para a direita. Como estou analisando o momento em que o projétil é disparado, estou me preocupando somente com o caso em que 𝑔 aponta no sentido oposto ao movimento. A força de arrasto sempre é negativa, independente da direção do movimento). Agora, o melhor a fazer é analisar separadamente as equações (1.4) e (1.5). Comecemos pelo movimento na horizontal.

2. Equações do movimento horizontal

Vamos olhar para a equação (1.4) e escreve-la como: 𝑚𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡 = −𝑏𝑣0𝑥

Essa é uma equação diferencial simples de ser resolvida. Dividindo ambos lados por 𝑚 e por 𝑣0𝑥 e multiplicando por 𝑑𝑡, obtemos:

𝑑𝑣𝑥 𝑣0𝑥

= − 𝑏 𝑚𝑑𝑡

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Na verdade, o que fiz foi “arrumar” a primeira equação, pois ela é do tipo separável. Integrando ambos lados da equação acima, teremos:

∫ 𝑑𝑣𝑥 𝑣0_𝑥 𝑣𝑥 𝑣_0𝑥 = −𝑏 𝑚∫ 𝑑𝑡 𝑡 𝑡₀

como 𝑏 e 𝑚 são constantes, esses termos não entram na integral à direita. Obtemos: ln (𝑣𝑥

𝑣0𝑥

) = −𝑏

𝑚(𝑡 − 𝑡0) Tirando o exponencial de ambos os lados e isolando 𝑣𝑥:

𝑣𝑥= 𝑣0𝑥𝑒

−_𝑚𝑏(𝑡−𝑡0) (2.1)

Assim, encontramos a equação que descreve o comportamento da velocidade em 𝑥. O expo-nencial negativo mostra como essa velocidade decresce com o tempo (o que é esperado). Po-demos partir diretamente de (2.1) e escrever 𝑣𝑥 = 𝑑𝑥/𝑑𝑡:

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 𝑣0𝑥𝑒

−_𝑚𝑏(𝑡−𝑡0) Isolando o termo 𝑑𝑥 e aplicando a integração:

∫ 𝑑𝑥 𝑥 𝑥0 = 𝑣0_𝑥∫ 𝑒− 𝑏 𝑚(𝑡−𝑡0) 𝑡 𝑡0 𝑑𝑡

e como 𝑣0_𝑥 é constante, ele não entra na integração. Para obter a solução, o melhor a fazer é usar uma substituição, de modo que:

𝑢 = 𝑡 − 𝑡0 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡

(2.2) (2.3) de modo que a derivação de (2.2) anulou o termo 𝑡0 por se tratar de uma constate. Assim:

𝑥 − 𝑥0= 𝑣0_𝑥∫ 𝑒− 𝑏 𝑚𝑢_𝑑𝑢 𝑡−𝑡₀

0

Como fiz uma mudança de variável, 𝑡 → 𝑢, os limites de integração à direita também tiveram de ser alterados. Assim, para 𝑡 = 𝑡0 temos 𝑢 = 𝑡0− 𝑡0= 0, e para 𝑡 = 𝑡, temos 𝑢 = 𝑡 − 𝑡0. Como a integral de 𝑒−𝑚𝑏𝑢𝑑𝑢 é −𝑚 𝑏𝑒 −𝑏 𝑚𝑢, temos: 𝑥 − 𝑥0= − 𝑣0_𝑥𝑚 𝑏 [𝑒 −_𝑚𝑏(𝑡−𝑡0)_{− 𝑒}−_𝑚𝑏(0)_]

onde já apliquei os limites de integração. Como 𝑒− 𝑏

𝑚(0)= 1, e reagrupando os termos, obtemos: 𝑥 = 𝑥0+ 𝑣0_𝑥

𝑚 𝑏(1 − 𝑒

−_𝑚𝑏(𝑡−𝑡0)₎ (2.4)

que é a equação que descreve o comportamento do projétil em 𝑥.

3. Equações do movimento vertical

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𝑚𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡 = −𝑚𝑔 − 𝑏𝑣𝑦 Dividindo ambos lados por 𝑚:

𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡 = −𝑔 − 𝑏 𝑚𝑣𝑦 e tomando o sinal negativo à direita da igualdade em evidência:

𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡 = − (𝑔 + 𝑏 𝑚𝑣𝑦)

essa é uma equação separável, de modo que posso rearranjar os termos: 𝑑𝑣𝑦

𝑔 +_{𝑚 𝑣}𝑏 𝑦

= −𝑑𝑡 (3.1)

Para resolver essa equação diferencial, irei substituir o termo do denominador fazendo: 𝑢 = 𝑔 +𝑏

𝑚𝑣𝑦

(3.2) derivando essa equação, e lembrando que 𝑔 é constante:

𝑑𝑢 = 𝑏 𝑚𝑑𝑣𝑦→ 𝑑𝑣𝑦= 𝑚 𝑏𝑑𝑢 (3.3) Usando (3.2) e (3.3) em (3.1): 𝑚𝑑𝑢 𝑢𝑏 = −𝑑𝑡 Agora, irei integrar ambos lados:

𝑚 𝑏∫ 𝑑𝑢 𝑢 = − ∫ 𝑑𝑡 𝑡 𝑡0 𝑢 𝑢0 𝑚 𝑏ln ( 𝑢 𝑢0 ) = −(𝑡 − 𝑡0) ou ln (𝑢 𝑢0 ) = −𝑏 𝑚(𝑡 − 𝑡0) Tomando o exponencial em ambos lados e isolando 𝑢:

𝑢 = 𝑢0𝑒− 𝑏 𝑚(𝑡−𝑡0)

Agora, posso voltar aos valores originais de 𝑢 e 𝑢0 dados por (3.2): 𝑔 + 𝑏

𝑚𝑣𝑦= (𝑔 + 𝑏 𝑚𝑣0𝑦) 𝑒

−_𝑚𝑏(𝑡−𝑡0) Fazendo uma álgebra simples para isolar 𝑣𝑦:

𝑣𝑦= ( 𝑚𝑔 𝑏 + 𝑣0𝑦) 𝑒 −_𝑚𝑏(𝑡−𝑡0)₋𝑚𝑔 𝑏 (3.4) e essa é a equação da velocidade em 𝑦. Note que para 𝑡 → ∞, o exponencial cai a zero, de modo que obtemos:

𝑣_{𝑦𝑡→∞}≅ −𝑚𝑔 𝑏

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A equação (3.5) fornece para nós a velocidade terminal do projétil, que surge quando a força de arrasto se iguala, em módulo, à força da gravidade.

Vamos olhar para a velocidade vertical de modo mais cuidadoso, recorrendo à série de Taylor. Lembremos que uma função 𝑓(𝑥) pode ser expandida em série da seguinte maneira:

𝑓(𝑥) =𝑓(𝑥0) 0! (𝑥 − 𝑥0) 0₊𝑓 ′_(𝑥 0) 1! (𝑥 − 𝑥0) 1₊𝑓 ′′_(𝑥 0) 2! (𝑥 − 𝑥0) 2_{+ ⋯} (3.6) onde 𝑓′ é a primeira derivada, 𝑓′′ é a segunda derivada e assim sucessivamente. Assumindo que a função tenha a forma 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑎𝑥, a expansão será (em torno de 𝑥0 = 0):

𝑓(𝑥) = 1 − 𝑎𝑥 +𝑎 2 2 𝑥 2₋𝑎3 6 𝑥 3_{+ ⋯} (3.7)

Assumindo que 𝑡0= 0, e tomando 𝑥 = 𝑡 e 𝑎 = 𝑏/𝑚, obtemos para (3.4): 𝑣𝑦= ( 𝑚𝑔 𝑏 + 𝑣0𝑦) [1 − 𝑏 𝑚𝑡 + 𝑏2 2𝑚2𝑡2− 𝑏3 6𝑚3𝑡3+ ⋯ ] − 𝑚𝑔 𝑏 (3.8) Para facilitar o cálculo, vou considerar que 𝑣0_𝑦 seja zero. Fazendo a distributiva em (3.8):

𝑣𝑦= 𝑚𝑔 𝑏 − 𝑔𝑡 + 1 2 𝑏𝑔 𝑚 𝑡 2₋1 6 𝑏2_𝑔 𝑚2 𝑡 3_{+ ⋯ −}𝑚𝑔 𝑏 Cancelando o primeiro termo com o ultimo à direita da igualdade:

𝑣𝑦≅ −𝑔𝑡 + 1 2 𝑏𝑔 𝑚 𝑡 2₋1 6 𝑏2𝑔 𝑚2 𝑡3+ ⋯ (3.9) Se não houver arrasto, 𝑏 = 0, a equação (3.9) se torna o caso mais simples:

𝑣𝑦= −𝑔𝑡 (3.10)

Retomemos à equação (3.4) fazendo 𝑣𝑦= 𝑑𝑦/𝑑𝑡. 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = ( 𝑚𝑔 𝑏 + 𝑣0𝑦) 𝑒 −_𝑚𝑏(𝑡−𝑡0)₋𝑚𝑔 𝑏 Separando as variáveis e aplicando a integração:

∫ 𝑑𝑦 𝑦 𝑦0 = (𝑚𝑔 𝑏 + 𝑣0𝑦) ∫ 𝑒 −_𝑚𝑏(𝑡−𝑡0)_𝑑𝑡 𝑡 𝑡0 −𝑚𝑔 𝑏 ∫ 𝑑𝑡 𝑡 𝑡0 Resolvendo: 𝑦 − 𝑦0= ( 𝑚𝑔 𝑏 + 𝑣0𝑦) (− 𝑚 𝑏𝑒 −_𝑚𝑏(𝑡−𝑡0)₊𝑚 𝑏𝑒 −_𝑚𝑏(0)_{) −}𝑚𝑔 𝑏 (𝑡 − 𝑡0) 𝑦 − 𝑦0= ( 𝑚𝑔 𝑏 + 𝑣0𝑦) ( 𝑚 𝑏 − 𝑚 𝑏𝑒 −𝑏 𝑚(𝑡−𝑡0)_{) −}𝑚𝑔 𝑏 (𝑡 − 𝑡0) 𝑦 − 𝑦0= ( 𝑚2_𝑔 𝑏2 + 𝑚 𝑏𝑣0𝑦) (1 − 𝑒 −_𝑚𝑏(𝑡−𝑡0)_{) −}𝑚𝑔 𝑏 (𝑡 − 𝑡0)

em que tomei os termos com 𝑚/𝑏 em evidência no segundo parêntesis e multipliquei pelos termos do primeiro parêntesis da segunda para a terceira linha (se tiver dúvidas, faça a distribu-tiva entre os dois parênteses e tire em evidência os termos com 𝑚/𝑏). Isolando 𝑦:

𝑦 = 𝑦0+ ( 𝑚2_𝑔 𝑏2 + 𝑚 𝑏 𝑣0𝑦) (1 − 𝑒 −𝑏 𝑚(𝑡−𝑡0)_{) −}𝑚𝑔 𝑏 (𝑡 − 𝑡0) (3.11)

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4. A Equação da Trajetória

Para obter a equação da trajetória irei considerar 𝑡0= 0, 𝑥0= 0 e 𝑦0= 0. Eu posso fazer os cálculos para quaisquer valores de 𝑡0, 𝑥0 e 𝑦0, mas optei por zero para não ter que escreve-los nas equações. A equação (2.4) se torna:

𝑥 = 𝑣0𝑥 𝑚

𝑏(1 − 𝑒 −𝑏

𝑚𝑡₎ (4.1)

Vou isolar o tempo 𝑡 nessa equação:

1 − 𝑒−𝑚𝑏𝑡 ₌ 𝑏𝑥 𝑚𝑣0_𝑥 −𝑒−𝑚𝑏𝑡 ₌ 𝑏𝑥 𝑚𝑣0𝑥 − 1 ou 𝑒−𝑚𝑏𝑡 _{= 1 −} 𝑏𝑥 𝑚𝑣_0𝑥 Tirando o logaritmo natural em ambos lados e isolando 𝑡:

𝑡 = −𝑚

𝑏 ln (1 − 𝑏𝑥 𝑚𝑣_0𝑥)

(4.2) O termo dentro dos parêntesis de (4.1) surge tanto em (2.4) quanto em (3.11). Acima, vimos que isolando esse termo para 𝑥 obtivemos:

1 − 𝑒−𝑚𝑏𝑡 ₌ 𝑏𝑥 𝑚𝑣0𝑥

Usando esse valor em (3.11), e lembrando de tomar 𝑦0 e 𝑡0 iguais a zero: 𝑦 = (𝑚 2_𝑔 𝑏2 + 𝑚 𝑏 𝑣0𝑦) ( 𝑏𝑥 𝑚𝑣_0𝑥) − 𝑚𝑔 𝑏 𝑡 𝑦 = (𝑚𝑔 𝑏𝑣0_𝑥+ 𝑣0𝑦 𝑣0_𝑥) 𝑥 − 𝑚𝑔 𝑏 𝑡 Usando (4.2) na equação acima:

𝑦 = (𝑚𝑔 𝑏𝑣0_𝑥+ 𝑣0𝑦 𝑣0_𝑥) 𝑥 − 𝑚𝑔 𝑏 [− 𝑚 𝑏ln (1 − 𝑏𝑥 𝑚𝑣_0𝑥)] Fazendo a distributiva, encontramos, finalmente, a equação da trajetória:

𝑦 = (𝑚𝑔 𝑏𝑣0_𝑥 +𝑣0𝑦 𝑣0_𝑥 ) 𝑥 +𝑚 2_𝑔 𝑏2 ln (1 − 𝑏𝑥 𝑚𝑣0_𝑥 ) (4.3)

Vamos tomar o termo do logaritmo e substitui-lo: 𝛽 = 𝑏𝑥

𝑚𝑣0𝑥

o que nos fornecerá ln(1 − 𝛽). A razão disso é que podemos expandir esse termo em série, de modo que:

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𝑦 = (𝑚𝑔 𝑏𝑣0𝑥 +𝑣0𝑦 𝑣0𝑥 ) 𝑥 +𝑚 2_𝑔 𝑏2 (− 𝑏𝑥 𝑚𝑣0𝑥 −1 2 𝑏2𝑥2 𝑚2_𝑣 0𝑥 2 − 1 3 𝑏3𝑥3 𝑚3_𝑣 03_𝑥 − ⋯ ) 𝑦 ≅𝑚𝑔𝑥 𝑏𝑣_0𝑥+ 𝑣0𝑦𝑥 𝑣0_𝑥 − 𝑚𝑔𝑥 𝑏𝑣0_𝑥− 𝑔𝑥2 2𝑣₀2_𝑥− 𝑏𝑔𝑥3 3𝑚𝑣₀3_𝑥− ⋯ 𝑦 =𝑣0𝑦𝑥 𝑣0𝑥 − 𝑔𝑥 2 2𝑣02_𝑥 − 𝑏𝑔𝑥 3 3𝑚𝑣₀3_𝑥− ⋯ (4.4)

A equação (4.4) nos fornece a trajetória do projétil de modo mais completo. Se 𝑏 = 0, então (4.4) se resume à equação de uma parábola:

𝑦 =𝑣0𝑦𝑥 𝑣0𝑥 − 𝑔𝑥 2 2𝑣₀2_𝑥 (4.5)

Figura 4.1 – A trajetória de um projétil para vários valores de 𝑏.

Para 𝑏 = 0, podemos obter o alcance, 𝑥, do projétil fazendo 𝑦 = 0 em (4.5): 0 =𝑣0𝑦𝑥 𝑣0𝑥 − 𝑔𝑥 2 2𝑣₀2_𝑥 𝑥 =2𝑣0𝑥𝑣0𝑦 𝑔 (4.6) Entretanto, a equação (4.6) descreve o movimento ideal do projétil, e não o caso real. Para o caso real, não podemos desconsiderar a resistência do ar.

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5. Alcance de um projétil com resistência do ar

Tomemos a equação (2.4) para 𝑥0= 0, 𝑡0= 0 e usando 𝑏/𝑚 = 𝑘. Assim: 𝑥 =𝑣0𝑥

𝑘 (1 − 𝑒

−𝑘𝑡₎ (5.1)

Para o eixo 𝑦, tomando também 𝑡0= 0 e 𝑦0 = 0 reescrevemos: 𝑦 = −𝑔𝑡 𝑘 + 𝑘𝑣0𝑦+ 𝑔 𝑘2 (1 − 𝑒 −𝑘𝑡₎ (5.2) Como queremos o alcance, vamos tomar 𝑦 = 0 em (5.2) e isolar 𝑡:

𝑡 =𝑘𝑣0𝑦+ 𝑔 𝑔𝑘 (1 − 𝑒

−𝑘𝑡₎

(5.3) Essa é uma equação transcendental, de modo que sua resolução é feita de modo numérico ou então recorrendo-se ao método das perturbações. Vamos usar esse método. Podemos reescre-ver (3.6) para uma função 𝑒𝑥 como:

𝑒𝑥= ∑𝑥 𝑛 𝑛! = 1 + 𝑥 + 𝑥2 2!+ 𝑥3 3!+ ⋯ ∞ 𝑛=0 (5.4) Em nosso caso, 𝑒𝑥= 𝑒−𝑘𝑡_{, ou:}

𝑒−𝑘𝑡_{= 1 − 𝑘𝑡 +}𝑘 2_𝑡2 2 − 𝑘3𝑡3 6 + 𝑘4𝑡4 24 − ⋯ (5.5)

No caso prático, 𝑘 ≪ 1, de modo que todo termo acima de 𝑘4 será muito pequeno. Assim, (5.3) se torna, já desconsiderando 𝑘 ≥ 𝑘4: 𝑡 =𝑘𝑣0𝑦+ 𝑔 𝑔𝑘 (1 − 1 − 𝑘𝑡 + 𝑘2𝑡2 2 − 𝑘3𝑡3 6 ) 𝑡 =𝑘𝑣0𝑦+ 𝑔 𝑔𝑘 (−𝑘𝑡 + 𝑘2𝑡2 2 − 𝑘3𝑡3 6 ) 𝑔𝑘𝑡 = −𝑘2𝑣0𝑦𝑡 − 𝑔𝑘𝑡 + 𝑘3_𝑣 0_𝑦𝑡2 2 − 𝑘4_𝑣 0_𝑦𝑡3 6 + 𝑔𝑘2𝑡2 2 − 𝑔𝑘3𝑡3 6 0 = 𝑘2𝑣0𝑦𝑡 − 𝑘3𝑣0𝑦𝑡 2 2 + 𝑘4𝑣0𝑦𝑡 3 6 − 𝑔𝑘2_𝑡2 2 + 𝑔𝑘3_𝑡3 6 −𝑘2𝑣0𝑦𝑡 = − 𝑘3𝑣0𝑦𝑡 2 2 − 𝑔𝑘2_𝑡2 2 + 𝑘4𝑣0𝑦𝑡 3 6 + 𝑔𝑘3_𝑡3 6 (5.6)

Multiplicando ambos lados de (5.6) por 2/𝑘2𝑡: −2𝑣0_𝑦 = −𝑘𝑣_0𝑦𝑡 − 𝑔𝑡 +𝑘 2_𝑣 0𝑦𝑡 2 3 + 𝑔𝑘𝑡2 3 −2𝑣0𝑦= − (𝑘𝑣0𝑦+ 𝑔) 𝑡 + 𝑘 3(𝑘𝑣0𝑦+ 𝑔) 𝑡 2 −2𝑣0_𝑦 = (𝑘𝑣0_𝑦+ 𝑔) [−𝑡 + 𝑘𝑡2 3 ]

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Devemos resolver essa equação e faremos isso tomando 𝑔 em evidência no denominador do primeiro termo à direita:

𝑡 = 2𝑣0𝑦 𝑔 (𝑘𝑣_{𝑔 + 1)}0𝑦 +𝑘𝑡 2 3 𝑡 =2𝑣0𝑦 𝑔 (1 + 𝑘𝑣0𝑦 𝑔 ) −1 +𝑘𝑡 2 3 (5.8)

O termo entre parêntesis pode ser expandido em série de Taylor da seguinte forma: (1 + 𝑥)𝑛_{= 1 + 𝑛𝑥 +}𝑛(𝑛 − 1) 2! 𝑥 2₊𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) 3! 𝑥 3_{+ ⋯} o que fornece: (1 +𝑘𝑣0𝑦 𝑔 ) −1 = 1 −𝑘𝑣0𝑦 𝑔 + 𝑘2_𝑣 02_𝑦 𝑔2 − ⋯ usando esse resultado em (5.8), e ignorando termos acima de 𝑘3:

𝑡 =2𝑣0𝑦 𝑔 (1 − 𝑘𝑣0𝑦 𝑔 + 𝑘2𝑣0𝑦 2 𝑔2 ) + 𝑘𝑡2 3 𝑡 =2𝑣0𝑦 𝑔 − 2𝑘𝑣02_𝑦 𝑔2 + 2𝑘2𝑣03_𝑦 𝑔3 + 𝑘𝑡2 3 𝑡 =2𝑣0𝑦 𝑔 + ( 𝑡2 3 − 2𝑣02_𝑦 𝑔2 ) 𝑘 + 2𝑣02_𝑦 𝑔3 𝑘2 (5.9)

Como 𝑘 é pequeno, vamos desconsiderar todos os valores para 𝑘 ≥ 𝑘2: 𝑡 =2𝑣0𝑦 𝑔 + ( 𝑡2 3 − 2𝑣02_𝑦 𝑔2 ) 𝑘 (5.10)

Note que se 𝑘 = 0, a equação (5.10) fornece o caso ideal: 𝑡 ≅2𝑣0𝑦

𝑔 (5.11)

que fornece o tempo em que o projétil leva a alcançar a altura máxima. Usando esse valor apro-ximado do lado direito de (5.10), obtemos:

𝑡 ≅2𝑣0𝑦 𝑔 + ( 4𝑣_0𝑦2 3𝑔2 − 2𝑣0𝑦 2 𝑔2 ) 𝑘 𝑡 ≅2𝑣0𝑦 𝑔 + 4𝑘𝑣_0𝑦2 3𝑔2 − 2𝑘𝑣02_𝑦 𝑔2

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A equação (5.12) fornece o tempo de voo da partícula (ou projétil). Agora, usaremos (5.5) em (5.1): 𝑥 =𝑣0𝑥 𝑘 (−𝑘𝑡 + 𝑘2𝑡2 2 − 𝑘3𝑡3 6 + 𝑘4𝑡4 24 − ⋯ ) e desconsiderando os valores para 𝑘 ≥ 𝑘3:

𝑥 = 𝑣0_𝑥(𝑡 + 𝑘𝑡2

2 ) (5.13)

Usando 𝑡 dado por (5.12):

𝑥 =2𝑣0𝑥𝑣0𝑦

𝑔 (1 −

4𝑘𝑣0_𝑦

3𝑔 ) (5.14)

Note que o termo fora dos parêntesis do lado direito de (5.14) é o mesmo de (4.6). Assim, a equação (5.14) representa a distância 𝑥 multiplicada por um fator constante. Por conta disso, vamos chamar o 𝑥 de (5.14) de 𝑥′: 𝑥′=2𝑣0𝑥𝑣0𝑦 𝑔 (1 − 4𝑘𝑣0_𝑦 3𝑔 ) e usando o valor de (4.6): 𝑥′ = 𝑥 (1 −4𝑘𝑣0𝑦 3𝑔 ) (5.14)

E essa é a equação que fornece a distância real alcançada pelo projétil.

6. Exemplo: Obuseiro 155 mm

Comecei a me perguntar sobre o alcance de um projétil quando estava no exército brasi-leiro. Servi no 12° G.A.C, na cidade de Jundiaí-SP, onde fui do setor de topografia. Meu trabalho era determinar, através de trigonometria, a distância até o inimigo. Os valores obtidos pelos meus companheiros e por mim eram passados ao setor de ajuste, ou central de tiro. Com a distância e a direção do inimigo conhecida, a linha de fogo poderia realizar os disparos com o obuseiro, um canhão com cerca de 58000 newtons de peso. Lembro-me do dia em que tomei ciência da distância alcançada pelo projétil do obuseiro. O projétil consiste de uma granada que pesa cerca de 42,9 Kg e, quando disparada por um ângulo de 45°, com uma velocidade 564 m/s, atinge uma distância de quase 15 quilômetros. O ângulo de 45° é o valor necessário para que o alcance seja máximo, e isso pode ser constatado diretamente da equação do alcance.

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Figura 6.1 – O obuseiro 155 mm, usado pelos Grupos de Artilharia de Campanha (G.A.C)

Durante uma confraternização no quartel, vi um banner em frente à um obuseiro forne-cendo os dados sobre esse. Além da massa da granada, o que me chamou a atenção foi a dis-tância. Na época eu ainda me preparava para entrar na universidade, e meu conhecimento de física era muito mais rarefeito do que é hoje. Eu conhecia a equação (4.6) dos tempos de colégio, e decidi utilizá-la para me certificar de que as informações contidas no banner estavam corretas. Para meu desespero, ao calcular a distância do projétil encontrei um valor igual a 31 quilôme-tros, mais que o dobro do valor real! De fato, eu não havia considerado a resistência do ar e desconhecia o método para calcular a distância de modo correto. A tabela a seguir mostra re-sultados da distância ideal 𝑥, dada por (4.6), e os rere-sultados da distância real 𝑥′, dada por (5.14), onde foi usado 𝑘 = 0,0072:

Tabela 1 – alguns valores para distâncias considerando o caso ideal e caso real para vários ângulos diferentes.

ângulo (°) distância x (km) distância x' (km)

10 10,9 5 20 20,4 9,4 30 27,5 12,6 45 31,8 14,6 55 29,9 13,7 70 20,4 9,4 88 2,2 1,01 Conclusão

Vemos que quando não levamos em conta a resistência do ar obtemos valores para a distância que estão fora da realidade. A tabela 1 mostra claramente que, no caso ideal a distân-cia é um pouco mais que o dobro do valor real. O valor de 𝑘 pode ser obtido diretamente da experiência, de modo que depende da massa do projétil. Uma vez determinada o valor de 𝑘, podemos predizer o alcance para qualquer ângulo. Embora eu tenha feito um tratamento le-vando em conta somente a resistência do ar, poderíamos obter resultados mais exatos ao inserir

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a velocidade do vento nas equações iniciais (1.4) e (1.5). Esse método é um pouco mais compli-cado, pois necessita levar em consideração a mudança exponencial da atmosfera com a altura. Além disso, o cano por onde a granada escapa do obuseiro contém raias. Isso permite com que a granada gire no ar, auxiliando em seu deslocamento. Como existe um giro, para tornar o cál-culo ainda mais preciso, deveríamos levar em conta o efeito Magnus. Entretanto, esses valores não desviam muito daqueles da tabela 1, de modo que podemos usá-los como uma boa aproxi-mação.