CRONOGRAMA MATEMÁTICA 1º ANO - COMPÊNDIO II 2º BIMESTRE 2021
1º DIA
• AULA 1 – FUNÇÃO EXPONENCIAL • GRÁFICO DA FUNÇÃO
• EXERCÍCIO 2º DIA • TRABALHO 3º DIA
• AULA 2 – EQUAÇÃO EXPONENCIAL • EXERCÍCIO
GOVERNO DO ESTADO DO PARÁ
SECRETARIA DO ESTADO DE EDUCAÇÃO A.O.S. DIOCESE DE ABAETETUBA
EEEFM SÃO FRANCISCO XAVIER
COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA ANO/SÉRIE: 1º ANO PROFESSORES RESPONSÁVEIS: MANOEL JOÃO, MARCEL SOARES, MARKUS DIAS E OTÁVIO
ALUNO (A):______________________________________________
• AULA 1 – FUNÇÃO EXPONENCIAL GRÁFICO DA FUNÇÃO
A função exponencial é utilizada para descrever e modelar o comportamento de várias situações no nosso dia a dia. Podemos observá-la, por exemplo, na matemática
financeira, em situações que envolvem juros compostos, em reprodução de cultura de bactérias, e até mesmo o comportamento de novos casos da covid-19, durante a pandemia em 2020, aproxima-se muito de um comportamento exponencial.
A lei de formação da função exponencial é f(x) = ax, podendo gerar um gráfico
crescente ou decrescente, dependo do valor da base “a”.
Podemos dividir a função exponencial em dois casos: crescente ou decrescente. O gráfico da função f(x) = ax é crescente quando a base é um número maior do que 1, ou seja, quando a > 1. Nesse caso, quanto maior o valor de x maior será o valor de y.
A função exponencial é decrescente quando a base é um número maior que 0 e menor que 1, ou seja, quando 0<a<1. Caso ela seja decrescente, quanto maior o valor de x menor será o valor de y.
• Gráfico da Função Exponencial
Para traçar o gráfico de uma função exponencial, é necessário encontrar o valor numérico para alguns valores de x. Existem duas possibilidades para o
comportamento do gráfico, ele pode ser crescente ou decrescente, como vimos
anteriormente. Quando o gráfico é crescente, a função exponencial é caracterizada por possuir um crescimento muito rápido em comparação, por exemplo, com a função afim.
Podemos observar que o gráfico não passa pelo 3º e 4º quadrante do plano
cartesiano, pois o contradomínio será, como vimos na definição, os reais positivos e
maiores que 0. Por mais próximo que o gráfico chegue do eixo x, ele não o tocará, não há valor algum no domínio que faça com que ax seja igual a 0, lembrando que, por
definição, a base é sempre maior do que 0.
Exemplo: Construa o gráfico da função: f(x) = 2x.
Como a >1, então essa função é crescente. Para a construção do gráfico, vamos atribuir alguns valores para x conforme a tabela a seguir:
x = 2 (x, y) −2 −2 = 2 =14 −2,14 −1 −1 = 2 =12 −1,12 0 0 = 2 = 1 0,1 1 0 = 2 = 2 1,2 2 0 = 2 = 4 2,4
Agora que conhecemos alguns pontos da função, é possível marcá-los no plano cartesiano e traçar a curva da função exponencial.
Exemplo: Construa o gráfico da função = :
Nesse caso, a função é decrescente, já que a base é um número entre 0 e 1, então o gráfico será decrescente.
x = 12 (x, y) −2 −2 = 12 = 4 −2, 4 −1 −2 = 12 = 2 −1, 2 0 −2 = 12 = 1 0,1 1 −2 = 12 =12 1,12 2 −2 = 12 =14 2,14
Após encontrar alguns valores numéricos, é possível representar no plano cartesiano o gráfico da função:
• Propriedades da Função Exponencial
1ª Propriedade: Em uma função exponencial qualquer, independentemente do valor de sua base a, temos que f(0) = 1. Afinal, sabemos que essa é uma propriedade de
potência, ou seja, todo número elevado a 0 é 1. Isso significa que o gráfico vai interceptar o eixo vertical no ponto (0,1) sempre.
2ª Propriedade: A função exponencial é injetora. Dados x1 e x2 tal que x1 ≠ x2, então as imagens também serão diferentes, ou seja, f(x1) ≠ f(x2), o que significa que, para cada valor da imagem, existe um único valor no domínio que corresponde a essa imagem. Ser injetiva significa que, para valores diferentes de y, existirá um único valor de x que faz com que f(x) seja igual a y.
3ª Propriedade: É possível saber o comportamento da função de acordo com o valor da sua base. O gráfico será crescente se a base for maior que 1 (a > 1) e decrescente se a base for menor que 1 e menor que 0 (0 < a < 1).
4ª propriedade: O gráfico da função exponencial está sempre no 1º e 2º quadrantes, pois o contradomínio da função são os reais positivos diferentes de zero.
Exercício
1ª – Construa os gráficos das funções: a) = 3
b) =
2ª – (Enem 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1.800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é S(t) = 1800.(1,03)t. De acordo com a
proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais,
a) 7.416,00 b) 3.819,24 c) 3.709,62 d) 3.708,00 e) 1909,62
3ª – O número N de peixes em um lago pode ser estimado utilizando a função N, definida por N(t) = 500 · 1,02t, em que t é o tempo medido em meses. Pode-se, então,
estimar que a população de peixes no lago, a cada mês:
a) Cresce 0,2% b) Cresce 2% c) Cresce 20% d) Decresce 2% e) Decresce 20%
4ª – O valor de certo equipamento, comprado por R$60.000,00, é reduzido à metade a cada 15 meses. Assim, a equação = 60.000. 2 , onde t é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais, representa a variação do valor desse equipamento. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que o valor do equipamento após 45 meses de uso será igual a:
a) R$ 3.750,00 b) R$ 7.500,00 c) R$10.000,00 d) R$20.000,00
5ª – A equação exponencial = 2 representa a progressão dos lucros acumulados de uma empresa, em milhões. Sendo X a quantidade de meses acumulados, qual será o lucro em um trimestre?
a) O lucro será de 26 milhões b) O lucro será de 8 milhões c) O lucro será de 17 milhões d) O lucro será de 27 milhões
e) O lucro será de 16 milhões
• AULA 2 – EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Uma equação exponencial é uma expressão algébrica que possui uma igualdade e pelo menos uma incógnita em um de seus expoentes.
Para ser considerada equação, uma expressão precisa ter pelo menos uma incógnita, que é um número desconhecido representado por uma letra, e uma relação de
igualdade. Dessa maneira, as equações exponenciais são aquelas que possuem pelos menos uma incógnita no expoente e bases positivas diferentes de 1.
Assim, são exemplos de equações exponenciais: 4x + 2 + 16x = 8; 16x + 42x = 32
COMO RESOLVER UMA EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Resolver uma equação é encontrar o valor numérico das incógnitas que aparecem nela. Para isso, é preciso ter clareza sobre os seguintes conteúdos:
• Resolução de equações do primeiro grau; • Propriedades de potências;
Além disso, existe uma propriedade das equações exponenciais que é indispensável para sua resolução:
ax = ay ↔ x = y (a > 0 e a diferente de 1)
O que essa propriedade garante é que, se duas potências de mesma base são iguais, os expoentes dessas potências também são.
Exemplo: Calcule o valor de x na equação 3x = 27.
Observe que 27 é igual a 33. Substituindo esse valor na equação, teremos: 3x = 33
Note que as bases são iguais. Agora podemos usar a propriedade das equações exponenciais e escrever:
x = 3
Exemplo: Resolva a equação: 2x + 4 = 64. 2x + 4 = 64
Observe que 64 é uma potência de base 2, pois 64 = 26. Substituindo esse valor na equação, teremos:
2x + 4 = 26
Usando a propriedade das equações exponenciais, teremos: x + 4 = 6
Para finalizar, basta calcular a equação resultante. x = 6 – 4
x = 2 Exercício
1ª – O valor de x na equação = 81 é igual a: a) - 4
b) 4 c) - 2 d) 2 e) – 1
2ª – A equação !√2# = 64 tem x igual a: a) 12 b) 14 c) 10 d) 20 e) -12 3ª – Se 5 = 100, então 5 é igual a: a) 4 b) 8 c) 10 d) 16 e) 100
4ª – A solução de 2%&' = 8248/x = 8 é um: a) Múltiplo de 16
b) Múltiplo de 3 c) Número primo
d) Divisor de 8 e) Divisor de 9
5ª – O conjunto solução, em ℜ, da equação exponencial 0,25 ( = 0,5 é: a) 2
b) 3 c) 4/9 d) 5 e) 9/4
6ª – Um grupo de biólogos está estudando o desenvolvimento de uma determinada colônia de bactérias e descobriu que sob condições ideais, o número de bactérias pode ser encontrado através da expressão N(t) = 2000 . 20,5t, sendo t em horas. Considerando essas condições, quanto tempo após o início da observação, o número de bactérias será igual a 8192000?
7ª – O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão ) * = +,--. ,-,.*. Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38400 bactérias?
a) 12h e 30min. b) 10 horas c) 8h e 45min. d) 2 horas e) 1h e 30min.
8ª – O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população / * = .-. ,0*, em que t é o tempo, em hora, e P(t) é a população, em milhares de bactérias. Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a população sera:
a) Reduzida a um terço b) Reduzida à metade c) Reduzida a dois terços d) Duplicada
