Matemática. Função exponencial e inequação exponencial. Teoria. Função exponencial. que associa a todo número real x ao resultado da

Função exponencial e inequação exponencial

Objetivo

Aprender como resolver função exponencial e inequação exponencial. Conhecer o comportamento e o gráfico dessa função e resolver as situações problemas propostas nos exercícios.

Se liga

Para essa aula é importante que você tenha conhecimento sobre as propriedades de potências.

Curiosidade

Você sabia que não vemos função exponencial apenas em matemática? Podemos também ver sua aplicação em geografia, em física, em química, em biologia e entre outras. Como por exemplo: a propagação do covid tem crescimento exponencial (pelo menos no início). Na verdade, a propagação de muitas doenças se dá dessa forma.

Teoria

Função exponencial

A função exponencial é uma aplicação de

𝑅

em

𝑅

₊^∗ que associa a todo número real x ao resultado da potência 𝑎^𝑥, em que a, chamada base da função exponencial é um número real positivo e diferente de 1.

𝑓:

𝑅

→

𝑅

₊^∗

𝑥 → 𝑎

^𝑥

Cuidado! Precisamos tomar alguns cuidados em relação à base a.

• Se a base fosse negativa, nem sempre o resultado da função não seria um número real. Observe o exemplo:

𝑓(𝑥) = (−2)^𝑥 𝑓(0,5) = (−2)^0,5= √−2

Sabemos que esse resultado não existe no conjunto dos números reais.

• Se a base for igual a zero, também poderá nos trazer problemas. Observe o exemplo:

𝑓(𝑥) = 0^𝑥 𝑓(−1) = (0)⁻¹=1

0 Sabemos que divisão por 0 é indeterminado.

•

Se a base for igual a 1, o resultado da função seria sempre 1, o que a tornaria uma função constante e não exponencial.

Gráfico

Sendo respeitadas todas as restrições, construiremos o gráfico da função exponencial. Dividiremos em casos:

1º caso:

𝑎 > 1.

Ex: 𝑓(𝑥) = 2^𝑥

Podemos observar algumas coisas importantes:

•

A função é crescente, pois a base é maior do que 1.

•

A curva nunca corta o eixo x, pois é impossível que uma potência de base positiva dê 0.

•

A curva corta o eixo y em y = 1, pois, quando x = 0, temos que 𝑓(0) = 2⁰= 1.

2º caso: 0 < 𝑎 < 1 Ex: 𝑓(𝑥) = (¹₂)^𝑥

Podemos observar algumas coisas importantes:

•

A função é decrescente, pois a base está entre 0 e 1.

•

A curva nunca corta o eixo x, pois é impossível que uma potência de base positiva dê 0.

• A curva corta o eixo y em y = 1, pois, quando x = 0, temos que 𝑓(0) = (¹₂)⁰= 1.

Inequação exponencial

Uma inequação exponencial deve ser resolvida da seguinte forma:

•

Primeiro, temos que colocar ambos os lados da inequação na mesma base.

•

Depois, transformamos a inequação entre as potências em uma inequação entre os expoentes. Para isso, temos dois casos a serem estudados.

1º caso: base >1 (exponencial crescente) O sentido da desigualdade se mantém.

𝑎^𝑥> 𝑎^𝑦↔ 𝑥 > 𝑦

2º caso: 0 < base < 1 (exponencial decrescente) Invertemos o sinal da inequação.

𝑎^𝑥> 𝑎^𝑦↔ 𝑥 < 𝑦

Exercícios de fixação

1.

A função exponencial 𝑓(𝑥) = (¹

4)^𝑥é a) Crescente

b) Constante c) Decrescente

2.

Temos que 𝑔(𝑥) = (2)^𝑥+3, o valor de g(2) é:

a) 16 b) 32 c) 64

3.

Dadas as funções 𝑓(𝑥) = 2^2𝑥+1 e 𝑔(𝑥) = 4^3𝑥−2 , o valor de x que atende à igualdade 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) é:

a) 𝑥 =⁵

4

b) 𝑥 =⁴

5

c) 𝑥 = 2

4.

Resolva a inequação 2^𝑥> 128 a) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 > 7}

b) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 < 7}

c) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 > 5}

5.

O conjunto solução da inequação abaixo é:

(3 5)

𝑥

≥ 27 125 a) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 | 𝑥 ≥ 5}

b) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 | 𝑥 ≥ 7}

c) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 | 𝑥 ≤ 3}

Exercícios de vestibulares

1.

O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:

𝑝(𝑡) = 40 × 2^3𝑡

em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias. Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a população será

a) reduzida a um terço.

b) reduzida à metade.

c) reduzida a dois terços.

d) duplicada.

e) triplicada.

2.

O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é

𝑠(𝑡) = 1800 ∙ (1,03)^𝑡.

De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais,

a) 7.416,00.

b) 3.819,24.

c) 3.709,62.

d) 3.708,00.

e) 1.909,62.

3.

Um trabalhador possui um cartão de crédito que, em determinado mês, apresenta o saldo devedor a pagar no vencimento do cartão, mas não contém parcelamentos a acrescentar em futuras faturas.

Nesse mesmo mês, o trabalhador é demitido. Durante o período de desemprego, o trabalhador deixa de utilizar o cartão de crédito e também não tem como pagar as faturas, nem a atual nem as próximas, mesmo sabendo que, a cada mês, incidirão taxas de juros e encargos por conta do não pagamento da dívida. Ao conseguir um novo emprego, já completados 6 meses de não pagamento das faturas, o trabalhador procura renegociar sua dívida. O gráfico mostra a evolução do saldo devedor.

Com base no gráfico, podemos constatar que o saldo devedor inicial, a parcela mensal de juros e a taxa de juros são:

a) R$ 500,00; constante e inferior a 10% ao mês.

b) R$ 560,00; variável e inferior a 10% ao mês.

c) R$ 500,00; variável e superior a 10% ao mês.

d) R$ 560,00; constante e superior a 10% ao mês.

e) R$ 500,00; variável e inferior a 10% ao mês.

4.

Admita que um tipo de eucalipto tenha expectativa de crescimento exponencial, nos primeiros anos após seu plantio, modelado pela função 𝑦(𝑡) = 𝑎^𝑡−1, na qual y representa a altura da planta em metro, t é considerado em ano, e a é uma constante maior que 1. O gráfico representa a função y.

Admita ainda que 𝑦(0) fornece a altura da muda quando plantada, e deseja-se cortar os eucaliptos quando as mudas crescerem 7,5 m após o plantio. O tempo entre a plantação e o corte, em ano, é igual a:

a) 3.

b) 4.

c) 6.

d) log27.

e) log215.

5.

Em um laboratório, cientistas observaram crescimento de uma população de bactérias submetida a uma dieta magra em fósforo, com generosas porções de arsênico. Descobriu-se que o número de bactérias dessa população, após t horas de observação, poderia ser modelado pela função exponencial 𝑁(𝑡) = 𝑁₀∙ 𝑒^𝑘𝑡 em que N0 é o número de bactérias no instante do início da observação (t = 0) e representa uma constante real maior que 1, e k é uma constante real positiva. Sabe-se que, após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado. Cinco horas após o início da observação, o número de bactérias, em relação ao número inicial dessa cultura, foi

a) 3 N0 b) 15 N0 c) 243 N0 d) 360 N0 e) 729 N0

6.

Considere a equação exponencial 2 ∙ 3^𝑥−4= 150. Sobre o valor de x, é verdade afirmar que a) 𝑥 ∈ [4,6[

b) 𝑥 ∈ [6,8[

c) 𝑥 ∈ [8,10[

d) 𝑥 ∈ [10,13[

e) 𝑥 ∈ [13,15[

7.

O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor X, o segundo √𝑋, o terceiro 𝑋¹³ , o quarto 𝑋² e o último 𝑋³ Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.

Qual desses países obteve o maior IDH?

a) O primeiro.

b) O segundo.

c) O terceiro.

d) O quarto.

e) O quinto.

8.

A inequação 10^𝑥+ 10^𝑥+1+ 10^𝑥+2+ 10^𝑥+3+ 10^𝑥+4< 11.111 em que x é um número real, a) não tem solução.

b) tem apenas uma solução.

c) tem apenas soluções positivas.

d) tem apenas soluções negativas.

e) tem soluções positivas e negativas.

9.

No intervalo [1,8], o número de soluções inteiras da inequação 2^𝑥− 7 > 2^3−𝑥 é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

10.

Um modelo de automóvel tem seu valor depreciado em função do tempo de uso segundo a função 𝑓(𝑡) = 𝑏 ∙ 𝑎^𝑡, com t em ano. Essa função está representada no gráfico.

Qual será o valor desse automóvel, em real, ao completar dois anos de uso?

a) 48000 b) 48114 c) 48600 d) 48870 e) 49683

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Gabaritos

Exercícios de fixação

1. C

Temos que função exponencial é crescente quando a base é maior que 1, e decrescente, quando a base está entre 0 e 1

Temos que a base é o número ¹₄ , e é um número entre 0 e 1, portanto, a função é decrescente.

2. B

𝑔(𝑥) = (2)^𝑥+3 𝑔(2) = 2⁽²⁺³⁾ 𝑔(2) = 2⁵ 𝑔(2) = 32

3. A

Temos 𝑓(𝑥) = 2^2𝑥+1 e 𝑔(𝑥) = 4^3𝑥−2, então 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 2^2𝑥+1= 4^3𝑥−2

2^2𝑥+1= 2^2(3𝑥−2) 2^2𝑥+1= 2^6𝑥−4) 2𝑥 + 1 = 6𝑥 − 4 1 + 4 = 6𝑥 − 2𝑥 5 = 4𝑥

𝑥 =5 4 4. A

2^𝑥> 128

Temos que 128 = 2⁷ 2^𝑥 > 2⁷

𝑥 > 7

Portanto, 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 > 7}

5. C (3 5)

𝑥

≥ 27 125 (3

5)

𝑥

≥3³ 5³ (3

5)

𝑥

≥ (3 5)

3

Como ³₅ está entre 0 e 1.

𝑥 ≤ 3

Exercícios de vestibulares

1. D

Desde que 20 =¹

3ℎ , vem 𝑝 (1

3) = 40 ∙ 2^3∙13= 80

Portanto, após 20 min, a população será duplicada.

2. E

Fazendo os cálculos:

𝑠(𝑡) = 1800 ∙ (1,03)^𝑡 𝑠(2) = 1800 ∙ (1,03)² 𝑠(2) = 1909,62 3. C

Do gráfico, tem-se que o saldo devedor inicial é R$500,00. Além disso, como a capitalização é composta, podemos concluir que a parcela mensal de juros é variável. Finalmente, supondo uma taxa de juros contante e igual a 10%m ao mês, teríamos, ao final de 6 meses, um saldo devedor igual a 500 . (1,1)⁶ ≅ R$885,78. Portanto, comparando esse resultado com o gráfico, podemos afirmar que a taxa de juros mensal é superior a 10%.

4. B

Sendo y(0) = 0,5, temos, 𝑎⁰⁻¹= 0,5 ↔ 𝑎 = 2

Assim, queremos calcular o valor de t para o qual se tem 𝑦(𝑡) = 0,5 + 7,5 = 8, ou seja, 2^𝑡−1= 8 ↔ 𝑡 = 4

5. C

Sabendo que 𝑁(1) = 3𝑁₀, temos 3𝑁₀= 𝑁₀∙ 𝑒^𝑘∙1↔ 𝑒^𝑘= 3 Em consequência, vem 𝑁(5) = 𝑁₀∙ 𝑒^𝑘∙5

= 𝑁₀∙ (𝑒^𝑘)⁵

= 𝑁₀∙ 3⁵

= 243𝑁₀ 6. B

2 ∙ 3^𝑥−4= 150 3^𝑥−4= 75

Como 27 < 75 < 81, podemos escrever:

27 < 3^𝑥−4< 81 3³ < 3^𝑥−4< 3⁴ 3 < 𝑥 − 4 < 4 7 < 𝑥 < 8

A alternativa correta é a [B], pois [6, 8[ contém o intervalo ]7, 8[

7. C

Tem-se que, dado 0 < 𝑎 < 1, temos 𝑎^𝛼< 𝑎^𝛽 se, e somente se, 𝛼 > 𝛽, quais quer que sejam 𝛼 𝑒 𝛽 reais.

Logo, sendo 0 < 𝑋 < 1, vem 𝑋³< 𝑋²< 𝑋 < 𝑋¹²< 𝑋¹³. Em consequência, podemos afirmar que o terceiro país obteve maior IDH.

8. D

Resolvendo a inequação, obtemos:

Portanto, a inequação dada tem apenas soluções negativas.

9. D Observe:

2^𝑥− 7 > 2^3−𝑥↔ 2^𝑥− 7 >2³

2^𝑥↔ (2^𝑥)²− 7 ∙ 2^𝑥> 2³ Fazendo 2^𝑥 = 𝑦, temos:

𝑦² − 7𝑦 > 2³↔ 𝑦²− 7𝑦 − 8 > 0

Resolvendo a inequação do segundo grau, encontramos que 𝑦 < −1 𝑜𝑢 𝑦 > 8 Como 𝑦 < −1 não convém, temos:

𝑦 > 8 ↔ 2^𝑥> 8 → 2^𝑥> 2³↔ 𝑥 > 3

Como 𝑥 ∈ [−1,8] , temos um total de 5 soluções inteiras.

10. C