Aulas Particulares on-line

PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.

Produção _{Desenvolvimento Pedagógico}Projeto e

Disciplinas Autores

Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra

Literatura Fábio D’Ávila

Danton Pedro dos Santos

Matemática Feres Fares

Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa

Física Cleber Ribeiro

Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Química Edson Costa P. da Cruz

Fernanda Barbosa

Biologia Fernando Pimentel

Hélio Apostolo Rogério Fernandes

História Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini

Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva

Geografia Duarte A. R. Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor] 660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71

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1

EM_V_MA T_009

Aplicações:

Progressão

Aritmético-

-Geométrica,

Juros Simples e

Compostos

Somatório

O somatório é uma notação abreviada para indi-car uma soma. O símbolo , que se lê, somatório de a_i , variando i de 1 até n, representa a soma de todos os valores de a_i, quando se atribuem a i os valores inteiros 1, 2, 3, ..., n.

n

Σ a_i = a₁ + a₂ + a₃ +...+ a_n

i=1

O índice i é o índice do somatório (índice mudo) e assume todos os valores inteiros de 1 a n chamados, respectivamente, limite inferior e limite superior do índice i.

O número de parcelas do somatório é igual à diferença entre os limites superior e inferior do índice mais uma unidade.

O somatório não precisa necessariamente ter 1 como limite inferior. Dessa forma, sendo n ≥ m dois inteiros, temos: n Σ a_i=a_m+ a_m+1+ a_{m+2+...+ a}n i=m O somatório nΣ (2i+3)= 5 + 7+ 9 +...+(2n + 3)= n·(n + 4) i=1

indica a soma dos n primeiros termos de uma pro-gressão aritmética de primeiro termo 5 e razão 2.

Propriedades

n Σ i=1 (ai+bi) = n Σ i=1 ai + n Σ i=1 bi I. n Σ i=1 a =n . a II. n Σ i=1 (k . a_i) = k . nΣ i=1 a_i III.

2

EM_V_MA

T_009

Produtório

O produtório é uma notação abreviada para indi-car um produto. O símbolo a_i, que se lê, produtório de a_i , variando i de 1 até n, representa o produto de todos os valores de a_i, quando se atribuem a i os valores inteiros 1, 2, 3, ... , n.

n

Π a_i = a₁ · a₂ · a₃ ·...· a_n

i=1

O índice i é o índice do produtório (índice mudo) e assume todos os valores inteiros de 1 a n chamados, respectivamente, limite inferior e limite superior do índice i.

O número de fatores do produtório é igual à di-ferença entre os limites superior e inferior do índice mais uma unidade.

O produtório não precisa necessariamente ter 1 como limite inferior. Dessa forma, sendo n ≥ m dois inteiros, temos: n Π a_i = a_m . a_m+1 . a_m+2 ... a_n i=m O produtório nΠ 3i_{= 3 . 3}2 _{. 3}3 _{... 3}n _{= 3} i=1 n(n+1) 2 indica o produto dos n primeiros termos de uma progres-são geométrica de primeiro termo 3 e razão 3.

Propriedades

n Π i=1 (a_i · b_i) = nΠ i=1 a_i · nΠ i=1 b_i I. n Π i=1 a = an II. n Π i=1 (k · a_i) =kn _· n_Π i=1 a_i III.

Progressões aritmético-

-geométricas (PA–PG)

Uma PA–PG é uma sequência da forma (a_n . b_n), onde (a_n) é uma PA e (b_n) é uma PG.

A soma dos n primeiros termos de uma PA–PG pode ser obtida como segue:

Seja a PA–PG (a₁b₁, a₂b₂, a₃b₃, ..., a_nb_n) onde (a_n) é uma PA de razão r e (b_n) é uma PG de razão q.

S_n = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ + ... + a_nb_n qS_n = qa₁b₁ + qa₂b₂ + qa₃b₃ + ... + qa_nb_n qS_n = a₁b₂ + a₂b₃ + a₃b₄ + ... + a_n−1b_n + qa_nb_n S_n− q S_n = a₁b₁ +(a₂ − a₁)b₂ +(a₃ − a₂)b₃ + ... + (a_n − a_n−1)b_n + qa_nb_n S_n(1 − q) = a₁b₁ +qa_nb_n + r(b₂ +b₃+ ... +b_n) − ₋ − = + + − n 1 2 n 1 1 n n b (q 1) S (1 q) a b qa b r. q 1 − + − = − − − n 1 1 1 n n 2 n 2 a b qa b b (q 1) S r . 1 q (q 1)

Assim, para calcular x + 2x2 _{+ 3x}3 _{+ 4x}4 _+...,

onde 0 < x < 1, devemos fazer: S = x + 2x2 _{+ 3x}3 _{+ 4x}4 _{+ ...} xS = x2 _{+ 2x}3 _{+ 3x}4 _{+ 4x}5 _{+ ...} ⇒ (1 − x) S = x + x2 _{+ x}2 _{+ x}4 _{+ ...= x} 1 – x ⇒ = − n 2 x S (1 x)

Progressões aritméticas

de ordem superior

PA de 2.ª ordem

É uma sequência numérica na qual a diferença entre os termos consecutivos forma uma PA não- -estacionária (r ≠ 0).

Exemplo:

`

1 4 9 16 25 (2.ª ordem)

3 5 7 9 (PA)

O termo geral de uma PA de 2.ª ordem é um polinômio do 2.º grau em n.

p(n) = an2 _{+bn +c}

A sequência formada pela soma dos n primeiros termos de uma PA é uma PA de 2.ª ordem. Isso pode ser verificado na fórmula da soma dos termos da PA que é de 2.º grau em n.

PA de ordem k

É uma sequência numérica na qual a diferença entre os termos consecutivos forma uma PA de or-dem k – 1.

3

EM_V_MA T_009 Exemplo: ` 1 8 27 64 125 216 (3.ª ordem) 7 19 37 61 91 (2.ª ordem) 12 18 24 30 (PA)

O termo geral de uma PA de ordem k é um po-linômio de grau k em n.

p(n) = α_knk _+α

k−1nk−1 + ... +α1n + α0

A sequência formada pelas somas nos n pri-meiros termos de uma PA de ordem k é uma PA de ordem k + 1.

Soma das potências

de grau k de uma PA

A soma das potências de grau k de n termos de uma PA é um polinômio de grau (k +1) em n.

S_n= a k

1 + a k 2 + ... + a k n-1 + a k n =

α_k + 1nk+1 _{+ α}

knk + ... + α1n + α0

Assim, para calcular a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais positivos, basta fazer: S_n = 12 _{+ 2}2 _{+ 3}2 _{+ ... + n}2 _{= an}3 _{+ bn}2 _{+ cn + d} n = 1 ⇒ a + b + c + d = 1 n = 2 ⇒ 8a + 4b + 2c + d = 5 n = 3 ⇒ 27a + 9b + 3c + d = 14 n = 4 ⇒ 64a + 16b + 4c + d = 30 ⇒ a 1, b 1, c 1 e d 0 3 2 6 = = = = ⇒ 2 2 2 2 3 2 n 1 1 1 S 1 2 3 ... n n n n 3 2 6 = + + + + = + +

Sequências recorrentes

Vamos desenvolver a teoria das sequências re-correntes analisando um caso particular, a chamada sequência de Fibonacci, definida como segue:

f₀ = 0 f₁ = 1

f_n = f_n−1 + f_n−2 , n 2 equação de recorrência) Com base na definição, calculam-se os primeiros termos da sequência.

(f_n) = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 35, 56, 91, ...) O termo geral dessa sequência é obtido fazendo f_n = rn_. rn _{= r}n−1 _{+ r}n−2 _{⇒ r}2 _{−r −1 = 0 ⇒} 1,2 1 5 r 2 ± =

Supondo f_n uma combinação linear de rn 1 e rn2. Usando f₀ = 0 e f₁ = 1, obtém-se 1 5 α = e 1 5

β = − e o termo geral da sequência é expresso

por: n n n 1 1 5 1 5 f . 2 2 5 _{ +   − }    = _{ } −_{ }       

O método acima pode ser utilizado para outra definição dos primeiros termos, assim como outra equação de recorrência.

Aumentos e descontos

Seja um preço inicial PI que foi aumentado de x%, o novo preço é:

PF = PI + PI.x% = PI.(1 + x%)

Seja um preço inicial PI que sofreu um desconto de x%, o novo preço é:

PF = PI – PI.x% = PI.(1 – x%)

Exemplos:

`

Um produto custava R$80,00 e sofreu um aumento 1)

de 30%. Qual o novo preço?

Solução:

`

80,00 ⋅ (1+ 0,3) = R$104,00

Um produto que custava R$80,00 foi vendido com 2)

um desconto de 30%. Qual o preço de venda?

Solução:

`

80,00 . (1− 0,3) = R$56,00

Um produto que custava R$80,00 passou a custar 3)

R$110,00. Qual o percentual de aumento?

Solução:

`

80 . (1+ x) = 110 x = 0,375 = 37,5%

Um produto que custava R$80,00 foi vendido com 4)

desconto por R$70,00. Qual o percentual do des-conto?

Solução:

`

80 . (1− x) = 70 x = 0,125 = 12,5%

4

EM_V_MA

T_009

Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos 5)

de 10%. Qual o aumento resultante?

Solução:

`

Pf = Pi . (1 + 0,1) . (1 + 0,1) = 1,21Pi

Aumento: Pf −Pi = 1,21Pi − Pi = 0,21Pi = 21% Uma mercadoria sofreu um aumento de 20% e 6)

posteriormente um desconto de 20%. Qual o re-sultado final?

Solução:

`

Pf = Pi . (1 + 0,2).(1 − 0,2) = 0,96Pi

Desconto: Pf − Pi = 0,96Pi − Pi = −0,04Pi = 4%

Operações sobre

mercadorias

São operações que envolvem a compra e venda de mercadorias e o lucro ou prejuízo nessas operações.

Vendas com lucro: o preço de venda é obtido pelo preço de custo mais o lucro.

V = C + L

Vendas com prejuízo: o preço de venda é obtido pelo preço de custo menos o prejuízo

V = C − P

O lucro ou o prejuízo são comumente calculados com base no preço de custo, mas podem também ser calculados sobre o preço de venda. Observe o quadro a seguir Cálculo sobre o preço de custo Cálculo sobre o preço de venda

Com lucro V = C + i%.C V = C +i%.V Com prejuízo V = C − i%.C V = C − i%.V

Exemplos:

`

Uma mercadoria custou R$80,00. Por quanto deve 1)

ser vendida para que haja um lucro de 10% sobre o preço de custo?

Solução:

`

V = C + 10%.C = 1,1.C = 1,1 . 80,00 = R$88,00 Uma mercadoria custou R$80,00. Por quanto deve 2)

ser vendida para que haja um lucro de 10% sobre o preço de venda?

Solução:

`

V = C + 10%.V = C + 0,1.V 0,9.V = C 0,9.V = 80,00 V = R$88,89

Uma mercadoria foi vendida por R$180,00, com 3)

um prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Qual o preço de custo dessa mercadoria?

Solução:

`

V = C − i%.V C = (1 + i%).V = (1+0,1) . 180,00 C = R$198,00

Uma calça foi vendida por R$120,00 com um lucro 4)

de 20% sobre o preço de custo. Qual o preço de custo da calça? Solução: ` V = C + i%.C V = C.(1 + i%) 120,00 = C.(1 + 0,2) C = 120,00:1,2 = R$100,00

Juros simples

O regime de capitalização simples é aquele em que os juros gerados em cada período são iguais e sobre eles não incidem novos juros, ou seja, os juros não são capitalizados.

Juros simples são então, a remuneração rece-bida pela aplicação de um capital C a uma taxa de juros i% durante um certo tempo t, cuja remuneração é calculada somente sobre o capital inicial C.

C.i.t 100 J=

em que C é o capital inicial aplicado (principal) i é a taxa percentual de juros.

t é o tempo de aplicação. J são os juros recebidos.

Na fórmula acima, o tempo t deve ser expresso na mesma unidade a que estiver referenciada a taxa de juros i. Dessa forma, se a taxa de juros for ao ano, o tempo deve ser expresso em anos, já se a taxa de juros for ao mês, o tempo deverá estar em meses.

Chama-se montante (M) o valor resgatado ao final da aplicação do capital C.

M = C + J M = C 1 + ₁₀₀i.t

No regime de capitalização a juros simples os acréscimos ao capital em cada período são iguais, ou seja, o montante cresce segundo uma progressão aritmética, o que pode ser confirmado pela caracte-rística da expressão acima que é uma função do 1.º grau em t.

Vale citar que, para o cálculo de juros, normal-mente é usado o ano comercial de 360 dias, no qual os meses são sempre considerados com 30 dias.

5

EM_V_MA

T_009

Exemplos:

`

Se R$3.000,00 foram aplicados por 5 meses à taxa 1)

de juros simples de 4% ao mês, determine os juros recebidos e o montante.

Solução:

`

J = C . i . t/100 = 3.000,00 . 4 . 5:100 = 600,00 M = C + J = 3.000,00 + 600,00 = 3600,00 Um capital de R$2.000,00 foi aplicado por 7 meses 2)

a uma taxa anual de juros simples de 24%. Qual o montante dessa aplicação?

Solução:

`

Como o tempo está em meses e a taxa de juros ao ano, deve-se transformar um dos dois para a unidade do outro.

24%a.a. = 24%_{12 a.m.= 2%a.m} M = C . (1 + i% . t)

M = 2000,00 . (1 + 0,02 . 7) = 2.000,00 . 1,14 = R$2.280,00

Um capital de R$5.000,00 foi aplicado por 20 dias 3)

a juros simples a 9% ao mês. Qual o montante da aplicação? Solução: ` 20 dias = 20/30 mês = 2/3 mês i% = 9% a.m. M = C . (1 + i% . t) M = 5.000,00 . (1 + 0,09 . 2:3) = 5.000,00 . 1,06 M = R$5.300,00

O capital de R$500,00 aplicado durante um ano e 4)

meio a juros simples rendeu R$180,00. Qual a taxa mensal? Solução: ` J = C . i% . t i% = J/C . t t = 1,5 ano = 18 meses i% = 180,00/500,00 . 18 = 0,02 = 2%a.m. A aplicação de R$3.000,00 a juros simples de 5)

taxa mensal igual a 6% gerou montante igual a R$3.420,00. Determine o prazo da aplicação.

Solução: ` M = C + J J = M − C J = 3.420,00 − 3.000,00 = 420,00 J = C . i% . t t = J/C . i% t = 420,00/3.000,00 . 0,06 = 7:3 meses = 70 dias

Juros compostos

A maioria das operações financeiras não traba-lha com sistema de capitalização simples, mas sim com capitalização composta.

No regime de capitalização composta, os juros gerados em cada período são incorporados ao capital (capitalizados) para o cálculo dos juros no período seguinte.

Chamamos de juros compostos a remuneração que o capital C recebe após n períodos de aplica-ção, quando a cada período, a partir do segundo, os juros são calculados sobre o montante do capital no período anterior.

M = C . (1 +i%)n

onde M é o montante, ou seja, o valor resgatado ao final do período.

É importante interpretar o significado da ex-pressão anterior a qual estabelece que uma quantia hoje igual a C₀, transformar-se-á, depois de n perí-odos de tempo, em uma quantia M = C₀ . (1 +i%)n_.

Isto é, uma quantia de valor atual A equivalerá no futuro, após n períodos de tempo, a uma quantia F=A(1+i%)n_.

Assim, podemos concluir o seguinte:

para obter o valor futuro, basta multiplicar o

•

atual por (1+i%)n_;

para obter o valor atual, basta dividir o futuro

•

por (1+i%)n_.

O fator (1 +i%)n _{é chamado fator de capitalização.}

Os juros J podem ser obtidos subtraindo do montante M o capital inicial C.

J = M – C

No regime de capitalização a juros compostos o montante cresce segundo uma progressão geomé-trica, o que pode ser confirmado pela característica da expressão M = C . (1 +i%)n_{, que é uma função}

exponencial em t.

Exemplos:

`

Qual o montante produzido por R$10.000,00 à 1)

taxa de juros compostos de 6% ao mês durante 5 meses? Solução: ` M = C . (1 + i%)n M = 10.000,00 . (1+0,06)5 _{= 10.000,00 . 1,06}5 ₌ R$13.382,25

Calcular o montante da aplicação de R$10.000,00 à 2)

taxa composta de 8% ao trimestre durante 1 ano.

6

EM_V_MA T_009 Solução: ` n = 1 ano = 4 trimestres M = C . (1 + i%)n M = 10.000,00 . (1+0,08)4_{= 10.000,00 . 1,08}4 ₌ R$13.604,88

Uma pessoa aplicou R$1.000,00 por um ano e meio 3)

à taxa de juros compostos de 6% ao bimestre. Qual o montante dessa aplicação?

Solução:

`

n = 1,5 anos = 18 meses = 9 bimestres M = C . (1 + i%)n

M = 1.000,00 . (1+0,06)9 _{= 1.000,00 . 1,06}9 _{= R$} 1.689,48

Qual o capital que aplicado a juros compostos de 4) 2% ao mês gera um montante de R$225.232,40 após um semestre? Solução: ` n = 1 semestre = 6 meses M = C ... (1 + i%)n M (1 + i%)n C = 225.232,40:(1+0,02)6 _{= 225.232,40:1,02}6 C = R$200.000,00

Determinar o capital que aplicado à taxa composta 5)

de 9% ao mês rende juros de R$82.316,20 numa aplicação de 4 meses. Solução: ` M = C . (1 + i%)n J = M – C = C . [(1 + i%)n <sub>– 1]</sub> 82.316,20 = C . [(1+0,09)4 <sub>– 1]</sub> 8 2.3 16,2 0 = C . (1,0 94 <sub>– 1) C =</sub> 82.316,20:0,411581 C = 200.000,00 (FGV) Calcule 1. 60 Σ j =1 (2j –1) Solução: ` = = = + − = − = = ∑ ∑ ∑ 60 60 60 j 1 j 1 j 1 (1 60 ).60 ( 2 j 1) 2 j 1 2. 3 600 2

(Unicamp) Considere uma progressão geométrica 2.

de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do

terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores.

Calcule os dois valores possíveis para a razão q a)

dessa progressão.

Supondo que o primeiro termo seja

b) 1− 5

2 e q > 0,

calcule a soma dos três primeiros termos dessa progressão. Solução: ` Termo geral da PG: a a) _n = a₁ . q n−1 _{, n 1} a_n = a_n−1 + a_n−2 , n 3 a₁ . qn−1 _{= a} 1 . qn−2 + a1qn−3 (: a₁qn−3₎ ⇒ q2 _{–q –1 = 0 ⇒ q =} 1 5 2 q > 0 b) ⇒ 1+ 5 2 − + + = ⇒ = = = − 1 2 1 1 5 (1 5 )(1 5 a a a q 2 2 2 a3 = a2q = (–2) . (1 + 5 ) 2 = –1 – 5 S3 = a1 + a2 + a3 = 2a3 = –2 – 2 5

(UFRJ) Uma reta divide o plano em duas regiões; duas 3.

retas dividem-no em, no máximo, quatro regiões; três retas dividem-no em, no máximo, sete regiões; e assim sucessivamente. Em quantas regiões, no máximo, 37 retas dividem o plano?

Solução:

`

Observemos, inicialmente, que, dadas n – 1 retas no plano, sempre é possível encontrar uma enésima que as intercepte (de fato: basta que o ângulo da nova reta com uma reta fixa seja diferente do que as retas já dadas fazem com a mesma reta fixa) e não passe por nenhum dos pontos de interseção já existentes.

Observemos, ainda, que, se o plano está dividido em k regiões convexas e introduzimos uma nova reta, passa-mos a ter k + p regiões convexas, onde p é o número de regiões atravessadas pela reta.

Ora, se temos n – 1 retas dividindo o plano em Sn−1 re-giões e introduzimos a enésima reta, esta, ao cruzar m retas (em pontos outros que os de interseção destas), atravessa exatamente m + 1 regiões. Como a nova reta pode, no máximo, cruzar todas as n – 1 retas já existentes, passamos a ter, no máximo, Sn−1 + n regiões.

Para cada n ∈ N, seja S_n o número máximo de subdivisões obtido com n retas. Então:

S1 = 2

7

EM_V_MA T_009 S₃ = 7 = S₂ + 3 = S₁ + 2 + 3 S₄ = 11 = S₃ + 4 = S₁ + 2 + 3 + 4 ... S_n = S_n−1 + n = S₁ + 2 + 3 + ... + n + + + + + + = + n n( n 1) S =1 (1 2 3 ... n ) 1 2 n = 37 ⇒ S₃₇ = 704

(UERJ) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua 4.

safra anual, vende cada fruta por R$2,00. A partir daí, o preço de cada fruta decresce R$0,02 por dia. Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia.

Expresse o ganho do fruticultor com a venda das a)

frutas como função do dia de colheita.

Determine o dia da colheita de maior ganho para b)

o fruticultor.

Solução:

`

Expressando as informações do enunciado na tabela a)

abaixo:

Frutas Período da colheita

Dia 1 Dia 2 Dia 3 ... Dia n+1

Valor (R$) 2,00 2,00 − 0,02 . 1 2,00 − 0,02 . 2 2,00 − 0,02n Quantidade 80 80 + 1 80 + 2 80 + n ⇒ Ganho = G(n) = (80 +n)⋅(2,00 – 0,02n) = 160 + 0,4n – 0,02n2

Basta calcular o valor de n, para qual o trinômio do b)

2.º grau assume seu valor máximo.

− = = − 0,4 n 10 2.( 0,02 ) Dia: n + 1 = 10 + 1 = 11

(FGV) Fábio recebeu um empréstimo bancário de 5.

R$10.000,00, para ser pago em duas parcelas anuais, a serem pagas respectivamente no final do primeiro e do segundo ano, sendo cobrados juros compostos à taxa de 20% ao ano. Sabendo que o valor da 1.ª parcela foi R$ 4.000,00, podemos concluir que o valor da 2.ª foi de:

R$8.800,00 a) R$9.000,00 b) R$9.200,00 c) R$9.400,00 d) R$9.600,00 e) Solução: ` E

Ao fim do primeiro ano o montante da dívida era de 10.000 . 1,2 = R$12.000,00.

Com o pagamento da 1.ª parcela, a dívida caiu para R$12.000,00 − R$4.000,00 = R$8.000,00.

Ao fim do segundo ano, a dívida total era de 8.000 . 1,2 = R$9.600,00

Este deve ser o valor da 2.ª parcela para quitar a dívida. (Fuvest) Uma empresa vende uma mercadoria e vai 6.

receber o pagamento em duas prestações. A primeira no ato da venda e a segunda trinta dias após. Supondo que o preço à vista da mercadoria seja C reais, que o primeiro pagamento seja de C/3 reais e que a inflação nesses 30 dias seja de 25%, calcule o valor que deve ser cobrado no segundo pagamento da venda a compensar exatamente a inflação do período.

5C/4 a) 5C/6 b) 2C/3 c) 5C/12 d) C/6 e) Solução: ` B

A situação do problema pode ser representada pelo diagrama abaixo:

Para obter o valor x, basta considerar que ele é o valor futuro do valor atual C − C/3 = 2C/3 após um período a uma taxa de 25%.

2C

3 (1+ 25%) = 2C3 . 54 = 5C6

x =

(FGV) O Sr. Oliveira aplicou R$20.000,00 numa cader-7.

neta de poupança e R$30.000,00 num fundo de ações por um ano. Nesse período, a caderneta de poupança rendeu 8% e o fundo de ações apenas 2%.

8

EM_V_MA

T_009

Qual a taxa de rendimento global do Sr. Oliveira, no a)

período?

Quanto ele deveria ter aplicado no fundo de ações b)

(mantida a aplicação de R$20.000,00 na caderneta de poupança) para que sua taxa global fosse de 6% ao ano?

Solução:

`

montante caderneta: 20.000

a) ⋅ 1,08 = 21.600

montante fundo de ações: 30.000 ⋅ 1,02 = 30.600 rendimento global = 21.600 + 30.600 – 50.000

50.000 = 4,4%

x = valor aplicado no fundo de ações rendimento b) global = x = 10.000 21.600 + x .1,02 – (20.000 + x) 20.000 + x = 6% 4,4% a) R$10.000,00 b)

(FGV) Benedito, um motorista de táxi que percorre 8.

5 040km por mês, analisa a hipótese de adquirir um veí-culo equipado com tecnologia flex fuel, bicombustível. No folheto de propaganda a montadora explica que o veículo bicombustível tanto pode usar álcool como gasolina, em qualquer proporção, apresentando a seguinte tabela de consumo, de acordo com as proporções de combustíveis utilizadas:

Combustível Consumo (km por litro) Álcool Gasolina – 100% 18 40% 60% 16 60% 40% 15 70% 30% 14 100% – 10

Considerando que atualmente a gasolina custa a)

R$2,00 por litro e que o preço do litro de álcool é 45% do preço do litro de gasolina, que proporção de combustíveis Benedito deveria utilizar no veículo equipado com tecnologia flex fuel, para que tivesse o menor gasto mensal possível?

Para comprar o carro bicombustível, Benedito des-b)

penderá R$3.000,00 a mais do que gastaria se ad-quirisse o mesmo modelo com motor movido a ga-solina, que faz 18km por litro. Nas duas hipóteses, o seu carro atual entrará como parte do pagamento. O nosso motorista está em dúvida, pois se comprar o

carro a gasolina poderá aplicar os R$3.000,00 em um fundo de investimento que garante um rendimento de 30% de juros no período de 3 anos. Supondo que os preços dos combustíveis mantenham-se nos níveis atuais nos próximos 3 anos, qual a aquisição que proporcionará maior ganho a Benedito?

Solução:

`

Supondo-se que Benedito possa usar apenas as a)

opções apresentadas na tabela do enunciado, pode-se montar a tabela abaixo para o gasto em cada uma das situações.

Preço por litro(R$) Consumo mensal (L) Gasto mensal (R$) 0 . 0,90 + 1 . 2,00 = 2,00 5040 : 18 = 280 2,00 . 280 = 560,00 0,4 . 0,90 + 0,6 . 2,00 =1,56 5040 : 16 = 315 1,56 . 315 = 491,40 0,6 . 0,90 + 0,4 . 2,00 =1,34 5040 : 15 = 336 1,34 . 336 = 450,24 0,7 . 0,90 + 0,3 . 2,00 =1,23 5040 : 14 = 360 1,23 . 360 = 442,80 1 . 0,90 + 0 . 2,00 = 0,90 5040 : 10 = 504 0,90 . 504 = 453,60

A análise dos resultados mostra que seu gasto mensal será o menor possível com a proporção de 70% de álcool e 30% de gasolina.

Nas condições acima, se Benedito adquirir um veí-b)

culo com tecnologia flex fuel, ele poderá economi-zar, no máximo, 560,00 – 442,80 = 117,20 reais por mês, no gasto com combustível. Isso corresponde a 117,20 . 36 = 4219,20 reais em 3 anos.

Descontando R$3.000,00 que ele gastaria a mais na aquisição, ele economizaria R$1.219,20. Nesse mesmo período, a aplicação de R$3.000,00 rende-ria R$900,00 (30% de R$3.000,00). Logo, a melhor aquisição é a do veículo flex-fuel.

70% de álcool e 30% de gasolina. a)

Um veículo equipado com tecnologia

b) flex fuel.

(UFSCar) Uma função f é definida recursivamente como 1. f n( + =1) 5f n( )+2 5 . Sendo f(1) = 5, o valor de f(101) é: 45 a) 50 b)

9

EM_V_MA T_009 55 c) 60 d) 65 e)

(FGV) As figuras representam 3 etapas de uma sequên-2.

cia construída com quadrados escuros e claros, todos de lados iguais.

A diferença entre o número de quadrados escuros e o número de quadrados claros em uma etapa será igual a 92 apenas na 11.ª etapa. a) 12.ª etapa. b) 13.ª etapa. c) 14.ª etapa. d) 15.ª etapa. e)

(FGV) Durante o último jogo da seleção brasileira, 3.

brinquei com meu primo, apostando quem conseguiria colocar mais pipocas na boca. Comecei colocando duas na boca e fui aumentando r pipocas por vez, como em uma PA. Ele começou colocando uma na boca e foi multiplicando por r, como numa PG. Na quarta vez em que colocamos pipocas na boca, descobrimos que a quantidade colocada por nós dois foi a mesma. Nessa nossa brincadeira, o valor de r é:

um número quadrado perfeito. a)

um número maior que 3. b) um divisor de 15. c) um múltiplo de 3. d) um número primo. e)

(PUC-Rio) Um quadrado mágico de ordem n é uma 4.

matriz n x n cujas entradas são os inteiros de 1 até n2 _{e tal}

que a soma de todos os inteiros em cada linha e em cada coluna dá o mesmo resultado S. Qual o valor de S? (UFF) Cada linha e cada coluna da matriz

5. A_{100 100x}

constitui uma progressão aritmética conforme indicado a seguir: A = 1 2 3 101 102 103 201 202 203













                         

Determine a soma dos elementos da diagonal principal de A.

(UFC) Uma sequência de números reais é dita uma 6.

progressão aritmética de segunda ordem quando a sequência formada pelas diferenças entre termos sucessivos for uma progressão aritmética. Assinale a alternativa na qual se encontra parte de uma progressão aritmética de segunda ordem.

(0, 5, 12, 21, 23) a) (6, 8, 15, 27, 44) b) (−3, 0, 4, 5, 8) c) (7, 3, 2, 0, −1) d) (2, 4, 8, 20, 30) e)

(UFPR) Considere a sequência cujo termo geral é 7. x n n n n = + −( )1

2 , com n = 1, 2, 3, ... . Atribuindo-se valores

cada vez maiores para n, o número x _n se aproxima de: 1 2 a) 1 b) 2 c) 1 4 d) 0 e) Calcule a soma: S 8. _n = 1 . 3 + 2 . 4 + 3 . 5 + ... + n . (n + 2) (UERJ) Um comerciante gastou R$250,00, adquirindo as 9.

mercadorias A e B para revender. Observando a tabela abaixo, calculou e comprou o número de unidades de A e B para obter o lucro máximo.

Mercadorias

Preço por unidade (R$) Máximo de unidades li-berado para o comerciante de custo de venda A 1,00 2,50 200 B 2,00 3,00 100

Com a venda de todas as unidades compradas, o lucro máximo, em reais, foi:

10

EM_V_MA T_009 225 a) 250 b) 275 c) 325 d)

(UERJ) No dia 5 de dezembro, uma loja aumenta os 10.

preços de seus produtos em 60%. Na liquidação após o Ano Novo, os mesmos produtos sofrem um desconto de 27,5%, em relação aos preços reajustados em 5 de dezembro. Após esta liquidação, podemos constatar que os preços dos produtos, em relação aos preços do dia 4 de dezembro, sofreram uma variação percentual de:

16,0% a) 29,0% b) 32,5% c) 44,0% d)

(UERJ) João, na compra de um produto pago por meio 11.

de um sistema de crédito, optou por dividir o pagamento em 5 parcelas iguais. Esse sistema cobra, ao final de cada mês, a partir da data da compra, juros de 10% sobre a quantia que ainda resta a ser paga. A percentagem total que João pagará de juros, nesta compra, será aproximadamente de: 50% a) 32% b) 25% c) 20% d)

(FGV) Um aparelho de TV é vendido por R$1.000,00 12.

em dois pagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o 1.º como entrada e o 2.º um mês após a compra. Se o pagamento for feito à vista, há um desconto de 4% sobre o preço de R$1.000,00. A taxa mensal de juros simples do financiamento é aproximadamente igual a:

8,7% a) 5,7% b) 7,7% c) 4,7% d)

(Unicamp) Um eletrodoméstico está à venda por 13.

R$1.200,00 em três pagamentos: R$400,00 à vista, R$400,00 um mês depois e R$400,00 dois meses depois. Para pagamento à vista o comerciante dá um desconto de 20%. Supondo que a inflação tenha se estabilizado em 20% ao mês, e que mantendo o dinheiro no banco o comprador ganha essa correção mensal, verifique qual dos dois planos é mais vantajoso – à vista ou a prazo – e explique por quê.

(UERJ) Se um comprador dispusesse exatamente de 14.

R$5.890,00 para a aquisição de um ventilador, e optasse

pela forma de pagamento em duas vezes, teria que qui-tar, no ato da compra, a primeira parcela de R$3.960,00, restariam R$1.930,00 (R$5.890,00 – R$3.960,00) para pagar, 30 dias após, a segunda parcela de R$ 3.960,00. Suponha que os R$1.930,00 restantes venham a ser aplicados no mercado financeiro até o dia do paga-mento da segunda parcela de R$3.960,00. Nesse caso, os R$1.930,00 teriam de render, para saldar a dívida, aproximadamente, o mínimo de:

34,5% a) 50,5% b) 55% c) 80% d) 105% e)

(UFRRJ) Um armário custa à vista R$620,00 ou duas 15.

prestações de R$375,00, uma no ato da compra e outra após 30 dias. Para que a compra em duas vezes seja vantajosa, devemos encontrar um investimento que renda, em 30 dias, mais do que:

53% a) 45% b) 35% c) 21% d) 33% e)

(UFRJ) Um eletrodoméstico custa R$250,00 à vista, 16.

mas pode também ser pago em duas vezes: R$150,00 de entrada e R$150,00 ao fim de 30 dias. Qual a taxa de juros mensal que a loja está cobrando do cliente que paga em duas vezes?

20% a) 25% b) 40% c) 50% d) 70% e)

(FGV) A rede Corcovado de hipermercados promove a 17.

venda de uma máquina fotográfica digital pela seguinte oferta: “Leve agora e pague daqui a três meses”. Caso o pagamento seja feito à vista, Corcovado oferece ao consumidor um desconto de 20%. Caso um consumidor prefira aproveitar a oferta, pagando no final do 3.º mês após a compra, a taxa anual de juros simples que estará sendo aplicada no financiamento é de:

20% a) 50% b) 100% c) 80% d)

11

EM_V_MA

T_009

120% e)

(UFJF) As promoções do tipo “Leve 5 e Pague 4”, quando 18.

feitas de modo que o cliente ganhe de fato um produto, dão um desconto, sobre cada unidade vendida, de:

6,25% a) 10% b) 20% c) 25% d) 30% e)

(FGV) O Sr. Macedo possui uma loja de sapatos. Cada 19.

par é comprado por um certo valor e é vendido com uma margem de contribuição (diferença entre o preço de venda e de compra) igual a 30% do preço de venda.

Se cada par for vendido por R$60,00, qual o preço a)

de compra?

Se o preço de compra for de R$40,00, qual a mar-b)

gem de contribuição, expressa como porcentagem do preço de compra?

(FGV) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$ 20.

48,00 ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro no ato da compra e o outro um mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento é aproximadamente igual a: 6,7% a) 7,7% b) 8,7% c) 9,7% d) 10,7% e)

(PUC-Rio) Uma inflação mensal de 2% acumula durante 21.

quatro meses uma inflação de, aproximadamente: 7% a) 9% b) 8,25% c) 10% d) 12% e)

(UFF) A loja Goiás paga, pela aquisição de certo produto, 22.

o correspondente ao preço x (em reais) de fabricação, mais 5% de imposto e 3% de frete, ambos calculados sobre o preço x. Vende esse produto ao consumidor por R$54,00 com lucro de 25%. Determine o valor de x. (UFJF) Uma loja de eletrodomésticos anuncia a seguinte 23.

promoção:

“Televisor 29”, à vista, por apenas R$702,00, ou a prazo, em duas prestações mensais iguais de R$390,00, sendo a primeira paga no ato da compra”.

Nestas condições, a taxa mensal de juros embutida na venda a prazo é igual a:

10% a) 15% b) 20% c) 25% d) 30% e)

(UERJ) Considere a seguinte soma infinita: 1. 1 2 2 4 3 8 4 16 + + + + ...

No gráfico I, abaixo, cada parcela dessa soma é representada pela área de um retângulo, e a soma infinita é determinada pela soma das áreas desses retângulos. No gráfico II, embora a configuração dos retângulos tenha sido alterada, as áreas se mantêm iguais.

1 1 1 I 1 1 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 A1 A2 A3 1 1 II 1 1 1

Com base nessas informações, podemos afirmar que a soma infinita tem o seguinte valor:

3 2 a) 2 b) 5 2 c) 4 d)

(UENF) Observe a sequência numérica a seguir: 2.

(0, 3, 8, 15, 24, ...) Determine, em relação a essa sequência:

seu 6.º termo. a)

a expressão do termo de ordem n. b)

Calcule S = 1 +2

3. ε + 3ε2 _{+ ...+ nε}n -1 _{, onde ε é uma raiz}

n-ésima da unidade.

Calcular a soma dos n primeiros termos da sequência: 4.

2, 22, 84, 212, 430, 762, ...

(Unicamp) Dada uma sequência qualquer a

5. ₀, a₁, a₂, ... ,

1.

12

EM_V_MA T_009 a_n, tem-se: (aj a) (a a) (a a ) a a j n j n n n − = −

∑

1− = − + + − = − 1 0 1  1 0

No caso em que a_j = j3_{, essa identidade assume a}

forma: [(j ) j] n n j n − − = − = − =

∑

13 3 0 1 3 3 3

Use esta identidade para mostrar que:

j n n n n j n 2 1 2 2 2 3 2 1 2 3 2 6 =

∑

= + + + = + + .

(IME) Determine o polinômio em n, com no máximo 4 6.

termos, que representa o somatório dos quadrados dos n primeiros números naturais k

k n 2 1 =

∑

. Se n é múltiplo de 4, a soma: 7. S_{= + +1 2 3}i i2_{+ + +....}

(

n ₁

)

_. in_, i= −1 é igual: 1 + i a) [(n + 1).(1 + i) +2]/2 b) (n + 2)/2 c) (n + 2i – n . i)/2 d) (n + 2 – n . i)/2 e)

Obtenha o termo geral da sequência definida por 8.

an=2an−1+3an−2, com a₀ = 0 e a₁ = 1.

Uma escada tem dez degraus. De quantos modos uma 10.

pessoa que pode subir um ou dois degraus por vez (mas nunca três ou mais degraus por vez) pode chegar ao topo da escada, se obrigatoriamente ela deve passar pelo 6.º degrau?

(FGV) O “Magazine Lúcia” e a rede “Corcovado” de 11.

hipermercados vendem uma determinada marca de aparelho de som do tipo Home Cinema, pelo mesmo preço à vista. Na venda a prazo, ambas as lojas cobram a taxa de juros compostos de 10% ao mês, com planos de pagamentos distintos. Comprando a prazo no “Magazine Lúcia”, um consumidor deve pagar R$2.000,00 no ato da compra e R$3.025,00 depois de dois meses, enquanto que na rede “Corcovado” ele pode levar o aparelho sem desembolsar dinheiro algum, pagando uma parcela de R$1.980,00 um mês após a compra e o saldo em dois meses após a compra.

Qual o valor à vista do aparelho de som? a)

Se um consumidor comprar o aparelho de som a b)

prazo na rede “Corcovado”, qual o valor da parcela final, com vencimento dois meses após a compra? (FGV) Para produzir um objeto, uma empresa gasta 12.

R$12,00 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$4.000,00, independentemente da quantidade produzida. Vendendo os objetos produzidos a R$20,00 a unidade, o lucro atual da empresa é de R$16.000,00. Com o intuito de enfrentar a concorrência, a empresa decide reduzir em 15% o preço unitário de venda dos ob-jetos. Para continuar auferindo o mesmo lucro, o aumento percentual na quantidade vendida deverá ser de:

100% a) 15% b) 60% c) 40% d) 70% e) (FGV) 13.

Um capital C foi aplicado a juros simples durante a)

10 meses, gerando um montante de R$10.000,00; esse montante, por sua vez, foi também aplicado a juros simples, durante 15 meses, à mesma taxa da aplicação anterior, gerando um montante de R$13.750,00. Qual o valor de C?

Um capital C é aplicado a juros compostos à taxa b)

de 2% ao mês. Três meses depois, um outro capital igual a C é aplicado também a juros compostos, po-rém à taxa de 3% ao mês. Durante quanto tempo o 1.º capital deve ficar aplicado para dar um montante igual ao do 2.º capital? Você pode deixar indicado o resultado.

(Unesp) Os coelhos se reproduzem mais rapida-9.

mente que a maioria dos mamíferos. Considere uma colônia de coelhos que se inicia com um único casal de coelhos adultos e denote por a_n o número de casais adultos desta colônia ao final de n meses. Se a₁ = 1, a₂ = 1 e, para n ≥ 2, an+1= +an an−1, o número

de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quinto mês será: 13 a) 8 b) 6 c) 5 d) 4 e)

13

EM_V_MA

T_009

(UFJF) Um investidor aplica, por um ano, metade do 14.

seu capital, a juros de 8% ao ano; a quinta parte a 9% ao ano; e o restante a 10%. Se ele decidisse aplicar o mesmo capital durante o mesmo tempo, em um único investimento, visando obter igual rendimento, a taxa anual do investimento seria de:

9% a) 9,5% b) 8,5% c) 9,2% d) 8,8% e)

(FGV) Um fabricante vende determinado produto pelo 15.

preço p, para pagamento n meses após a compra. Se o pagamento for feito à vista, há um desconto igual a 5% de A. A taxa mensal de juros simples do financiamento é:

100 19n% a) 100 20n% b) 100 21n% c) 100 22n% d) 100 23n% e)

(Unesp) O preço de tabela de um determinado produto 16.

é R$1.000,00. O produto tem um desconto de 10% para pagamento à vista e um desconto de 7,2% para pagamento em 30 dias. Admitindo que o valor a ser desembolsado no pagamento à vista possa ser aplicado pelo comprador em uma aplicação de 30 dias, com um rendimento de 3%, determine:

quanto o comprador teria ao final da aplicação. a)

qual é a opção mais vantajosa para o comprador, b)

pagar à vista ou aplicar o dinheiro e pagar em 30 dias (justifique matematicamente sua resposta)? (Unesp) Mário tomou um empréstimo de R$8.000,00 a 17.

juros de 5% ao mês. Dois meses depois, Mário pagou R$5.000,00 do empréstimo e, um mês após esse pa-gamento, liquidou todo o seu débito. O valor do último pagamento foi de:

R$3.015,00 a) R$3.820,00 b) R$4.011,00 c) R$5.011,00 d) R$5.250,00 e)

(FGV) O salário líquido do Sr. Ernesto é R$3.000,00 por 18.

mês. Todo mês ele poupa 10% de seu salário líquido e aplica essa poupança num fundo que rende juros compostos à taxa de 2% ao mês.

Qual seu saldo no fundo, no dia que fez o 2.º de-a)

pósito?

Quantos depósitos deverá fazer para ter um saldo b)

de R$7.289,00, no dia do último depósito? (Indique apenas o resultado; não é preciso fazer os cálculos.) (UFRJ) O Sr. Feliciano contraiu, em um banco, um 19.

empréstimo de R$10.000,00, com juros de 3% ao mês; ou seja, o saldo devedor é recalculado, a cada mês, acrescentando-se 3% ao antigo. Começou a pagar a dívida exatamente um mês após tê-la contraído. Pagou, religiosamente, R$250,00 por mês, durante 10 anos.

Calcule o saldo devedor após o primeiro pagamento. a)

Indique, das opções a seguir, a que representa a b)

situação do Sr. Feliciano decorridos os 10 anos. A dívida foi quitada.

I.

O Sr. Feliciano deve ao banco menos de II.

R$10.000,00.

O Sr. Feliciano deve ao banco algo entre R$10.000,00 III.

e R$16.000,00.

O Sr. Feliciano deve ao banco mais de IV.

R$16.000,00.

O banco deve dinheiro ao Sr. Feliciano. V.

(UFMG) Um empresário tomou emprestada uma 20.

certa quantia, a juros de 5% ao mês. Esse empréstimo deveria ser liquidado em duas parcelas mensais fixas de R$11.025,00, a primeira a ser paga um mês após a tomada do empréstimo. Entretanto, no dia do venci-mento da primeira parcela, o empresário fez o seguinte acordo com o credor: naquele dia, ele pagaria apenas R$8.000,00 e, daí a um mês, liquidaria o empréstimo. Os juros cobrados seriam, ainda, de 5% ao mês. Assim sendo, calcule o valor da quantia a ser paga ao final do segundo mês.

(UFMG) Um capital de R$30.000,00 foi dividido em duas 21.

aplicações: a primeira pagou uma taxa de 8% de juros anuais; a outra aplicação, de risco, pagou uma taxa de 12% de juros anuais. Ao término de um ano, observou-se que os lucros obtidos em ambas as aplicações foram iguais. A diferença dos capitais aplicados foi de:

R$8.000,00 a) R$4.000,00 b) R$6.000,00 c) R$10.000,00 d)

14

EM_V_MA

T_009

(Unicamp) Um capital de R$12.000,00 é aplicado a uma 22.

taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre:

O capital acumulado após 2 anos. a)

O número inteiro mínimo de anos necessários para b)

que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial.

[Se necessário, use log ₁₀ 2 = 0,301 e log ₁₀ 3 = 0,477].

(Ibemec) Publicado na revista “Isto É”, de 8 out. 95: 23.

Efeito Papaia

Notícia da terça-feira, 10: em setembro, o Índice Geral de Preços (IGP), da Fundação Getúlio Vargas, registrou deflação de 1,08% (a maior desde 1951). Motivo: queda de 41,12% no preço do mamão papaia – o mesmo mamão que, de janeiro de 1994 até agosto de 1995, subiu 7.872,58%. A explicação dos técnicos: justamente por ter aumentado tanto de preço, o mamão passou a ter um peso maior na composição do IGP. Agora, despencando de preço, joga para baixo esse índice.

Se a deflação permanecer nesse percentual até dezembro do mesmo ano, nos últimos quatro meses de 1995, a deflação acumulada será de:

(1,08%) a) 4 98,92% b) 4,32% c) 1 – (98,92%) d) 4

Um carro novo é vendido à vista por R$28.025,00. Ele 24.

pode ser adquirido por financiamento com uma entrada de 20% e 48 parcelas fixas mensais e iguais, a uma taxa de juros de 2,23% ao mês. Calcule o valor das prestações mensais, usando 1,022348 _{≅ 2,88 e considerando que}

15

EM_V_MA T_009 A 1. B 2. E 3. S=n n( 2+1) 2 4. 500 050 5. B 6. A 7. Sn=n + n + n 3 2 3 3 2 7 6 8. D 9. A 10. D 11. A 12. À vista. 13. E 14. A 15. D 16. C 17. C 18. 19. R$42,00 a) 42,86% b) C 20. C 21. 40 22. D 23. B 1. 2. 35 a) a b) _n = n2 ₋₁

16

EM_V_MA T_009 S= n − ε 1 3. S 4. _n = n4 _+n3 Demonstração. 5. n3 n2 n 3+ 2+6 6. E 7. an= n− − n 1 4(3 ( ) )1 8. D 9. 65 10. 11. R$4.500,00 a) R$3.267,00 b) C 12. 13. R$8.000,00 a) 3 103 103 102 log , log , −log , b) E 14. A 15. 16. R$927,00 a)

Pagar à vista, pois o preço após 30 dias é R$928,00 b)

não sendo o dinheiro aplicado suficiente para o pa-gamento. C 17. 18. R$606,00 a) log102, 22289 15000 20   ≅ b) 19. R$10.050,00 a) IV b) R$14.201,25 20. C 21. 22. R$13.996,80 a) 10 anos. b) D 23. R$ 765,90 24.