ANÁLISE DA DEFORMAÇÃO CÍCLICA PROGRESSIVA EM TUBULAÇÕES ELASTO-VISCOPLÁSTICAS

(1)

PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE

PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

ESCOLA DE ENGENHARIA

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Dissertação de Mestrado

ANÁLISE DA DEFORMAÇÃO CÍCLICA

PROGRESSIVA EM TUBULAÇÕES

ELASTO-VISCOPLÁSTICAS

JADYR MACABÚ ARAÚJO PERES

FEVEREIRO DE 2015

(2)

JADYR MACABÚ ARAÚJO PERES

ANÁLISE DA DEFORMAÇÃO CÍCLICA PROGRESSIVA

EM TUBULAÇÕES ELASTO-VISCOPLÁSTICAS

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa Francisco Eduardo Mourão

Saboya de Pós -Graduação em Engenharia Mecânica da UFF como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Ciências em Engenharia Mecânica

Orientador: HERALDO SILVA DA COSTA MATTOS , D.Sc.

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

(3)

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

P437 Peres, Jadyr Macabú Araújo

Análise da deformação cíclica progressiva em tubulações elasto-viscoplásticas / Jadyr Macabú Araújo Peres. – Niterói, RJ : [s.n.], 2015.

89 f.

Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) - Universidade Federal Fluminense, 2015.

Orientador: Heraldo Silva da Costa Mattos.

1. Elasto-viscoplasticidade cíclica. 2. Tubulação. 3. Deformação (mecânica). I. Título.

CDD 620.105

(4)

ANÁLISE DA DEFORMAÇÃO CÍCLICA PROGRESSIVA

EM TUBULAÇÕES ELASTO-VISCOPLÁSTICAS

Jadyr Macabú Araújo Peres

Esta Dissertação é parte dos pré-requisitos para a obtenção do título de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

Área de concentração: Mecânica dos Sólidos

Aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:

Prof. Heraldo Silva da Costa Mattos (DSc.) Universidade Federal Fluminense

(Orientador)

Prof. João Marciano Laredo dos Reis (Ph.D.) Universidade Federal Fluminense

Prof. Pedro Manuel Calas Lopes Pacheco (DSc.)

(5)

Dedico este trabalho aos meus pais, aos professores, e a todos meus amigos

(6)

À Universidade Federal Fluminense.

Ao Professor Heraldo da Costa Mattos pelos muitos anos de orientação, pelas palavras de incentivo e apoio constante.

À CAPES por ter me consedido a Bolsa de Mestrado.

Ao PGMEC que proporcionou a oportunidade de aumentar meus conhecimentos.

Aos meus amigos de Universidade que me acompanharam nessa trajetória, em especial Tobias Campos, Raphael Benevides, Felipe Monteiro, Daniel Gama, Eduardo Malhano,

Henrique Viestel, Rafael Rocha, Luiz Gustavo Medeiros, Thiago Jahn, Hélio

Quintanilha e Daniel Stussi.

A todos os engenheiros com os quais tive a oportunidade de trabalhar, em especial Celso Carnevale por todos os conselhos e ensinamentos.

E aos meus pais, Dalmir Peres e Eliete Macabú A. Peres, e ao meu avô Jadyr Araújo, pelo incentivo a minha formação acadêmica. Pelo incansável esforço na minha formação como cidadão, fornecendo todos os meios necessários para meu desenvolvimento pessoal e profissional.

(7)

R

ESUMO

O presente trabalho tem como objetivo a simulação numérica do fenômeno de deformação plástica progressiva (“ratcheting”) em tubulações elasto-viscoplásticas com paredes finas sob pressão interna e submetidas à uma carga axial cíclica. Entender o comportamento desse tipo de estrutura sob diferentes níveis de carregamento é fundamental em um grande número de aplicações de engenharia, como no projeto de componentes estruturais na indústria química e em reatores nucleares. Dependendo do endurecimento cinemático e dos carregamentos envolvidos, a tubulação pode apresentar uma deformação progressiva na direção radial, a qual pode levar à sua falha em operação. Diferentes equações constitutivas foram propostas para modelar de forma realística o endurecimento cinemático sob esse tipo de carregamento. O modelo de Chaboche com endurecimento cinemático e isotrópico não-lineares foi adotado na análise. Uma mudança de variáveis permite associar as componentes radiais e axiais da deformação plástica e da tensão às componentes na direção tangencial, reduzindo a complexidade do problema. O problema é reduzido à um sistema de equações diferenciais ordinárias e um sistema de diferenças finitas semi-implícito é usado para aproximar as equações resultantes.

(8)

A

BSTRACT

The present study is concerned with the numerical simulation of the ratcheting behaviour of elasto-viscoplastic thin-walled pipes under internal pressure and subjected to cyclic axial loading. Understanding the behaviour of this kind of structure at different load levels is of critical importance in a range of engineering applications such as in the design of structural components of power and chemical reactors. Depending on the kinematic hardening, the pipe may exhibit a ratcheting behaviour in the circumferential direction, which leads to a progressive accumulation of deformation. Many different constitutive theories have been proposed to model the kinematic hardening under such kind of loading history. The model of Chaboche with nonlinear isotropic and kinematic hardening is adopted in the analysis. A change of variable allows relating the axial and radial stress and plastic strain components with the ones in the circumferential direction, making the simulation easier. The problem is reduced to a nonlinear system of ordinary differential equations and a simple semi-implicit finite difference scheme is used to approximate the model equations.

(9)

SUMÁRIO

RESUMO ... 4

ABSTRACT ... 5

Capítulo 1 Introdução ... 13

Capítulo 2 Observações Fenomenológicas ... 16

2.1. ENSAIOS DE CARGA E DESCARGA ... 17

2.2. ENSAIOS CÍCLICOS ... 19

2.3. ENDURECIMENTO CINEMÁTICO E ISOTRÓPICO ... 23

Capítulo 3 Equações Constitutivas ... 25

3.1. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS GERAIS ... 25

3.2. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS NO ESPAÇO DAS DIREÇÕES PRINCIPAIS ... 27

3.3. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO CRITÉRIO DE VON MISES GENERALIZADO ... 30

3.4. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS UNIDIMENSIONAIS ... 32

3.5. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS NO ESPAÇO DAS DIREÇÕES PRINCIPAIS APLICADAS À UM TUBO DE PAREDES FINAS ... 34

Capítulo 4 Algoritmos para solução numérica ... 37

4.1. DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO – MODELO UNIAXIAL ... 37

4.1.1. Elasto-plasticidade ... 38

4.1.2. Elasto-viscoplasticidade ... 39

4.1.3. Algoritmo para solução uniaxial ... 39

4.2. DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO – VASO DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS ... 41

4.2.1. Elasto-plasticidade ... 42

4.2.2. Elasto-viscoplasticidade ... 43

4.2.3. Algoritmo para solução de vaso de pressão ... 44

Capítulo 5 Resultados ... 46

5.1. CASO UNIAXIAL ... 46

5.1.1. Histórico de carregamento – caso uniaxial ... 47

5.1.2. Carregamento simétrico (A 1.7, C 0) ... 48

5.1.3. Carregamento cíclico (A=1.5, C=0.2) ... 49

(10)

5.2. VASO DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS ... 53

5.2.1. Histórico de carregamento – caso vaso de pressão ... 54

5.2.2. Carregamento axial simétrico e pressão interna (A 1.3, C 0) ... 55

5.2.3. Carregamento axial e pressão interna (A 1.5, C 0.2) ... 61

5.2.4. Carregamento axial e pressão interna (A 1.7, C 0.4) ... 64

5.3. ESTUDO DO PASSO NO TEMPO ... 67

Capítulo 6 Conclusões e Perspectivas Futuras ... 70

Capítulo 7 Referências Bibliográficas ... 72

ANEXO 1 ... 75

(11)

Lista de Figuras

Figura 2.1 - Corpo de prova solicitado axialmente ... 16

Figura 2.2 - Carga e descarga na região elástica ... 17

Figura 2.3 - Variação do Módulo de Elasticidade com a Temperatura [13] ... 18

Figura 2.4 - Carga e descarga na região Plástica ... 18

Figura 2.5 - Influência da taxa de carregamento na curva tensão – deformação ... 19

Figura 2.6 - Ensaio cíclico com tensão e deformação prescritas, respectivamente ... 20

Figura 2.7 - Endurecimento – Variação do limite de proporcionalidade com a plastificação ... 20

Figura 2.8 - Fenômeno de amolecimento cíclico: (a) deformação controlada; (b) tensão controlada [13] ... 21

Figura 2.9 - Fenômeno de endurecimento cíclico: (a) deformação controlada; (b) tensão controlada [13] ... 22

Figura 2.10 - Fenômeno de deformação plástica cíclica progressiva (Ratchetting) ... 23

Figura 2.11 – Curva Tensão x deformação – Representação gráfica dos endurecimentos cinemático e isotrópico ... 24

Figura 3.1 - Representação do critério de von Mises generalizado na base das direções principais do tensor desviador ... 31

Figura 3.2- Representação plana do critério de von Mises generalizado ... 32

Figura 3.3 – Carregamento na tubulação ... 34

Figura 5.1 – Histórico de carregamento ... 47

Figura 5.2 – Tensão x deformação plástica ... 48

Figura 5.3 – Deformação plástica x tempo ... 48

Figura 5.4 – Deformação plástica acumulada x tempo ... 49

Figura 5.5 - Tensão x deformação plástica ... 49

Figura 5.6 - Deformação plástica x tempo ... 50

Figura 5.8 - Tensão x deformação plástica acumulada ... 51

Figura 5.9 - Tensão x deformação plástica ... 52

Figura 5.10 - Deformação plástica x tempo ... 52

Figura 5.12 – Histórico de carregamento axial ... 54

Figura 5.13 – Histórico de carregamento circunferencial ... 54

Figura 5.14 - Sθ x deformação plástica em θ ... 55

Figura 5.15 – SZ x deformação plástica em Z ... 56

Figura 5.16 – Deformação plástica em θ x tempo ... 56

Figura 5.17 – Deformação plástica em Z x tempo ... 57

Figura 5.19 - Sθ x deformação plástica em θ ... 58

Figura 5.20 - SZ x deformação plástica em Z ... 58

Figura 5.21 – Deformação plástica em θ x tempo ... 59

Figura 5.22 – Deformação plástica em Z x tempo ... 59

(12)

Figura 5.24 – Tensão equivalente de von Mises x Deformação plástica acumulada ... 60

Figura 5.25 – Sθ x deformação plástica em θ ... 61

Figura 5.27 - Deformação plástica em θ x tempo ... 62

Figura 5.28 - Deformação plástica em Z x tempo ... 62

Figura 5.30 – Tensão equivalente de von Mises x Deformação plástica acumulada ... 63

Figura 5.31 – Sθ x deformação plástica em θ ... 64

Figura 5.33 - Deformação plástica em θ x tempo ... 65

Figura 5.34 - Deformação plástica em Z x tempo ... 65

Figura 5.35 - Deformação plástica acumulada x tempo ... 66

Figura 5.36 - Tensão equivalente de von Mises x Deformação plástica acumulada ... 66

Figura 5.37 - Carregamento seguro / Possibilidade de falha ... 67

Figura 5.38 - Comparação passo no tempo – Deformação plástica circunferencial pelo tempo ... 69

Figura 5.39 - Comparação passo no tempo – Deformação plástica acumulada pelo tempo ... 69

(13)

Lista de Tabelas

(14)

Capítulo 1

Introdução

Quando um componente metálico é submetido a ciclos de carga mecânica além do limite elástico, muitos fenômenos importantes podem ocorrer. Existem diferentes situações em engenharia nas quais a combinação de uma carga primária constante com uma carga secundária pode levar ao colapso incremental ou ao que é conhecido como

ratcheting (esse termo clássico em inglês para o fenômeno de deformação cíclica

progressivas será usado em itálico ao longo desse trabalho). Por exemplo, tubulações pressurizadas sob flexão reversa [1] ou tubulações pressurizadas submetidas a um carregamento axial cíclico [2]. Essas estruturas sob tal combinação de carregamentos apresentam um aumento crescente da deformação na direção tangencial (e um consequente aumento incremental de seu diâmetro).

O estudo do comportamento desse tipo de estrutura é muito importante em várias aplicações de engenharia, como no sistema primário de transferência de calor em usinas nucleares, por exemplo. A confiabilidade das análises de integridade estrutural dependem fortemente da adequação das equações constitutivas consideradas. O desenvolvimento de equações constitutivas mais realísticas para a elasto-viscoplasticidade vem tomando um grande impulso nas duas últimas décadas. Diversos trabalhos vêm sendo desenvolvidos procurando desenvolver adequadamente os fenômenos de plasticidade dependente do tempo, além do endurecimento causado pela plastificação. Uma modelagem adequada do endurecimento e do comportamento viscoso é fundamental para se obter uma previsão confiável das tensões e deformações, as quais são fundamentais em qualquer critério de avaliação da integridade estrutural. Desde os clássicos artigos de Chaboche (ver [3], por exemplo), a maioria dos trabalhos tratam de aperfeiçoar o efeito do endurecimento cinemático nos modelos constitutivos [4 - 7]. Em [4], um modelo completo foi

(15)

desenvolvido para a análise do fenômeno de ratcheting em aços 316 L à temperatura ambiente. Nesse estudo, uma lei particular de endurecimento cinemático foi escolhida para descrever adequadamente a forma das curvas tensão-deformação em carregamentos cíclicos. A principal preocupação desses estudos, como discutido em [5], era propor leis de comportamento que induzissem menos acúmulo de deformação durante o fenômeno de

ratcheting do que a clássica regra de Armstrong e Frederick. Diferentes modelos já foram

propostos ([6], [7]) e uma breve discussão pode ser encontrada em [8].

Em particular, muitos trabalhos experimentais e numéricos sobre o fenômeno de

ratcheting em tubulações foram feitos nos últimos anos [1, 8 - 11] e uma revisão detalhada

pode ser encontrada em [11]. Embora critérios de integridade para tubulações pressurizadas sob carregamentos severos possam ser encontrados em códigos [12], até o presente momento os modelos constitutivos ainda não são capazes de uma descrição adequada do comportamento não-linear complexo observado nesses problemas. Além disso, a análise dos campos de tensão e de deformação requerem o uso de códigos numéricos complexos, o que pode ser uma limitação para o uso efetivo dessas teorias por engenheiros e projetistas.

O objetivo deste trabalho é de dar continuidade ao estudo desenvolvido em [8] no contexto da elasto-plasticidade. Ele dá uma contribuição a mais no desenvolvimento de técnicas simplificadas para o estudo de deformações cíclicas progressivas em estruturas elasto-viscoplasticas estaticamente determinadas. Estruturas metálicas isostáticas são aquelas em que o estado de tensão atuante depende somente dos carregamentos externos e da geometria da estrutura. Exemplos deste tipo de estrutura são as treliças isostáticas, vigas e os vasos de pressão de paredes finas.

Neste trabalho é estudado o problema particular de vasos de pressão de paredes finas com pressão interna constante e submetido a uma carga axial cíclica. Este tipo de estrutura, por suas particularidades geométricas, pode ter o campo de tensão aproximado de uma forma que independe do material considerado. As tensões dependem apenas da geometria e dos carregamentos externos e o problema de determinar a evolução das deformações plásticas envolvidas se reduz a solução de um sistema de equações diferenciais ordinárias não lineares.

Inicialmente são discutidos alguns aspectos fenomenológicos. Em seguida, é feita uma breve apresentação da teoria constitutiva geral, onde é apresentado o sistema de equações constitutivas generalizadas para o R3_{, posteriormente particularizadas para o}

(16)

aproximação dessas equações seja no caso uniaxial, seja para o problema da tubulação de paredes finas. Com uma simples mudança de variáveis, é possível verificar que o problema do duto pressurizado submetido à deformação axial cíclica é praticamente idêntico ao problema uniaxial. Uma mudança de variáveis permite verificar que as componentes da deformação plástica são acopladas, o que permite estudar o problema considerando apenas a componente na direção tangencial.

Simulações numéricas considerando-se um aço inoxidável 316 L são apresentadas mostrando que, em certas circunstâncias, o fenômeno de ratcheting pode levar à falha da estrutura e, consequentemente, dando meios de buscar evitá-la num projeto.

(17)

Capítulo 2

Observações Fenomenológicas

Neste capítulo serão abortados os principais comportamentos macroscópicos de corpos de prova metálicos observados em ensaios uniaxiais. A ênfase é dada na análise de carregamentos cíclicos que causem uma deformação permanente mensurável no corpo de prova.

Seja então um corpo de prova (CP) de seção transversal 𝐴 e comprimento útil 𝐿 solicitado da seguinte maneira:

Figura 2.1 - Corpo de prova solicitado axialmente

Neste tipo de ensaio é imprescindível que se conheça a geometria do corpo de prova. No lugar da força 𝐹(𝑡) e do alongamento ∆𝐿(𝑡), as váriáveis 𝜎(𝑡) e 𝜀(𝑡), tensão e deformação respectivamente, serão adotadas. Desta forma tem-se:

𝜎(𝑡) =𝐹(𝑡)

(18)

𝜀(𝑡) =∆𝐿(𝑡)

𝐿 (2.2)

2.1. ENSAIOS DE CARGA E DESCARGA

Os ensaios de carga e descarga são caracterizados por submeter um corpo de prova a um carregamento cíclico onde a tensão aplicada nunca ultrapassa a tensão de ruptura do material.

Considerando inicialmente o caso onde um corpo de prova sofre um uma força 𝐹 que aumenta até um limite e posteriormente tem seu valor diminuido até zero, podem ser verificadas duas situações distintas. Um comportamento linear entre 𝜎(𝑡) e 𝜀(𝑡) se o valor da tensão for sempre menor do que o limite de proporcionalidade 𝜎0, como pode ser

observado na figura abaixo.

Figura 2.2 - Carga e descarga na região elástica

Esta relação linear é dada por:

𝜎(𝑡) = 𝐸 𝜀(𝑡) (2.3) Onde o Módulo de Elasticidade, ou Módulo de Young, 𝐸 domaterial é dado pela equação (2.3). Este não éinfluenciado pela velocidade do carregamento a qual o corpo de prova é submetido, entretanto pode variar bruscamente com a temperatura.

(19)

Figura 2.3 - Variação do Módulo de Elasticidade com a Temperatura [13]

Outro caso que pode ser observado acontece quando a tensão aplicada sobre o

corpo de prova é superior em módulo a tensão limite de proporcionalidade 𝜎₀, desta forma

verifica-se uma relação não linear entre tensão e deformação. No descarregamento a curva tensão versus deformação volta a ser uma reta com inclinação igual ao Módulo de elasticidade, posteriormente, após a descarga completa é possível perceber que há ainda

uma deformação residual 𝜀𝑝_{, deformação plástica ou permanente.}

Figura 2.4 - Carga e descarga na região Plástica

Logo a deformação total associada a um nível de tensão acima do limite de proporcionalidade pode ser expressa em duas parcelas, a deformação elástica 𝜀𝑒 e a deformação plástica 𝜀𝑝_.

(20)

𝜀 = 𝜀𝑒 _{+ 𝜀}𝑝_(2.4)

𝜀𝑒 = 𝜎

𝐸 ⟹ 𝜎 = 𝐸(𝜀 − 𝜀

𝑝_{) (2.5)}

Adicionalmente é importante ressaltar que dependendo da temperatura a curva tensão – deformação será função da velocidade do carregamento, ou seja, 𝜀̇. De forma geral esse fonômeno é observado quando a temperatura absoluta 𝜃 for maior do que um

terço da temperatura absoluta de fusão 𝜃𝐹, quando o material passa a sofrer influência de

efietos viscosos.

Figura 2.5 - Influência da taxa de carregamento na curva tensão – deformação

Esta dependência da taxa de carregamento pode ser observada mesmo à temperatura ambiente em aços austeníticos, como será apresentado posteriormente em mais detalhes no presente estudo.

2.2. ENSAIOS CÍCLICOS

Existem duas possibilidades para realização de ensaios cíclicos, Figura 2.6, ensaio com força (tensão) prescrita, ou ensaio com alongamento (deformação) prescrito. O ensaio, seja ele com tensão ou deformação prescrita, pode ser feito de várias formas (triangular, senoidal etc) e com diferentes valores médios e iniciais. Adicionalmente é importante que se tomem alguns cuidados com o ensaio; como solicitar o corpo de prova de forma que não ocorra flambagem durante a compressão e utilizar frequências baixas durante o carregamento para evitar efeitos de propagação ondas que causem deformações não homogêneas.

(21)

Nos comentários feitos a seguir sempre é considerado um corpo de prova “virgem” e que os ensaios não apresentam influência dos fenômenos de variação de temperatura nem envelhecimento.

Figura 2.6 - Ensaio cíclico com tensão e deformação prescritas, respectivamente

Neste tipo de ensaio a evolução da resposta cíclica é estudada obtendo-se a curva tensão (𝜎) versus deformação (𝜀). De forma geral após alguns ciclos a curva tende a estabilizar e pode-se, desta forma, obter os parâmetros para modelagem do comportamento do material. Em um carregamento cíclico de carga e descarga com amplitude de carregamento crescente é possível perceber que o limite de proporcionalidade é afetada pela plastificação. A tensão de proporcionalidade no início de cada novo ciclo é sempre

maior do que a tensão 𝜎₀, caracterizando o período de endurecimento.

Figura 2.7 - Endurecimento – Variação do limite de proporcionalidade com a

(22)

É importante ressaltar que havendo evolução da deformação plástica o limite de

proporcionalidade a tração (𝜎_𝐸𝑇) e o limite de proporcionalidade a compressão (𝜎_𝐸𝐶) são

alterados a cada ciclo e não são, necessariamente, iguais, ou seja, a plastificação altera não somente o limite de proporcionalidade a tração mas também o a compressão, induzindo uma anisotropia no material. Este fenômeno é conhecido como efeito Bauschinger. De forma geral após uma tração o limite de proporcionalidade a tração aumenta e o limite de proporcionalidade a compressão é reduzido.

Em ensaios cíclicos de tensão – compressão a maioria das ligas metálicas sofre uma variação nas suas propriedades de endurecimento. Estas podem endurecer ou amolecer dependendo do material, temperatura e condições iniciais.

O amolecimento cíclico ocorre quando a variação de ∆𝜎 decresce durante

sucessivos ciclos sob deformação controlada, ou quando a variação de ∆𝜀 aumenta durante sucessivos ciclos sob tensão controlada. Por outro lado o endurecimento cíclico corresponde ao crescimento da variação de ∆𝜎 durante ciclos com deformação controlada ou quando há uma diminuição na variação de ∆𝜀 em um ensaio com tensão controlada.

Figura 2.8 - Fenômeno de amolecimento cíclico: (a) deformação controlada; (b)

(23)

Figura 2.9 - Fenômeno de endurecimento cíclico: (a) deformação controlada; (b)

tensão controlada [13]

Adicionalmente, se um ensaio com tensão prescrita não for puramente alternado é possível que não haja resposta periódica (estabilização), ocorrendo então um fenômeno de deformação plástica cíclica progressiva (Ratchetting) até a ruptura. Neste caso, tanto a

amplitude de deformação plástica |𝜀𝑝_{| quanto a deformação plástica acumulada 𝑝}

(24)

Figura 2.10 - Fenômeno de deformação plástica cíclica progressiva (Ratchetting)

2.3. ENDURECIMENTO CINEMÁTICO E ISOTRÓPICO

A Observação dos fenômenos de endurecimento ou amolecimento durante ensaios cíclicos motivou a introdução de duas novas variáveis, onde ambas são funções da evolução dos limites de proporcionalidade trativo (𝜎_𝐸𝑇) e compressivo (𝜎_𝐸𝐶).

Desta forma é possível dizer resumidamente que o endurecimento cinemático modela a anisotropia induzida pela plastificação enquanto o endurecimento isotrópico modela como o limite de proporcionalidade varia com a plastificação.

(25)

Figura 2.11 – Curva Tensão x deformação – Representação gráfica dos

(26)

Capítulo 3

Equações Constitutivas

As equações constitutivas que modelam o comportamento de materiais elasto-plásticos e elasto-viscoplástico cíclicas utilizadas no presente trabalho foram apresentadas anteriormente por CHABOCHE e LEMAITRE [13]. Neste capítulo serão apresentadas de forma resumida esses modelos, assim como discutidas suas principais características.

O conjunto de variáveis internas responsáveis pela caracterização do comportamento de materiais elasto-plásticos e elasto-viscoplásticos é composto pelas seguintes variáveis: ₀, , , , ,p Y X Ke N , segundo [13].

3.1. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS GERAIS

Abaixo são descritas algumas equações que modelam o comportamento multiaxial de um material elasto-plástico ou elasto-viscoplástico.

Relação tensão-deformação: ( - )1 ( - ) ou, inversamente (1 )(1 - 2 ) (1 ) (1 ) ( - ) - ( )1 p p p E E Tr Tr E E (3.1)

Onde é o tensor tensão, é o tensor deformação, p é o tensor deformação

plástica e 1 é o tensor identidade. Usa-se o símbolo Tr(•) para o traço de um tensor ( ).

E é o módulo de Young e o coeficiente de Poisson.

Adicionalmente ainda são necessárias as leis de evolução apresentadas abaixo para caracterização completa dos materiais elasto-plásticos e elasto-viscoplásticos.

(27)

3 2 p Sp J (3.2) 2 3 p X a bXp (3.3) 0; 0; 0 N PLASTICIDADE p F pF F VISCOPLASTICIDADE p K (3.4) Com, F

J

Y (3.5) 3 3 2 1 1 3 ( ) ( ) 2

(

ij

-

ij

)

j i J S X S X

_{S X}

(3.6) 0 1 1 exp( 2 ) Y v v p (3.7) Onde

 𝜎₀, 𝑣₁, 𝑣₂, 𝑎, 𝑏, 𝐾 e 𝑁 são constantes positivas que caracterizam o comportamento plástico do material e que podem ser obtidas a partir de ensaios uniaxiais cíclicos;

 𝑆 é o desviador da tensão, dado por:

1

( )1 3

S Tr

(3.8)

 A variável 𝑋 é chamada de endurecimento cinemático e modela a

anisotropia induzida pela plastificação.

 A variável 𝑌 é chamada de endurecimento isotrópico e modela como o limite de proporcionalidade varia com a plastificação.

 𝐹 é usualmente chamada de função de plastificação e a variável 𝐽 de tensão

equivalente de von Mises. A lei de evolução (3) caracteriza as chamadas equações de complementaridade. Se 𝐹 < 0 tem-se que 𝐽 < 𝑌 e de (3.4) é possível concluir que 𝑝̇ = 0, seja para o comportamento elasto-plástico,

(28)

seja para o comportamento elasto-viscoplástico. Portanto, usando-se (3.2) conclui-se que 𝜀̇𝑝= 0 (não há escoamento e o material se comporta

elasticamente). No caso da plasticidade, só haverá escoamento (𝜀̇𝑝 ≠ 0)

quando 𝐹 = 0. Para a viscoplasticidade, haverá escoamento quando 𝐹 ≥ 0. O critério 𝐹 < 0 é chamado de critério de von Mises generalizado. Se 𝑌 = 𝜎₀ então a condição 𝐽 < 𝑌 nada mais é do que o critério de von Mises clássico que estabelece que não haverá escoamento se:

1/2 0 3 ( ) 2 J S S

 A variável p é usualmente chamada de deformação plástica acumulada. No caso da plasticidade p pode ser interpretado como o multiplicador de

Lagrange associado à restrição F 0. À partir da equação (3.2) é possível

verificar que: 0 2 2 ( ) ( 0) ( ) ( ) 3 3 t p p p p t p p t p t d (3.9)

 Para este estudo é tomado como base um material virgem, ou seja, um material com as seguintes condições iniciais:

( 0) 0

p t ; p(t 0) X t( 0) 0; Y(t 0) _y (3.10)

3.2. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS NO ESPAÇO DAS DIREÇÕES PRINCIPAIS

Para obter uma simplificação das equações constitutivas gerais para o caso de vasos de pressão é interessante que estas sejam representadas na base das direções principais do tensor das tensões. Assim tanto a solução quanto o entendimento do problema se tornam mais fáceis.

É possível demonstrar que, em um dado ponto do domínio, o tensor das tensões e

o seu desviador tem as mesmas direções principais (autovetores). Sendo assim, sejam 𝜎₁,

(29)

autovalores dos tensor desviador da tensão, é possível representar estes tensores da seguinte forma: 𝜎 = [ 𝜎₁ 0 0 0 𝜎2 0 0 0 𝜎₃ ] ; 𝑆 = [ 𝑆₁ 0 0 0 𝑆2 0 0 0 𝑆₃ ] ; 𝑆𝑖 = 𝜎𝑖 − 1 3𝑡𝑟 (𝜎) (3.11)

É possível verificar que se as leis de evolução forem válidas e as condições iniciais de material virgem, estabelecidas anteriormente, forem atendidas, logo os tensores

deformação plástica 𝜀𝑝 e endurecimento cinemático 𝑋 terão as mesmas direções principais

que os tensores 𝜎 e, consequentemente, 𝑆. Sendo assim, sejam 𝜀₁𝑝, 𝜀₂𝑝 e 𝜀₃𝑝 os componentes principais (autovalores) do tensor deformação plástica e 𝑋₁, 𝑋₂ e 𝑋₃ os autovalores dos tensor endurecimento cinemático, é possível representar estes tensores da seguinte forma:

𝜀𝑝 _{= [} 𝜀𝑝 1 0 0 0 𝜀𝑝₂ 0 0 0 𝜀𝑝 3 ] ; 𝑋 = [ 𝑋₁ 0 0 0 𝑋₂ 0 0 0 𝑋₃ ] (3.12)

Logo, reescrevendo as equações constitutivas na base das direções principais tem-se: 𝜎_𝑖 = 𝜈𝐸 (1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)∑(𝜀𝑗− 𝜀𝑗 𝑝 ) 3 𝑗=1 + 𝐸 (1 + 𝜈)(𝜀𝑖 − 𝜀𝑖 𝑝 ); 𝑖 = 1,2 𝑜𝑢 3 (3.13) ou (𝜀_𝑖 − 𝜀_𝑖𝑝) =(1 + 𝜈) 𝐸 𝜎𝑖− 𝜈 𝐸∑(𝜎𝑗) 3 𝑗=1 ; 𝑖 = 1,2 𝑜𝑢 3 e 𝜀_𝑖𝑝̇ = 3 2𝐽𝑆𝑔𝑝̇; 𝑖 = 1,2 𝑜𝑢 3 (3.14) 𝑋̇_𝑖 = 𝑎𝜀_𝑖𝑝̇ − 𝑏𝑋_𝑖𝑝̇; 𝑖 = 1,2 𝑜𝑢 3 (3.15) 𝐽 = [3 2{(𝑆1− 𝑋1) 2_{+ (𝑆} 2− 𝑋2)2+ (𝑆3− 𝑋3)2}] 1 2 ⁄ (3.16) Adicionalmente também pode-se representar a equação (3.9) nesta base.

(30)

𝑝̇ = √2 3[(𝜀̇1

𝑝

)2+ (𝜀̇₂𝑝)2+ (𝜀̇₃𝑝)2] (3.17)

Nota-se a partir das equações acima que as componentes principais do desviador da tensão, do endurecimento cinemático e da deformação plástica não são independentes, o que permite a seguinte simplificação.

𝑆_𝑖 𝑆𝑗 =𝜀𝑖 𝑝 𝜀_𝑗𝑝 = 𝑋_𝑖 𝑋𝑗 ; ∀|𝑖, 𝑗 = 1,2 𝑜𝑢 3 (3.18)

Como o traço do tensor desviador é nulo, tem-se que:

∑ 𝑆_𝑖 3 𝑖=1 = ∑ 𝜀_𝑖𝑝 3 𝑖=1 = ∑ 𝑋_𝑖 3 𝑖=1 = 0 (3.19) ou 𝑆₃ = −(𝑆₁+ 𝑆₂); 𝜀₃𝑝 = −(𝜀₁𝑝+ 𝜀₂𝑝); 𝑋₃ = −(𝑋₁+ 𝑋₂) (3.20) Sendo assim, é possível reescrever as equações constitutivas (3.14) a (3.16) usando apenas duas das três componentes principais de 𝑆, 𝜀𝑝_{, 𝑋, já que a terceira não é}

independente. 𝜀₁𝑝 = 3 2𝐽𝑆1𝑝̇ (3.21.1) 𝜀₂𝑝 = 3 2𝐽𝑆2𝑝̇ (3.21.2) 𝑋̇₁ = 𝑎𝜀₁𝑝̇ − 𝑏𝑋₁𝑝̇ (3.22.1) 𝑋̇₂ = 𝑎𝜀₂𝑝̇ − 𝑏𝑋₂𝑝̇ (3.22.2) 𝑃𝐿𝐴𝑆𝑇𝐼𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸 ⇒ 𝑝̇ ≥ 0; 𝐹 = 𝐽 − 𝑌 ≥ 0; 𝑝̇𝐹 = 0 (3.23.1) 𝑉𝐼𝑆𝐶𝑂𝑃𝐿𝐴𝑆𝑇𝐼𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸 ⟹ 𝑝̇ = 〈𝐽 − 𝑌 𝐾 〉 𝑁_(3.23.2)

(31)

3.3. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO CRITÉRIO DE VON MISES GENERALIZADO

Tendo representado as equações constitutivas na base das direções principais é possível fazer uma representação geométrica do critério de von Mises generalizado. A

partir da sua definição segue que para 𝐽 < 𝑌 ⟹ 𝜀𝑝 = 0, ou seja, se a tensão equivalente

de von Mises for menor do que o valor para o endurecimento isotrópico não há deformação permanete ou plástica.

Partindo da definição (3.16), 𝐽 < 𝑌 implica que:

𝐽 = [3 2{(𝑆1− 𝑋1) 2_{+ (𝑆} 2 − 𝑋2)2 + (𝑆3− 𝑋3)2}] 1 2 ⁄ < 𝑌 {(𝑆1− 𝑋1)2+ (𝑆2− 𝑋2)2+ (𝑆3− 𝑋3)2} < (√ 2 3𝑌) 2 (3.24)

O que define uma esfera de raio √2 3⁄ 𝑌 centrada no ponto 𝑋 = (𝑋1, 𝑋2, 𝑋3) na

base das direções principais do tensor tensor desviador, como na figura abaixo. A expansão

da região elástica está relacionada com o endurecimento isotrópico 𝑌(𝑡), e a translação

dessa esfera está ligada ao endurecimento cinemático 𝑋 de uma esfera de raio inicial √2 3⁄ 𝜎_𝑦 (região elástica inicial).

(32)

Figura 3.1 - Representação do critério de von Mises generalizado na base das

direções principais do tensor desviador

Como visto em (3.20), estas relações podem permitem representar o Critério de von Mises usando apenas duas componentes principais de 𝑆 e 𝑋, já que a terceira não é independente. Ou seja, mesmo para estados triaxiais de tensão, pode ser representado num plano. Analogamente à equação (3.24), pode-se descrever o critério de von Mises como uma elipse inclinada em 45º da seguinte maneira.

[(𝑆₁− 𝑋₁)2_{+ (𝑆}

2− 𝑋2)2+ (𝑆1 − 𝑋1)(𝑆2− 𝑋2)] =

𝑌2

3 (3.25) Analogamente à representação em todas as três direções principais, essa elipse é centrada no ponto 𝑋 = (𝑋1, 𝑋2). A expansão da região elástica está relacionada com o

endurecimento isotrópico 𝑌(𝑡), e a translação dessa elipse está ligada ao endurecimento cinemático 𝑋.

(33)

Figura 3.2- Representação plana do critério de von Mises generalizado

3.4. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS UNIDIMENSIONAIS

Como premissa inicial do presente estudo foram considerados materiais isotrópicos. Sendo assim, uma das maneiras de identificar os coeficientes das equações constitutivas é através de ensaios uniaxiais, nos quais se supõe um estado uniaxial de tensão. Logo os tensores tensão e deformação são dados da seguinte maneira.

𝜎 = [ 𝜎₁(𝑡) = (𝐹(𝑡) 𝐴₀ ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ; 𝜀 = [ 𝜀₁(𝑥, 𝑡) = (𝛿(𝑡) 𝐿₀ ) 0 0 0 −𝜈_∗𝜀₁(𝑥, 𝑡) 0 0 0 −𝜈_∗𝜀₁(𝑥, 𝑡)] (3.26)

Onde 𝐹(𝑡) é a força de tração / compressão aplicada no corpo de prova no instante 𝑡, 𝐿₀ o comprimento da área de seção útil (𝐴₀) e 𝛿(𝑡) o alongamento. 𝜈_∗ é uma constante tal que 0 < 𝜈_∗ < 0.5. Logo, seguindo a definição (3.11), o tensor desviador é dado da forma abaixo: 𝑆 = [ 𝑆₁ = 2 3𝜎1 0 0 0 𝑆₂ = −1 3𝜎1 0 0 0 𝑆3 = − 1 3𝜎1] (3.27)

(34)

𝜀₂𝑝 = 𝜀₃𝑝 = −1 2𝜀1 𝑝 𝑒 𝑋2 = 𝑋3 = − 1 2𝑋1 (3.28) Tem-se, portanto, em uma notação matricial:

𝜀𝑝 = [ 𝜀𝑝₁ 0 0 0 𝜀𝑝 2 = − 1 2𝜀 𝑝 1 0 0 0 𝜀𝑝3 = − 1 2𝜀 𝑝 1_] (3.29)

Introduzindo a variável _{𝑋 = 3 2}⁄ 𝑋₁, tem-se o tensor 𝑋 da seguinte forma:

𝑋 = [ 𝑋₁ =2 3𝑋 0 0 0 𝑋₂ = −1 3𝑋 0 0 0 𝑋₃ = −1 3𝑋] (3.30)

Utilizando a definição do critério generalizado de von Mises apresentada em (3.16) é possível obter a equação abaixo:

𝐽 = |𝜎 − 𝑋| (3.31) Para simplificar a representação, serão utilizadas as seguintes notações: 𝜎1(𝑡) =

𝜎(𝑡), 𝜀₁(𝑡) = 𝜀(𝑡) e 𝜀₁𝑝(𝑡) = 𝜀𝑝_{(𝑡). Logo, as equações constitutivas podem ser}

representadas da seguinte maneira:

𝜎 = 𝐸(𝜀 − 𝜀𝑝_{) (3.32)} 𝜀̇𝑝 = 𝑝̇𝑆𝑔; 𝜀𝑝(𝑡 = 0) = 0 (3.33) 𝑆𝑔 = +1 𝑠𝑒 (𝜎 − 𝑋) ≥ 0 𝑒 𝑆𝑔 = −1 𝑠𝑒 (𝜎 − 𝑋) < 0 (3.34) 𝑋̇ = 𝑎𝜀̇𝑝− 𝑏𝑋𝑝̇, 𝑋(𝑡 = 0) = 0 (3.35) 𝑌 = 𝜎₀+ 𝑣₁[1 − 𝑒−𝑣2𝑝] (3.36) 𝑃𝐿𝐴𝑆𝑇𝐼𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸 ⇒ 𝐹 = |𝜎 − 𝑋| − 𝑌 ≤ 0; 𝑝̇ ≥ 0; 𝑝̇𝐹 = 0; 𝑝(𝑡 = 0) = 0 (3.37.1) 𝑉𝐼𝑆𝐶𝑂𝑃𝐿𝐴𝑆𝑇𝐼𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸 ⟹ 𝑝̇ = 〈|𝜎 − 𝑋| 𝐾 〉 𝑁_{; 𝑝(𝑡 = 0) = 0 (3.37.2)}

(35)

3.5. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS NO ESPAÇO DAS DIREÇÕES PRINCIPAIS APLICADAS À UM TUBO DE PAREDES FINAS

Tendo obtido uma simplificação das equações constitutivas para as direções principais, basta aplicá-las ao caso de estudo, um tubo submetido a pressão interna e um carregamento axial cíclico, como mostra a figura abaixo.

Figura 3.3 – Carregamento na tubulação

Desta forma o tensor das tenções é representado, para um tubo de paredes finas, da meneira abaixo. 𝜎 = [ 𝜎_r 0 0 0 𝜎_𝜃 0 0 0 𝜎_𝑧 ] (3.38) Sendo, 𝜎_r = 0 (3.39.1) 𝜎_𝜃 = 𝑃0𝑅 𝑒 (3.39.2) 𝜎_𝑧 =𝐹(𝑡) 𝐴 (3.39.3) Logo, 𝜎 = [ 𝜎_r = 0 0 0 0 𝜎_𝜃 =𝑃0𝑅 𝑒 0 0 0 𝜎𝑧 = 𝐹(𝑡) 𝐴 ] E a partir da definição de 𝑆 apresentada em (3.11), tem-se que:

(36)

𝑆 = [ −1 3(𝜎𝜃+ 𝜎𝑧) 0 0 0 1 3(2𝜎𝜃− 𝜎𝑧) 0 0 0 1 3(2𝜎𝑧− 𝜎𝜃)]

Pela relação (3.20) nota-se que os três termos não são independentes, logo é possível simplificar o critério de von Mises, (3.16), de forma que este seja função apenas de duas das direções principais. Desta forma o critério de von Mises pode ser simplificado e escrito da seguinte forma.

𝐽 = √3{(𝑆𝜃− 𝑋𝜃)2+ (𝑆𝑍− 𝑋𝑍)2+ (𝑆𝜃− 𝑋𝜃)(𝑆𝑍− 𝑋𝑍)} (3.40)

Usando a relação apresentada em (3.18) e fazendo: 𝑆𝑟 𝑆_𝜃 = 𝑋𝑟 𝑋_𝜃 = 𝜎𝜃+ 𝜎𝑧 𝜎_𝑧− 2𝜎_𝜃 e 𝑆_𝑧 𝑆_𝜃 = 𝑋_𝑧 𝑋_𝜃 = 2𝜎_𝑧− 𝜎_𝜃 2𝜎_𝜃− 𝜎_𝑧

É possível representar o critério de von Mises utilizando somente uma das direções principais, 𝜃 ou 𝑧, já que o carregamento é conhecido. Segue abaixo a simplificação.

𝐽 = |𝑆_𝜃 − 𝑋_𝜃|√3 [1 + (2𝜎𝑧− 𝜎𝜃 2𝜎_𝜃− 𝜎_𝑧) + ( 2𝜎𝑧− 𝜎𝜃 2𝜎_𝜃− 𝜎_𝑧) 2 ] Sendo 𝜂(𝑡) = √3 [1 + (2𝜎𝑧− 𝜎𝜃 2𝜎𝜃− 𝜎𝑧 ) + (2𝜎𝑧− 𝜎𝜃 2𝜎𝜃− 𝜎𝑧 ) 2 ] (3.41) 𝐽 = |𝑆_𝜃 − 𝑋_𝜃| 𝜂(𝑡) (3.42) A partir da definição de 𝜂(𝑡) é possível modelar o problema apenas em função das equações constitutivas na direção circunferencial e do carregamento aplicado [8].

3 3 ( ) 2 2 p _S _X _p _{Sg p} J com 1, if ( ) 0 -1, caso contrário S X Sg (3.43)

(37)

2 3 p X a bX p (3.44) Y (v v2 1 0 Y p) (3.45) ; ( ( )) 0 N F p F S X t Y K (3.46)

(38)

Capítulo 4

Algoritmos

para

solução

numérica

As equações constitutivas apresentadas no capítulo anterior definem um sistema de equações diferencias ordinárias com valores iniciais definidos em (3.10). Desta forma o problema matemático pode ser simplesmente solucionado usando um método baseado na divisão de operador [14-16]. O objetivo dessa técnica é tomar vantagem das propriedades de decomposição do operador matemático para resolver uma série de problemas mais simples no lugar de um único problema complexo. As técnicas de aproximação baseadas na decomposição de operador associadas a outros algoritmos tem sido aplicadas em várias áreas da Mecânica do Contínuo, em especial na elasto-plasticidade e elasto-viscoelasto-plasticidade [17] e [18].

4.1. DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO – MODELO UNIAXIAL

Considerando uma sequência de tempo é possível introduzir os incrementos das variáveis presentes nas equações constitutivas do problema. Usando a seguinte notação tem-se: ( )y t : ( )y tn y . n

A partir das equações constitutivas para o caso uniaxial pode-se fazer as seguintes aproximações: 1 ( )p _n ( )p _n p (4.1) 1 ( )X _n ( )X _n X (4.2) 1 ( )Y _n ( )Y n Y (4.3)

(39)

1 ( )p _n ( )p n p (4.4) Com: ( ) p n Sg p (4.5) [ ( )_n ( ) ] _n X a Sg b X p (4.6) 2( 1 - ( )n p) Y v v Y p (4.7)

Como pode ser visto, é possível calcular todas as variáveis no instante t_n ₁uma

vez que o incremento p é obtido. Sabe-se pelas definições (3.37) que a função F é calculada de formas distintas para materiais com comportamento plástico e

elasto-viscoplástico. A seguir será mostrado como é o cálculo do incremento p para os casos

elasto-plástico e elasto-viscoplástico.

4.1.1. Elasto-plasticidade

A partir da definição (3.37.1) é possível calcular o incremento p de forma simples. 0 F X Y 1 ( ) 1 - ( ) 1 - ( ) 1 n n n n F X Y 1 ( ) 1 - ( ) - ( ) -n n n n n F X X Y Y 1 ( ) 1 - ( ) - ( ( ) ( ) ) - ( ) - 2( - ( )1 0) n n n n n n n F X a Sg b X p Y v v Y p

Uma aproximação analítica de p pode ser obtida usando a condição ( )F _n ₁ 0

quando p 0.

1 ( 1 2 1 0

( )F _n [ )_n - ( ) - ( ( ) - ( ) ) X _n a Sg _n b X _n p Sg]( ) - ( ) -_n Y _n v v( - ( )Y _n ) p

(40)

1 2 1 0 ( [ )_n - ( ) ]( ) -X _n Sg _n Y_n { - ( ) ( )a b X _n Sg _n v v( - ( )Y _n )} p 1 2 1 0 ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n X Sg Y p a b X Sg v v Y (4.8) 4.1.2. Elasto-viscoplasticidade

A função F para elasto-viscoplasticidade também pode ser representada em

função de p para cálculo deste incremento.

N N _X _Y p F p t K K 1 N n X n X Y n Y p t K 2 1 0 1 ( ) ( ) ( - ( ) ) N n n n n X n a Sg b X p Y n v v Y p p t K 2 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( - ( ) ) N n n n n n n n p X a Sg b X p Sg Y v v Y p t K (4.9)

A partir da equação (4.9) fica claro que não existe solução analítica para cálculo

do incremento p , logo deve-se escolher um método numérico para solução desta

equação, ao contrário do que acontece com materiais com comportamento elasto-plástico como pôde ser visto anteriormente.

No desenvolvimento deste trabalho o método numérico escolhido foi o de Newton-Raphson devido a mais fácil e mais rápida convergência.

(41)

Das definições obtidas acima é possível, então, calcular o incremento p, e consequentemente, os demais incrementos, (4.5), (4.6) e (4.7). Define-se, então, o algoritmo, abaixo, para solução do problema elasto-viscoplástico.

i) n 0

ii) São conhecidas: _n ₁; S_n ₁; t; _np; p_n; X_n; Y_n

iii) Computar Sg

1, _n- _n

Sg DSIGN X

iv) ( )_n ₁ X_n Y_n 0?

SIM – O passo é elástico, logo p 0

1 n n t t t ; p ₁ p n n; pn 1 p ; n Xn 1 X ; n Yn 1 Y ; n 1 n n Go to (ii)

NÃO – O passo é plástico

É calculado o incremento p a partir da equação (4.9), como dito

anteriormente esta equação não possui solução analítica. Logo foi escolhido o Método de Newton-Raphson para calcular uma aproximação

de p .

v) Cálculo dos demais incrementos:

( ) p n Sg p [ ( )_n ( ) ] _n X a Sg b X p 2( - ( )1 n 0) Y v v Y p

vi) Atualização das variáveis:

1

n n

(42)

1 p p p n n 1 n n X X X 1 n n Y Y Y vii) Se tn 1 tmáx? SIM - t_n ₁ t_n t ; n n 1 Go to (iii) NÃO – Go to (viii) viii) FIM

4.2. DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO – VASO DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS Tendo como base o algoritmo desenvolvido anteriormente é possível, através das simplificações feitas na seção 3.5, apresentar um algoritmo capaz de resolver o caso de vasos de pressão de paredes finas submetidos a uma pressão interna e carregamentos cíclicos axiais. Tomando como valores iniciais os apresentados em (3.10) e as equações apresentas em 3.5 é possível adequar o algoritmo e a discretização no tempo apresentados anteriormente para solucionar este problema.

Considerando uma sequência de tempo é possível introduzir os incrementos das variáveis presentes nas equações constitutivas do problema. Usando a seguinte notação tem-se: ( )y t : ( )y tn y . n

A partir das equações constitutivas para o caso de um vaso de pressão de paredes finas submetido a pressão interna e carregamento cíclico axial pode-se fazer as seguintes aproximações:

( )p _n ₁ ( )p n p (4.10)

(X )_n ₁ (X )n X (4.11)

1

(43)

1 ( )p _n ( )p n p (4.13) Com: 1 3( ) ( ) 2 n p n Sg p (4.14) 2 ( ) [ ( ) ₁( ) ( ) ] 3 p n _n n n X a b X p a Sg b X p (4.15) Y v v2( - ( )1 Y n 0) p (4.16) 4.2.1. Elasto-plasticidade

A partir das definições (3.37.1) e (3.41) é possível calcular o incremento p de

forma simples. (S ) - ( ) - ( ) F X Y 1 ( ) 1 - ( ) 1 1 - ( ) 1 n S n n n n F X Y 1 ( ) 1 - ( ) - ( ) 1 ( ) -n S n n n n F X X Y Y 1 ( ) 1 - ( ) - ( 1( ) ( ) ) 1 - ( ) - 2( 1 - ( ) 0) n S n n n n n n n n F X a Sg b X p Y v v Y p

Uma aproximação analítica de p pode ser obtida usando a condição ( )F _n ₁ 0

quando p 0. 1 1 1 1 2 1 0 ( ( ) [ ) - ( ) - ( ( ) ( ) - ( ) ) ]( ) ( ) - ( ) - ( - ( ) ) n n n n n n n n n n S F X a Sg b X p Sg Y v v Y p Sendo ( )F _n ₁ 0, então:

(44)

2 1 1 1 1 2 1 0 ( [ S )_n - (X ) ]_n _n ( ) -Sg _n Y_n {a _n - (b X )_{n n} ( )Sg _n v v( - ( )Y _n )} p 1 1 2 1 1 2 1 ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n y n S X Sg Y p a b X Sg v v Y (4.17) 4.2.2. Elasto-viscoplasticidade

A função F para elasto-viscoplasticidade também pode ser representada em

função de p para cálculo deste incremento.

N N _S _X _Y p F p t K K 1 1 ( ) N n n n n S X X Y Y p t K 1 1 2 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( - ( ) ) N n n n n n n n n p S X a Sg b X p Y v v Y p t K 1 1 2 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( - ( ) ) N n n n n n n n n n p S X a Sg b X p Sg Y v v Y p t K (4.18)

A partir da equação (4.18) fica claro que não existe solução analítica para cálculo

do incremento p , logo deve-se escolher um método numérico para solução desta

equação, ao contrário do que acontece com materiais com comportamento elasto-plástico como pôde ser visto anteriormente.

No desenvolvimento deste trabalho o método numérico escolhido foi o de Newton-Raphson devido a mais fácil e mais rápida convergência.

(45)

4.2.3. Algoritmo para solução de vaso de pressão

Das definições obtidas acima é possível, então, calcular o incremento p , e consequentemente, os demais incrementos, (4.14), (4.15) e (4.16). Define-se, então, o algoritmo, abaixo, para solução do problema elasto-viscoplástico.

i) n 0

ii) São conhecidas: ( )_n ₁; t; ( p)_n; ( )p_n; (X )_n; ( )Y _n

iii) Computar Sg

1, ( ) - (_n )_n

DSIGN S

Sg X

iv) (S )_n ₁ (X )_n ( )Y _n 0?

SIM – O passo é elástico, logo p 0

1 n n t t t ; ( )p _n ₁ ( )p _n; p_n ₁ p ; _n (X )_n ₁ (X )_n; 1 n n Y Y ; n n 1 Go to (ii)

NÃO – O passo é plástico

É calculado o incremento p a partir da equação (4.18), como dito

anteriormente esta equação não possui solução analítica. Logo foi escolhido o Método de Newton-Raphson para calcular uma aproximação

de p .

v) Cálculo dos demais incrementos:

( ) p n Sg p [ ( )_n ( ) ] _n X a Sg b X p 2( - ( )1 n 0) Y v v Y p

(46)

1 n n p p p 1 ( )p _n ( )p _n p 1 (X )_n (X )_n X 1 n n Y Y Y vii) Se tn 1 tmáx? SIM - t_n ₁ t_n t ; n n 1 Go to (iii) NÃO – Go to (viii) viii) FIM

(47)

Capítulo 5

Resultados

Os resultados são divididos em diversas partes, quais sejam, o caso uniaxial e de tubos de paredes finas submetidos a carregamento axial cíclico e pressão interna. Todos os resultados apresentados a seguir foram obtidos numericamente usando o algoritmo apresentado anteriormente e tomando como material o aço AISI 316 L [13] a 600 C. Os

parâmetros do material são: 𝜎₀ = 60 𝑀𝑃𝑎, 𝐸 = 195000 𝑀𝑃𝑎, 𝑣1 = 80, 𝑣2 = 100, 𝑎 =

16535 𝑀𝑃𝑎, 𝑏 = 300, 𝐾 = 150, 𝑁 = 12 5.1. CASO UNIAXIAL

Inicialmente foram feitos os estudos considerando uma barra submetida somente a esforço axial cíclico devido a simplicidade do modelo. O objetivo principal dessas simulações foi testar o algoritmo desenvolvido e estudar a deformação plástica progressiva.

Todas as simulações foram feitas com tensão prescrita e uma frequência de carregamento de 0,050 Hz, ou seja, um ciclo a cada 18 segundos. Para cada ensaio foram consideradas variações na intensidade do carregamento e número de ciclos, e consequentemente, o intervalo de tempo do estudo.

Abaixo é apresentada a formulação do carregamento para o caso uniaxial, esta mesma formulação é usada para o carregamento axial do caso do vaso de paredes finas.

0 A sen w t( ) C (5.1)

0.05 2

w s-1 ; asen C A (5.2) ( / )

Onde o fator w representa a frequência de carregamento, té o tempo e é a fase.

(48)

Os valores de Ae C definem a amplitude e a média dos valores do carregamento. 1.3 A , C 0 (5.4) 1.5 A , C 0.2 (5.5) 1.7 A , C 0.4 (5.7)

5.1.1. Histórico de carregamento – caso uniaxial

As combinações do carregamento são mostradas na figura a seguir:

Figura 5.1 – Histórico de carregamento

Como pode ser visto, o carregamento axial imposto é cíclico, senoidal, e determina a intensidade da tensão aplicada, a tensão aplicada é o resultado do produto do fator de carregamento com a tensão de proporcionalidade. Nota-se que dos três carregamentos somente o representado pela linha cheia é simétrico, enquanto os restantes têm o valor mínimo comum de -1,3 e o máximo de 1,5 ou 1,7. Posteriormente será observado o efeito dessa simetria do carregamento no comportamento do material.

(49)

5.1.2. Carregamento simétrico (A 1.7, C 0)

A seguir são apresentados os resultados gráficos para um carregamento com cinco ciclos, noventa segundos de duração e valores máximo e mínimo para o fator de carregamento de 1,7 e -1,7 respectivamente.

Figura 5.2 – Tensão x deformação plástica

(50)

Figura 5.4 – Deformação plástica acumulada x tempo

Observando a figura 5.2 observa-se que ocorre acomodação e não o surgimento de uma deformação plástica cíclica progressiva como mostrado na figura 2.10.

5.1.3. Carregamento cíclico (A=1.5, C=0.2)

A Seguir são apresentados os resultados gráficos para um carregamento com cinco

cíclos, noventa segundos de duração e valores máximo e mínimo para o fator de (𝜎/𝜎₀)

de 1,5 e -1,3 respectivamente.

(51)

Figura 5.6 - Deformação plástica x tempo

(52)

Figura 5.8 - Tensão x deformação plástica acumulada

Pode-se perceber que devido a uma carga trativa maior o efeito do Ratcheting fazendo com que a deformação plástica aumente progressivamente a cada ciclo. Através dos gráficos apresentando a evolução do incremento ∆𝑝, que não varia com os cíclos, que a cada cíclo o aumento na deformação plástica e na deformação plástica acumulada é mantido constante.

5.1.4. Carregamento cíclico (A=1.7 e C=0.4)

A Seguir são apresentados os resultados gráficos para um carregamento com cinco ciclos, noventa segundos de duração e valores máximo e mínimo para o fator de carregamento de 1,7 e -1,3 respectivamente.

(53)

Figura 5.9 - Tensão x deformação plástica

(54)

Com os resultados acima é possível perceber que o aumento na tensão máxima no carregamento torna ainda mais claro o efeito da deformação cíclica acumulada, ou

Ratcheting. Com os resultados das simulações para os carregamentos não simétricos

percebe-se que durante a compressão o material não consegue atingir o limite de proporcionalidade a compressão, fazendo com que a deformação plástica acumulada (p) evolua da mesma maneira que a deformação plástica.

5.2. VASO DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS

Nesta seção serão apresentados os resultados para as simulações feitas tomando como objeto de estudo um vaso de pressão de paredes finas submetido a uma pressão interna e com carregamento axial cíclico de forma que possa ser observada a deformação plástica progressiva.

Todas as simulações foram feitas com tensão prescrita e uma frequência de carregamento axial de 0,050 Hz, ou seja, um ciclo a cada 18 segundos e pressão interna crescente até um limite estabelecido e posteriormente constante. Para cada ensaio foram consideradas variações na intensidade do carregamento e número de ciclos, e consequentemente, o intervalo de tempo do estudo.

(55)

5.2.1. Histórico de carregamento – caso vaso de pressão

O histórico de carregamento pode ser observado nas figuras a seguir.

Figura 5.12 – Histórico de carregamento axial

Figura 5.13 – Histórico de carregamento circunferencial

Como pode ser visto, o carregamento axial imposto é cíclico, senoidal, e determina a intensidade da tensão aplicada, a tensão aplicada é o resultado do produto do fator de carregamento com a tensão de proporcionalidade, o mesmo acontece com o carregamento circunferencial onde a tensão aplicada é o produto do fator de carregamento circunferencial e a tensão de proporcionalidade. Nota-se que dos três carregamentos axiais

(56)

somente o representado pela linha cheia é simétrico, enquanto os restantes têm o valor mínimo comum de -1,3 e o máximo de 1,5 ou 1,7. O efeito da simetria, ou não, do carregamento axial pôde ser observado nas simulações do caso uniaxial.

5.2.2. Carregamento axial simétrico e pressão interna (A 1.3, C 0)

A seguir são apresentados os resultados gráficos para um carregamento com cinco ciclos, noventa segundos de duração, valores máximo e mínimo para o fator de carregamento axial de 1,3 e -1,3 respectivamente e esforços circunferenciais como mostrado na Figura 5.48.

(57)

Figura 5.15 – SZ x deformação plástica em Z

(58)

Figura 5.17 – Deformação plástica em Z x tempo

(59)

Figura 5.19 - Sθ x deformação plástica em θ

(60)

Figura 5.21 – Deformação plástica em θ x tempo

(61)

Figura 5.24 – Tensão equivalente de von Mises x Deformação plástica acumulada

Observando os resultados apresentados acima é possível perceber que com o aumento do número de ciclos a tendência é que haja acomodação, uma vez que o crescimento da deformação plástica acumulada torna-se mais lento como ilustrado na Figura 5.23.

Percebe-se também o aumento da fase elástica e o seu deslocamento na Figura 5.68 devido aos endurecimentos isotrópico e cinemático respectivamente.

(62)

5.2.3. Carregamento axial e pressão interna (A 1.5, C 0.2)

A seguir serão apresentados os resultados gráficos para um carregamento axial cíclico com fator de carregamento máximo de 1,5 vezes a tensão de proporcionalidade e mínimo de -1,3, além de pressão interna.

São apresentados os resultados para 75 ciclos, ou 1350 segundos de duração.

Figura 5.25 – Sθ x deformação plástica em θ

(63)

Figura 5.27 - Deformação plástica em θ x tempo

(64)

Figura 5.30 – Tensão equivalente de von Mises x Deformação plástica acumulada

As conclusões obtidas através da análise desses resultados é semelhante às feitas no encerramento da seção 5.2.2, com o adicional de os efeitos serem mais claros a medida que a tensão aplicada é maior.

(65)

5.2.4. Carregamento axial e pressão interna (A 1.7, C 0.4)

Abaixo são apresentados os resultados gráficos para um carregamento axial cíclico com fator de carregamento máximo de 1,7 vezes a tensão de proporcionalidade e mínimo de -1,3, além de pressão interna.

São apresentados os resultados para 75 ciclos, ou 1350 segundos.

Figura 5.31 – Sθ x deformação plástica em θ

(66)

Figura 5.33 - Deformação plástica em θ x tempo

(67)

Figura 5.35 - Deformação plástica acumulada x tempo

Figura 5.36 - Tensão equivalente de von Mises x Deformação plástica acumulada

A análise de resultados é semelhante a feita nas duas seções anteriores. O mais importante a ser destacado é o comportamento apresentado na Figura 5.36. Como explicado anteriormente é esperado que o domínio elástico expanda, assim como há a tendência a acomodação da curva.

Nota-se que a partir do valor de, aproximadamente, 0,02% para a deformação plástica acumulada que a tensão equivalente de von Mises não diminui além de zero, isso se deve ao fato de esta variável ser absoluta, ou seja, somente apresenta valores reais positivos, é possível observar esta característica na equação (3.42).

(68)

Em todos os casos se observa um incremento de deformação plástica p por

ciclo, o que corresponde à um aumento permanente r_pdo diâmetro, pois vale a relação

p p

i

r

r (5.8)

Após alguns ciclos, esse incremento se estabiliza p cte, podendo esse valor

ser igual a zero (estabilização elástica). Um possível critério de integridade seria impor

uma deformação plástica acumulada máxima p_maxe verificar através de simulações se esse

valor seria atingido.

Figura 5.37 - Carregamento seguro / Possibilidade de falha

5.3. ESTUDO DO PASSO NO TEMPO

Por se tratar de um trabalho numérico é importante que o tempo gasto pelo programa para obter os resultados seja o menor possível sem que a qualidade dos resultados seja prejudicada. Logo vê-se a necessidade de, através de estudos preliminares,

(69)

determinar um passo no tempo onde a precisão não seja prejudicada e o tempo de processamento seja o menor possível.

Foram, então, feitas várias simulações para obter um passo no tempo que proporcionasse tais resultados.

Como será apresentado posteriormente, a simulação com o maior intervalo de tempo tem duração de 1350 segundos e 90 ciclos. Para o estudo de passo no tempo foi decidido inicialmente que uma divisão de 100.000 (cem mil) iterações obtivesse um resultado adequado, o que resulta em um passo no tempo de ∆𝑡 = 0,0135𝑠. A partir deste ponto foi-se diminuindo o número de iterações e consequentemente aumentando o passo

no tempo (∆𝑡). Adicionalmente foi registrado de forma aproximada o tempo demorado

por cada simulação.

Para simplificar a visualização gráfica desse estudo, as simulações foram feitas considerando apenas 5 ciclos. Abaixo é apresentada uma tabela para simplificar a visualização das simulações feitas.

Tabela 5.1 – Dados simulações para estudo do passo no tempo

Dados de

carregamento Dados das simulações

Tempo Máximo [s] Número de ciclos Passos no tempo Δt [s] Passos no tempo por cíclo Tempo gasto em cada simulação [s] 90 5 6667 0,0135 1333 3,1 90 5 3333 0,0270 667 2,8 90 5 1667 0,0540 333 2,4 90 5 1000 0,0900 200 2,1 90 5 500 0,1800 100 1,8

As simulações foram feitas com carregamento axial cíclico com valor máximo de 1,7 vezes a tensão de proporcionalidade e tensão mínima de -1,3 vezes a tensão de proporcionalidade. Já a tensão circunferencial é constante e tem o mesmo valor da tensão de proporcionalidade.

Abaixo são apresentados os resultados gráficos com a variação do passo no tempo e número de iterações.

(70)

Figura 5.38 - Comparação passo no tempo – Deformação plástica circunferencial

pelo tempo

Figura 5.39 - Comparação passo no tempo – Deformação plástica acumulada pelo

tempo

Bons resultados são encontrados quando são usadas 100 iterações por ciclo, ou seja, quando ∆𝑡 = 𝑇/100. Onde ∆𝑡 é o passo no tempo e 𝑇 é o período.