LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL - 1 o CICLO FOLHA 1. x 2. J = x R : x2 + 2x 3

(1)

INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL - 1o_CICLO

REGIME DIURNO/NOCTURNO - 1o_{SEMESTRE - 1}o_{ANO - 2009/2010}

DISCIPLINA DE AN ´ALISE MATEM ´ATICA

FOLHA 1

PARTE I

1. Para cada um dos conjuntos determine o interior, o exterior, a fronteira, o fecho e o derivado. Classifique-os topologicamente.

A =]0, 2]S[3, 5[S{6, 7} _{B = {x ∈ R : x}2 _{< 9}} C = {x ∈ R : 0 < |x − 3| ≤ 5} D = {x ∈ R : x3 _{> x}} E = {x ∈ R : x − 1 ≥ x} F = {x ∈ R : |x + 1| ≥ |x|} G = {x ∈ R : x3_{− 13x − 12 ≥ 0}} _{H = {x ∈ R : x}3_{− 8x}2_{+ 15x < 0}} I = x ∈ R : x − 1 x + 3 > x x − 2 J = x ∈ R : x 2_{+ 2x − 3} x − 1 > x 2 K = x ∈ R : x + 1 x2_{+ 2x + 1} > 1 2x

2. Considere os conjuntos B e H do ponto anterior. Diga se BS H e B T H s˜ao conjuntos abertos ou fechados. 3. Considere os conjuntos A e B: A = {x ∈ R : |x − 3| > 2|x|} e B = y ∈ R : y y−1 < y−1 y . Classifique-os topologicamente. PARTE II

4. Determine caso existam, o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes, o supremo, o ´ınfimo, o m´aximo, e o m´ınimo, dos seguintes conjuntos. Diga justificando se os con-juntos s˜ao limitados.

(2)

(a) A = [1, 4[ (b) B = [−1, 5] (c) C =] − ∞, 2[ (d) D =]5, +∞[ (e) E =]10, 30]S{42} (f) F =] − ∞, 3[S]π, 10[S{50, 51} 5. Considere o conjunto A = {x ∈ R : x − 3 x2_{− 9} > x + 7 x − 5∨ x = 8} e o conjunto B =] − ∞, 4].

(a) Mostre que A =] − 3, 5[\{3}S{8}.

(b) Para cada um dos conjuntos, indique, justificando com as definic¸˜oes: i. o conjunto dos minorantes

ii. o conjunto dos majorantes iii. o m´ınimo e o m´aximo

iv. o ´ınfimo e o supremo

v. é minorado? é majorado? é limitado?

(c) Indique uma vizinhanc¸a de centro em 1 que esteja contida no interior do conjunto A.

(d) Complete a seguinte frase: ”Tem-se que a vizinhanc¸a de centro em 3 de raio 0.2, ou seja, V0.2(3) =]2.8, 3.2[, verifica V0.2(3)T A = . Assim, V0.2(3) A,

pelo que 3 ponto interior a A. Apesar de 3 A, o número 3 não pertence ao ext(A), logo 3 é ponto de A. Como se tem ainda que V0.2(3)T A \

{3} 6= ∅, podemos dizer que 3 ´e um ponto de de A.”’ 6. Indique quais os seguintes subconjuntos de R s˜ao abertos ou fechados.

a) [2, 3[ b) ]0, 1[S]2, 3[ c) [0, 1]S[2, 3] S{π} d)]0, 1[S]2, 3[S{π} e) [2, 8[\{3} f) {a1, a2, ..., an}

g) ∅ h) R

7. Para cada um dos conjuntos determine o interior, o exterior, a fronteira e o fecho. Classifique-os topologicamente.

(3)

Z =] − ∞, 2]S{6} Y =]1, 3]S{5} S]10, +∞[ X =]0, 5[S{8} S[20, +∞[ W =] − ∞, 3[S]8, 10[\{9} V =] − ∞, −2]S{10} S]20, +∞[

8. Para cada um dos conjuntos determine o interior, o exterior, a fronteira e o fecho. Classifique-os topologicamente. T = {x ∈ R : x2 _{> 16}} _{S = {x ∈ R : 2x}2_{+ x > 1}} R = x ∈ R : x − 1 x2 _{+ 2x + 1} > 1 2x Q = {x ∈ R : 0 < |x − 1| ≤ 7} P = {x ∈ R : 0 < |x + 4| ≤ 50} O = {x ∈ R : |x2_{− 2| ≤ 2x + 1}} N = {x ∈ R : |x − 1| < |x|} M = {x ∈ R : |x − 3| < |x − 1|}S{−5} L = x ∈ R : x x2_{− 3} ≥ 2 K = {x ∈ R : ln(x2 _{− 3) ≤ 0 ∧ e}x _{6= 1}}

9. Quando poss´ıvel, dˆe um exemplo de um subconjunto de R que: (a) Seja finito, n˜ao vazio e aberto.

(b) Seja fechado mas n˜ao limitado. (c) Seja igual ao seu fecho.

(d) Seja igual `a sua fronteira.

(4)

PARTE I-Resolução Exerc´ıcio 1 A =]0, 2]S[3, 5[S{6, 7} Interior: int(A) = ˙A =]0, 2[S]3, 5[ Exterior: ext(A) =] − ∞, 0[S]2, 3[S]5, 6[S]6, 7[S]7, +∞[ Fronteira: f r(A) = {0, 2, 3, 5, 6, 7} Fecho: ad(A) = ¯A = [0, 2]S[3, 5] S{6, 7} Derivado: A0 = [0, 2]S[3, 5] Classificação topológica:

A 6= ˙A ⇒ A não é aberto; A 6= ¯A ⇒ A não é fechado; A é limitado.J B = {x ∈ R : x2 _{< 9}} Cálculo Auxiliar x2 _{< 9 ⇔ x}2_{− 9 < 0 ⇔ x ∈] − 3, 3[} B =] − 3, 3[ Interior: int(B) = ˙B =] − 3, 3[ Exterior: ext(B) =] − ∞, −3[S]3, +∞[ Fronteira: f r(B) = {−3, 3} Fecho: ad(B) = ¯B = [−3, 3] Derivado: B0 = [−3, 3] Classificação topológica:

B = ˙B ⇒ B é aberto; B 6= ¯B ⇒ B não é fechado; B é limitado.J

C = {x ∈ R : 0 < |x − 3| ≤ 5} C.A.

(5)

0 < |x − 3| ≤ 5 ⇔ |x − 3| > 0 ∧ |x − 3| ≤ 5 ⇔ x − 3 6= 0 ∧ x − 3 ≤ 5 ∧ x − 3 ≥ −5 ⇔ x 6= 3 ∧ x ≤ 8 ∧ x ≥ −2 C = [−2, 8] \ {3} Interior: int(C) = ˙C =] − 2, 8[\{3} Exterior: ext(C) =] − ∞, −2[S]8, +∞[ Fronteira: f r(C) = {−2, 3, 8} Fecho: ad(C) = ¯C = [−2, 8] Derivado: C0 = [−2, 8] Classificação topológica:

C 6= ˙C ⇒ C não é aberto; C 6= ¯C ⇒ C não é fechado; C é limitado.J D = {x ∈ R : x3 _{> x}} C.A. x3 _{> x} _⇔ _x3_{− x > 0} ⇔ x(x2_{− 1) > 0} ⇔ x(x + 1)(x − 1) > 0 x −∞ −1 0 1 ∞ x − − − 0 + + + (x + 1)(x − 1) + 0 − − − 0 + x(x + 1)(x − 1) − 0 + 0 − 0 + ←→ ←→ D =] − 1, 0[S]1, +∞[ Interior: int(D) = ˙D =] − 1, 0[S]1, +∞[ Exterior: ext(D) =] − ∞, −1[S]0, 1[ Fronteira: f r(D) = {−1, 0, 1}

(6)

Fecho: ad(D) = ¯D = [−1, 0]S[1, +∞[ Derivado: D0 = [−1, 0]S[1, +∞[ Classificação topológica:

D = ˙D ⇒ D é aberto; D 6= ¯D ⇒ D não é fechado; D não é limitado.J

E = {x ∈ R : x − 1 ≥ x} C.A. x − 1 ≥ x ⇔ x − x ≥ 1 ⇔ 0 ≥ 1 P.F. E = ∅ Interior: int(E) = ∅ Exterior: ext(E) = R Fronteira: f r(E) = ∅ Fecho: ad(E) = ¯E = ∅ Derivado: E0 = ∅ Classificação topológica:

E = ˙E ⇒ E é aberto; E = ¯E ⇒ E é fechado; E é limitado.J F = {x ∈ R : |x + 1| ≥ |x|} C.A. |x + 1| ≥ |x| ⇔ |x + 1|2 _{≥ |x|}2 ⇔ x2+ 2x + 1 ≥ x2 ⇔ 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1 2 F = −1 2, +∞ Interior : int(F ) = ˙F = −1 2, +∞

(7)

Exterior: ext(F ) = −∞, −1 2 Fronteira: f r(F ) = −1 2 Fecho: ad(F ) = ¯F = −1 2, +∞ Derivado: F0 = −1 2, +∞ Classificação topológica:

F 6= ˙F ⇒ F não é aberto; F = ¯F ⇒ F é fechado; F não é limitado.J

G = {x ∈ R : x3_{− 13x − 12 ≥ 0}} C.A. x3_{− 13x − 12 ≥ 0} Regra de Ruffini 1 0 −13 −12 −1 −1 1 12 1 −1 −12 0 x3_{− 13x − 12 = (x + 1)(x}2_{− x − 12)} = (x + 1)(x + 3)(x − 4) x2− x − 12 = 0 ⇔ x = 1± √ 12_{−4×1×(−12)} 2 ⇔ x = −3 ∨ x = 4 x3_{− 13x − 12 ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x}2_{− x − 12) ≥ 0} ⇔ (x + 1)(x + 3)(x − 4) ≥ 0 x −∞ −3 −1 4 +∞ x + 1 − − − 0 + + + (x + 3)(x − 4) + 0 − − − 0 + (x + 1)(x + 3)(x − 4) − 0 + 0 − 0 + ←− −− −→ ←− −→ G = [−3, −1]S[4, +∞[ Interior: int(G) = ˙G =] − 3, −1[S]4, +∞[ Exterior: ext(G) =] − ∞, −3[S] − 1, 4[ Fronteira: f r(G) = {−3, −1, 4}

(8)

Fecho: ad(G) = ¯G = [−3, −1]S[4, +∞[ Derivado: G0 = [−3, −1]S[4, +∞[ Classificação topológica:

G 6= ˙G ⇒ G não é aberto; G = ¯G ⇒ G é fechado; G não é limitado.J

H = {x ∈ R : x3_{− 8x}2_{+ 15x < 0}} C.A. x3_{− 8x}2_{+ 15x < 0 ⇔ x(x}2_{− 8x + 15) < 0} ⇔ x(x − 3)(x − 5) < 0 x2_{− 8x + 15 = 0 ⇔ x =} 8±√82_−4×1×15 2 ⇔ x = 3 ∨ x = 5 x −∞ 0 3 5 +∞ x − 0 + + + + + (x − 3)(x − 5) + + + 0 − 0 + x(x − 3)(x − 5) − 0 + 0 − 0 + ↔ ↔ H =] − ∞, 0[S]3, 5[ Interior: int(F ) = ˙F =] − ∞, 0[S]3, 5[ Exterior: ext(H) =]0, 3[S]5, +∞[ Fronteira: f r(H) = {0, 3, 5} Fecho: ad(H) = ¯H =] − ∞, 0]S[3, 5] Derivado: H0 =] − ∞, 0]S[3, 5] Classificação topológica:

H = ˙H ⇒ H é aberto; H 6= ¯H ⇒ H não é fechado; H não é limitado.J

(9)

I = x ∈ R : x − 1 x + 3 > x x − 2 C.A. x − 1 x + 3 > x x − 2 ⇔ x − 1 x + 3 − x x − 2 > 0 ⇔ (x − 1)(x − 2) − x(x + 3) (x + 3)(x − 2) > 0 ⇔ x 2_{− 2x − x + 2 − x}2_{− 3x} (x + 3)(x − 2) > 0 ⇔ −6x + 2 (x + 3)(x − 2) > 0 x −∞ −3 1 3 2 +∞ −6x + 2 + + + 0 − − − (x + 3)(x − 2) + 0 − − − 0 + −6x + 2 (x + 3)(x − 2) + s/s − 0 + s/s − ←→ ←→ I = ]−∞, −3[S 1 3, 2 Interior: int(I) = ˙I =] − ∞, −3[S 1 3, 2 Exterior: ext(I) = −3, 1 3 S]2, +∞[ Fronteira: f r(I) = −3, 1 3, 2 Fecho: ad(I) = ¯I =] − ∞, −3]S 1 3, 2 Derivado: I0 =] − ∞, −3]S 1 3, 2 Classificação topológica:

(10)

I não é limitado.J J = x ∈ R : x 2_{+ 2x − 3} x − 1 > x 2 C.A. x2_{+ 2x − 3} x − 1 > x 2 ⇔ x2_{+ 2x − 3} x − 1 − x 2 > 0 ⇔ x 2_{+ 5x − 6} 2(x − 1) > 0 ⇔ (x + 6)(x − 1) 2(x − 1) > 0 ⇔ x + 6 2 > 0 ∧ x 6= 1 ⇔ x + 6 > 0 ∧ x 6= 1 ⇔ x > −6 ∧ x 6= 1 x2+ 5x − 6 = 0 ⇔ x = −5± √ 52_{−4×1×(−6)} 2 ⇔ x = −6 ∨ x = 1 J =] − 6, +∞[\{1} Interior: int(J ) =] − 6, +∞[\{1} Exterior: ext(J ) =] − ∞, −6[ Fronteira: f r(J ) = {−6, 1} Fecho: ad(J ) = ¯J = [−6, +∞] Fecho: J0 = [−6, +∞] Classificação topológica:

J = ˙J ⇒ J é aberto; J 6= ¯J ⇒ J não é fechado; J não é limitado.J

(11)

K = x ∈ R : x + 1 x2_{+ 2x + 1} > 1 2x C.A. x + 1 x2_{+ 2x + 1} > 1 2x ⇔ x + 1 x2_{+ 2x + 1} − 1 2x > 0 ⇔ 2x 2_{+ 2x − x}2_{− 2x − 1} 2x(x2_{+ 2x + 1)} > 0 ⇔ x 2_{− 1} 2x(x2 _{+ 2x + 1)} > 0 ⇔ x − 1 2x(x + 1) > 0 x −∞ −1 0 1 +∞ x − 1 − − − − − 0 + x − − − 0 + + + x + 1 − 0 + + + + + x − 1 2x(x + 1) − s/s + s/s − 0 + ←→ ←→ K = ]−1, 0[S ]1, +∞[ Interior: int(K) = ˙K = ]−1, 0[S ]1, +∞[ Exterior: ext(K) = ]−∞, −1[S]0, 1[ Fronteira: f r(K) = {−1, 0, 1} Fecho: ad(K) = ¯K = [−1, 0]S [1, +∞[ Derivado: K0 = [−1, 0]S [1, +∞[ Classificação topológica:

K = ˙K ⇒ K é aberto; K 6= ¯K ⇒ K não é fechado; K não é limitado.J

(12)

BS H e B T H

BS H =] − ∞, 3[S]3, 5[ BT H =] − 3, 0[

Interior: int(BS H) =] − ∞, 3[S]3, 5[ Interior: int(BT H) =] − 3, 0[ Fronteira: f r(BS H) = {3, 5} Fronteira: f r(BT H) = {−3, 0} Fecho: ad(BS H) =] − ∞, 5] Fecho: ad(BT H) = [−3, 0] Derivado: (BS H)0 _{=] − ∞, 5]} _{Derivado: (B}_{T H)}0 _{= [−3, 0]}

Classificação topológica:

BS H = int(B S H) BT H = int(B T H) ; ⇒ BS H é aberto; ⇒ BT H é aberto BS H 6= ad(B S H) BT H 6= ad(B T H) ⇒ BS H não é fechado. ⇒ BT H não é fechado.

A reunião finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto e a intersecção finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto._J

Exerc´ıcio 3 A = {x ∈ R : |x − 3| > 2|x|} C.A. |x − 3| > 2|x| ⇔ |x − 3|2 _{> (2|x|)}2 ⇔ 3x2_{+ 6x − 9 < 0} 3x2+ 6x − 9 = 0 ⇔ x = −6± √ 62_{−4×3×(−9)} 2×3 ⇔ x = −3 ∨ x = 1 x −∞ −3 1 +∞ (x + 3)(x − 1) + 0 − 0 + ↔ A =] − 3, 1[ Interior: int(A) = ˙A =] − 3, 1[ Fronteira: f r(A) = {−3, 1}

(13)

Fecho: ad(A) = ¯A = [−3, 1] Derivado: A0 = [−3, 1] Classificação topológica:

A = ˙A ⇒ A é aberto; A 6= ¯A ⇒ A não é fechado; A é limitado.J B = y ∈ R : y y−1 < y−1 y . C.A. y y−1 < y−1 y ⇔ y 2 _< 1 y2 ⇔ y2₋ 1 y2 < 0 ⇔ y 4_{− 1} y2 < 0 ⇔ y4_{− 1 < 0 ∧ y 6= 0} ⇔ (y2_{− 1)(y}2_{+ 1) < 0 ∧ y 6= 0} ⇔ y2_{− 1 < 0 ∧ y 6= 0} B =] − 1, 1[\{0} Interior: int(B) = ˙B =] − 1, 1[\{0} Fronteira: f r(B) = {−1, 0, 1} Fecho: ad(B) = ¯B = [−1, 1] Derivado: B0 = [−1, 1] Classificação topológica:

B = ˙B ⇒ B é aberto; B 6= ¯B ⇒ B não é fechado; B é limitado.J