Exemplo 1: Seja f(x) = (x

(1)

MATEMÁTICA I

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 29 de Março 2012

AULA 2 – Parte 2

2

LIMITES E DERIVADAS

Limites no Infinito e Assintótas horizontais:

Os limites no infinito procuram estudar o comportamento de funções f(x) para valores de x arbitrariamente grandes em módulo (x positivo ou negativo).

(2)

Exemplo 1: Seja f(x) = (x2_-1)/(x2_{+1). Estudar o} seu comportamento quando x aumenta em

módulo.

y _horizontalAsssíntota x f(x)

0 -1

f(x) é par

0

f(x)

x 1

-1

-1 ₁

0 -1

±±±±1 0 ±±±±2 0,60 ±±±±3 0,80 ±±±±10 0,98 ±±±±100 0,99

4 Exemplo 1: Seja f(x) = (x2_-1)/(x2_{+1). Estudar o}

seu comportamento quando x aumenta em módulo.

LIMITES E DERIVADAS

Através da tabela e do gráfico é possível

determinar o comportamento da função f(x) para valores arbitrariamente grandes, em módulo,

de x. Dessa forma:

valores arbitrariamente grandes, em módulo, de x. Dessa forma:

lim _x→_→_→_→+∞_∞_∞_∞ (x2 _{- 1)/(x}2 _{+ 1) = 1}

lim _x→_→_→_→-∞_∞_∞_∞ (x2 _{- 1)/(x}2 _{+ 1) = 1}

(3)

Definição de Limites no Infinito:

Seja f(x) uma função definida em algum intervalo (a,∞). Então:

lim _x→_→_→_→+∞_∞_∞_∞ f(x) = L

Ou seja, os valores de f(x) ficam tão próximos de L

conforme x for arbitrariamente grande. Ou ainda:

lim _x→_→_→_→+∞_∞_∞_∞ f(x) = L f(x) →→→→ L quando x→→→→+∞∞∞∞

6

Definição de Limites no Infinito:

Seja f(x) uma função definida em algum intervalo (-∞,a). Então:

lim _x→_→_→_→-∞_∞_∞_∞ f(x) = L

Ou seja, os valores de f(x) ficam tão próximos de L

conforme x for arbitrariamente grande, mas com sinal

LIMITES E DERIVADAS

conforme x for arbitrariamente grande, mas com sinal negativo. Ou ainda:

(4)

Exemplo 2: Exemplos de assíntotas horizontais quando x tende a um valor arbitrariamente grande (x→∞→∞→∞→∞), ou seja, lim _x_→_→_→_→₊_∞_∞_∞_∞ f(x) = L.

Caso 1

Asssíntota horizontal

Caso 2 Caso 3

y

x

y = L

f(x)

y

x

y = L

f(x) y

x

y = 0: eixo x

f(x)

8 Exemplo 3: Exemplos de assíntotas horizontais

quando x tende a um valor grande (x→→→→-∞∞∞∞), mas com sinal negativo, ou seja, lim _x_→_→_→_→_-_∞_∞_∞_∞ f(x) = L.

LIMITES E DERIVADAS

Caso 1

f(x)

Caso 2 Caso 3

y

x

y = L

f(x)

y

x

y = L

f(x) y

x

y = 0: eixo x

(5)

Exercício 1: Encontrar os limites infinitos

(lim _x_→_→_→_→_a f(x) = ±∞±∞±∞±∞) , limites no infinito (x→±∞→±∞→±∞→±∞) e assíntotas para f dada no gráfico a seguir:

(b)lim _x→_→_→_→1- f(x)

y y = f(x)

a

c

4 e

(a)lim _x→_→_→_→-∞_∞_∞_∞ f(x) b

(b)lim _x→_→_→_→1- f(x)

(c)lim _x→_→_→_→-1+ f(x)

(d)lim _x→_→_→2-_→ f(x)

(e)lim _x→_→_→_→2+ f(x)

(f)lim _x→_→_→_{→+ ∞}_∞_∞_∞ f(x)

0 _x

1

-1

2

1 2 3 a

d

f

10 Exercício 1: Encontrar os limites infinitos

y _{y = f(x)}

LIMITES E DERIVADAS

a

4 (a)lim x→→→→-∞∞∞∞ f(x)₌₂ b

Asssíntota

(b)lim _x→_→_→_→1- f(x) =+∞∞∞∞

0 _x

1

-1

2

1 2 3

a Asssíntota vertical

x = -1

(6)

Exercício 1: Encontrar os limites infinitos

(c)lim _x→_→_→_→-1+ f(x) =+∞∞∞∞

y y = f(x)

c 4

Asssíntota Asssíntota

(d)lim _x→_→_→_→2- f(x) =-∞∞∞∞

0 _x

1

-1

2

1 2 3

d

Asssíntota vertical

x = 2 Asssíntota

vertical x = -1

12 Exercício 1: Encontrar os limites infinitos

(e)lim _x→_→_→_→2+ f(x) =+∞∞∞∞

y y = f(x)

LIMITES E DERIVADAS

4 e

(f)lim _x→_→_→_{→+ ∞}_∞_∞_∞ f(x) =4

0 _x

1

-1

2

1 2 3 f

Asssíntota vertical

x = 2 Asssíntota

(7)

Exercício 2: Verificar a existência ou não dos limites: (i) x→→→-1, (ii) x→→ →→2 e (iii) x→±∞→ →±∞→±∞.→±∞

(b)lim _x→_→_→_→1- f(x)

=+∞∞∞∞ (c)lim x→→→→-1+ =+∞f(x)∞∞∞ (i)lim x→→→→-1 =+∞f(x)∞∞∞

(d)lim _x→_→_→_→2- f(x)

=-∞∞∞∞ (e)lim x→→→→2+ _=+∞f(x)_∞_∞_∞ (ii)lim não existex→→→→2 f(x)

(iii)lim _x→_→_→_→-∞_∞_∞_∞ f(x) =2

(iv)lim _x→_→_→_{→+ ∞}_∞_∞_∞ f(x) =4

14 Exemplo 4: Encontrar lim _x_→_→_→_→_-_∞_∞_∞_∞ 1/x e

lim _x_→_→_→_→₊_∞_∞_∞_∞ 1/x.

LIMITES E DERIVADAS

y _1/x _x _f(x)

10 0,1

1 1

-1 1

x f(x)

-10 -0,1

-1 -1

x 0

1/x

100 0,01 1000 0,001

10 0,1 -1

1

-1 -100 -0,01

-1000 -0,001 -10 -0,1

(8)

Teorema:

Seja r>0 for um número racional, então:

lim _x→∞_→∞_→∞_→∞ 1/xr _{= 0}

Se r>0 for um número racional tal xr _{esteja definida}

para todo x, então:

lim _x→_→_→_→-∞_∞_∞_∞ 1/xr _{= 0}

16 Exemplo 5: Calcule lim _x_→_→∞_→_→_∞_∞_∞ (3x2_-x-2)/(5x2_+4x+1):

LIMITES E DERIVADAS

Quando x cresce tanto o numerador quanto o denominador crescem e não é possível determinar o que ocorre com a razão entre eles. Portanto, é necessário manipular algebricamente a expressão e uma forma é dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x:

potência de x:

lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞ (3x2_-x-2)/(5x2_+4x+1)

=lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞ ((3x2_-x-2)/x2_)/((5x2_+4x+1)/x2₎

=lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞ (3-1/x-2/x2_)/(5+4/x+1/x2₎

=lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞(3-1/x-2/x2_{)/ lim}

x→∞→∞→∞→∞(5+4/x+1/x2)

=(lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞(3)+lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞(-1/x)+lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞(-2/x2_))/

(lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞(5)+ lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞(4/x)+ lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞(1/x2₎₎

(9)

Exemplo 6: Calcule lim _x_→_→_→_→_-_∞_∞_∞_∞ (3x2_-x-2)/(5x2_+4x+1):

Observe que as simplificações empregadas no exercício 5 podem ser aplicadas novamente:

lim _x_→_→_→_→_-_∞_∞_∞_∞ (3x2_-x-2)/(5x2_+4x+1)

=(lim _x_→_→_→_→_-_∞_∞_∞_∞(3)+lim _x_→_→_→_→_-_∞_∞_∞_∞(-1/x)+lim _x_→_→_→_→_-_∞_∞_∞_∞(-2/x2_))/

(lim (5)+ lim (4/x)+ lim (1/x2₎₎

(lim _x_→_→_→_→_-_∞_∞_∞_∞(5)+ lim _x_→_→_→_→_-_∞_∞_∞_∞(4/x)+ lim _x_→_→_→_→_-_∞_∞_∞_∞(1/x2₎₎

=(3 + 0 + 0)/(5 - 0 - 0) = 3/5

O resultado indica que o limite para x→-∞ também é 3/5. Ou seja, nos dois casos a função possui uma assíntota horizontal em y = 3/5. O gráfico da função ilustra o comportamento assintótico da função para x→+∞ e x→-∞.

18 Exemplo 6: Gráfico de f(x)=(3x2_-x-2)/(5x2_+4x+1):

LIMITES E DERIVADAS

y

y = 0,6

x 0 ₁

(10)

Exercício 3: Calcule lim _x_→_→_→_→∞_∞_∞_∞ ((x2₊₁₎1/2_-x):

lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞ ((x2₊₁₎1/2_-x)

=lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞ ((x2₊₁₎1/2_-x)*((x2₊₁₎1/2_+x)/((x2₊₁₎1/2_+x))

=lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞ ((x2_{+1) –x}2_)/((x2₊₁₎1/2_+x))

=lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞ (1)/((x2₊₁₎1/2_+x)

=lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞ (1/x)/(((x2₊₁₎1/2_+x)/x)

=lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞ (1/x)/(((1+1/x2₎1/2₊₁₎₎

=lim _x_→∞_→∞_→∞_→∞ 0/(((1+0)1/2₊₁₎₎

=0

Observações importantes:

(i) (a-b)(a+b) = a2 _{+ ab – ba - b}2 _{= a}2 _{- b}2

(ii)(a2₎1/2_{/a = (a}2_/a2₎1/2 _{= a/a = 1}

(iii)(a2 _{+ b)}1/2_/a _{= (a}2 _{+ b)}1/2_/(a2₎1/2 _=((a2 _{+ b)/a}2₎1/2

20 Exemplo 7: Verifique que lim _x_→_→_→_→_-_∞_∞_∞_∞ ex_=0:

LIMITES E DERIVADAS

y

y=ex

x f(x)

-1 0,367

0 1

x f(x)

2 7,39

5 148

x 0

-5 0,006 -10 0,000 -1 0,367

1 1

1 2,71

0 1

(11)

Exemplo 8: Calcule lim _x_→_→_→_→_0- e1/x_:

Seja t = 1/x. Se x→→→→0-, então, t→→→→-∞∞∞∞. Assim:

lim _x_→_→_→_→_0- e1/x

=lim _t_→_→_→_→_-_∞_∞_∞_∞ et

=0

Exemplo 9: Calcule lim _x_→_→_→_→∞_∞_∞_∞ sen(x):

Quando x cresce os valores de sen(x) oscilam entre -1 e 1 em um número infinito de vezes. Portanto, lim _x_→_→∞_→_→_∞_∞_∞ sen(x) não existe.

22

LIMITES E DERIVADAS

Limites Infinitos no Infinito:

Para indicar que os valores de f(x) tornam-se tão grandes quanto maior for o valor de x usa-se:

lim _x→∞_→∞_→∞_→∞ f(x) = ∞∞∞∞ lim _x→∞_→∞_→∞_→∞ f(x) = -∞∞∞∞

lim _x→_→_→_→-∞_∞_∞_∞ f(x) = ∞∞∞∞ lim _x→_→_→_→-∞_∞_∞_∞ f(x) = -∞∞∞∞

Exercício 4: Calcule lim _x_→_→_→_→∞_∞_∞_∞ x3 _{e lim}

x→→→→-∞∞∞∞ x3:

Quando x se torna grande, x3 _{também fica grande em}

módulo:

lim _x_→_→_→_→∞_∞_∞_∞ x3 ₌∞∞∞∞

x = ±±±±2 →→→→ x3 ₌±±±±₈

x = ±±±±5 →→→→ x3 ₌±±±±₁₂₅

(12)

Exemplo 10: Calcule lim _x_→_→∞_→_→_∞_∞_∞ (x2_{-x) :}

As propriedades de limites não podem ser aplicadas, pois isto resultaria em lim _x_→_→_→_→∞_∞_∞_∞ (x2_{-x) =}

lim _x_→_→_→_→∞_∞_∞_∞ (x2_{)- lim}

x→→→∞→∞∞∞ (x) = ∞∞∞∞ - ∞∞∞∞ e a última operação não

está definida. Contudo, pode ser escrito que:

lim _x (x2_-x)

lim _x_→_→_→_→∞_∞_∞_∞ (x2_-x)

= lim _x_→_→∞_→_→_∞_∞_∞ x(x-1)

como x e x-1 tornam-se grandes conforme x se torna grande:

=∞∞∞∞

24

Exemplo 1: Seja f(x) = (x

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AULA 2 – Parte 2

LIMITES E DERIVADAS

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LIMITES E DERIVADAS

LIMITES E DERIVADAS

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LIMITES E DERIVADAS

LIMITES E DERIVADAS

LIMITES E DERIVADAS

OBRIGADO !!!

FIM !!!