Sistemas: Propriedades
1. Considerando os sistemas cuja função se apresenta (x(t) entrada e y(t) saída), determine quais das
seguintes propriedades se verificam: i) memória;
ii) invariância no tempo;
iii) linearidade; iv) causalidade; v) estabilidade. a)
y t
( )
=
e
x t( ) b)y t
( )
dx t
( )
dt
=
c)y t
( )
= sin 6
[
( )
t x t
]
( )
d)( )
( ) (
)
( )
( )
0
0
,
100
,
0
≥
<
−
+
=
t
x
t
x
t
x
t
x
t
y
e)y n
[ ]
=
x n x n
[ ] [
− 1
]
f)y n
[ ]
=
x n
[
− −
2
]
2
x n
[
−
17
]
g)[ ]
[ ]
[
]
y n
x n
x n
n
n
n
=
+
≥
=
≤ −
,
,
,
0
1
1
0
1
2. Verifique se os sistemas seguintes são invertiveis. Se sim, construa o sistema inverso. Se não,
encontre dois sinais de entrada que provoquem a mesma saída.
a)
y t
( )
=
x t
(
− 4
)
b)
y t
( )
= cos
[
x t
( )
]
c) y n[ ]= n x n[ ]d) y n[ ]= x[1−n]
3. Considere o sistema LTI cuja resposta ao sinal x1(t) é y1(t) ilustrado na figura.
Calcule e desenhe a sua resposta aos seguintes sinais:
b)
4. Considere o sistema LTI cuja resposta ao sinal x1[n] é y1[n] ilustrado na figura.
Calcule e desenhe a sua resposta aos seguintes sinais:
a)
b)
Soluções:
1. a) Sem memória; invariante; não linear; causal; estável.
b) Com memória; invariante; linear; causal; instável. c) Sem memória; não invariante; linear; causal; estável. d) Com memória; invariante; não linear; causal; estável. e) Com memória; invariante; não linear; causal; estável. f) Com memória; invariante; linear; causal; estável.
g) Com memória; não invariante; linear; não causal; estável. 2. a) Invertível.
x t
( )
=
y t
(
+ 4
)
b) Não invertível.x t
( )
ex t
( )
+ 2
π
c) Não invertível.δ
[ ]
n
e2
δ
[ ]
n
,y n
[ ]
= 0
d) Invertível.x n
[ ]
=
y
[
1
−
n
]
3. a)x t
2( )
=
x t
1( )
−
x t
1(
−
2
)
⇒y t
2( )
=
y t
1( )
−
y t
1(
−
2
)
b)x t
3( )
=
x t
1( )
+
x t
1(
+
1
)
4. a)y n
2[ ]
=
y n
1[ ]
+
y n
1[
−
1
]
b)y n
3[ ]
=
y n
1[
+
1
]
Transformada de Laplace
Transformada directa
1 - Obtenha, utilizando a definição, a transformada de Laplace das seguintes funções:
a)
e
−at b) cos(ω t) c)t e
−2td)
e sen t
−t( )
ω
2 - Para cada uma das funções representadas, obtenha a sua transformada de Laplace.
Sugestão: Exprimir f(t) como uma combinação linear de funções mais simples.
a) b)
c) d)
3 - Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções, f(t), utilizando a definição. Verifique o
resultado com base nas tabelas.
a) b)
f(t)
1/a
21/a
20
a
2a
t
0 -2 5 a 2a t f(t) 0 t f(t) 2a a 2a 0 a 3a t f(t) 4a 0 t f(t) 2 6 0 a f(t) b a + b t4 - Usando a tabela e as propriedades da transformada de Laplace calcule: a)
L t e
[
−2t]
b)L e sen t
[
−t( )
ω
]
c)L t e
[
2 −at]
d)L e
[
2
−tcos(
10
t
)
−
t
4+
6
u t
(
−
10
)
e
− −(t 10)]
e)L
t
sen t
t
0
4
3 0
4
3
4
3 0
−
<
−
−
>
π
π
π
/
(
/ )
/
Transformada Inversa5 - Utilizando o método de expansão em fracções parciais obtenha a transformada inversa de
Laplace das seguintes funções:
a) 1 1 s s( + ) b)
1
1
2
s s
(
+
)(
s
+
)
c)1
1
2s s
(
+
)
d)1
1
24
(
s
+
) (
s
+
)
e)1
1
2s
+
f)1
1
2s s
(
+
)
6 - Obtenha a transformada inversa de Laplace das funções:
a)
F s
s
s
s
s
s s
( )
(
)
=
+
+
+
+
+
42
33
24
5
1
b)F s
s
s
s
( )
(
)
=
+
+
+
2 32
3
1
c)F s
( )
=
s s
(
+
s
+
)
1
2
2
2 d)F s
s
s s
s
( )
(
)
(
)
=
+
+ +
2
1
1
2 Equações Diferenciais 7 - Assumindo quex
a
x
dx
dt t
b
( )
' ( )
0
0
0
=
=
=
=
, obtenha a solução x(t) da equação diferenciald x
dt
dx
dt
x
2
2
+
3
+
2
=
0
. Represente graficamente a solução na situaçãoa
= −
b
sendoa
> 0
.8 - Obtenha, utilizando a transformada de Laplace, a solução das seguintes equações diferenciais
considerando as condições iniciais:
a)
d x
dt
dx
dt
x t
x
x
dx
dt t
2 23
6
0
0
0
0
0
3
+
+
=
=
=
=
=
( )
( )
' ( )
b)2
7
3
0
0
0
0
0
0
2 2d x
dt
dx
dt
x
x
x
dx
dt t
+
+
=
=
=
=
=
( )
' ( )
c)2
7
3
0
0
3
0
0
0
2 2d x
dt
dx
dt
x
x
x
dx
dt t
+
+
=
=
=
=
=
( )
'( )
9 - Considere a seguinte equação diferencial:
d x
dt
dx
dt
x t
u t
2 2+
3
+
2
( )
=
5
( )
Sendo u(t) uma entrada escalão (ou degrau) unitário, calcule:
a) O valor da saída depois do sistema ter atingido o estado estacionário (sem determinar a solução
da equação diferencial). b) A função de transferência
G s
X s
U s
( )
( )
( )
=
.c) x(t) para
t
≥ 0
, considerando as seguintes condições iniciaisx
x
dx
dt t
( )
' ( )
0
1
0
0
2
= −
=
=
=
.10 - Considere a seguinte equação diferencial:
d y
dt
dy
dt
y x
dx
dt
2 2+
2
+ = +
a) Obtenha a solução considerando x(t)=u(t) e condições iniciais nulas. b) Quais as alterações caso considere y(0)=k
(
k
≠ 0
)
e y’(0)=0Soluções: 1 - a)
