Representação de Sistemas no Domínio Tempo

Representação de Sistemas no Domínio Tempo

Introdução

Um sistema Linear Invariante no Tempo (LIT) pode será representado e analisado de diversas formas, duas delas serão abordadas neste curso: a representação no domínio tempo e a representação no domínio da freqüência. O objetivo deste laboratório é familiarizar o aluno com a representação de sistemas no domínio tempo utilizando o MATLAB.

Leitura - Bibliografia: Lathi - Capítulo 2.

Considerações iniciais

Consideraremos para a nossa análise, sistemas lineares diferenciais cujas entradas x(t) estão relacionadas com y(t) por equações diferenciais lineares no formato:

) ( . . ... . . ) ( . . ... . ₁ 1 1 1 1 1 1

1 b xt

dt x d b dt x d b dt x d b t y a dt y d a dt y d a dt y d N N M M M N M M M N N N N N N N        

 _{    } _{ } (3.1)

Onde todos os coeficientes

a

_i e

b

_i são constantes.

Usando a notação D para derivada, podemos representar também no formato:



D

N



a

₁

.

D

N1



...



a

_N1

.

D



a

_N



.

y

(

t

)





b

_NM

.

D

M



b

_NM1

.

D

M1



...



b

_N1

.

D



b

_N



.

x

(

t

)

(3.2)

A resposta de um sistema pode ser expressa como a soma de duas componentes: a componente de entrada nula e a componente de estado nulo.

RESPOSTA TOTAL = resposta de entrada nula + resposta de estado nulo. (3.3) Entrada nula



x(t)=0

Estado nulo



condições iniciais zeros.

Resposta do sistema a condições internas: Resposta de Entrada Nula

Para x(t)=0, a equação 3.2 pode ser representada por:



.

...

1

.



.

0

(

)

0

1

1











a

D



a



D

a

y

t

D

N N

N

N _(3.4)

Usando a heurística observa-se que a equação 3.4 deve ser zero para qualquer valor de t e para isso, a combinação linear das derivadas deve ser zero. Tal resultado somente será possível se

y

₀

(

t

)

e suas N derivadas sucessivas tiverem o mesmo formato. Sabe-se que somente a função exponencial

e

.t possui esta propriedade. Assim, presume-se que:

t

e

c

t

y

0

(

)

.

.





é a solução de 3.4, logo:



.

...

.



.

0

.

1 ₁

1











 N N t

N N

e

a

a

a

c









Uma solução não trivial:



.

...

.



0

)

(



N



a

₁ N1





a

_N1



a

_N



Q









(3.5)

Isso mostra que

c

.

e

.trealmente é a solução de 3.4, desde que



satisfaça a equação 3.5. Escrevendo em termos de fatores:





.

 

.



0

)

(   ₁  ₁  _N 

Q

















(3.6)

Verifica-se que



possui N soluções, assumindo que



_i são todos distintos. Isso faz com que a resposta genérica possa ser escrita como a soma de todas as soluções:

t N t

t

_c

_e

_c

_e

N

e

c

t

y

2 . .

. 1

0

(

)

.

.

.

1

1  



_

_

_





(3.7)

Onde

c

1

,

c

2

,



,

c

_Nsão constantes que dependem das condições do sistema. Note que o polinômio Q

não possui qualquer relação com a entrada. Este polinômio é denominado polinômio característico. As raízes deste polinômio são chamadas raízes características ou autovalores. As exponenciais são os modos característicos.

Exemplo:

Determine a resposta de entrada nula

y

0

(

t

)

para



3. 2



. () ()

2

t Dx t y D

D    quando

y

₀

(

0

)



0

e

5

)

0

(

0





y



.

A função roots encontrará as raízes do polinômio da derivada.

roots([1 3 2]); %-- raizes do polinomio

Assim,



₁





1

e



₂





2

e a resposta nula resulta em:

y

t

c

e

t

c

e

2.t 2 . 1 1

0

(

)

.

.

 

_



.

Para encontrar as constantes, necessitamos de 2 equações relacionadas com as condições iniciais:

t t

e

c

e

c

t

y

₀

(

)



₁

.

1.



₂

.

2. e sua derivada

y



₀

(

t

)





c

₁

.

e

1.t



2

c

₂

.

e

2.t

Fazendo t=0 e substituindo as condições iniciais:



















2 1

2 1

2

5

0

c

c

c

c

A=[1 1;-1 -2]; B=[0 -5]’; C=A\B

Resultando em

c

₁





5

e

c

₂



5

.

t=0:0.01:10;

Tarefa 1 – Resposta nula do sistema mecânico

Determine a resposta de entrada nula

y

0

(

t

)

para



6. 8



. () ()

2

t Dx t y D

D    quando

y

₀

(

0

)



0

e

8

)

0

(

0



y



. Após a realização do cálculo, plote a resposta y(t) do sistema.

Tarefa 2 – Resposta nula do sistema mecânico

Definido o sistema mecânico translacional em equilíbrio, representado pela seguinte equação diferencial:



2 . 



. ()0 t y k D b mD

Se alterarmos a posição inicial do sistema para y(0)=0,1 m e ý(0)=0, plote a resposta y(t) do sistema.

Considere k=100 N.m, b=52 N.s/m, e m=1 kg.

Tarefa 3 – Resposta nula utilizando dsolve

O MATLAB pode solucionar uma equação diferencial através da função dsolve. Exemplo:

Y = dsolve('D2y+52*Dy+100*y = 0','y(0)=0.1','Dy(0)=0','t')

Observação: Note que saída da função dsolve é uma variável simbólica. Para plotar o resultado devemos fazer com que o Matlab substitua a variável simbólica t pelo vetor numérico t (definido anteriormente). Isso deve ser feito através da função eval.

Tarefa 4 – Resolva a tarefa 2 utilizando dsolve

Resolva novamente a tarefa 2 com o uso da função dsolve do MATLAB e compare o resultado. Depois disso, resolva novamente a equação diferencial da tarefa 2 utilizando uma entrada x(t) = 5t + 3 assumindo as mesmas condições iniciais.

Resposta h(t) ao Impulso Unitário

A partir da equação 3.2, podemos representar a resposta ao impulso como:



.

...

.



.

(

)



.

.

...

1

.



.

(

)

1 1 1

1

1

D

a

D

a

h

t

b

D

b

D

b

D

b

t

a

D

N



N





_N



_N



_NM M



_NM M





_N



_N



(3.8)

A resposta ao impulso compreende os modos característicos para

t



0

 . Além disso, no único momento t=0, só poderá haver o impulso. Assim pode-se escrever a equação 3.8 como:

Em 3.8, se M<N,

b

0



0

e as condições iniciais (0) (0) (0) (0) 0

) 2 (

 

 

 _{n n} N_n

n y y y

y    e (0) 1

) 1 (





N n

y .

Os modos característicos podem ser representados como:



P(D).y_n(t)



.u(t)

dependentes do polinômio P(D) que representa as derivadas do sinal de entrada.

Exemplo:

Determine a resposta ao impulso

h

(

t

)

para



2 3. 2



. () () t Dx t h D

D    para condições iniciais nulas. A função roots encontrará as raízes do polinômio da derivada.

roots([1 3 2]); %-- raizes do polinomio

Assim,



₁





1

e



₂





2

e a resposta nula resulta em:

y

_n

(

t

)



c

₁

.

e

1.t



c

₂

.

e

2.t.

Para encontrar as constantes, necessitamos de 2 equações relacionadas com as condições iniciais:

t t

n

t

c

e

c

e

y

(

)



₁

.

1.



₂

.

2. e sua derivada

y

_n

t

c

e

t

c

2

e

2.t .

1

1

.

2

.

)

(

 









Fazendo t=0 e substituindo as condições iniciais (Sistema de segunda ordem - N=2, y(0)0 e

y



(

0

)



1

):

















2 1

2 1

2

1

0

c

c

c

c

A=[1 1;-1 -2];

B=[0 1]’;

C=A\B

Resultando em

c

₁



1

e

c

₂





1

. Como

  . ( ) )

(t b₀ t

h





P(D).yn(t)



.u(t)

0

0



b

e



P

(

D

).

y

n

(

t

)



.

u

(

t

)



D

.

h

(

t

)



.

u

(

t

)



1

.

e

1.t

2

.

e

2.t



.

u

(

t

)





_







Portanto:



1. 2.



. () )

( 1. 2.

t u e e

t

h    t  t

Para a resolução no MATLAB:

Yn = dsolve('D2y+3*Dy+2*y = 0','y(0)=0','Dy(0)=1','t'); Dyn= diff(Yn);

Tarefa 5 – Resposta ao impulso do sistema mecânico

Definido o sistema mecânico translacional em equilíbrio, representado pela seguinte equação diferencial:



mD2b.Dk



.y(t)u(t)

Se aplicarmos uma força impulsiva de amplitude 1N (u(t)



(t)), qual será a resposta de posição do sistema? Plote a resposta y(t).