Exemplo 1 Dimensionamento ELU Força Cortante

Exemplo 1 Dimensionamento ELU – Força Cortante

0. Observação inicial: a presente revisão altera o seguinte dado referente à segurança do concreto no apoio de momento nulo em viga com carga direta. Neste caso, tem-se um nó CTC (compressão-tração-compressão), i.e., nó em que confluem três forças: a reação de apoio (C), a escora inclinada (C) e a força na armadura longitudinal (T) a ancorar nesse apoio. E, cf. a NBR 6118, itens 22.1 e 22.3.2, a tensão no concreto na base do leque truncado junto ao apoio é limitada ao valor 15% menor que f_cd1. Os limites de compressão no concreto são dados a seguir.

c ck ck cd v cd f f f f

γ

α

) 250 1 ( 85 , 0 85 , 0 1= = − , fck emMPa, nó CCC

(Zonas essencialmente comprimidas, p.ex., banzo comprimido de vigas e nós onde confluem só forças de compressão, no método de bielas e tirantes)

c ck ck cd cd f f f f

γ

) 250 1 ( 6 , 0 7 , 0 ₁

2 = = − , fck emMPa, nó TCT (p.ex., escoras na alma de vigas, na

verificação contra esmagamento do concreto diagonal ao cortante)

c ck ck cd cd f f f f

γ

) 250 1 ( 72 , 0 85 , 0 ₁

3 = = − , fck emMPa, nó CTC (p.ex., apoio direto, duas forças de

compressão “prensando” a armadura tracionada)

Ver também alterações na Figura 5 e observação sobre o cobrimento lateral de ganchos no plano vertical.

1. Esquema estrutural, geometria, cargas e resistências

O presente exemplo mostra a rotina de dimensionamento à força cortante sem que seja necessário desenhar a treliça resistente a partir da qual o modelo foi desenvolvido. Ver a bibliografia indicada no item 5.

Fig. 1: Geometria e cargas aplicadas na face superior da viga (carga direta) Os dados do problema são os seguintes:

Geometria:

Seção retangular b/h/d/d′=150/850/765/85mm, Placas de apoio em A, C e D: a₀/b₀ =200/150mm, Cobrimento do estribo: c=30mm;

Diâmetros do estribo e da armadura longitudinal:

φ

_t/

φ

_l =6,3/16

2,25 m 4,50 m 3,00 m qd=35 kN/m Q2d=147 kN Q1d=126 kN A B D C RA,d=162,75 kN RB,d=372,75 kN x x" x´ L=10,15 m

Resistências: Aço CA-50: fyk = fywk =500MPa, fyd = fywd =435MPa Concreto: MPa f f MPa f f direta tração à a resistênci da médio valor MPa f f direta a c para apoio ao junto concreto do a resistênci MPa f f f f te cor força à concreto do a resistênci vigas de alma MPa f f f f tirantes e escoras de método no comprimido banzo do a resistênci MPa f f f MPa f f MPa f c ctk ctd ck ctk ck ctm c ck ck cd cd c ck ck cd cd c ck ck cd c ck cd ck 38 , 1 , 93 , 1 2 , 0 ) ( 9 , 2 3 , 0 ) arg ( 6 , 13 ) 250 1 ( 72 , 0 85 , 0 ) tan , ( 2 , 11 ) 250 1 ( 6 , 0 7 , 0 ) ( , 0 , 16 ) 250 1 ( 85 , 0 21 , 18 85 , 0 85 , 0 , 30 inf , 3 / 2 inf , 3 / 2 1 3 1 2 1 = = = = = = = − = = = − = = = − = = = =

γ

γ

γ

γ

γ

2. Diagramas dos esforços solicitantes

Fig. 2: Diagramas dos esforços solicitantes e armadura transversal para força cortante

1 2 3 4 121,8 143,9 184,8 147,0 225,75 162,75 106,8 106,8 EFFF6,3 c/ 25 F EFF6,3 c/ 30 FF E_{c/ 20} F6,3 FFF E_{c/ 15} FFFF6,3 EFFFF6,3 c/ 20 zcot =1,17m 1,17m zcot =1,17m Vd (kN) 0,43 m 1,40 m 1,10 m 330,75 330,75 Md (kNm) al=0,5zcot 0,5IIIIVdIIIIzcot al=0,5zcot al=0,5zcot 1,06 m 68,25 57,75

3. Dimensionamento à flexão

No exemplo, para facilitar a exposição, escolheu-se a geometria e as cargas de modo que

kNm

M

M

d

min

d

330

,

75

max

₊

=

₋

=

. O momento relativo, usando as unidades N emm, é igual a: 207 , 0 2 , 18 765 150 10 75 , 330 85 , 0 max 2 6 2 _{× ×} = × = = cd d d f bd M

µ

Taxa mecânica da armadura:

OK f f bd A d cd yd s d 1 1 2 0,234 0,8 0,45 0,36 85 , 0 = − − = ≤ × = =

µ

ω

Área da armadura: 1126 2 435 21 , 18 765 150 234 , 0 mm As = × × = . Adota-se 6

φ

16=1200mm2 em três camadas.

Na flexão simples com armadura simples a taxa mecânica é igual à altura relativa do bloco de tensões, i.e., = =0,234

d y

d

ω

. Portanto, o braço de alavanca das forças internas na seção de momento máximo é igual a:

mm d y d y d z= −0,5 = (1−0,5 )=765(1−0,5×0,234)=765×0,883=675

Este braço é também a altura da seção resistente à força cortante. (A NBR 6118: 2003, no item 17.4 adota implicitamente z=0,9d, com o que os dimensionamentos à força cortante e à flexão ficam desacoplados).

Fig. 3: Armadura longitudinal nas seções críticas. 4. Dimensionamento à força cortante

4.1 A escolha do ângulo

θ

de inclinação das diagonais comprimidas (ou do campo diagonal de compressão) pode ser feita no intervalo

θ

=45 aº 30º.

F F F Fl=16 mm ev=25 mm c=30 mm F F F Ft=6,3 mm 44,3 mm 85,3 mm 126,3 mm d´=85,3 mm mm CGs Seção B (apoio) Seção C (vão interno)

Ganchos dos estribos na região comprimida Espaço para

Escolhe-se

θ

=30º em toda a viga, donde cot

θ

=1,732, tan

θ

=0,577,

m zcot

θ

=0,675×1,732=1,17 .

4.2 Verificação da segurança do concreto da alma contra esmagamento

A máxima tensão de compressão nas diagonais pode, a favor da segurança, ser calculada pelo máximo valor da força cortante que ocorre na viga. Ver a observação (c) do item 4.7. À esquerda do apoio B, tem-se: MPa f MPa f z b V cd cwd cd w d cwd 2 , 11 1 , 5 ) 732 , 1 577 , 0 ( 675 150 10 75 , 225 ) cot (tan 2 3 2 = ≤ = + × × = ≤ + =

σ

θ

θ

σ

(1)

Além disso, para calcular o máximo espaçamento

s

dos estribos verticais, compara-se

σ

_cwd com fcd 7,5MPa

3 2 2 = . Como MPa f MPa cd cwd 7,5 3 2 1 , 5 < ₂ = =

σ

então o máximo espaçamento dos estribos é limitado a: mm mm mm d s 300 300 459 765 6 , 0 6 , 0 min max =       = × = = (2) Se ocorresse o contrário, ₂ 3 2 cd cwd > f

σ

, estes limites seriam (0,3d; 200 mm). Entretanto, na região de armadura transversal mínima prevalecem os limites (0,6d; 300 mm).

4.3 Armadura transversal mínima (estribos verticais, sin =

α

1)

m mm mm mm b f f s A w ywk ctm sw 2 2 min 150 0,174 174 500 9 , 2 20 , 0 2 , 0 ) ( = = × × = =

Usando estribos

φ

t =6,3 de dois ramos, tem-se a área de um estribo igual a

2 63 5 , 31 2 mm

Asw = × = . Logo, o espaçamento correspondente à armadura transversal mínima

é igual a: m s 0,36 174 63 = =

Mas o máximo valor permitido é 0,30m. Portanto, mantendo a bitola do estribo, a armadura mínima efetiva vale:

mm mm s A ef sw 2 min, 0,21 300 63 ) ( = =

kN f z s A VRd ( sw) ef( cot ) ywd 0,21 1169 435 10 106,8 3 min, min , = = × × × = −

θ

(3)

Este valor está indicado no gráfico da força cortante V_d, Figura 2. 4.4 Cálculo da armadura transversal superior à mínima

No gráfico de V_d mostrado na Figura 2, observa-se que há quatro segmentos da viga com armadura acima da mínima. Cada um dos três segmentos do vão central é subdividido em trechos de extensão zcot =

θ

1,17m (no balanço é desnecessária a subdivisão, pois V_d é constante). Como a carga é aplicada na face superior da viga (carga direta), toma-se em cada trecho o menor valor da força cortante, para obter a armadura correspondente. Ver o cálculo na Tabela 1 seguinte. P.ex., para o trecho três, tem-se

m

mm

s

A

sw 2 3

363

435

17

,

1

10

8

,

184

=

×

×

=

.

Tabela 1: Cálculo da armadura transversal.

Trecho

V

d

(kN

)

_cot ( ) 2 m mm f z V s A ywd d sw

θ

= Espaçamento adotado do estribo de dois ramos 3 , 6 = t

φ

1 121,8 239,5 25cm 2 143,9 idem4 20cm 3 184,8 363 15cm 4 147 289 20cm

4.5 Força a ancorar no apoio A (onde Md =0):

A força no banzo tracionado, para

α

=90º, é dada pela seguinte expressão:

θ

cot 5 , 0 _d d sd V z M R = + (4)

No apoio A, sendo nulo o momento fletor, resulta a força a ancorar:

kN Rsd,_A =0+0,5×162,75×1,732=141

Um valor mais preciso desta força leva em consideração a largura a₀ =200mm do apoio, cf. mostra a Figura 4. O ângulo

θ

_a da diagonal do apoio (resultante do leque) é dado por:

1 ) 675 1169 200 ( 2 1 cot 2 1 cot ₌ 0+ ₌ + ₌ z z a a

θ

θ

ou

θ

a =45º (5)

Consequentemente, a força a ancorar no apoio A é igual à própria reação, ou seja,

kN R

ao cot 2 cot θ z ao 2 qd a θ 2 cotθ cot z θ z rswd z θ θ z sd,apoio R Ad R cw R A

Fig. 4: (a) Forças no leque truncado, (b) Equilíbrio do nó A.

A máxima tensão de compressão na diagonal que representa o leque ocorre junto à placa de apoio, e resulta dividindo-se a força R_cw pela área da placa projetada na ortogonal à direção dessa força. Pondo a largura da placa de apoio b₀ =b=150mm, obtém-se:

f MPa sen sen a b R sen a b R cd a cw a Ad cwd 10,9 º 45 200 150 10 2 , 230 ) ( 3 3 0 0 2 0 0 ≤ = × × × = = =

θ

θ

σ

(6) 4.6 Força nos banzos tracionados

A força no banzo tracionado (são dois no exemplo) depende tanto do momento fletor quanto da força cortante. Para considerar isto, há duas alternativas, cf. consta no item 17.4.2.2c da NBR 6118: 2003, descritas a seguir.

1ª. Alternativa: Considera-se o diagrama da força no banzo tracionado, dada pela Equação 4, onde o momento M_d deve entrar com seu sinal. Mas a força cortante é tomada em módulo, pois sempre produz tração nos dois banzos.

θ

cot 5 , 0 _d d sd V z M R = + onde z=0,675m e cot =

θ

1,732.

No exemplo, para facilitar a obtenção de R_Sd pode-se equacionar os esforços solicitantes como segue, em unidades kN em:

x

V

e

x

x

M

d

162

,

75

17

,

5

d

162

,

75

35

2

−

=

−

=

para 0≤ x≤3m (7) '' 2 '' '' _{17,5( ) 68,25 35} 25 , 68 75 , 330 x x eV x Md = − − d = − − para m x 4,5 0_≤ '' _≤ (8)

147

,

147

′

=

−

=

d d

x

e

V

M

para 0≤x′≤2,25m (9)

2ª. Alternativa: Usa-se o próprio diagrama de momento fletor, deslocando-o a partir dos momentos extremos para ambos os lados da viga de uma quantia a_l igual a:

m z

al =0,5 cot

θ

=0,5×0,675×1,732≅0,60 (10)

Esta expressão é válida para o caso de estribos verticais (

α

=90º,cot

α

=0).

A segunda alternativa é a mais comumente usada no Brasil, e é equivalente à primeira se a força cortante for constante. Ver a Figura 2.

A NBR 6118 usa a expressão decalagem dos diagramas de M_d, para levar em consideração o aumento da força do banzo tracionado por influência da força cortante. Isto significa deslocar o diagrama da quantia a_l, como se fez.

4.7 Observações adicionais

Procura-se esclarecer alguns pontos da teoria usada, para mostrar como são obtidas as expressões do item 17.4 da NBR 6118: 2003.

(a) A segurança do concreto da alma da viga contra esmagamento não é verificada na NBR 6118 através da tensão principal de compressão da alma, mas através da força cortante resistente, obtida a partir da máxima resistência do concreto da alma como segue. A tensão principal de compressão da diagonal inclinada, em caso de estribos verticais, é dada pela Equação (1):

2 ) cot (tan _cd w d cwd f z b V ≤ + =

θ

θ

σ

Pondo z=0,9d , e f_cd2 =0,6

α

_vf_cd, onde 250 1 ck v f − =

α

, com f_ck em MPa, a máxima força cortante resistente resulta explorando-se 100% da resistência f_cd2 do concreto da alma. Esta força cortante resistente é indicada por V_Rd2, e decorre da expressão anterior, isolando V_d e identificando-o com V_Rd2:

θ

α

θ

θ

α

θ

θ

α

θ

θ

α

θ

θ

2 sin 27 , 0 cos sin 54 , 0 cot ) (sin 54 , 0 cot tan 9 , 0 6 , 0 cot tan ) 9 , 0 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 d b f d b f V d b f d b f d b f V w cd v w cd v Rd w cd v w cd v w cd Rd = = = + × = + = (11) No exemplo, tem-se a força cortante resistente, condicionada pelo concreto, igual

a: kN V kN V d b f V Sd Rd w cd v Rd 75 , 225 max 506 ) 30 2 sin( 765 150 4 , 1 30 ) 250 30 1 ( 27 , 0 2 sin 27 , 0 2 0 2 2 = > = × × × × × − × = =

α

θ

46 , 0 2 , 11 / 1 , 5 / 45 , 0 / max V_Sd V_Rd2 = ≅σ_cwd f_cd2 = =

Mostram-se na Figura 5 as faixas recomendadas, cf. o MC-2010, para a escolha de

θ

: (300 _a450) _{para CA, e (25}0 _a450_{)para CP ou com força axial de compressão,} sem fissuração em serviço, para

θ

<300.

Fig. 5: Faixas recomendáveis do ângulo

θ

, cf. o MC-2010

A expressão (11) aparece no item 17.4.2.3, para o modelo II de dimensionamento. No item 17.4.2.2, para o modelo I de dimensionamento, onde se desconta da força cortante solicitante a parcela V_c transmitida por atrito na fissura inclinada, a inclinação da diagonal comprimida é tomada igual a

θ

=45º, donde sin2

θ

=1. Como este desconto refere-se apenas ao cálculo da armadura transversal, é mais seguro usar a Equação (11) ou a (6), que lhe é equivalente. Em qualquer caso, cf. a NBR 6118, a condição de segurança do concreto é:

2

Rd

Sd V

V ≤ (12)

onde os subscritos S e R significam respectivamente solicitante e resistente.

(b) A decalagem a_l do diagrama do momento fletor é dada no item 17.4.2.2c da NBR 6118 pelas seguintes expressões:       − + − = (1 cot

α

) cot

α

) ( 2 _,max max , c Sd Sd l V V V d a (13a) ) cot (cot 5 , 0

θ

−

α

= z al (13b) 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500 4,000 15 20 25 30 35 40 45 + 1 / (graus) + 1 / á Faixa recomendável CA

Para estribos verticais, cot

α

=cot90º=0. Estas expressões são válidas para peças com obrigatoriedade de armadura transversal. Em (13a), deve-se ter a condição V_Sd,max ≥1,5V_c, onde o aumento de 50% em V_c decorre da armadura transversal mínima. E se ocorrer V_Sd,max <1,5V_c

, só há armadura transversal mínima e deve-se inserir nesta equação V_Sd,max =1,5V_c, donde para

º 90 =

α

resulta o máximo valor de al =1,5d. Com a aproximação z ≅d, obtém-se

aproximadamente o mesmo valor de a_l se for admitido o valor máximo para cot =

θ

3 (valor máximo admitido no MC-90, alterado no MC-2010).

É possível mostrar (cf. o trabalho anexo) que entre os ângulos de inclinação das diagonais comprimidas (ou do campo de compressão) e das fissuras da alma existe a seguinte relação:

c Sd Sd cr V V V − =

θ

θ

cot cot (14) Onde

θ

é a inclinação das diagonais comprimidas,

θ

_cr é a inclinação da fissura (não são iguais,

cr

θ

θ

< ). Vc =0,6fctdbwd é a componente vertical da força transmitida na alma ao longo da

fissura, na flexão simples e na flexotração com a linha neutra cortando a seção, cf. o item 17.4.2.2 da NBR 6118.

Como, na flexão simples, a inclinação das fissuras da alma é aproximadamente

θ

_cr =40º, para estribos verticais resulta, após substituir (14) em (13a):

θ

θ

θ

cot 2 1 cot ) 84 , 0 ( 2 1 0 ) 0 1 ( º 40 cot 2 cot z d d al = ≅    − + = (15)

(c) A verificação da segurança do concreto, a rigor, deve ser feita tanto no leque de apoio, quanto no primeiro paralelogramo. No leque é obrigatório atender duas condições:

(1) ancoragem adequada da armadura longitudinal necessária no apoio,

(2) a máxima tensão de compressão no leque (junto à placa de apoio ou pilar) deve ser inferior ou igual a f_cd3, em caso de apoio direto, i.e., em caso de nó CTC.

Com isto, no primeiro paralelogramo (anexo ao leque), a força cortante deve descontar a carga (direta, i.e., aplicada na face superior da viga) situada no segmento zcot

θ

. No exemplo, no primeiro paralelogramo próximo ao apoio A, tem-se:

kN z

q R

Vd = Ad − d cot

θ

=162,75−35×1,17=121,8

Analogamente, à esquerda do apoio B resulta:

kN z

q V

Vd = Bd,esq − d cot

θ

=225,75−35×1,17=184,8

Estes valores foram usados na Tabela 1 para o dimensionamento da armadura transversal. Repetindo: a rigor a segurança do concreto da alma também deve ser verificada para a força cortante no primeiro paralelogramo à esquerda do apoio B, i.e., para

V

d

=

184

,

8

kN

, cabendo ainda verificá-la na base do leque truncado do apoio esquerdo, como se faz logo a seguir.

Na Figura 6 representa-se o nó inferior que se forma no apoio B. Nele confluem apenas forças de compressão, que são cinco, a saber, as duas forças do banzo inferior, as duas escoras vindas do vão e do balanço e a própria reação de apoio.

Fig. 6: Forças no nó do apoio B de continuidade e nos leques

No primeiro paralelogramo anexo ao leque e à esquerda do apoio B, resulta para o concreto:

MPa f MPa f z b V cd esq cwd cd w d cwd 2 , 11 2 , 4 ) 732 , 1 577 , 0 ( 675 150 10 8 , 184 ) cot (tan 2 3 , 2 = ≤ = + × × = ≤ + =

σ

θ

θ

σ

No apoio B, tem-se a reação RBd =372,75kN e leques correspondentes às forças cortantes à

esquerda e à direita desse apoio. Ver a Figura 6.

A parcela da largura a₀ da placa correspondente à força cortante à esquerda de B vale

mm a a a 0,606 121,2 75 , 372 75 , 225 0 0 0 = = = ′ . Portanto, 956 , 0 ) 675 1169 2 , 121 ( 2 1 ) cot 606 , 0 ( 2 1 cot 0 , = + = + = z z a esq a

θ

θ

ou

θ

a_,esq =46,3º

Deste ângulo resulta a força na diagonal esquerda, a saber, R V kN

esq a esq Bd esq cw 312,3 sin _, , , = =

θ

. Por

outro lado, a largura da diagonal, considerando-se a altura y=0,234×765=179mm do bloco de tensões obtida no dimensionamento à flexão, é igual a

mm y

a′0sin

θ

a,esq + cos

θ

a,esq =121,2sin46,3º+179cos46,3º=211 . Logo, a máxima tensão na

diagonal comprimida do leque esquerdo em B é:

y a0 a0´ a0´´ RBd=372,75 kN VBd,esq=225,75 kN VBd,dir=147 kN Rcw,esq V=0

MPa f y a b R cd esq a esq a esq cw esq cwd 9,9 13,6 211 150 10 3 , 312 ) cos sin ( 3 3 , , 0 0 , , = ≤ = × × = + ′ =

θ

θ

σ

(6)

Neste caso, o limite de tensão f_cd3 é conservador. Isto porque no nó que se forma na base da viga em B só chegam forças de compressão. (Há aqui uma pequena incoerência, embora com pouca influência nos resultados, porque no dimensionamento à flexão foi usada a resistência 0,85f_cd

ao invés do valor menor ck _cd

cd f f f ) 250 1 ( 85 , 0

1= − , adotado no método de escoras e tirantes em banzo comprimido). Note-se que, dentro do nó propriamente, a resistência do concreto do nó poderia chegar a 1,2f_cd1, em face do estado duplo compressão-compressão do concreto.

(d) O ângulo

θ

de inclinação do campo de compressão, cf. o MC-90, poderia em geral ser escolhido livremente entre 45º e 18,4º, correspondendo a cot =

θ

1 e cot =

θ

3. O limite inferior de

θ

foi restringido no MC-2010, como segue. Para as peças em concreto armado, sem força normal de compressão, é recomendável a faixa cot =

θ

1 e cot =

θ

1,732, correspondente à faixa de (45º,30º). Ângulos menores que este último podem ser adotados nas peças protendidas, ou naquelas com força normal de compressão, e que sejam dimensionadas para não fissurar em serviço, correspondendo à faixa (45º,25º). Ver a Figura 5.

(e) É possível escolher o ângulo

θ

de modo a obter uma proximidade com o dimensionamento da armadura transversal do método I da NBR 6118: 2003 (o mesmo da antiga NB1-78), através da equação (pondo cot

θ

cr =1):

Sd c c Sd Sd cr V V V V V − = − = 1 1 cot cot

θ

θ

(16)

Nesta equação, Vc=0,6fctdbwd (valor característico) tomando-se para VSd, a favor da

segurança, a força cortante de maior módulo no segmento considerado (ou na viga toda). Se a força cortante for constante na viga, resulta a mesma armadura transversal que a dada pelo método I.

Como exemplo, considere-se o segmento em balanço da presente viga, em que VSd =147kN.

Usando para a altura útil o valor do qual decorre a simplificação implícita na NBR6118, a saber,

m z d = /0,9=0,675/0,9=0,75 , obtém-se: kN Vc 0,6 1,38 150 750 10 93,15 3₌ × × × × = − Logo: 73 , 2 147 15 , 93 1 1 cot = − =

θ

ou

θ

=20,1º

m mm f z V s A ywd d sw 2 3 183 435 73 , 2 675 , 0 10 147 cot × × = × = =

θ

Pelo método I da NBR 6118, desconta-se da força cortante Vd =147kN a parcela kN

Vc =93,15 , e dimensiona-se a armadura para a inclinação da diagonal comprimida

θ

=45º

, donde: m mm f z V V s A ywd c d sw 3 ₁₈₃ 2 435 1 675 , 0 10 ) 15 , 93 147 ( º 45 cot × × = × − = − =

Como se vê, o resultado é o mesmo. Esta conclusão é válida se a força cortante for constante. Deve-se notar que o método apresentado, o da livre escolha de

θ

, leva a uma armadura pouco superior à obtida pelo método I. Entretanto, o ganho em clareza e simplicidade da teoria (igualmente aplicada na torção, e no dimensionamento de chapas de concreto armado e protendido em geral) é grande. Além disso, a tensão no estribo em serviço, em presença de fissuras inclinadas, é menor.

Note-se também que esta armadura é inferior à mínima efetiva obtida antes,

m mm s A ef sw 2 min, 210 )

( = , e no cálculo em que se adotou

θ

=30º resultou

m mm s A_sw 2 4 289 ) ( = , cf. a Tabela1.

(e) Ancoragem da armadura do banzo tracionado superior sob a placa D

A última observação do item anterior, com

θ

=30º, além das vantagens mencionadas, também favorece a ancoragem das barras longitudinais tracionadas na ponta do balanço. Esta é uma região de má aderência, cf. item 9.3.1 da NBR 6118. A força a ancorar sob a placa D vale, com

º 45 = a

θ

, cf. cálculo para o apoio A, Equação (4):

kN Q

Q

Rsd,D = 2dcot

θ

a = 2d =147

Esta força exige a área 3 2

,

,

R

/

f

147

10

/

435

338

mm

A

scalc

=

sd D yd

=

×

=

. Levando pelo menos

2

800 16

4Φ = mm até a ponta do balanço, pode-se calcular o comprimento de ancoragem necessário l_b,nec como segue. Para região de má aderência, tem-se

η

₂

=

0

,

7

, donde a resistência de aderência, aço CA-50 e

φ

l <32mm, fbd =

η

1

η

2

η

3fctd =2,25×0,7×1×1,38=2,17MPa. A

este valor corresponde o comprimento de ancoragem básico

φ

φ

50

φ

17 , 2 435 4 4× = × = = bd yd b f f l .

Usando gancho no plano horizontal ( =

α

0,7), tipo “cabo de guarda-chuva deitado”, e supondo haver predominância da carga variável, resulta o comprimento de ancoragem necessário:

mm

mm

l

A

A

l

l

b ef s calc s b nec b

15

240

100

15

3

,

0

10

8

,

14

800

338

50

7

,

0

, , ,

=

=





















=

≥

=

×

×

=

=

φ

φ

φ

φ

φ

α

Contando o início da ancoragem no canto interno da placa de apoio em D, deve-se ter além dos

mm

200 da própria placa, mais (240−200)+

φ

+c=40+16+30=86≅100mm entre a borda externa da placa e a borda do balanço. Note-se que em presença de carga variável predominante, cf. o item 18.3.2.4.1 da NBR 6118, não se pode dispensar a aplicação de l_b,_nec, em favor da redução para mm

mm 130 60 8 max =      

φ

, nem tampouco se deve usar ganchos nos planos verticais, pois as barras longitudinais estão próximas das faces laterais da viga (cobrimento menor que 70mm. Este valor parece configurar um erro na NBR 6118. Encontra-se, p. ex., na norma suíça SIA 262-2003, item 5.2.7.2, a dispensa de verificação da possibilidade de fendilhamento por tensões de tração perpendiculares ao plano da curva ou dobra (gancho) de barras tracionadas se a distancia desse plano à borda externa da peça for igual ou maior que três vezes o diâmetro da barra. No exemplo, as barras longitudinais com gancho no plano vertical deveriam ter cobrimento pelo menos igual a 3

φ

=3×16=48mm).

Esta última condição por si só dispensaria a suposição de predominância da carga variável ocorrendo com grande frequência.

O mesmo cálculo deve ser feito para o apoio A, que é uma região de boa aderência, i.e.,

η

₂

=

1

. Nesse apoio, a área necessária para a força a ancorar vale

2 3

,

,

R

/

f

162

,

75

10

/

435

374

mm

A

scalc

=

sd A yd

=

×

=

. Sendo agora

MPa fbd =2,25×1×1×1,38=3,11 Resulta

φ

φ

35

φ

11 , 3 435 4 4× = × = = bd yd b f f

l . Ou, diretamente do cálculo anterior,

φ

φ

35 50 7 , 0 × = = b

l . Portanto, com ganchos nos planos horizontais, obtém-se:





















=

≥

=

=

×

×

=

=

mm

l

mm

A

A

l

l

b ef s calc s b nec b

100

5

,

10

3

,

0

10

184

5

,

11

800

374

35

7

,

0

, , ,

φ

φ

φ

φ

α

Logo, em A deve-se ter entre a borda externa da placa e a borda da viga mais

mm c=10+30≅40 +

φ

pelo menos, para que o gancho ultrapasse a placa de apoio, podendo-se adotar 100mm como em D. Com isto a viga deve ter um comprimento total igual a

. 15 , 10 ) lg ( 1 , 0 2 ) ( 1 , 0 2 25 , 2 5 , 4

3 das placas das fo as m

L= + + + × + × = Ver a Figura 1.

5. Bibliografia

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Projeto de estruturas de

concreto - Procedimento: NBR 6118: 2014. Rio de Janeiro, 2014.

BUCHAIM, R. Concreto protendido. Tração axial, Flexão simples e Força Cortante. EDUEL, 2ª. Reimpressão – agosto. UEL, Londrina, Pr.

COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON. CEB-FIP Model Code 1990. London: Thomas Telford, 1993.

FÉDÉRATION INTERNATIONALE DE LA PRECONTRAINTE. Model Code 2010. Final draft. FIB, CEB-FIP. September 2011.

SIA 262, Concrete Structures, Code, Swiss Society of Engineers and Architects, Zurich, Switzerland, 2003, 90 pp.